Rassal Değişken Üretimi Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI GİRİŞ Yaşadığımız ya da karşılaştığımız olayların sonuçları farlılık göstermektedir. Sonuçları farklılık gösteren bu olaylar, tesadüfü olaylar olarak adlandırılır. Sonuçları ve oluşumları açısından olayları, matematiksel olarak ifade etmek istediğimizde karşımıza çok sayıda olasılık fonksiyonu ya da dağılım fonksiyonu çıkmaktadır. Gerçek hayat problemleri ile ilgili simulasyon çalışmaları yapabilmek bu dağılımlardan üretilen tesadüfi sayıların kullanılması bir zorunluluktur. 2 1
GİRİŞ (Devam ) Örneğin Bernolli dağılımı bir paranın atılması ya da iki sonuçlu bir olayın modellenmesinde kullanılır. Binom dağılımı ise yine iki sonuçlu bir olayın n kez tekrar etmesi durumunda kullanılır Normal dağılım, poisson dağılımı ve üssel dağılım günlük yaşantımızdaki farklı olay modellemelerinde kullanılır. Sırayla kişilerin boy uzunlukları, birim zamanda gerçekleşen olay sayısı, gerçekleşen olaylar arasındaki süreler ile ilgili ölçümlerin modellenmesinde bu dağılımların olasılık fonksiyonlarından faydalanılır. 3 Rassal sayı türetmemizin amacı; Simulasyon modelini girdilerinin oluşturacak örneklerin türetilmesi. Yaygın olarak kullanılan ayrık ve sürekli dağılımların örneklenmesi sürecini anlamak. 4 2
İstatistiksel dağılımların örneklenmesi Tahmin edilemeyen veya belirsiz aktivitelerin modellenmesi istatistiksel dağılımların kullanılması faydalıdır. Varışlar arası süreler, kuyruklarda servis süreleri, birim zamanda gerçekleşen olay sayısı, bir ürün için talepler. Bu tür değişkenler belli bir istatistiksel dağılıma sahip rasgele değişkenler olarak modellenirler. 5 Rassal Değişken Olasılık Fonksiyonu - Dağılım Fonksiyonu Kullanacağımız tekniklerin tümü[0,1] aralığında üniform dağılmış R1,R2,R3,,,,,Rn rasgele sayılarının elimizde hazır olduğunu varsayar. (0, 1) aralığında düzgün dağılmış R 1, R 2,, rassal sayıları türetilmiş olsun. Her bir R i nin olasılık yoğunluk fonksiyonu: 1, f ( x) 0, 0 x 1 aksi halde ve kümülatif dağılım fonksiyonu F R 0, ( x) x, 1, x 0 0 x 1 x 1 6 3
RASSAL DEĞİŞKEN TÜRETİLMESİ Düzgün dağılıma sahip olmayan rasgele değişkenlerin dağılımlarından sayı üretmek için kullanılan yöntemleri şöyle sıralanabilir: 1)Ters Dönüşüm Yöntemi 2)Kabul Red Yöntemİ 3)Düzenleyici Metod 7 1.TERS DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ Üssel,Üniform,Weibul veya deneysel dağılımların yanısıra genel prensibleri ile çok çeşitli ayrık dağılımdan örnekleme yapmaya uygun bir tekniktir. Hesaplama yönünden en basit ve direk teknik olmasına rağmen her zaman en etkin teknik değildir. 8 4
Ters Dönüşüm Tekniği - Temel mantığı - 1 Bir R=F(x) kümülatif olasılık yoğunluk fonksiyonu için, Unıform [0.1] aralığında R(ya da U) üret; X = F -1 (R) dönüşümden X leri elde et. ifadesi; verilen U değerine karşılık gelen X değerini belirler dir. F(x) artan bir fonksiyondur. 9 Ters Dönüşüm Tekniği - Temel mantığı - 2 f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun verildiğini kabul edelim. Amaç f(x) o.y.f dan bir rassal değişken üretmektir Buradaki zorluk bazı dağılımlar için F-1 ters fonksiyonunun açık bir ifadesinin elde edilememesidir. 10 5
Ters Dönüşüm Yöntemi Algoritması F dağılım fonksiyonunun F ters fonksiyonunun değerlerinin hesaplanabilir olması durumunda sürekli bir X rasgele değişkeninin dağılımından sayı üretmek için algoritma aşağıdaki gibidir. ALGORİTMA: 11 Ters Dönüşüm Yöntemi Örneği - 1 Örnek: Ters dönüşüm tekniği ile aşağıdaki fonksiyona göre dağılan sayılar üreten algoritmayı yazınız. (Kaynak: Prof. Dr. B. DENGİZ Ders Notları) 12 6
13 14 7
15 Ters Dönüşüm Yöntemi Örneği - 2 Şekilde görülen f(x) fonksiyonundan ters dönüşüm tekniği ile rassal değişken üreten algoritmayı yazınız. (Kaynak: Prof. Dr. B. DENGİZ Ders Notları) 16 8
17 18 9
19 20 10
21 Ters Dönüşüm Yöntemi Örneği - 3 ÖRNEK : X rasgele kesikli değişkeninin olasılık fonksiyonu için ters dönüşüm ile rassal sayı üretnen algoritmayı kurunuz. X={1, 2, 3} f(x)={0.2, 0.5, 0.3} olsun. Kesikli bir rasgele değişken olan X in dağılım fonksiyonu; F _1 1, ( U ) 2, 3, 0 U 0.2 U 0.7 U 0.2 0.7 1 22 11
Ters Dönüşüm Tekniği Üstel dağılım Düzgün dağılım Weibull dağılımı Normal dağılım 23 Üstel Dağılım Olasılık yoğunluk fonksiyonu: x e f ( x) 0,, x 0 x 0 Kümülatif dağılım fonksiyonu: F( x) x x 1 e, x 0 f ( t) dt 0, x 0 24 12
Üstel Dağılım : Birim zamandaki ortalama olay sayısı Gelişler arası süreler X 1, X 2, X 3, parametreli üstel dağılıma uygun ise, birim zamandaki gelişlerin ortalama sayısı (veya geliş hızı) olarak düşünülebilir. Bu durumda E(X i ) = 1/ : Gelişler arası ortalama süre. 25 Üstel Dağılım Adım 1: İstenen rassal değişken X in kümülatif dağılım fonksiyonunu (kdf) belirle. Üstel dağılımda: F(x) = 1 e -x, x 0. Adım 2: X in tanım aralığında F(X) = R ata. Üstel dağılımda 1 e -X = R Adım 3: F(X) = R denkleminden R ye bağlı olarak X i çek. 26 13
Üstel Dağılım Üstel dağılımda, 1 e -X = R e -X = 1 R -X = ln(1 - R) X = (-1/) ln(1 - R) veya X = (-1/) ln(r) X = F -1 (R) 27 Düzgün Dağılım Olasılık yoğunluk fonksiyonu: 1, f ( x) b a 0, a x b aksi halde Kümülatif dağılım fonksiyonu: 0, x a x a F( x), a x b b a 1, x b F(X) = (X-a)/(b-a) = R X = a + (b-a) R 28 14
Weibull Dağılımı Makine ve elektronik bileşenlerin arızaları arasındaki sürelerin dağılımı f ( x) x 0, 1 e ( x ), x 0 aksi halde F( X ) 1 e X ( X ) 1 ln1 R 29 2. KABUL-RED TEKNİĞİ Özellikle o.y.f kapalı formda ifade edilemiyorsa kullanışlı bir tekniktir. Örneğin X~U(1/4,1)olan rasgel değişkeni üretmek için; 30 15
2.1)Temel mantığı Adım1;R~U(1/4,1) olacak şekilde R değeri üret Adım 2;eğer R>=1/4 ise X=R olarak kabul et Adım 3;eğer R<1/4 ise R yi red et ve 1.adıma dön. R istenilen dağılıma sahip değildir ama, {R ¼} olayına koşullanmış R değeri (R ) istenilen dağılıma sahiptir. Etkinlik: Büyük ölçüde reddetme adedinin nekadar azaltılabileceğine bağlı 31 Kabul- Red Tekniği - temel prensipleri Adım 1;öncelikle bir t fonksiyonu tanımlanması gereklidir. Her x i için t(x) f(x) olmalıdır. Fakat t(x)den rassal sayı üretemeyiz c>1 olduğundan olduğundan t(x) o.y.f değildir 32 16
Adım2 ;ancak şu dönüşümü yaparsak 33 Adım 3;böylelikle istediğimiz koşula şartlanmış r(x) o.y.f dan Y=R 1 olacak şekilde yeni rassal sayı üretiriz Adım 4;R 2 ~U(0,1)uniform dağılmış rassal sayılar elde ederiz Adım5;eğer f(y)/t(y) R 2 ise kabul et Y=X ataması yap aksi halde red et ilk adıma geri dön. 34 17
Kabul-red tekniği algoritması 35 Örnek 1; 36 18
Benzetim 37 Benzetim Ters dönüşüm metodu kullanılarak r(x) yoğunluk fonksiyonundan[a,b] aralığında değişken türetilebir. 38 19
Örnek 2; Beta (4,3) dağılımından rassal değişken üreten algoritmayı reddetme yöntemine göre düzenleyin. 39 Benzetim 40 20
Benzetim 41 Benzetim 42 21
Benzetim 43 44 22
Örnek 45 BENZETİM 46 23
BENZETİM Örnek: 47 BENZETİM 48 24
BENZETİM 49 3.Direk teknik 50 25
Normal Dağılım için Doğrudan Dönüşüm Standart normal değişkenler Z 1 ve Z 2 nin türetilmesi: Z 1 = (-2 ln R 1 ) 1/2 cos(2r 2 ) Z 2 = (-2 ln R 1 ) 1/2 sin(2r 2 ) Ortalaması, varyansı 2 olan normal değişkenlerin elde edilmesi: X 1 = + Z 1 X 2 = + Z 2 51 26