BÖLÜM 2 ÖRNEK SORULAR 2-23 İçinde ısı iletim denklemi en basit şekilde aşağıdaki gibi verilen bir ortamı göz önüne alınız. 22 TT xx 2 = 1 αα (a) Isı transferi sürekli midir yoksa zamana mı bağlıdır? (b) Isı transferi tek mi, iki mi yoksa üç mü boyutludur? (c) Ortamda ısı üretimi var mıdır? (d) Ortamın ısıl iletkenliği sabit mi yoksa değişken midir? 2-24 İçinde ısı iletim denklemi en basit şekilde aşağıdaki gibi verilen bir ortamı göz önüne alınız. 1 dd rrrr rr + ee ürrrrrrrrrr = 0 (e) Isı transferi sürekli midir yoksa zamana mı bağlıdır? (f) Isı transferi tek mi, iki mi yoksa üç mü boyutludur? (g) Ortamda ısı üretimi var mıdır? (h) Ortamın ısıl iletkenliği sabit mi yoksa değişken midir? 2-25 İçinde ısı iletim denklemi en basit şekilde aşağıdaki gibi verilen bir ortamı göz önüne alınız. 1 rr 2 rr2 = 1 αα (a) Isı transferi sürekli midir yoksa zamana mı bağlıdır? (b) Isı transferi tek mi, iki mi yoksa üç mü boyutludur? (c) Ortamda ısı üretimi var mıdır? (d) Ortamın ısıl iletkenliği sabit mi yoksa değişken midir? 2-26 İçinde ısı iletim denklemi en basit şekilde aşağıdaki gibi verilen bir ortamı göz önüne alınız. rr dd2 TT ddrr 2 + = 0 (a) Isı transferi sürekli midir yoksa zamana mı bağlıdır? (b) Isı transferi tek mi, iki mi yoksa üç mü boyutludur? (c) Ortamda ısı üretimi var mıdır? (d) Ortamın ısıl iletkenliği sabit mi yoksa değişken midir? 2-39 Isıl iletkenliği k, iç yarıçapı rr 1 ve dış yarıçapı rr 2 olan bir küresel tank göz önüne alınız. Sürekli tek boyutlu ısı iletiminde, (a) 50 o C tanımlı sıcaklık, (b) merkeze doğru 30 W/m 2 lik tanımlı ısı akısı, (c) TT sıcaklığındaki ortama h ısı transfer katsayısı ile taşınım durumları için deponun iç yüzeyinde sınır şartlarını tanımlayınız. 1
Küresel Kap Şekil P2-39 2-42 İç yarıçapı rr 1, dış yarıçapı rr 2, ısıl iletkenliği k ve yayıcılığı εε olanbir küresel kabuğu göz önüne alınız. Kabuğun dış yüzeyi ile TT çeeeeeeee sıcaklığındaki çevre yüzeyler arasında ışınım olmaktadır, fakat ısı transferinin doğrultusu bilinmemektedir. Kabuğun dış yüzeyindeki ışınım sınır şartını ifade ediniz. 2-47 Bir borunun içerisinden ortalama TT =70 o C sıcaklıkta su akmaktadır. Borunun iç ve dış yarıçapı sırasıyla rr 1 =6 cm ve rr 2 =6.5 cm dir. Borunun dış yüzeyi, boru uzunluğu başına 300W enerji tüketen bir ince elektrikli ısıtıcı ile sarılmıştır. Isıtıcının açık yüzeyi çok iyi yalıtılmış olup ısıtıcıda üretilen bütün ısı boruya aktarılmaktadır. Isı, borunun iç yüzeyinden suya h=85 W/m 2.K ısı transfer katsayısı ile transfer edilmektedir. Isıl iletkenliğin sabit ve ısı transferinin tek boyutlu olduğunu kabul ederek sürekli işlemde borudaki ısı iletimi probleminin matematiksel formülasyonunu (diferansiyel denklem ve sınır şartları) belirleyiniz. Problemi çözmeyiniz. Yalıtım Elektrikli ısıtıcı Şekil P2-47 2-55 Kalınlığı L=0.4 m, ısı iletkenliği k= 2.3 W/m. o C ve yüzey alanı A=30 m 2 olan geniş bir düzlem duvarı göz önüne alınız. Duvarın sol kenarı TT 1 = 90 o C sabit sıcaklıkta tutulurken, sağ kenarı TT =25 o C sıcaklıktaki çevre havasına h=24 W/m 2. o C ısı transferi katsayısı ile ısı kaybetmektedir. Duvarda ısı üretimi olmadığını ve ısıl iletkenliğin sabit olduğunu kabul ederek, (a) duvar içinden sürekli tek boyutlu ısı iletimi için geçerli diferansiyel denklemi ve sınır şartlarını tanımlayınız, (b) diferansiyel denklemi çözerek duvardaki sıcaklık değişimi için bir bağıntı türetiniz ve (c) duvardan olan ısı transfer hızını hesaplayınız. 2-58 Isıl iletkenliği k=20w/m. o C, taban alanı A=160 cm 2 ve kalınlığı L=0.6 cm olan 800W lık bir ütünün taban plakasını göz önüne alınız. Taban plakasının iç yüzeyinde, içerdeki direnç teli yardımıyla üretilen üniform ısı akısı vardır. Sürekli işlem şartlarına ulaşıldığında plakanın dış yüzeyinin sıcaklığı 85 o C olarak ölçülmüştür. Ütünün üst kısmından olan ısı kaybını ihmal 2
ederek; (a) plakadaki sürekli tek boyutlu ısı iletimi için geçerli diferansiyel denklemi ve sınır şartlarını belirleyiniz, (b) diferansiyel denklemi çözerek tavan plakasında sıcaklık değişimi için bir bağıntı elde ediniz ve (c) iç yüzey sıcaklığını hesaplayınız. Taban plaka 85 o C Şekil P2-58 2-64 Kalınlığı L=0.3 m, ısıl iletkenliği k=2.5w/m. o C ve yüzey alanı 12 m 2 olan geniş bir düzlem duvarı göz önüne alınız. x=0 daki duvarın sol yüzeyinde qq 0=700 W/m 2 lik net ısı akısı vardır ve bu yüzeyde sıcaklık TT 1 =80 o C olarak ölçülmüştür. Duvarda ısıl iletkenliğin sabit olduğunu ve ısı üretimi olmadığını kabul ederek, (a) duvarda sürekli tek boyutlu ısı iletimi için diferansiyel denklemi ve sınır şartlarını ifade ediniz, (b) diferansiyel denklemi çözerek duvardaki sıcaklık değişimi için bir bağıntı elde ediniz ve (c) x=l de duvarın sağ yüzeyindeki sıcaklığı hesaplayınız. 2-75 Isıl iletkenliği k=20 W/m. o C, çapı D=4 mm ve uzunluğu L=0.9 m olan 2 kw lık bir elektrikli direnç teli su kaynatmakta kullanılmaktadır. Eğer direnç telinin dış yüzey sıcaklığı TT ss =110 o C ise telin merkez sıcaklığını hesaplayınız. 110 o C Direnç ısıtıcı Şekil P2-75 2-82 İçinde uniform olarak 5x10 5 W/m 2 hızla ısı üretilen 3 cm kalınlıklı geniş paslanmaz çelik bir plakayı (k=15.1 W/m. o C) göz önüne alınız. Plakanın her iki yüzeyi 60 W/m 2. o C ısı transfer katsayısıyla 30 o C deki bir ortama açıktır. En yüksek ve en düşük sıcaklığın plakanın neresinde meydana geleceğini açıklayınız ve değerlerini hesaplayınız. 3
BÖLÜM 2 ÖRNEK SORULARIN ÇÖZÜMLERİ Genel ısı iletim denklemi, kartezyen, silindirik ve küresel koordinatlar için sırasıyla Denklem 2-38, 2-43ve 2-44 te aşağıdaki gibi verilmiştir. kk + kk + kk + ee ürrrrrrrrrr = ρρρρ 1 kkkk rr + 1 rr 2 1 rr 2 kkrr2 + 1 rr 2 sin 2 θθ kk + kk + ee ürrrrrrrrrr = ρρρρ kk + 1 rr 2 sinθθ kk sinθθ + ee ürrrrrrrrrr = ρρρρ [2.38] [2.43] [2.44] 2-23 (3. ve 4. Basımda soru numaraları aynı) 22 TT xx 2 = 1 αα Basitleştirilmiş formu yukarıdaki gibi verilen ısı iletim denklemine sahip bir ortamda; a) Isı transferi zamana bağımlıdır. (Eşitliğin sağ tarafında görüldüğü üzere sıcaklık zamana bağlı değişim göstermektedir.) b) Isı transferi sadece x- yönüde olup bir boyutludur. c) Ortamda ısı üretimi yoktur. (Denklemde ee ürrrrrrrrrr terimi yoktur.) d) Isıl iletim katsayısı, k sabittir. (Isı iletim denkleminin genel formu göz önüne alındığında; ısı iletim katsayısı, k nın parentez dışına çıkarılıp ısıl yayınım katsayısı αα yı elde edecek şekilde düzenlendiği görülmektedir. Bu da ancak k nın sabit olmasıyla mümkündür.) Kartezyen koordinatlarda yazılmış, içinde ısı üretimi olmayan, sabit ısıl iletim katsayısına sahip ortamda gerçekleşen, zamana bağımlı bir boyutlu ısı iletim denklemidir. 2-24 (3. Basımda) veya 2-26 (4. Basımda) 1 rr dd rrrr + ee ürrrrrrrrrr = 0 Basitleştirilmiş formu yukarıdaki gibi verilen ısı iletim denklemine sahip bir ortamda; a) Isı transferi zamandan bağımsızdır. Sürekli durumda gerçekleşmektedir. (Eşitliğin sağ tarafı sıfıra eşit olup zamana bağlı bir terim yoktur.) b) Isı transferi sadece r- doğrultusunda olup bir boyutludur. c) Ortamda ısı üretimi mevcuttur. (Denklemde ee ürrrrrrrrrr terimi vardır.) 4
d) Ortamın ısıl iletim katsayısı, k değişkendir. (Verilen denklemde parentez dışına çıkarılamadığı görülmektedir. Bu da sabit olmadığı anlamına gelmektedir.) Silindirik koordinatlarda yazılmış, içinde ısı üretimi olan, değişken ısıl iletim katsayısına sahip ortamda gerçekleşen, sürekli bir boyutlu ısı iletim denklemidir. 2-25 (3. Basımda) veya 2-27 (4. Basımda) 1 rr 2 rr2 = 1 αα Basitleştirilmiş formu yukarıdaki gibi verilen ısı iletim denklemine sahip bir ortamda; a) Isı transferi zamana bağımlıdır. (Denklemin sağ tarafında görüldüğü üzere sıcaklık zamana bağlı değişim göstermektedir.) b) Isı transferi sadece r- doğrultusunda olup bir boyutludur. c) Ortamda ısı üretimi yoktur. (Denklemde ee ürrrrrrrrrr terimi yoktur.) d) Isıl iletim katsayısı, k sabittir. (Isı iletim denkleminin genel formu göz önüne alındığında; ısı iletim katsayısı, k nın parentez dışına çıkarılıp ısıl yayınım katsayısı αα yı elde edecek şekilde düzenlendiği görülmektedir. Bu da ancak k nın sabit olmasıyla mümkündür.) Küresel koordinatlarda yazılmış, içinde ısı üretimi olmayan, sabit ısıl iletim katsayısına sahip ortamda gerçekleşen, zamana bağımlı bir boyutlu ısı iletim denklemidir. 2-26 (3. Basımda) veya 2-28 (4. Basımda) rr dd2 TT ddrr 2 + = 0 Basitleştirilmiş formu yukarıdaki gibi verilen ısı iletim denklemine sahip bir ortamda; a) Isı transferi zamandan bağımsızdır. Sürekli durumda gerçekleşmektedir. (Eşitliğin sağ tarafı sıfıra eşit olup zamana bağlı bir terim yoktur.) b) Isı transferi sadece r- doğrultusunda olup bir boyutludur. c) Ortamda ısı üretimi yoktur. (Denklemde ee ürrrrrrrrrr terimi yoktur.) d) Isıl iletim katsayısı, k sabittir. Silindirik koordinatlarda yazılmış, içinde ısı üretimi olmayan, sabit ısıl iletim katsayısına sahip ortamda gerçekleşen, sürekli bir boyutlu ısı iletim denklemidir. 5
2-39 (3. Basımda) veya 2-40 (4. Basımda) İç çapı r1, dış çapı r2 olan ve ısı iletim katsayısı k olarak verilen bir küresel kap bulunmaktadır. Sürekli bir boyutlu ısı iletimi için, kabın iç yüzeyine ait soruda istenen sınır şartları aşağıdaki gibi ifade edilebilir; a) 50 o C de belirli sabit yüzey sıcaklığı: TT(rr 1 ) = 50 o C b) Kabın merkezine doğru belirli sabit yüzey akısı: r yönünde merkezden dışarı doğru pozitif yön olarak kabul edilirse, uygulanan ısı akısının değeri -30 W/m 2 olur. Kabın iç yüzeyinde enerji dengesini yazarsak; EE gggggggggg = EE çıııııııı Burada, yüzeye giren enerji -30 W/m 2 değerindeki ısı akısı olup, yüzeyden çıkan enerji ise iletimle gerçekleşen ısı transferidir. İletimle olan ısı transferinin sabit ısıl iletim katsayısı için qq oo = kk olduğu hatırlanırsa istenen sınır şartı; 30 = kk (rr 1) olarak elde edilir. c) Kabın dış yüzeyi için enerji dengesini yazarsak; EE gggggggggg = EE çıııııııı Burada, dış yüzeye giren enerji kabın iç yüzeyinden iletimle gelen enerji olup değeri: qq iiiiiiiiiiii = kk (rr 2) Dış yüzeyden çıkan enerji ise taşınımla olan ısı transferidir. Newton un soğuma kanunundan qq ttttşıııııııı = h(tt ss TT ) Burada TT ss ifadesi TT(rr 2 ) ye eşittir. Dolayısıyla enerji dengesinden; elde edilir. kk (rr 2) = h[tt(rr 2 ) TT )] 6
2-42 (3. Basımda) veya 2-43 (4. Basımda) İç çapı r1, dış çapı r2 olan ve ısıl iletim katsayısı k olarak verilen bir küresel kabuk bulunmaktadır. Tçevre Kabuğun dış yüzeyi, çevre sıcaklığı Tçevre olan ortama ışınımla ısı yaymaktadır. Taşınımla olan ısı transferi ihmal edilebilir. Küresel kabukta, sadece radyal yönde ısı transferi söz konusudur. Kabuğun dış yüzeyi için enerji dengesi göz önüne alınırsa, dış yüzeye iletimle gelen ısı transferi yüzeyden ışınımla olan ısı transferine eşittir. Matematiksel olarak ifade edilirse; qq iiiiiiiiiiii = qq ıışıııııııı bulunur. kk (rr 2) 2-47 (3. Basımda) veya 2-50 (4. Basımda) = εεεε TT(rr 2 ) 4 4 TT çeeeeeeee Dış yüzeyi ince elektrik ısıtıcı ile sarılmış olan bir borunun içerisinden su akmaktadır. Borunun birim uzunluğu başına ısıtıcının gücü 300 W tır. Isıtıcının dış yüzeyi yalıtılmış olduğundan üretilen ısının tamamı boruya transfer edilmektedir. Borunun iç yüzeyinden boru içerisinde akan suya ısı transferi taşınımla gerçekleşmektedir. Sabit ısıl iletim katsayısı ve bir boyutlu sürekli ısı transferi kabulü yaparak boru için ısı iletim denkleminin matematiksel ifadesinin elde edilmesi istenmektedir. Boru içerisinde ısı üretimi yoktur. Silindirik koordinatlarda, sürekli bir boyutlu ısı iletim denklemi diferansiyel şekliyle aşağıdaki gibi yazılabilir; Sınır şartları; dd rr = 0 7
Borunun dış yüzeyi, r=r2, düzgün sabit ısı akısına maruz bırakılmaktadır. Bu ısı iletimle borunun iç yüzeyine aktarılmaktadır. Dış yüzey için enerji dengesinden; qq ss = kk (rr 2) qq ss = QQ ss = QQ ss AA ss 2ππrr 2 LL = 300 = 734.6 WW/mm2 2ππ(0.065)(1) 734.6 = kk (rr 2) (qq ss, borunun merkezine doğru olduğundan eksi işaretli olarak alındı.) Borunun iç yüzeyinde, r=r1, enerji dengesi yazılırsa; elde edilir. kk (rr 1) = h[tt(rr 1 ) TT ] = 85[TT(rr 1 ) 70] 2-55 (3. Basımda) veya 2-58 (4. Basımda) 0 L Geniş bir duvarın sol yüzeyi T1=90 o C de sabit sıcaklıkta tutulup, sağ yüzeyinden sıcaklığı TT = 25 o C ve ısı taşınım katsayısı 24 W/m 2 o C olan ortam havasına taşınımla ısı transferi gerçekleşmektedir. Duvar için sürekli tek boyutlu ısı iletim denkleminin çıkarımı ve sınır şartlarının tanımı istenmektedir. Elde edilen diferensiyel denklemin sınır şartları dikkate alınarak çözümü ve böylelikle duvar içerisinde sıcaklık dağılımı için bir bağıntının bulunması istenmektedir. Ayrıca, duvardan olan ısı transferi miktarı sorulmaktadır. Öncelikle, problem sürekli tek boyutlu ısı iletim problemidir. Duvarın ısıl iletim katsayısı sabit olup değeri k=2.3 W/m o C olarak verilmiştir. Duvar içerisinde ısı üretimi söz konusu değildir. Duvarın yüzey alanı ve kalınlığı sırasıyla A= 30 m 2 ve L=0.4 m olarak verilmiştir. a) İlk olarak, duvar yüzeyine dik yön, x doğrultusu olarak alınmış olup duvarın sol yüzeyi x=0 olarak kabul edilmiştir. Sürekli tek boyutlu içinde ısı üretimi olmayan sabit ısıl iletim katsayılı duvar için ısı iletim denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir; 8
Sınır şartları; dd 22 TT ddxx 2 = 0 xx = 0 bbbbbbbbbbbbbb ssssssssss yyüzzzzzz ssssssssssssssğıı TT = 90, TT(0) = TT 1 = 90 xx = LL yüzey için enerji dengesinden, yüzeye iletimle gelen ısı tranferi yüzeyden ortama taşınımla olan ısı transferine eşittir. Matematiksel olarak; şeklinde yazılabilir. kk (LL) = h[tt(ll) TT ] b) Isı iletim diferansiyel denklemini iki kez integre edersek; = CC 1 TT(xx) = CC 1 xx + CC 2 CC 1 ve CC 2 rastgele integral sabitleri olup, değerleri sınır şartları uygulanarak elde edilir. Sınır şartlarını uygularsak; xx = 0: TT(0) = CC 1. (0) + CC 2 CC 2 = TT 1 xx = LL: kkcc 1 = h[(cc 1 LL + CC 2 ) TT ] CC 1 = h(cc 2 TT ) kk + hll CC 1 = h(tt 1 TT ) kk + hll Bulunan CC 1 ve CC 2 değerlerini genel sıcaklık denkleminden yerine yazılırsa, duvar içerisinde sıcaklık değişimini veren bir denklem elde edilmiş olur; TT(xx) = h(tt 1 TT ) xx + TT kk + hll 1 Bu denklemde, verilen değerler yerine yazılırsa; (24)(90 25) TT(xx) = xx + 90 2.3 + (24)(0.4) TT(xx) = 90 131.1xx Duvar içeridindeki sıcaklık dağılımı denklemi bulunmuş olur. c) Duvardan olan ısı transfer hızı; QQ dd = kkkk = kkkkcc 1 = kkkk h(tt 1 TT ) kk + hll (24)(90 25) = (2.3)(20) 2.3 + (24)(0.4) = 9045 WW olarak bulunur. 9
2-58 (3. Basımda) veya 2-61 (4. Basımda) 800 W lık bir ütünün taban plakasının üniform sabit ısı akısına maruz kalmaktadır. Diğer yüzeyi 85 o C sabit sıcaklıktadır. QQ 0 = 800WW Taban plaka 85 o C Plaka için sürekli tek boyutlu ısı iletimi diferansiyel denklemin ve sınır şartların yazılması istenmektedir. Bulunan diferansiyel denklemin çözümü yapılarak plaka içerisindeki sıcaklık değişimi için bir bağıntının çıkarılması istenmektedir. Ayrıca, plakanın iç yüzey sıcaklığının değeri sorulmaktadır. Zamana bağlı değişim olmadığından problem süreklidir. Ütünün taban plakasının yüzey alanı kalınlığına göre oldukça büyük olduğundan ısı transferi tek boyutludur ve plakanın her iki yüzeyindeki ısıl şartlar üniformdur. Ütünün üst kısmından olan ısı kayıpları ihmal edilmiştir. Plakanın ısıl iletkenliği sabit olup 20 W/m o C olarak verilmiştir. Plaka içerisinde ısı üretimi yoktur. Plakanın taban alanı ve kalınlığı sırasıyla soruda 160 cm 2 ve 0.6 cm olarak verilmiştir. Plakanın elektrikli ısıtıcıya bakan iç yüzeyi çok iyi yalıtıldığından, resistansta üretilen ısının tamamı plakaya transfer edilir. Plakanın iç yüzeyindeki ısı akısının değeri; qq oo = QQ 0 800 = = 50000 WW mm2 bulunur. AA tttttttttt 160xx10 4 a) Taban plaka yüzeyine dik yön, x doğrultusu olarak alınmış olup duvarın sol yüzeyi x=0 olarak kabul edilmiştir. Sürekli tek boyutlu içinde ısı üretimi olmayan sabit ısıl iletim katsayılı plaka için ısı iletim denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir; Sınır şartları; dd 22 TT ddxx 2 = 0 xx = 0 da yüzey enerji dengesi göz önüne alındığında, elektrikli resistansta üretilen ısı akısının tamamı (mükemmel yalıtımdan dolayı) plakanın iç yüzeyine aktarılır ve buradan iletimle dış yüzeye doğru transfer edilir. Matematiksel olarak; EE gggggggggg = EE çıııııııı qq 0 = kk (0) = 50000 WW/mm2 10
xx = LL de sabit yüzey sıcaklığı sınır şartı verilmiştir. Dolayısıyla, şeklinde ifade edilebilir. TT(LL) = TT 2 = 85 b) Isı iletim diferansiyel denklemini iki kez integre edersek; = CC 1 TT(xx) = CC 1 xx + CC 2 CC 1 ve CC 2 rastgele integral sabitleri olup, değerleri sınır şartları uygulanarak elde edilir. Sınır şartlarını uygularsak; xx = 0: xx = LL: qq 0 = kk (0) = kkkk 1 CC 1 = qq 0 kk TT(LL) = CC 1 LL + CC 2 = TT 2 CC 2 = TT 2 CC 1 LL CC 2 = TT 2 + qq 0LL kk Bulunan CC 1 ve CC 2 değerlerini genel sıcaklık denkleminden yerine yazılırsa, plaka içerisinde sıcaklık değişimini veren bir denklem elde edilmiş olur; TT(xx) = qq 0 kk xx + TT 2 + qq 0LL kk = qq 0(LL xx) + TT kk 2 (50000)(0.006 xx) = + 85 20 TT(xx) = 2500(0.006 xx) + 85 c) Plakanın iç yüzey sıcaklığı, yani x=0 daki yüzey sıcaklığı, plaka içerisindeki sıcaklık değişimini veren denklemden: TT(0) = 2500(0.006 0) + 85 = 100 olarak bulunur. 2-64 (3. Basımda) Geniş bir düzlem duvarın sol yüzeyinden, x=0, 700 W/m 2 lik qq 0 = 700WW/mm 2 TT 1 = 80 sabit ısı akısı uygulanmakta ve bu yüzeyin sıcaklığı 80 0 C olarak verilmektedir. Duvar içerisinde ısı üretimi yoktur. Duvarın ısıl iletkenliği sabit olup 2.5 W/m olarak verilmiştir. Duvarda sürekli tek boyutlu ısı iletimi için diferansiyel denklemin ve sınır şartlarının yazılması istenmektedir. Daha sonra bu diferansiyel denklemin çözülerek duvardaki sıcaklık dağılımı için bir bağıntı elde edilmesi istenmektedir. Son olarak, duvarın sağ yüzeyindeki, x=l de, sıcaklığın değeri sorulmaktadır. 11
a) İlk olarak, duvar yüzeyine dik yön, x doğrultusu olarak alınmış olup duvarın sol yüzeyi x=0 olarak kabul edilmiştir. Sürekli tek boyutlu içinde ısı üretimi olmayan sabit ısıl iletim katsayılı duvar için ısı iletim denklemi matematiksel olarak aşağıdaki gibi yazılabilir; dd 22 TT ddxx 2 = 0 Sınır şartları: x=0 da yüzey sıcaklığı ve sabit ısı akısı değeri bilinmektedir. x=0 daki yüzey enerji dengesinden; TT(0) = TT 1 = 80 qq 0 = kk (0) = 700 WW/mm2 yazılır. b) Isı iletim diferansiyel denklemini iki kez integre edersek; = CC 1 TT(xx) = CC 1 xx + CC 2 CC 1 ve CC 2 rastgele integral sabitleri olup, değerleri sınır şartları uygulanarak elde edilir. Sınır şartlarını uygularsak; xx = 0 ssssssssss ıııııı aaaaaaaaaa: kk (0) = kkcc 1 = qq 0 CC 1 = qq 0 kk xx = 0 ssssssssss yyüzzzzzz ssssssssssssssğıı: TT(0) = CC 1. (0) + CC 2 = TT 1 CC 2 = TT 1 Bulunan CC 1 ve CC 2 değerlerini genel sıcaklık denkleminden yerine yazılırsa, duvar içerisindeki sıcaklık değişimini veren bir denklem elde edilmiş olur; TT(xx) = qq 0 kk xx + TT 1 = 700 xx + 80 2.5 TT(xx) = 280xx + 80 c) x=l deki, duvarın sağ yüzeyindeki, sıcaklık değeri; 2-75 (3. Basımda) veya 2-80 (4. Basımda) TT(LL) = 280(0.3) + 80 = 4 bulunur. Isıl iletkenliği k=20 W/m, çapı D=4 mm ve uzunluğu L=0.9 m olan 2 kw lık bir elektrikli direnç teli su kaynatmak için kullanılmaktadır. Telin dış yüzeyi Ts=110 0 C sabit sıcaklıkta tutulmaktadır. Telin merkezindeki sıcaklık değerinin bulunması istenmektedir. Zamanla değişim söz konusu olmadığından problem sürekli rejim şartlarındadır. Silindirin merkez ekseni etrafında ısıl simetri olduğu ve eksenel 12
doğrultuda değişim olmadığı için ısı transferi tek boyutludur. Isıl iletkenlik sabittir ve direçli teldeki ısı üretimi üniformdur. Bir silindirin merkez ekseninin sıcaklığı Denklem 2.71 den bulunur; TT oo = TT ss + ee ürrrrrrrrrrrr 0 2 4kk [2.71] Burada, TT oo silindir eksen sıcaklığı, TT ss silindir yüzey sıcaklığı, ee ürrrrrrrrrr birim hacim başına elektrikli telin ürettiği ısıdır ve değeri; ee ürrrrrrrrmm = EE ürrrrrrrrrr VV tttttt EE ürrrrrrrrrr değeri soruda 2 kw olarak verilmişti. VV tttttt, silindirin hacmi olup ππrr 0 2 LL ifadesine eşittir. Verilen değerler yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa; ee ürrrrrrrrrr = 2000 ππ(0.002) 2 (0.9) = 1.768x108 WW mm 3 bulunur. Bu değer Denklem 2.71 de yerine yazılıp çözülürse silindir eksen sıcaklığı TT oo ; TT oo = TT ss + ee ürrrrrrrrrrrr 0 2 4kk 2-82 (3. Basımda) veya 2-87 (4. Basımda) = 110 + (1.768x108 )(0.002) 2 4(20) = 118.8 bulunur. İçerisinde üniform olarak 5x10 5 W/m 3 hızla ısı üretilen 3 cm kalınlıkta ısıl iletkenliği sabit 15.1W/m o C olan geniş paslanmaz çelik bir plaka mevcuttur. Plaka her iki yüzeyinden ısı transfer katsayısı 60 W/m 2 o C olan 30 o C sıcaklığındaki ortamla taşınımla ısı transferi gerçekleştirmektedir. En yüksek ve en düşük sıcaklığın plakanın neresinde meydana geleceğinin açıklanması istenmekte ve bu değerlerin hesaplanması sorulmaktadır. Zamanla değişim olmadığı için ısı transferi süreklidir. Plaka yüzey alanı kalınlığına göre çok geniş ve plakanın merkez düzlemi etrafında ısıl simetri olduğundan ısı transferi tek boyutludur. Paslanmaz çelik plakanın ısıl iletkenliği sabit olup, plaka içerisindeki ısı üretimi üniformdur. 13
En düşük sıcaklık değeri plakanın dış yüzeyinde olurken, en yüksek sıcaklık değeri plakanın orta düzleminde yani simetri düzleminde elde edilir. Minumum ve maksimum sıcaklık değerleri sırasıyla Denklem 2.67 ve 2.71 kullanılarak hesaplanır. MMMMMMMMMMMMMM ssssssssssssssss ğeeeeii: TT ss = TT + ee ürrrrrrrrrrll h MMMMMMMMMMMMMMMM ssssssssssssssss ğeeeeee: TT 0 = TT ss + ee ürrrrrrrrrrll2 2kk = 30 + (5x105 )(0.015) 60 = 155 + (5x105 )(0.015) 2 2(15.1) = 155 [2.67] = 158.7 [2.71] NOT: Yukarıda çözümleri yapılan problemler 3. Basımdaki verilere göre çözülmüştür. Bazı soruların 4. Basımdaki muadillerinde verilen değerler farklı olabilir. Ayrıca, Problem 2-82 (3. Basımda) veya 2-87 (4. Basımda) de üniform ısı üretim değeri (ee ürrrrrrrrrr) yanlış verilmiştir. ee ürrrrrrrrrr =5x10 5 W/m 3 olmalıdır. Çözüm bu değer alınarak yapılmıştır. 14