IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R
Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık karı hesapla 140 120 100 80 60 40 20 Aylık karın histogramı 0-100 -80-60 -40-20 0 20 40 60 80 100
Geçen Ders Olay çizelgeleme Algoritması: Her olay anında gelecekteki olaylar üretilir ve Gelecek Olay Listesine yazılır. Herhangi bir t anında GOL daha önce çizelgelenmiş olayları ve onların oluşma zamanlarını içerir. Adım 1: Bir sonraki olayı GOL den çıkar. Adım 2: SAAT i bir sonraki olayın zamanına ilerlet. Adım 3: Bir sonraki olayı oluştur; sistemi güncelle. Adım 4: Gelecekteki olayları yarat ve GOL e ekle... Adım 5: Kümülatif istatistik ve sayaçları güncelle
Ders 4: İçerik Rastsal olaylar ve olasılık konsepti Dağılım fonksiyonu Beklenen değer, varyans ve momentler Kesikli dağılımlar
Rastsallık ve Olasılık Gelecek belirsizdir. Dolayısıyla gelecekteki olaylar ancak gerçekleşme olasılıklarıyla değerlendirilebilir Örnek: Sıradan bir zarın atılmasında hangi rakam üste gelecektir? Olası sonuçlar: {1,2,3,4,5,6} Herbir sonucun gerçekleşme olasılığı nedir??
Rastsallık ve Olasılık Örnek: Uçakların iniş takımları sabit yüke maruz kalmaktadır ve bu yüzden bakım yapılmalıdır. Eğer bugün bir iniş takımının bakımı yapıldıysa bir sonraki bozulma ne zaman gerçekleşir?
Rastsallık ve Olasılık Örnek: Birçok ülke deniz aşırı ruzgar tarlaları kullanarak elektrik üretmektedir Herbir bozulma için bakım ekibi ve yedek parça göndermek çok maliyetlidir Princess Amalia Wind Farm (NL) Türbin parçalarının kalan ömürlerini kontrol ederek bozulma gerçekleşmeden değişimlerin yapılması ile en etkin bakım sağlanabilir.
Rastsal Değişken X rastsal bir değişken olsun. Eğer X in alabileceği değerler sonlu veya sayılabilir sonsuz ise X e kesikli rastsal değişken denir. X in tanımlı olduğu aralık R x, ve olası değerler aşağıdaki gibi olsun R x ={x 1, x 2, x 3,, x n } X in x 1, e eşit olma olasılığı Pr{X=x 1 }, şunları sağlamalıdır:
Dağılım ise (x i,p i ), i=1,2, ikili değerleri x değişkeninin dağılımıdır. Örnek: Hileli bir zarın tekrarlı bir şekilde atıldığı bir deney düşünelim. Deneyin muhtemel sonuçları R x ={1,2,3,4,5,6}. Her bir sonucun gelme olasılığı ise x i 1 2 3 4 5 6 P(x i ) 1/21 2/21 3/21 4/21 5/2 6/21 Olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi gerçekleşir 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6
Dağılım Eğer X değişkenin alabileceği sayıların seti R X bir aralıksa (sınırlı veya sınırsız) veya aralıkların birleşimi ise, X sürekli bir değişkendir. Sürekli değişken X için [a, b] aralığında değer alma olasılığı ile verilir. Probability density fucntion (pdf) aşağıdaki koşulları sağlar: Pr{X=x 0 }=0!!. Neden??
Dağılım Eğer bir aletin kullanım ömrü sürekli rassal bir değişken olan X ile tanımlanır. Yaşam süresinin dağılımı aşağıdaki gibi olabilir: X, ortalaması 2 olan üssek dağılımdır.
Olasılık Dağılımı Aletin yaşam süresinin 2 ile 3 yıl arasında olma olasılığı 0.15 dir.
Kümülatif Dağılım Kümülatif dağılım fonksiyonu, F(x), rassal değişkenin x veya daha küçük değerler alma olasılığını verir. Eğer X kesikli dağılıma sahipse Eğer X sürekli dağılıma sahipse Kümülatif dağılımın bazı özellikleri 1. F(x) azalmayan bir fonksiyondur: 2. 3.
Cumulative Distribution Hileli Zar örneğinde kümülatif dağılım fonk.
Aletin kullanım ömrü örneğinde Cumulative Distribution
Beklenen Değer ve Varyans Beklenen değer şu şekilde tanımlanır: Eğer X kesikli ise Eğer X sürekli ise Varyans ise beklenen değer etrafındaki saçılmadır: Yüklü zar örneğindeki beklenen değer nedir? Bu deneyden ne kadarlık bir değişkenlik (varyans) beklenmelidir?
Beklenen Değer ve Varyans Hatırlarsanız Normal Dağılım iki parametre alır: ortalama (μ) and standard sapma (σ) Norm(0,1) vs. Norm(3,1) Norm(0,1) vs. Norm(0,2) & Norm(0,3)
Beklenen Değer ve Varyans Normal dağılım için Beklenen değer lokasyon parametresidir std. sapma is a ölçü parametresidir. Lokasyon parametresi dağılımın lokasyonunu verir. Ölçü parametresi dağılımın saçılımını verir.
Beklenen Değer ve Varyans Beklenen değerin temel özellikleri:
Beklenen Değer ve Varyans Varyansın temel özellikleri:
Dağılımın Momentleri Bir dağılımın n inci momenti aşağıdaki gibi hesaplanır: Eğer dağılım kesikli ise Eğer dağılım sürekli ise Dağılımların momentleri parametre tahmini stokastik modellemede kullanılır
Kesikli Dağılımlar Biz olasılık ve simulasyonda kesikli değişkenler için bazı kesikli dağılımlar kullanırız: Bernoulli Distribution Binomial Distribution Geometric Distribution Negative Binomial Distribution Poisson Distribution
Bernoulli Dağılımı Kesikli Dağılımlar
Kesikli Dağılımlar Örnek: Varsayslım ki bir kahve dükkanı çalıştırıyorsunuz ve sadece Amerikano satıyorsunuz. Bir miktar gözlemden sonra ortalamada dükkanın önünden geçen her 3 müşteriden birinin dükkanınıza girdiğini fark ettiniz Her bir müşteri için dükkana girme olasılığı Bernoulli dağılımı olarak bilinir: p=1/3. Example: Bir montaj hattından sorumlu mühendis olarak montaj hattının her 5 günde bir bozulduğunu tespit ettiniz. Her yeni günde montaj hattının bozulma olasılığı Bernoulli dağılımı izler: p=1/5.
Kesikli Dağılımlar Binom dağılımı özdeş Bernoulli dağılımlarının toplamıdır: Beklenen Değer: Varyans:
Kesikli Dağılımlar Geometrik dağılım, özdeş Bernoulli deneylerinde ilk başarıyı yakalayıncaya kadar geçen deney sayısıdır: where Kahve dükkanı örneğinde Geometrik dağılım? Montaj hattı örneğinde geometrik dağılım?
Kesikli Dağılımlar Negatif Binom Dağılımı, sıralı Bernoulli deneylerinde k başarı yakalınıncaya kadar geçen deney sayısıdır:
Kesikli Dağılımlar Geometric vs Negative Binomial Distr. Negatif Binom prosesi, tekrar dene geoemetrik dağılım prosesidir.
Kesikli Dağılımlar Poisson dağılımı gelişler arası sürenin üssel dağılım gösterdiği varışları sayar.
Kesikli Dağılımlar
Kesikli Dağılımlar Dağılımları anlamanın iyi bir yolu da onları simule etmektir: Burada dağılım parametresi nedir?
Kesikli Dağılımlar Kırmızı boyalı çubuğun anlamı nedir? X~ Binom (10,0.5) Pr{X=6}= 0.2050781 https://mhekimoglushinyapps.shin yapps.io/discretedistr/
Discrete Distributions Although the x-axes of histograms changes, it shows the variance of the distribution. Recall that if X~ Geom(p),
Kesikli Dağılımlar
Ders 4 Sonu Next Lecture: Continuous Distributions, Maximum Likelihood Estimation, Convolution and Examples