Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. J. Fac. Eng. Ach. Gazi Univ. Cilt 8, No 4, 33-44, 003 Vol 8, No 4, 33-44, 003 ÜNİFORM OLMAYAN İÇ ISI ÜRETİMİ ETKİSİNDE UÇLARI SABİT BİR SİLİNDİRDE ELASTİK-PLASTİK GERİLME ANALİZİ Müfit GÜLGEÇ Makina Mühendisliği Bölümü, Mühendislik-Mimalık Fakültesi, Gazi Ünivesitesi, Maltee, 06570 ANKARA mgulgec@gazi.edu.t ÖZET Bu çalışmada, uçlaı sabit bi silindide ünifom olmayan iç ısı üetimi nedeniyle oluşan elastik-lastik geilme dağılımlaı incelenmişti. Ünifom olmayan iç ısı üetim miktaı q (, silindiin yaıçaının fonksiyonu olaak [ n( b ] s q ( = q0 şeklinde alınmıştı. Bu ifadede q 0, n ve s sabit katsayıladı. Analiz, Tesca akma şatı ve yadımcı akış kualına dayanmaktadı. Analize göe iç ısı üetimi miktaı atııldığında silindi içeisinde üç faklı lastik bölge oluşmaktadı. Çalışmada ünifom olmayan iç ısı üetimi için sayısal sonuçla elde edili, ünifom iç ısı üetimi duumu ile kaşılaştıma yaılmıştı. Anahta Kelimele: Ünifom olmayan iç ısı kaynağı, içi dolu silindi, Tesca akma şatı ELASTIC-PLASTIC STRESS ANALYSIS OF A FIXED-END CYLINDER SUBJECTED TO NON-UNIFORM HEAT SOURCE ABSTRACT The elastic-lastic stess distibution of a solid cylinde with fixed-ends subjected to non-unifom heat souce is investigated in this study. The nonunifom heat geneation ate q ( is taken to be a function of the adial osition in the fom [ n( b ] s q ( = q0, whee b denotes adius of the cylinde; q 0, n and s ae constants. The analysis is based on Tesca s yield condition and the associated flow ule. Accoding to this analysis, thee diffeent lastic egions occu. The solution is illustated by numeical esults and is comaed with unifom heat geneation case. Keywods: Non-unifom heat souce, solid cylinde, Tesca s yield condition
M. Gülgeç Ünifom Olmayan İç Isı Üetimi Etkisinde Uçlaı Sabit Bi Silindide Elastik-Plastik.... GİRİŞ Ünifom olmayan sıcaklık dağılımının etkisi altındaki cisimlede oluşan temal geilmele ile ek çok mühendislik tasaımında kaşılaşılmaktadı. Geniş uygulama alanına önek olaak nüklee füzyonla iç ısı enejisinin üetildiği nüklee yakıt elemanlaı veilebili. Mühendislikteki önemi nedeniyle içi boş ve dolu silindiik çubuklaın faklı uç şatlaı ve faklı sıcaklık dağılımı etkisindeki elastik-lastik geilme analizi ek çok bilimsel çalışmanın konusu olmuştu. Bu çalışma ile ilgili daha önce yaılan çalışmala aşağıda özetlenmişti. Oçan [] çalışmasında, uçlaı sebest, ünifom iç ısı üetimi etkisindeki bi silindi için elastik-lastik geilme dağılımlaını belilemişti. Uçlaı sebest ve sabit tüledeki iç ısı üetimi nedeniyle oluşan elastik-lastik geilme dağılımlaı Gülgeç ve Oçan [,3] taafından incelenmişti. Bu iki çalışmada tüün akma dayanımı sıcaklığın linee fonksiyonu olaak alınmış diğe malzeme özellikleinin ise sıcaklık nedeniyle değişmediği vasayılmıştı. Uçlaı sabit, ünifom iç ısı üetimi etkisinde bi silindide elastik lastik geilme analizi Gülgeç [4] taafından yaılmış, bu çalışmada da akma dayanımı sıcaklığın linee fonksiyonu olaak alınmıştı. Bu çalışmada ise uçlaı sabit, içeisinde ünifom olmayan iç ısı üetimi olan bi silindi için elastik-lastik geilme analizi yaılmıştı. Çalışmanın amacı unifom olmayan iç ısı üetiminin akmaya, geilme, lastik biim şekil değiştime ve adyal delasman dağılımına olan etkisini incelemekti. Ünifom olmayan iç ısı üetim s miktaı q (, silindiin yaıçaının fonksiyonu olaak q ( = q0 [ n( b ] şeklinde alınmıştı. Bu fonksiyonda, n ve s katsayılaı değiştiileek faklı iç ısı üetim duumlaı elde edilebili. Öneğin n = 0 olaak alındığında ünifom iç ısı üetimi, n =, s = alındığında silindiin mekezinden dışına doğu linee olaak azalan iç ısı üetimi ve n =, s = alındığında ise silindiin mekezinden dışına doğu aabolik olaak azalan iç ısı üetimi elde edilebili.. TEMEL DENKLEMLER T ( sıcaklık dağılımı etkisinde uçlaı sabit ( ε z = 0 bi silindiik çubuk için elastik delasman ve geilme bileşenlei aşağıdaki gibi yazılabili [4]. ( ν C ν = T E α θ ν ν E ( ν ( C u ( Eα C C σ = θ ( ν 34 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 8, No 4, 003
Ünifom Olmayan İç Isı Üetimi Etkisinde Uçlaı Sabit Bi Silindide Elastik-Plastik... M. Gülgeç Eα C C σ θ = ( θ T (3 ν Eα σ z = T νc (4 ν Bu ifadelede θ : = Td olaak tanımlanmıştı. C ve C integal sabitlei 0 adyal delasmanın silindi ekseninde sonlu olması ve silindiin dış yüzeyinde ( = b σ nin sıfı olması şatlaı kullanılaak aşağıdaki gibi bulunabili. Eα C = θ ( b, C = 0 (5 ν C ifadesinde θ : = Td olaak tanımlanmıştı. Bu çalışmada ünifom olmayan 0 iç ısı üetimi miktaı q (, silindiin ekseninden olan uzaklığın ( fonksiyonu olaak aşağıdaki gibi alınmıştı: s q ( = q0 n (6 b Bu ifadede q 0 silindi sentoid eksenindeki iç ısı üetim miktaını, b silindiin yaıçaını göstemekte olu, n ve s sabit katsayıladı. İç ısı üetimi etkisinde tek boyutlu kaalı ısı akışı d dt ( q ( = 0 (7 d d λ denklemi ile veili [5]. = 0 da dt ( d = 0 ve = b de T ( = 0 sını şatlaı kullanılaak, kaalı sıcaklık dağılımı q 0 b 4n = s T ( ( (8 4λ b ( s b şeklinde elde edilebili. Bu ifadede λ ısı iletim katsayısıdı. (5 ile veilen C ve C integal sabitlei ve yukaıda veilen sıcaklık dağılımı denklemi, (-(4 te yeine konulaak, elastik duum için adyal delasman ve geilme ifadelei elde edili. Silindi içeisindeki iç ısı üetim miktaı atııldıkça silindi içeisindeki Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 8, No 4, 003 35
M. Gülgeç Ünifom Olmayan İç Isı Üetimi Etkisinde Uçlaı Sabit Bi Silindide Elastik-Plastik... sıcaklıkta atacak ve q = q olduğunda silindiin ekseninde akma başlayacaktı. Bu iç ısı üetimi değeinde silindiin ekseninde geilmele σ = σθ > σ z eşitsizliğini sağla. Tesca akma kiteine göe ( 0 σ ( 0 = σ ( 0 σ z ( 0 σ 0 σ θ z = (9 şatı sağlandığında silindiin mekezinde akma başla. Elde edilen elastik geilme ifadelei (9 denkleminde yeine yazılısa silindiin mekezinde akmanın başlamasına neden olan iç ısı üetimi miktaı 6( ν ( s ( s 4 ( s ( s 4 6n[ ( ν ( ν ( s 4 ] v q = (0 (3 ν şeklinde elde edilebili. Bu ifadede silindiin ekseninde akmaya neden olan boyutsuz iç ısı üetimi miktaı q (boyutsuz yük aametesi q = Eαq b σ 0λ olaak tanımlanmıştı. İç ısı üetimi miktaının sabit olması duumunda ( n = 0 akma 6( ν q v = ( (3 ν değeinde başlamakta n > 0 olduğunda ise akma ( ile veilen yük aametesinden daha büyük yük aameteleinde başlamaktadı. Boyutsuz yük aametesi q den daha yüksek bi değee attııldığında silindi ekseninde bi başka lastik bölge daha oluşmakta, yük aametesi daha da attııldığında silindiin yüzeyinde üçüncü lastik bölge meydana gelmektedi. Aşağıda bu lastik bölgele için geilme, adyal delasman ve lastik biim şekil değiştime ifadelei elde edilecekti. Plastik Bölge I : 0 < Bu lastik bölgede, Tesca akma şatı aşağıdaki şekilde yazılabili; σ σ = σ z 0 ( βt, σ z = σ ( βt Denge denklemi ve akma şatı kullanılaak geilme bileşenlei σ θ 0. ( σ θ = σ = C 3 (3 σ z = C3 σ 0( βt (4 şeklinde bulunabili. Plastik sıkıştıılamazlık şatı kullanılaak, tolam biim şekil değiştime bileşenlei elastik, lastik ve temal bileşenleinin tolamı şeklinde yazılısa adyal delasman cinsinden aşağıdaki difeansiyel denklem yazılabili; 36 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 8, No 4, 003
Ünifom Olmayan İç Isı Üetimi Etkisinde Uçlaı Sabit Bi Silindide Elastik-Plastik... M. Gülgeç du d ( ν [ 3 C σ ] 3α T u = 3 0 (5 E Bu difeansiyel denklemin genel çözümü C Eu = ( ν [ 3C3 σ 0 ] 4 3Eαθ (6 olu, tolam biim şekil değiştime ifadeleinden elastik ve temal biim şekil değiştime bileşenleini çıkaaak lastik biim şekil değiştime ifadelei ε [( ν C σ ] Eα( 3 T (7 E = 3 0 θ E ε θ = [( ν C3 σ 0 ] Eα ( 3θ T (8 [( ν C σ ] EαT Eε z = 3 0 (9 şeklinde elde edilebili. Plastik Bölge II : < < Bu bölgede σ z < σ < σθ eşitsizliğinden dolayı Tesca akma şatı σ θ σ z = σ 0 (0 şeklinde yazılabili. Akma şatı ile yadımcı akış kualı bilikte değelendiildiğinde, lastik biim şekil değiştime bileşenlei aasında aşağıdaki bağıntıla elde edilebili; z dε θ dε = dε = 0 ( ( ε d ε = d ϑ uygunluk denkleminde ε ve ε θ biim şekil değiştime ifadeleinin geilmele cinsinden kaşılıklaı yazılaak, (0 akma şatı ve denge denklemi kullanılısa σ için aşağıdaki difeansiyel denklem elde edilebili; θ d σθ d dσ 3 d θ Bu denklemin çözümü σ θ = C M 5 C ( ν ( ( dt d T σθ = σ 0 Eα T 5 ν ν d d M 6 Eα 4 ( [( ( ] 0 M θ M θ 4T ν ( ν σ ( (3 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 8, No 4, 003 37
M. Gülgeç Ünifom Olmayan İç Isı Üetimi Etkisinde Uçlaı Sabit Bi Silindide Elastik-Plastik... olaak bulunabili. Bu denklemde, M : = olaak tanımlanmıştı. ν ( M M M θ : = T d, : M θ = T d, σ θ teğetsel geilme bileşeni bulunduktan sona, denge denklemi ve akma şatı kullanılaak σ ve σ aşağıdaki gibi bulunabili; z α σ σ M M E = { C5 C6 0 (4 M 4 ( [( M θ ( θ ] M ν ( ν M M Eα ν σ z = C5 C6 σ 0 (5 4 ( [( M θ ( ] M θ 4T ν ( ν Daha sona adyal delasman ve lastik biim şekil değiştime bileşenlei ν M M Eu = ν C5 Eαθ ( M 4 ν ν M M ν C6 Eαθ ( ( ν σ 0 M 4 ν ν M M Eε θ = Eε z = ν C5 Eαθ ( M 4 ν ν M M ν C6 Eαθ ( M 4 ν olaak elde edilebili. (6 (7 Plastik Bölge III : < b 3 Silindiin dışında oluşan bu lastik bölgede geilme bileşenlei eşitsizliğini sağla ve Tesca akma şatı σ θ > σ z > σ σ θ σ = σ 0 (8 şeklinde yazılabili. Denge denklemi intege edilise adyal ve teğetsel geilme bileşenlei aşağıdaki gibi elde edili. σ = σ 0 ln C 7, (9 ( C7 σ θ = σ 0 ln. (30 38 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 8, No 4, 003
Ünifom Olmayan İç Isı Üetimi Etkisinde Uçlaı Sabit Bi Silindide Elastik-Plastik... M. Gülgeç Akış kualından lastik biim şekil değiştime bileşenlei aasında dε dεθ = dε z = 0 (3 e bağıntılaı bulunabili. ε z = 0 olduğu da dikkate alınaak eksenel geilme bileşeni bulunabili. σ ν [ σ ( ln C ] EαT z = 0 7 (3 Biim şekil değiştime bileşenleini elastik, lastik ve temal bileşenleinin tolamı olaak yazmak mümkündü. Bu işlemi adyal ve teğetsel biim şekil değiştime ifadelei için yaacak olusak, adyal ve teğetsel biim şekil değiştime bileşenleinin tolamında sadece elastik ve temal bileşenle kalacaktı. Bu yaklaşımla ve (9,30,3 denklemleinin yadımıyla delasman cinsinden aşağıdaki difeansiyel denklem elde edilebili. du u E = ( ν ( { ν [ σ 0 ( ln C7 ] EαT} (33 d Bu difeansiyel denklemin çözümü C8 Eu = ( ν ( { ν [ σ 0ln C7 ] Eαθ} (34 şeklinde elde edili. Plastik biim şekil değiştimele ise C8 Eε = εθ = ( ν ( [ ν σ 0 EαT ( T θ ] (35 olaak bulunabili. 3. BİRİNCİ AŞAMA PLASTİK DEFORMASYON Biinci aşama lastik defomasyonda silindiin mekezinde iki faklı lastik bölge ve lastik bölgelein dışında ise elastik bölge bulunmaktadı.. Daha önce. lastik,. lastik ve elastik bölgele için elde edilen geilme, lastik biim şekil değiştime ve delasman ifadeleine bakılacak olusa, bu ifadelein C, C, C3, C4, C5, C6. integal sabitleini içediği anlaşılabili. Bunlaa ek olaak. lastik ile. lastik bölgeyi ayıan elastik-lastik yaıçaı ve. lastik bölge ile elastik bölgeyi ayıan elastik-lastik yaıçaı oblemin diğe bilinmeyenleidi. Poblemin tolam sekiz bilinmeyenini belilemek için sekiz sını ve süeklilik şatının yazılması geeklidi. Silindi ekseninde delasmanın sonlu olması şatı kullanılaak C 4 sıfı olaak bulunu. Diğe beş integal sabiti için şu sını ve süeklilik şatlaı kullanılı: Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 8, No 4, 003 39
M. Gülgeç Ünifom Olmayan İç Isı Üetimi Etkisinde Uçlaı Sabit Bi Silindide Elastik-Plastik... = de σ, σ θ süekli olmalı, = de ε = 0 olmalı, = de ( ε θ = 0 olmalı ve silindiin dış yüzeyinde ( = b, σ sıfı olmalıdı. Bu sını ve süeklilik şatlaı kullanılaak integal sabitlei aşağıdaki gibi bulunabili: C = (36 { Eα[ 3θ ( ( ] } ( T σ 0 ν 3 II C C 5 6 = = ( ν ( ν M M 6 ( M Eαθ ( 6 ( M Eαθ ( ( 4Mν 4M ν 3 ( ν ( 4Mν 4M ν 3 ( ν EαT EαT ( ( (37 (38 (, b σ 0 σ ( ν ( ν ( ν Eαθ 0 C = (39 ( ν b ( ν ( ν C = Eαθ (, b σ 0 (40 ( ν b b Bu ifadelede θ (, b = Td olaak tanımlanmıştı. ve elastik-lastik b e II yaıçalaı ise σ θ ( σ z ( = σ 0 ve σ ( = σ ( sını şatlaı kullanılaak elde edilen denklemlein sayısal çözümü ile elde edili. Yük aametesinin daha fazla attıılması ile bilikte lastik bölgele dışa doğu ilele ve q = q olduğunda silindiin dış yüzeyinde üçüncü lastik bölge oluşu. 4. İKİNCİ AŞAMA PLASTİK DEFORMASYON Silindiin dış yüzeyinde üçüncü lastik bölgenin oluşumu ile ikinci aşama lastik defomasyon başlamış olu. Bu aşamada silindiin mekezinde iki lastik bölge, aada elastik bölge, silindiin dışında ise üçüncü lastik bölge bulunmaktadı (Şekil. Üçüncü lastik bölgenin oluşması ile bilikte obleme bilinmeyen olaak iki integal sabiti ( C 7 ve C 8 ve 3 elastik-lastik yaıçaı ekleni. Böylece tolam 40 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 8, No 4, 003
Ünifom Olmayan İç Isı Üetimi Etkisinde Uçlaı Sabit Bi Silindide Elastik-Plastik... M. Gülgeç I. Plastik Bölge II.. Plastik Bölge Elastik Bölge III. Plastik Bölge 3 b Şekil. İkinci aşama lastik defomasyonda lastik bölgelein gösteimi bilinmeyen sayısı onbi olu. Biinci aşama lastik defomasyon için yazılan sını III şatlaına şu sını şatlaı eklenebili; = 3 de ( ε = 0, θ e e e III σ θ σ = σ 0, σ = σ. Biinci aşama lastik defomasyon için elde edilen C3, C5, C6 integal sabitlei ikinci aşama lastik defomasyon için de geçelidi. Diğe integal sabitlei ise aşağıdaki gibi bulunabili: C = lnb (4 C C 7 σ 0 ( ν ( [ ν σ EαT ( ] = (4 8 0 3 3 Eα ( ( Eα = 0, 3 T ( 3 ] σ θ (43 ν ( ν Eα C = σ ln b T σ (44 0 3 ( ν ( 3 0 5. SAYISAL SONUÇLAR VE TARTIŞMA Sayısal sonuçla elde ediliken ν = 0. 95 olaak alınmış ve boyutsuz aametele kullanılmıştı. Boyutsuz geilme bileşenlei σ ij = σ ij σ 0, boyutsuz delasman = Eu σ b boyutsuz yaıça = b ve boyutsuz lastik biim şekil değiştime u 0 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 8, No 4, 003 4
M. Gülgeç Ünifom Olmayan İç Isı Üetimi Etkisinde Uçlaı Sabit Bi Silindide Elastik-Plastik... bileşenlei εij = εij E σ 0 olaak tanımlanmıştı. Şekil de n = 0 (ünifom iç ısı üetimi ve n =, s = (ünifom olmayan iç ısı üetimi duumlaı için, boyutsuz yük aametesi q attııldığında, silindide oluşan lastik bölgelein gelişimi veilmişti. Şekil ye göe; n = 0 (ünifom iç ısı üetimi duumu için akma q = 4.6805 olduğunda başlamakta, n =, s = (ünifom olmayan iç ısı üetimi duumu için ise akma daha büyük yük aametesinde ( q = 6. 36090 başlamaktadı. He iki duum içinde, yük aametesinin attıılmasıyla silindi mekezindeki iki lastik bölge silindiin dış yüzeyine doğu ilelemektedi. n = 0 (ünifom iç ısı üetimi duumunda q = 5. 59349, n =, s = (ünifom olmayan iç ısı üetimi duumu için ise q = 8. 3463 yük aametesinde silindiin dış yüzeyinde üçüncü lastik bölge oluşmaktadı. Boyutsuz yük aametesi daha da attııldığında n = 0 (ünifom iç ısı üetimi duumunda q = 6. 7769, n =, s = (ünifom olmayan iç ısı üetimi duumu için ise q = 9. 68067 yük aametesi değeinde silindi tamamen lastik olmaktadı. Şekil 3 de q = 6. 7769 yük aametesi değeinde n = 0 (ünifom iç ısı üetimi ve n =, s = (ünifom olmayan iç ısı üetimi duumlaı için boyusuz geilme bileşenleinin silindi içeisindeki dağılımı veilmişti. Bu yük aametesinde BOYUTSUZ YUK PARAMETRESI 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0.0.0 0.0 I I II II Elastik Bölge 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 BOYUTSUZ ELASTIK- PLASTIK YARICAP III III Şekil. n = 0 (ünifom iç ısı üetimi ve n =, s = (ünifom olmayan iç ısı üetimi duumlaı için boyutsuz yük aametesine göe lastik bölgelein gelişimi 4 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 8, No 4, 003
Ünifom Olmayan İç Isı Üetimi Etkisinde Uçlaı Sabit Bi Silindide Elastik-Plastik... M. Gülgeç.5 BOYUTSUZ GERILME BILESENLERI.0 0.5 0.0-0.5 -.0 -.5 ünifom iç ısı üetimi etkisindeki ( n = 0 silindi tamamen lastik oluken, ünifom olmayan iç ısı üetimi etkisindeki silindi ikinci aşama lastik defomasyon duumundadı. Şekil 4 de ise aynı yük aametesi için boyutsuz adyal delasman ve lastik biim şekil değiştime dağılımlaı veilmişti. Yukaıda sadece n =, s = için sayısal sonuçla veilmekle bilikte bu çalışmada elde edilen denklemle istenilen n ve s katsayılaı için çözüleek faklı ünifom olmayan iç ısı üetiminin etkisi altındaki silindile için elastik-lastik geilme dağılımlaı elde edilebili. Bu çalışma sonucunda silindiin mekezinde maksimum ve silindiin dış yüzeyine doğu azalan iç ısı üetiminin etkisi ile akmanın, ünifom iç ısı üetimi etkisindeki akmaya göe daha büyük yük aameteleinde oluşacağı göülmüştü. Bu duum silindiin tamamen lastik olma süeci için de geçelidi. Yani ünifom olmayan iç ısı üetimi etkisindeki bi silindi, ünifom iç ısı üetimi etkisindeki bi silindie göe daha yüksek yük aametesinde tamamen lastik olmaktadı. KAYNAKÇA -.0 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 BOYUTSUZ YARICAP Şekil 3. q = 6. 7769 yük aametesi değeinde n = 0 (ünifom iç ısı üetimi ve n =, s = (ünifom olmayan iç ısı üetimi duumlaı için boyusuz geilme bileşenleinin silindi içeisindeki dağılımı. Oçan, Y., Themal Stesses in a Heat Geneating Elastic-lastic Cylinde with Fee Ends, Int. J. Engng. Sci. 3 (994 6, 883-898. Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 8, No 4, 003 43
M. Gülgeç Ünifom Olmayan İç Isı Üetimi Etkisinde Uçlaı Sabit Bi Silindide Elastik-Plastik....5 BOYUTSUZ PLASTIK GERINIM VE DEPLASMAN.0 0.5 0.0-0.5 -.0 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 BOYUTSUZ YARICAP Şekil 4. q = 6. 7769 yük aametesi değeinde n = 0 (ünifom iç ısı üetimi ve n =, s = (ünifom olmayan iç ısı üetimi duumlaı için boyutsuz delasman ve biim şekil değiştime bileşenleinin silindi içeisindeki dağılımı. Gülgeç, M. and Oçan, Y. Elastic-lastic Defomation of a Heat Geneating Tube with Temeatue-deendent Yield Stess, Int. J. Engng. Sci. 38 (000, 89-06. 3. Oçan, Y. and Gülgeç, M., Influence of the Temeatue Deendence of the Yield Stess on the Stess Distibution in a Tube with Fee ends, J. Themal Stesses 3 (000, 59-547. 4. Gülgeç, M., Influence of the Temeatue Deendence of the Yield Stess on the Stess Distibution in a Heat Geneating Elastic-lastic Cylinde, ZAMM, 79 (999 3, 0-6. 5. Caslaw, H. S. and Jaege, J.C., Conduction of Heat in Solids,. Ed., London, Oxfod, 959. 44 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 8, No 4, 003