3.Statik Elektrik Alanlar

Transkript

1 F k k 4 Q Q R (N) Q, Q : (C) Elektmanyetik Alanla Culmb Yasası ve Elektik Alan Şiddeti Culmb Yasası : 785 de Chales Culmb taafından fmüle edilmiş deneysel bi yasadı. Bi nktasal yükün diğe bi nktasal yük üzeine etkidiği kuvvetle ilgileni. R : (m) : sabit = : tamın yalıtkanlık sabiti (F/m) Bş uzayda =, (bağıl yalıtkanlık sabiti)= di. k (m/f) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği

2 Culmb Yasası ve Elektik Alan Şiddeti Culmb Yasası : F F â R R F F â 4R Elektmanyetik Alanla Q Q R R âr QQ 4R F F 3 R R â R Q Q 4 F âr â R R â R â R R 3 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği

3 Culmb Yasası ve Elektik Alan Şiddeti Culmb Yasası : Biden çk nktasal yük için, F QQ 4 Elektmanyetik Alanla QQ QQ N 4 N 3 N Q Q Q N F Q 4 N k Qk k k 3 N Q N KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 3

4 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği Elektmanyetik Alanla Culmb Yasası ve Elektik Alan Şiddeti Elektik Alan Şiddeti : Elektik alanının va lduğu bi bölgeye yeleştiilmiş çk küçük duağan bi test yükü üzeine etki eden biim yük başına düşen kuvvet laak tanımlanı. E lim Q0 F Q veya basitçe E F Q (N/C) (V/m) Elektik alanına knan test yükü ölçülmek istenen alanı bzmayacak büyüklükte lmalıdı. Snsuz küçük lması geekmez, yete ki ölçülen alanı bzmasın. ye yeleştiilmiş bi nktasal yükün de yaattığı elektik alanı : Q Q E â R 4 R 4 3 N tane nktasal yükün alanı : E 4 N k Qk k k 3 4

5 Elektmanyetik Alanla Culmb Yasası ve Elektik Alan Şiddeti Önek : P (3,,-) nktasına mc, P (-,-,4) nktasına - mc yüklei knmuştu. P(0,3,) nktasındaki 0 nc luk yüke etkiyen kuvveti ve bu nktadaki elektik alan şiddetini bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 5

6 Elektmanyetik Alanla Culmb Yasası ve Elektik Alan Şiddeti Önek : (x,y,z) eksen takımında O(0,0,0) nktasına + nc, (0,,0) nktasına ise - nc nktasal yüklei knmuştu. (,0,0) nktasındaki elektik alanını bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 6

7 Elektmanyetik Alanla Culmb Yasası ve Elektik Alan Şiddeti Önek 3: x-y düzleminde O(0,0) nktasına Q O =5 nc, A(3 m,0) nktasına Q A =0 nc ve B(0,4 m) nktasına Q B =-30 nc nktasal yüklei knmuştu. C(3 m,4 m) nktasındaki elektik alanını bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 7

8 Elektmanyetik Alanla Culmb Yasası ve Elektik Alan Şiddeti Önek 4: Flid fsfat maden cevhei kuatz ve fsfat taşının küçük patikülleinden luşmaktadı. Bu patikülle düzgün bi elektik alanı kullanaak bileşenleine ayılabili. Başlangıç hızı ve ye değiştimeyi sıfı kabul edeek 80 cm lik düşüşten sna patikülle aasındaki yatay mesafeyi belileyiniz. E=500 kv/m, Q/m=9 C/kg KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 8

9 Elektmanyetik Alanla Süekli Yük Dağılımlaı Yükle bi tamda nktasal laak bulunabileceklei gibi, şekildeki bi çizgi byunca, bi yüzey üzeinde veya bi hacim içeisinde süekli bi dağılım şeklinde de labilile. Nktasal yük Çizgisel yük Yüzeysel yük Hacimsel yük Çizgisel yük yğunluğu : L (C/m) Yüzeysel yük yğunluğu : S (C/m ) Hacimsel yük yğunluğu : v (C/m 3 ) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 9

10 Elektmanyetik Alanla Süekli Yük Dağılımlaı Bu yük dağılımlaının he biinin hehangi bi R uzaklıkta yaattığı elektik alanı aşağıdaki bağıntıladan hesaplanabili. E E E de dq 4 R Ld â R SdS â R vdv â R R R R â R : çizgisel yük dağılımı için dq= L dl : yüzeysel yük dağılımı için dq= S ds : hacimsel yük dağılımı için dq= v dv KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 0

11 Elektmanyetik Alanla Süekli Yük Dağılımlaı. Çizgisel yük : Şekildeki gibi z-ekseni byunca A ve B nktalaı aasında düzgün yük yğunluğu L lan bi çizgisel yükün hehangi bi P(x,y,z) nktasında yaattığı elektik alanını bulalım. R dq d L d xâx R â R R dz ( x, y,z ) (0,0,z ) yâ ( z y ( z z)â z ( z z ) â z ) z KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği

12 Elektmanyetik Alanla KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 3.Statik Elektik Alanla Süekli Yük Dağılımlaı. Çizgisel yük : 3 / z 3 R ) z z ( )â z z ( â R R R â z d ) z z ( )â z z ( â 4 E 3 / z L cs / ) z z ( R tan OT z cs / d z d

13 Süekli Yük Dağılımlaı. Çizgisel yük : E E 4 L csâ L (sin 4 sin â z sin )â d (cs Elektmanyetik Alanla cs ) â Özel duum : Snsuz çizgisel yük için B nktası + a, A nktası - a götüülüse, =/ ve =-/ lu. Bu duumda z-ekseninden bi uzaklıktaki elektik alanı, L L E â E z KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 3

14 Elektmanyetik Alanla Süekli Yük Dağılımlaı. Çizgisel yük : Önek : x-y düzlemine yeleştiilmiş, ekseni z ekseniyle aynı lan a yaıçaplı daiesel bi halka L (C/m) düzgün yükü taşımaktadı. a) (0,0,h) nktasındaki elektik alan ifadesini bulunuz. b) Elektik alanının maksimum lduğu h değeleini bulunuz. c) Halkadaki tplam yük Q ise, a0 iken elektik alanını bulunuz. d) (a) da bulduğunuz denklemi kullanaak Q=0 pc, a=5 cm için h=5 cm deki elektik alanını hesaplayınız. y x KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 4

15 Elektmanyetik Alanla Süekli Yük Dağılımlaı. Yüzeysel yük : Şekildeki gibi x-y düzleminde düzgün yük yğunluğu S lan a yaıçaplı bi yük levhasının jinden h uzaklıkta yaattığı elektik alanını bulalım. de h de d dq d KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği R S yaıçaplı ve d genişlikli halkanın yüzey alanı ds d Bu halkadaki yük dq ds S d Bu yükün z-ekseni üzeinde R uzaklıkta yaatacağı alan de dq 4 R â S R 5

16 Elektmanyetik Alanla KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 3.Statik Elektik Alanla Süekli Yük Dağılımlaı. Yüzeysel yük : z R h hâ â R R â z 3 / S â h â h 4 d E d Simetiden dlayı yatay bileşenle bibiini yk ede, yani E =0 lu. Elektik alanının sadece z-bileşeni kalı. z a 0 3 / S â h d h E S z h a h E z S â h a h E 6

17 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği Elektmanyetik Alanla Süekli Yük Dağılımlaı. Yüzeysel yük : Levhanın alt taafında ( z yönünde) jinden h uzaklıktaki elektik alanı E S Özel duum : a= yapılısa yani levha snsuz bi düzlem ise, levhadaki düzgün yük yğunluğu S in yaattığı elektik alanı, E S a â z h h â Düzgün yüklü snsuz bi levhanın alanı düzgün alandı, değei ve dğultusu değişmez. E S â n z â n : levhaya dik bi biim vektö 7

18 Süekli Yük Dağılımlaı. Yüzeysel yük : Paalel iki snsuz levha aasındaki elektik alanı : + S - S z>a bölgesinde : E E E E S â S z E E E E E E E Elektmanyetik Alanla 0 â z z=0 z=a 0<z<a bölgesinde : S E âz E S â E E E S âz z E z<0 bölgesinde : S â S z E E E E 0 â z KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 8

19 Süekli Yük Dağılımlaı. Yüzeysel yük : Elektmanyetik Alanla Önek : Bş uzayda z=-4, z= ve z=4 snsuz düzlem levhalaında sıasıyla, 3 nc/m, 6 nc/m ve -8 nc/m lan düzgün yükle bulunmaktadı. Aşağıdaki nktalaın he biinde elektik alanını bulunuz. a) P A (,5,-5) b) P B (4,,-3) c) P C (-,-5,) d) P D (-,4,5) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 9

20 Elektmanyetik Alanla Süekli Yük Dağılımlaı 3. Hacimsel yük : Şekildeki gibi düzgün yük yğunluğu v lan hacimsel yük dağılımının P nktasında yaattığı elektik alanını bulalım. dq dv v Q v dv v dv 3 4a Q v 3 dq elemante hacimsel yükünün P nktasında yaatacağı alan vdv de â R 4R Simetiden dlayı alanın E x ve E y bileşenlei sıfıdı, sadece E z bileşeni vadı. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 0

21 Süekli Yük Dağılımlaı 3. Hacimsel yük : E z v csdv de cs 4 R dv Ksinüs kualından, z R z R zr cs cs zr z R R z zcs cs z Sn ifadede z ve sabit tutulup ne göe tüev alınısa, sin d RdR z Elektmanyetik Alanla sin d d KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği

22 Elektmanyetik Alanla KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 3.Statik Elektik Alanla Süekli Yük Dağılımlaı 3. Hacimsel yük : Q v 3 a 0 v a 0 z z v a 0 z z R 0 v z a 3 4 z 4 d 4 z 4 d R z R z 4 drd R z d z 4 E

23 Süekli Yük Dağılımlaı 3. Hacimsel yük : Snuç laak P(0,0,z) nktasındaki E alanı, Q E 4z â z Elektmanyetik Alanla Yük dağılımı simetik lduğundan P(,,) nktasındaki elektik alanı, yukaıdaki bağıntıdan, Q E 4 â Bu alan, küesel yük dağılımının ijini veya mekezinde bulunan bi nktasal Q yükünün aynı P nktasında yaattığı elektik alanına özdeşti. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 3

24 Süekli Yük Dağılımlaı Elektmanyetik Alanla Önek : Bş uzayda hacimsel yük yğunluğu aşağıdaki gibi veiliy. a) =4 cm b) =6 cm deki elektik alanını bulunuz. v 0 nc/m 0 nc/m 0, 3 3,, cm 5 cm 5 cm KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 4

25 Süekli Yük Dağılımlaı Elektmanyetik Alanla Önek : Şekildeki gibi veilen cm uzunluğundaki elektn hüzmesinin içediği tplam yükü bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 5

26 Elektik Akısı ve Elektik Akı Yğunluğu Otamdan bağımsız yeni bi vektö alan, D E Bş uzayda : (C/m ) Nktasal yük için, +Q D D E Elektmanyetik Alanla : Yedeğiştime alanı (Elektik akı yğunluğu) D E E ile D aynı alan çizgileine sahipti. Q 4 Q â 4 â (C/m ) (V/m ) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 6

27 Elektmanyetik Alanla Elektik Akısı ve Elektik Akı Yğunluğu Bi düzgün alan (yönü ve değei nktadan nktaya değişmeyen alan) içinde; S Elektik akısı : D S DS (C) Elektik akı yğunluğu : D S (C/m ) â n D DS cs KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 7

28 Elektik Akısı ve Elektik Akı Yğunluğu Alan düzgün lmayıp yüzey de düzlem değilse; ds S yüzeyi â n D d D ds D ds S Elektmanyetik Alanla Önek : = m, z=0, z=5 m ile sınılanan silindiik bi hacim içeisindeki akı yğunluğu D 30e â zâ C/m z di. Silindiin yüzeyinden çıkan tplam elektik akısını bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 8

29 Gauss Yasası ve Uygulamalaı Elektmanyetik Alanla Hehangi bi kapalı yüzeyden geçen tplam elektik akısı, yüzey taafından kapsanan tplam yüke eşitti. D ds S Q tp (C) a yaıçaplı kapalı bi küe yüzeyinden geçen akının bu küenin içindeki yüke eşit lduğunu gösteelim. Bunun için nktasal bi Q yükünün, şekilde gösteildiği gibi küesel kdinat sisteminin jinine yeleştiildiğini vasayalım. Bu Q yükünün küenin yüzeyindeki yedeğiştime alanı, D S Q 4a â (C/m ) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 9

30 30 Elektmanyetik Alanla 3.Statik Elektik Alanla Gauss Yasası ve Uygulamalaı KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği â d d sin a S d Kapalı küe yüzeyi üzeinden integali, ) â d d sin ( a ) â a 4 Q ( ds D d d sin 4 Q ds D Q d d sin 4 Q ds D 0 0 S Q

31 Elektmanyetik Alanla Gauss Yasası ve Uygulamalaı Gauss yasası, özellikle kapalı yüzey üzeinde D alanının dik bileşeninin sabit lduğu bazı simeti duumlaında, yük dağılımının yaattığı alanın (D veya E) belilenmesinde klaylık sağla. Simeti duumu yk ise Gauss yasasının çk faydası lmaz. Yukaıdaki küe yüzeyinin he nktasında D alanı sabit ve yüzeye dikti. a yaıçaplı küenin yüzey alanı S=4a di. DS Q 4a 4a Q Gauss yasasının uygulanmasında, öncelikle simetinin lması ve snasında veilen bi yük dağılımının yaattığı alanın dik bileşeninin sabit lacağı uygun bi yüzeyin seçilmesi önemlidi. Bu tip yüzeyle Gauss yüzeyi laak adlandıılı. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 3

32 Gauss Yasası ve Uygulamalaı Gauss yüzeyi öneklei : D Küesel Gauss yüzeyi D D Elektmanyetik Alanla D Silindiik Gauss yüzeyi D D Kübik Gauss yüzeyi KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 3

33 Gauss Yasası ve Uygulamalaı Hacimsel yük dağılımı v Q kullanılısa, dv D ds v Q S D ds v v divddv v S D ds divddv vdv divd v v v S dv v Divejans teeminden, Elektmanyetik Alanla : Genelleştiilmiş Gauss yasası : Maxwell denklemleinin ilki KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 33

34 Gauss Yasası ve Uygulamalaı Uygulama : Snsuz çizgisel düzgün yük dağılımın alanı D Çizgisel yük L (C/m) Gauss yüzeyi KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği D L â Elektmanyetik Alanla Şekildeki uzunluğu l ve yaıçapı lan silindiik Gauss yüzeyinin alt ve üst yüzeylei D alanına paalel lduğundan bu yüzeyleden geçen akı sıfıdı. Silindiin yan yüzeyinden geçen akı : DS Dl Silindiin içindeki tplam yük : Gauss yasasından : (C/m ) E Q Q Dl D L â l L l L (V/m) 34

35 Elektmanyetik Alanla Gauss Yasası ve Uygulamalaı Uygulama : Düzgün yük dağılımlı snsuz düzlem levhanın alanı Yük dağılımı S lan snsuz levha Gauss yasasından : D S â Q DS S KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği z D D (C/m ) S yüzeyi Gauss yüzeyi S Şekildeki Gauss yüzeyinin yan yüzeylei D alanına paalel lduğundan bu yüzeyleden geçen akı sıfıdı. Alt ve üst yüzeyleden çıkan tplam akı : DS DS DS S yüzeyindeki tplam yük : E S â Q S S z (V/m) 35

36 Elektmanyetik Alanla Gauss Yasası ve Uygulamalaı Uygulama 3 : İçinde düzgün yük dağılımı bulunan küenin alanı Yaıçapı a, düzgün yük dağılımı v = C/m 3 lan bi küenin içinde ve dışındaki alanlaı (D ve E) Gauss yasasından yaalanaak bulalım. D Gauss yüzeyi Gauss yasasından : 3 â Küe içeisindeki alanı bulmak için, küenin içinde şekildeki gibi <a lan bi küesel Gauss yüzeyi seçelim. Bu yüzeyden çıkan akı : (C/m ) DS D4 yaıçaplı bu küenin içindeki tplam yük : E Q 3 v â v (V/m) (0 < a) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 36

37 Elektmanyetik Alanla Gauss Yasası ve Uygulamalaı Uygulama 3 : İçinde düzgün yük dağılımı bulunan küenin alanı Küe dışındaki alanı bulmak için, küenin dışında şekildeki gibi >a lan bi küesel Gauss yüzeyi seçelim. Bu yüzeyden çıkan akı : Gauss yüzeyi E a 3 3 D â a (V/m) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 3 3 DS D4 a yaıçaplı küenin içindeki tplam yük : â ( a) Q (C/m ) v v a 3 4a a

38 Gauss Yasası ve Uygulamalaı D z cs â C/m Elektmanyetik Alanla Önek : veiliy. (,/4,3) nktasındaki z yük yğunluğunu ve yaıçapı m lan - z aalığındaki silindiin kapsadığı tplam yükü hesaplayınız. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 38

39 Gauss Yasası ve Uygulamalaı Elektmanyetik Alanla Önek : (x,y,z) eksen takımında şekildeki gibi yeleştiilmiş küpün he bi kenaı m di. Yedeğiştime alanının aşağıdaki değişimlei için küpün içindeki tplam elektik yükünü bulunuz. a) b) D ( x 3)âx D xyzâ x z x ( y y 4 )â z â y y x 3 ( z 5 )â y 3 z 3 â z z C/m C/m 0 y x KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 39

40 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Elektmanyetik Alanla Elektik develeinde geilim ve akımlala çalışılı. Elektik devesinde A ve B gibi iki nkta aasındaki V AB geilimi (ptansiyel fakı), bu iki nkta aasında bi biim yükü haeket ettimek için geekli eneji miktaı veya ptansiyel enejiyi göstei. Bi elektik devesi pblemi çözülüken devede va lan elektik alanlaı genellikle dikkate alınmaz. Bununla bilikte, bi dienç veya bi kndansatö uçlaı aasındaki ptansiyel fakının (geilimin) kaynağı yine bu uçla aasındaki bi elektik alanının valığıdı. Bu bölümde elektik alanı E ile elektiksel ptansiyel V aasındaki bağlantı incelenecekti. Bu amaçla, önce, bi nktasal yükün düzgün bi E alanında alana kaşı yönde bi nktadan başka bi nktaya haeketi ele alınacaktı. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 40

41 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Elektmanyetik Alanla Şekildeki gibi y yönündeki düzgün bi E alanında pzitif bi nktasal Q yükü bulunsun. Bu yüke etkiyen elektiksel kuvvet y yönünde (alan yönünde) lacaktı. E y E d y +Q E x F QE QE e â y Yük pzitif y-ekseni byunca (F e kuvvetine kaşı) haeket ettiilise, bu haeketi eneji hacanması kaşılığında sağlayacak F e ye kaşı kyan bi F d dış kuvvete ihtiyaç vadı. Q yükünü sabit hızla haeket ettimek için yük üzeine etkiyen net kuvvetin sıfı lması, yani, F d F e 0 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 4

42 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim F d F e QE Elektmanyetik Alanla Hehangi bi nesnenin bi dış kuvvetin etkisi altında bi difeansiyel yedeğiştime uzaklığında haeket ettiilmesiyle yapılan iş veya hacanan eneji, dw F d dl QE dl (Jule, J) Q yükü y-ekseni byunca dy kada haeket ettiilise, dw Q( â E ) ( â dy ) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği y y QEdy Biim yük başına difeansiyel elektiksel ptansiyel eneji (dw), difeansiyel elektiksel ptansiyel (dv) laak adlandıılı. dv dw Q E dl (V) 4

43 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Elektmanyetik Alanla Şekilde gösteilen A ve B gibi hehangi iki nkta aasında bi Q yükünün A dan B ye mevcut alana kaşı haeketle taşınması sıasında yapılan tplam iş veya geekli ptansiyel eneji, V AB V KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği B W B Q E dl A (J) Bu nktala aasındaki ptansiyel fakı, V B A A dv W Q W Q B A B E dl A E dl (V) 43

44 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Buada; Elektmanyetik Alanla V AB belileniken A başlangıç, B bitiş nktası laak alını. V AB <0 ise, Q yükünün A dan B ye haeketinde ptansiyel enejide bi kayıp vadı ve bu da işin alan taafından yapıldığını göstei. V AB >0 ise, ptansiyel enejide bi kazanç vadı, işi dış kuvvet yapmıştı. V AB seçilen yldan bağımsızdı. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 44

45 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim E Q 4 Elektmanyetik Alanla Bi nktasal yükün elektik alanında ptansiyel fakı : Şekildeki gibi (x,y,z) eksen takımının jinine yeleştiilmiş bi nktasal Q yükünün yaattığı alandaki mutlak ptansiyeli belileyelim. Bu yükün elektik alanı, â Q B V AB B A dl E dl dâ B A dv V B V A A KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 45

46 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Bi nktasal yükün elektik alanında ptansiyel fakı : Elektmanyetik Alanla V AB B A Q 4 â Q dâ 4 B A d V AB Q 4 B A V B V A V B B nktasındaki, V A ise A nktasındaki ptansiyel (veya mutlak ptansiyel) laak tanımlanı. Böylece, V AB ptansiyel fakı yani geilim, A efeans nktasına göe B nktasındaki ptansiyel lu. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 46

47 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Elektmanyetik Alanla Bi nktasal yükün elektik alanında ptansiyel fakı : B nktasındaki mutlak ptansiyel A snsuza yaklaştıılaak (V A =0) bulunu. V B lim V A AB Q 4 lim A B A Q 4 Ojine yeleşmiş bi nktasal yükün mutlak ptansiyeli B = alınaak aşağıdaki gibi genelleştiilebili. B V Q 4 (V) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 47

48 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Elektmanyetik Alanla Nktasal yükün ptansiyel dağılımı elektik alanınki gibi küesel simetiye sahipti. Bi nktasal yükün alanı / ile değişiken nktasal yükün ptansiyeli / laak değişi. Ptansiyelin sabit lduğu yüzeyle (veya çizgile) eşptansiyel yüzeyle (veya çizgile) laak tanımlanı. Nktasal yük için eşptansiyel yüzeyle yük etafında iç içe küeledi. Eşptansiyel yüzeyle (çizgile) he zaman elektik alanına diktile. Bi yük elektik alanına dik dğultuda haeket ettiilise yapılan iş sıfı lu. Eşptansiyel çizgi üzeindeki he nktada ptansiyel eşit lduğundan, dv=0 lu. dv E dl 0 E dl KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 48

49 49 Elektmanyetik Alanla 3.Statik Elektik Alanla Elektiksel Ptansiyel ve Geilim KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği Q nktasal yükü jin yeine knum vektöü lan bi nktaya yeleşmiş ise, bu duumda ptansiyel; N adet nktasal yük için, elektik alanlaına uygulanan tplamsallık ilkesi ptansiyellee de uygulanaak ; 4 Q V N N 4 Q... 4 Q 4 Q V N k k k Q 4 V

50 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Süekli yük dağılımlaı için; Elektmanyetik Alanla V 4 L Ldl (Çizgisel yük) V 4 S SdS (Yüzeysel yük) V 4 v vdv (Hacimsel yük) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 50

51 Elektmanyetik Alanla Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Önek : Şekildeki kae yapının kenalaı m di. Kaenin mekezindeki (O) ptansiyeli bulunuz. y L =0 pc/m Q = pc O x L Q =-0 pc KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 5

52 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Elektmanyetik Alanla Önek : Yaıçapı a=0 cm lan iletken bi yaım küe kabuğunun yüzeyinde düzgün bi yük dağılımı vadı. Yüzeydeki tplam yük 0, nc lduğuna göe, yaım küenin mekezindeki elektik alanını ve ptansiyeli bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 5

53 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Elektmanyetik Alanla Önek 3: -4 C ve 5 C iki nktasal yük sıasıyla (,-,3) ve (0,4,-) nktalaına knmuştu. Snsuzdaki ptansiyeli sıfı vasayaak (,0,) nktasındaki ptansiyeli bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 53

54 Elektiksel Ptansiyel ve Geilim Elektmanyetik Alanla Önek 4: Q =0 pc ve Q =-0 pc nktasal yüklei aasındaki uzaklık 40 cm di. İki yükü bileştien dğunun ta nktasında alan ve ptansiyel ne lu? KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 54

55 Elektmanyetik Alanla Elektik Alanının Ptansiyelden Tüetilmesi : Şekilde A ve B nktalaı aasındaki ptansiyel fakı alınan yldan bağımsızdı. Bu nedenle; V BA V BA V AB V AB E dl E 0 dl 0 Bu snuç, şekildeki gibi kapalı bi yl byunca E nin çizgi integalinin sıfı lduğunu göstei. Fiziksel laak bu, bi elektstatik alanda bi yükün kapalı bi yl byunca haeketi snucu net iş yapılmadığı anlamına geli. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 55

56 Elektmanyetik Alanla Elektik Alanının Ptansiyelden Tüetilmesi : Stkes teemi uygulanısa; E dl xe ( xe ) ds te 0 0 lu. Yani, elektik alanının tasyneli sıfı ise bu alan bi statik alandı ve bi ptansiyelden tüetilebili. dv E dl E x dx E y dy V V V dv dx dy dz x y z E dz z KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 56

57 Elektmanyetik Alanla Elektik Alanının Ptansiyelden Tüetilmesi : İki ifade kaşılaştıılısa; E x V x E y V y E z V z Snuçta; E V elde edili. Elektik alanı V nin gadyanıdı. (-) işaeti, elektik alanının yönünün V nin atış yönüne tes lduğunu göstei. Elektik alanı V nin yüksek seviyeleinden alçak seviyeleine dğu yöneli. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 57

58 Elektmanyetik Alanla Elektik Alanının Ptansiyelden Tüetilmesi : 3 Önek : E 6x yâx x ây V/m veiliy. Bu alanın skale ptansiyelden tüetilebileceğini gösteiniz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 58

59 Elektik Alanının Ptansiyelden Tüetilmesi : E 7â 3â 6â Elektmanyetik Alanla Önek : V/m lan bi dış elektik alanı içinde x y z µc luk bi yükün jinden (3,,4) nktasına taşınması snucunda iş yapılmadığını gösteiniz KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 59

60 Elektik Alanının Ptansiyelden Tüetilmesi : Elektmanyetik Alanla Önek 3: Sebest uzayda V=0(+)z cs veiliy. a) Eşptansiyel yüzeyi V=0 V lan iletken bi yüzey tanımlansın. İletken yüzeyin denklemini bulunuz. b) İletken yüzey üzeinde =0, ve z=,5 lan nktada ve elektik alanını bulunuz. c) O nktadaki S i bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 60

61 Elektmanyetik Alanla Elektik Alanının Ptansiyelden Tüetilmesi : x Önek 4: E e ( y â V/m veiliy. nc luk yükü (0,0,0) x yây ) nktasından (,,0) nktasına taşımak için geekli enejiyi aşağıdaki ylla için belileyiniz. a) (0,0,0)(,0,0)(,,0) b) y=x c) y=x KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 6

62 Elektiksel Dipl : Elektmanyetik Alanla Aalaındaki d uzaklığı çk küçük lan eşit genlikli ve zıt yüklü iki nktasal yükün luştuduğu sisteme dipl deni. Yüklein bulunduğu eksen dipl eksenidi. Şekilde P nktasındaki ptansiyel; V Q 4 Q 4 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 6

63 Elektiksel Dipl : d ise, yaklaşıklıklaı yapılısa; dcs ve Elektmanyetik Alanla Qd cs V 4 dcs d â d dâ z p Qd p â V 4 (V) laak elde edili. : -Q dan +Q ya yönelen dipl mmenti (Cm) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 63

64 Elektiksel Dipl : Elektmanyetik Alanla Dipl mmenti jin yeine bi nktasında ise ; V p ( ) 4 P nktasındaki elektik alanı ; V E V 3 Qd cs â 3 â V â Qd sin â 4 E 3 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 64

65 Elektiksel Dipl : E p 4 3 csâ sin â Elektmanyetik Alanla p p Qd Bi diplün elektik alanının ve ptansiyelinin değişimi : alan çizgisi eşptansiyel yüzey KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 65

66 Elektiksel Dipl : Elektmanyetik Alanla Önek : Dipl mmentlei 5â z nc.m ve 9â z nc.m lan iki dipl (0,0,-) ve (0,0,3) nktalaına yeleştiilmişti. Ojindeki ptansiyeli bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 66

67 Elektiksel Dipl : Elektmanyetik Alanla Önek : 00â z pc.m mmentli bi elektiksel dipl jine yeleştiilmişti. Aşağıdaki nktalada ptansiyeli ve elektik alanını bulunuz. a) (0,0,0) b) (,/3,/) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 67

68 Elektmanyetik Alanla Elektstatik Eneji ve Kuvvet Ayık yük duumunda elektstatik eneji : Ayık yükleden luşan bi sistemde mevcut lan enejiyi belilemek için, ilk laak bu yüklein bi aaya getiilmesi için geekli iş miktaı hesaplanmalıdı. Bu amaçla, üç nktasal Q, Q ve Q 3 yüklei şekilde gölgeli laak gösteilen başlangıçta bş bi uzayda knumlandıılmak istensin. Uzay başlangıçta yüksüz lduğundan, Q in snsuzdan P e taşınmasında iş yapılmaz (W=0 ). Q nin snsuzdan P ye taşınmasında yapılan iş, Q in P deki V ptansiyeli ile Q nin çapımına eşitti. Benze şekilde, Q 3 ün P 3 de knumlandıılmasında yapılan iş Q 3 (V 3 +V 3 ) lu. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 68

69 Elektstatik Eneji ve Kuvvet Ayık yük duumunda elektstatik eneji : Böylece, üç yükün knumlandıılmasında yapılan tplam iş; Elektmanyetik Alanla We W W W3 0 QV Q 3(V3 V3 Yükle tes sıada knumlandıılmışsa; ) () We W3 W W 0 QV 3 Q (V V3 Bu ifadede; V 3 : Q 3 yükünün P nktasında luştuduğu ptansiyel V : Q yükünün P nktasında luştuduğu ptansiyel V 3 : Q 3 yükünün P nktasında luştuduğu ptansiyel ) () () ve () denklemlei tplanısa; KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 69

70 Elektstatik Eneji ve Kuvvet Ayık yük duumunda elektstatik eneji : W Veya; e Q (V Q V V Q V 3 ) Q (V 3 Q V 3 V 3 We (QV QV Q3V 3 ) Q (V 3 Elektmanyetik Alanla 3 V V, V, V 3 : P, P, P 3 nktalaındaki tplam ptansiyelle Sistemde N adet nktasal yük vasa ; W e N k Q k V k (J) ) 3 ev =,6.0-9 J V k : Q k nktasında diğe bütün yüklein luştuduğu ptansiyel ) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 70

71 Elektmanyetik Alanla Elektstatik Eneji ve Kuvvet Ayık yük duumunda elektstatik eneji : Önek : - C, C ve 3 C luk üç nktasal yükü bi kenaı 0 cm lan eşkena üçgenin köşeleine yeleştimek için geekli enejiyi bulun. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 7

72 Elektmanyetik Alanla Elektstatik Eneji ve Kuvvet Ayık yük duumunda elektstatik eneji : Önek : - nc, 4 nc ve 3 nc luk üç nktasal yük sıasıyla (0,0,0), (0,0,) ve (,0,0) nktalaına yeleştiilmişti. Sistemdeki enejiyi bulun. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 7

73 Elektstatik Eneji ve Kuvvet Süekli yük dağılımı duumunda elektstatik eneji : Çizgisel, yüzeysel ve hacimsel yük dağılımlaı için; Elektmanyetik Alanla W e L Vdl L (Çizgisel yük) W e S VdS S (Yüzeysel yük) W e v Vdv v (Hacimsel yük) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 73

74 Elektstatik Eneji ve Kuvvet Alan büyüklüklei cinsinden elektstatik eneji : Hacimsel yük dağılımı için eneji ifadesinde v divd D W e ( D ) Vdv v VD DV V( D ) ( D )V VD DV W e v ( VD )dv kullanaak yazılabili. v özdeşliğinden Elektmanyetik Alanla eneji ifadesinde kullanılısa, ( D V ) dv KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 74

75 Elektstatik Eneji ve Kuvvet Alan büyüklüklei cinsinden elektstatik eneji : KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği Elektmanyetik Alanla Denklemin sağ yanındaki ilk teime Divejans teemi uygulanısa, W e S (VD ) ds v ( D V R yaıçaplı çk büyük bi küe için yüzey integali, R iken sıfıa gide. Böylece, W e E V W e v ( D V kyulaak, v ( D E ) dv ) dv lu. ) dv elde edili. 75

76 Elektstatik Eneji ve Kuvvet Alan büyüklüklei cinsinden elektstatik eneji : Elektmanyetik Alanla D E W e v D dv v E dv (J) Elektstatik eneji yğunluğu, w e w e dw dv e D E W E (J/m 3 ) e v w e dv KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 76

77 Elektstatik Eneji ve Kuvvet Alan büyüklüklei cinsinden elektstatik eneji : Önek : Küesel simetili bi yük dağılımı v, 0, 0 a a Elektmanyetik Alanla laak veiliy. V ptansiyelini ve <a bölgesinde deplanan enejiyi belileyiniz. D ve E alanlaı daha önce Gauss yasasından bulunmuştu. a) > a için ; E a 3 3 â 3 a V C, 3 3 a V E dl d 3 V(=)=0 lduğundan C =0 bulunu. a KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 77

78 78 Elektmanyetik Alanla 3.Statik Elektik Alanla Elektstatik Eneji ve Kuvvet Alan büyüklüklei cinsinden elektstatik eneji : KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği Önek : b) < a için ; â 3 E d 3 dl E V C 6 V a) dan 3 a a ) V( a C C 6 a 3 a a ), ( 3a 6 V laak bulunu.

79 79 Elektmanyetik Alanla 3.Statik Elektik Alanla Elektstatik Eneji ve Kuvvet Alan büyüklüklei cinsinden elektstatik eneji : KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği Önek : a ), ( 3a 6 a, 3 a V 3 a a ) ( 3a 6 3 a 3 V

80 Elektstatik Eneji ve Kuvvet Alan büyüklüklei cinsinden elektstatik eneji : Önek : c) < a bölgesinde deplanan eneji; W e v D Edv v E dv E 3 Elektmanyetik Alanla â W e 9 a sin ddd W e a 45 5 (J) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 80

81 Elektmanyetik Alanla Elektstatik Eneji ve Kuvvet Alan büyüklüklei cinsinden elektstatik eneji : Önek : D yzâ nc/m veiliy. (0 x, y, z ) x xzâ y xyâ z bölgesinde deplanan tplam enejiyi hesaplayınız. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 8

82 Elektmanyetik Alanla Elektstatik Eneji ve Kuvvet Alan büyüklüklei cinsinden elektstatik eneji : Önek 3: Yalıtkan bi küenin yaıçapı a, yalıtkanlık katsayısı du. Küe bşluktadı ve içinde v = a/ lan bi yük dağılımı bulunmaktadı. Sistemde deplanan elektiksel enejiyi bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 8

83 Elektmanyetik Alanla Elektstatik Eneji ve Kuvvet Elektstatik kuvvet : Bibiinden ayı hem yüklü iletken hem de dielektik cisimleden luşan bi izle sistemde, elektiksel kuvvetle cisimleden biinin yeini bi dl difeansiyel uzaklığı (hayali ye değiştime) kada değiştisin. Bu duumda sistem taafından yapılan mekanik iş, F e : dw F dl e Sabit yük kşulu altında cisme etkiyen tplam elektiksel kuvvet Bi dış eneji kaynağı lmayan bu izle sistemde, mekanik iş deplanan elektstatik enejinin hacanmasıyla yapılmış lmalıdı. dw dw dw e e ( W e Fe dl ) dl (a) (b) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 83

84 Elektstatik Eneji ve Kuvvet Elektstatik kuvvet : (a) ve (b) kaşılaştıılısa, F e W e (N) Elektmanyetik Alanla Yani, elektiksel kuvvet enejinin gadyanıdı. Üç byutlu uzayda üç eşitlikten luşu. Katezyen kdinatlada x-yönündeki kuvvet, We ( Fe ) x x laak yazılabili. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 84

85 Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Malzemelein elektiksel özelliklei : Elektmanyetik Alanla Bi malzeme tamının elektmanyetik paametelei, elektiksel geçigenliği, manyetik geçigenliği ve iletkenliği dı. Bi malzemenin paametelei nktadan nktaya değişmiysa malzemenin hmjen, yönden bağımsız isele bu duumda iztpik lduğu söyleni. Bazı kistalle dışında çğu malzemele iztpik özellikle göstei. Bu bölümde tüm malzemelein hmjen ve iztpik lduğu vasayılacak ve yalnızca ve paameteleiyle ilgilenilecekti. Bi malzemenin iletkenliği, bi dış alanın etkisi altında malzemeden elektnlaın ne klaylıkta ileleyebildiğin bi ölçüsüdü. Malzemele, iletkenlikleinin büyüklükleine göe iletkenle (metalle) veya dielektikle (yalıtkanla) laak sınıflandıılı. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 85

86 Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Malzemelein elektiksel özelliklei : Elektmanyetik Alanla =0 lan bi malzeme mükemmel bi dielektikti. = lan bi malzeme ise mükemmel bi iletkendi. Çğu metallein iletkenliği 0 6 ila 0 7 S/m aalığında, iyi yalıtkanlaın ise 0-0 ila 0-7 S/m aalığındadı. Bazı malzemelein 0 C deki iletkenliği İletken İletkenlik, (S/m) Yalıtkan İletkenlik, (S/m) Gümüş 6,.0 7 Cam 0 - Bakı 5,8.0 7 Paafin 0-5 Altın 4,.0 7 Mika 0-5 Alüminyum 3,5.0 7 Kuatz 0-7 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 86

87 Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı İletkenlein elektik alanı içindeki davanışı : Elektmanyetik Alanla İletkenle, içleinde çk sayıda sebest elektn bulunan maddeledi. Nmal kşullada bu elektnla iletkenin yüzeyini tek edemezle ve iletkenin içinde yük bulunmaz. Bu nedenle iletkenin içinde alan sıfı lu ve iletkenin he nktası eşit ptansiyelde bulunu. İletken bi elektik alanı içine skulduğunda, bu dış alanın etkisiyle, sebest yükle haeket etmeye başla. Atı yükle alan yönünde, eksi yükle ise alan kaşı yönde haeket edele. Ancak, bu haeket snsuza dek sümez. İletkenin içinde, yüklein haeketi snucu bi elektik alanı luşu. Bu alan, dış alana kaşı kyacak biçimdedi ve dış alana tam eşit lduğunda iletken içindeki yüklein haeketi duu. Bu, denge duumudu. Bu duumda, iletkenin içindeki alan sıfı lu ve tüm yükle iletkenin yüzeyinde tplanıla. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 87

88 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı İletkenlein elektik alanı içindeki davanışı : Bi iletken içinde elektik alanının sıfı lmasının önemli bi uygulaması elektstatik ekanlama dı. Şekildeki gibi B iletkenini çeveleyen A iletkeni sıfı ptansiyelde tutulusa; B nin A taafından, dışaıdaki C iletkeni gibi başka elektik sistemleinden, elektiksel laak ekanlanmış lduğu söyleni. Benze şekilde, A iletkeni dışaıdaki C iletkenini de B iletkenine kaşı ekanlamaktadı. Snuçta, A iletkeni bi ekan laak göev yapa ve ekan içinde ve dışındaki elektiksel kşulla bibiinden tamamen bağımsız lu. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 88

89 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Bi iletkenle bi yalıtkanın ayıma yüzeyinde sını kşullaı : Şekildeki gibi bi mükemmel iletken () ile bi yalıtkan tamın ayıma yüzeyinde alanlaın aayüze teğet ve dik bileşenlei bulunacaktı. Mükemmel iletken içinde E ve D alanlaı sıfıdı. Yalıtkan Yalıtkan S S İletken (E=0) İletken (E=0) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 89

90 Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Bi iletkenle bi yalıtkanın ayıma yüzeyinde sını kşullaı : Şekil (a) daki kapalı abcda ylu byunca, E dl 0 ab 0 0 bc lduğundan, h0 için; E w 0 0 E t 0 t cd d a Şekil (b) deki silindiik yüzeye Gauss yasası uygulanısa, S Elektmanyetik Alanla D ds Q lduğundan, h0 için : D S S İletken yüzeyinde alanlaın dik bileşenlei : n D t 0 S Dn KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği S En S 90

91 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Bi iletkenle bi yalıtkanın ayıma yüzeyinde sını kşullaı : Önek : y0 bölgesi mükemmel bi iletken, y0 bölgesi ise bi yalıtkan ( =) tamdı. İletken üzeinde yüzey yük yğunluğu nc/m lduğuna göe; (a) A(3,-,) (b) B(-4,,5) nktalaında E ve D alanlaını bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 9

92 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Yalıtkanla ve elektik alanı içindeki davanışlaı : İletken bi tamda atmun dış halkasındaki elektnla atmu klaylıkla tek edebilile ve başka bi atma geçebilile. Yalıtkanlada ise bi dış alan uygulandığında, yükle atmu klaylıkla tek edemezle. Çünkü, yalıtkanlada sebest yük yktu ve yükle atma sıkı sıkıya bağlıdıla. Bununla bilikte, bi dış alan içine skulan yalıtkan, bu alanda değişiklik yaatı. Nmal kşulada, yani dış alan uygulanmadan, yalıtkan içinde asgele yönelmiş biçk dipl (iki-kutuplu) bulunu. Atm ölçeğinden daha büyük uzaklıklada bunlaın yaattığı alan sıfıdı. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 9

93 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Yalıtkanla ve elektik alanı içindeki davanışlaı : Şekildeki gibi, eğe yalıtkan bi E d dış alanı içine skulusa, tüm diplle alan yönünde yönelile. Bu laya plaizasyn (kutuplaşma) deni. Alan içine skulan böyle bi yalıtkandaki diplle bi ikincil alan (plaizasyn alanı) yaatıla. Snuç laak, bi dış alan içine skulan tüm yalıtkanlaın çk sayıda diple eşdeğe lduğu söylenebili. E d Pzitif yüzey yükü Kutuplanmış mlekül E d Negatif yüzey yükü KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 93

94 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Yalıtkanla ve elektik alanı içindeki davanışlaı : Dipllein etkisi, biim hacimdeki dipl mmenti ile tanımlanabili. Dipl mmenti p ise, bunun v hacmine bölümü, P p v biim hacimdeki dipl mmentini vei. Buna plaizasyn alanı deni. P, eksi yükleden atı yüklee dğu yönelen bi vektödü. Önceki sayfada veilen yalıtkanın uzunluğu L, yüzey alanı S ise, hacmi v=sl lacağından, plaizasyn alanı, P p Q Q P P SP (C/m ) v SL L KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği S laak bulunu. SP, plaizasyn snucu yalıtkan tabakanın yüzeyinde belien yük yğunluğudu. 94

95 Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Yalıtkanla ve elektik alanı içindeki davanışlaı : Böylece, yalıtkan içindeki yedeğiştime alanı, D E P Elektmanyetik Alanla lu. Hmjen ve iztpik bi yalıtkan tamda P ile E antılıdı. P E e e yalıtkanın elektiksel hassasiyeti laak tanımlanı ve byutsuz bi büyüklüktü. P için veilen ifade yedeğiştime alanı ifadesinde yeine kyulusa, D ( e )E elde edili. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 95

96 Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Yalıtkanla ve elektik alanı içindeki davanışlaı : D e laak tanımlanısa, yalıtkan içindeki yedeğiştime alanı E E Elektmanyetik Alanla lu. bağıl yalıtkanlık katsayısı adını alı. Bşlukta e =0 (plaizasyn alanı P=0) ve = di. Bazı yalıtkanla için tablda veilmişti. Otam Otam Bşluk Pleksiglas 3,4 Hava,006 Cam 6 Paafin, Mika 6 Kauçuk 3 Damıtık su 8 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 96

97 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Yalıtkanla ve elektik alanı içindeki davanışlaı : Önek : =4 lan bi yalıtkan tabaka düzgün bi elektik alanı içine yeleştiilmişti. Tabaka yüzeyinde SP =0,5 C/m lduğuna göe tabakadaki P, D ve E alanlaını bulunuz KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 97

98 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Yalıtkanla ve elektik alanı içindeki davanışlaı : Önek : Bi dielektik malzeme, he biinin dipl mmenti,8.0-7 Cm lan.0 9 pla mlekül/m 3 içemektedi. Tüm dipllein E 0 5 âx V/m elektik alanı yönünde dizildiğini vasayaak P alanını ve yi bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 98

99 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı Yalıtkanla ve elektik alanı içindeki davanışlaı : Önek 3: Linee, hmjen ve iztpik dielektik içindeki elektik alan şiddeti 3â V/m, plaizasynun genliği ise 35, pc/m x ây 6âz di. ve D alanlaını bulunuz. P KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 99

100 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı İki yalıtkanın ayıma yüzeyinde sını kşullaı : Şekildeki gibi iki mükemmel yalıtkan (0) tamın ayıma yüzeyinde alanlaın aayüze teğet ve dik bileşenlei bulunacaktı. yalıtkan tam â n h h w yalıtkan tam â n KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 00

101 Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı İki yalıtkanın ayıma yüzeyinde sını kşullaı : Şekildeki kapalı abcda ylu byunca, E dl 0 Etw 0 Et w ab bc lduğundan, h0 için; cd 0 da 0 Silindiik yüzeye Gauss yasası uygulanısa, lduğundan, h0 için : S D ds Q D ns DnS SS E t Et Dt Dt Elektmanyetik Alanla KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 0

102 Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı İki yalıtkanın ayıma yüzeyinde sını kşullaı : Aayüzde alanlaın dik bileşenlei : Elektmanyetik Alanla D n Dn S En En S Aayüzde yük yksa, yani S =0 ise; D n Dn En E n Böylece, he bi yalıtkan tamdaki elektik alanı : E E Et En Et En KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 0

103 Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı İki yalıtkanın ayıma yüzeyinde sını kşullaı : Elektmanyetik Alanla Otamladan biindeki alanın dğultusu ve he iki tamın paametelei kullanılaak, diğe tamdaki alanın dğultusu belilenebili. Şekilden, tan E E t n tan E E t n tan tan E E n n D D n n S =0 ise : D D KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği n n tan tan 03

104 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı İki yalıtkanın ayıma yüzeyinde sını kşullaı : Önek : İki hmjen, iztpik yalıtkan tamı z=0 düzlemi ayımaktadı. z 0 için =4, z 0 için =3 veilmektedi..tamda E 5âx ây 3âz kv/m düzgün elektik alanı bulunduğuna göe; a).tamdaki E alanını bulunuz. b) E ve E alanlaının aayüzle yaptığı açılaı bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 04

105 Elektmanyetik Alanla Malzeme Uzayında Elektik Alanlaı İki yalıtkanın ayıma yüzeyinde sını kşullaı : Önek : İki hmjen, iztpik yalıtkan tamı z=0 düzlemi ayımaktadı. z 0 için =, z 0 için =7,5 veilmektedi..tamda D 0âx 60ây 30âz nc/m lan düzgün alan bulunduğuna göe; a).tamdaki E ve. tamdaki P alanını bulunuz. b) E ve E alanlaının aayüz nmaliyle yaptığı açılaı bulunuz. c) He iki tamdaki eneji yğunluklaını bulunuz. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 05

106 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Bi kndansatö, bi elektik alanında eneji deplayan, bi eneji deplama düzeneğidi. Kndansatö, aalaında yalıtkan bi malzeme bulunan iki iletkenden luşu. Kndansatö iletkenleinin başlangıçta yüksüz (nöt) lduğu vasayılaak iletkenlei aasına şekildeki gibi bi V geilimi uygulanısa, bi iletkende +Q ve kaşı iletkende Q şeklinde bi yük ayışması lu. Tplam yük Tplam yük KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 06

107 Kndansatöle Elektmanyetik Alanla Bu yük ayışması, iki iletken aasındaki yalıtkan tamda kndansatöde enejinin deplanmasını sağlayan bi elektik alanı yaatı. He iki iletkende deplanan yük miktaı iletkenle aasına uygulanan geilimle antılıdı. He iki iletkendeki tplam yük miktaının iletkenle aasındaki geilime anı kndansatöün kapasitesini (sığasını) tanımla. Q C (Faad, F) V Bi kndansatöün kapasitesi, yalnızca iletkenlein gemetisi (iletkenlein şekli, aalaındaki mesafe, v.s) ve aalaındaki yalıtkan tamın dielektik sabitine () bağlıdı. Kapasitenin tanımına göe, bi kndansatö iletkeni üzeindeki yük kndansatö geilimiyle aynı anda ata. Öneğin, kndansatö geilimi iki katına çıkaılısa yük de iki katına çıka. Dlayısıyla C kapasitesi sabit kalı. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 07

108 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Yaıçapı a lan yalıtılmış (izle) bi iletken küe yüzeyindeki tplam yük Q ise, bu küenin kapasitesi C Q V Q / Q 4a C 4a (F) laak elde edili. Buada V küenin snsuza göe ptansiyelidi. Dlayısıyla C de küenin snsuza göe kapasitesi lu. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 08

109 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Paalel levhalı kndansatöle : Sıklıkla kaşılaşılan bi kndansatö gemetisi paalel levhalı kndansatödü. Şekilde gösteildiği gibi, aalaında küçük bi d uzaklığı bulunan S yüzey alanlı iki büyük düz iletken levhadan luşu. Levhala aasında dielektik sabiti lan hmjen bi yalıtkan malzeme vadı. Üst levhadaki tplam yük = +Q Levha yüzey alanı = S Alt levhadaki tplam yük = -Q Dielektik sabiti = KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 09

110 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Paalel levhalı kndansatöle : Geçek bi paalel levhalı kndansatöde yük ve alan kaakteistiklei ideal paalel levhalı kndansatö mdeli kullanılaak yaklaştıılabili. Bu mdelde; levhaladaki yüzey yük yğunluklaının düzgün lduğu ( S =±Q/S), levhala aasındaki elektik alanın düzgün lduğu (E=V/d) ve dışaıda elektik alanının sıfı lduğu kabul edili. Geçek bi paalel levhalı kndansatöde ise, yük yğunluğu levhalaın kenalaında attığı için dağılım düzgün değildi. İletkenin kenalaındaki bu yük fazlalığı, şekilde gösteildiği gibi, elektik alan saçaklanması (düzgün lmayan elektik alanı) laak bilinen bi etkiye neden lu. elektik alan saçaklanması KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 0

111 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Paalel levhalı kndansatöle : Kndansatö levhalaının yüzeylei büyük ve bibileine yakın lduklaı için levhalaın kenalaına yakın yelede elektik alanındaki saçaklanma miktaı küçüktü. Bu nedenle, ideal paalel levhalı kndansatö mdeli çğu kndansatöle için dğudu. Paalel düzlem levhala aasındaki elektik alanı, E S laak daha önce bulunmuştu. E=V/d ve S =Q/S lduğuna göe, paalel levhalı kndansatöün kapasitesi : Q SS ES C V V Ed C S d (F) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği

112 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Paalel levhalı kndansatöle : Kndansatöde deplanan tplam eneji, kndansatö elektik alanıyla ilişkili eneji yğunluğunun integalinden bulunabili. W e v w dv e w e E İdeal paalel levhalı kndansatöde, levhala aasındaki elektik alanı düzgün lduğundan eneji yğunluğu da düzgündü. W e v W w dv e e QV w v e Q C E CV ( Sd (J) ) ES ( Ed ) Bu denklem, hehangi bi kndansatö için geçelidi. KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği

113 Kndansatöle Elektmanyetik Alanla Önek : Şekildeki he bi kndansatöde deplanan elektik enejisini hesaplayınız. F F KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği F 4 F 80 V 40 V V 4 3 F C T F V=0 V 4 6 WT 0,5( CTV ) 0,5(.0.0 ) 9,6 mj 3 6 W ( F ) 0,5(.0.80 ) 6,4 mj e W (F ) e W ( 3F ) e 0,5( 0 6 0,5( ) 0,8 mj ),4 mj 3

114 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle İki yalıtkanlı paalel levhalı kndansatöle : A. Ayıma yüzeyi alan çizgileine dik ise; Şekilde, iki paalel düzlem levha aasında dielektik sabitlei ve lan iki yalıtkandan luşan kndansatö ve eşdeğei veilmişti. İki yalıtkanı ayıan aayüzde D =D di. C C S V He bi kndansatöün kapasitesi : Eşdeğe kapasite : C S d C S d C C C C C d S d KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 4

115 Kndansatöle İki yalıtkanlı paalel levhalı kndansatöle : B. Ayıma yüzeyi alan çizgileine paalel ise; İki yalıtkanı ayıan aayüzde E =E di. He bi kndansatöün kapasitesi : S C d S C d Eşdeğe kapasite : Elektmanyetik Alanla S S C S S C C C d V C Levhalaın yüzey alanlaı S =S =S/ ise : KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği S( C d ) 5

116 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle İki yalıtkanlı paalel levhalı kndansatöle : Önek : Şekildeki paalel levhalı kndansatöün levhalaı aasına uygulanan geilim V=00 V, d= cm, = (hava) ve =3 dı. He iki bölgedeki E, D ve P alanlaını bulunuz.. bölgede ( = ) : + V -. bölgede ( =3 ) : E y 0 kv/m 8 Dy 3 Ey 3Dh 6,5.0 C/m P ( )E E D 7 7, y D y E y D KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği y D h E h h V Eh Ey E d d 00 E h 0 kv/m 0,0 8 E 8,85.0 C/m P h 0 y h h.0 8 C/m 6

117 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Kaksiyel (Eş-eksenli) kndansatö : Şekil-(a) da gösteildiği gibi bi kaksiyel kndansatö; aalaında bi yalıtkan bulunan (), içtekinin yaıçapı a, dıştakinin yaıçapı b ve uzunluklaı L lan iç içe iki silindiik iletkenden luşu. L (a) (b) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 7

118 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Kaksiyel (Eş-eksenli) kndansatö : Çizgisel yük yğunluğu L lan iletkenden bi uzaklıktaki (şekil-(b)) elektik alanı, E L laak daha önce hesaplanmıştı. Bu bağıntı kullanılaak, iletkenle aasındaki V geilimi V b a E d L b a d L ln( b / a ) bulunu. L Q L lduğuna göe; KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 8

119 Kndansatöle Kaksiyel (Eş-eksenli) kndansatö : L uzunluğundaki kaksiyel kndansatöün kapasitesi, Q Q C V Q ln( b / a ) / L Elektmanyetik Alanla C L ln( b / a ) (F) laak elde edili. Biim uzunluğun kapasitesi ise, C C L ln( b / a ) (F/m) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 9

120 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Kaksiyel (Eş-eksenli) kndansatö : Önek : Kaksiyel kablnun iletkenlei aasındaki geilimin belili bi değei için iç iletkenin yüzeyindeki alanı minimum yapan a yaıçapı ne lmalıdı? Bu duumda biim uzunluğun kapasitesi nedi? ( =) E =a için de i da L E i V a ln( C L ln( b / a ) V b / ln( b / a ) a ) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 55,6 E pf/m 0 ln( b / a ) b / a e, 78 ln( V b / a ) 0

121 Kndansatöle Paalel iletkenli hattın kapasitesi : L a M E E a - L d Elektmanyetik Alanla Şekildeki gibi; yaıçaplaı a, aalaındaki uzaklık d ve düzgün çizgisel yük yğunluklaı L lan iki iletkenin mekezleini bileştien dğu üzeinde bi M nktasındaki tplam elektik alanı, E E E V L â L â ( d ) KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği

122 Kndansatöle Paalel iletkenli hattın kapasitesi : İletkenle aasındaki geilim, V V d a d a d L E dl E dâ a L d ln KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği a a a Biim uzunluğun kapasitesi : laak bulunu. C V L a a ln ( d Elektmanyetik Alanla d d a ) / a (F/m) İletkenlein yaıçapı aalaındaki uzaklığa göe çk küçük ise (d>>a), C ln( d / a ) (F/m)

123 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Küesel kndansatöün kapasitesi : Şekildeki gibi a ve b yaıçaplı iç içe yeleştiilmiş eş-mekezli iki iletken küenin luştuduğu yapı küesel kndansatö laak tanımlanı. V Q E 4 b Q Ed 4 V a Q 4 a b b a d KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği Q ab C 4 (F) V b a 3

124 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Küesel kndansatöün kapasitesi : Önek : Şekildeki küesel kndansatöde; a= mm, b=3 mm, c= mm, =,5 ve =3,5 laak veiliy. Kndansatöün kapasitesini bulunuz. İki küe aasında peş peşe iki faklı yalıtkan tam vadı. Alanla yalıtkan tamlaın ayıma yüzeyine dikti. Dlayısıyla sei bağlı iki kndansatö duumu söz knusudu. He bi kndansatöün kapasitesi, 6 bc 6.0 C 4 4.,5.8,85.0,668 pf 3 b c 0 ac.0 C 4 4.3,5.8, c a 0 C C,668.0, 778 Eşdeğe kapasite : C 0,53 pf C C,668 0, 778 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 6 0, pf

125 Elektmanyetik Alanla Kndansatöle Küesel kndansatöün kapasitesi : Önek : Şekildeki küesel kndansatöde; a= mm, b=3 mm, =,5 ve =3,5 laak veiliy. Kndansatöün kapasitesini bulunuz. İki küe aasındaki he bi yaı bölgede faklı yalıtkan vadı. Alanla yalıtkan tamlaın ayıma yüzeyine paaleldi. Dlayısıyla paalel bağlı iki kndansatö duumu söz knusudu. Küele aasındaki bölgenin yalnız bi yalıtkanla dlu lması duumunda he bii için kapasite, 3 C 4ab /( b a ) 4.,5.8,85.0.,5.0 0,47 C C ( / ) 0,583 pf pf Eşdeğe kapasite : C ( C C ) / 0,5 pf KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 5

126 Kndansatöle Elektmanyetik Alanla Yalıtkanlık dayanımı : Bi yalıtkan içindeki elektik alanı istenildiği kada atıılamaz. Alan belili bi değei aşınca yalıtkan iletken duuma geçe. Buna yalıtkanın delinmesi deni. Yalıtkanın delinmeden dayanabildiği en büyük alana bu yalıtkanın dayanımı deni. Bi kndansatö yapılıken, yalıtkan delinmeden uygulanabilecek en büyük geilim değeinin bilinmesi geeki. İletken düzlemle aasındaki belili bi uzaklık için delinme geilimi ile yalıtkanlık dayanımı antılıdı. Aşağıda bazı yalıtkanlaın dayanabildiği en büyük alan değelei Mega vlt/mete (MV/m) laak veilmişti. Yalıtkan Yalıtkanlık dayanımı (MV/m) Yalıtkan Yalıtkanlık dayanımı (MV/m) Hava 3 Cam 30 Kağıt 5 Kuatz 30 Kauçuk Mika 00 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 6

127 Elektstatik Sını-Değe Pblemlei İletken-bş uzay (veya dielektik) sınılaındaki kşullaı veilen pblemle sını-değe pblemlei laak adlandıılı. Pissn ve Laplace Denklemlei : Elektstatik alanla için, divd te D v te 0 E V xe Dğusal ve yönden bağımsız tamlada, D E E V v v 0 lu. Bu ifadede elde edili. E Elektmanyetik Alanla V lduğundan, knusa, V v KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği : Pissn denklemi 7

128 Elektstatik Sını-Değe Pblemlei Pissn ve Laplace Denklemlei : Elektmanyetik Alanla Katezyen kdinatlada, x V y V z V v (V/m ) Sebest yüklein bulunmadığı ( v =0) tamlada, V 0 Katezyen kdinatlada, : Laplace denklemi x V y V z V 0 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 8

129 Elektmanyetik Alanla Elektstatik Sını-Değe Pblemlei Pissn ve Laplace Denklemlei : Önek : Şekilde; aalaındaki uzaklık d ve ptansiyellei 0 ve V lan paalel büyük iletken levhala aasındaki bölge, hacimsel yük yğunluğu v =- y/d lan süekli bi elektn dağılımı ile dlduulmuştu. Kenaladaki saçaklanma etkisini ihmal edeek, a) Levhala aasında hehangi bi nktadaki ptansiyeli, b) Levhala üzeindeki yüzey yük yğunluğunu bulunuz. V KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 6 d a) Pissn denkleminden, y V d y İki kez intege edilise, y 3 C y C bulunu. 9

130 30 Elektmanyetik Alanla 3.Statik Elektik Alanla Elektstatik Sını-Değe Pblemlei KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği Pissn ve Laplace Denklemlei : Önek : a) İletken levhaladaki sını kşullaından, 6 d d V C C d 6 d V V y=0 da : V=0 C =0 y=d de : C ve C yeine kyulaak, y 6 d d V y d 6 V 3 (V) elde edili.

131 Elektstatik Sını-Değe Pblemlei Pissn ve Laplace Denklemlei : Önek : a) E V y â b) Sını kşullaından; Alttaki plakada y=0, Sl E yl y d Üstteki plakada y=d, Su E yu KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği y ân â y V d d 6 â â V d n V d y d 3 (C/m ) (C/m ) d 6 Elektmanyetik Alanla (V/m) 3

132 Elektmanyetik Alanla Elektstatik Sını-Değe Pblemlei Elektiksel Göüntü Alma Yöntemi : Bazı elektstatik pblemlein, ilgili Pissn ve Laplace denklemleinin çözümünde sını değeleinin sını değeleinin sağlanmasının z lduğu duumlada, sını yüzeyledeki kşulla uygun hayali göüntü yüklele luştuulabili ve daha basit bi ylla ptansiyel dağılımlaı belilenebili. Pissn ve Laplace denklemleinin dğudan çözümü yeine sını yüzeylein uygun hayali yüklele değiştiildiği bu yönteme göüntü yöntemi deni. Q +Q -Q Tpak düzleminden yukada yük dağılımlaı KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği Eşdeğe dağılımla 3

133 Elektmanyetik Alanla Elektstatik Sını-Değe Pblemlei Elektiksel Göüntü Alma Yöntemi : Göüntü yöntemi, gemetik yapılaı basit lan, öneğin düzlemsel, silindiik veya küesel iletken duumunda klaylık sağla. Kamaşık yapılı iletkenlede bu yöntem klaylık sağlamaz. Önek : Bi pzitif nktasal Q yükü, tpaklanmış (sıfı ptansiyel) çk geniş bi levhadan d kada yukaıya yeleştiilmişti. a) y>0 bölgesindeki hehangi bi P(x,y,z) nktasındaki ptansiyeli, b) İletken düzlem yüzeyinde indüklenen yük yğunluğunu bulunuz. Tpaklanmış İletken düzlem Fiziksel yapı KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği y=0 düzlemi Göüntü yükü Göüntü yükü ve alan çizgilei 33

134 Elektstatik Sını-Değe Pblemlei Elektiksel Göüntü Alma Yöntemi : Önek : a) İki yük nedeniyle P(x,y,z) nktasındaki ptansiyel için, Elektmanyetik Alanla V( Q V( x, y,z ) 4 x, y,z ) Q 4 x R R ( y d ) z yazılabili. x ( y d ) z, y 0 V( x, y,z ) 0, y 0 KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 34

135 Elektstatik Sını-Değe Pblemlei Elektiksel Göüntü Alma Yöntemi : Önek : b) P(x,y,z) nktasındaki elektik alanı, E V Elektmanyetik Alanla Q xâ 4 ( x ( ( y d y d ) )â z zâ ) ( xâ x ( y d E x y z x y z 3 / 3 / ( y d ) )â z zâ ), y 0 İndüklenen yüzey yük yğunluğu, S E y y0 ( x Qd d z ) 3 / KTÜ Elektik-Elektnik Mühendisliği 35