RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ İNTEGRALLERİ YARDIMIYLA FARKLI TÜRDEN KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN YENİ EŞİTSİZLİKLER SÜLEYMAN SAMİ KARATAŞ

T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ İNTEGRALLERİ YARDIMIYLA FARKLI TÜRDEN KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN YENİ EŞİTSİZLİKLER SÜLEYMAN SAMİ KARATAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 6

ÖZET RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ İNTEGRALLERİ YARDIMIYLA FARKLI TÜRDEN KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN YENİ EŞİTSİLİKLER Süleyman Sami KARATAŞ Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, 6 Yüksek Lisans Tezi, 46s. Danışman: Doç. Dr. Erhan SET Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş niteliğinde olup bu bölümde eşitsizlikler, konveks fonksiyonlar ve kesirli integrallerin tarihsel gelişimi hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde konveks fonksiyon, m- konveks fonksiyon, α,m- konveks fonksiyon, s- konveks fonksiyonlarla ilgili temel tanım ve teoremlere, literatürde iyi bilinen integral eşitsizliklerine ve reel sayıların bazı özel ortalamalarına yer verilmiştir. Üçüncü bölümde mutlak değerlerinin türevleri konveks olan fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler ve kesirli analiz yardımıyla elde edilen Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler verilmiştir. Dördüncü bölümün ilk kısmında m- konveks fonksiyonlar için kesirli integraller yardımıyla elde edilen Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler verilmiştir. İkinci kısmında α,m- konveks fonksiyonlar için kesirli integraller yardımıyla elde edilen Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler verilmiştir. Yine bu bölümün üçüncü kısmında ise m- konveks fonksiyonlar için kesirli integraller yardımıyla elde edilen Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Hermite-Hadamard eşitsizliği, Konveks fonksiyon, m- konveks fonksiyon, α,m- konveks fonksiyon, Riemann-Liouville kesirli integralleri, s- konveks fonksiyon II

ABSTRACT NEW INEQUALITIES FOR DIFFERENT TYPES OF CONVEX FUNCTIONS VIA RIEMANN-LIOUVILLE FRACTIONAL INTEGRALS Süleyman Sami KARATAŞ Ordu University Institute for Graduate Studies in Science and Technology Department of Mathematics, 6 MSc. Thesis, 46p. Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Erhan SET This thesis consist of four chapters. First chapter is the introduction chapter that includes informations about the historical development of convex function, ineualities and fractional integrals. In the second chapter, fundamental definitions and theorems related to convex function, m- convex function, α,m- convex function and s- convex function are mentioned. Moreover, integral ineualities which were in the literature and some special means of real numbers are given. In the third chapter, ineualities of Hermite-Hadamard type for functions whose derivatives in absolute value are convex and Hermite-Hadamard type ineualities obtained via fractional calculus are given. In the fourth chapter, firstly, Hermite-Hadamard type ineualities obtained via fractional integrals for m- convex function are given. Secondly, Hermite-Hadamard type ineualities obtained via fractional integrals for α,m-convex function are given. Also in the third part of the chapter, Hermite-Hadamard type ineualities for s- convex functions have been established. Keywords: Hermite-Hadamard ineuality, Convex function, m- convex function, α,m convex function, Riemann-Liouville fractional integrals, s- convex function III

TEŞEKKÜR Tüm çalışmalarım boyunca her zaman bilgi ve deneyimleriyle yolumu açan değerli hocam Sayın Doç. Dr. Erhan SET' e en samimi duygularımla teşekkür ederim. Çalışmalarım boyunca desteklerini esirgemeyen Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü öğretim üyeleri ve araştırma görevlilerine en içten dileklerle şükranlarımı sunarım. Ayrıca çalışmam boyunca benden maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen babama, anneme, kardeşime müteşekkirim. IV

İÇİNDEKİLER Sayfa TEZ BİLDİRİMİ.... ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR. İÇİNDEKİLER... ŞEKİLLER LİSTESİ... I II III IV V VI SİMGELER ve KISALTMALAR...... VII. GİRİŞ.... KURAMSAL TEMELLER......... 3.. Genel Kavramlar... 3 3. MATERYAL ve YÖNTEM... 3.. Mutlak Değerlerinin Türevleri Konveks Olan Fonksiyonlar İçin Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler ve Uygulamaları. 3.. Özel Ortalamalara Uygulamalar... 9 3.3. Midpoint ve Trapeziodal Formülleri ve Uygulamaları... 3.4. Riemann-Liouville Kesirli Analiz Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler. 3 4. ARAŞTIRMA BULGULARI... 8 4.. Diferensiyellenebilen m- Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler 8 4.. Diferensiyellenebilen α,m- Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler. 33 4.3. Diferensiyellenebilen s- Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler 38 5. TARTIŞMA ve SONUÇ... 4 6. KAYNAKLAR... 43 ÖZGEÇMİŞ.. 46 V

ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil No Sayfa Şekil.. Konveks Küme..... 3 Şekil.. Konveks Fonksiyon... 4 VI

SİMGELER ve KISALTMALAR f : f Fonksiyonunun Birinci Mertebeden Türevi I : R de Bir Aralık I : I nın İçi J α a + : Sağ Riemann-Liouville Kesirli İntegrali J α b : Sol Riemann-Liouville Kesirli İntegrali K m b : m-konveks Fonksiyonların Sınıfı K m α b : α,m-konveks Fonksiyonların Sınıfı K s : m-konveks Fonksiyonların Sınıfı L [a,b] N : [a,b] Aralığında İntegrallenebilen Fonksiyonların Kümesi : Doğal Sayılar Kümesi R : Reel Sayılar Kümesi Z : Tam Sayılar Kümesi VII

. GİRİŞ Eşitsizlik teorisi 9. yüzyıldan beri matematiğin hemen hemen bütün alanlarında önemli bir rol oynamaktadır. Bu alanda yapılan ilk temel çalışma Hardy, Littlewood ve Polya tarafından yazılan Ineualities adlı kitaptır []. Bu kitapta yeni eşitisizlikler ve uygulamaları ile ilgili konulara yer verilmiştir. Eşitsizlik teorisinin; fizik, mühendislik gibi çeşitli bilim dallarında uygulamaları olduğu için özellikle son yıllarda birçok araştırmacı tarafından yoğun bir çalışma alanı haline gelmiştir. Bu alanda Beckenbach ve Bellman [4], Mitrinović [], Pachpatte [4], Pecaric ve arkadaşları [7], Dragomir ve Pearce [9] gibi araştırmacılar tarafından yıllar içerisinde yeni kitaplar yazılmış olup günümüzde de çeşitli araştırmacılar tarafından yeni kitaplar yazılmaktadır. Eşitsizlik teorisinin gelişmesinde önemli bir role sahip olan kavramlardan biri de konvekslik kavramıdır. Konvekslik kavramının temeli, Archimedes in ünlü Πpi değerinin hesaplanmasına kadar uzanır. Aslında konveksliği günlük yaşamımızda farklı şekillerde görmekteyiz. Örneğin ayakta duruş pozisyonumuzda ayaklarımızın teşkil ettiği konveks alanın içine ağırlık merkezimizin dik izdüşümü boyunca dengemizi sağlamaktayız. Endüstri, tıp, sanat gibi bilim dallarının nümerik uygulamalarında da konvekslik kavramı kullanılmaktadır. Konvekslik konusunun önemli parçası bir konveks kümenin epigrafisi olan konveks fonksiyon kavramıdır. 893 te Hadamard ın çalışmasında konveks fonksiyonların temelleri atılmıştır. Konveks fonksiyonların tanınması J.L.W.V., Jensen tarafından olmuştur. Hermite, Hölder ve Stolz da bu fonksiyonla ilgili araştırma yapan ilk kişilerdir. Konveks fonksiyonlar teorisi, matematiğin bütün dalları ile ilişkili olmakla birlikte eşitsizlik teorisinin gelişmesinde çok önemli bir yere sahiptir. Birçok önemli eşitsizlik, konveks fonksiyonlar yardımıyla elde edilmiş olup birçok uygulamaya ve üzerine yüzlerce çalışma yapılmış olan ünlü Hermite-Hadamard eşizliği bunlardan bir tanesidir. Bu eşitsizlik üzerine yapılan çalışmaların bir kısmı S.S., Drogamir ve C.E.M., Pearce tarafından Selected Topics on Hermite-Hadamard Ineualities and Applications adlı monografide bir araya getirilmiştir. Konveks fonksiyonlar yardımıyla oldukça hızlı gelişme gösteren ve geniş çaplı bir araştırmacı kitlesine sahip olan eşitsizlik teorisine son yıllarda bir ivme de kesirli türev ve kesirli integral kavramı katmıştır. Bu kavramlar, türev ve integraller yalnızca tam-

sayılar için mi vardır? sorusundan ortaya çıkmış. Bu kavramlar 7. yüzyıldan itibaren Leibniz, Euler, Abel, Liouville ve diğer birçok matematikçinin çalışmalarıyla gelişmeye başlamıştır. Bu alanda yazılan ilk geniş kapsamlı monografi S.G., Samko, A.A., Kilbas ve O.I., Marichev tarafından yazılan Fractional Integrals and Derivatives Theory and Applications adlı eserdir [8]. Bu tezin temel amacı, birinci mertebeden türevleri konveks olan fonksiyonlar için elde edilmiş Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikleri ve bu eşitsizliklerin Riemann-Liouville kesirli integralleri yardımıyla genelleştirmelerini sistematik olarak okuyucuya sunmak daha sonra da m konveks, α, m konveks ve s konveks gibi konveks fonksiyonların farklı sınıfları için elde edilen ve Riemann-Liouville kesirli integralleri içeren yeni Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikleri vermektir.

. KURAMSAL TEMELLER. Genel Kavramlar Bu çalışmada kullanılacak bazı önemli tanımlar aşağıda verilmiştir. Tanım.. Konveks KümeL bir lineer uzay A L ve x,y A keyfi olmak üzere B = {z L : z = α αy, α } A ise A kümesine konveks küme denir. Eğer z B ise z = α αy eşitliğindeki x ve y nin katsayıları için α+ α = bağıntısı her zaman doğrudur. Bu sebeple konveks küme tanımında α, α yerine α + β = şartını sağlayan ve negatif olmayan α,β reel sayılarını alabiliriz. Geometrik olarak B kümesi uç noktaları x ve y olan bir doğru parçasıdır. Bu durumda sezgisel olarak konveks küme, boş olmayan ve iki noktasını birleştiren doğru parçasını ihtiva eden kümedir [3]. Şekil.: Konveks Küme Tanım.. J- Konveks Fonksiyon: I, R de bir aralık ve f : I R bir fonksiyon olmak üzere her x,y I için y f fx+fy şartını sağlayan f fonksiyonuna I üzerinde Jensen anlamında konveks veya J konveks fonksiyon denir []. Tanım..3 Kesin J- Konveks Fonksiyon: I, R de bir aralık ve f : I R bir fonksiyon olmak üzere her x,y I ve x y için y f < fx+fy oluyorsa f fonksiyonuna I üzerinde kesin J konveks fonksiyon denir []. 3

Tanım..4 Konveks Fonksiyon: I R ve f : I R bir fonksiyon olmak üzere her x,y I ve t [,] için, ft ty tfx+ tfy.. şartını sağlayan, f fonksiyonuna konveks fonksiyon denir [7]. Eğer t [,] kapalı aralığındaki uç noktaları dışarıda bırakırsak o zaman konveks fonksiyon şartındaki yerine < gelir yani ft ty < tfx+ tfy olur. Bu durumda bu fonksiyona kesin konveks fonksiyon denir. f konveks kesin konveks ise o zaman f ye konkav kesin konkav denir. Eğer f fonksiyonu hem konveks hem de konkav ise f afin dönüşümüdür. Bu afin dönüşüm uygun m ve n sabitleri için mx + n şeklindedir. Geometrik olarak tx + tx noktasında f nin eğri üzerinde aldığı değer x,fx ve x,fx noktalarını birleştiren doğru parçasının üzerinde aldığı değerlerden her zaman daha küçüktür, yani bu iki noktayı birleştiren kiriş doğru parçası her zaman eğrinin [x, y] aralığında kalan kısmının üzerinde veya üstündedir. Gerçekten, x, fx ve y, fy noktalarından geçen doğrunun denklemi; y fy y = fx fx a x s y b x dir. Burada s = ty + tx yazılırsa olur. Böylece.. eşitsizliği Şekil.: Konveks Fonksiyon Ls = fx+ fy fx s x y x Lty + tx = fx+ fy fx ty x y x = fx+tfy fx = tfy+ tfx fty + tx Lty + tx = tfy+ tfx 4

elde edilir. Literatürde konveks fonksiyonlar için birçok eşitsizlik elde edilmiştir. Fakat ünlü Hermite-Hadamard eşitsizliği bu eşitsizlikler içerisinde geometrik önemi ve uygulamalarıyla oldukça ön plana çıkmıştır ve aşağıdaki gibi ifade edilir. f : I R R bir konveks fonksiyon, a,b I ve a < b olsun. Bu takdirde f a+b b a fxdx fa+fb olur. f konkav fonksiyon ise bu eşitsizlik yön değiştirir. Yani.. f a+b b a fxdx fa+fb..3 olur. Hermite-Hadamard eşitsizliği 883 yılında keşfedildiğinden beri matematiksel analizdeki en faydalı eşitsizliklerden biri olarak kabul edilmektedir. Bu eşitsizlik üzerine yeni ispatların, kayda değer genişlemelerin, genelleştirmelerin ve çok sayıda uygulamaların sunulduğu birçok makale yazılmıştır bknz. [6], [7], [9], [], [3], [4], [6], [], [4], [6], [7]. Tanım..5 Starshaped Fonksiyon: f : [, b] R fonksiyonu her x [, b] ve t [,] için ftx tfx şartını sağlıyorsa f fonksiyonuna starshaped fonksiyonu denir [9]. Tanım..6 Artan ve Azalan Fonksiyonlar f, I aralığında tanımlı bir fonksiyon ve x,x de I da iki nokta olsun. Bu durumda: x > x iken fx > fx ise f fonksiyonu I üzerinde artandır, x > x iken fx < fx ise f fonksiyonu I üzerinde azalandır, x > x iken fx fx ise f fonksiyonu I üzerinde azalmayandır, x > x iken fx fx ise f fonksiyonu I üzerinde artmayandır denir []. Tanım..7 f : [,b] R bir fonksiyon olsun. Her x,y [,b] ve m,t [,] için ftm ty tfx+m tfy şartını sağlayan f fonksiyonuna m konvekstir denir [9]. f fonksiyonu m konveks ise f fonksiyonu m konkavdır. Ayrıca f için [,b] aralığında tanımlı m konveks fonksiyonların sınıfı K m b ile gösterilir. Açıkçası Tanım..7 de m = için standart konveks fonksiyon kavramı ve m = için de starshaped fonksiyon kavramı elde edilir. 5

Lemma.. Eğer f fonksiyonu K m b sınıfında ise o zaman f starshaped fonksiyonudur [3]. İspat. Herhangi bir x [,b] ve t [,] için f K m b olduğundan ftx = ftm t tfx+m tf tfx elde edilir. Lemma.. Eğer f, m konveks ve < n < m ise bu takdirde f, n konvekstir [3]. İspat. Keyfi x,y [,b] ve t [,] ise bu takdirde ftn ty = f tm t n y m tfx+m tf n m y tfx+m t n m fy = tfx+n tfy elde edilir ve ispat tamamlanır. Lemma.. ve Lemma.. den m, olduğunda K b K m b K b yazırlır.k b sınıfında, f olmak üzere, sadece f : [,b] R tanımlı konveks fonksiyonlar vardır. Yani, K b, [,b] üzerinde tanımlı konveks fonksiyonlar sınıfının uygun bir alt sınıfıdır []. Tanım..8 f : [,b] R bir fonksiyon olsun.her x,y [,b], m,t [,] ve α,m [,] için ftm ty t α fx+m t α fy şartını sağlayan f fonksiyonuna α, m konveks fonksiyon denir [9]. f için [, b] aralığında tanımlı tüm α,m konveks fonsiyonların sınıfı K α mb ile gösterilir. Ayrıca, α,m,,,,,m,, için sırayla artan, stashaped, m konveks ve konveks fonksiyon sınıfları elde edilir. f olmak üzere K b sınıfında sadece f : [,b] R tanımlı konveks fonksiyonlar yer alır, yani K b, [,b] üzerinde tanımlı tüm konveks fonksiyonlar sınıfının uygun bir alt sınıfıdır. 6

Tanım..9 Birinci Anlamda s- Konveks Fonksiyon < s olsun. R + = [, olmak üzere f : R + R fonksiyonuna, her x,y R + ve α,β ile α s +β s = için, fαβy α s fx+β s fy şartını sağlıyorsa birinci anlamda s- konveks fonksiyon denir. Reel fonksiyonların bu sınıfı K s ile gösterilir [3]. Teorem.. < s < olsun. f K s azalmayandır ve lim u +fu f dır [3]. Örnek.. < s < ve a,b,c R olsun. u R + için { a,u = fu = bu s +c,u > olarak tanımlanan f fonksiyonu aşağıdaki durumları sağlar: şartını sağlıyorsa f fonksiyonu, aralığında b ve c a ise f Ks, b ve c < a ise f,, aralığı üzerinde azalmayandır, fakat [, aralığı üzerinde değildir [3]. Tanım.. İkinci Anlamda s- Konveks Fonksiyon Her x,y [,,t [,] ve s,] için ft ty t s fx+ t s fy..4 şartını sağlayan f : [, R fonksiyonuna ikinci anlamda s konveks fonksiyon denir ve ikinci anlamda s konveks fonksiyonlar sınıfı genellikle Ks ile gösterilir. Burada s = için [, aralığında s konvekslik kavramından bilinen kolaylıkla elde edildiği kolaylıkla görülebilir [5]. Şimdi ikinci anlamda s- konveks fonksiyonlarla ilgili aşağıdaki bazı sonuçları verelim. Önerme.. f K s ise f,[, üzerinde negatif olmayan bir fonksiyondur [3]. İspat. u R + için, u fu = f + u fu + fu = s fu s s alalım. Buradan s fu olur ve böylece fu elde edilir. 7

Örnek.. < s < ve a,b,c R olsun. u R + için { a,u = fu = bu s +c,u > olarak tanımlanan f fonksiyonda: b ve c a için f K s b ve c < ise f,, durumları vardır. İkinci anlamda s- konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard eşitsizliği aşağıdaki gibi elde edilmiştir [8]. Teorem.. f : R + R + ikinci anlamda s- konveks bir fonksiyon, s, ve a,b R + ile a ve α i = ise eşitsizliği geçerlidir [5]. n f α i x i i= i= n α i fx i Teorem..4 İntegraller için Jensen Eşitsizliği: f : [a, b] R konveks fonksiyon, h : [a,b], ve u : [a,b] R + = [, integrallenebilir fonksiyonlar olmak üzere, b a f htut b b ht htfut a b ht a a eşitsizliği geçerlidir [5]. Teorem..5 Hölder Eşitsizliği: a = a,...,a n ve b = b,...,b n reel veya kompleks sayıların iki n lisi olsun. Bu takdirde olmak üzere i= p + = 8

a p > ise, n n a k b k a k p p n b k, k= k= k= b p < veya < ise, eşitsizlikleri geçerlidir []. n n a k b k a k p p n k= k= k= b k Teorem..6 İntegraller için Hölder Eşitsizliği:p > ve + = olsun. f ve p g, [a,b] aralığında tanımlı reel fonksiyonlar, f p ve g, [a,b] aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise b eşitsizliği geçerlidir []. a b fxgx dx a b fx p p dx gx dx a Sonuç.. Power Mean Eşitsizliği: olsun. f ve g, [a, b] aralığında tanımlı reel fonksiyonlar, f ve g, [a,b] aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise b eşitsizliği geçerlidir. a b fxgxdx a b fx dx fx gx a..6 Teorem..7 Üçgen Eşitsizliği: Herhangi x, y reel sayıları için ve tümevarım metoduyla eşitsizlikleri geçerlidir []. y x + y, x y x y, x y y x +...+x n x +...+ x n Teorem..8 Üçgen Eşitsizliğinin İntegral Versiyonu: f, [a, b] aralığında sürekli reel değerli bir fonksiyon olsun. Bu takdirde eşitsizliği geçerlidir []. b a fxdx b a fx dxa < b 9

Tanım.. Gamma Fonksiyonu:α > için ile tanımlanır [5]. Γα = e t x α dx Tanım.. Beta Fonksiyonu: x >,y > için Bx,y = t x t y biçiminde tanımlanan B fonksiyonuna Beta fonksiyonu denir. Burada Gamma ve Beta fonksiyonları arasındaki ilişki ise şeklindedir [5]. Bx,y = ΓxΓy Γy Tanım..3 Riemann-Liouville Kesirli İntegrali fx L[a,b], α > ve a olsun. Sağ ve sol Riemann-Liouville integralleri sırasıyla J α a + f x ve J α b f x aşağıdaki şekilde tanımlanır: ve Ja α +f x = Γα x a x t α f t, x > a Jb α b f x = t x α f t, x içinα.mertebedenkesirliintegraldenir. BuradaJ a + f x = J b f x = f x dir. Riemann-Liouville kesirli integralleri ile ilgili daha fazla bilgiyi [] da bulabiliriz. Tanım..4 a,b,c reel ya da kompleks sabitler olmak üzere, z < ve c > b > için, F [a,b,c : z] = + ab c z! + aa+bb+ cc+ ifadesine hipergeometrik seri denir. Hipergeometrik seri, F [a,b,c : z] = Bb,c b şeklinde bir integral gösterimine sahiptir [7]. Tanım..5 İki Pozitif Sayı İçin Bazı Ortalamalar a,b pozitif iki reel sayı olmak üzere; z! +... = m= a m b m c m t b t c b zt a z m m!

. Aritmetik Ortalama:. Harmonik Ortalama: A = Aa,b := a+b, H = Ha,b := ab a+b, 3. Logaritmik Ortalama: { a,a = b L = La,b :=,a b lnb lna 4. p logaritmik ortalama: a L p = L p a,b := [ b p+ a p+ p+b+a ] p,a = b,a b ortalamaları vardır.

3. MATERYAL ve YÖNTEM 3. Mutlak Değerlerin Türevleri Konveks Olan Fonksiyonlar İçin Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler ve Uygulamaları Bu bölümde, araştırmanın temel kısmında kullanılacak olan bazı temel teoremler verilmiştir. Lemma 3.. f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, a,b I ve a < b olsun. f L[a,b] olmak üzere her x [a,b] için fx+ b xfb+x afa fudu 3.. a = x a t +t t f a x a t t +t f a b x t +t t f b b x t t +t f b eşitliği geçerlidir [8]. b İspat. +t Önce kısmi integrasyon, daha sonra u = +t x a = x a = x a fx t t f a [ tf +t t a x a x a x a t a değişken değişikliği yapılarak ] +t t f a fudu 3.. yazılır. Benzer şekilde ve x a b x b x t t +t f a = x a fa a fudu, 3..3 a t +t t f b = b x fx b fudu 3..4 x t t +t f b = b x fb b fudu 3..5 b eşitlikleri elde edilir. 3..-3..5 eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa istenen eşitlik elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.

Teorem 3.. f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konveks fonksiyon ise her x [a,b] için eşitsizliği geçerlidir [8]. b xfb+x afa fx+ b fudu 3..6 a [ [ ] x a f x + f a ]+ b x f x + f b 4 4 İspat. Lemma 3.. ve mutlak değerin özellikleri kullanılarak b xfb+x afa fx+ b fudu 3..7 a x a t +t t f a + x a t t +t f a + b x t +t t f b + b x t t +t f b yazılır. Buradan, 3..7 eşitsizliğinde f nin konveksliği kullanılarak, her x [a,b] için b xfb+x afa fx+ b fudu 3..8 a [ x a t +t f x + t ] f a [ + x a t t f x + +t ] f a [ + b x t +t f x + t ] f b [ + b x t t f x + +t ] f b yazılır. Dolayısıyla 3..8 deki eşitsizliğin sağ tarafındaki integraller hesaplandığında 3..6 deki eşitsizlik elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 3.. Teorem3.. dex = a+b seçildiğindeve f ninkonveksliğini kullanıldığında a+b f + fa+fb b fudu [ f a + f b ] a 8 eşitsizliği elde edilir [8]. Teorem 3.. f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a , p + = 3

ve her x [a,b] için b xfb+x afa fx+ p +{ x a p+ + b x eşitsizliği geçerlidir [8]. b a fudu 3..9 [ 3 f x + f a + f x +3 f a [ ] } 3 f x + f b + f x +3 f b ] İspat. Lemma 3.. ve Hölder integral eşitsizliğini kullanarak, her x [a, b] için b xfb+x afa fx+ p x a t p +t f p + x a t p t f p + b x t p +t f p + b x t p t f b a fudu 3.. t a +t a t b +t b yazılır. f, [a,b] aralığında konveks olduğundan +t t [ +t f a f x + t ] f a = 3 f x + f a 4 elde edilir. Benzer şekilde t f +t a f x +3 f a 4 +t f t b 3 f x + f b 4 ve t f +t b f x +3 f b 4 eşitsizlikleri yazılır. 3.. eşitsizliğinde son dört eşitsizlik kullanılırsa 3..9 eşitsizliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. 4

Sonuç 3.. Teorem3.. dex = a+b seçtiğimizdeve f ninkonveksliğini kullandığımızda a+b f + fa+fb b fudu p + a p+ 4 [[ f a +3 a+b ] [ a+b ] f + f +3 f a [ + 3 a+b ] [ f + f b a+b ] ] + f +3 f b 3 p +[ ] +3 +5 +7 [ f a + f b ] p+ 4 eşitsizliği elde edilir [8]. Burdaki ikinci eşitsizliği elde etmek için aşağıdaki önemli temel eşitsizlik kullanılır. n u k +v k s k= n u k s + k= n v s,u k,v k, k n, s < k= Teorem 3..3 f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konveks fonksiyon ise ve her x [a,b] için b xfb+x afa fx+ { 4 6 eşitsizliği geçerlidir [8]. b a fudu x a [ ] 5 f x + f a + f x +5 f a [ ] } + b x 5 f x + f b + f x +5 f b 3.. İspat. Lemma 3.. ve power-mean eşitsizliği kullanılarak b xfb+x afa fx+ x a + x a + b x + b x t t t t t +t f t t f t +t f t t f 5 b a fudu 3.. t a +t a t b +t b

yazılır. f [a,b] aralığında konveks olduğundan t +t t f x a benzer şekilde ve t t t [ +t f x + t ] f a = 5 f x + f a 4 t +t f x a f x +5 f a, 4 +t t f x b 5 f x + f b, 4 t t f +t x b f x +5 f b 4 eşitsizlikleri yazılır. 3.. eşitsizliğinde son dört eşitsizlik kullanılırsa 3.. eşitsizliği elde edilir. Böylece teoremin ispatı tamamlanır. Sonuç 3..3 Teorem3..3 dex = a+b seçilirse ve Sonuç 3.. deki gibi benzer argümanlar kullanılırsa 3 a+b f + fa+fb eşitsizliği elde edilir [8]. [ +5 +7 + ] 6 fudu a [ f a + f b ] Teorem 3..4 f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a , p + = ve her x [a,b] için b xfb+x afa fx+ b fudu a { [ x a f 3a + f 3a+x ] 4 4 [ f + b x 3b + f 3b ] } 4 4 eşitsizliği geçerlidir [8]. b 3..3 İspat. Lemma 3.. ve Hölder eşitsizliği kullanılarak, > ve p = için b xfb+x afa fx+ b fudu 3..4 a 6

x a + x a + b x + b x t t t t +t f t f +t f t f t a +t a t b +t b yazılır. f, [a,b] aralığında konkav olduğundan Jensen integral eşitsizliği kullanılırsa +t f t a = ifadesi elde edilir. Benzer şekilde = t f +t f +t t f t a t +t f t 3a f 4 +t a f 3a, 4 t b f 3b 4 ve t f +t b f 3b 4 t a eşitsizlikleri yazılır. 3..4 eşitsizliğinde son dört eşitsizlik kullanılırsa 3..3 eşitsizliği elde edilir. Böylece teoremin ispatı tamamlanır. Sonuç 3..4 Teorem 3..4 de x = a+b seçilirse ve f nin lineer bir dönüşüm olduğu kabul edilirse eşitsizliği elde edilir [8]. a+b f + fa+fb 4 f a+b b a fudu Teorem 3..5 f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konkav fonksiyon ise ve her x [a,b] için b xfb+x afa fx+ b a fudu 7

[ f x a 5a + f 5a ] 4 6 6 [ f + b x 5b + f 5b ] 4 6 6 eşitsizliği geçerlidir [8]. İspat. f fonksiyonunun [a,b] aralığındaki konkavlığı ve power-mean eşitsizliği kullanırsa, her λ [,] ve x,y [a,b] için fλ λy λ fx + λ fy λ fx + λ fy ve böylece fλ λy λ fx + λ fy elde edilir. Dolayısıyla bu da f nin [a,b] aralığında konkav olduğunu gösterir. Tersine Lemma 3.. ve Jensen integral eşitsizliği kullanılarak her x [a, b] için b xfb+x afa fx+ b fudu a x a t +t t f a + x a t t f + b x t +t t f b + b x t t f x a t t +t t a f t + x a t t t +t a f t + b x t t +t t b f t + b x t t t +t b f t +t a +t b eşitsizliğinin sağ tarafandaki integraller alınıp gerekli düzenlemeler yapılırsa istenilen eşitsizlik elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 3..5 Teorem 3..5 de x = a+b seçilir ve f nin lineer bir dönüşümolduğu kabul edilirse a+b f eşitsizliği elde edilir [8]. + fa+fb b a fudu 8 f a+b 8

3. Özel Ortalamalara Uygulamalar Bu başlık altında bir önceki bölümde elde edilen konveks fonksiyonlar için yazılan eşitsizliklerin pozitif reel sayılar için özel ortalamalarına ilişkin sonuçlar verilecektir. Önerme 3.. a,b R, a < b, / [a,b] ve n Z olmak üzere n için A n a,b+aa n,b n L n n a,b n A a n, b n 4 eşitsizliği geçerlidir [8]. İspat. Sonuç 3.. de, x R, n Z, n için fx = x n fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde edilir. Önerme 3.. a,b R, a < b, / [a,b] ve n Z, n olsun. Bu takdirde p, > ve p + = olmak üzere A n a,b+aa n,b n L n na,b 3 p n + ] [+3 +5 +7 A a n, b n p+ eşitsizliği geçerlidir [8]. İspat. Sonuç 3.. de, x R, n Z, n için fx = x n fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde edilir. Önerme 3..3 a,b R, a < b, / [a,b] ve n Z, n olsun. Bu takdirde olmak üzere eşitsizliği geçerlidir [8]. A n a,b+aa n,b n L n na,b n 3 [ ] +5 +7 + A a n, b n 8 İspat. Sonuç 3..3 de, x R, n Z, n için fx = x n fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde edilir. Önerme 3..4 a,b R, a < b, / [a,b] olmak üzere A a,b+aa,b La,b A a, b 4 eşitsizliği geçerlidir [8]. 9

İspat. Sonuç 3.. de, x [a,b] için fx = fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde x edilir. Önerme 3..5 a,b R, a < b, / [a,b] olmak üzere p > için A a,b+aa,b La,b 3 p + ] [+3 +5 +7 A a, b p+ eşitsizliği geçerlidir [8]. İspat. Sonuç 3.. de, x [a,b] için fx = x edilir. fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde Önerme 3..6 a,b R, a < b, / [a,b] olmak üzere için A a,b+aa,b La,b 3 [ ] +5 +7 + A a, b 8 eşitsizliği geçerlidir [8]. İspat. Sonuç 3..3 de, x [a,b] için fx = x edilir. fonksiyonu kullanılırsa istenen sonuç elde 3.3 Midpoint ve Trapezoidal Formülleri ve Uygulamaları d, [a,b] aralığının bir bölüntüsü yani a = x < x <... < x n < x n = b ve aşağıdaki gibi sırasıyla midpoint ve trapezoidal formüllerini göz önüne alalım. yazılır. n xi +x i+ Tf,d = x i+ x i f, i= n T f,d = x i+ x i fx i+fx i+ i= Ef,d ve E f,d, b fxdx integralinin yaklaşık hata tahminleri olmak üzere a b a fxdx = Tf,d+Ef,d,

b a fxdx = T f,d+e f,d yazılır [8]. Şimdi midpoint ve trapezoidal formülleri için bazı hata tahminleri verilecektir. Önerme 3.3. f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konveks bir fonksiyon ve d, [a,b] nin bir bölüntüsü olmak üzere Ef,d+E f,d 8 eşitsizliği geçerlidir [8]. n x i+ x i [ f x i + f x i+ 3.3. i= İspat. d, bölüntüsünün [x i,x i+ ]i =,,...,n alt aralığı üzerine Sonuç 3.. uygulanırsa xi +x i+ + fx i++fx i x i x i+ elde edilir. Ayrıca xi+ x i fxdx xi+ x i [ f x i + f x i+ ] 8 3.3. = Ef,d+E f,d n xi +x i+ x i+ x i f + i= n xi +x i+ x i+ x i f i= n i= fx i +fx i+ + fx i+fx i+ n x i+ x i x i+ x i xi+ x i i= xi+ x i fxdx 3.3.3 fxdx yazılır. 3.3.3 de3.3. kullanılırsa, 3.3. elde edilir. Böylece önermenin ispatı tamamlanır. Önerme 3.3. f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a , p + = ve d, [a,b] nin bir bölüntüsü olmak üzere Ef,d+E f,d eşitsizliği geçerlidir [8]. p+ p p 3 +3[ +3 +5 ] n +7 x i+ x i [ f x i +f x i+ ] i= 3.3.4 İspat. Sonuç 3.. kullanılarak Önerme 3.3. deki gibi ispatlanır.

Önerme 3.3.3 f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konveks fonksiyon ise ve d, [a,b] nin bir bölüntüsü olmak üzere Ef,d+E f,d 3 eşitsizliği geçerlidir [8]. +4[ +3 +5 ] n +7 x i+ x i [ f x i +f x i+ ] i= 3.3.5 İspat. Sonuç 3..3 kullanılarak, elde edilir. Önerme 3.3. nin ispatına benzer şekilde istenen sonuç Önerme 3.3.4 f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a ve d, [a,b] nin bir bölüntüsü olmak üzere Ef,d+E f,d 4 eşitsizliği geçerlidir [8]. n x i+ x i [ f x i +f x i+ ] 3.3.6 i= İspat. Sonuç 3..4 kullanılarak, elde edilir. Önerme 3.3. nin ispatına benzer şekilde istenen sonuç Önerme 3.3.5 f : I R R, I de diferansiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], a,b I ve a < b olsun. Eğer f, [a,b] aralığında konkav fonksiyon ise ve d, [a,b] nin bir bölüntüsü olmak üzere Ef,d+E f,d 8 eşitsizliği geçerlidir [8]. n x i+ x i [ f x i +f x i+ ] 3.3.7 i= İspat. Sonuç 3..5 kullanılarak elde edilir. Önerme 3.3. nin ispatına benzer şekilde istenen sonuç

3.4 Riemann-Liouville Kesirli Analiz Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler Bu çalışma boyunca, [a,b] aralığını [, aralığının bir alt aralığı, f : [a,b] R, a,b aralığında türevlenebilir ve f L [a,b] olduğunu kabul edilecektir. Ayrıca H α x := x aα +b x α fx [ α Γα+ J α x fa + x aα fa+b x α fb şeklinde tanımlanır. Bu tanımda özel olarak α = alınırsa Hx = fx+ b xfb+x afa elde edilir. Böylece x = a+b için olur. H a+b = fa+b fa+fb + +J α a +fa +J α b fb +Jα x +fb b a ft b ft a ] [8] de, M.A. Latif tarafından H nın değeri tahmin edilmiştir. Bu bölümde verilen sonuçlar M.A. Latif in elde etmiş olduğu sonuçların genelleştirmesidir. Lemma 3.4. Her x [a,b] için H α x = x aα+ b xα+ eşitliği geçerlidir [9]. t α +t t f a t α +t t f b t α t +t f a t α t +t f b 3.4. İspat. Kısmi integrasyon alınırsa ve u = +tx + t değişiklikleri yapılırsa t α +t t f a = fx x a α Γα+ x a α+ Jα x f t α t +t f a b t α +t t f t α +t t f b = fa x a + α Γα+ = fx b x + α Γα+ a, v = t x + +t a değişken a, a x a α+ Jα a +f b b x α+ Jα x +f b = fb b x α Γα+ b x α+ Jα b f 3,,

elde edilir. Bu eşitlikler taraf toplanıp gerekli düzenlemeler yapılırsa 3.4. eşitliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Yukarıda elde edilen sonuçlar kullanarak aşağıdaki teoremler ispatlanacaktır. Teorem 3.4. f, [a,b] aralığında konveks olsun. Bu taktirde H α x x aα+ eşitsizliği geçerlidir [9]. f x + f a α+ + b xα+ f x + f b α+ İspat. Lemma 3.4. de eşitliğin her iki tarafının mutlak değeri alınıp f nin konveksliği kullanılırsa H α x x aα+ + x aα+ + b xα+ + b xα+ [ t α +t f x + t ] f a [ t α t f x + +t ] f a [ t α +t f x + t ] f b [ t α t f x + +t ] f b eşitsizliği elde edilir. Eşitsizliğin sağ tarafında gerekli düzenlemeler yapıldığında istenen sonuç elde edilir. Teorem 3.4. f, [a,b] aralığında konveks olsun. Bu takdirde >, p + x [a,b] için = ve her H α x + 3.4. αp+ { x a α+ [3 f x + f a + f x +3 f a ] } + b xα+ [3 f x + f b + f x +3 f b ] dir [9]. İspat. Lemma 3.4. ve Hölder eşitsizliğine göre, her x [a,b] için H α x x aα+ + b xα+ t α p p I +I t α p p I 3 +I4 3.4.3 4

eşitsizliği geçerlidir. Burada f nun konveksliği kullanılarak I = +t t f a +t f x + t f a = 3 f x + f a 4 I = t +t f a f x +3 f a 4 I 3 = +t +t f b 3 f x + f b 4 I 4 = t +t f b f x +3 f b 4 elde edilir. I, I, I 3, I 4 eşitsizlikleri 3.4.3 de yerlerine yazıldığında 3.4. eşitsizliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Teorem 3.4.3 f, [a,b] aralığında konveks olsun. Bu takdirde ve her x [a,b] için H α x [ ] [ ] α+ 4α+α+ 3.4.4 x aα+ [α+3 f x + f a + f x +α+3 f a ] + b xα+ [α+3 f x + f b + f x +α+3 f b ] eşitsizliği geçerlidir [9]. İspat. Lemma 3.4., f nin konveksliği ve power-mean eşitsizliği kullanılarak H α x x aα+ + b xα+ t α t α J +J J 3 +J4 eşitsizliği geçerlidir. Burada t α J = +t t f a α+3 f x + f a, 4α+α+ t α J = t +t f a f x +α+3 f a, 4α+α+ t α J 3 = +t +t f b α+3 f x + f b 4α+α+ ve t α J 4 = t +t f b f x +α+3 f b 4α+α+ 3.4.5 5

dir. Burada J, J, J 3, J 4 eşitsizliklerini 3.4.5 de yerlerine yazılırsa 3.4.4 eşitsizliği elde edilir. Böylece teoremimizin ispatı tamamlanır. Teorem 3.4.4 f, [a,b] aralığında konkav olsun. Bu takdirde >, p + x [a,b] için H α x p αp+ x aα+ + b xα+ [ ] 3a f + 3a 4 f 4 [ ] 3b f + 3b 4 f 4 = ve her 3.4.6 eşitsizliği geçerlidir [9]. İspat. Lemma 3.4. ve Hölder eşitsizliğinden, >, p = H α x x aα+ + x aα+ + b xα+ + b xα+ t α ve her x [a,b] için tα p p K 3.4.7 t α t α p p K p p K 3 p p K 4 eşitsizliği geçerlidir. Burada f nin [a,b] aralığında konkavlığı ve Jensen eşitsizliği kullanılarak K = K = K 3 = K 4 = +t t f a +t t f a = 3a f 4 t +t f a 3a f 4 +t t f b 3b f 4 t +t f b 3b f 4 dir. Burada K, K, K 3, K 4 eşitsizliklerini 3.4.7 de yerlerine yazdılırsa 3.4.6 eşitsizliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. 6

Teorem 3.4.5 f, [a,b] konkav olsun. Bu takdirde her x [a,b] için [ ] x a α+ α+3a H α x f + α+3a α+ α+ f α+ [ ] + b xα+ α+3b f + α+3b α+ α+ f α+ eşitsizliği geçerlidir [9]. İspat. Lemma 3.4. ve f nin konkavlığı kullanılarak her x [a,b] için H α x x aα+ +t t f a t α + x aα+ t +t f a t α + b xα+ +t t f b t α + b xα+ t +t f b t α x aα+ t α +t t f a t α t α + x aα+ t α t +t f a t α t α + b xα+ t α +t t f b t α t α + b xα+ t α t +t f b t α t α eşitsizliği elde edilir. Böylece istenilen sonuç elde edilmiş olur. Bu 3.4., 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5 teoremlerinde α = alınırsa M.A.Latif in [8] deki daha önce elde ettiği sonuçlara ulaşılır. 7

4. ARAŞTIRMA BULGULARI 4. Diferensiyellenebilen m Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler Bu bölümde ilk olarak ana sonuçlarımızı ispatlamak için kullanılacak olan lemma verilecektir. Lemma 4.. f : [a,b] R R diferensiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], n N ve k > için Gk;n;a,x,bf = n+ [ ] x a k +b x k fx+ x ak fa+b x k fb { n+k+ Γk + n J k x f n+ n+ a n +J k x +f n+ n+ b +J k b f n+ n } n+ a olmak üzere Gk;n;a,x,bf { = x ak+ { b xk+ elde edilir []. +J k a +f n+ n t k n+t t f n+ n+ a t k t f n+ t k n+t t f n+ n+ b n+ a } n+t n+ a t k t n+t f n+ n+ b } İspat. Bu eşitliği ispatlamak için t k n+t t f n+ n+ a = = n+ n+γk + fx x a x a Γk n+t t k f x n+ x a fx n+k+ Γk + x a k+ Γk n n+ n+ a = n+k+ Γk + x a k+ J k a +f n n+ n+ a n+ a t n+ u n n+ x n+ a k fudu 8

ve benzer biçimde ve t k t n+t f n+ n+ a = n+ x a fa+ n+k+ Γk + J k x a k+ x f t k n+t t f n+ n+ b = n+ b x fx+ n+k+ Γk + b x k+ J k x +f t k t n+t f n+ n+ b = n+ b x fb n+k+ Γk + J k b x k+ b f n+ n n+ a n n+ n+ b n+ n n+ b integralleri hesaplanır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa istenilen eşitlik elde edilir. Şimdi yukarıdaki lemma yardımıyla konveks fonksiyonlar için elde edilen yeni sonuçlar verilecektir. Teorem 4.. [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I de diferensiyellenebilen bir fonksiyon, n N, k > ve a < b < olmak üzere f L[a,b] olsun. f, [a,b] üzerinde m konveks fonksiyon ise bu takdirde m,] ve x [a,b] için Gk;n;a,x,bf x a k+ [ f a [ x +m f ]+ b xk+ f x +m k + m k + eşitsizliği geçerlidir. ] b f m İspat. Lemma 4.. de mutlak değer alınarak ve f nin m konveksliğini kullanarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ [ = x ak+ t k n+t f n+ m t a n+m t k + t f n+ mn+t a ] n+m n+t ] n+ a ] n+t n+ b 9

[ + b xk+ t k n+t f n+ m t b n+m t k + t f n+ mn+t b ] n+m x a k+ [ f a [ ] x +m f ]+ b xk+ f x +m b k + m k + f m elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 4.. Teorem 4.. de m = n = alınırsa, [9] da Teorem eşitsizliği elde edilir. Teorem 4.. [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I de diferensiyellenebilen bir fonksiyon, n N, k > ve a için Gk;n;a,x,bf [ x a k+ kp+ p n+ [ n+ f x +m f a m [ b x k+ + kp+ p n+ n+ f x +m f b m + f x +mn+ f a m + f x +mn+ f b m ] eşitsizliği geçerlidir. İspat. Lemma 4.., Hölder eşitsizliğini ve f nin m konveksliğini kullanarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ [ x ak+ tk p p n+t t f n+ n+ a + t n+ ] f n+ n+ a n+t ] n+ a ] n+t n+ b 3

[ + b xk+ tk p p n+t t f n+ n+ b + t n+ ] f n+ n+ b [ x ak+ p n+t f x a +m t f kp+ n+ m + t f x a ] +mn+t f m [ + b xk+ p n+t f x +m t b kp+ n+ f m ] + t f x +mn+t b f m x ak+ kp+ p n+ [ n+ f x +m f a m [ b x k+ + kp+ p n+ f x +m f b m n+ elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. + f x +mn+ f a m + f x +mn+ f b m ] Sonuç 4.. Teorem 4.. te m = n = alınırsa, [9] da Teorem eşitsizliği elde edilir. Teorem 4..3 [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I diferensiyellenebilen bir fonksiyon, n N, k > ve a için Gk;n;a,x,bf x a k+ k + k +n+ + f x +mnk ++k + + b xk+ k + k +n+ [ nk ++k + f x a +m f m ] a f m [ nk ++k + f x +m b f m 3

+ f x +mnk ++k + b f m ] eşitsizliği geçerlidir. İspat. Lemma 4.., power-mean eşitsizliğini ve f nin m konveksliğini kullanarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ x ak+ t k [ t k n+t t f n+ n+ a t k + t n+ ] f n+ n+ a + b xk+ t k [ t k n+t t f n+ n+ b ] t k + t n+ f n+ n+ b x ak+ k + n+ { t [n+t f k x a +m t f m = + t [ t f k x a +mn+t f m ] } ] + b xk+ k + n+ { t [n+t f k x +m t b ] f m [ } + t k t f x +mn+t f b ] m [ nk ++k + f x +m x a k+ k + k +n+ + f x +mnk ++k + + b xk+ k + k +n+ n+t ] n+ a ] n+t n+ b a f m ] a f m [ nk ++k + f x +m b f m 3

elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. + f x +mnk ++k + b f m ] Sonuç 4..3 Eğer Teorem 4..3 te m = n = alınırsa, [9] da Teorem 3 eşitsizliği elde edilir. 4. Diferensiyellenebilen α, m Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler Bu kısımda Lemma 4.. i kullanarak α, m konveks fonksiyonlar için Hermite- Hadamard tipinde integral eşitsizlikleri elde edilmiştir. Teorem 4.. [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I de diferensiyellenebilen birfonksiyon, n N,k > ve a < b < olmaküzeref L[a,b] olsun. f, [a,b] üzerinde α,m konveks fonksiyon ise bu takdirde α,m,] ve x [a,b] için A = nα k + F α,k +,k +; Γα+Γk + + n Γα+k + 4.. olmak üzere eşitsizliği geçerlidir. B = n+α k + Gk;n;a,x,bf x a k+ [ A f a ] x +mb A f n+ α m [ ] + b xk+ A f x +mb A b n+ α f m 4.. İspat. Lemma 4.., mutlak değerin özellikleri ve f nin α,m-konveksliği kullanılarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ x ak+ t k [ t k n+t t f n+ n+ a n+t ] n+ a ] n+t n+ b 33

t k + t f n+ + b xk+ t k + t f n+ ] n+ n+ a [ t k t k n+ n+ b n+t f n+ ] x ak+ k + n+ { t [n+t f k x a +m t f m = + t [ t f k x a +mn+t f m t n+ b ] } ] + b xk+ k + n+ { t [n+t f k x +m t b ] f m + t [ t f k x +mn+t b ] } f m [ x a k+ nk ++k + f x a +m f k + k +n+ m + f x +mnk ++k + + b xk+ k + k +n+ f x +mnk ++k + f bm + ] a f m [ nk ++k + f x +m b f m ] elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 4.. Eğer Teorem 4.. de α = alınırsa, Teorem 4.. eşitsizliği elde edilir. Teorem 4.. [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I de diferensiyellenebilen birfonksiyon, n N,k > ve a için C = n+α n α α+ D = n+ α 34

olmak üzere Gk;n;a,x,bf x ak+ pk + + D C f x +mc eşitsizliği geçerlidir. p n+ + b xk+ pk + + D C f x +mc p α [ C f x a +md C f m a f m ] [ α C f x +md C b n+ f m ] b f m İspat. Lemma 4.., Hölder eşitsizliğini ve f nin α,m-konveksliğini kullanarak Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ x ak+ t k p [ p n+t f t n+ n+ a ] t + f n+ n+ n+ a + b xk+ t k p [ p n+t f t n+ n+ b ] t + f n+ n+ n+ b p x ak+ pk + { [ n+t n+ [ t + n+ + b xk+ pk + { [ n+t n+ α f x +m α f x +m p α f x +m n+t n+ t n+ α f a ] m n+t ] n+ a ] n+t n+ b α f a ] } m α n+t f b ] n+ m 35

[ t + n+ = x ak+ α f x +m α p pk + n+ + D C f x +mc + b xk+ p pk + + D C f x +mc elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. a f m n+ f b m α } t f b ] n+ m [ C f x a +md C f m ] [ C f x +md C b f m ] α Sonuç 4.. Teorem 4.. te α = alınırsa, Teorem 4.. deki eşitsizlik elde edilir. Teorem 4..3 [, I olacak şekilde I, R de bir açık aralık, f : I R, I de diferensiyellenebilen birfonksiyon, n N,k > ve a için A,4.. ve B,4.. olmak üzere Gk;n;a,x,bf { α x ak+ [ Γα+Γk + A f x k + n+ Γα+k + B Γα+Γk + f a [ ] Γα+Γk + +m A+ + f x Γα+k + m Γα+k+ B +m Γα+Γk+ } f a Γα+k + m ] { α + b xk+ [ A k + n+ B Γα+Γk + b ] +m A+ f Γα+k + m B +m Γα+Γk+ } b ] f Γα+k + m eşitsizliği geçerlidir. Γα+Γk + f x Γα+k + [ Γα+Γk + + f x Γα+k + İspat. Lemma 4.., power-mean eşitsizliğini ve f nin α,m-konveksliğini kullanarak Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k 36 t f n+ n+t ] n+ a

[ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t n+t f ] n+ n+ b x ak+ t k [ t k n+t t f n+ n+ a t k + t n+ ] f n+ n+ a + b xk+ t k [ t k n+t t f n+ n+ b ] t k + t n+ f n+ n+ b {[ x ak+ n+t t k α f k + x n+ +m [ t k + b xk+ +m [ t k + n+t n+ t n+ k + ] α f a m α f x +m {[ α n+t b f n+ m t α t f a } ] n+ m n+t t k α f x n+ ] α f x +m α t b ] } f n+ m n+ { α = x ak+ [ Γα+Γk + A f x k + n+ Γα+k + B Γα+Γk+ f a [ ] Γα+Γk+ +m A+ + f x Γα+k + m Γα+k + } f a m ] B Γα+Γk + +m Γα+k + { α + b xk+ [ A k + n+ B Γα+Γk+ b ] +m A+ f Γα+k + m } B Γα+Γk + b ] +m f Γα+k + m elde edilir. Böyelece ispat tamamlanır. Γα+Γk + f x Γα+k + [ Γα+Γk + + f x Γα+k + 37

Sonuç 4..3 Teorem 4..3 te α = alınırsa, Teorem 4..3 deki eşitsizlik elde edilir. 4.3 Diferensiyellenebilen s Konveks Fonksiyonlar İçin Kesirli İntegraller Yardımıyla Elde Edilen Hermite-Hadamard Tipli Eşitsizlikler Bu bölümde, s konveks fonksiyonlar için Lemma 4.. dikkate alınarak aşağıdaki yeni sonuçlar elde edilmiştir. Teorem 4.3. f : [a,b] R R diferensiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], n N ve k olsun. Eğer f s konveks fonksiyon ise s için olmak üzere E = n s k + F [ s,k +,k+; n ] 4.3. F = Γk +Γs+ Γk +s+ Gk;n;a,x,bf E +F [ x a k+ [ f x + f a ]+b x k+ [ f x + f b ] ] n+ s eşitsizliği geçerlidir. 4.3. İspat. Lemma 4.., mutlak değerin özellikleri ve f nin s konveksliği kullanılarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ { [ x ak+ t k s s n+t t f x + f a ] n+ n+ [ t k s } s t n+t + f x + f a ] n+ n+ n+t ] n+ a ] n+t n+ b = { [ + b xk+ t k s s n+t t f x + f b ] n+ n+ [ t k s } s t n+t + f x + f b ] n+ n+ E +F [ x a k+ [ f x + f a ]+b x k+ [ f x + f b ] ] n+ s 38

elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Teorem 4.3. f : [a,b] R R diferensiyellenebilir bir fonksiyon, f L[a,b], n N ve k olsun. f s konveks fonksiyon ise s, p + ve µ = n+s n s s+ = ve > için µ = s+ olmak üzere Gk;n;a,x,bf n+ s p kp+ { [ [ ]] x a k+ [µ f x +µ f a ] +[µ f x +µ f a ] [ ]] + [b x } k+ [µ f x +µ f b ] +[µ f x +µ f b ] eşitsizliği geçerlidir. İspat. Lemma 4.., Hölder eşitsizliği ve f nin s konveksliği kullanılarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t n+t f ] n+ n+ a [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t n+t f ] n+ n+ b x ak+ t k p [ p n+t t f n+ n+ a + t n+ ] f n+ n+ a + b xk+ t k p [ p n+t t f n+ n+ b ] + t n+ f n+ n+ b x ak+ n+ s [ p n+t s f x + t s f a kp+ 39

] + t s f x +n+t s f a + b xk+ n+ s [ p n+t s f x + t s f b kp+ ] + t s f x +n+t s f b = n+ s { p kp+ x a k+ [[µ f x +µ f a ] +[µ f x +µ f a ] ] } + n+ s { p kp+ b x k+ [[µ f x +µ f b ] +[µ f x +µ f b ] ] } elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Teorem 4.3.3 f : [a,b] R R diferensiyellenebilir bir fonksiyon ve f L[a,b], n N ve α olsun. f s konveks fonksiyon ise s ve > için E, 4.3. ve F, 4.3. olmak üzere Gα;n;a,x,bf k + n+ s { x a k+ [E f x +F f a +F f x +E f a ] eşitsizliği geçerlidir. +b x k+ [E f x +F f b +F f x +E f b ] } İspat. Lemma 4.., power-mean eşitsizliği ve f nin s konveksliği kullanılarak, Gk;n;a,x,bf [ x ak+ t k n+t t f + n+ n+ a t k t f n+ [ + b xk+ t k n+t t f + n+ n+ b t k t f n+ x ak+ t k [ t k n+t t f n+ n+ a n+t ] n+ a ] n+t n+ b 4

t k + t f n+ + b xk+ + ] n+ n+ a [ t k t k f t n+ n+ x ak+ n+ s n+ b t k f n+t n+ ] t n+ b { p t k [n+t s f x + t s f a ] k + } + t k [ t s f x +n+t s f a ] + b xk+ n+ s { p t k [n+t s f x + t s f b ] k + } + t α [ t s f x +n+t s f b ] = n+ s { k + x a k+ [E f x +F f a +F f x +E f a +b x k+ [E f x +F f b +F f x +E f b ] ] } elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. 4

5. TARTIŞMA VE SONUÇ Araştırmanın esasını oluşturan dördüncü bölümde, Lemma 4.. de Noor ve arkadaşlarının vermiş oldukları özdeşlikten yararlanarak m konveks, α, m konveks ve s konveks fonksiyonlar için yeni Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler sunulmuştur. Bu sonuçlar dördüncü bölümde verilmiştir. E.Set ve S.S. Karatas, Hermite-Hadamard type ineualities obtained via fractional integral for differentiable s-convex functions, AIP Conf. Proc. 76, 44 6 ve E.Set, S.S. Karatas ve M.A. Khan, Hermite - Hadamard Type Ineualities Obtained via Fractional Integral for Diferentiable m convex and α,m- convex Functions, International Journal of Analysis Volume 6, Article ID 476569, 8 pages şeklinde yayınlanmıştır. Konuyla ilgilenen araştırmacılar Lemma 4.. den ve uasi-konvekslik, h-konvekslik gibi konveksliğin farklı sınıflarından faydalanarak Hermite- Hadamard tipli yeni eşitsizlikler elde edebilirler. 4

KAYNAKLAR [] Adams, R.A. and Essex, C.,. Calculus A Complete Course, Pearson Canada Inc., Toronto, Ontario, 934. [] Bakula, M.K., Özdemir, M.E. and Pečarić, J., M., 8. Hadamard type ineualities for m convex and α,m convex functions, Journal of Ineualities in Pure and Applied Mathematics, 94. [3] Bayraktar, M.,. Fonksiyonel Analiz, ISBN 975-44-35-. [4] Beckenbach, E.F. and Bellman, R., 96. Ineualities, Springer-Verlag, Berlin. [5] Breckner, W.W., 978. Stetigkeitsaussagenf ureine Klass ever all gemeinerter konvexer funktionen in topologisc henlinearen Raumen, Publ. Inst. Math., 3, 3-. [6] Dragomir, S.S., Agarwal, R.P., 998. Two ineualities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and to trapezoidal formula, Appl. Math. Lett. 5 9-95. [7] Dragomir, S.S., Fitzpatrick, S., 999. Demonstratio Math., 3 4, 687-696. [8] Dragomir, S.S. and Fitzpatrick, S., 999. The Hadamard s ineuality for s convex functions in the second sense, Demonstratio Math., 3 4 687-696. [9] Dragomir, S.S., Pearce, C.E.M.,. Selected Topic on Hermite-Hadamard Ineualities and Applications, Melbourne and Adelaide, December. [] Gorenflo, R. and Mainardi, F., Fractional Calculus: Integral and Differential Euations of Fractional order, 997. Springer Verlag, Wien. [] Hadamard, J., 983. Étude sur les propriété s des fonctions entières et en particulier d une fonction considerée par Riemann, J. Math. Pures Appl. 58 7-5. [] Hardy, G., Littlewood, J.E. and Polya, G., 95. Ineualities, nd Ed., Cambridge University Press. [3] Hudzik, H., Maligranda, L., 994. Some remarks on s-convex functions, Aeuationes Math. 48 -. 43

[4] Iscan, I., 3. A new generalization of some integral ineualities and their applications, Int. J. Eng. Appl. Sci. EAAS 3 3 7-7. [5] Kannappan, Pl., 9. Functional Euations and Ineualities with Applications, Springer, 87. [6] Kirmaci, U.S., Klari cić Bakula, M., Ö zdemir M.E., Pe carić J., 7. Hadamard-type ineualities for s-convex functions, Appl. Math. Comput. 93 6-35. [7] Kilbas A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. 6. Theory and applications of fractional differential euations, Elsevier B.V., Amsterdam, Netherlands. [8] Latif, M. A., 5. ineualities of Hermite-Hadamard type for functions whose derivatives in absolute are convex with applications, Arab J. Math. Sci. 84-97. [9] Mihai M.V., Mitroi F.C., 4. Hermite-Hadamard type ineualities obtained via Riemann-Liouville fractional calculus, Acta Math. Univ. Comenianae, Vol. 83,, pp. 9-5. [] Mitrinović, D.S., 97 Analytic Ineualities, Springer Verlag, Berlin/New York. [] Mitrinović, D.S., Pe carić, J.E., and Fink, A.M., 993. Classical and New Ineualities in Analysis, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London. [] Noor M. A., Noor K. I., Mihai M. V., Awan M. U., 6. Fractional Hermite- Hadamard ineualities for differentiable s-godunova-levin Functions, Filomat in press. [3] Orlicz W. and Matuszewska W., 968. A note on modular spaces. IX, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 6 968, 8-88. MR 39:378 [4] Pachpatte, B.G., 3. On some ineualities for convex functions, RGMIA Res. Rep. Coll., 6, Supplement, Article. [5] Pachpatte, B. G., 5. Mathematical Ineualities, Volume 67, Elsevier B.V., 66. [6] Pearce, C.E.M., Pe carić, J.E.,. Ineualities for differentiable mappings with application to special means and uadrature formula, Appl. Math. Lett. 3 5-55. [7] Pe carić, J.E., Proschan, F., Tong Y.L., 99. Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications, Academic Press Inc. 44

[8] Samko, S.G., Kilbas, A.A., Marichev, O.I., 993. Fractional Integrals and Derivatives Theory and Applications, Gordon and Breach, Longhorne, PA. [9] Toader, G., 984. Some generalizations of the convexity, Proc. Collo. Approx. Optim., Cluj-Napoca Romania, 39-338. [3] Toader, G., 988. On a generalization of the convexity, Mathematica, 3 53, 83-87. 45

ÖZGEÇMİŞ Adı-Soyadı : Süleyman Sami KARATAŞ Doğum Yeri : Gölköy / Ordu Doğum Tarihi : 7..986 Medeni Hali : Bekar Bildiği Yabancı Dil : İngilizce İletişim Bilgileri : Ordu Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, sskaratas5@gmail.com Lise : Çok Programlı Gölköy Lisesi, 3 Lisans : Atatürk Üniversitesi Fen-Edebiyet Fakültesi Matematik Bölümü 3-7 46