ÖSS Mtemtik Mustf Yğcı, ygcimustf@yhoo.com +b+c0 n n + n- n- + + + + 0 biçiminde yzıln ifdelere n doğl syı ve lr reel syı olduğu sürece polinom dendiğini söylemiştik. n n + n- n- + + + + 0 0 biçiminde yzıln denklemlere de polinom denklemler denir. Bu konuyu işlerken tüm derdimiz, böyle denklemleri sğlyn leri bulmk olck, ki bu lere denklemin kökleri denir. Kökleri bulmnın metotlrı d, denklemlerin dlrı d n değiştikçe değişir. n 0 ise denkleme n-inci dereceden denklem denir. n-inci dereceden denklemlerin n tne kökü vrdır. Bu knıtlnbilir elbet. Merk etmeyin, derecesi kç olurs olsun, tüm polinom denklemlerin sırrını çözeceğiz. Bunu bzen denklemi çözerek ypcğız, bzen çözemeyeceğimizi göstererek I. Birinci Dereceden Denklemler. Birinci dereceden denklemleri bugün rtık ikokul çocuklrı bile çözebiliyor. + b 0 ise b/. nın sıfır olmdığını bildiğimizden y bölmekte bir sıkıntı yşmycğız. Fzl dety girmememizin elbet bir sebebi vr. Hl birinci dereceden denklemleri çözerken problem yşyn vey dh d öte, ne olduğunu bile bilmeyen bir kimse iseniz elinizdeki bu syflrı derhl bırkıp, gidip bu konuy çlışmnızı şiddetle önermekteyiz. Aksi tkdirde bu notlrı d nlymyck, üstüne üstlük belki de bize çmur tcksınız II. İkinci Dereceden Denklemler. 0 iken + b + c 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden denklemler denir. Bu notlrın bşrol oyuncusu bu denklemler olck. İkinci dereceden denklemleri çözmeyi, yni bu denklemleri sğlyn leri bulmyı MÖ 400 yıllrınd Bbilliler üç şğı beş yukrı biliyordu. Şimdi biz de öğreneceğiz. Tbii ki üç şğı beş yukrı değil, dört dörtlük! Önce nltcklrımızı dh iyi nlmnız mcıyl, yni genel formülümüzü bulmdn önce, syısl verilerle, o formülü bulurken kullncğımız metotl, birkç örnek çözelim: Soru. 8 0 denkleminin çözüm kümesini Çözüm: Bu ilk örneğimiz olduğundn birkç değişik çözüm göstereceğiz. Sonrki sorulrd içlerinden en beğendiğinizi vey en kıs süreni seçerek onu kullnbilirsiniz. Birinci yol. Bu yolu çrpnlr yırm dersinde detylı işlemiştik. Verilen ikinci dereceden denklemi çrpnlrın yırcğız. 0 8 ( 4)( + ) olduğundn denklemi sğlyn değeri 4 vey dir. İkinci yol. Bu yolu d ikinci dereceden fonksiyonlrın terslerini bulurken öğrenmiştik. İkinci dereceden denklemlerin tmkreye getirilmelerinden bhsediyorum. Htırlyın, bşktsyısı iken, sbit terimi, li teriminin ktsyısının yrısının kresi oln ikinci dereceden denklemler bir kre i- di. Böyle olmyn denklemleri bu hle getireceğiz. 0 8 + 9 ( ) 9 ( ) ( )( + ) ( 4)( + ) olduğundn denklemi sğlyn değeri 4 vey dir. ( ) 9 0 eşitliğinden bşk yol d spılbilir: ( ) 9 olduğundn ± denebilir, ki denmelidir, bu yol dh kısdır. Üçüncü yol. Bştn uyrırız, her denklem bu yol her zmn bu kdr koly izin vermez. Eğer sğlyn bir değerini kfdn bulbilirseniz, mesel 4 olsun, o hlde bu denklemin ( 4) diye bir çrpnı vrdır. Denklemi ( 4) e bölersek, diğer
çrpnı bulbiliriz. Bu çrpnı d 0 eşitlersek diğer kökü bulbiliriz. Soru. 8 0 denkleminin çözüm kümesini Çözüm: Biz ikinci yolun spğındn çözümlere devm edeceğiz. 0 8 + 4 9 4 4 ( ( 4 ) 4 4 ) dir. 4 ± 4 olduğundn ± 4. Soru. 0 denkleminin çözüm kümesini Çözüm: Yine denklemi tmkreye çevireceğiz m tmkre olm şrtlrınd bşktsyının olmsı vrdı, bu sebeple eşitliğin her iki ynını ye bölelim. 0 6 / 0 6 + 9 9/ 0 ( ) 9/ 9 / ± 9 / Artık genel formülü bulbilecek kıvm gelmiş olmmız lzım. Bşlıyoruz. İyi tkip edin! Önce, yine tmkre ypmk mcıyl denklemi prntezine lıyoruz ki, bşktsyı olsun. 0 + b + c ( + b c + ) ( b b b c + + + ) 4 4 b c b (( + ) + ( )) 4 b b 4c (( + ) ) 4 olduğundn ve 0 olduğunu bildiğimizden b b 4c ( + ) 0 4 çıkr. Bundn d b b 4c ( + ) 4 çıkr. Umudunu kesme, devm! Her iki trfın krekökünü llım: b b 4c b 4c + ± ± 4 olur. i ylnız bırkırsk mutlu son erişeceğiz: b b 4c b± b 4c ± çıkr. Nihyet!. Biri rtılı diğeri eksili olmk üzere iki çözüm bulduk. Bundn böyle birinin dı, diğerinin olsun. ile rsındki i- lişkileri dh sonr göreceğiz. Şimdi yukrd çözümlerini yptığımız sorulrı d bir de formülümüzle çözelim: Soru. 8 0 denkleminin çözüm kümesini Çözüm: Denklemimizde, b ve c 8 olduğundn;, b± b 4c ( ) ± ( ) 4..( 8). ± 6 ± 6 + 6 6 olur. O hlde, 4 ve bulunur. Soru. 8 0 denkleminin çözüm kümesini Çözüm: Denklemimizde, b ve c 8 olduğundn;, b± b 4c bu- ( ) ± ( ) 4..( 8). ± 4 + 4 4 olur. O hlde, ve lunur. Soru. 0 denkleminin çözüm kümesini
Çözüm: Denklemimizde, b ve c olduğundn;, b± ( ) ± ± 5 4 b 4c ( ) 4..( ). ± 8 ± 4 8 olur. O hlde, + 8 ve 8 bulunur. Köklerin formülünde beliren köklü ifdenin i- çindeki b 4c değeri ikinci dereceden denklemlerde çok büyük önem rzeder. Bu ifdeye denklemin diskriminntı denir, sembolü ile gösterilir ve kısc delt diye okunur. b b+ ve olduğunu htırltlım. ifdesi krekökün içinde bulunduğundn, denklemin köklerinin reel syı olmsı için pozitif olmlıdır. Peki, sıfır olurs n olur, bir düşünün bklım. Düşünmeye ne gerek b vr, olur. Yni denklemin iki kökü birbirine eşit olur, bu durumd iki tne değil, tek kökü vr deriz. Ki tek kökü oln ikinci dereceden denklemler de bildiğiniz üzere tmkre olurlr. Geldik nın negtif olm durumun. Krekökün içi negtif olurs, o syının reel olmdığını, olmycğını biliyoruz. O hlde < 0 durumund, denklemin reel kökü yoktur deriz. Dikkt edin, kökü yoktur demiyoruz, reel kökü yoktur diyoruz. Zir bir ikinci dereceden denklemin her zmn iki tne kökü vrdır m bzen burd olduğu gibi kökler reel değil de krmşık syı olurlr. Uyrı. + b + c 0 denkleminde ile c ters işretliyse, kesinlikle frklı iki reel kök vrdır. Çünkü frklı iki reel kök olbilmesi için b 4c > 0 olmsı yeter. Verilene göre 4c > 0 ve b nin her değeri için b 0 olduğundn b 4c > 0 eşitsizliği knıtlnmış olur. Fkt burdn ile c ynı işretliyse, denklemin iki frklı reel kökü olmz nlşılmmlıdır. Biz sdece ile c ters işretlilerse kesin böyledir diyoruz. Soru. + 4 + 5 0 denkleminin R de çözüm kümesini Çözüm: Eğer ile c ters işretli olsydı, frklı iki reel kökün vrlığını bilerek, hemen, b, c değerlerinin eşitlerini köklerin formülünde yerlerine yzr ve çözüm kümesini bulurduk. Burd ile c ynı işretli olduğundn önce nın işretini tyin etmekte fyd vr. b 4c 4 4..5 4 < 0 olduğundn hiç işlem ypmy gerek yok, kökleri reel değildir. Dolyısıyl R de çözüm kümesi boştur. Aklınız Acb nın işretini incelemeden bunu bulmz mıyız? diye bir soru geldiyse cevplylım: Bulbiliriz! + 4 + ɷ ifdesinde ɷ syısı, ifdeyi tmkre ypn ɷ değerinden büyükse kökler reel değildir, eşitse zten tmkredir, küçükse de kesinlikle iki frklı reel kök vrdır! Bunun knıtını siz ypmy çlışınız. Çok koly olduğunu söyleyelim de Kim uğrşck şimdi? demeyin Soru. + + (8 m) 0 denkleminin iki frklı reel kökü olduğu biliniyors, m nin bulunmsı gereken rlığı Çözüm: + + ɷ ifdesini tmkre ypn ɷ syısı dir. (8 m) değeri den küçük olurs denklemin iki frklı reel kökü olur. 8 m < ise m > 7 olmlıdır. İkinci dereceden denklemler hiç ummdık yerde krşımız çıkmlrıyl meşhurdur. Abrtmylım m geometrinin bile ilerlemesinde çokç ktkılrı olmuştur. Geometri problemleri çözerken çoğu zmn krşınız çıktığını htırlıyor olmlısınız. Htırlmıyorsnız, y çok z geometri sorusu çözmüşsünüzdür y d hfıznızd bir problem vrdır! Birzdn bunlr d syf syımız elverdiğince örnekler vereceğiz. Köklü ifdelerin oluşturduğu denklemlerin çözümlerinde de ikinci dereceden denklemlere sıkç rstlnır. Krekökten kurtulmk isteyen biri eşitliğin her iki trfının kresini ldığını çoğu zmn krşısınd böyle bir denklem bulur. Pydsınd birinci dereceden denklem içeren kesirli ifdelerin pydlrını eşitlediğinizde de rstlşmışsınızdır. Ne bileyim, ikinci dereceden bir denklemi çözmesini bilmeyen biri Pisgor, Öklid, Tles gibi teoremlerden ne kdr fydlnbilir? Benim size önerim, üniversite giriş imtihnınd bir tne bile ikinci dereceden denklem sorusunun çıkmycğı grnti edilse
bile, çok iyi bilinmesi ve çlışılmsı gereken bir konudur. Gelinim, sn söylüyorum! Soru. + eşitliğini sğlyn reel syısı Çözüm: Eşitliği biçiminde düzenleyelim. Her iki trfın kresini lrk krekökten kurtulmdn önce bir kenr / olmsı gerektiğini de not edelim. 4 + 9 0 4 + 7 Köklerin formülünde değerleri yerine yzrsk ve 7/4 bulunur. / olmsı gerektiğinden eşitliği sğlyn tek değeri 7/4 tür. Soru. ( + ) ( + ) 4 0 denklemini sğlyn lerin toplmı Çözüm: İstersek, prntezleri çrk, krşımız çıkck oln ikinci dereceden denklemi çözeriz. Am öyle çok soru çözdük. Bşk bir teknik görelim. + t olsun. Denklemimiz t t 4 0 hlini lır. t t 4 (t 4)(t + ) 0 olduğundn t 4 vey t olur. Şimdi geri dönüşüm yplım: + 4 vey + olur. O hlde in lbileceği değerler ve olduğundn toplmı olur. + 4 Soru. + 0 9 eşitliğini sğlyn değeri Çözüm: 9 ( )( + ) olduğundn toplnn ikinci ifdenin pydsını ( + ) ile genişletelim: + 4( + ) 5+ 4 + 0 9 9 9 olduğundn 4/5 olur. Eğer vey bulsydık, bu değerler, bize verilen eşitliği tnımsız ypcğındn cevbımız boşküme olcktı. Yni kesirli ifdelerde, bulduğumuz değerin pydyı sıfır ypıp ypmdığını incelemeyi unutmmlıyız. Benzer incelemeleri köklü ifdelerde de ypın! Soru. ABC üçgeninde DE // BC veriliyor. AD +, DB, AE ve EC + olduğun göre Çözüm: Tles Teoremi nden AD/DB AE/EC olduğunu biliyoruz. Kurlım orntımızı. + olduğundn + + + olur. Düzenlenirse 0 çıkr. Denklem ± çözülürse olur. Fkt uzunluklr negtif olmycğındn > / olmlı, yni, denklemin pozitif oln kökü olmlıdır. O hlde +. Soru. Yndki ABC üçgeninde DE // AB ve AD // EF veriliyor. BD FC 4 ise DF Çözüm: Yine Tles Teoremi ni kullncğız. CF/FD CE/EA CD/DB olduğundn 4 + 4 olmlıdır. + 4 6 denklemi düzenlenirse + 4 6 0 hlini lır. Burd dik- 4 kt etmemiz gereken nokt in pozitif olm şrtıdır. O hlde iki kökten pozitif olnı lcğız. Ben ldım: + 5. Soru. ABC üçgeninde AD iççıortydır. Uzunluklr şekilde verildiği gibi ise AB kenrının boyu Çözüm: İççıorty Teoremi nden AC/CD AB/BD olduğunu biliyoruz. Orntımızı kurrsk + çıkr ki bunu dh önceki sorulrd + + çözmüş ve bulmuştuk. Bu şrtlr ltınd AB + olur. Soru. ABCD dikdörtgeninin kenr uzunluklrı şekilde verildiği gibidir. Bu dikdörtgenin lnı en çok kç olbilir? Çözüm: Dikdörtgenin lnı eni ile boyunun çrpımı olduğundn Aln(ABCD) ( + 4)( ) + 4 ( + ) + 9 olur. Burdn d için lnın en çok 9 olbileceğini nlrız. Hocm, nsıl negtif olbilir ki? demeyin. değil, uzunluk negtif olmz. Yni < < 4
olduğu sürece uzunluklr negtif olmz. Bu soruyu, ilerde, prbol dersinde dh kıs yoldn çözmeyi öğreneceğiz. Alıştırmlr. Aşğıdki sorulrı ksi iddi edilmedikçe için ve R kümesinde çözünüz.. 0 denkleminin çözüm kümesini. 7 + 0 denkleminin çözüm kümesini. + + 56 0 denkleminin çözüm kümesini 4. + ( ) 0 denkleminin çözüm kümesini 5. 5 99 + 0 0 denkleminin çözüm kümesini 6. + 0 denkleminin çözüm kümesini 7. ( b + b) + b 0 denkleminin için çözüm kümesini 8. 4 4 5 0 denkleminin çözüm kümesini 9. 7 0 0 denkleminin çözüm kümesini 0. ( ) 4( ) 0 denkleminin çözüm kümesini. ( + ) + 5( + ) 54 0 denkleminin çözüm kümesini. ( ) 8( ) + 0 denkleminin çözüm kümesini. ( ) ( ) 0 denkleminin çözüm kümesini 4. 4 + 8 + 0 denkleminin çözüm kümesini 5. m 4 6m + 8 0 denkleminin m için çözüm kümesini 6. + 5y + 7y 0 denkleminin ve y için çözüm kümesini 7. 7 0y y 0 denkleminin ve y için çözüm kümesini 8. y 4 + 4y 0 denkleminin ve y için çözüm kümesini 9. 00 0 + 0 5 + 0 denkleminin çözüm kümesini 0. + 0 denkleminin çözüm kümesini. 4 0 denkleminin çözüm kümesini. + + denkleminin çözüm kümesini. denkleminin çözüm kümesini 4. y + 4 ve y 4 denklem sistemini sğlyn ve y 5. y ve y denklem sistemini sğlyn ve y değerlerini 6. denkleminin çözüm kümesini + 5 7. 4 + + + + kümesini denkleminin çö- + 5 + 8. + + + + + züm kümesini + + 9. + + kümesini denkleminin çözüm denkleminin çözüm 5
+ + + 0. denkleminin çözüm + kümesini denklemi-. 9 + 9 nin çözüm kümesini. + 0 5 denkleminin çözüm kümesini denkleminin çö-. 6 6 + 6 züm kümesini denkleminin çö- 4. + 6 6 + 6 züm kümesini 5. 4. + + 7 0 denkleminin çözüm kümesini Kökler Toplmı ve Kökler Çrpımını Kökleri Bulmdn Bulmk. Bn hiç öyle bkmyın, bu mümkün! Htt innmycğınız kdr d bsit. b b+ ve olduğunu bildiğimizden bu iki ifdeyi toplrsk kökler toplmını, çrprsk kökler çrpımını, çıkrtırsk d kökler frkını buluruz. Ylnız, ben cnım öyle istedi diye eksili köke, rtılı köke dedim. Anlycğınız bunlr yer değiştirebilirler. Bundn dolyı kökler frkın bulduğumuz formül, diğer türlü düşünüldüğünde işret değiştirmelidir. Bunun için sorulrd y bir kökün diğerinden büyük olduğunu belirtir vey kökler frkının pozitif değerini filn sorr. Siz de bun dikkt edin. İşini grntiye lmk isteyen kökler frkı formülünü mutlk değer içinde düşünebilir. Şimdi söylediklerimizi sırsıyl yplım: b + b+ + b b b b+ ( b) ( )( ) 4 4c c 4 b b+ 6. Böyle dh nice formül bulmk mümkün. Yukrd iki kökün toplmını, çrpımını ve frkını veren formüller bulduk. Aynı formülleri, köklerin kendisi için değil de çrpmy göre tersleri için, kreleri için, küpleri için ve klınız gelen herhngi durumlr için de bulbilirdik. Bulun! Aynı şğıdki sorud yptığımız gibi ypın. Soru. 4 0 denkleminin kökleri ve olsun. < frzederek kökler toplmını, kökler çrpımını, diskriminntı, kökler frkını, köklerin kreler frkını, köklerin kreleri toplmını, köklerin küpleri frkını, köklerin çrpmy göre tersleri toplmını, köklerin çrpmy göre terslerinin kreleri toplmını ve kökleri yrı yrı hesplyınız. Çözüm: Denklemimizde, b ve c 4 olduğunu not edelim. b ( ) +, c 4 4, b 4c ( ) 4..( 4) 0, 0 5 ( )( + ) 5. 4 5, + ( + ) ( 4), ( ) + ( ) ( 5 ) +.( 4)( 5 ) 40 5 + 4 5 6 5 + + b / b, c / c + +, 6 4 Kökleri formülleri kullnmdn bulmk içinse + ve 5 eşitliklerini trf trf toplycğız. 5 ve + 5 bulunur. Soru. (m ) + ( 4m) + 5m 6 0 denkleminin kökler çrpımı ise kökler toplmı
c Çözüm: Kökler çrpımının formülü olduğundn olmlı. 5m 6 6m 4 eşitli- 5m 6 m ğinden m bulunur. O hlde denklem 8 + 0 6 0 hlini lır ki kökler toplmı d b/ formülünden 5/4 olrk bulunur. Soru. 0 + m 0 denkleminin kökleri ve dir. 0 olduğun göre + m toplmı Çözüm: ve ye bğlı iki bilinmeyenli bir denklemimiz vr. Aynı şeylere bğlı ikinci bir denklem dh bulbilirsek, ki bundn koly ne vr, soru çözülmüş syılır. 0 ve + 5 denklemleri ortk çözülürse 0 ve 5 olrk bulunur. Herhngi birini denklemde yerine yzıp (sğlmsı gerekir), m olduğu nlşılır. O hlde + m dir. Soru. 9 + 4 0 denkleminin kökleri ve olduğun göre + toplmı Çözüm: + 9 ve 4 eşitliklerini kenrd bekletiyoruz. + T olsun. Eşitliğin her iki ynının kresini llım. ( + ) + T 9 +. olur. Burdn T e ulşmk hiç de zor olms gerek. Niye pozitif krekökünü ldık bir düşünün m. Soru. 5 6.5 + + 5 0 denkleminin kökler çrpımı Çözüm: İkinci dereceden denklemlerin rsınd bu denklemin işi ne? dediğinizi duymyyım skın!. 5 + 5.5 olduğundn 0 5 6.5 + + 5 5 0.5 + 5 olur. 5 değerine A dersek; A 0A + 5 0 denklemine ulşırız ki, lın size ikinci dereceden bir denklem, çözün çözebildiğiniz kdr!. 0 A 0A + 5 (A 5)(A 5) olduğundn A 5 vey A 5 dir. Tbii bize A yı sorn yok. A bizim hyli khrmnımız. Gerçek oln 5 dir. 5 5 ve 5 5 eşitliklerinden vey bulunur, o hlde bu değerlerinin çrpımı dir. Alıştırmlr.. + 5 0 denkleminin kökler çrpımı kçtır?. 6 0 denkleminin kökler çrpımı. + 5 8 0 denkleminin kökler çrpımı 4. 6 + 0 denkleminin kökler toplmı + 5. ( ) + ( ) 6 0 denkleminin kökler toplmı 6. 9 0 denkleminin kökler çrpımı 7. 7 + 4 6 0 denkleminin kökler toplmı 8. + + 0 denkleminin kökler toplmı + 5 9. ( ) 5 + 6 0 denkleminin kökler toplmı 0. 4. + + 7 0 denkleminin kökler çrpımı. (m ) + ( 4m) + 5m 6 0 denkleminin kökler çrpımı ise m. (m + ) (m + ) + 4m 0 denkleminin kökler toplmı ise m?. 8 + m 0 denkleminin kökleri ve dir. 5 olduğun göre m 4. 8 + m 0 denkleminin köklerinden biri, diğerinin ktı ise m 5. ( ) ( + ) + 0 denkleminin kökleri ve dir. + olduğun göre 6. (m + ) + 0 denkleminin kökleri ve dir. + 9 4 ise m 7
7. m > 0 ve m + 6 0 denkleminin kökleri ve dir. ise + 8. (m ) (m + ) + m + 0 denkleminin köklerinin ve olduğu biliniyor. ( )( ) 0 ise m 9. + (p ) + q 0 denkleminin kökleri p ve q ise q p? 0. (m + ) (m ) + m 0 denkleminin kökleri ve dir. + ise m. + ( ) 0 denkleminin kökler toplmı 0 ise, bu denklemi sğlyn değerlerinin toplmı. m + n m 0 ve + n + m + n 0 denkleminin köklerinin ritmetik ortlmsı 4 olduğun göre m n frkı. (m + ) (m + 4) + m 0 denkleminin köklerinin ritmetik ortlmsı ise krelerinin toplmı 4. (p + ) (p ) + p 0 denkleminin köklerinin geometrik ortlmsı 4 ise köklerin ritmetik ortlmsı 5. + + denkleminin köklerinin çrpımı 6. 5 5 0 denkleminin köklerinin çrpmy göre terslerinin krelerinin toplmı 7. q + 4p 0 denkleminin kökleri p ve q ise p + q? 8. + 4 0 denkleminin kökleri ve olduğun göre + 9. 4 0 denkleminin kökleri ve olduğun göre > iken 4 4? Ortk kökler. Bzen bir vey dh çok syı, iki vey dh çok denklemi birden sğlr. O durumd birden fzl denklemin kökü olmuş olurlr. Bu yüzden de ortk sıftıyl nılırlr. Htt tüm kökleri ortk oln m birbirlerine görünüşte hiç benzemeyen denklemler de yzmk mümkündür. 6 ile 4 0 denklemlerini düşünün. Her ikisinin de tek kökü vrdır, 4!. İşte 4, bu iki denklemin ortk köküdür. Soru. + 5 + 0 + 4 7 + 0 denklemlerinin birer kökü ortk ise Çözüm: Ortk oln köke m diyelim. O hlde m değeri her iki denklemi birden sğlmlıdır. m + m 5 + 0 m + 4m 7 + 0 eşitliklerinden m yi bulmk mcıyl denklemleri eşitleyelim: m + m 5 + m + 4m 7 + eşitliğinden m 5 4m 7 yni m bulunur. Ortk kökü bulduk. Şimdi bu kökü cnımızın istediği denklemde yerine koyck ve sğlmsını bekleyeceğiz. Bunu ypınc olduğunu görürüz. Soru. + + b 0 denkleminin bir kökü, + c + d 0 denkleminin bir kökü 5 tir. Bu iki denklemin diğer kökleri ortk ise c frkı Çözüm: Ortk oln kök yine m olsun. O hlde ilk denklemin kökleri ve m, ikinci denklemin kökleri 5 ve m olur. Diğer yndn kökler toplmının formülü gereği + m ve 5 + m c dir. c ( m) (5 m) 8 bulunur. Bu sorud ve c ile lklı şeyler sorduğundn kökler toplmındn gittik, eğer b ve d ile lklı bir soru gelseydi, kökler çrpımındn gitmek dh mntıklı olurdu. Kökleri bilinen ikinci dereceden denklemlerin yzılmsı. Şu n kdr bize verilen her türlü i- kinci dereceden denklemin köklerini bulmyı öğrendik, sdece bunl d klmdık, toplmlrını, frklrını, çrpımlrını bile bulduk. Şimdi de bize denklemin köklerini verip, kökleri bu oln denklem vey denklemleri bulun diyecek. Yine koly nlmnız mcıyl ilk örneğimizi syısl verilerle çözelim: Soru. Kökleri ve 4 oln ikinci dereceden bir denklem yzınız. 8
Çözüm: Kök ne demekti? Denklemi sğlyn değer. Yni ve 4 bu denklemi sğlıyormuş. Polinomlr dersinden htırlrsınız, bir P() polinomu ( ) ile bölünebiliyors P() 0 idi. Yni P() polinomund görülen yere yzılırs, denklem sğlnıyordu. Burd d hem hem de 4 yzılınc sğlnıyor olmlı. O hlde denklemimiz hem ( ) e hem de ( 4) e bölünüyor olmlı, yni bunlrı birer çrpn olrk içermeli. Ylnız bunlrı çrpn olrk içeren sonsuz tne ikinci dereceden denklem vrdır. Mesel ( )( 4), ( )( 4) vey 4( )( 4). Dh d yzbileceğimizi nlmışsınızdır. Dolyısıyl biz bu melde soruln sorulrı bşktsyısı oln nlmınd cevplycğız. Şimdi genel formülü bulbiliriz: Soru. Bşktsyısı olup, kökleri ve oln ikinci dereceden denklemi yzınız. Çözüm: ( ) ve ( ) çrpnlrını içereceğini rtık biliyoruz. Bşktsyısı d olduğundn bu denklem kesinlikle ( )( ) 0 olmlı. Durmylım, prntezleri çlım bklım: + 0 yni ( + ) + 0 olur. + toplmını T, çrpımını d Ç ile gösterirsek, genel formülümüz T + Ç 0 hlini lır. Eğer bşktsyısı değil de k olnı bulun deseydi, buluğumuz bu denklemi k ile çrpmmız yeterdi, k( T + Ç) k kt + kç 0 gibi yni. Soru. Kökleri + ve olup, bşktsyısı oln ikinci dereceden denklemi yzınız. Çözüm: k, T + + ve Ç ( + )( ) olduğundn k( T + Ç) ( + ( )) 6 0 olmlıdır. Soru. Bşktsyısı olup, köklerinden biri 5 oln rsyonel ktsyılı ikinci dereceden denklemi yzınız. Çözüm: İkinci dereceden denklemlerin köklerinin formülünü htırlyınız. b b+ ve idi. Burdn şöyle bir mntık yürütmekte mhzur görmüyoruz. Eğer köklerinden biri irrsyonel ise diğeri de irrsyoneldir. Çünkü denklemin diskriminntı yni sı tmkre değilmiş ki ilk kök irrsyonel çıktı, e ynı köklü ifde diğer kökün formülünde de vr. O hlde irrsyonel olmsı kçınılmz. Diğer yndn ktsyılrın rsyonel olmsı bize diğer kökün sdece irrsyonel olmkl klmyıp, ilk kökün eşleniği olmsı gerekliliğini de nltır. Eşleniği olmsydı hem kökler çrpımı rsyonel olmzdı hem de belki kökler toplmı. Ki köklerin formüllerine yrı yrı bkrsnız, bunlrın birbirlerinin eşleniği olmsı gerektiğini zten nlrsınız. Bu sebeple bir kök 5 ise diğer kök 5 + olmlıdır. Bu yüzden kökler toplmı 0 ve kökler çrpımı tür. Bunlrı formülümüzde yerine yzrsk; k( T + Ç) ( 0 + ) + 0 69 0 buluruz. Alıştırmlr.. Kökleri ve olup, bşktsyısı oln ikinci dereceden denklemi yzınız.. Kökleri ve 5 olup, bşktsyısı oln ikinci dereceden denklemi yzınız.. Kökleri ve 4 olup, bşktsyısı / oln ikinci dereceden denklemi yzınız. 4. Kökleri / ve / olup, bşktsyısı oln ikinci dereceden denklemi yzınız. 5. Bşktsyısı olup, köklerinden biri 4 oln rsyonel ktsyılı ikinci dereceden denklemi yzınız. Şimdi de iki vey dh çok ikinci dereceden denklemin köklerinin birbirleri rsındki bzı i- lişkileri inceleyeceğiz. Örneğin, önümüzde durn bir ikinci dereceden denklemin köklerini bulmdn, öyle bir denklem yzcğız ki, kökleri, önümüzdeki denklemin köklerinin ikişer ktı, yrısı, bzen de kresi olck. Olmyck bir şey yok. Yeter ki iste! Nsıl ypcğımızı şğıdki sorunun çözümünde detylı olrk nlttım. Soru. Öyle bir ikinci dereceden denklem yzınız ki, kökleri + 0 denkleminin köklerinin ikişer ktı olsun. Çözüm: Yok dh neler!. Aslınd uzun m insnın klın önce şöyle bir yol geliyor: Bn vermiş olduğu denklemin köklerini bulsm, bu köklerin herbirini ile çrpsm, dh sonr d bu köklere ship ikinci dereceden denklemi yzsm Brvo, doğru, m çok uzun olur. Htt sırf bu yoldn gittiğine vey kıs yolunu bilmediğine 9
pişmn ol diye verdiği denklemin kökleri rsyonel olmz, ynen bu sorudki gibi. Bzen reel syı bile değildir, bir sonr sorulck sorud olcğı gibi. Onun için siz şğıd yptığımız çözüme kulk kbrtın: + 0 denkleminin köklerine ve b diyelim. Köklerin toplmı ve çrpımı formüllerinden + b ve b olduğunu biliyoruz, not e- delim. Kökleri ve b oln ikinci dereceden denklemi rıyoruz. E, biz bunu bulmyı öğrenmiştik. T + Ç ( + b) + (.b) 0 olur. + b ve b değerleri yerlerine yzılırs 6 + 4 0 bulunur. Soru. + 5 0 denkleminin köklerinin krelerini kök kbul eden ikinci dereceden bir denklem yzınız. Çözüm: + 5 0 denkleminin köklerine ve b diyelim. + b ve b 5 olduğunu biliyoruz. Birzdn kökleri ve b oln ikinci dereceden denklemi yzcğımızdn + b ve b değerlerini hemen bullım. + b ( + b) b.5 6 ve b 5 olduğundn rnn denklem + 6 + 5 0 denklemidir. Alıştırmlr.. + 4 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ( ) ve ( ) oln ikinci dereceden bir denklem. 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ve oln ikinci dereceden bir denklem. + 7 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ( + ) ve ( + ) oln ikinci dereceden bir denklem 4. + 5 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri / ve / oln ikinci dereceden bir denklem 5. + 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ve oln ikinci dereceden bir denklem 6. 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri (/ ) ve (/ ) oln ikinci dereceden bir denklem 7. + 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ( + / ) ve ( + / ) oln ikinci dereceden bir denklem 8. 5 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ve oln ikinci dereceden bir denklem 9. + 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ve oln ikinci dereceden bir denklem III. Üçüncü Dereceden Denklemler. İkinci dereceden denklemleri bu kdr iyi çlıştıktn sonr, Yok mu bunun dh büyük dereceden olnlrı? dediğinizi duyr gibiyim. İnsnın işthı kbrıyor. sıfırdn frklı olmk üzere + b + c + d 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden denklemler denir. Böyle denklemlerin, ve diye dlndırcğımız üç kökü vrdır. Tbii, bu kökleri bulmk birinci ve ikinci dereceden denklemlerde olduğu kdr koly değil. Am bu köklerin nsıl bulunduğunu merk edenler için yzının ilerleyen kısımlrınd bu metodu çıkldım. Sdece üçüncü değil, dördüncü dereceden denklemlerin köklerini bulmy yryn metodu d yzdım. Keşke benim de sizler gibi dh lisede okurken bu metotlrı öğrenebilme şnsım olsydı. Üçüncü dereceden denklemlerin köklerini bulmk çok krışık ols d kökleri rsınd çok bsit ilişkiler vrdır. Bunlrı knıtsız vereceğiz: b + +, + + c, d. Ayrıc, belki sırsı değil m, bir denklem kçıncı dereceden olurs olsun, köklerinin toplmı b/ dır. Ne demek istediğimizi nlmışsınızdır. n- li terimin ktsyısının n li terimin ktsyısın ornının ters işretlisi. Şimdi birz bu formülleri kullncğımız sorulr çözeceğiz. Ylnız bu tip sorulrd sıkç görülen ortlmlrı tekrr htırlmkt fyd vr: 0
. Aritmetik ortlm.,,,, n reel syılrının ritmetik ortlmsı (ortsı) + + +... + n şeklinde tnımlnır. ve b gibi iki reel syının +b ritmetik ortsı ve, b, c gibi üç reel + b+ c syının ritmetik ortsı ise olur.. Geometrik ortlm.,,,, n pozitif reel syılrının geometrik ortlmsı (ortsı) n..... şeklinde tnımlnır. Geometrik ortnın diğer bir dı ise ort orntıdır. ve b gibi iki pozitif reel syının ort orntısı b ve, b, c gibi üç pozitif syının geometrik ortsı ise bc olur.. Hrmonik ortlm. Sıfırdn frklı,,,, n reel syılrının hrmonik ortlmsı (ortsı) n + + +... + n şeklinde tnımlnır. ve b gibi sıfırdn frklı b iki reel syının hrmonik ortsı ve, b, c + b gibi sıfırdn frklı üç reel syının hrmonik bc ortsı ise olur. b+ c+ bc 4. Aritmetik dizi. Ardışık iki teriminin frklrı sbit oln dizilerdir.,,,, n gibi bir ritmetik dizide herhngi bir terim kendisine eşit uzklıkt bulunn komşulrının ritmetik ortsıdır. Örneğin, n +. 5. Geometrik dizi. Ardışık iki teriminin ornı sbit oln dizilerdir.,,,, n gibi bir geometrik dizide herhngi bir terim kendisine eşit uzklıkt bulunn komşulrının geometrik ortsıdır. Örneğin,. Soru. m 64 0 denkleminin köklerinin ritmetik ve geometrik ortsının toplmı n Çözüm: Denklemimizin köklerinin ritmetik ortsı, diğer yndn geometrik + + ortsı 64 4 olduğundn cevbımız 5 olmlıdır. Soru. (m + 4) 4m + 0 denkleminin kökleri, ve olsun. + + 5 olduğun göre m + toplmı b m+ 4 Çözüm: 5 + + olduğundn m + 4 0, dolyısıyl m bulunur. Bu durumd denklemimiz 0 7 0 d 7 hlini ldığındn olur. O hlde soruln m + toplmı + 7/ / olur. Soru. + m + 5 0 denkleminin kökleri, ve ise + + Çözüm: + + b / b olur. d / d 5 5 + + Soru. + w + 5 0 denkleminin köklerinin hrmonik ortsı Çözüm: Kökler her zmnki gibi, ve olsun. Hrmonik ortnın formülü gereği ( d / ) d 0 + + c / c bulunur. Soru. + k 0 denkleminin tüm köklerinin işretlerini b Çözüm: + + 0 olduğundn üç kö- kün üçü de pozitif vey üçü de negtif olmz, çünkü toplmlrı sıfır olmzdı. O hlde y ikisi pozitif biri negtif, y d ikisi negtif biri pozitiftir. Hngisi olduğun d kökler çrpımındn krr vereceğiz. d olduğundn iki kökü negtif- tir. Eğer tek kökü negtif olsydı kökler çrpımı d negtif çıkrdı. Umrım nlmışsınızdır.
Alıştırmlr.. 5 (m + 4) m + 0 denkleminin kökleri, ve olsun. + + olduğun göre?. 0 denkleminin kökler toplmı. + + 5 0 denkleminin kökler çrpımı 4. 8 + 5 + 0 denkleminin kökler toplmı 5. 7 6 + 0 denkleminin kökler çrpımı 6. + m 7 + 5 0 denkleminin kökleri, ve tür. + + ise m 7. + (m + ) + m 0 denkleminin kökünün ritmetik ortlmsı, üçüncü köke e- şit olduğun göre m 8. + 6 + (m ) + m + 0 denkleminin kökleri, ritmetik dizi oluşturuyors m 9. 5 + 6 0 denkleminin köklerinin kreleri toplmı 0. Bşktsyısı olup, kökleri,, oln üçüncü dereceden denklemi yzınız.. Bşktsyısı olup, kökleri,, 4 oln ü- çüncü dereceden denklemi yzınız.. Bşktsyısı olup, köklerinden biri diğeri oln rsyonel ktsyılı üçüncü dereceden denklemi yzınız.. İki kökü ve 5 olup, bşktsyısı o- ln rsyonel ktsyılı üçüncü dereceden denklemin köklerinin çrpımı 4. Bir kökü 7, bir diğeri oln rsyonel ktsyılı üçüncü dereceden denklemin köklerinin toplmı 5. q 5 + 6 0 denkleminin köklerinin hrmonik ortsı 6. 6 + + 0 denkleminin köklerinden biri diğer iki kökün toplmı ise 7. + b 8 0 denkleminin üç kökü de reel syıdır. Bu köklerden kçının pozitif, kçının negtif olduğunu 8. Bşktsyısı ve kökleri hem ritmetik dizi, hem de geometrik dizi oluşturn üç rdışık syı oln üçüncü dereceden denklemi Bzı üçüncü dereceden denklemlerin köklerini bulmk için ill d bir formül vey ilerde çıklycğımız metodu bilmeye gerek yoktur. Örneğin, 8 denklemini hepimiz çözebiliriz. Bu kdr bsit olms d bzen bşk yollr vrdır. Bunlrdn birincisi, kökler toplmı, köklerin ikişer ikişer çrpımlrının toplmı ve köklerin çrpımının formüllerini bildiğimizden üç bilinmeyenli üç denklem çözülebilir. Am bu çözüm çoğu zmn kbus gibidir. İkinci yol ise verilen üçüncü dereceden denklemi çrpnlrın yırmktır. Becerebilirsek tbii ki Üçüncü yol ise en mntıklısı, m tekrr htırltlım, bun her denklem izin vermez. Şöyle: Kökler çrpımının d/ olduğunu htırlyın. O hlde köklerin hepsi bu d/ syısının bölenleridir. Du edelim ki tm böleni olsunlr. Tm bölenleri sğlms bile deneme ynılm yoluyl tüm derdimiz sdece bir kökü bulmk olck. İşte böyle bir kök bulbilirsek, örneğin bulduk ve o kök olsun, o hlde denklem ( ) ile tm bölünebilmeli diyerek, denklemi ( ) e böleceğiz. Bölümde çıkn ikinci dereceden denklem de bize diğer iki kökü ltın tepside sunck. Hemen bir örnek çözeyim: Soru. + 4 + 0 denkleminin tüm reel köklerini Çözüm: nin bölenlerini, tek tek, sğlıyor mu diye deneyeceğiz. Ben denedim, sğldı. Hemen denklemi ( ) e bölelim. + 4 +. + 4 +. + + 0
+ 0 denklemini çözerek de diğer iki kökü merk ediyorsnız bulbilirsiniz. 0 + + + ( + ) olduğundn + ± olur. Burdn d diğer iki kök ve + bulunur. Alıştırmlr. Aşğıd verilen üçüncü dereceden denklemlerin reel köklerini. 4 0. + 4 + 4 0. 4 + 4 0 4. y 0 5. 8 y 0 6. y 0 7. 64 7 0 8. + 7 + 5 0 9. + 5 0 0. 4 + 5 0. + 6 0. 5 0 0. 88 0 4. + 0 5. + 6 + + 8 0 Üçüncü dereceden denklemlerin köklerini bulmk. Birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözümlerini zten büyük ihtimlle sizler de ypbiliyordunuz. Am dh büyük dereceden denklemlerin çözümlerini bulmk insnlık trihinin nerdeyse 000 yılını ldı. Üçüncü dereceden denklemler, 55 yılı dolylrınd İ- tlyn mtemtikçi Scipione del Ferro trfındn çözülmüştür. Am kısmen. Tm olrk çözen yine bir İtlyn oln Niccolo Fontn Trtgli dır. 000 yıllık bir uğrşı burd tek syfd toprlybileceğimiz için çok şnslı olduğumuzu söyleyebiliriz. Burd yzdıklrımızın ÖSS ile ilgisinin olmdığı konusund d uyrlım. Bşlıyoruz. Denklemimiz + b + c + d 0 olsun. nın sıfırdn frklı olduğunu bir kez dh htırltırız. Aynı ikinci dereceden denklemlere uyguldığımız gibi eşitliğin her iki trfını y bölelim. + b + c + d 0 b B, çıkr. Hem işlem kolylığı hem de nlşılbilirlik dın c d C ve D eşitliklerini kullnrk denklemimizi + B + C+ D 0 biçimine getirelim. Eğer bu denklemi çözebilirsek, bştki denklemi de çözebileceğimizi çoktn nlmış olmlısınız. Amcımız sdece krışıklığ meydn vermemek üzere denklemleri mümkün olduğunc sdeleştirmek. Yine ynı mçl denklemdeki terimini yok ederek denklemin dh d sdeleşmesini sğlmk istiyoruz. yerine y t yzrk denklemi düzenlediğimizde oluşn li terimin t B/ olduğu zmn 0 olcğını nlıyoruz. Bu mçl yerine y B/ yzcğız. İşlemleri ypınc y lerin sdeleşerek kybolcğı rtık sürpriz değil! Geriye y + Ey + F 0 gibi bir denklem klır. Burd E ve F değerlerini merk eden bunlrı B, C, D dolyısıyl, b, c, d cinsinden yzbilir, biz bunu ypmycğız. Şimdi tüm mrifetimizi y + Ey + F 0 denklemini çözmeye hrcycğız. Eğer E sıfırs sorun yok, çünkü o zmn eşitlik y + F 0 hlini lır ki burdn y F olduğunu bulmyn zten ne bury kdr nlttıklrımızı nlmıştır, ne de bundn sonr nltcklrımızı nlr! Bundn böyle E nin sıfır olmdığını düşünelim. Şimdi bir süre için çrpnlr yırm dersine dönelim. (u v) u u v + uv v olduğunu biliyoruz. Hepsini bir trft toplylım: (u v) + uv(u v) + v u 0. Bir şeyler sezdiniz mi? y + Ey + F 0 denklemine ne kdr d benziyor değil mi? O hlde hemen y u v E uv F v u
olsun diyelim. Burdn u v değerini buln y yi çoktn bulmuş olck! E nin eşitinden v yi çekip, F nin eşitinde yerine yzcğız. v E/(u) olduğundn F v u E /(7u ) u olur. Düzenlenirse; 7u 6 + 7Fu E 0 y d u 6 + Fu E /7 0 olur. Denklemdeki u yerine w yzrsk, w + Fw E /7 0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem buluruz ki, böyle sorulrı çözmeyi bildiğimizden mutlu son ulşmış oluruz. Şimdi geriye sdece yptığımız dönüşümlerde ters işlemler yprk, b, c, d değerlerine ulşmk klıyor. Nsıl mı? w yi bulduğumuzdn w nin üçüncü dereceden kökünü lrk u y ulşırız. v E/(u) eşitliğinde bunu yerine yzrk v ye ulşırız. Ardındn y u v eşitliğinden de y yi buluruz. Çözümlerden birini bulunc diğerlerini bulmk çocuk oyuncğı gibi bir şeydir. Denklemi sğlyn y değerlerinden bulduğumuz y 0 diyelim. Mdem y 0 diye bir kökü vr, o hlde bu polinom (y y 0 ) ile tm bölünür diyerek, polinomu (y y 0 ) böleceğiz. Çıkn ikinci dereceden denklemin iki kökü de üçüncü dereceden denklemin y 0 dn frklı oln diğer iki kökünü verecektir. Sonuç olrk, denklemin (ille de birbirlerinden frklı olmlrı gerekmeyen) üç kökü de bulunmuş olur. IV. Dördüncü Dereceden Denklemler. Bir, iki, üç derken dörde kdr geldik. Nereye kdr gideceğimizi (dh doğrusu gidebileceğimizi) merk ediyorsnız, okumy devm! Dördüncü dereceden denklemler ilk olrk Girolmo Crdno nun öğrencisi Lodovico Ferrri trfındn 540 lrd çözülmüştür. 0 olmk üzere 4 + b + c + d + e 0 denklemiyle ve her zmnki gibi bu denklemin her iki trfını y bölerek bşlıyoruz. 4 + B + C + D + E 0 gibi bir denklem elde ediyoruz, ynı üçüncü dereceden denklemlere uyguldığımız gibi y B/4 lıp y 4 + Fy + Gy + H 0 biçiminde yzıln dh bsit bir denkleme vrıyoruz. Amcımız bu denklemi y cinsinden çöz-mek. Önce y 4 + Fy + Gy + H 0 denklemini şğıdki gibi kreye tmmlylım: y 4 + Fy + F Fy + F Gy H yni (y + F) Fy Gy + F H. Şimdi birz zeki olup, her z için, (y + F + z) (y + F) + z(y + F) + z Fy + F Gy H + zy + zf + z (F + z)y Gy + (F H + zf + z ) eşitliklerinin, dh doğrusu sdece (y + F + z) (F + z)y Gy + (F H + zf + z ) eşitliğinin yrımın vrmlıyız. Sğ trf y cinsinden ikinci dereceden denklem olduğundn, z yi sğ trf bir kre olck şekilde seçebiliriz; bunun için z yi sğ trfın diskriminntını, yni G 4(F + z) (F H + zf + z ) syısını 0 olck biçimde seçmeliyiz, ki bu d z cinsinden üçüncü dereceden bir denklem olduğundn çözülebilmesi her zmn mümkündür. Bundn böyle z yi öyle seçelim. Demek ki belli bir 0 için, (y + F + z). Şimdi (y + F + z) yi biçiminde seçersek; y 4 + Fy + Gy + H 0 denkleminin çözümlerinden birini buluruz. Birini bulduk mu diğerleri koly zten. Trtgli, sen çok yş! 4
V. Beşinci ve Dh Yüksek Dereceden Denklemler. Beşinci dereceden genel denklemler yukrdki gibi cebirsel olrk, yni dört işlemle ve kök lrk çözülemezler. Çözülmesi bilinmiyor değil, çözülemezler. Hiç kimse, hiçbir zmn çözemez. Bu, mtemtiksel olrk knıtlnmıştır. Bugün hl dh bzılrı beşinci dereceden denklemleri çözmeye çlışır, htt çözdüğünü iddi eder. Bulduklrı çözüm kesinlikle doğru olmz, bir yerde ht ypmışlrdır mutlk. Her denklem çözülemez demek istemiyoruz. Örneğin, 5 + 0 türünden denklemler çözülebilir. Çözülebilecek dh krmşık denklem ileleri de vrdır elbet. Am cebirsel yöntemlerle çözülemeyecek beşinci dereceden denklemler vrdır, htt bunlr çoğunluktdır. Bu imknsızlık çok genç yşlrınd ölen Norveçli Niels Henrik Abel (80-89) trfındn 84 te knıtlnmıştır. Bu sdece n 5 için değil, eğer n 5 ise n. dereceden denklemlerin tümü için geçerlidir. Bu d mtemtik trihinin en romntik figürü oln Frnsız Evriste Glois (8-8) trfındn knıtlnmıştır. Çözülemez diye kollrımızı kvuşturmycğız herhlde. Ayrıc kim söyledi çözülemeyeceğini? Sdece cebirsel çözümün bulunmycğını söyledik, nlize dynn yöntemler bulunbilir, neden bulunmsın? Onlrın yeri tbii ki bursı değil, mtemtik bölümünü kzndıktn sonr gelin ynım, olur mu? 5