GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI Prof. Dr. Nezir KÖSE 30.12.2013 S-1) Ankara ilinde satın alınan televizyonların %40 ı A-firması tarafından üretilmektedir. A- firması tarafından üretilen televizyonların 1 yıllık sürede arızalanma olasılığı %2.5 iken diğer markalar için bu olasılık %5 dir. Rastgele seçilen bir televizyonun; a) A-firması tarafından üretilmesi ve bir yıllık süre içerisinde arızalanması olasılığı nedir? b) A-firması tarafından üretilmesi veya bir yıllık süre içerisinde arızalanması olasılığı nedir? c) Bir yıllık süre içerisinde arıza yaptığı bilindiğinde A-firması tarafından üretilmiş olması olasılığını bulunuz. d) Bir yıllık süre içerisinde arıza yapmadığı bilindiğinde A-firması tarafından üretilmiş olması olasılığını bulunuz. e) A-firması tarafından üretilmemiş ve bir yıllık sürede hiç arızalanmamış olması olasılığı nedir? f) Bir yıllık süre içerisinde arıza yapmadığı bilindiğine göre A-firması tarafından üretilmemiş olması olasılığını bulunuz. S-2) Herhangi bir kişinin A hastalığına yakalanma olasılığı %5 dir. Bu hastalığın teşhisinde kullanılan kan tahlilinin hastalık gerçekten var ise pozitif sonuç (hastalığın varlığı) verme olasılığı %95 iken hastalık gerçekte olmadığı halde pozitif sonuç verme olasılığı %1 olmaktadır. Kan tahlili sonucu pozitif olduğunda kişinin gerçekten bu hastalığa yakalanmış olması olasılığını hesaplayınız. S-3) Ankara ilinde hasarla sonuçlanan günlük trafik kaza sayısına ait olasılık dağılımı aşağıdaki gibi belirlenmiştir. Kaza Sayısı 0 0.25 1 0.55 2 0.10 3 0.07 4 0.03 X rastgele değişkeni günlük kaza sayısı olmak üzere a) X in ortalama ve standart sapmasını hesaplayınız. b) olmak üzere Y nin ortalama ve varyansını bulunuz. S-4) X rastgele değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir: { a) b) X in beklenen değer ve standart sapmasını bulunuz. c) X in dağılım fonksiyonunu elde ediniz. 1
S-5) X ve rastgele değişkenleri için birlikte olasılık dağılımı aşağıdaki gibi belirlenmiştir. Y X 1 2 0 0.06 0.04 1 0.30 0.20 2 0.24 0.16 a) X ve Y nin marjinal dağılımlarını bulunuz. b) X ve Y nin beklenen değer ve varyanslarını hesaplayınız. c) X ve Y arasındaki kovaryansı hesaplayınız d) X ve Y arasındaki korelasyon katsayısını hesaplayınız ve yorumlayınız e) W değişkeni iki X+Y olmak üzere W nin ortalama ve varyansını bulunuz. f) D değişkeni X-Y olmak üzere D nin ortalama ve varyansını bulunuz. g) X=2 iken Y nin koşullu dağılımını bulunuz. h) X=2 iken Y nin koşullu beklenen değer ve varyansını hesaplayınız. S-6) Emlak kredisi çeken kişilerin banka ile yaptıkları sözleşmede yer alan hükümlerin tamamını okuma oranı %70 olarak belirlenmiştir. Veri bir günde emlak kredisi çeken 5 kişiden a) Tamamının sözleşmeyi okuması b) En az 4 kişinin sözleşmeyi okuması; Olasılıklarını hesaplayınız. c) Bu bankadan bir yıllık süre içerisinde 1250 kişi emlak kredisi almıştır. X rastgele değişkeni yapılan sözleşmede yer alan hükümlerin tamamını okuyan kişi sayısı olmak üzere ilgili yıl için X in ortalama ve standart sapmasını bulunuz. S-7) Bir sınava giren yirmi öğrenciden on beş tanesi başarılı olmuştur. Sınava giren öğrenciler arasından ardı ardına beş öğrenci seçiliyor. Aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. a) En çok iki kişinin başarılı olması b) En az bir kişinin başarılı olması c) X rastgele değişkeni başarılı öğrenci sayısı olmak üzere X in ortalama ve varyansını bulunuz. S 8) Ankara daki belediye otobüslerinin vites kolunda bir aylık süre içerisinde ortaya çıkan ortalama arıza sayısı 4 olarak belirlenmiştir. X rastgele değişkeni belediye otobüslerinin vites kolunda bir aylık süre içerisinde meydana gelen arıza sayısıdır. Bu bilgilere göre; a) Herhangi bir ayda arıza sayısının 1 olması olasılığı nedir? b) Herhangi bir ayda en az bir arıza olması olasılığı nedir? c) X rastgele değişkeninin standart sapması nedir? 2
Cevap 1 A Firması (%40) Diğer (%60) Arıza(%2.5) Arızasız (%97.5) Arıza(%5) Arızasız (%95) Cevap 2) A (%5) P (%95) N (%5) (%95) P (%1) N (%99) ( ) ( ) ( ) ( ) Cevap 3) Kaza Sayısı 0 0.25 0.00 0.00 1 0.55 0.55 0.55 2 0.10 0.20 0.40 3 0.07 0.21 0.63 4 0.03 0.12 0.48 Toplam 1.08 2.06 ( ) 3
Cevap4) ( ) Cevap 5) Y X 1 2 0 0.06 0.04 1 0.30 0.20 2 0.24 0.16 X in marjinal olasılık dağılımı Y nin marjinal olasılık dağılımı X P(X) Y P(Y) 0 0.1 1 0.6 1 0.5 2 0.4 2 0.4 0 0.1 0.0 0.0 1 0.5 0.5 0.5 2 0.4 0.8 1.6 Toplam 1.3 2.1 ( ) 4
1 0.6 0.6 0.6 2 0.4 0.8 1.6 Toplam 1.4 2.2 ( ) X ve Y arasında doğrusal bir ilişki yoktur. Tüm değerleri için koşullu olasılıklarını bulalım. 1 2 0.6 0.4 ( ) Cevap 6) rastgele değişkeni yapılan sözleşmede yer alan hükümlerin tamamını okuyan kişi sayısı olmak üzere her deneyin hükümleri okuyan ya da hükümleri okumayan şeklinde iki sonucu vardır. Bu deneylerde hükümleri okuyanların olasılığı her deney için sabit olup %70 dir. Aynı zamanda deney 5 kez tekrarlanmış ve deneyler birbirinden bağımsızdır. Bu sebeplerden dolayı rastgele değişkeni Binom dağılımına sahiptir. dağılımın parametrelerini göstermek üzere in olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi olacaktır: 5
Cevap 7) : Başarılı Öğrenci sayısı : Diğer Cevap 8) X rastgele değişkeni belediye otobüslerinin vites kolunda bir aylık süre içerisinde meydana gelen arıza sayısı olmak üzere Poisson dağılımına sahiptir. Bu dağılımda olmaktadır. a) b) c) olduğuna göre standart sapma=2 dir. 6