ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR AKARYAKIT DAĞITIM DİZGESİNİN ULAŞTIRMA GİDERİNİN DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YOLUYLA EN AZA İNDİRGENMESİ Mihrican KOCAOĞLU KİMYA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2010 Her hakkı saklıdır

TEZ ONAYI Mihrican KOCAOĞLU tarafından hazırlanan Bir Akaryakıt Dağıtım Dizgesinin Ulaştırma Giderinin Doğrusal Programlama Yoluyla En Aza İndirgenmesi adlı tez çalışması 27.01.2010 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman : Prof. Dr. M.Çetin KOÇAK Jüri Üyeleri : Başkan : Prof. Dr. Ayşen APAYDIN Ankara Üniversitesi, İstatistik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. M.Çetin KOÇAK Ankara Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Yahya SUYADAL Ankara Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr.Orhan ATAKOL Enstitü Müdürü

ÖZET Yüksek Lisans Tezi BİR AKARYAKIT DAĞITIM DİZGESİNİN ULAŞTIRMA GİDERİNİN DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YOLUYLA EN AZA İNDİRGENMESİ Mihrican KOCAOĞLU Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. M. Çetin KOÇAK Doğrusal programlama, uygulama alanı geniş bir en iyileme yöntemidir. Belli sayıda sunum merkezinden belli sayıda istem merkezine yapılan taşımalarda toplam taşıma maliyetini en aza indirecek bir dağıtım planının yapılmasını sağlayan ulaştırma modeli, doğrusal programlama yaklaşımlarından biridir. Bu çalışmada; Türk Silahlı Kuvvetleri nin üç sunum merkezi ile yirmi yedi istem merkezi arasındaki akaryakıt dağıtımı, 2008 yılı verilerine dayalı olarak çözülmüştür. Tanımlanan ulaştırma problemi için Kuzey Batı Köşe, En Düşük Maliyetli Gözeler ve Vogel in Yaklaşım (VAM) yöntemlerinden başlangıç çözümü olarak elde edilen en düşük taşıma maliyeti, sırayla, 107.415,19, 105.972,33 (Satır Yaklaşımı), 104.916,40 (Kolon Yaklaşımı), 106.033,74 (Genel Yaklaşım), 105.509,01 TL olmuştur. En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi Kolon Yaklaşımı ile bulunan başlangıç çözümü Atlama Taşı ve MODİ yöntemleri ile yoklanmış; düzeltilmiş maliyet, 104.561,84 TL ile en iyi olmuştur. Ulaştırma problemi ayrıca Lingo ve MATLAB ortamında doğrusal programlama yordamıyla çözülünce maliyet, yine 104.561,84 TL çıkmıştır. Öte yanda, Microsoft Ecel deneyimi sonuçsuz kalmıştır. Ocak 2010, 114 sayfa Anahtar Kelimeler: Doğrusal Programlama, uygunlaştırma, en iyileme, ulaştırma modeli, akaryakıt dağıtımı i

ABSTRACT Master Thesis MINIMISATION OF TRANSPORTATION COST A FUEL DISTRIBUTION SYSTEM VIA LINEAR PROGRAMMING Mihrican KOCAOĞLU Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Chemical Engineering Supervisor: Prof. Dr. M. Çetin KOÇAK Linear programming is a widely used optimization technique. Transportation model is a kind of linear programming to minimise the total cost of transportation from a known number of supply centres to a known number of demand centres. This research solved a fuel distribution case of the Turkish Armed Forces involving three supply centres and twenty-seven demand centres using data for the year 2008. North-west Corner, Minimum Cost Cells, and Vogel s Approimation Methods (VAM) were applied separately to find an initial solution for the formulated transportation problem. The respective figures were 107.415,19, 105.972,33 (row approach), 104.916,40 (column approach), 106.033,74 (general approach), 105.509,01 TL. Subsequent application of Stepping Stone and MODI methods to the distribution plan obtained by Minimum Cost Cells with column approach, showed that the lowest cost was 104.561,84 TL. The transportation problem was also solved harnessing linear programming in Lingo and Matlab. The minimum cost was again 104.561,84 TL. On the other hand, attempted application of Microsoft Ecel failed. January 2010, 114 pages Key Words : Linear programming, optimization, transportation model, fuel distribution ii

ÖNSÖZ Yüksek Lisans çalışmam boyunca her konuda yardımlarını benden esirgemeyen başta danışmanım Prof. Dr. M.Çetin KOÇAK (Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Bölümü) olmak üzere bütün hocalarıma, her zaman desteklerini hissettiğim arkadaşlarım ve aileme, bıkmadan bütün nazımı çeken sevgili eşime bütün içtenliğimle teşekkür ediyorum. Başladığımı gören ve hep yanımda olan ama bitirdiğimi görmeye amansız hastalığı izin vermeyen yiğenim, canımın içi Zebedimi (Zeynep AKBABA) özlemle ve sevgiyle anıyorum. Mihrican KOCAOĞLU Ankara, Ocak 2010 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii ÖNSÖZ... iii ŞEKİLLER DİZİNİ... vi ÇİZELGELER DİZİNİ... vii 1. GİRİŞ... 1 2. GENEL BİLGİLER... 5 2. GENEL BİLGİLER... 5 2.1 Doğrusal Programlama... 5 2.1.1 Doğrusal Programlama probleminin matematiksel modeli... 6 2.1.2 Simpleks Algoritması... 9 2.2 Dualite... 10 2.3 Doğrusal Programlama Problemlerinin Bilgisayarda Çözülmesi... 11 3. ULAŞTIRMA PROBLEMLERİ VE ULAŞTIRMA MODELİ... 13 3.1 Ulaştırma Probleminin Matematiksel Modeli... 13 3.2 Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma Problemleri... 16 3.3 Ulaştırma Probleminin Çözüm Algoritması... 18 3.4 Ulaştırma Probleminin Başlangıç Çözüm Yöntemleri... 19 3.4.1 Kuzeybatı Köşe Yöntemi... 19 3.4.2 En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi... 20 3.4.3 Vogel in Yaklaşım Yöntemi... 20 3.5 En İyi Çözümün Bulunması İçin Geliştirilen Yöntemler... 22 3.5.1 Atlama Taşı Yöntemi... 22 3.5.2 MODİ Yöntemi... 24 3.6 Örnek Ulaştırma Problemi ve Çözüm Algoritmasının Uygulanması... 27 3.7 Ulaştırma Modelinin Diğer Çeşitleri... 38 3.8 Ulaştırma Problemleri ile İlgili Ülkemizdeki Örnek Çalışmalar... 39 4. MATERYAL VE YÖNTEM... 45 4.1 Materyal... 45 4.2 Yöntem... 46 iv

5. ARAŞTIRMA BULGULARI... 48 5.1 Kuzey Batı Köşe Yöntemi... 48 5.2 En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi... 52 5.2.1 En Düşük Maliyetli Gözeler (Kolon Yaklaşımı ) Yöntemi... 52 5.2.2 En Düşük Maliyetli Gözeler (Satır Yaklaşımı ) Yöntemi... 54 5.2.3 En Düşük Maliyetli Gözeler (Genel Yaklaşım ) Yöntemi... 57 5.3 Vogel in Yaklaşım Yöntemi... 59 5.4 En İyi Çözümün Bulunması... 63 5.5 Atlama Taşı Yönteminin Uygulanması... 64 5.6 MODİ Yönteminin Uygulanması... 82 5.7 Ulaştırma Probleminin Bilgisayar Programları ile Çözülmesi... 101 5.7.1 Problemin Microsoft Ecel Çözücü Eklentisi ile çözülmesi... 102 5.7.2 Problemin Lingo yazılımı ile çözülmesi... 103 5.7.3 Problemin MATLAB Optimization Toolbo ile çözülmesi... 104 6. TARTIŞMA VE SONUÇ... 105 KAYNAKLAR... 107 EK 1 Ulaştırma Probleminin Lingo Yazılımında Elde Edilen Sonuçlar... 109 ÖZGEÇMİŞ... 114 v

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 3.1 m üretim (sunum) merkezli n tüketim (istem) merkezli ulaştırma probleminin grafiksel gösterimi... 15 Şekil 3.2 Ulaştırma probleminin çözüm algoritması... 18 vi

ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 3.1 Ulaştırma tablosu genel yapısı... 16 Çizelge 3.2 Örnek problemin ulaştırma tablosu... 27 Çizelge 3.3 Örnek problemin yeni oluşturulan ulaştırma tablosu... 28 Çizelge 3.4 Kuzey Batı Köşe Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı... 29 Çizelge 3.5 En düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi (Genel Yaklaşım) sonucunda elde edilen dağıtım planı... 30 Çizelge 3.6 Örnek probleme VAM Yönteminin uygulanması... 30 Çizelge 3.7 Örnek problem için VAM Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı... 31 Çizelge 3.8 Örnek problem için başlangıç çözüm yöntemleri sonucunda elde edilen maliyetler... 32 Çizelge 3.9 VAM Yöntemine göre bulunmuş dağıtım planı... 32 Çizelge 3.10 Örnek problem için bulunan başlangıç çözümüne Atlama Taşı Yönteminin uygulanması sonucunda elde edilen dağıtım planı... 33 Çizelge 3.11 Örnek problem için bulunan başlangıç çözümüne MODİ Yönteminin uygulanması sonucunda elde edilen dağıtım planı... 36 Çizelge 4.1 Üç sunum 27 istem merkezli ulaştırma probleminin maliyet tablosu... 47 Çizelge 5.1 Dengelenmiş ulaştırma tablosu... 49 Çizelge 5.2 Kuzey Batı Köşe Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı... 51 Çizelge 5.3 En Düşük Maliyetli Gözeler (Kolon Yaklaşımı) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı... 53 Çizelge 5.4 En Düşük Maliyetli Gözeler (Satır Yaklaşımı) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı... 56 Çizelge 5.5 En Düşük Maliyetli Gözeler (Genel Yaklaşım) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı... 58 Çizelge 5.6 Vogel in Yaklaşım (VAM) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı... 62 Çizelge 5.7 Başlangıç çözüm yöntemlerine göre toplam taşıma maliyeti karşılaştırılması... 63 Çizelge 5.8 Ulaştırma probleminin başlangıç temel çözümü... 65 vii

Çizelge 5.9 Atlama Taşı Yöntemine göre ilk yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 68 Çizelge 5.10 Atlama Taşı Yöntemine göre ikinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 71 Çizelge 5.11 Atlama Taşı Yöntemine göre üçüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 74 Çizelge 5.12 Atlama Taşı Yöntemine göre dördüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 76 Çizelge 5.13 Atlama Taşı Yöntemine göre beşinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 79 Çizelge 5.14 Ulaştırma probleminin başlangıç temel çözümü... 83 Çizelge 5.15 MODİ Yöntemine göre ilk yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 86 Çizelge 5.16 MODİ Yöntemine göre ikinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 88 Çizelge 5.17 MODİ Yöntemine göre üçüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 91 Çizelge 5.18 MODİ Yöntemine göre dördüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 94 Çizelge 5.19 MODİ Yöntemine göre beşinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 97 Çizelge 6.1 Araştırma bulguları... 105 Çizelge 6.1 Araştırma bulguları (devam)... 106 viii

1. GİRİŞ Optimizasyon, bir probleme geçerli ve etkili bir çözümü belirlemek veya proseslerin tasarımını yapmak için özel metotların kullanımıdır. Bu teknik endüstriyel karar vermede sayısal yöntemlerin en önemlilerinden biridir. Yapı, tasarım, işletme ve kimyasal fabrikaların incelenmesi gibi problemler optimizasyon ile çözülebilir. Optimizasyon fen, mühendislik ve işletme alanlarında yaygınlaşmıştır. İstatistik alanında, maksimum olasılık, minimum kayıp, en küçük kare gibi temel değerlerde, işletmede maksimum kar, minimum maliyet, kaynakların maksimum kullanımı, minimum enerji için optimizasyon kullanılır. Bir optimizasyon probleminin amacı bütün şirket, fabrika, bir proses, işletmenin bir ünitesi, ekipmanın bir parçası ya da bunların arasında herhangi bir büyüklükte bir istem olabilir. Endüstri şirketleri optimizasyonu üç alanda kullanır: a. İşletme b. Süreç tasarımı ve ekipman tanımlamasında c. İşletme operasyonlarında. Optimizasyon kimyasal süreçlerde ve işletmeler için çok sayıda alanda uygulanabilir. Bazıları şunlardır: i. En iyi fabrika yeri belirlemesi, ii. İşlenmiş ve işlenmemiş ürünlerin dağıtımı için tanker planlaması, iii. Boru hatlarının boyutlandırılması ve düzenlenmesi, iv. Bütün bir fabrika ve ekipmanların tasarımı, v. Ekipmanların değişimi ve bakımının programlanması, vi. Reaktör, kolon ve çeşitli ekipmanların işletmesi, vii. Proseslerin modelini kurmak için işletme verilerinin hesaplaması, viii. Yapıların programlaması ve planlaması. Optimizasyon teknikleri önemli derecedeki problemlerin çözümü için hızlı ve güvenli yöntemler olarak yıllardan beri kullanılmaktadır. Optimizasyon algoritması ve bilgisayar teknolojisinde devam eden gelişmeler binlerce değişkeni kapsayan büyük 1

ölçekli doğrusal olmayan problemlerin optimizasyonuna olanak sağlamalıdır (Edgar vd. 2001). Bir optimizasyon problemi, belirli kısıtlar altında bir amaç fonksiyonunun optimize edilmesinden oluşmaktadır. Diğer bir deyişle, karar değişkenleri olarak nitelendirilen fonksiyon değişkenlerinin kısıtların tümünü sağlayan ( uygun çözüm bölgesinde bulunan) ve amaç fonksiyonunu optimize eden sayısal değerlerini bulma problemidir. Optimizasyon modelleri çeşitli kriterlere göre sınıflandırılabilmektedir. Fonksiyonlarının tipine göre, birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorsa doğrusal (lineer) programlama, diğer durumlarda ise doğrusal olmayan (eğrisel) programlama şeklinde sınıflandırılırlar. Karar değişkenlerinin tipine göre, sadece tam sayılı değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir. Hem sürekli hem de tam sayılı değişken içeren modeller ise karma tam sayılı programlama adını alırlar. En az bir tane rassal parametre içeren programlar ise stokastik programlar olarak nitelendirilirler. Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir. Optimizasyon problemin çözümü zamanın bir fonksiyonu ise, problem dinamik programlama adı ile adlandırılmaktadır. Dinamik programlama da kendi içerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir. Birden fazla amaç fonksiyonu ile başa çıkmak için geliştirilen ve çok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama, birbirleriyle çelişebilen amaçları hep birlikte göz önüne almakta ve amaçlardan sapmaları minimize ederek çözüme ulaşmaktadır. Konveks ve kesirli programlama türleri de yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir (Çetin 2009). İster sayısal analizler, ister yöneylem araştırması adı altında olsun uygulanmakta veya geliştirilmekte olan ve matematik model kullanan bütün yöntemler esasında işletme sorunlarının matematiksel olarak programlanması ve çözümünden başka bir şey değildir (Alan ve Yeşilyurt, 2004). Yöneylem araştırmasındaki matematiksel modellerde karar değişkenleri tamsayılı ya da sürekli olabilir, buna karşılık amaç ve kısıt fonksiyonları doğrusal olabilir ya da olmayabilir. Optimizasyon problemleri bu tür modeller sayesinde ortaya çıkmakta ve değişik çözüm yöntemlerinin gelişmesine kaynak olmaktadır. Bunlar içerisinde en 2

belirgin başarıyla kullanılanı doğrusal programlamadır. Doğrusal programlamada tüm amaç ve kısıt fonksiyonları doğrusaldır. Farklı modellerin çözümü için geliştirilen yöntemler arasında dinamik programlama, tamsayılı programlama, doğrusal olmayan programlama, hedef programlama ve şebeke programlama sayılabilir ( Taha 2002 ). Yöneylem Araştırması uygulamalarındaki temel aşamalar şöyle ifade edilebilir (Taha 2002 ): 1. Problemin tanımlanması: Ele alınan problemin incelenip izlenerek tanımlanmasını kapsar. 2. Model kurulması: Problem matematiksel ilişkiler halinde ifade edilir. Başka bir deyişle, problem matematik diline tercüme edilir. Model doğrusal programlama gibi standart bir matematiksel model biçiminde ifade edilebiliyorsa, mevcut algoritmalar yardımıyla çözüme ulaşılır. 3. Modelin çözülmesi: Bu aşamada çok iyi bilinen optimizasyon algoritmaları kullanılmaktadır. Modelin çözülmesinin önemli bir yanı da duyarlılık analizini de içermesidir. 4. Modelin geçerliliğinin onaylanması: geliştirilmiş olan modelle sistemin çalışması karşılaştırılır ve modelin beklenen davranışları sergileyip sergileyemeyeceği incelenir. 5. Çözümün uygulanması: Tutarlığı kanıtlanmış bir modelin çözümünün uygulanması, önerilen sistemi uygulayacak olan kişilere anlaşılır bir biçimde verilecek çalışma talimatlarında yer alan model sonuçlarının aktarılmasını içerir. Yöneylem araştırmasında iyi bilinen bir yöntem olan ulaştırma modeli, 1960lı yıllardan bu yana çeşitli sektörlerde ürünlerin pazarlara dağıtımı, atama ve aktarma problemleri, tesis yeri seçimi, işlerin makinelere ve personele dağıtımı ve üretim programlaması gibi konularda ortaya çıkan sorunların çözümünde kullanılmaktadır. Temeli, işletmenin elindeki üretim kaynaklarını gerekli kullanım yerlerine aktararak toplam taşıma maliyetlerini en aza indirmektir. Modelin amacı gerekli dağıtımlar için en ekonomik dağıtımın seçilmesidir (Işık ve Ertuğrul 2008). Bu çalışmasının amacı üç sunum merkezi ve yirmi yedi istem merkezi olan bir ulaştırma problemine ulaştırma modellerinin çözüm yöntemlerinin uygulanmasıdır. Ulaştırma 3

modelinin doğrusal programlamanın özel bir türü olmasından dolayı optimizasyon yöntemleri içerisinde sadece doğrusal programlama tanımlanacaktır. Ulaştırma problemi hem ulaştırma modelinin özel çözüm yöntemleri hem de doğrusal programlama problemi olarak çözülecek ve elde edilen bulgular değerlendirilecektir. İkinci Bölümde doğrusal programlama ile ilgili genel bilgiler verildikten sonra Üçüncü Bölümde doğrusal programlamanın özel bir türü olan ulaştırma problemleri ve ulaştırma modeli anlatılacaktır. Dördüncü Bölümde Türk Silahlı Kuvvetlerinin akaryakıt taşıması için gerekli veriler kullanılarak ulaştırma problemi tanımlanacak, Beşinci Bölümde ulaştırma modeli çözüm yöntemlerinin probleme uygulanması anlatıldıktan sonra altıncı bölümde sonuçlara ve sonuçların değerlendirilmesine yer verilecektir. 4

2. GENEL BİLGİLER 2.1 Doğrusal Programlama Kısıtlı optimizasyonun en basit hali amaç ve kısıtlayıcı fonksiyonların doğrusal olduğu durumdur (Greig 1980). Doğrusal Programlama en yaygın ve en etkili olarak kullanılan optimizasyon tekniklerinden biridir (Edgar 2001). Doğrusal Programlama, sınırlı kaynakların kullanımını en iyi kılmak için tasarlanmış bir matematiksel modelleme yöntemidir. Askerlik, endüstri, tarım, ulaştırma, ekonomi, sağlık sistemleri, hatta davranış bilimleriyle sosyal bilimler gibi alanlarda başarılı doğrusal programlama uygulamaları vardır (Taha 2002). Doğrusal Programlama modeli ilk olarak 1942 de Kantoroviç tarafından tanımlanmış, Dantzig, 1947 de Simpleks Yöntemi denilen algoritmayı bulmuştur. Von Neumann, piyasa güçleri ile büyüme hızının nasıl maksimize edilebileceğini gösteren bir dinamik genel denge modeli kurmuştur. Dorfman, doğrusal programlamayı firma teorisine uygulamıştır. Samuelson, Solow, Gale ve daha birçok iktisatçı ve matematikçi doğrusal programlama tekniğini tanıtmaya ve geliştirmeye çalışmışlardır (Tor 1991). Doğrusal Programlama Problemi en iyi algoritmalar ve en geniş bilgisayarlarda çözülmek üzere hazırlanır. Fakat tanımlanan geniş çaplı programlama problemlerinin çözümü oldukça güçtür. Bu tür problemlerin çözümünde en yaygın olarak kullanılanı Simpleks Algoritması ya da Yöntemi dir. 1984 yılında Neranda Karmarkar, Karmarkar Algoritması ya da Yöntemi olarak anılan yöntemi ortaya atmıştır (Apaydın 2005). Doğrusal Programlamada geçerli olan varsayımlar aşağıdaki gibi sıralanabilir (Kara 1991): 1. Bölünebilirlik Problemin karar değişkenleri her türlü reel değer alabiliyorsa, bölünebilirlik özelliği sağlanıyor demektir. 5

2. Oranlılık Her bir karar değişkeninin alacağı değerlere göre, bu değişkenden dolayı katkının oluşumu (amaç) ve kaynakların kullanımı (kısıtlar) belirli (sabit) oranda etkileniyorsa, oranlılık özelliği söz konusu demektir. Oranlılık özelliği bir anlamada en iyi değeri araştırılan amacın ve kararı etkileyen kaynakların her bir değişkene göre doğrusal olarak ifade edilebiliyor olmasıdır. 3. Toplanabilirlik Karar değişkenlerine verilecek değerlere göre, her birinin sağladığı katkılar toplanıp toplam katkıyı ve her birinin kullandığı i nci kaynaklar toplanıp i inci kaynak kullanımını veriyorsa ve bu özellik tüm kaynaklar için geçerli ise ele alınan problem toplanabilirlik özelliği taşıyor demektir. Toplanabilirlik özelliği, katkı oluşumu ve kaynak kullanımı yönüyle aynı birimlerle ifade edilebilirlik anlamındadır. 4. Belirlilik Karar probleminin tüm parametrelerinin sayısal değerlerinin biliniyor olmasına belirlilik özelliği denir. Bu özellik, verilecek kararı etkileyen ancak alabilecekleri değerler karar vericinin kontrolü dışında oluşan değişkenlerin (parametrelerin), problemin ele alındığı zamandaki değerlerinin, açıklayıcı ya da kestirim modelleri yardımıyla, belirlenmiş olması anlamındadır. 2.1.1 Doğrusal Programlama probleminin matematiksel modeli Amaç fonksiyonu en büyükleme biçiminde olan bir doğrusal programlama problemi, Amaç Fonksiyonu : n Ma f ( ) = C...(2.1) j= 1 j j Kısıtlar : n j= 1 a ij j b, i = 1,2,... m...(2.2) i Negatif Olmama Koşulu : 0, j = 1,2,... n...(2.3) j 6

olarak tanımlanır (Apaydın 2005). Burada, c i, b j ve a ij (i=1,2, m; j=1,2,..n) bilinen değişmezler, j ise karar değişkenleridir. Eğer bir j kümesi (2.2) kısıtlarını sağlarsa çözüm, hem (2.2) hem de (3.2) kısıtını sağlarsa uygun çözüm adını alır. Amaç fonksiyonunu en iyileyen çözüm ise en iyi çözüm adını alır. Doğrusal programlamanın amacı en iyi çözümü bulmaktır (Apaydın 2005). Doğrusal programlamanın farklı biçimleri verilebilir: 1. Standart Biçim Ma ( Min) f ( ) = n j= 1 n j= 1 j j aij j = bi, i= 1,..., m.(2.4) 0, j= 1,..., n j C 2. Yasal Biçim n Ma f ( ) = C veya Min f ( ) = C n j j j j j= 1 j= 1 a b, i= 1,..., m, a b ij j i ij j i j= 1 j= 1 0, j= 1,..., n, j n n j 0 (2.5) 3. Genel Biçim Ma ( Min) f ( ) = f ( ) n j= 1 aij j{, =, } bi, i= 1,..., m (2.6) j= 1 n C j j 0, j= 1,..., n j = z alındığında genel biçim daha açık olarak 7

Ma ( Min) z= C +... + C 1 1 { } { } a + a +... + a, =, b 11 1 12 2 1n n 1 a + a +... + a, =, b 21 1 22 2 2n n 2 M M { } a + a +... + a, =, b m1 1 m2 2 mn n m,,..., 0 1 2 şeklinde tanımlanır. Matris simgesi ile n n n (2.7) Ma( Min) z= C A {, =, } b 0 biçiminde tanımlanır. Burada, A a 11 1n = ( aij ) mn = am 1 L a mn L a teknik katsayılar matrisi,......(2.8) b1 b 2 b= M b m C C1 2 C n kaynaklar vektörü veya sağ taraf sabitleri, = (, C,..., ) katkı vektörü ya da fiyat vektörü, 1 2 X = karar değişkenleri vektörüdür. M n Matematiksel modelin oluşturulması için aşağıdaki üç sorunun cevaplandırılması gerekir. 1. Model neyi belirlemek istiyor? Modelin değişkenleri nelerdir? 2. Modellenen sistemdeki değişkenler üzerine hangi kısıtlar konulmalıdır? 3. Olası tüm uygun değişken değerleri arasında en iyi çözümü belirlemek için sağlanması gereken amaç nedir? 8

Buradan görüldüğü gibi bir matematiksel modelin tanımlanması için karar değişkenlerinin belirlenmesi, kısıtların ve en iyilenecek amaç fonksiyonunun oluşturulması önemlidir (Apaydın 2005). 2.1.2 Simpleks Algoritması Simpleks Algoritması, modelin bir başlangıç temel uygun çözümünden başlayarak, karşı gelen amaç fonksiyonunun değerini de göz önüne alıp, ardışık sayısal işlemlerle en iyi çözümü araştıran bir yaklaşımdır. Algoritmayla, uygun çözüm alanının bir uç noktasından başlanarak, amaç fonksiyonunu istenen yöne götüren uç noktalar göz önüne alınıp, komşu bir uç noktaya geçilmektedir. Böylece modelin tüm uç noktaları işleme girmediğinden, yoğun işlem yükünden kurtulunmaktadır. Simpleks Algoritması, tek bir noktada en iyi çözüm, birden fazla uç noktada seçenek çözüm, sınırsız çözüm ve uygun çözüm alanı boş gibi karşılaşılabilir tüm durumlara da cevap vermektedir (Kara 1991). Min z= C A = b 0 olarak verilen Doğrusal Programlama problemi için Simpleks Algoritmasında izlenen adımlar aşağıdaki şekilde verilebilir (Apaydın 2005). Adım I: Bir başlangıç uygun çözümü veren B temeli seçilir. Temel özellikleri sağladığı için genellikle birim matris (I) temel matris olarak alınır. Adım II: X = B 1 b, X = 0 ve z= C X hesplanır. B N B B Adım III: Adım II de bulunan z değerinin en küçük olup olmadığının testi için temel olmayan değişkenlere ilişkin ( z C ) ler hesaplanır. {( ), ( ) 0} k k j j j j j j z C = Mak z C z C > ölçütünü sağlayan hiçbir değişken yoksa yani tüm ( z C ) 0 ise son bulunan çözüm en iyi çöüzmdür. Diğer durumda dördüncü adıma geçilir. j j 9

Adım IV: zk Ck ya ilişkin k ncı vektör temele alınır ve y k = hesaplanır. 1 B ak Eğer bütün yk 0 ise en iyi çözüm, sınırlanmamış ya da sınısızdır denir. Eğer y>0 ise beşinci adıma geçilir. Adım V: Temelden çıkacak olan değişken X Y Br rk X Bi = Min, yik > 0 Yik temelden çıkarılır. ölçütü ile belirlenir ve temelin r inci kolonu Adım VI : Beşinci adımda bulunan temelin r inci vektörü çıkarılır, temel dışındaki a k vektörü dolayısıyla k değişkeni temele alınır. Bu şekilde yeni temel oluşturulur. Bu temelin vereceği uygun çözüm ve z nin hesaplanması için ikinci adıma dönülür. En büyükleme probleminin Simpleks yöntem ile çözümünde de yukarıda verilen adımlar uygulanır. Ancak temele girecek vektör seçiminde {( ), ( ) 0} z C = Min z C z C < ölçütü kullanılır ve tüm temel olmayan k k j j j j değişkenlere ilişkin ( z C ) 0 ise en iyi çözüme ulaşılır. j j Simpleks Algoritması ve örnek çalışmalar (Kara 1991), (Rao 1996) ve (Apaydın 2005) da ayrıntılı bir şekilde yer almaktadır. 2.2 Dualite Her maksimizasyon modeline karşılık gelen bir minimizasyon modeli vardır ve bu modellerin her ikisinin de amaç fonksiyonlarının en iyi değerleri eşittir. Aynı şekilde, her minimizasyon modeline karşılık gelen bir maksimizasyon modeli vardır ve bunların da amaç fonksiyonlarının en iyi değerleri eşittir. İlk ele alınan modele primal model (kısaca primal), buna karşılık gelen modele ise dual model (kısaca dual) denir. (Çakanal 2008) 10

Primal Problem: Maksimum z= C j= 1 Kısıtlayıcılar aij j bi i= 1,2,... m j= 1, 2,... n......(2.9) ve j 0 Dual Problem: n n j= 1 Minimum w= b y m i= 1 m i= 1 i j i j Kısıtlayıcılar aijyi C j i= 1, 2,... m j= 1, 2,... n....(2.10) ve y 0 i y 1,y 2,.y n dual değişkenlerdir. 2.3 Doğrusal Programlama Problemlerinin Bilgisayarda Çözülmesi Doğrusal Programlama yönteminin kullanışlılığı, bilgisayar yazılımlarındaki gelişmeler ile daha da artmıştır ( Alan ve Yeşilyurt 2004). Değişken sayısı az ise simpleks yöntemi ile elle çözüm yapılabilir. Ancak değişken sayısının fazla olduğu durumlarda elle çözüm güç olmaktadır. Doğrusal Programlama problemleri Lindo, Gino, WinQSB, MATLAB vb. bilgisayar programları ile çözülebildiği gibi, Microsof Ecel de de çözülebilmektedir. Windows un çok yaygınlaşmış olması, ofis uygulama programlarının hemen herkesçe kullanılabilmesi, bu problemlerin Ecel de çözümünü önemli kılmaktadır (Alan ve Yeşilyurt 2004). Ancak Microsoft Ecel değişken sayısının fazla olduğu problemlerde yetersiz kalmaktadır. Ulaştırma modelleri doğrusal programlamanın özel bir durumu olduğundan ulaştırma problemleri değiştirilmiş doğrusal programlama algoritmaları ile de çözülebilir. Bir ulaştırma probleminin Doğrusal Programlama problemi olarak çözülebilmesi için amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı fonksiyonların değişkenler cinsinden ifade edilebilmesi gerekmektedir. Model için tanımlamalar yapıldıktan sonra bu amaç için hazırlanmış yazılımlar kullanılarak çözüme ulaşılabilir. 11

Lingo, Lindo Systems Inc. Şirketi tarafından üretilmiş, doğrusal, tamsayılı ve doğrusal olmayan matematiksel modelleri çözebilen, duyarlılık analizi yapan bir en iyileme yazılımı ve modelleme dilidir. Daha önce Dos ortamında kullanılan Lindo ve Gino yazılımlarının bir araya getirilmesi ve yeni özellikler eklenmesiyle oluşturulmuştur. En önemli iki yenilik, Lingo nun bir modelleme dili olarak tasarlanması ve Windows ortamında çalışmasıdır (Sipahioğlu ve Saraç 2003). WinQSB veya QSB, yönetim bilimleri karar destek çatısı altında ele alınan ve uygulamada sıklıkla kullanılan, farklı nicel karar alma tekniklerini içeren bir yazılımdır (Aksoy 1999). MATLAB doğrusal programlama problemlerinin çözümünde de kullanılan bir programdır. Optimization Toolbo da yer alan linprog komutuyla çözüm yapılmaktadır. 12

3. ULAŞTIRMA PROBLEMLERİ VE ULAŞTIRMA MODELİ Ulaştırma Modeli, üretim merkezlerinden farklı depolara veya tüketim merkezlerine ürün dağıtımını içeren problemlere çözüm sunan bir modeldir. Modelin amacı, gerekli dağıtımlar için en ekonomik dağıtım yollarının seçilmesidir (Kabak 2000). Ulaştırma modeline ilişkin ilk çalışmalar Kantorovich tarafından yapılmış, Hitchcook tarafından uygulanmıştır (Işık ve Ertuğrul 2008) 3.1 Ulaştırma Probleminin Matematiksel Modeli Doğrusal Programlamanın özel bir türü olan ulaştırma modellerinde de Doğrusal Programlama varsayımları geçerlidir (Aksoy 1999). Ulaştırma Modeline Özgü Varsayımlar Doğrusal programlamanın genel varsayımlarının yanında ulaştırma modelinin kurulabilmesi için bazı özel varsayımların kabul edilmesi gerekir (Aksoy 1999, Kotaman 1998, Kabak 2000, Çakanel 2008). 1. Bütün faaliyet düzeylerinin aynı mal birimi ile ifade edilmesi yani dağıtılacak malın homojen olması gerekir. 2. Gönderilen malların doğrudan doğruya üretim merkezlerinden tüketim merkezlerine gönderilmesi yani istem ve sunum merkezleri arasında nakil yapılmaması gerekir. 3. Üretim merkezinden toplam olarak gönderilecek miktar, istem merkezlerinin toplam istem miktarına eşit olmalıdır. Eşitsizlik durumunda kukla bir üretim ya da tüketim merkezi ilave etmek suretiyle eşitlik sağlanmalıdır. 4. Her bir üretim merkezi ile her bir istem merkezi arasında bir birim malın taşıma maliyeti bilinmelidir ve birim taşıma maliyeti sabit olmalıdır. 5. Ulaştırma modelinin kısıtlayıcı fonksiyonları içinde yer alan karar değişkenlerinin katsayılarının bir ya da sıfır olması veya buna indirgenmesi gerekir. 13

Kurulan bütün modeller gibi ulaştırma modellerinin de matematiksel olarak ifade edilmesi gerekmektedir. Genel ulaştırma modeli aşağıdaki gibi tanımlanır (Kara 1991). Amaç Fonksiyonu: Min z m n = i= 1 j= 1 C ij ij... (3.1) Kısıtlayıcılar: a. Sunum Kısıtı: n ij ai i=1,2,..m... (3.2) j= 1 Sunum kısıtı üretim merkezine ilişkin toplam kapasiteyi gösterir. b. İstem Kısıtları: m ij b j j=1,2,..n... (3.3) i= 1 İstem kısıtı istem merkezine ilişkin toplam istemi gösterir. c. Negatif Olmama Koşulu : 0... (3.4) ij i=1,2,3..m ve j=1,2,3..n Modelin uygun çözümü olması için toplam sunumun toplam isteme eşit veya büyük olması gerekir. m i= 1 n a i b j= 1 j... (3.5) 14

m sunum merkezli n istem merkezli ulaştırma probleminin grafiksel gösterimi Şekil 3.1 de verildiği gibidir (Özkal 2003). Sunum Miktarı Sunum Merkezleri İstem Merkezleri İstem Miktarı a 1 S 1 D 1 b 1 a 2 S 2 D 2 b 2 a m S m D n b n C i,j ; i,j Şekil 3.1 m üretim (sunum) merkezli n tüketim (istem) merkezli ulaştırma probleminin grafiksel gösterimi m n C ij a i b j ij : Ulaştırma probleminde mevcut üretim merkezi sayısı, : Ulaştırma probleminde mevcut tüketim merkezi sayısı, : i. sunum merkezinden j. istem merkezine bir birim ürünün taşıma maliyeti : Sunum merkezi kapasitesi : İstem merkezi kapasitesi : Karar değişkeni, i. sunum merkezinden j. istem merkezine taşınacak ürün miktarı i=1,2,3 m; j=1,2,3 n Ulaştırma problemlerinin standart gösterimi ulaştırma tablosu ile olur. Çizelge 3.1 ulaştırma tablosunun genel yapısını göstermektedir (Winston 1994). Tabloda m satır ve n kolon bulunduğundan dolayı tabloda mn sayıda göze vardır. 15

Çizelge 3.1 Ulaştırma tablosu genel yapısı İSTEM MERKEZLERİ 1 2. n TOPLAM MERKEZLERİ 1 2 m C 1,1 C 1,2 C 1,n 1,1 1,2 1,n C 21 C 2,2 C 2,n 2,1 2,2 2,n C m,1 C m,2 C m,n m,1 m,2 m,n TOPLAM İSTEM b 1 b 2. b n a 1 b 2 a m a i b j Çizelge 3.1 de tabloda bulunan her özel kutucuğa göze veya hücre adı verilir. Her göze i. Sunum merkezinden j. istem merkezine ulaştırılacak i,j miktarına ve C i,j birim taşıma maliyetine sahiptir (Kotaman 1998). Modelin uygun çözümü olması için toplam sunumun, toplam isteme eşit veya büyük olması gerekir. 3.2 Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma Problemleri Standart ulaştırma problemlerinde üretim merkezlerince sağlanan toplam sunum miktarı ile tüketim merkezlerinin toplam istem miktarına eşit olduğu kabul edilir. Bu şekilde olan ulaştırma problemlerine Dengeli Ulaştırma Problemi denir (Kabak 2000). Her zaman istem miktarı ile sunum miktarı birbirine eşit olmayabilir. İstem ve sunum miktarları eşit değilse problem Dengesiz Ulaştırma Problemi adını alır. Problemin 16

çözümünün olabilmesi için dengeli hale getirmek gerekir. Bunun için probleme kukla istem ya da istem merkezi ilave edilir. i. Toplam sunum miktarının toplam istem miktarından büyük olduğu durumlar Toplam sunum miktarı toplam istem miktarından fazla ise, fazla olan miktarın tüketimi için bir kukla istem merkezi yaratılır. Gerçekte kukla istem merkezine ürün gönderilmeyeceği için birim taşıma maliyeti sıfıra eşittir. Eğer sunum merkezinden kukla istem merkezine gönderilen ürün varsa bu sunum merkezindeki atıl kapasiteyi gösterir. Kukla istem merkezi için tablonun sonuna bir kolon ilave edilir (Kabak 2000). ii. Toplam sunum miktarının toplam istem miktarından küçük olduğu durumlar Eğer toplam sunum miktarı toplam istem miktarından az ise aradaki farkın sözde üretilebilmesi için modele bir kukla sunum merkezi ilave edilir. Gerçekte hiçbir istem merkezi kukla sunum merkezinden ürün almaz ve taşıma maliyeti sıfırdır. Kukla sunum merkezi satırındaki karar değişkenlerinin değeri değerlendirilmeyen pazar payı miktarı olarak yorumlanır. Kukla sunum merkezi için tablonun sonuna bir satır ilave edilir (Kabak 2000). 17

3.3 Ulaştırma Probleminin Çözüm Algoritması Ulaştırma Problemlerinde çözüme ulaşmak için uygulanan algoritma Şekil 3.2 de verilmiştir (Kabak 2000). Probleme ait verilerin hazırlanması ve ulaştırma tablosunun oluşturulması Başlangıç çözümün bulunması Çözüm en iyi çözüm mü? Evet Problem çözülmüştür. Hayır Yeni temel uygun çözümün bulunması Şekil 3.2 Ulaştırma probleminin çözüm algoritması 18

3.4 Ulaştırma Probleminin Başlangıç Çözüm Yöntemleri Simpleks Algoritması doğrusal programlama problemlerinin çözümünde uygulanabilmesine rağmen, ulaştırma problemlerine daha kolaylıkla uygulanabilen bazı yöntemler vardır (Kabak 2000). 3.4.1 Kuzeybatı Köşe Yöntemi Kabak (2000) a göre yöntem Dantzig tarafından önerilmiş, Charnes ve Cooper tarafından geliştirilmiştir. Çözüm için uygulanan adımlar şöyledir (Winston 2004). 1. Ulaştırma tablosunun sol üst köşesindeki 1,1 gözesine sunum ve istem miktarları içerisindeki en küçük miktar tahsis edilir. 2. 1,1 gözesine yapılan tahsisle birinci sunum merkezinin sunumu kullanılmış ancak birinci istem merkezinin istem miktarı karşılanmamış ise ( 1,1 =a 1 ) ilk kolonda aşağıya doğru inilerek karşılaşılan gözeye istem ve sunum kısıtları içerisinde en küçük miktar tahsis edilir. 3. 1,1 gözesine yapılan tahsisle birinci istem merkezinin istem miktarı karşılanmış ancak birinci sunum merkezinin sunumu tamamlanmamış ise ( 1,1 =b 1 ) birinci kolon işlemden çıkarılır sağa doğru ilerlenerek karşılaşılan gözeye istem ve sunum kısıtları içerisinde en küçük miktar tahsis edilir. 4. 1,1 gözesine yapılan tahsisle birinci sunum merkezinin sunum miktarı kullanılmış ve birinci istem merkezinin talebi karşılanmış ise ( 1,1 =a 1 =b 1 ) birinci satır ve birinci kolon işlemden çıkarılır. Gözenin sağ altındaki gözeye geçilerek işlemler devam ettirilir. Kuzeybatı Köşesi Yöntemi uygulanması basit fakat verdiği başlangıç çözümü en iyiye yakın olmayan bir yöntemdir (Kabak 2000). 19

3.4.2 En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi Yöntemin üç yaklaşımı mevcuttur. 1. Satır Yaklaşımı Ulaştırma tablosunda ilk satırın en düşük maliyetli gözesine sunum ve istem miktarları içerisinden en küçük miktar kadar tahsis yapılır. Yapılan bu tahsisle istem miktarı karşılanmış ancak sunum miktarının tamamı kullanılmamış ise aynı satırda ikinci maliyetli gözeye sunum ve istem miktarlarına dikkat edilerek tahsis yapılır. Sunum miktarı tükenene kadar aynı işlemlere devam edilir. Sunum miktarı tükenince alt satıra geçilir. 2. Kolon Yaklaşımı Ulaştırma tablosundaki ilk kolonun en düşük maliyetli gözesine sunum ve istem miktarları içerisinden en küçük miktar kadar tahsis yapılır. Yapılan bu tahsisle istem miktarı karşılanmamış ise ikinci maliyetli gözeye sunum ve istem miktarları dikkate alınarak tahsis yapılır. İstem miktarı karşılandıysa sağdaki kolona geçilerek aynı işlemlere devam edilir. 3. Genel Yaklaşım Genel yaklaşımda en düşük maliyetli göze seçilirken tablonun tamamı dikkate alınır. Tablodaki en düşük maliyetli gözeye bu gözenin bulunduğu sunum ve istem miktarları içerisinden büyük miktarda tahsis yapılır. Daha sonra tablo sırasıyla diğer düşük maliyetli gözelere sunum ve istem miktarları dikkate alınarak tahsis yapılır. 3.4.3 Vogel in Yaklaşım Yöntemi VAM kısaltması ile gösterilen Vogel in Yaklaşım Yöntemi nde başlangıç çözümüne kuzeybatı köşe ve en düşük maliyetli gözeler yöntemi kadar kolay ulaşılamaz. Ancak çözüm en iyiye oldukça yakındır (Kabak 2000). 20

VAM Yönteminin kullanımında şu adımlar izlenir (Kara 1991, Winston 1994). 1. Ulaştırma tablosunun her bir satır ve kolonu için ayrı ayrı en düşük maliyetli iki göze belirlenir. 2. Küçük olan gözenin maliyet değeri büyük olan gözenin maliyet değerinden çıkarılır. Her satır ve kolon için hesaplanan bu değerler, tabloya eklenen satır ve kolonlara yazılır. Bunlar pişmanlık(ceza) değerleridir. 3. İlave satır ve kolondaki en büyük pişmanlık değerleri (en kötü ceza) belirlenir. Bu belirlenen pişmanlık değelerinin karşısındaki satır veya kolon da yer alan en küçük maliyetli gözeye istem ve sunum kısıtları içerisinden en küçük miktar kadar dağıtım yapılır. İstemi karşılanan kolon veya sunumu tükenen satır tablodan çıkarılır. 4. Geriye kalan satır ve kolonlar için 1,2 ve 3. adımlardaki işlemler satır ve kolon sayısı bire inene kadar tekrar edilir. Son satır veya kolonda en düşük maliyetli gözeden başlayarak dağıtım yapılır ve başlangıç çözümü elde edilir. Satır ve kolonların pişmanlık değerleri hesaplanırken birden fazla en büyük pişmanlık ortaya çıkabilir. Bu durumda çözüme daha çabuk ulaşmak için şu kurallar uygulanmalıdır (Kabak 2000). 1. En büyük pişmanlık bir satır ve bir kolonda aynı anda varsa ve bunların kesiştiği göze en düşük maliyetli ise dağıtım bu gözeye yapılır. Kesişim gözesi en düşük maliyetli değilse söz konusu satır ve kolondan maliyeti en düşük olan gözeye dağıtım yapılır. 2. En büyük pişmanlık birden fazla satırda veya birden fazla kolonda varsa, satırlar veya kolonlar içinden en büyük istem ya da sunum miktarlı olan seçilir. Bu çalışma kapsamında incelenmeyen Russel in Yaklaşım Yöntemi de başlangıç çözüm yöntemleri arasında yer almaktadır. 21

3.5 En İyi Çözümün Bulunması İçin Geliştirilen Yöntemler Ulaştırma problemlerinden başlangıç çözüm yöntemi elde edildikten sonra bulunan çözümün en iyi olup olmadığının kontrolünün yapılması gerekmektedir. Çözümde m+n-1 gözeye tahsis yapılmışsa, yani çözüm temel uygun çözüm ise ve yapılan tahsisler bağımsız pozisyon oluşturuyorsa, m adet sunum merkezli ve n adet istem merkezli mn boyutlu bir ulaştırma probleminin herhangi bir uygun çözümüne en iyi çözümü bulma testi uygulanabilir (Aksoy 1999). Ulaştırma probleminin başlangıç çözümleri içerisinde en iyi olanını bulabilmek için geliştirilen yöntemler vardır. Bir uygun çözüm bulunduktan sonra bu çözümün vereceği maliyetin en iyi olup olmadığının araştırması yapılır. Bu yapılırken de amaç fonksiyonunun değerindeki potansiyel iyileşme için temel olmayan değişkenlerin denenmesi gerekmektedir. Böylelikle temel olmayan değişkenler temel değişken haline getirilerek amaç fonksiyonundaki değişmeye bakılır. Temele girecek değişkenin bulunabilmesi için başlangıç çözümünde kullanılmamış olan gözelerden hareket edilir (Aksoy 1999). En iyi çözümü bulma testini yapmak için geliştirilen iki yöntem vardır: i. Atlama Taşı Yöntemi ii. MODİ Yöntemi 3.5.1 Atlama Taşı Yöntemi Atlama taşı yöntemi, başlangıç çözümdeki boş bir gözeye dağıtım yapıldığında toplam maliyetin ne şekilde değişeceğini hesaplamakta kullanılır. Hangi temel olmayan değişkenlerin temel hale getirileceğini belirlemek için, boş hücreye bir birimlik ayrım yapıldığında maliyetteki net değişme veya test miktarı (d i,j ) hesaplanır. Bu maliyete gizli maliyet de denir. Hesaplama yapılırken izlenen adımlar şöyledir (Kabak 2000). 22

1. Gizli maliyeti hesaplanacak boş göze belirlenir. 2. Gizli maliyeti hesaplanacak gözeden başlayıp sadece yatay ve dikey ilerleyebilen, dolu gözelerde 90 derecelik dönüşler yapabilen sonunda tekrar aynı boş gözeye gelen çevrimler yazılır. 3. İşlem yapılırken seçilen boş gözenin maliyeti önüne (+) dönüş yapılan dolu gözelerin maliyetlerinin önüne sırasıyla (-),(+),(-) işaretleri konulur. 4. Çevrime giren gözelere ait maliyetler (C i,j ) işaretleri dikkate alınarak toplanır. Bu işlem boş gözenin gizli maliyetini (d i,j ) verir. Gizli maliyet üç durumda olabilir. i. d i,j >0 ise, boş gözenin doldurulması toplam maliyeti artırır, boş gözenin boş kalmasına karar verilir. ii. d i,j <0 ise, boş gözenin doldurulması toplam maliyeti azaltacağından boş gözenin dolu hale getirilmesi gerekmektedir. Boş gözeye dağıtım yapıldığında, o gözenin bulunduğu satır ve kolon miktarının aynı kalması gerekir. En uygun miktar, gizli maliyet hesaplanırken çevrim içerisindeki negatif işaretlenen gözelerdeki en küçük miktarıdır. Bu miktar çevrim maliyetlerine (+) işaret konulan gözelere ilave edilir, maliyetlerine (-) konulan gözelerde eksiltilir. Böylece satır ve kolon toplam miktarlarının değişmemesi sağlanmış olur. iii. d i,j =0 ise, boş gözeye ürün dağıtımı yapılması maliyeti değiştirmeyecektir. Fakat bu durum dağıtım planı için alternatifler olduğunu gösterir. 5. Her boş gözenin gizli maliyeti hesaplanmalıdır. Eğer bütün gizli maliyetler (d i,j ) sıfıra eşit veya büyükse çözüm, en iyi çözümdür. Kaç tane d i,j değeri sıfıra eşitse, o kadar alternatif dağıtım planı vardır. Bu planlarda maliyetler eşittir. 6. Eğer gizli maliyetlerden (d i,j ) sıfırdan küçük olan varsa; dağıtım yapılacak göze negatif maliyetlilerden mutlak değerce en büyük maliyete sahip gözedir. 7. Bu gözeye dağıtım yapıldıktan sonra, yeni tabloda oluşan boş gözelerin gizli maliyetleri hesaplanır. İşlemler boş gözelerin tamamının gizli maliyetleri sıfır veya daha büyük olana kadar devam ettirilir. Eğer alternatif dağıtım planları da bulunacaksa, gizli maliyeti sıfır olan gözelere de aynı işlemler yapılır. Bu durumda ulaşılan çözüm en iyi çözüm, maliyet de en düşük maliyet olur. 23

3.5.2 MODİ Yöntemi Basitleştirilmiş Dağıtım Yöntemi ya da Çoğaltan Yöntemi olarak da bilinen MODİ yönteminde boş gözelerin gizli maliyetleri çevrim yapılmadan hesaplanır. Atlama taşı yönteminde yolların saptanması ve izlenmesi yorucudur. MODİ yönteminin işlem sayısı daha az ve çok daha basittir (Kabak 2000). MODİ yöntemi doğrusal programlamadaki dual problemin çözümünden hareket eder. Problem dengelenmiş kabul edildiğinden, dengelenmemiş problem söz konusu değildir. Ulaştırma modelinin genel formülünü primal model olarak düşünülürse duali aşağıdaki gibi olur: Primal Model: 1. Amaç Fonksiyonu: m n Min = Cij ij i= 1 j= 1 z... (3.6) 2. Kısıtlayıcı Fonksiyonlar: a. Sunum Kısıtları: n ij = ai i=1,2,3 m... (3.7) j= 1 b. İstem Kısıtları: m ij = bj j=1,2,3,n... (3.8) i= 1 n m ij = ai = ij = bij... (3.9) j= 1 i= 1 c. Negatif Olmama Koşulu: 0 i=1,2,3,m.....(3.10) ij j=1,2,3,n 24

Dual Model: 1. Amaç Fonksiyonu: m Mak Y = au + b V i i j j i= 1 j= 1 n... (3.11) 2. Kısıtlayıcı Fonksiyonlar: U i + V C i=1,2,3,m.. (3.12) j ij j=1,2,3,n 3. U i ve V j değişkenleri pozitif veya negatif değerler alabilir. Primal modelde (m+n) tane kısıtlayıcı fonksiyon olduğundan dual modelde (m+n) tane değişken olacaktır. Dual modeldeki değişkenlerden U i ler sunum kısıtlayıcılarına, V j ler istem kısıtlayıcılarına karşılıktır. Ayrıca dual ulaştırma modelinde m adet sıra ve n adet kolon olduğuna göre (m+n) adet denklem var demektir. Fakat bu denklemlerden (m+n-1) kadar bilinerek bir çözüme ulaşılabileceğinden U i veya V j lerden birinin değeri sıfır kabul edilir. Genelde U 1 =0 kabul edilir. Daha sonra dolu gözeler için gösterge değerleri (U i ve V j ) U + V = C denklemi yardımıyla hesaplanır. i j ij Boş gözelerin gizli maliyetleri (d ij ) de d ij = U + V C bağıntısı ile hesaplanır. i j ij MODİ Yönteminde çözüme ulaşmak için izlenecek adımlar şöyledir: 1. Başlangıç çözüm yöntemlerinden biriyle çözülmüş problemin dağıtım planı ulaştırma tablosunda gösterilir. 2. U i veya V j değerlerinden birisi sıfıra eşit kabul edilerek (genelde U 1 =0) dağıtım yapılmış dolu gözeler için U i V j = Ci, j + denklemiyle U i ve V j değerleri hesaplanır. 3. Boş gözelerin gizli maliyetleri (d ij ), d ij = U i + V j Ci, j bağıntısıyla bulunur. 4. Bütün boş gözelerin gizli maliyetleri sıfıra eşit veya sıfırdan küçük ise (d ij 0) mevcut çözüm en iyidir. Eğer boş gözelerden birinin gizli maliyeti pozitif ise bu gözeye 25

ürün dağıtımı yapılarak maliyet azaltılabilir. Eğer birden fazla boş gözenin gizli maliyeti pozitif ise tahsis en büyük pozitif değerli gözeye yapılır. 5. Dağıtım yapılacak göze belirlendikten sonra, atlama taşı yönteminde olduğu gibi bu gözeden başlayan kapalı bir çevrim oluşturulur. 6. Dağıtım yapılacak boş gözeye (+) diğer dolu gözelere sırasıyla (-),(+),(-) değerler verilir. Hareketler yatay ve dikey doğrultuda dolu gözelerde 90 derece ile dönebilmelidir. 7. Boş gözeye dağıtım yapılacak miktar çevrimde negatif işaretlenen gözelerden en az miktarlı gözenin değeridir. Çevrimdeki işaretlere göre artırma ve azaltma işlemi yapılır. Sunum ve istem miktarlarının aynı kalmasına dikkat edilir. 8. Boş gözelerin tamamının gizli maliyetleri sıfır veya sıfırdan küçük olana kadar işlemler devam ettirilir. Koşul sağlandığında dağıtım planı en iyidir (Kabak 2000). 26

3.6 Örnek Ulaştırma Problemi ve Çözüm Algoritmasının Uygulanması A, B ve C fabrikaları D1, D2, D3, D4 pazarlarına mal göndermektedir. Fabrikaların gönderebileceği mal miktarları, pazarların tahmin edilen istem miktarları ve taşıma maliyetleri çizelge 3.2 de verilmiştir. Çizelge 3.2 Örnek problemin ulaştırma tablosu A D1 D2 D3 D4 X 11 15 X 12 18 X 13 12 X 14 13 200 B X 21 10 X 22 10 X 23 11 X 23 9 300 C X 31 8 X 32 5 X 33 7 X 33 8 450 İSTEM 250 100 225 325 900 950 Toplam İstem miktarı ile toplam sunum miktarı birbirine eşit olmadığından problem Dengesiz ulaştırma problemi dir. Problemi çözebilmek için tabloya Kukla İstem Merkezi ilave etmek gerekir. Yeni oluşturulan ulaştırma tablosu çizelge 3.3 de verilmiştir. 27

Çizelge 3.3 Örnek problemin yeni oluşturulan ulaştırma tablosu A D1 D2 D3 D4 D5 1,1 15 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 200 B 2,1 10 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 300 C 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 450 İSTEM 250 100 225 325 50 950 950 Çizelge 3.3 deki tabloya kukla istem merkezi ilave edip problemi dengeli hale getirdikten sonra problemin çözümüne başlanabilir. 1. Kuzey Batı Köşesi Yöntemi ile Başlangıç Çözümü: Ulaştırma tablosunun 1,1 gözesine 200 birimlik ürün (sunum ve istem miktarları içindeki en küçük miktar) tahsis edilir. Yapılan bu tahsis ile A fabrikasının sunumu bitmiş olur. Bu durumda tabloda aşağı doğru ilerlenerek 2,1 gözesine 50 birimlik ürün tahsis edilir. Yapılan bu tahsis ile D1 pazarının istem miktarı karşılanmış olur. Bu durumda bir sağa doğru ilerlenir. 2,2 gözesine 100 birimlik (sunum ve istem miktarları içindeki en küçük miktar) ürün tahsis edilir. Böylece D2 pazarının istem miktarı karşılanmış olur. Ancak hala B fabrikasının sunumu bitmemiştir. Tabloda sağa doğru ilerlenir. 2,3 gözesine 150 birimlik ürün tahsis edilir. Böylece B fabrikasının sunabileceği ürün bitmiş olur. Bu durumda bir alt sıraya geçilir ve 3,3 gözesine 75 birimlik ürün tahsis edilerek D3 pazarının istem miktarı karşılanmış olur. Tabloda sağa doğru ilerlenerek D4 pazarının istem miktarı olan 325 birimlik ürün C fabrikasından karşılanarak 3,4 gözesine tahsis yapılır. Bütün istem merkezlerinin istemleri karşılanmış olur. Ancak sunum merkezi olan fabrikalardan C fabrikasının sunabileceği 50 birimlik ürün miktarı da kukla istem merkezi olan D5 pazarına tahsis edilir. Yapılan tahsislerle çizelge 3.4 oluşturulur. 28

Çizelge 3.4 Kuzey Batı Köşe Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı A B C İSTEM D1 D2 D3 D4 D5 1,1 15 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 200 2,1 10 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 50 100 150 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 75 325 50 250 100 225 325 50 950 200 300 450 950 Çizelge 3.4 incelendiğinde ulaştırma problemi için toplam taşıma maliyeti: 200*15 + 50*10+100*10+150*11+75*7+325*8+50*0=9.275 olarak bulunmuştur. Başlangıç temel uygun çözüm 1,1 =200, 2,1 =50, 2,2 =100, 2,3 =150, 3,3 =75, 3,4 =325, 3,5 =50 şeklindedir. 2. En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi (Genel Yaklaşım ile Başlangıç Çözümü): Tablonun geneli düşünülerek en düşük taşıma maliyeti olan gözeler 1,5, 2,5 ve 3,5 gözeleridir. En düşük maliyetli gözeler eşit ise herhangi biri seçilir. Burada 1,5 gözesine 50 birimlik ürün (sunum ve istem miktarları içerisindeki en küçük miktar) tahsis edilir. Yapılan bu tahsisle D5 pazarının talebi karşılanmış olur. Tabloda diğer düşük maliyetli gözelere istem ve sunum miktarları dikkate alınarak dağıtım yapılır. En düşük maliyet yöntemi genel yaklaşımına göre dağıtım yapılan gözeler çizelge 3.5 de verilmiştir. 29

Çizelge 3.5 En düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi (Genel Yaklaşım) sonucunda elde edilen dağıtım planı D1 D2 D3 D4 D5 A 1,1 15 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 125 25 50 200 B 2,1 10 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 300 300 C İSTEM 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 125 100 225 250 100 225 325 50 950 450 950 Çizelge 3.5 incelendiğinde ulaştırma problemi için toplam taşıma maliyeti: 125*8+125*15+100*5+225*7+25*13+300*9+50*0=7.975 olarak bulunmuştur. Başlangıç temel uygun çözüm 1,1 =125, 3,1 =125, 3,2 =100, 3,3 =225, 1,4 =25, 2,4 =300, 1,5 =50 şeklindedir. 3. Vogel in Yaklaşım Yöntemi ile Başlangıç Çözümü: Bu yöntemi uygulamak için pişmanlık (ceza) satır ve kolonları oluşturulur. Bunun için satır ve kolonlar dikkate alınarak en düşük maliyetli iki göze arasındaki farklar hesaplanır ve pişmanlık satır ve kolonlara yazılır. Ulaştırma tablosuna ceza satır ve kolonların ilave edilmesi ile çizelge 3.6 oluşturulur. Çizelge 3.6 Örnek probleme VAM Yönteminin uygulanması A B C D1 D2 D3 D4 D5 1,1 15 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 2,1 10 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 İSTEM 250 100 225 325 50 Kolon Pişmanlık 2 5 4 1 950 200 300 450 950 Satır Pişmanlık 12 9 5 30

Pişmanlık değerleri içerisinde en büyük değer birinci satırdadır. Bu satırdaki en düşük maliyetli 1,5 gözesine istem kısıtı dahilinde 50 birimlik ürün tahsis edilir. İstem miktarı karşılandığından bu kolon işlemden çıkarılır. Bu kolonun işlemden çıkarılması ile yeniden pişmanlık değerleri hesaplanır. Pişmanlık değeri en yüksek olan Y pazarının bulunduğu kolonda en düşük maliyetli 3,2 gözesine 100 birimlik ürün tahsis edilir. Böylece Y pazarının talebinin karşılanması ile ikinci kolon işlemden çıkarılır. İşlemden satır ve kolon çıkarılması ile pişmanlık değerleri değişeceğinden yeniden pişmanlık değerleri hesaplanır. En büyük pişmanlık değerine sahip satır veya kolonun içerisinde en düşük maliyetli gözeye istem ve sunum kısıtları dahilinde ürün tahsisi yapılarak başlangıç çözümü elde edilir. Dağıtımlardan sonra çizelge 3.7 oluşmuştur. Çizelge 3.7 Örnek problem için VAM Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı A B C İSTEM D1 D2 D3 D4 D5 1,1 15 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 150 50 2,1 10 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 125 175 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 125 100 225 250 100 225 325 50 950 200 300 450 950 Çizelge 3.7 incelendiğinde ulaştırma problemi için toplam taşıma maliyeti:125*8+125*10+100*5+225*7+150*13+175*9+50*0=7.850 olarak bulunmuştur. Başlangıç temel uygun çözüm 2,1 =125, 3,1 =125, 3,2 =100, 3,3 =225, 1,4 =150, 2,4 =175, 1,5 =50 şeklindedir. Başlangıç çözüm yöntemlerinde elde edilen toplam taşıma maliyetleri çizelge 3.8 de verilmiştir. 31

Çizelge 3.8 Örnek problem için başlangıç çözüm yöntemleri sonucunda elde edilen maliyetler Toplam Taşıma Maliyeti Kuzey Batı Köşe Yöntemi 9.275 En Düşük Maliyet Yöntemi (Genel Yaklaşım) 7.975 VAM Yöntemi 7.850 Çizelge 3.8 den de anlaşılacağı üzere en düşük toplam taşıma maliyeti VAM yönteminde elde edilmiştir. VAM Yöntemine göre bulunan dağıtım planı kullanılarak en iyi çözüm için Atlama Taşı ve MODİ yöntemleri probleme uygulanmıştır. 1. Atlama Taşı Yöntemine Göre En İyi Çözümü Bulma: Kesim 3.5.1 de anlatılan adımlar izlenir. Bunun için dağıtım yapılmayan boş gözeler belirlenir. Gizli maliyeti belirlenecek boş gözeden başlayıp, sadece yatay ve dikey doğrultularda ilerleyebilen, dolu gözelerde 90 derecelik dönüşler yapılarak sonunda tekrar aynı boş gözeye gelinecek çevrimler yazılır. Çizelge 3.9 de VAM yöntemine göre bulunan dağıtım planı kullanılarak boş gözeler için aşağıdaki çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır. Çizelge 3.9 VAM Yöntemine göre bulunmuş dağıtım planı D1 D2 D3 D4 D5 A 1,1 15 1,2 1 8 1,3 B 2,1 10 2,2 0 2,3 125 175 C İSTEM 1 1 3 1,5 0 200 1 2 1,4 150 50 1 1 2,4 9 2,5 0 300 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 125 100 225 250 100 225 325 50 950 450 950 32

d 1,1 = C1,1 C2,1 + C2,4 C1,4 = 15 10 9 13= 1 d1,2 = C1,2 C1,4 + C2,4 C2,1 C3,1 C3,2 = 18 13+ 9 10+ 8 5= 7 d 2,2 = C2,2 C3,2 + C3,1 C2,1 = 10 5+ 8 10= 3 d1,3 = C1,3 C1,4 + C2,4 C2,1+ C3,1 C3,3 = 12 13+ 9 10+ 8 7= 1 d 2,3 = C 2,3 C3,3 + C3,1 C2,1 = 11 7+ 8 10= 2 d = 8 9+ 10 8 3,4 = C3,4 C 2,4 + C2,1 C3,1 = d 2,5 = C 2,5 C1,5 + C1,4 C 2,4 = 0 0+ 13 9= 4 d3,5 = C3,5 C1,5 + C1,4 C2,4+ C2,1 C3,1 = 0 0+ 13 9+ 10 8= 6 1 Hesaplanan gizli maliyet değerleri incelendiğinde 1,3 gözesi için gizli maliyetin negatif olduğu ve bu gözeye yapılacak bir dağıtım ile maliyetin azaltılabileceği görülmektedir. Bu gözeye yapılacak dağıtım miktarını belirlemek için yazılan çevrim içerisindeki negatif işaretlenen gözelerdeki en küçük miktar dikkate alınır. Bu çevrimdeki en küçük miktar 125 birimdir. 1,3 gözesine 125 birimlik dağıtım yapıldığında 1,4 gözesinden 125 birim azaltılır, 2,4 gözesi 125 birim artırılır, 2,1 gözesi 125 birim azaltılır, 3,1 gözesi 125 birim artırılır ve 3,3 gözesi 125 birim azaltılır. Yeni dağıtım planı çizelge 3.10 de verilmiştir. Çizelge 3.10 Örnek problem için bulunan başlangıç çözümüne Atlama Taşı Yönteminin uygulanması sonucunda elde edilen dağıtım planı D1 D2 D3 D4 D5 A 1,1 1 5 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 200 125 25 50 B 2,1 1 0 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 300 300 C İSTEM 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 250 100 100 250 100 225 325 50 950 450 950 33

Boş gözelerin gizli maliyetleri yeniden hesaplandığında; d 1,1 = C1,1 C1,3 + C3,3 C3,1 = 15 12+ 7 8= 2 d2,1 = C2,1 C2,4+ C1,4 C1,3+ C3,3 C3,1 = 10 9+ 13 12+ 7 8= 1 d = 18 12+ 7 8 1,2 = C1,2 C1,3 + C3,3 C3,2 = d2,2 = C2,2 C3,2+ C3,3 C1,3 + C1,4 C2,4 = 10 5+ 7 12+ 13 9= 4 d = 11 9+ 13 12 2,3 = C2,3 C2,4 + C1,4 C1,3 = d 3,4 = C3,4 C1,4 + C1,3 C3,3 = 8 13+ 12 7= 0 d 2,5 = C 2,5 C1,5 + C1,4 C 2,4 = 0 0+ 13 9= 4 5 3 d d 3,5 3,5 = C 3,5 C 1,5 + C 1,4 C 2,4 + C = 0 0+ 13 9+ 10 8= 6 2,1 C 3,1 değerleri bulunur. Bütün değerler pozitif olduğundan dolayı çözüm en iyi çözümdür. Çizelge 3.10 de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 250*8+100*5+125*12+100*7+25*13+300*9+50*0=7.725 olarak bulunmuştur. En iyi çözüm 3,1 =250, 3,2 =100, 1,3 =125, 3,3 =100, 1,4 =25, 2,4 =300, 1,5 =50 şeklindedir. 2. MODİ Yöntemine göre En İyi Çözümü Bulma: VAM Yönteminde bulunan dağıtım planı kullanılarak Kesim 3.5.2 de anlatılan adımlar izlenir. Çizelge 3.9 de verilen dağıtım planında önce dolu gözelerin (temel değişkenlerin) gösterge değerleri hesaplanır. 34

C1,4 = U1+ V4 = 13 V4 = 13 C1,5 = U1+ V5 = 0 V5 = 0 C2,1 = U2+ V1 = 10 U 2 = 4 C2,4 = U2+ V4 = 9 U1= 0 kabul edilerek V1 = 14 C3,1 = U3+ V1 = 8 U 3 = 6 C3,2 = U3+ V2 = 5 V2 = 11 C = U + V = 7 V = 13 3,3 3 3 değerleri bulunur. 3 Dağıtım tablosundaki boş gözeler (temel olmayan değişkenler) için ise d i,j değerleri hesaplanır. d 1,1 = U1 + V1 C1,1 = 0+ 14 15= 1 d = 0+ 11 18= 1,2 = U 1 + V2 C1,2 d 2,2 = U 2 + V2 C 2,2 = 4+ 11 10= 3 d 1,3 = U 1 + V3 C1,3 = 0+ 13 12= 1 d 2,3 = U 2 + V3 C 2,3 = 4+ 13 11= 2 d 3,4 = U 3 + V4 C3,4 = 6+ 13 8= 1 d 2,5 = U 2 + V5 C 2,5 = 4+ 0 0= 4 d 3,5 = U 3 + V5 C3,5 = 6+ 0 0= 6 7 Çözümün en iyi olabilmesi için bütün değerlerin negatif olması gerekmektedir. Ancak 1,3 gözesi için hesaplan değer pozitiftir. Bu da 1,3 gözesine yapılacak dağıtım toplam taşıma maliyetini azaltacak anlamına gelmektedir. Çözüme 1,3 gözesine dağıtım yaparak başlamak gerekmektedir. 1,3 gözesinden başlayan ve sadece yatay ve dikey doğrultularda ilerleyebilen, dolu gözelerde 90 derecelik dönüşler yapılarak sonunda tekrar aynı boş gözeye gelinecek çevrim yazılır. Bu çevrim : 1,3 1,4 + 2,4 2,1+ 3,1 3,3 biçimindedir. 35

1,3 gözesine yapılacak dağıtım miktarını belirlemek için döngüde negatif işaretlenen gözelerdeki en küçük değer dikkate alınır. Bu değer 125 birimdir. Çevrimde negatif işaretlen gözelerden 125 birim azaltılıp pozitif işaretlenen gözeler 125 birim artırılır. Oluşan yeni dağıtım planı çizelge 3.11 de verilmiştir. Çizelge 3.11 Örnek problem için bulunan başlangıç çözümüne MODİ Yönteminin uygulanması sonucunda elde edilen dağıtım planı A B C İSTEM D1 D2 D3 D4 D5 1,1 15 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 125 25 50 2,1 10 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 300 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 250 100 100 250 100 225 325 50 950 200 300 450 950 Yeni oluşan dağıtım planına göre dolu gözelerin gösterge değerleri hesaplanır. U U U U U U U 1 1 1 2 3 3 + V + V 3 3 4 + V + V + V + V 5 4 2 + V 1 3 = C = C = C = C = C = C = C 1,3 1,4 1,5 2,4 3,1 3,2 3,3 = 12 = 13 = 0 = 9 = 8 = 5 = 7 U 1 = 0 kabul edilerek V3 = 12 V = 13 V U V 4 5 1 U V 2 2 3 = 0 = 4 = 13 = 5 = 10 değerleri bulunur. Dağıtım tablosundaki boş gözeler için ise d i,j değerleri hesaplanır. 36

d 1,1 = U1 + V1 C1,1 = 0+ 13 15= 2 d 1,2 = U 1 + V2 C1,2 = 0+ 10 18= 8 d 2,2 = U 2 + V2 C2,2 = 4+ 10 10= 4 d 2,1 = U 2 + V1 C2,1 = 4+ 13 10= 1 d d = 4+ 12 11= 2,3 = U 2 + V3 C 2,3 = 5+ 13 8 3,4 = U 3 + V4 C3,4 = d 2,5 = U 2 + V5 C 2,5 = 4+ 0 0= 4 d 3,5 = U 3 + V5 C3,5 = 5+ 0 0= 5 0 3 Değerler incelendiğinde hepsinin negatif olduğu görülmektedir. Bu durumdan boş gözelere yapılacak dağıtımın toplam taşıma maliyetini artıracağı ve boş gözelerin boş kalması gerekmekteği sonucu çıkmaktadır. Elde edilen dağıtım planında bulunan çözüm En İyi Çözüm dür. Çizelge 3.11 de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 250*8+100*5+125*12+100*7+25*13+300*9+50*0=7.725 olarak bulunmuştur. En iyi çözüm 3,1 =250, 3,2 =100, 1,3 =125, 3,3 =100, 1,4 =25, 2,4 =300, 1,5 =50 şeklindedir. 37

3.7 Ulaştırma Modelinin Diğer Çeşitleri Standart ulaştırma modelinin geliştirilmesinden bu yana, bazı araştırmacılar tarafından standart probleme benzer ama küçük farkları olan yeni problemlere uygun modeller ve çözüm algoritmaları geliştirilmiştir. Standart modelin uzantıları olan ve birkaç noktada farklılık taşıyan modeller şunlardır (Kotaman 1998, Kabak 2000, Çakanel 2008): 1. Genelleştirilmiş Ulaştırma Problemi 2. Kapasitelendirilmiş Ulaştırma Problemi 3. Karışık Kısıtlı Ulaştırma Problemi 4. Sabit Yüklü Ulaştırma Problemi 5. Tek kaynaklı Ulaştırma Problemi 6. Temel Köşegen Ulaştırma Problemi 7. Tesis Yerleşim Ulaştırma Problemi 8. Zamanı azaltan Ulaştırma Problemi 9. Maliyet/Zaman eğimli Ulaştırma Problemi 10. İki Kriterli Ulaştırma Problemi 11. Çok Amaçlı Ulaştırma Problemi 12. Çok Boyutlu Ulaştırma Problemi 13. Doğrusal olmayan Ulaştırma Problemi 14. Geniş Ölçekli Ulaştırma Problemi 15. Atama Problemi 16. Gezgin (Seyyar) Satıcı Problemi 17. Üretim Programlaması 18. Aktarma Problemi 38

3.8 Ulaştırma Problemleri ile İlgili Ülkemizdeki Örnek Çalışmalar Ülkemizde ulaştırma problemlerine örnek birçok çalışma bulunmaktadır. Bu çalışmalarda ulaştırma modelleri ile ilgili temel bilgiler kullanılarak birçok işletmenin dağıtım planı incelenmiş ve mevcut durumları ile karşılaştırmalar yapılmıştır. Tor (1991), Benzin dağıtımının ulaştırma modeli yardımıyla optimizasyonunu incelemiştir. Çalışmada doğrusal programlamanın temel ilkelerine de değinilmiştir. Petrol Ofisi A.Ş nin 1988 yılı verilerinden yola çıkılarak hazırlanan çalışmada Batman, Orta Anadolu ve Ataş Rafinerilerinden Ankara İstanbul ve Trabzon a benzin dağıtımında toplam taşıma maliyetini minimum yapacak bir dağıtım planı belirlemiştir. Başlangıç çözüm yöntemi olarak kuzey batı yöntemi seçilmiş daha sonra en iyi çözümü bulma testi yapılmıştır. Gerçek taşıma maliyetleri ile ilgili verilere ulaşılamadığından bulunan dağıtım planı ile mevcut durum karşılaştırılması yapılamadığı belirtilmiştir. Çalışmada Doğrusal Programlama Simpleks yöntemi oldukça detaylı anlatılmıştır. Başlangıç çözüm yöntemlerinden sadece Kuzey Batı Köşe yöntemi uygulanmış diğer yöntemler en iyi çözüme daha yakın sonuçlar vermesine rağmen uygulanmamıştır. Sakarya vd (1996) Et Balık Kurumu Kombinalar et taşımasında 1992 yılı verileri kullanılarak ulaştırma modeli uygulamasını incelemişlerdir. Kuruma bağlı 31 işletmenin taşıma maliyetleri bulunarak VAM Başlangıç çözümü ile başlangıç dağıtım planı belirlenmiştir. Başlangıç çözümüne MODİ yöntemi uygulanarak en iyi çözüm bulunmuştur (1.Model). Daha sonra işletmeler arasında bir takım düzenlemelere gidilerek işletmelerin birleştirilmesi yapılmış ve ulaştırma modeli 14 işletmeli hale getirilmiştir (1.Alternatif Plan). Bu 14 işletmeli dağıtım planına VAM yöntemi uygulanarak başlangıç çözümü elde edilmiştir. Elde edilen dağıtım planına MODİ 39

yöntemi kullanılarak en iyi çözümü bulma testi yapılmıştır. 14 işletmeli dağıtım planı içerisine bir işletme daha eklenerek iki işletmenin dağıtım noktası olduğu kabul edilmiş ve Transit ulaştırma modelinden yararlanılmıştır (2.Alternatif Plan). Mevcut durum ile 1. model arasında maliyet karşılaştırılması yapıldığında %9.32 lik bir tasarruf, 1. Alternatif plan ile % 13.7 tasarruf, 2. Alternatif plan ile %14.9 luk bir tasarruf sağlanabileceği bulunmuştur. Bu değerlerin kurumun karlılığı açısından oldukça yüksek olduğu uygun değerlendirilmiştir. Kotaman (1998) Silahlı Kuvvetlerde İkmal Sistemlerinin, Ulaştırma modelleri yardımıyla maliyet olarak minimizasyonunu incelemiştir. Kolordu bünyesinde farklı çoğrafi bölgelerde bulunan dört taburun dört farklı cins top mermisi ihtiyaçlarının iki farklı yolla temin edilmesi durumunun ulaştırma modeli ile maliyet minimizasyonu gerçekleştirilmiştir. Dört taburun ikişer yoldan istemde bulunabilmesinden dolayı problemde sekiz istem merkezi varmış gibi değerlendirme yapılmıştır. Başlangıç çözümü için Kuzey Batı Köşe, En az maliyetli gözeler, Vogel in Yaklaşım Yöntemi(VAM Yöntemi) ve Russel in yaklaşım yöntemi uygulanmıştır. Probleme uygulanan başlangıç çözümlerinde en düşük maliyet VAM Yönteminde bulunmuştur. VAM yönteminde bulunan başlangıç tablosu kullanılarak çözümün en iyi çözümü bulma testi yapılmıştır. En iyi çözümü bulma testi için Atlama Taşı ve MODİ yönteminin ikisi de kullanılmıştır. Kolordu Komutanlığı nın mühimmat istekleri klasik yollarla yapıldığında 590.202.615.000 TL (1998 yılı para birimiyle) harcanması gerekirken bulunan ulaştırma modeli yardımıyla 578.961.940.000 TL bulunmuştur. Yöntemlerin anlatımında birbirine ters düşen ifadelere rastlanmıştır. Çözüm adımlarında işlemlerin kontrollerine dikkat edilmediği görülmüş ve hesaplama hataları bulunmuştur. Yapılan hesaplama hataları dağıtım planında değişime neden olmamıştır. Ayrıca Kotaman tarafından bilgisayar programları ile çözüm yapılmamıştır. Çalışmadaki veriler kullanılarak Lingo yazılımında problem çözülmüş Kotaman tarafından bulunan taşıma planına ulaşılmıştır. Aksoy (1999) Ulaştırma modeli ile işletmelerde dağıtım sistemi optimizasyonunu incelemiştir. Ulaştırma problemi Türkiye Petrol Ofisi Kurumuna ait iki tane madeni yağ fabrikasından 21 tane depoya madeni yağ dağıtımıdır. Aliağa ve İzmit de bulunan iki 40

fabrikadan Güvercin, Kırıkkale, İstanbul, Ümraniye, Çubuklu, İskenderun, Batman, Turan, Fethiye, Edincik, Mudanya, Çukurhisar, Mersin, Konya, Antalya, Trabzon, Erzurum, Hopa, Rize, Samsun ve Giresun depolarına madeni yağ dağıtımını Vogel in Yaklaşım metodunu kullanarak başlangıç çözümünü elde etmiş ve en iyi çözümü bulma testini yapmıştır. Modelin bilgisayar çözümünü yapmak için QSB paket programı kullanılmıştır. 1998 yılına ait verilerin kullanıldığı çalışmada öncelikle fabrikaların istem miktarları kadar üretim yapacağı varsayılmış buna göre bir dağıtım planı belirlenmiştir. Daha sonra alternatif bir dağıtım planı olması için fabrikaların üretim kapasitesi dikkate alınarak ve probleme kukla bir istem merkezi ilave edilerek çözüm gerçekleştirilmiştir. Mevcut dağıtım planıyla karşılaştırılması yapıldığında ulaştırma maliyetinde azalma meydana geleceği belirtilmiştir. Kabak (2000) Kara Kuvvetleri akaryakıt İkmal Sistemlerinde Ulaştırma Modelleri yardımıyla maliyet optimizasyonunu yapmıştır. Çalışmada dört birliğin iki farklı dağıtım yolu ile dört ihtiyaç maddesinin ulaştırma maliyetleri dikkate alınmıştır. Ulaştırma tablosu oluşturulduktan sonra başlangıç çözüm yöntemlerinden Kuzey batı köşe, en düşük maliyetli gözeler, Vogel in yaklaşım yöntemi ve Russel in yaklaşım yöntemini uygulamıştır. Uygulanan bu yöntemlerden en düşük maliyeti veren VAM yöntemi başlangıç çözüm tablosu olarak kullanılmıştır. En iyi çözümü bulma testi için probleme Atlama Taşı ve MODİ yöntemi uygulanmıştır. En iyi çözümü bulma testinde problemin başlangıç çözümünün en düşük toplam taşıma maliyetini sağladığını ve test miktarlarında on tane boş gözenin değerinin sıfıra eşit çıkmasıyla on tane alternatif dağıtım planı ile aynı maliyete ulaşılabileceği bulunmuştur. Çözüm sonunda toplam taşıma maliyeti 1.081.943.600 TL (2000 yılı para birimiyle) olarak elde edilmiştir. Problemin doğrusal programlama problemi olarak düşünülüp Lindo programında yazılımı ve çözümü çalışma kapsamında yapılmıştır. Akaryakıt ikmalleri araştırma yapılmadan ve isteklere göre dağıtım gerçekleştiğinde bulunan toplam taşıma maliyetinden çok daha fazla maliyet oluşacağı hesaplanarak ortaya konulmuştur. Ergülen (2003) gıda ürünlerinin karayolu ile taşınmasında tamsayılı doğrusal programlama uygulamasını yapmıştır. Bunun için bir firmanın 24 ildeki distribütörlerine dağıtım planı kullanılmıştır. Aylara ve her ayın 1. On Gün, 2. On Gün 41

ve 3. On Gününe göre değişen sefer sayısı kısıtları ve maliyetleri verilmiştir. Kısıtlar dikkate alınarak model denklemleri oluşturulmuş ve Lindo paket programında model çözülmüştür. Modelden elde edilen dağıtım planı ile firmanın uyguladığı dağıtım planı karşılaştırıldığında toplam maliyette % 9.01 lik bir azalma gerçekleşebileceği bulunmuştur. Çalışma sonucunda tamsayılı bir doğrusal programlama ile modeller kurularak işletmelerde maliyet minimizasyonuna gidilebileceği görüşüne varılmıştır. Tabuk (2006) çalışmasında, ulaştırma problemlerinin kullanım alanlarından, çözüm yöntemlerinden, aktarma problemlerinden ve bulanık programlamadan bahsetmiştir. Çalışmasında çok amaçlı ve tek amaçlı taşıma problemlerine bulanık ortamda çözüm önerileri sunan çalışmalara ve yöntemlere yer vermiştir. Bu amaçla; El- Wahed in Çözüm Yöntemi, Ringuest ve Rinks in çözüm yöntemi, Liu ve Kao nun Çözüm Yöntemi ve Ahlatçioğlu, Sivri ve Güzel nin çözüm yöntemini örnekler vererek açıklanmıştır. Güncel hayatta değişik alanlarda karşılaşılan bulanık taşıma problemleri için bilgisayar programlarının geliştirilmesine ihtiyaç duyulduğunu belirtmektedir. Günaydın (2006) Türk Silahlı Kuvvetlerinde ring taşımacılık faaliyetlerinin maliyet etkinlik analizi ve ulaştırma modelleri yardımıyla güzergah optimizasyonu çalışmasını yapmıştır. Çalışmada öncelikle karayolu ulaştırması maliyet yapısı incelenmiş ve maliyet kalemlerinin hesaplanma yöntemleri anlatılmıştır. Ulaştırma modellerinin genel yapısı, çözüm yöntemleri ve en iyi çözümü bulma testi yöntemlerinden bahsedilmiştir. Uygulama kapsamında Türk Silahlı kuvvetlerinde 2001 yılından itibaren icra edilen ring taşımacılık faaliyetleri değerlendirilmiştir. Problem, yapısına uygun olarak ulaştırma problemleri içerisinden Seyyar Satıcı Problemi olarak düşünülmüştür. (Seyyar Satıcı Problemi, başladığı noktaya geri dönmek şartı ile n sayıda şehri ziyaret eden bir satıcının toplam mesafeyi minimize edecek yolun seçimidir. Bu problemlerde her bir şehir yalnızca bir kez ziyaret edilir ve en kısa yoldan rota tamamlanarak başlangıç noktasına geri dönülür.) Çalışmada Seyyar Satıcı Probleminin çözüm algoritmalarını takip edilmiş ve problem hem elle hem de QSB paket programıyla çözülmüştür. Bu yöntemle yapılan güzergâh optimizasyonu ile benzer faaliyetlerde kullanılabilecek bir model oluşturulmuş ve en az maliyeti veren güzergâhın seçimine olanak sağlanmıştır. 42

Ergülen ve Kazan (2007) Taşımacılık sektörünün işleyiş süreci, bulanık dağıtım problemlerinin tamsayılı doğrusal programlama model denemesini çalışmıştır. Taşımacılık sektörünün işleyiş süreci içerisinde yük taşıma sistemlerinin performansa göre farklı akış ya da güzergâh değerlendirmesi, fiyat politikaları ve çeşitli işletim etkinlikleri analizinde bulanık mantığın tamsayılı doğrusal programlama model ile birleştirilerek taşıma maliyetlerinin minimize edilmesine çalışılmıştır. Bir firmanın distribütörüne yaptığı dağıtım için Ocak ayına ait 1. On Gün, 2. On Gün ve 3. On Gün e ait taşıma miktar ve maliyet verileri kullanılarak matematik modellemesi yapılmıştır. Modelde karar değişkenleri tanımlanarak kurulan tamsayılı doğrusal programlama modeli WinQSB paket programıyla çözümlenmiştir. Bir fabrikadan çok sayıdaki distribütöre sürekli olarak mal taşıma işleminin yapıldığı ve distribütör istem miktarlarının bulanık olduğu durumlardaki taşıma maliyeti problemi için kullanılacak bir karışık tamsayılı doğrusal programlama modeli önerilmiştir. Firmanın uyguladığı dağıtım planıyla modelin bulduğu dağıtım planı karşılaştırılmıştır. Bunun sonucunda firmanın toplam taşıma maliyetlerinin % 11.51 oranında düşürülebileceği bulunmuştur. Işık ve Ertuğrul (2008) bir gıda işletmesinde ulaştırma modeli ile yeni bir dağıtım planı geliştirmeyi çalışmıştır. Çalışmada Denizli ilinde bir gıda işletmesinin üretmiş olduğu bir ürünün işletmenin depolarından alışveriş merkezlerine dağıtım problemine ulaştırma modelinin uygulanması gösterilmiştir. Bunun için işletmenin Ankara, İstanbul ve İzmir Depolarından beş tane ulusal zincir markete 2007 yılı birim taşıma maliyetleri kullanılmıştır. Problem WinQSB paket programı kullanılarak doğrusal programlama problemi olarak çözülmüştür. Problem ulaştırma modelleri çözüm yöntemleri ile de çözülmüştür. Başlangıç çözümünü bulmak için en iyi sonuca en yakın çözümü veren VAM yöntemi kullanılmıştır. En iyi çözümü bulma testi için MODİ yöntemi kullanılmıştır. En iyi çözümü bulma testinde başlangıç çözümünde bulunan dağıtım planının toplam taşıma maliyetini minimum yaptığı ve çözümün en iyi olduğu bulunmuştur. Bundan dolayı başlangıç dağıtım planında herhangi bir düzenlemeye gidilmemiştir. Bulunan Toplam taşıma maliyeti ile mevcut taşıma maliyeti karşılaştırılmıştır. Yeni bulunan dağıtım planı ile %2 lik bir düşüş gerçekleşebileceği belirtilmektedir. Ayrıca bundan sonra yapılacak çalışmalar için çeşitli önerilerde 43

bulunulmuştur. Bunlara Genetik algoritmalar, tavlama benzetimi ve tabu arama gibi genel amaçlı sezgisel yöntemler örnek verilebilir. Çakanel (2008) ulaştırma modelleri ile maliyet minimizasyonunu amaçladığı çalışmada Denizli ilinde faaliyet gösteren bir tekstil fabrikasına uygulama yapmıştır. Çalışmasında doğrusal programlamadan, genel ulaştırma modeli yapısından, başlangıç çözüm yöntemlerinden ve en iyi değeri bulma yöntemlerinden bahsetmiştir. Çalışmada sadece karayolu ile gümrük merkezlerinden ihracat yapılan ülkelere taşıma maliyetleri dikkate alınmıştır. İzmir, İstanbul ve Denizli Gümrüklerinden Almanya, İngiltere, İspanya, Polonya, Finlandiya, İsrail, Hollanda, İran, Romanya ve Amerika ya ihracatın yapılmasında sunum ve istem değerleri belirlenerek 2007 yılı için birim taşıma maliyetlerinden yola çıkılarak toplam taşıma maliyetinin minimum yapan bir dağıtım planı oluşturulmuştur. Problem Doğrusal Programlama problemi olarak modellenmiş ve WinQSB paket programıyla çözülmüştür. Ayrıca ulaştırma problemlerinin çözüm yöntemleri probleme uygulanmıştır. VAM Yöntemi ile bulunan başlangıç dağıtım planına Atlama Taşı ve MODİ yöntemleri ile en iyi değer testi yapılmıştır. Başlangıç çözümünde elde edilen dağıtım planının en iyi çözüm olmadığı ve dağıtım planında boş kalan gözelere dağıtım yapılarak maliyetin azaltılacağı bulunmuş ve gerekli düzenlemeler probleme aktarılmıştır. Modelden toplam taşıma maliyeti 41.521,52 EUR olarak bulunmuş, mevcut toplam taşıma maliyeti de 47.239,07 EUR olarak hesaplandığında 5.717,55 EUR kâr elde edilebileceği sonucuna varılmıştır. Ulaştırma modelleri ile taşıma maliyetlerinin alt seviyelerde gerçekleşebileceği sonucuna varılmıştır. 44

4. MATERYAL VE YÖNTEM 4.1 Materyal Türk Silahlı Kuvvetlerinin akaryakıt ihtiyacı rafinerilerden tedarik edilmekte ve Milli Savunma Bakanlığına bağlı bir başkanlık tarafından depolanarak tüm Türkiye genelindeki askeri birliklere kadar ulaştırılmaktadır. Başkanlık bu ikmal işleminde bazı yakıtlar için kendi tankerlerini kullanırken bazı yakıtlar için de sivil piyasadan ihale yoluyla hizmet satın almaktadır. Tüm Türkiye de farklı yerlerde depoları bulunan başkanlık benzin, motorin ve jet yakıtı depolamaktadır. Depolanan bu yakıtlar askeri birliklerin istemleri doğrultusunda kara tankerleri ile istem merkezlerine ulaştırılmaktadır. Bu çalışmada başkanlığın Trakya Bölgesinde bulunan ve benzin depolanan 3 deposundan Trakya Bölgesindeki 27 farklı ilçede konuşlu askeri birliğe benzin taşıması verileri kullanılmıştır. Aynı ilçede birden fazla askeri birlik bulunabilmektedir. Aynı ilçedeki birliklerin taşıma maliyetleri aynı olduğundan bir ilçeye ait istemler toplanarak istem merkezi ilçeler alınmıştır. Sunum miktarları olarak ise 2008 yılı başı itibariyle depolardaki stok durumları dikkate alınmıştır. Başkanlık stoklarda herhangi bir kısıtlamaya gitmemesine rağmen bu çalışmada ulaştırma problemi oluşturulurken stoklarda bir kısıtlama belirlenmiştir. 2016 yılında benzinin kullanımdan kalkacağı planlanmakta olduğundan 2008 yılından itibaren 8 yıl boyunca stoklarda bulunan benzinin Askeri birliklerin istemlerini 45

karşılaması gerektiği varsayılmış bu yüzden 2008 yılı başı itibariyle stok miktarları yıllara göre eşit olarak paylaştırılmıştır. 2008 yılında askeri birliklere taşıma yapmak için başkanlığın yapmış olduğu ihale sonucunda taşıma maliyetleri belirlenmiştir. Bu maliyetler depolar ile ilçeler arası mesafeye göre belirlenmektedir. Ancak işleyen sistemde her bir istem merkezine bir depodan dağıtım yapılmaktadır. Bu durumda bir istem merkezine farklı diğer iki deponun maliyeti bilinmemektedir. Ulaştırma tablosu oluşturulurken ilk yapılan iş her depodan her istem merkezine birim taşıma maliyetinin bulunmasıdır. Her bir istem merkezinin her bir depoya mesafesi belirlendikten sonra ihalede verilen kriterlere göre her bir dağıtım yolunun maliyetleri hesaplanmıştır. İstem ve talep miktarları ton, taşıma maliyetleri ise TL/ton olarak hesaplanmıştır. Ulaştırma tablolarının büyüklüğünden dolayı birimler çizelgelerde yer almamaktadır. 4.2 Yöntem Bu çalışmada çizelge 4.1 de verilen ulaştırma tablosu oluşturulmuştur. Başlangıç çözümünün bulunması için aşağıdaki yöntemler uygulanmıştır. 1. Kuzey Batı Köşe Yöntemi 2. En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi 3. Vogel in Yaklaşım Yöntemi Başlangıç çözüm yöntemleri ile elde edilen dağıtım planına Atlama Taşı ve MODİ Yöntemleri uygulanarak en iyi değer testi yapılmıştır. Ayrıca Doğrusal Programlama ile çözüm yapmak için problemin matematiksel modeli kurulmuştur. Lingo yazılımında ve MATLAB Optimization Toolbo ı kullanılarak bilgisayar ortamında çözülmüştür. 46

Çizelge 4.1 Üç sunum 27 istem merkezli ulaştırma probleminin maliyet tablosu İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 İSTEM 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 47 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 İSTEM 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 1.713 1.624,74 453 873 387

5. ARAŞTIRMA BULGULARI Üç sunum merkezli 27 istem merkezli ulaştırma probleminin çizelge 4.1 ile verilen maliyet tablosunda görüldüğü gibi, sunum merkezinin sunabileceği toplam miktar 1.713 ton, istem merkezinin toplam istem miktarı ise 1.624,74 tondur. Anlaşılacağı gibi problem dengelenmemiş bir ulaştırma problemidir. Bu durumda problemin dengeli hale getirilmesi gerekmektedir. D28 adıyla kukla bir istem merkezi yaratılmış ve buranın istem miktarı olarak da 88,26 ton belirlenmiştir. Düzenlenen ulaştırma tablosu çizelge 5.1 de verilecektir. Ulaştırma probleminin başlangıç çözümünü bulmak için Kuzey Batı Köşe Yöntemi, En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi ve VAM Yöntemi uygulanmıştır. 5.1 Kuzey Batı Köşe Yöntemi Başlangıç çözüm yöntemleri içerinde en basiti olarak bilinen bu yöntemdir. Yöntemin ulaştırma problemine uygulanmasında aşağıdaki adımlar izlenir. 1. 1,1 gözesine D1 istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır. 2. S1 deposunda hala benzin bulunduğundan dolayı 1,2 gözesine geçilir. Bu gözeye de D2 istem merkezinin talebi kadar dağıtım yapılır. 3. S1 deposunda yakıt tükenene kadar sağa doğru ilerlenir. 4. 1,8 gözesine D8 istem merkezinin talebi kadar dağıtım yapıldıktan sonra S1 deposunda benzin biter. 5. Bu durumda 2,9 gözesine geçilir. 2,9 gözesine D9 istem merkezinin talebi kadar dağıtım yapılır. 6. S2 deposunda benzin bitene kadar sağa doğru ilerlenir. 7. 2,22 gözesine dağıtım yapıldıktan sonra 2,23 gözesine geçilir. Ancak D23 istem merkezinin istem miktarının tamamı S2 deposundan karşılanamayacaktır. S2 deposunun karşılayacağı miktar bu gözeye tahsis edilir. 48

Çizelge 5.1 Dengelenmiş ulaştırma tablosu İSTEM MERKEZLERİ 499 MERKEZLERİ S1 S2 S3 İSTEM MERKEZLERİ S1 S2 S3 İSTEM D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 (KUKLA) 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 3,15 3,16 3,17 3,18 3,19 3,20 3,21 3,22 3,23 3,24 3,25 3,26 3,27 3,28 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

8. Bir alt gözeye yani 3,23 gözesine geçilir.d23 istem merkezinin eksik kalan talebi S3 deposundan karşılanır. 9. S3 deposunda yakıt bitene kadar sağa doğru ilerlenir. Dengelenmiş ulaştırma problemi olduğundan dolayı bütün istem merkezlerinin istemleri karşılanmış, sunum merkezleri olan depoların benzin miktarları tükenmiştir. Çözümün temel uygun çözüm olabilmesi için (m+n-1) tane gözeye yani (3+28-1)= 30 tane dağıtım yapılması gerekmektedir. Çözüm sırasında D8 istem merkezinin isteminin S1 sunum merkezinden karşılanması ile aynı anda sunum merkezinin de sunumu tükenmiştir. 2,8 gözesine 0 tahsis yapıldığında (m+n-1) koşulu sağlanır. Bu durumda temel çözümün bir öğesi sıfır ( 2,8 =0) değerine sahip olduğu için çözüm Bozulmuş Temel Uygun Çözüm dür. Kuzey Batı Köşe yöntemine göre yapılan dağıtım planı çizelge 5.2 de gösterilmiştir. Çizelge 5.2 de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 107.415,19 TL olarak bulunmuştur. Temel uygun çözüm, 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 2,8 2,9 = 83,04 = 91,56 = 28,8 = 4,8 = 9 = 116,88 = 112,92 = 6 = 0 = 31,8 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 = 2,4 = 274,82 = 8, 4 = 126, 48 = 69 = 11,7 = 91,2 = 27,6 = 1, 2 = 39,12 2,20 2,21 2,22 2,23 3,23 3,24 3,25 3,26 3,27 3,28 = 45,6 = 72,72 = 29, 4 = 41,56 = 174,4 = 43,8 = 22,22 = 36,72 = 21,6 = 88,26 şeklindedir. 50

Çizelge 5.2 Kuzey Batı Köşe Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ S1 S2 S3 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 116,88 112,92 6 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 0 31,8 2,4 274,82 8,4 126,48 69 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 İSTEM 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ 51 MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 S2 S3 İSTEM 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 45,6 72,72 29,4 41,56 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 174,4 43,8 22,22 36,72 21,6 88,26 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

5.2 En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi En Düşük Maliyetli Gözeler Yönteminin Satır Yaklaşımı, Kolon Yaklaşımı ve Genel Yaklaşımı ulaştırma problemine uygulanmıştır. 5.2.1 En Düşük Maliyetli Gözeler (Kolon Yaklaşımı ) Yöntemi Ulaştırma problemine en düşük maliyetli gözeler yönteminin kolon yaklaşımı uygulanırken aşağıdaki adımlar izlenir: 1. D1 istem merkezinin bulunduğu ilk kolondan başlanır. Bu kolonda yer alan maliyetlerden en düşük olanı C 1,1 dir. 1,1 gözesine D1 istem merkezinin talebi kadar dağıtım yapılır. 2. Daha sonra ikinci kolona geçilir. Bu kolondaki en düşük maliyetli gözeye dağıtım yapılır. 3. Sırasıyla diğer kolonlara aynı işlemler uygulanır. Dağıtımlar yapılırken depolarda bulunan miktarlar dikkate alınır. Kolon yaklaşımına göre bulunan başlangıç çözümü çizelge 5.3 de verilmiştir. Çözüm sonunda 30 tane gözeye dağıtım yapılmış ve temel uygun çözüme ulaşılmıştır. Çizelge 5.3 de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 104.916,40 TL olarak bulunmuştur. Temel uygun çözüm, 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 3,6 1,7 1,8 1,9 1,10 = 83,04 = 91,56 = 28,8 = 4,8 = 9 = 116,88 = 112,92 = 6 = 31,8 şeklindedir. = 2, 4 2,11 2,12 2,13 3,14 3,15 3,16 3,17 3,18 3,19 1,20 = 274,82 = 8, 4 = 126, 48 = 69 = 11,7 = 91,2 = 27,6 = 1, 2 = 39,12 = 15,30 3,20 2,21 2,22 2,23 2,24 3,25 1,26 1,27 1,28 2,28 = 30,30 = 72,72 = 29, 4 = 215,96 = 43,8 = 22,22 = 36,72 = 21,6 = 9,06 = 79,2 52

Çizelge 5.3 En Düşük Maliyetli Gözeler (Kolon Yaklaşımı) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 53 İSTEM 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 15,3 36,72 21,6 9,06 S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 72,72 29,4 215,96 43,8 22,22 79,2 S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 30,3 İSTEM 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

5.2.2 En Düşük Maliyetli Gözeler (Satır Yaklaşımı ) Yöntemi Ulaştırma problemine en düşük maliyetli gözeler yönteminin satır yaklaşımı uygulanırken aşağıdaki adımlar izlenir: 1. S1 deposunun bulunduğu ilk satırdan başlanır. Bu satırda yer alan maliyetlerden en düşük olanı C 1,28 dir. 1,28 gözesine D28 istem merkezinin talebi kadar dağıtım yapılır. 2. Daha sonra ikinci düşük maliyetli olan 1,3 gözesine D3 istem merkezinin talebi kadar dağıtım yapılır. 3. Sırasıyla 1,5, 1,1, 1,2, 14, 1,7 gözelerine istem merkezlerinin talebi kadar dağıtım yapılır. 4. Yapılan bu dağıtımlardan sonra S1 deposunda 34,62 ton benzin kalmaktadır. Talebi karşılanan kolonların işlemden çıkarılması ile tabloda birinci satırda kalan en düşük maliyetli 1,26 gözesine 34,62 tonluk dağıtım yapılır. Yapılan bu dağıtımla D26 istem merkezinin talebi karşılanmamış olur. Ancak S1 deposunun sunumu tükenmiştir. 6. Birinci satırın tablodan çıkarılması ile ikinci satıra geçilir. Burada da birinci satırda yapılan işlemler tekrarlanır. 8. Sırasıyla 2,12, 2,13, 2,11, 2,21, 2,25, 2,23, 2,22, 2,19, 2,24 gözelerine istem merkezlerinin talebi kadar dağıtım yapılır. 9. Talebi karşılanan kolonların işlemden çıkarılması ile ikinci satırda en düşük maliyetli göze olan 2,16 gözesine gelindiğinde D16 istem merkezinin talebini karşılayacak kadar yakıt ikinci sunum merkezinden karşılanamayacağından kalan miktar üçüncü sunum merkezinden karşılanır. 10. Sunum yapabilecek sadece üçüncü sunum merkezi kaldığından talebi karşılanmayan istem merkezlerine buradan dağıtım yapılır. Sırasıyla 3,16, 3,20, 3,17, 3,15, 3,14, 3,18, 3,6, 3,27, 3,9, 3,10 gözelerine dağıtım yapılarak dağıtım planı oluşturulur. Satır yaklaşımına göre bulunan başlangıç çözümü çizelge 5.4 de verilmiştir. Çözüm sonunda 30 tane gözeye dağıtım yapılmış ve temel uygun çözüme ulaşılmıştır. 54

Çizelge 5.4 de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 105.972,33 TL olarak bulunmuştur. Temel uygun çözüm, 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 3,6 1,7 3,8 3,9 3,10 = 83,04 = 91,56 = 28,8 = 4,8 = 9 = 116,88 = 112,92 = 6 şeklindedir. = 31,8 = 2, 4 2,11 2,12 2,13 3,14 3,15 2,16 3,16 3,17 3,18 2,19 = 274,82 = 8, 4 = 126, 48 = 69 = 11,7 = 40,08 = 51,12 = 27,6 = 1, 2 = 39,12 3,20 2,21 2,22 2,23 2,24 3,25 1,26 3,26 3,27 1,28 = 45,60 = 72,72 = 29, 4 = 215,96 = 43,8 = 22,22 = 34,62 = 2,1 = 21,6 = 88, 26 55

Çizelge 5.4 En Düşük Maliyetli Gözeler (Satır Yaklaşımı) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 56 İSTEM 116,88 6 31,8 2,4 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 34,62 88,26 S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 40,08 39,12 72,72 29,4 215,96 43,8 22,22 S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 51,12 27,6 1,2 45,6 2,1 21,6 İSTEM 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

5.2.3 En Düşük Maliyetli Gözeler (Genel Yaklaşım ) Yöntemi Ulaştırma problemine en düşük maliyetli gözeler yönteminin genel yaklaşımı uygulanırken aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Genel yaklaşım uygulanırken ulaştırma tablosunun tamamı dikkate alınır. 2. Tablodaki en düşük maliyetli gözeler 0 maliyetli 1,28, 2,28 ve 3,28 gözeleridir. Bu gözelerden herhangi birisine dağıtım yapılabileceğinden burada 2,28 gözesine D28 istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır. 3. Daha sonra tablodaki sırasıyla diğer düşük maliyetli gözelere sunum miktarları da dikkate alınarak dağıtımlar yapılır. Genel yaklaşımına göre bulunan başlangıç çözümü çizelge 5.5 de verilmiştir. Çözüm sonunda 30 tane gözeye dağıtım yapılmış ve temel uygun çözüme ulaşılmıştır. Çizelge 5.5 de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 106.033,74 TL olarak bulunmuştur. Temel uygun çözüm, 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 2,6 1,7 1,8 2,8 2,9 = 83,04 = 91,56 = 28,8 = 4,8 = 9 = 116,88 = 112,92 = 1, 44 şeklindedir. = 4,56 = 31,8 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 3,16 2,17 2,18 = 2,4 = 274,82 = 8, 4 = 126, 48 = 69 = 11,7 = 58,9 = 32,3 = 27,6 = 1, 2 1,19 1,20 3,21 2,22 2,23 3,24 3,25 1,26 2,27 2,28 = 39,12 = 45,60 = 72,72 = 29, 4 = 215,96 = 43,8 = 22,22 = 36,72 = 21,6 = 88, 26 57

Çizelge 5.5 En Düşük Maliyetli Gözeler (Genel Yaklaşım) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ S1 S2 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 1,44 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 116,88 4,56 31,8 2,4 274,82 8,4 126,48 69 S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 58 İSTEM MERKEZLERİ 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 S2 S3 İSTEM 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 39,12 45,6 36,72 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 11,7 58,9 27,6 1,2 29,4 21,6 88,26 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 32,3 72,72 215,96 43,8 22,22 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

5.3 Vogel in Yaklaşım Yöntemi Kesim 3.4.3 de anlatılan adımları ulaştırma problemine uygulandığında çözüme ulaşmak için izlenen adımlar aşağıdaki gibidir. 1. Ulaştırma tablosuna satır pişmanlık ve kolon pişmanlık sıraları ilave edilir. 2. D1 istem merkezinin olduğu birinci kolondaki en düşük maliyetli iki göze 56,28 ve 74,01 dir. 3. Bu iki maliyetten büyük olandan küçük olan çıkarılır. 74,01-56,28=17,73 4. Bu değer kolon pişmanlık gözesine yazılır. 5. Daha sonra ikinci kolona geçilir ve aynı işlem tekrarlanır. 6. Bütün kolonların pişmanlık değerleri hesaplandıktan sonra satır pişmanlık değerleri hesaplanır. 7. Birinci satırın en düşük maliyetli iki göze 0 ve 55,40 dir. 8. Bu iki maliyetten büyük olandan küçük olan çıkarılır. 55,40-0 =55,40 9. Bu değer satır pişmanlık gözesine yazılır. 10. Aynı işlemler ikinci ve üçüncü satırlar için de tekrarlanır. 11. Satır ve kolon pişmanlık değerleri tabloya aktarıldıktan sonra pişmanlık değerlerinden en büyüğü seçilir. Tabloda en büyük pişmanlık değeri 56,63 ile üçüncü satırdadır. 12. Bu satırdaki en düşük maliyetli olan 3,28 gözesine D28 istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır. 13. D28 istem merkezinin istemi karşılandığı için bu kolon tablodan çıkarılır. 14. Kolon pişmanlık ve satır pişmanlık değerleri yeniden hesaplanır. En büyük pişmanlık değeri ikinci kolondadır. Bu kolonda en düşük maliyetli 1,2 gözesine D2 istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır ve bu kolon tablodan çıkarılır. 15. Tabloda kalan satır ve kolanlar için yeniden pişmanlık değerleri hesaplanarak en büyük pişmanlık değerinin olduğu satır veya kolon için aynı işlemler tekrarlanır. Sırasıyla 5, 1, 4, 17, 7, 24, 14, 10, 16, 8, 13, 12, 11 ve 15.nci kolonlara istem merkezlerinin istemi kadar dağıtım yapılır ve bu kolonlar tablodan çıkarılır. Tablodan çıkarılan her kolondan sonra pişmanlık değerleri yeniden hesaplanır. 59

16. Tabloda kalan satır ve kolonlardan pişmanlık değeri en büyük olan 23.ncü kolon için sunum merkezinde kalan miktar istem miktarını karşılamamaktadır. 23.ncü kolonun en düşük maliyetli gözesi olan 3,23 gözesine 55,44 ton dağıtım yapılır ve 3.ncü satır tablodan çıkarılır. 17. Tabloda kalan satır ve kolonlar için pişmanlık değerleri hesaplanır ve en büyük pişmanlık değerine sahip 18.nci kolona D18 istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır. 18. Sırasıyla 21, 9, 22, 26, 20, 26,25 kolonlarına istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır ve bu kolonlar tablodan çıkarılır. 19. Tabloda kalan satır ve kolonlar içerisinde en büyük pişmanlık değerine sahip 23.ncü kolon için D23 istem merkezinin kalan istem miktarı olan 160,52 tonluk dağıtım 2,23 gözesine yapılır ve bu kolon tablodan çıkarılır. 20. Tabloda kalan satır ve kolonlar içerisinde en büyük pişmanlık değerine sahip 2.nci satırın en düşük maliyetli 2,19 gözesine istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır ve bu kolonda tablodan çıkarılır. 21. Bu işlemden sonra en büyük pişmanlık değerine sahip 2.nci satırın en düşük maliyetli 2,27 gözesine istem merkezinin istemi kadar dağıtım yapılır. 22. 27.nci kolonda tablodan çıkarılması ile tabloda sadece 6.ncı kolon kalmıştır. Bu kolona sunum merkezlerinin mikatarları dikkate alınarak dağıtım yapılır. VAM Yöntemine göre bulunan başlangıç çözümü çizelge 5.6 de verilmiştir. Çizelge 5.6 de ayrıca çözümün ilk adımında hesaplanan pişmanlık değerleri de yer almaktadır. Çözüm sonunda 30 tane gözeye dağıtım yapılmış ve temel uygun çözüme ulaşılmıştır. 60

Çizelge 5.6 de elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti: 105.509,01 TL olarak bulunmuştur. Temel uygun çözüm, 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,6 1,7 1,8 1,9 = 83,04 = 91,56 = 28,8 = 4,8 = 9 = 0,36 = 116,52 = 112, 92 = 6 = 31,8 şeklindedir. 1,10 2,11 2,12 2,13 3,14 3,15 3,16 3,17 2,18 2,19 = 2,4 = 274,82 = 8, 4 = 126, 48 = 69 = 11,7 = 58,9 = 27,6 = 1, 2 = 39,12 1,20 2,21 2,22 2,23 3,23 3,24 3,25 1,26 2,27 3,28 = 45,60 = 72,72 = 29,4 = 160,52 = 55,44 = 43,8 = 22, 22 = 36,72 = 21,6 = 88, 26 61

Çizelge 5.6 Vogel in Yaklaşım (VAM) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı 62 MERKEZLERİ S1 S2 S3 İSTEM İSTEM MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 0,36 112,92 6 31,8 2,4 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 116,52 274,82 8,4 126,48 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 SÜTÜN PİŞMANLIK 17,73 21,09 20,03 14,68 20,03 8,04 12,47 10,83 8,30 11,40 10,51 10,74 10,80 11,45 MERKEZLERİ S1 S2 S3 İSTEM İSTEM MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 69 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 55,40 45,6 36,72 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 55,75 1,2 39,12 72,72 29,4 160,52 22,22 21,6 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 56,63 11,7 91,2 27,6 55,44 43,8 88,26 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713 SATIR PİŞMANLIK KOLON PİŞMANLIK 9,95 11,14 12,65 5,30 6,94 3,23 4,74 4,73 9,86 11,85 4,33 2,83 0,53 0,00

5.4 En İyi Çözümün Bulunması Başlangıç çözüm yöntemlerinde bulunan temel değişkenlerin amaç fonksiyonunda yerine yazılması ile toplam taşıma maliyetleri bulunur. Yöntemlere göre bulunan toplam taşıma maliyetleri çizelge 5.7 de verilmiştir. Çizelge 5.7 Başlangıç çözüm yöntemlerine göre toplam taşıma maliyeti karşılaştırılması Başlangıç Çözüm Yöntemi Toplam Taşıma Maliyeti, TL Kuzey Batı Köşe Yöntemi 107.415,19 En Düşük Maliyetli Gözeler Satır Yaklaşımı 105.972,33 Kolon Yaklaşımı 104.916,40 Genel Yaklaşım 106.033,74 Vogel'in Yaklaşım Yöntemi (VAM Yöntemi) 105.509,01 Çizelge 5.7 den de anlaşılacağı gibi en düşük maliyet En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi (Kolon Yaklaşımı) nda bulunmuştur. Bundan dolayı en iyi çözümü bulmak için bu yöntemle bulunan dağıtım planı kullanılmıştır. En iyi çözümü bulmak için ; i. Atlama Taşı Yöntemi ii. MODİ Yöntemi uygulanmıştır. 63

5.5 Atlama Taşı Yönteminin Uygulanması Atlama Taşı yönteminde uygulanan adımlar Kesim 3.5.1 de verilmiştir. Bu adımların probleme uygulanması aşağıdaki şekilde yapılmıştır. 1. Öncelikle boş gözelerin hepsinin gizli maliyetleri belirlenir. Bunun için gizli maliyeti hesaplanacak boş gözeden başlanarak ve dolu gözelerde 90 derecelik dönüşler yapılarak tekrar boş gözeye gelinecek çevrimler yazılır. Çizelge 5.8 de verilen dağıtım planına göre boş gözelerin gizli maliyetleri için çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır. 64

Çizelge 5.8 Ulaştırma probleminin başlangıç temel çözümü İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 65 İSTEM 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 15,3 36,72 21,6 9,06 S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 72,72 29,4 215,96 43,8 22,22 79,2 S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 30,3 İSTEM 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

d 2,1 = C 2,1 -C 1,1 +C 1,28 -C 2,28 = 28,08 d 3,1 = C 3,1 -C 1,1 +C 1,20 -C 3,20 = 20,96 d 2,2 = C 2,2 -C 1,2 +C 1,28 -C 2,28 = 30,47 d 3,2 = C 3,2 -C 1,2 +C 1,20 -C 3,20 = 24,32 d 2,3 = C 2,3 -C 1,3 +C 1,28 -C 2,28 = 31,61 d 3,3 = C 3,3 -C 1,3 +C 1,20 -C 3,20 = 23,26 d 2,4 = C 2,4 -C 1,4 +C 1,28 -C 2,28 = 26,26 d 3,4 = C 3,4 -C 1,4 +C 1,20 -C 3,20 = 17,91 d 2,5 = C 2,5 -C 1,5 +C 1,28 -C 2,28 = 31,61 d 3,5 = C 3,5 -C 1,5 +C 1,20 -C 3,20 = 23,26 d 1,6 = C 1,6 -C 3,6 +C 3,20 -C 1,20 = 4,81 d 2,6 = C 2,6 -C 3,6 +C 3,20 -C 1,20 +C 1,28 -C 2,28 = 7,29 d 2,7 = C 2,7 -C 1,7 +C 1,28 -C 2,28 = 22,64 d 3,7 = C 3,7 -C 1,7 +C 1,20 -C 3,20 = 15,70 d 2,8 = C 2,8 -C 1,8 +C 1,28 -C 2,28 = 20,74 d 3,8 = C 3,8 -C 1,8 +C 1,20 -C 3,20 = 14,06 d 2,9 = C 2,9 -C 1,9 +C 1,28 -C 2,28 = 15,82 d 3,9 = C 3,9 -C 1,9 +C 1,20 -C 3,20 = 11,53 d 2,10 = C 2,10 -C 1,10 +C 1,28 -C 2,28 = 21,57 d 3,10 = C 3,10 -C 1,10 +C 1,20 -C 3,20 = 14,63 d 1,11 = C 1,11 -C 2,11 +C 2,28 -C 1,28 = 37,97 d 3,11 = C 3,11 -C 2,11 +C 2,28 -C 1,28 +C 1,20 -C 3,20 = 13,74 d 1,12 = C 1,12 -C 2,12 +C 2,28 -C 1,28 = 30,55 d 3,12 = C 3,12 -C 2,12 +C 2,28 -C 1,28 +C 1,20 -C 3,20 = 14,03 d 1,13 = C 1,13 -C 2,13 +C 2,28 -C 1,28 = 30,65 d 3,13 = C 3,13 -C 2,13 +C 2,28 -C 1,28 +C 1,20 -C 3,20 = 14,03 d 1,14 = C 1,14 -C 3,14 +C 3,20 -C 1,20 = 15,74 d 2,14 = C 2,14 -C 3,14 +C 3,20 -C 1,20 +C 1,28 -C 2,28 = 8,22 d 1,15 = C 1,15 -C 3,15 +C 3,20 -C 1,20 = 22,81 d 2,15 = C 2,15 -C 3,15 +C 3,20 -C 1,20 +C 1,28 -C 2,28 = 6,72 d 1,16 = C 1,16 -C 3,16 +C 3,20 -C 1,20 = 23,65 d 2,16 = C 2,16 -C 3,16 +C 3,20 -C 1,20 +C 1,28 -C 2,28 = 7,91 d 1,17 = C 1,17 -C 3,17 +C 3,20 -C 1,20 = 10,83 d 2,17 = C 2,17 -C 3,17 +C 3,20 -C 1,20 +C 1,28 -C 2,28 = 9,42 d 1,18 = C 1,18 -C 3,18 +C 3,20 -C 1,20 = 22,28 d 2,18 = C 2,18 -C 3,18 +C 3,20 -C 1,20 +C 1,28 -C 2,28 = 2,07 d 1,19 = C 1,19 -C 3,19 +C 3,20 -C 1,20 = 3,71 66

d 2,19 = C 2,19 -C 3,19 +C 3,20 -C 1,20 +C 1,28 -C 2,28 = 4,06 d 2,20 = C 2,20 -C 1,20 +C 1,28 -C 2,28 = 12,34 d 1,21 = C 1,21 -C 2,21 +C 2,28 -C 1,28 = 17,68 d 3,21 = C 3,21 -C 2,21 +C 2,28 -C 1,28 +C 1,20 -C 3,20 = -1,51 d 1,22 = C 1,22 -C 2,22 +C 2,28 -C 1,28 = 14,99 d 3,22 = C 3,22 -C 2,22 +C 2,28 -C 1,28 +C 1,20 -C 3,20 = -1,50 d 1,23 = C 1,23 -C 2,23 +C 2,28 -C 1,28 = 9,47 d 3,23 = C 3,23 -C 2,23 +C 2,28 -C 1,28 +C 1,20 -C 3,20 = -6,63 d 1,24 = C 1,24 -C 2,24 +C 2,28 -C 1,28 = 8,00 d 3,24 = C 3,24 -C 2,24 +C 2,28 -C 1,28 +C 1,20 -C 3,20 = -8,62 d 1,25 = C 1,25 -C 2,25 +C 2,28 -C 1,28 = 12,82 d 3,25 = C 3,25 -C 2,25 +C 2,28 -C 1,28 +C 1,20 -C 3,20 = -1,10 d 2,26 = C 2,26 -C 1,26 +C 1,28 -C 2,28 = 13,05 d 3,26 = C 3,26 -C 1,26 +C 1,20 -C 3,20 = 6,06 d 2,27 = C 2,27 -C 1,27 +C 1,28 -C 2,28 = 1,86 d 3,27 = C 3,27 -C 1,27 +C 1,20 -C 3,20 = 3,76 d 3,28 = C 3,28 -C 1,28 +C 1,20 -C 3,20 = 3,23 2. Negatif maliyetler, ilgili gözeye dağıtım yapılarak toplam taşıma maliyetinin azaltılabileceği anlamına gelmektedir. Negatif değerli gözelerden mutlak değerce en büyük olan 3,24 gözesi seçilir. Bu göze için yazılan döngü içerisinde negatif işaretlenen gözelerde en küçük miktar 9,06 tondur. Döngü içerisinde (+) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar artış, (-) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar azalış yapılır. Bu durumda yeni oluşan dağıtım planı çizelge 5.9 de verilmiştir. 67

Çizelge 5.9 Atlama Taşı Yöntemine göre ilk yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 116,88 69 İSTEM 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 68 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 24,36 36,72 21,6 S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 72,72 29,4 215,96 34,74 22,22 88,26 S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 21,24 9,06 İSTEM 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

3. Çizelge 5.9 de verilen dağıtım planı kullanılarak yeniden boş gözelerin gizli maliyetleri için aşağıdaki çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır. d 2,1 = C 2,1 -C 1,1 +C 1,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = 19,46 d 3,1 = C 3,1 -C 1,1 +C 1,20 -C 3,20 = 20,96 d 2,2 = C 2,2 -C 1,2 +C 1,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = 21,85 d 3,2 = C 3,2 -C 1,2 +C 1,20 -C 3,20 = 24,32 d 2,3 = C 2,3 -C 1,3 +C 1,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = 22,99 d 3,3 = C 3,3 -C 1,3 +C 1,20 -C 3,20 = 23,26 d 2,4 = C 2,4 -C 1,4 +C 1,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = 17,64 d 3,4 = C 3,4 -C 1,4 +C 1,20 -C 3,20 = 17,91 d 2,5 = C 2,5 -C 1,5 +C 1,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = 22,99 d 3,5 = C 3,5 -C 1,5 +C 1,20 -C 3,20 = 23,26 d 1,6 = C 1,6 -C 3,6 +C 3,20 -C 1,20 = 4,81 d 2,6 = C 2,6 -C 3,6 +C 3,24 -C 2,24 = -1,33 d 2,7 = C 2,7 -C 1,7 +C 1,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = 14,02 d 3,7 = C 3,7 -C 1,7 +C 1,20 -C 3,20 = 15,70 d 2,8 = C 2,8 -C 1,8 +C 1,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = 12,12 d 3,8 = C 3,8 -C 1,8 +C 1,20 -C 3,20 = 14,06 d 2,9 = C 2,9 -C 1,9 +C 1,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = 7,20 d 3,9 = C 3,9 -C 1,9 +C 1,20 -C 3,20 = 11,53 d 2,10 = C 2,10 -C 1,10 +C 1,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = 12,95 d 3,10 = C 3,10 -C 1,10 +C 1,20 -C 3,20 = 14,63 d 1,11 = C 1,11 -C 2,11 +C 2,24 -C 3,24 +C 3,20 -C 1,20 = 46,59 d 3,11 = C 3,11 -C 2,11 +C 2,24 -C 3,24 = 22,36 d 1,12 = C 1,12 -C 2,12 +C 2,24 -C 3,24 +C 3,20 -C 1,20 = 39,17 d 3,12 = C 3,12 -C 2,12 +C 2,24 -C 3,24 = 22,59 d 1,13 = C 1,13 -C 2,13 +C 2,24 -C 3,24 +C 3,20 -C 1,20 = 39,27 d 3,13 = C 3,13 -C 2,13 +C 2,24 -C 3,24 = 22,65 d 1,14 = C 1,14 -C 3,14 +C 3,20 -C 1,20 = 15,74 d 2,14 = C 2,14 -C 3,14 +C 3,24 -C 2,24 = -0,40 d 1,15 = C 1,15 -C 3,15 +C 3,20 -C 1,20 = 22,81 d 2,15 = C 2,15 -C 3,15 +C 3,24 -C 2,24 = -1,90 d 1,16 = C 1,16 -C 3,16 +C 3,20 -C 1,20 = 23,65 d 2,16 = C 2,16 -C 3,16 +C 3,24 -C 2,24 = -0,71 d 1,17 = C 1,17 -C 3,17 +C 3,20 -C 1,20 = 10,83 d 2,17 = C 2,17 -C 3,17 +C 3,24 -C 2,24 = 0,80 d 1,18 = C 1,18 -C 3,18 +C 3,20 -C 1,20 = 22,28 d 2,18 = C 2,18 -C 3,18 +C 3,24 -C 2,24 = -6,55 d 1,19 = C 1,19 -C 3,19 +C 3,20 -C 1,20 = 3,71 d 2,19 = C 2,19 -C 3,19 +C 3,24 -C 2,24 = -4,56 69

d 2,20 = C 2,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = 3,72 d 1,21 = C 1,21 -C 2,21 +C 2,24 -C 3,24 +C 3,20 -C 1,20 = 26,30 d 3,21 = C 3,21 -C 2,21 +C 2,24 -C 3,24 = 7,11 d 1,22 = C 1,22 -C 2,22 +C 2,24 -C 3,24 +C 3,20 -C 1,20 = 23,61 d 3,22 = C 3,22 -C 2,22 +C 2,24 -C 3,24 = 7,12 d 1,23 = C 1,23 -C 2,23 +C 2,24 -C 3,24 +C 3,20 -C 1,20 = 18,09 d 3,23 = C 3,23 -C 2,23 +C 2,24 -C 3,24 = 1,99 d 1,24 = C 1,24 -C 3,24 +C 3,20 -C 1,20 = 16,62 d 1,25 = C 1,25 -C 2,25 +C 2,24 -C 3,24 -C 3,20 -C 1,20 = 21,44 d 3,25 = C 3,25 -C 2,25 +C 2,24 -C 3,24 = 7,52 d 2,26 = C 2,26 -C 1,26 +C 1,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = 4,43 d 3,26 = C 3,26 -C 1,26 +C 1,20 -C 3,20 = 6,06 d 2,27 = C 2,27 -C 1,27 +C 1,20 -C 3,20 +C 3,24 -C 2,24 = -6,76 d 3,27 = C 3,27 -C 1,27 +C 1,20 -C 3,20 = 3,76 d 1,28 = C 1,28 -C 2,28 +C 2,24 -C 3,24 +C 3,20 -C 1,20 = 8,62 d 3,28 = C 3,28 -C 2,28 +C 2,24 -C 3,24 = 11,85 4. Negatif değerli gözelerden mutlak değerce en büyük olan 2,27 gözesi seçilir. Bu göze için yazılan döngü içerisinde negatif işaretlenen gözelerde en küçük miktar 21,24 tondur. 5. Döngü içerisinde (+) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar artış, (-) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar azalış yapılır. Bu durumda yeni oluşan dağıtım planı çizelge 5.10 de verilmiştir. 6. Çizelge 5.10 de verilen dağıtım planı kullanılarak yeniden boş gözelerin gizli maliyetleri için aşağıdaki çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır. 2,1= C 2,1 -C 1,1 +C 1,27 -C 2,27 = 26,22 d 3,1 = C 3,1 -C 1,1 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 27,72 d 2,2 = C 2,2 -C 1,2 +C 1,27 -C 2,27 = 28,61 d 3,2 = C 3,2 -C 1,2 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 31,08 d 2,3 = C 2,3 -C 1,3 +C 1,27 -C 2,27 = 29,75 d 3,3 = C 3,3 -C 1,3 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 30,02 d 2,4 = C 2,4 -C 1,4 +C 1,27 -C 2,27 = 24,40 d 3,4 = C 3,4 -C 1,4 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 24,67 d 2,5 = C 2,5 -C 1,5 +C 1,27 -C 2,27 = 29,75 d 3,5 = C 3,5 -C 1,5 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 30,02 d 1,6 = C 1,6 -C 3,6 +C 3,24 -C2,24 +C 2,27 -C 1,27 = -1,95 d 2,6 = C 2,6 -C 3,6 +C 3,24 -C 2,24 = -1,33 d 2,7 = C 2,7 -C 1,7 +C 1,27 -C 2,27 = 20,78 70

Çizelge 5.10 Atlama Taşı Yöntemine göre ikinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ S1 S2 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 71 S3 İSTEM 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 S2 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 45,6 36,72 0,36 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 72,72 29,4 215,96 13,5 22,22 21,24 88,26 S3 İSTEM 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 30,3 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

d 3,7 = C 3,7 -C 1,7 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 22,46 d 2,8 = C 2,8 -C 1,8 +C 1,27 -C 2,27 = 18,88 d 3,8 = C 3,8 -C 1,8 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 20,82 d 2,9 = C 2,9 -C 1,9 +C 1,27 -C 2,27 = 13,96 d 3,9 = C 3,9 -C 1,9 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 18,29 d 2,10 = C 2,10 -C 1,10 +C 1,27 -C 2,27 = 19,71 d 3,10 = C 3,10 -C 1,10 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 21,39 d 1,11 = C 1,11 -C 2,11 +C 2,27 -C1,27 = 39,83 d 3,11 = C 3,11 -C 2,11 +C 2,24 -C3,24 = 22,36 d 1,12 = C 1,12 -C 2,12 +C 2,27 -C 1,27 = 32,41 d 3,12 = C 3,12 -C 2,12 +C 2,24 -C 3,24 = 22,59 d 1,13 = C 1,13 -C 2,13 +C 2,27 -C 1,27 = 32,51 d 3,13 = C 3,13 -C 2,13 +C 2,24 -C 3,24 = 22,65 d 1,14 = C 1,14 -C 3,14 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = 8,98 d 2,14 = C 2,14 -C 3,14 +C 3,24 -C2,24 = -0,40 d 1,15 = C 1,15 -C 3,15 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = 16,05 d 2,15 = C 2,15 -C 3,15 +C 3,24 -C2,24 = -1,90 d 1,16 = C 1,16 -C 3,16 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = 16,89 d 2,16 = C 2,16 -C 3,16 +C 3,24 -C2,24 = -0,71 d 1,17 = C 1,17 -C 3,17 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = 4,07 d 2,17 = C 2,17 -C 3,17 +C 3,24 -C2,24 = 0,80 d 1,18 = C 1,18 -C 3,18 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = 15,52 d 2,18 = C 2,18 -C 3,18 +C 3,24 -C2,24 = -6,55 d 1,19 = C 1,19 -C 3,19 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = -3,05 d 2,19 = C 2,19 -C 3,19 +C 3,24 -C2,24 = -4,56 d 2,20 = C 2,20 -C1,20 +C1,27 -C 2,27 = 10,48 d 3,20 = C 3,20 -C 1,20 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 6,76 d 1,21 = C 1,21 -C 2,21 +C 2,27 -C 1,27 = 19,54 d 3,21 = C 3,21 -C 2,21 +C 2,24 -C 3,24 = 7,11 d 1,22 = C 1,22 -C 2,22 +C 2,27 -C 1,27 = 16,85 d 3,22 = C 3,22 -C 2,22 +C 2,24 -C3,24 = 7,12 d 1,23 = C 1,23 -C 2,23 +C 2,27 -C 1,27 = 11,33 d 3,23 = C 3,23 -C 2,23 +C 2,24 -C 3,24 = 1,99 d 1,24 = C 1,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = 9,86 d 1,25 = C 1,25 -C 2,25 +C 2,27 -C 1,27 = 14,68 d 3,25 = C 3,25 -C 2,25 +C 2,24 -C 3,24 = 7,52 d 2,26 = C 2,26 -C 1,26 +C 1,27 -C 2,27 = 11,19 d 3,26 = C 3,26 -C 1,26 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 12,82 d 3,27 = C 3,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 10,52 d 1,28 = C 1,28 -C 2,28 +C 2,27 -C 1,27 = 1,86 d 3,28 = C 3,28 -C 2,28 +C2,24 -C 3,24 = 11,85 7. Negatif değerli gözelerden mutlak değerce en büyük olan 2,18 gözesi seçilir. Bu göze için yazılan döngü içerisinde negatif işaretlenen gözelerde en küçük miktar 1,2 tondur. 72

8. Döngü içerisinde (+) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar artış, (-) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar azalış yapılır. Bu durumda yeni oluşan dağıtım planı çizelge 5.11 de verilmiştir. 9. Çizelge 5.11 de verilen dağıtım planı kullanılarak yeniden boş gözelerin gizli maliyetleri için çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır. d 21 = C 2,1 -C 1,1 +C 1,27 -C 2,27 = 26,22 d 3,1 = C 3,1 -C 1,1 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 27,72 d 2,2 = C 2,2 -C 1,2 +C 1,27 -C 2,27 = 28,61 d 3,2 = C 3,2 -C 1,2 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 31,08 d 2,3 = C 2,3 -C 1,3 +C 1,27 -C 2,27 = 29,75 d 3,3 = C 3,3 -C 1,3 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 30,02 d 2,4 = C 2,4 -C 1,4 +C 1,27 -C 2,27 = 24,40 d 3,4 = C 3,4 -C 1,4 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 24,67 d 2,5 = C 2,5 -C 1,5 +C 1,27 -C 2,27 = 29,75 d 3,5 = C 3,5 -C 1,5 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 30,02 d 1,6 = C 1,6 -C 3,6 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = -1,95 d 2,6 = C 2,6 -C 3,6 +C 3,24 -C 2,24 = -1,33 d 2,7 = C 2,7 -C 1,7 +C 1,27 -C 2,27 = 20,78 d 3,7 = C 3,7 -C 1,7 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 22,46 d 2,8 = C 2,8 -C 1,8 +C 1,27 -C 2,27 = 18,88 d 3,8 = C 3,8 -C 1,8 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 20,82 d 2,9 = C 2,9 -C 1,9 +C 1,27 -C 2,27 = 13,96 d 3,9 = C 3,9 -C 1,9 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 18,29 d 2,10 = C 2,10 -C 1,10 +C 1,27 -C 2,27 = 19,71 d 3,10 = C 3,10 -C 1,10 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 21,39 d 1,11 = C 1,11 -C 2,11 +C 2,27 -C1,27 = 39,83 d 3,11 = C 3,11 -C 2,11 +C 2,24 -C3,24 = 22,36 d 1,12 = C 1,12 -C 2,12 +C 2,27 -C 1,27 = 32,41 d 3,12 = C 3,12 -C 2,12 +C 2,24 -C 3,24 = 22,59 d 1,13 = C 1,13 -C 2,13 +C 2,27 -C 1,27 = 32,51 d 3,13 = C 3,13 -C 2,13 +C 2,24 -C 3,24 = 22,65 d 1,14 = C 1,14 -C 3,14 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = 8,98 d 2,14 = C 2,14 -C 3,14 +C 3,24 -C 2,24 = -0,40 d 1,15 = C 1,15 -C 3,15 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = 16,05 d 2,15 = C 2,15 -C 3,15 +C 3,24 -C 2,24 = -1,90 d 1,16 = C 1,16 -C 3,16 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = 16,89 d 2,16 = C 2,16 -C 3,16 +C 3,24 -C 2,24 = -0,71 73

Çizelge 5.11 Atlama Taşı Yöntemine göre üçüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 74 S1 S2 S3 İSTEM 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 45,6 36,72 0,36 S2 S3 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 1,2 72,72 29,4 215,96 12,3 22,22 21,24 88,26 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 39,12 31,5 İSTEM 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

d 1,17 = C 1,17 -C 3,17 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = 4,07 d 2,17 = C 2,17 -C 3,17 +C 3,24 -C 2,24 = 0,80 d 1,18 = C 1,18 -C 2,18 +C 2,27 -C 1,27 = 22,07 d 3,18 = C 3,18 -C 2,18 +C 2,24 -C 3,24 = 6,55 d 1,19 = C 1,19 -C 3,19 +C 3,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = -3,05 d 2,19 = C 2,19 -C 3,19 +C 3,24 -C 2,24 = -4,56 d 2,20 = C 2,20 -C 1,20 +C 1,27 -C 2,27 = 10,48 d 3,20 = C 3,20 -C 1,20 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 6,76 d 1,21 = C 1,21 -C 2,21 +C 2,27 -C 1,27 = 19,54 d 3,21 = C 3,21 -C 2,21 +C 2,24 -C 3,24 = 7,11 d 1,22 = C 1,22 -C 2,22 +C 2,27 -C 1,27 = 16,85 d 3,22 = C 3,22 -C 2,22 +C 2,24 -C 3,24 = 7,12 d 1,23 = C 1,23 -C 2,23 +C 2,27 -C 1,27 = 11,33 d 3,23 = C 3,23 -C 2,23 +C 2,24 -C 3,24 = 1,99 d 1,24 = C 1,24 -C 2,24 +C 2,27 -C 1,27 = 9,86 d 1,25 = C 1,25 -C 2,25 +C 2,27 -C 1,27 = 14,68 d 3,25 = C 3,25 -C 2,25 +C 2,24 -C 3,24 = 7,52 d 2,26 = C 2,26 -C 1,26 +C 1,27 -C 2,27 = 11,19 d 3,26 = C 3,26 -C 1,26 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 12,82 d 3,27 = C 3,27 -C2,27 +C 2,24 -C 3,24 = 10,52 d 1,28 = C 1,28 -C 2,28 +C 2,27 -C 1,27 = 1,86 d 3,28 = C 3,28 -C 2,28 +C 2,24 -C 3,24 = 11,85 10. Negatif değerli gözelerden mutlak değerce en büyük olan 2,19 gözesi seçilir. Bu göze için yazılan döngü içerisinde negatif işaretlenen gözelerde en küçük miktar 12,3 tondur. 11. Döngü içerisinde (+) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar artış, (-) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar azalış yapılır. Bu durumda yeni oluşan dağıtım planı çizelge 5.12 de verilmiştir. 12. Çizelge 5.12 de verilen dağıtım planı kullanılarak yeniden boş gözelerin gizli maliyetleri için çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır. 75

Çizelge 5.12 Atlama Taşı Yöntemine göre dördüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ 76 MERKEZLERİ S1 S2 S3 İSTEM MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 S2 S3 İSTEM 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 45,6 36,72 0,36 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 1,2 12,3 72,72 29,4 215,96 22,22 21,24 88,26 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 26,82 43,8 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

d 2,1 = C 2,1 -C 1,1 +C 1,27 -C 2,27 = 26,22 d 3,1 = C 3,1 -C 1,1 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 23,16 d 2,2 = C 2,2 -C 1,2 +C 1,27 -C 2,27 = 28,61 d 3,2 = C 3,2 -C 1,2 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 26,52 d 2,3 = C 2,3 -C 1,3 +C 1,27 -C 2,27 = 29,75 d 3,3 = C 3,3 -C 1,3 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 25,46 d 2,4 = C 2,4 -C 1,4 +C 1,27 -C 2,27 = 24,40 d 3,4 = C 3,4 -C 1,4 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 20,11 d 2,5 = C 2,5 -C 1,5 +C 1,27 -C 2,27 = 29,75 d 3,5 = C 3,5 -C 1,5 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 25,46 d 1,6 = C 1,6 -C 3,6 +C 3,19 -C 2,19 +C 2,27 -C 1,27 = 2,61 d 2,6 = C 2,6 -C 3,6 +C 3,19 -C 2,19 = 3,23 d 2,7 = C 2,7 -C 1,7 +C 1,27 -C 2,27 = 20,78 d 3,7 = C 3,7 -C 1,7 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 17,90 d 2,8 = C 2,8 -C 1,8 +C 1,27 -C 2,27 = 18,88 d 3,8 = C 3,8 -C 1,8 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 16,26 d 2,9 = C 2,9 -C 1,9 +C 1,27 -C 2,27 = 13,96 d 3,9 = C 3,9 -C 1,9 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 13,73 d 2,10 = C 2,10 -C 1,10 +C1,27-C2,27 = 19,71 d 3,10 = C 3,10 -C 1,10 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 16,83 d 1,11 = C 1,11 -C 2,11 +C 2,27 -C 1,27 = 39,83 d 3,11 = C 3,11 -C 2,11 +C 2,19 -C 3,19 = 17,80 d 1,12 = C 1,12 -C 2,12 +C 2,27 -C 1,27 = 32,41 d 3,12 = C 3,12 -C 2,12 +C 2,19 -C 3,19 = 18,03 d 1,13 = C 1,13 -C 2,13 +C 2,27 -C 1,27 = 32,51 d 3,13 = C 3,13 -C 2,13 +C 2,19 -C 3,19 = 18,09 d 1,14 = C 1,14 -C 3,14 +C 3,19 -C 2,19 +C 2,27 -C 1,27 = 13,54 d 2,14 = C 2,14 -C 3,14 +C 3,19 -C 2,19 = 4,16 d 1,15 = C 1,15 -C 3,15 +C 3, 19 -C 2,19 +C 2,27 -C 1,27 = 20,61 d 2,15 = C 2,15 -C 3,15 +C 3,19 -C 2,19 = 2,66 d 1,16 = C 1,16 -C 3,16 +C 3,19 -C 2,19 +C 2,27 -C 1,27 = 21,45 d 2,16 = C 2,16 -C 3,16 +C 3,19 -C 2,19 = 3,85 d 1,17 = C 1,17 -C 3,17 +C 3,19 -C 2,19 +C 2,27 -C 1,27 = 8,63 d 2,17 = C 2,17 -C 3,17 +C 3,19 -C 2,19 = 5,36 d 1,18 = C 1,18 -C 2,18 +C 2,27 -C 1,27 = 22,07 d3,18 = C3,18 -C 2,18 +C 2,19 -C 3,19 = 1,99 d 1,19 = C 1,19 -C 2,19 +C 2,27 -C 1,27 = 1,51 d 2,20 = C 2,20 -C 1,20 +C 1,27 -C 2,27 = 10,48 d 3,20 = C 3,20 -C 1,20 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 2,20 d 1,21 = C 1,21 -C 2,21 +C 2,27 -C 1,27 = 19,54 d 3,21 = C 3,21 -C 2,21 +C 2,19 -C 3,19 = 2,55 d 1,22 = C 1,22 -C 2,22 +C 2,27 -C 1,27 = 16,85 d 3,22 = C 3,22 -C 2,22 +C 2,19 -C 3,19 = 2,56 d 1,23 = C 1,23 -C 2,23 +C 2,27 -C 1,27 = 11,33 d 3,23 = C 3,23 -C 2,23 +C 2,19 -C 3,19 = -2,57 d 1,24 = C 1,24 -C 3,24 +C 3,19 -C 2,19 +C 2,27 -C 1,27 = 14,42 d2,24 = C 2,24 -C 3,24 +C 3,19 -C 2,19 = 4,56 d 1,25 = C 1,25 -C 2,25 +C 2,27 -C 1,27 = 14,68 d 3,25 = C 3,25 -C 2,25 +C 2,19 -C 3,19 = 2,96 77

d 2,26 = C 2,26 -C 1,26 +C 1,27 -C 2,27 = 11,19 d 3,26 = C 3,26 -C 1,26 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 8,26 d 3,27 = C 3,27 -C 2,27 +C 2,19 -C 3,19 = 5,96 d 1,28 = C 1,28 -C 2,28 +C 2,27 -C 1,27 = 1,86 d 3,28 = C 3,28 -C 2,28 +C 2,19 -C 3,19 = 7,29 13. Negatif değerli kalan tek göze olan 3,23 gözesi seçilir. Bu göze için yazılan döngü içerisinde negatif işaretlenen gözelerde en küçük miktar 26,82 tondur. 14. Döngü içerisinde (+) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar artış, (-) ile işaretlenen gözelere bu miktar kadar azalış yapılır. Bu durumda yeni oluşan dağıtım planı çizelge 5.13 de verilmiştir. 15. Çizelge 5.13 de verilen dağıtım planı kullanılarak yeniden boş gözelerin gizli maliyetleri için çevrimler yazılmış ve gizli maliyetler hesaplanmıştır. d 2,1 = C 2,1 -C 1,1 +C 1,27 -C2,27 = 26,22 d 3,1 = C 3,1 -C 1,1 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 25,73 d 2,2 = C 2,2 -C 1,2 +C 1,27 -C 2,27 = 28,61 d 3,2 = C 3,2 -C 1,2 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 29,09 d 2,3 = C 2,3 -C 1,3 +C 1,27 -C 2,27 = 29,75 d 3,3 = C 3,3 -C 1,3 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 28,03 d 2,4 = C 2,4 -C 1,4 +C 1,27 -C 2,27 = 24,40 d 3,4 = C 3,4 -C 1,4 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 22,68 d 2,5 = C 2,5 -C 1,5 +C 1,27 -C 2,27 = 29,75 d 3,5 = C 3,5 -C 1,5 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 28,03 d 1,6 = C 1,6 -C 3,6 +C 3,23 -C 2,23 +C 2,27 -C 1,27 = 0,04 d 2,6 = C 2,6 -C 3,6 +C 3,23 -C 2,23 = 0,66 d 2,7 = C 2,7 -C 1,7 +C 1,27 -C 2,27 = 20,78 d 3,7 = C 3,7 -C 1,7 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 20,47 d 2,8 = C 2,8 -C 1,8 +C 1,27 -C 2,27 = 18,88 d 3,8 = C 3,8 -C 1,8 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 18,83 d 2,9 = C 2,9 -C 1,9 +C 1,27 -C 2,27 = 13,96 d 3,9 = C 3,9 -C 1,9 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 16,30 d 2,10 = C 2,10 -C 1,10 +C 1,27 -C 2,27 = 19,71 d 3,10 = C 3,10 -C 1,10 +C1,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 19,40 d 1,11 = C 1,11 -C 2,11 +C 2,27 -C 1,27 = 39,83 d 3,11 = C 3,11 -C 2,11 +C 2,23 -C 3,23 = 20,37 d 1,12 = C 1,12 -C 2,12 +C 2,27 -C 1,27 = 32,41 d 3,12 = C 3,12 -C 2,12 +C 2,23 -C 3,23 = 20,60 d 1,13 = C 1,13 -C 2,13 +C 2,27 -C 1,27 = 32,51 d 3,13 = C 3,13 -C 2,13 +C 2,23 -C 3,23 = 20,66 d 1,14 = C 1,14 -C 3,14 +C 3,23 -C 2,23 +C 2,27 -C 1,27 = 10,97 78

Çizelge 5.13 Atlama Taşı Yöntemine göre beşinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ 79 MERKEZLERİ S1 S2 S3 İSTEM D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 S2 S3 İSTEM 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 45,6 36,72 0,36 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 1,2 39,12 72,72 29,4 189,14 22,22 21,24 88,26 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 26,82 43,8 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

d 2,14 = C 2,14 -C 3,14 +C 3,23 -C 2,23 = 1,59 d 1,15 = C 1,15 -C 3,15 +C 3,23 -C 2,23 +C 2,27 -C 1,27 = 18,04 d 2,15 = C 2,15 -C 3,15 +C 3,23 -C 2,23 = 0,09 d 1,16 = C 1,16 -C 3,16 +C 3,23 -C 2,23 +C 2,27 -C 1,27 = 18,88 d 2,16 = C 2,16 -C 3,16 +C 3,23 -C 2,23 = 1,28 d 1,17 = C 1,17 -C 3,17 +C 3,23 -C 2,23 +C 2,27 -C 1,27 = 6,06 d 2,17 = C 2,17 -C 3,17 +C 3,23 -C2,23 = 2,79 d 1,18 = C 1,18 -C 2,18 +C 2,27 -C 1,27 = 22,07 d 3,18 = C 3,18 -C 2,18 +C 2,23 -C 3,23 = 4,56 d 1,19 = C 1,19 -C 2,19 +C 2,27 -C 1,27 = 1,51 d 3,19 = C 3,19 -C 2,19 +C 2,23 -C 3,23 = 2,57 d 2,20 = C 2,20 -C 1,20 +C 1,27 -C 2,27 = 10,48 d 3,20 = C 3,20 -C 1,20 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 4,77 d 1,21 = C 1,21 -C 2,21 +C 2,27 -C 1,27 = 19,54 d 3,21 = C 3,21 -C 2,21 +C 2,23 -C 3,23 = 5,12 d 1,22 = C 1,22 -C 2,22 +C 2,27 -C 1,27 = 16,85 d 3,22 = C 3,22 -C 2,22 +C 2,23 -C 3,23 = 5,13 d 1,23 = C 1,23 -C 2,23 +C 2,27 -C 1,27 = 11,33 d 1,24 = C 1,24 -C 3,24 +C 3,23 -C 2,23 +C 2,27 -C 1,27 = 11,85 d 2,24 = C 2,24 -C 3,24 +C 3,23 -C 2,23 = 1,99 d 1,25 = C 1,25 -C 2,25 +C 2,27 -C 1,27 = 14,68 d 3,25 = C 3,25 -C 2,25 +C 2,23 -C 3,23 = 5,53 d 2,26 = C 2,26 -C 1,26 +C 1,27 -C 2,27 = 11,19 d 3,26 = C 3,26 -C 1,26 +C 1,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 10,83 d 3,27 = C 3,27 -C 2,27 +C 2,23 -C 3,23 = 8,53 d 1,28 = C 1,28 -C 2,28 +C 2,27 -C 1,27 = 1,86 d 3,28 = C 3,28 -C 2,28 +C 2,23 -C 3,23 = 9,86 Boş gözelerin gizli maliyet değerleri incelendiğinde negatif değerli gözenin kalmadığı görülür. Bu durumda bulunan dağıtım planı en iyi çözümdür ve en iyi çözüm, 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 3,6 1,7 1,8 1,9 1,10 = 83,04 = 91,56 = 28,8 = 4,8 = 9 = 116,88 = 112,92 = 6 = 31,8 = 2, 4 şeklindedir. 2,11 2,12 2,13 3,14 3,15 3,16 3,17 2,18 2,19 1,20 = 274,82 = 8, 4 = 126, 48 = 69 = 11,7 = 91,2 = 27,6 = 1, 2 = 39,12 = 45,6 2,21 2,22 2,23 3,23 2,24 2,25 1,26 1,27 2,27 2,28 = 72,72 = 29,4 = 189,14 = 26,82 = 43,8 = 22, 22 = 36,72 = 0,36 = 21, 24 = 88,26 80

Toplam Taşıma Maliyeti Amaç Fonksiyonu: z = * C + * C + * C + * C + * C + * C + Min 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4 1,5 1,5 3,6 3,6 * C + * C + * C + * C + * C + * C + 1,7 1,7 1,8 1,8 1,9 1,9 1,10 1,10 2,11 2,11 2,12 2,12 2,13 * C2,133,14 * C3,14 + 3,15 * C3,15 + 3,16 * C3,16 + 3,17 * C3,17 + 2,18 * C2,18+ * C + * C + * C + * C + * C + * C + 2,19 2,19 1,20 1,20 2,21 2,21 2,22 2,22 2,23 2,23 3,23 3,23 * C + * C + * C + * C + * C + * C 2,24 2,24 2,25 2,25 1,26 1,26 1,27 1,27 2,27 2,27 2,28 2,28 z = 83,04*56, 28+ 91,56*57,87 + 28,8*55, 40+ 4,8*60,92+ 9*55,75+ Min 116,88*75, 43+ 112,92*63,32 + 6*68,13+ 31,8*71,54 + 2, 4*73,13+ 274,82*63,32 + 8, 4*55,75+ 126, 48*59, 28+ 69*71,14 + 11,7*67, 42+ 91, 2*62,34+ 27,6*65, 43+ 1, 2*79,84+ 39,12*70, 25+ 45,6*67,60+ 72,72*63,67 + 29, 4*67, 42+ 189,14*66, 49+ 26,82*56,63+ 43,8*58, 40 + 22, 22*63,84+ 36,72*67, 42+ 0,36*78, 43+ 21, 24*80, 29+ 88, 26*0 = 104.561,84 TL Çözümün temel uygun çözüm olabilmesi için çözüm sonunda (m+n-1= 3+28-1=30) tane değere dağıtım yapılması gerekmektedir. Atlama Taşı yöntemi sonunda 30 tane gözeye dağıtım yapılmış ve Temel Uygun Çözüm e ulaşılmıştır. 81

5.6 MODİ Yönteminin Uygulanması MODİ yönteminde uygulanan adımlar Kesim 3.5.2 de verilmiştir. Bu adımların probleme uygulanması aşağıdaki şekilde yapılmıştır. 1. Çizelge 5.14 de verilen başlangıç çözümünde dağıtım yapılan dolu gözeler için gösterge değerleri U i V j = Ci, j + denklemi yardımıyla hesaplanır. Gösterge değerlerini bulmak için U 1 =0 kabul edilir. Bulunan değerler aşağıdaki gibidir. U 1 +V 1 =C 1,1 U 1 +V 26 =C 1,26 U 2 +V 25 =C 2,25 U 1 +V 2 =C 1,2 U 1 +V 27 =C 1,27 U 2 +V 28 =C 2,28 U 1 +V 3 =C 1,3 U 1 +V 28 =C 1,28 U 3 +V 6 =C 3,6 U 1 +V 4 =C 1,4 U 2 +V 11 =C 2,11 U 3 +V 14 =C 3,14 U 1 +V 5 =C 1,5 U 2 +V 12 =C 2,12 U 3 +V 15 =C 3,15 U 1 =0 kabul edilerek U 1 +V 7 =C 1,7 U 2 +V 13 =C 2,13 U 3 +V 16 =C 3,16 U 1 +V 8 =C 1,8 U 2 +V 21 =C 2,21 U 3 +V 17 =C 3,17 U 1 +V 9 =C 1,9 U 2 +V 22 =C 2,22 U 3 +V 18 =C 3,18 U 1 +V 10 =C 1,10 U 2 +V 23 =C 2,23 U 3 +V 19 =C 3,19 U 1 +V 20 =C 1,20 U 2 +V 24 =C 2,24 U 3 +V 20 =C 3,20 V 1 =56,28 V 11 =63,32 V 21 =63,67 V 2 =57,87 V 12 =55,75 V 22 =67,42 V 3 =55,40 V 13 =59,28 V 23 =66,49 V 4 =60,92 V 14 =74,37 V 24 =70,25 V 5 =55,75 V 15 =70,65 V 25 =63,84 V 6 =78,66 V 16 =65,57 V 26 =67,42 V 7 =63,31 V 17 =68,66 V 27 =78,43 V 8 =68,13 V 18 =77,77 V 28 =0 V 9 =71,54 V 19 =66,19 U 2 =0 V 10 =73,13 V 20 =67,60 U 3 =-3,23 82

Çizelge 5.14 Ulaştırma probleminin başlangıç temel çözümü İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 83 İSTEM 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 15,3 36,72 21,6 9,06 S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 72,72 29,4 215,96 43,8 22,22 79,2 S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 30,3 İSTEM 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

2. Dolu gözelerin gösterge değerleri kullanılarak boş gözeler için gizli maliyet değerleri d ij U i + V j Ci, j = bağıntısı ile hesaplanır. Bunun için yazılan bağıntılar ve hesaplanan değerler aşağıdaki gibidir. d 2,1 = U 2 +V 1 -C 2,1 = -28,08 d 2,14 = U 2 +V 14 -C 2,14 = -8,22 d 3,1 = U 3 +V 1 -C 3,1 = -20,96 d 1,15 = U 1 +V 15 -C 1,15 = -22,81 d 2,2 = U 2 +V 2 -C 2,2 = -30,47 d 2,15 = U 2 +V 15 -C 2,15 = -6,72 d 3,2 = U 3 +V 2 -C 3,2 = -24,32 d 1,16 = U 1 +V 16 -C 1,16 = -23,65 d 2,3 = U 2 +V 3 -C 2,3 = -31,61 d 2,16 = U 2 +V 16 -C 2,16 = -7,91 d 3,3 = U 3 +V 3 -C 3,3 = -23,26 d 1,17 = U 1 +V 17 -C 1,17 = -10,83 d 2,4 = U 2 +V 4 -C 2,4 = -26,26 d 2,17 = U 2 +V 17 -C 2,17 = -9,42 d 3,4 = U 3 +V 4 -C 3,4 = -17,91 d 1,18 = U 1 +V 18 -C 1,18 = -22,28 d 2,5 = U 2 +V 5 -C 2,5 = -31,61 d 2,18 = U 2 +V 18 -C 2,18 = -2,07 d 3,5 = U 3 +V 5 -C 3,5 = -23,26 d 1,19 = U 1 +V 19 -C 1,19 = -3,71 d 1,6 = U 1 +V 6 -C 1,6 = -4,81 d 2,19 = U 2 +V 19 -C 2,19 = -4,06 d 2,6 = U 2 +V 6 -C 2,6 = -7,29 d 2,20 = U 2 +V 20 -C 2,20 = -12,34 d 2,7 = U 2 +V 7 -C 2,7 = -22,64 d 1,21 = U 1 +V 21 -C 1,21 = -17,68 d 3,7 = U 3 +V 7 -C 3,7 = -15,70 d 3,21 = U 3 +V 21 -C 3,21 = 1,51 d 2,8 = U 2 +V 8 -C 2,8 = -20,74 d 1,22 = U 1 +V 22 -C 1,22 = -14,99 d 3,8 = U 3 +V 8 -C 3,8 = -14,06 d 3,22 = U 3 +V 22 -C 3,22 = 1,50 d 2,9 = U 2 +V 9 -C 2,9 = -15,82 d 1,23 = U 1 +V 23 -C 1,23 = -9,47 d 3,9 = U 3 +V 9 -C 3,9 = -11,53 d 3,23 = U 3 +V 23 -C 3,23 = 6,63 d 2,10 = U 2 +V 10 -C 2,10 = -21,57 d 1,24 = U 1 +V 24 -C 1,24 = -8,00 d 3,10 = U 3 +V 10 -C 3,10 = -14,63 d 3,24 = U 3 +V 24 -C 3,24 = 8,62 d 1,11 = U 1 +V 11 -C 1,11 = -37,97 d 1,25 = U 1 +V 25 -C 1,25 = -12,82 d 3,11 = U 3 +V 11 -C 3,11 = -13,74 d 3,25 = U 3 +V 25 -C 3,25 = 1,10 d 1,12 = U 1 +V 12 -C 1,12 = -30,55 d 2,26 = U 2 +V 26 -C 2,26 = -13,05 d 3,12 = U 3 +V 12 -C 3,12 = -13,97 d 3,26 = U 3 +V 26 -C 3,26 = -6,06 d 1,13 = U 1 +V 13 -C 1,13 = -30,65 d 2,27 = U 2 +V 27 -C 2,27 = -1,86 d 3,13 = U 3 +V 13 -C 3,13 = -14,03 d 3,27 = U 3 +V 27 -C 3,27 = -3,76 d 1,14 = U 1 +V 14 -C 1,14 = -15,74 d 3,28 = U 3 +V 28 -C 3,28 = -3,23 3. Bütün gizli maliyetler sıfırdan küçük olmadığından dolayı çözüm en iyi değildir. En iyi çözümü bulmak için pozitif gizli maliyetli gözelerden en büyük olan 3,24 gözesi seçilir. 4. Atlama taşı yönteminde olduğu gibi bu gözeden başlanarak dolu gözelerde 90 derecelik dönüşler yapılan ve tekrar bu gözeye gelinen kapalı bir çevrim yazılır. 3,24 gözesi için yazılan çevrim 3,24-2,24 + 2,28-1,28 + 1,20-3,20 şeklindedir. 84

5. Çevrim içerisinde önünde negatif işaret olan gözelerden en küçük miktarlı olan 9,06 tondur. 6. Bu miktar, çevrim içerisinde önünde (+) olan gözelere ilave edilir, (-) olan gözelerden çıkarılır. Bu düzenleme yapıldıktan sonra elde edilen dağıtım planı çizelge 5.15 de verilmiştir. 7. Çizelge 5.15 de elde edilen yeni dağıtım planına göre yeniden dolu gözeler için gösterge değerleri hesaplanmıştır. U 1 +V 1 =C 1,1 U 1 +V 26 =C 1,26 U 2 +V 28 =C 2,28 U 1 +V 2 =C 1,2 U 1 +V 27 =C 1,27 U 3 +V 6 =C 3,6 U 1 +V 3 =C 1,3 U 2 +V 11 =C 2,11 U 3 +V 14 =C 3,14 U 1 +V 4 =C 1,4 U 2 +V 12 =C 2,12 U 3 +V 15 =C 3,15 U 1 +V 5 =C 1,5 U 2 +V 13 =C 2,13 U 3 +V 16 =C 3,16 U 1 =0 kabul edilerek U 1 +V 7 =C 1,7 U 2 +V 21 =C 2,21 U 3 +V 17 =C 3,17 U 1 +V 8 =C 1,8 U 2 +V 22 =C 2,22 U 3 +V 18 =C 3,18 U 1 +V 9 =C 1,9 U 2 +V 23 =C 2,23 U 3 +V 19 =C 3,19 U 1 +V 10 =C 1,10 U 2 +V 24 =C 2,24 U 3 +V 20 =C 3,20 U 1 +V 20 =C 1,20 U 2 +V 25 =C 2,25 U 3 +V 24 =C 3,24 V 1 =56,28 V 11 =54,70 V 21 =55,05 V 2 =57,87 V 12 =47,13 V 22 =58,8 V 3 =55,40 V 13 =50,66 V 23 =57,87 V 4 =60,92 V 14 =74,37 V 24 =61,63 V 5 =55,75 V 15 =70,65 V 25 =55,22 V 6 =78,66 V 16 =65,57 V 26 =67,42 V 7 =63,31 V 17 =68,66 V 27 =78,43 V 8 =68,13 V 18 =77,77 V 28 =-8,62 V 9 =71,54 V 19 =66,19 U 2 =8,62 V 10 =73,13 V 20 =67,60 U 3 =-3,23 85

Çizelge 5.15 MODİ Yöntemine göre ilk yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 S1 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 S2 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 S3 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 86 İSTEM 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 24,36 36,72 21,6 S2 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 72,72 29,4 215,96 34,74 22,22 88,26 S3 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 21,24 9,06 İSTEM 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

8. Dolu gözelerin gösterge değerlerinden yararlanarak boş gözelerin gizli maliyetleri aşağıdaki gibi bulunmuştur. d 2,1 = U 2 +V 1 -C 2,1 = -19,46 d 2,14 = U 2 +V 14 -C 2,14 = 0,40 d 3,1 = U 3 +V 1 -C 3,1 = -20,96 d 1,15 = U 1 +V 15 -C 1,15 = -22,81 d 2,2 = U 2 +V 2 -C 2,2 = -21,85 d 2,15 = U 2 +V 15 -C 2,15 = 1,90 d 3,2 = U 3 +V 2 -C 3,2 = -24,32 d 1,16 = U 1 +V 16 -C 1,16 = -23,65 d 2,3 = U 2 +V 3 -C 2,3 = -22,99 d 2,16 = U 2 +V 16 -C 2,16 = 0,71 d 3,3 = U 3 +V 3 -C 3,3 = -23,26 d 1,17 = U 1 +V 17 -C 1,17 = -10,83 d 2,4 = U 2 +V 4 -C 2,4 = -17,64 d 2,17 = U 2 +V 17 -C 2,17 = -0,80 d 3,4 = U 3 +V 4 -C 3,4 = -17,91 d 1,18 = U 1 +V 18 -C 1,18 = -22,28 d 2,5 = U 2 +V 5 -C 2,5 = -22,99 d 2,18 = U 2 +V 18 -C 2,18 = 6,55 d 3,5 = U 3 +V 5 -C 3,5 = -23,26 d 1,19 = U 1 +V 19 -C 1,19 = -3,71 d 1,6 = U 1 +V 6 -C 1,6 = -4,81 d 2,19 = U 2 +V 19 -C 2,19 = 4,56 d 2,6 = U 2 +V 6 -C 2,6 = 1,33 d 2,20 = U 2 +V 20 -C 2,20 = -3,72 d 2,7 = U 2 +V 7 -C 2,7 = -14,02 d 1,21 = U 1 +V 21 -C 1,21 = -26,3 d 3,7 = U 3 +V 7 -C 3,7 = -15,70 d 3,21 = U 3 +V 21 -C 3,21 = -7,11 d 2,8 = U 2 +V 8 -C 2,8 = -12,12 d 1,22 = U 1 +V 22 -C 1,22 = -23,61 d 3,8 = U 3 +V 8 -C 3,8 = -14,06 d 3,22 = U 3 +V 22 -C 3,22 = -7,12 d 2,9 = U 2 +V 9 -C 2,9 = -7,20 d 1,23 = U 1 +V 23 -C 1,23 = -18,09 d 3,9 = U 3 +V 9 -C 3,9 = -11,53 d 3,23 = U 3 +V 23 -C 3,23 = -1,99 d 2,10 = U 2 +V 10 -C 2,10 = -12,95 d 1,24 = U 1 +V 24 -C 1,24 = -16,62 d 3,10 = U 3 +V 10 -C 3,10 = -14,63 d 1,25 = U 1 +V 25 -C 1,25 = -21,44 d 1,11 = U 1 +V 11 -C 1,11 = -46,59 d 3,25 = U 3 +V 25 -C 3,25 = -7,52 d 3,11 = U 3 +V 11 -C 3,11 = -22,36 d 2,26 = U 2 +V 26 -C 2,26 = -4,43 d 1,12 = U 1 +V 12 -C 1,12 = -39,17 d 3,26 = U 3 +V 26 -C 3,26 = -6,06 d 3,12 = U 3 +V 12 -C 3,12 = -22,59 d 2,27 = U 2 +V 27 -C 2,27 = 6,76 d 1,13 = U 1 +V 13 -C 1,13 = -39,27 d 3,27 = U 3 +V 27 -C 3,27 = -3,76 d 3,13 = U 3 +V 13 -C 3,13 = -22,65 d 1,28 = U 1 +V 28 -C 1,28 = -8,26 d 1,14 = U 1 +V 14 -C 1,14 = -15,74 d 3,28 = U 3 +V 28 -C 3,28 = -11,85 9. Gizli maliyetler içerisinde en büyük pozitif göze olan 2,27 gözesi için 2,27-1,27 + 1,20-3,20 + 3,24-2,24 kapalı çevrimi yazılır. Çevrimde önünde negatif işaret bulunan gözeler içerisinde en küçük miktar 21,24 tondur. 10. Bu miktar, önünde (+) bulunan gözelere ilave edilir, (-) bulunan gözelerden çıkarılarak çizelge 5.16 de verilen yeni dağıtım planı oluşturulur. 87

Çizelge 5.16 MODİ Yöntemine göre ikinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 88 S1 S2 S3 İSTEM 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 S2 S3 İSTEM 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 45,6 36,72 0,36 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 72,72 29,4 215,96 13,5 22,22 21,24 88,26 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 1,2 39,12 30,3 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

11. Çizelge 5.16 de verilen dağıtım planına göre dolu gözeler için gösterge değerleri hesaplanmıştır. U 1 +V 1 =C 1,1 U 1 +V 26 =C 1,26 U 2 +V 27 =C 2,27 U 1 +V 2 =C 1,2 U 1 +V 27 =C 1,27 U 2 +V 28 =C 2,28 U 1 +V 3 =C 1,3 U 2 +V 11 =C 2,11 U 3 +V 6 =C 3,6 U 1 +V 4 =C 1,4 U 2 +V 12 =C 2,12 U 3 +V 14 =C 3,14 U 1 +V 5 =C 1,5 U 2 +V 13 =C 2,13 U 3 +V 15 =C 3,15 U 1 +V 7 =C 1,7 U 2 +V 21 =C 2,21 U 3 +V 16 =C 3,16 U 1 =0 kabul edilerek U 1 +V 8 =C 1,8 U 2 +V 22 =C 2,22 U 3 +V 17 =C 3,17 U 1 +V 9 =C 1,9 U 2 +V 23 =C 2,23 U 3 +V 18 =C 3,18 U 1 +V 10 =C 1,10 U 2 +V 24 =C 2,24 U 3 +V 19 =C 3,19 U 1 +V 20 =C 1,20 U 2 +V 25 =C 2,25 U 3 +V 24 =C 3,24 V 1 =56,28 V 11 =61,46 V 21 =61,81 V 2 =57,87 V 12 =53,89 V 22 =65,56 V 3 =55,40 V 13 =57,42 V 23 =64,63 V 4 =60,92 V 14 =81,13 V 24 =68,39 V 5 =55,75 V 15 =77,41 V 25 =61,98 V 6 =85,42 V 16 =72,33 V 26 =67,42 V 7 =63,31 V 17 =75,42 V 27 =78,43 V 8 =68,13 V 18 =84,53 V 28 =-1,86 V 9 =71,54 V 19 =72,95 U 2 =1,86 V 10 =73,13 V 20 =67,60 U 3 =-9,99 89

12. Boş gözeler için gizli maliyet değerleri hesaplanmıştır. d 2,1 = U 2 +V 1 -C 2,1 = -26,22 d 2,14 = U 2 +V 14 -C 2,14 = 0,40 d 3,1 = U 3 +V 1 -C 3,1 = -27,72 d 1,15 = U 1 +V 15 -C 1,15 = -16,05 d 2,2 = U 2 +V 2 -C 2,2 = -28,61 d 2,15 = U 2 +V 15 -C 2,15 = 1,90 d 3,2 = U 3 +V 2 -C 3,2 = -31,08 d 1,16 = U 1 +V 16 -C 1,16 = -16,89 d 2,3 = U 2 +V 3 -C 2,3 = -29,75 d 2,16 = U 2 +V 16 -C 2,16 = 0,71 d 3,3 = U 3 +V 3 -C 3,3 = -30,02 d 1,17 = U 1 +V 17 -C 1,17 = -4,07 d 2,4 = U 2 +V 4 -C 2,4 = -24,40 d 2,17 = U 2 +V 17 -C 2,17 = -0,80 d 3,4 = U 3 +V 4 -C 3,4 = -24,67 d 1,18 = U 1 +V 18 -C 1,18 = -15,52 d 2,5 = U 2 +V 5 -C 2,5 = -29,75 d 2,18 = U 2 +V 18 -C 2,18 = 6,55 d 3,5 = U 3 +V 5 -C 3,5 = -30,02 d 1,19 = U 1 +V 19 -C 1,19 = 3,05 d 1,6 = U 1 +V 6 -C 1,6 = 1,95 d 2,19 = U 2 +V 19 -C 2,19 = 4,56 d 2,6 = U 2 +V 6 -C 2,6 = 1,33 d 2,20 = U 2 +V 20 -C 2,20 = -10,48 d 2,7 = U 2 +V 7 -C 2,7 = -20,78 d 3,20 = U 3 +V 20 -C 3,20 = -6,76 d 3,7 = U 3 +V 7 -C 3,7 = -22,46 d 1,21 = U 1 +V 21 -C 1,21 = -19,54 d 2,8 = U 2 +V 8 -C 2,8 = -18,88 d 3,21 = U 3 +V 21 -C 3,21 = -7,11 d 3,8 = U 3 +V 8 -C 3,8 = -20,82 d 1,22 = U 1 +V 22 -C 1,22 = -16,85 d 2,9 = U 2 +V 9 -C 2,9 = -13,96 d 3,22 = U 3 +V 22 -C 3,22 = -7,12 d 3,9 = U 3 +V 9 -C 3,9 = -18,29 d 1,23 = U 1 +V 23 -C 1,23 = -11,33 d 2,10 = U 2 +V 10 -C 2,10 = -19,71 d 3,23 = U 3 +V 23 -C 3,23 = -1,99 d 3,10 = U 3 +V 10 -C 3,10 = -21,39 d 1,24 = U 1 +V 24 -C 1,24 = -9,86 d 1,11 = U 1 +V 11 -C 1,11 = -39,83 d 1,25 = U 1 +V 25 -C 1,25 = -14,68 d 3,11 = U 3 +V 11 -C 3,11 = -22,36 d 3,25 = U 3 +V 25 -C 3,25 = -7,52 d 1,12 = U 1 +V 12 -C 1,12 = -32,41 d 2,26 = U 2 +V 26 -C 2,26 = -11,19 d 3,12 = U 3 +V 12 -C 3,12 = -22,59 d 3,26 = U 3 +V 26 -C 3,26 = -12,82 d 1,13 = U 1 +V 13 -C 1,13 = -32,51 d 3,27 = U 3 +V 27 -C 3,27 = -10,52 d 3,13 = U 3 +V 13 -C 3,13 = -22,65 d 1,28 = U 1 +V 28 -C 1,28 = -1,86 d 1,14 = U 1 +V 14 -C 1,14 = -8,98 d 3,28 = U 3 +V 28 -C 3,28 = -11,85 13. Gizli maliyetler içerisinde en büyük pozitif göze olan 2,18 gözesi için 2,18-3,18 + 3,24-2,24 kapalı çevrimi yazılır. Çevrimde önünde negatif işaret bulunan gözeler içerisinde en küçük miktar 1,2 tondur. 14. Bu miktar, önünde (+) bulunan gözelere ilave edilir, (-) bulunan gözelerden çıkarılarak çizelge 5.17 de verilen yeni dağıtım planı oluşturulur. 90

Çizelge 5.17 MODİ Yöntemine göre üçüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 91 S1 S2 S3 İSTEM 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 S2 S3 İSTEM 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 45,6 36,72 0,36 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 1,2 72,72 29,4 215,96 12,3 22,22 21,24 88,26 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 39,12 31,5 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

15. Çizelge 5.17 de verilen dağıtım planına göre dolu gözeler için gösterge değerleri hesaplanmıştır. U 1 +V 1 =C 1,1 U 1 +V 26 =C 1,26 U 2 +V 25 =C 2,25 U 1 +V 2 =C 1,2 U 1 +V 27 =C 1,27 U 2 +V 27 =C 2,27 U 1 +V 3 =C 1,3 U 2 +V 11 =C 2,11 U 2 +V 28 =C 2,28 U 1 +V 4 =C 1,4 U 2 +V 12 =C 2,12 U 3 +V 6 =C 3,6 U 1 +V 5 =C 1,5 U 2 +V 13 =C 2,13 U 3 +V 14 =C 3,14 U 1 +V 7 =C 1,7 U 2 +V 18 =C 2,18 U 3 +V 15 =C 3,15 U 1 =0 kabul edilerek U 1 +V 8 =C 1,8 U 2 +V 21 =C 2,21 U 3 +V 16 =C 3,16 U 1 +V 9 =C 1,9 U 2 +V 22 =C 2,22 U 3 +V 17 =C 3,17 U 1 +V 10 =C 1,10 U 2 +V 23 =C 2,23 U 3 +V 19 =C 3,19 U 1 +V 20 =C 1,20 U 2 +V 24 =C 2,24 U 3 +V 24 =C 3,24 V 1 =56,28 V 11 =61,46 V 21 =61,81 V 2 =57,87 V 12 =53,89 V 22 =65,56 V 3 =55,40 V 13 =57,42 V 23 =64,63 V 4 =60,92 V 14 =81,13 V 24 =68,39 V 5 =55,75 V 15 =77,41 V 25 =61,98 V 6 =85,42 V 16 =72,33 V 26 =67,42 V 7 =63,31 V 17 =75,42 V 27 =78,43 V 8 =68,13 V 18 =77,98 V 28 =-1,86 V 9 =71,54 V 19 =72,95 U 2 =1,86 V 10 =73,13 V 20 =67,60 U 3 =-9,99 92

16. Boş gözeler için gizli maliyet değerleri hesaplanmıştır. d 2,1 = U 2 +V 1 -C 2,1 = -26,22 d 2,14 = U 2 +V 14 -C 2,14 = 0,40 d 3,1 = U 3 +V 1 -C 3,1 = -27,72 d 1,15 = U 1 +V 15 -C 1,15 = -16,05 d 2,2 = U 2 +V 2 -C 2,2 = -28,61 d 2,15 = U 2 +V 15 -C 2,15 = 1,90 d 3,2 = U 3 +V 2 -C 3,2 = -31,08 d 1,16 = U 1 +V 16 -C 1,16 = -16,89 d 2,3 = U 2 +V 3 -C 2,3 = -29,75 d 2,16 = U 2 +V 16 -C 2,16 = 0,71 d 3,3 = U 3 +V 3 -C 3,3 = -30,02 d 1,17 = U 1 +V 17 -C 1,17 = -4,07 d 2,4 = U 2 +V 4 -C 2,4 = -24,40 d 2,17 = U 2 +V 17 -C 2,17 = -0,80 d 3,4 = U 3 +V 4 -C 3,4 = -24,67 d 1,18 = U 1 +V 18 -C 1,18 = -22,07 d 2,5 = U 2 +V 5 -C 2,5 = -29,75 d 3,18 = U 3 +V 18 -C 3,18 = -6,55 d 3,5 = U 3 +V 5 -C 3,5 = -30,02 d 1,19 = U 1 +V 19 -C 1,19 = 3,05 d 1,6 = U 1 +V 6 -C 1,6 = 1,95 d 2,19 = U 2 +V 19 -C 2,19 = 4,56 d 2,6 = U 2 +V 6 -C 2,6 = 1,33 d 2,20 = U 2 +V 20 -C 2,20 = -10,48 d 2,7 = U 2 +V 7 -C 2,7 = -20,78 d 3,20 = U 3 +V 20 -C 3,20 = -6,76 d 3,7 = U 3 +V 7 -C 3,7 = -22,46 d 1,21 = U 1 +V 21 -C 1,21 = -19,54 d 2,8 = U 2 +V 8 -C 2,8 = -18,88 d 3,21 = U 3 +V 21 -C 3,21 = -7,11 d 3,8 = U 3 +V 8 -C 3,8 = -20,82 d 1,22 = U 1 +V 22 -C 1,22 = -16,85 d 2,9 = U 2 +V 9 -C 2,9 = -13,96 d 3,22 = U 3 +V 22 -C 3,22 = -7,12 d 3,9 = U 3 +V 9 -C 3,9 = -18,29 d 1,23 = U 1 +V 23 -C 1,23 = -11,33 d 2,10 = U 2 +V 10 -C 2,10 = -19,71 d 3,23 = U 3 +V 23 -C 3,23 = -1,99 d 3,10 = U 3 +V 10 -C 3,10 = -21,39 d 1,24 = U 1 +V 24 -C 1,24 = -9,86 d 1,11 = U 1 +V 11 -C 1,11 = -39,83 d 1,25 = U 1 +V 25 -C 1,25 = -14,68 d 3,11 = U 3 +V 11 -C 3,11 = -22,36 d 3,25 = U 3 +V 25 -C 3,25 = -7,52 d 1,12 = U 1 +V 12 -C 1,12 = -32,41 d 2,26 = U 2 +V 26 -C 2,26 = -11,19 d 3,12 = U 3 +V 12 -C 3,12 = -22,59 d 3,26 = U 3 +V 26 -C 3,26 = -12,82 d 1,13 = U 1 +V 13 -C 1,13 = -32,51 d 3,27 = U 3 +V 27 -C 3,27 = -10,52 d 3,13 = U 3 +V 13 -C 3,13 = -22,65 d 1,28 = U 1 +V 28 -C 1,28 = -1,86 d 1,14 = U 1 +V 14 -C 1,14 = -8,98 d 3,28 = U 3 +V 28 -C 3,28 = -11,85 17. Gizli maliyetler içerisinde en büyük pozitif göze olan 2,19 gözesi için 2,19-3,19 + 3,24-2,24 kapalı çevrimi yazılır. Çevrimde önünde negatif işaret bulunan gözeler içerisinde en küçük miktar 12,3 tondur. 18. Bu miktar, önünde (+) bulunan gözelere ilave edilir, (-) bulunan gözelerden çıkarılarak çizelge 5.18 de verilen yeni dağıtım planı oluşturulur. 93

Çizelge 5.18 MODİ Yöntemine göre dördüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 94 S1 S2 S3 İSTEM 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 S2 S3 İSTEM 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 45,6 36,72 0,36 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 1,2 12,3 72,72 29,4 215,96 22,22 21,24 88,26 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 26,82 43,8 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 88,26 1.713

19. Çizelge 5.18 de verilen dağıtım planına göre dolu gözeler için gösterge hesaplanmıştır. U 1 +V 1 =C 1,1 U 1 +V 26 =C 1,26 U 2 +V 25 =C 2,25 U 1 +V 2 =C 1,2 U 1 +V 27 =C 1,27 U 2 +V 27 =C 2,27 U 1 +V 3 =C 1,3 U 2 +V 11 =C 2,11 U 2 +V 28 =C 2,28 U 1 +V 4 =C 1,4 U 2 +V 12 =C 2,12 U 3 +V 6 =C 3,6 U 1 +V 5 =C 1,5 U 2 +V 13 =C 2,13 U 3 +V 14 =C 3,14 U 1 +V 7 =C 1,7 U 2 +V 18 =C 2,18 U 3 +V 15 =C 3,15 U 1 =0 kabul edilerek U 1 +V 8 =C 1,8 U 2 +V 19 =C 2,19 U 3 +V 16 =C 3,16 U 1 +V 9 =C 1,9 U 2 +V 21 =C 2,21 U 3 +V 17 =C 3,17 U 1 +V 10 =C 1,10 U 2 +V 22 =C 2,22 U 3 +V 19 =C 3,19 U 1 +V 20 =C 1,20 U 2 +V 23 =C 2,23 U 3 +V 24 =C 3,24 V 1 =56,28 V 11 =61,46 V 21 =61,81 V 2 =57,87 V 12 =53,89 V 22 =65,56 V 3 =55,40 V 13 =57,42 V 23 =64,63 V 4 =60,92 V 14 =76,57 V 24 =63,83 V 5 =55,75 V 15 =72,85 V 25 =61,98 V 6 =80,66 V 16 =67,77 V 26 =67,42 V 7 =63,31 V 17 =70,86 V 27 =78,43 V 8 =68,13 V 18 =77,98 V 28 =-1,86 V 9 =71,54 V 19 =68,39 U 2 =1,86 V 10 =73,13 V 20 =67,60 U 3 =-5,43 95

20. Boş gözeler için gizli maliyet değerleri hesaplanmıştır. d 2,1 = U 2 +V 1 -C 2,1 = -26,22 d 2,14 = U 2 +V 14 -C 2,14 = -4,16 d 3,1 = U 3 +V 1 -C 3,1 = -23,16 d 1,15 = U 1 +V 15 -C 1,15 = -20,61 d 2,2 = U 2 +V 2 -C 2,2 = -28,61 d 2,15 = U 2 +V 15 -C 2,15 = -2,66 d 3,2 = U 3 +V 2 -C 3,2 = -26,52 d 1,16 = U 1 +V 16 -C 1,16 = -21,45 d 2,3 = U 2 +V 3 -C 2,3 = -29,75 d 2,16 = U 2 +V 16 -C 2,16 = -3,85 d 3,3 = U 3 +V 3 -C 3,3 = -25,46 d 1,17 = U 1 +V 17 -C 1,17 = -8,63 d 2,4 = U 2 +V 4 -C 2,4 = -24,40 d 2,17 = U 2 +V 17 -C 2,17 = -5,36 d 3,4 = U 3 +V 4 -C 3,4 = -20,11 d 1,18 = U 1 +V 18 -C 1,18 = -22,07 d 2,5 = U 2 +V 5 -C 2,5 = -29,75 d 3,18 = U 3 +V 18 -C 3,18 = -1,99 d 3,5 = U 3 +V 5 -C 3,5 = -25,46 d 1,19 = U 1 +V 19 -C 1,19 = -1,51 d 1,6 = U 1 +V 6 -C 1,6 = -2,61 d 2,20 = U 2 +V 20 -C 2,20 = -10,48 d 2,6 = U 2 +V 6 -C 2,6 = -3,23 d 3,20 = U 3 +V 20 -C 3,20 = -2,20 d 2,7 = U 2 +V 7 -C 2,7 = -20,78 d 1,21 = U 1 +V 21 -C 1,21 = -19,54 d 3,7 = U 3 +V 7 -C 3,7 = -17,90 d 3,21 = U 3 +V 21 -C 3,21 = -2,55 d 2,8 = U 2 +V 8 -C 2,8 = -18,88 d 1,22 = U 1 +V 22 -C 1,22 = -16,85 d 3,8 = U 3 +V 8 -C 3,8 = -16,26 d 3,22 = U 3 +V 22 -C 3,22 = -2,56 d 2,9 = U 2 +V 9 -C 2,9 = -13,96 d 1,23 = U 1 +V 23 -C 1,23 = -11,33 d 3,9 = U 3 +V 9 -C 3,9 = -13,73 d 3,23 = U 3 +V 23 -C 3,23 = 2,57 d 2,10 = U 2 +V 10 -C 2,10 = -19,71 d 1,24 = U 1 +V 24 -C 1,24 = -14,42 d 3,10 = U 3 +V 10 -C 3,10 = -16,83 d 2,24 = U 2 +V 24 -C 2,24 = -4,56 d 1,11 = U 1 +V 11 -C 1,11 = -39,83 d 1,25 = U 1 +V 25 -C 1,25 = -14,68 d 3,11 = U 3 +V 11 -C 3,11 = -17,80 d 3,25 = U 3 +V 25 -C 3,25 = -2,96 d 1,12 = U 1 +V 12 -C 1,12 = -32,41 d 2,26 = U 2 +V 26 -C 2,26 = -11,19 d 3,12 = U 3 +V 12 -C 3,12 = -18,03 d 3,26 = U 3 +V 26 -C 3,26 = -8,26 d 1,13 = U 1 +V 13 -C 1,13 = -32,51 d 3,27 = U 3 +V 27 -C 3,27 = -5,96 d 3,13 = U 3 +V 13 -C 3,13 = -18,09 d 1,28 = U 1 +V 28 -C 1,28 = -1,86 d 1,14 = U 1 +V 14 -C 1,14 = -13,54 d 3,28 = U 3 +V 28 -C 3,28 = -7,29 21. Gizli maliyetler içerisinde en büyük pozitif göze olan 3,23 gözesi için 3,23-2,23 + 2,19-3,19 kapalı çevrimi yazılır. Çevrimde önünde negatif işaret bulunan gözeler içerisinde en küçük miktar 26,82 tondur. 22. Bu miktar, önünde (+) bulunan gözelere ilave edilir, (-) bulunan gözelerden çıkarılarak çizelge 5.19 de verilen yeni dağıtım planı oluşturulur. 96

Çizelge 5.19 MODİ Yöntemine göre beşinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı İSTEM MERKEZLERİ 97 MERKEZLERİ S1 S2 S3 İSTEM MERKEZLERİ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 56,28 57,87 55,40 60,92 55,75 83,47 63,31 68,13 71,54 73,13 101,29 86,30 89,93 90,11 83,04 91,56 28,8 4,8 9 112,92 6 31,8 2,4 84,36 88,34 87,01 87,18 87,36 85,95 85,95 88,87 87,36 94,70 63,32 55,75 59,28 82,59 274,82 8,4 126,48 74,01 78,96 75,43 75,60 75,78 75,43 75,78 78,96 79,84 84,53 73,83 66,49 70,08 71,14 116,88 69 83,04 91,56 28,80 4,80 9,00 116,88 112,92 6,00 31,80 2,40 274,82 8,40 126,48 69,00 İSTEM MERKEZLERİ D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 S1 S2 S3 İSTEM 93,46 89,22 79,49 100,05 69,90 67,60 81,35 82,41 75,96 78,25 76,66 67,42 78,43 0,00 453 45,6 36,72 0,36 77,37 73,48 78,08 79,84 70,25 79,94 63,67 67,42 66,49 70,25 63,84 80,47 80,29 0,00 873 1,2 39,12 72,72 29,4 189,14 22,22 21,24 88,26 67,42 62,34 65,43 74,54 62,96 64,37 58,93 62,69 56,63 58,40 59,51 70,25 78,96 0,00 387 11,7 91,2 27,6 26,82 43,8 11,70 91,20 27,60 1,20 39,12 45,60 72,72 29,40 215,96 43,80 22,22 36,72 21,60 1.713

23. Çizelge 5.19 de verilen dağıtım planına göre dolu gözeler için gösterge değerleri hesaplanmıştır. U 1 +V 1 =C 1,1 U 1 +V 26 =C 1,26 U 2 +V 25 =C 2,25 U 1 +V 2 =C 1,2 U 1 +V 27 =C 1,27 U 2 +V 27 =C 2,27 U 1 +V 3 =C 1,3 U 2 +V 11 =C 2,11 U 2 +V 28 =C 2,28 U 1 +V 4 =C 1,4 U 2 +V 12 =C 2,12 U 3 +V 6 =C 3,6 U 1 +V 5 =C 1,5 U 2 +V 13 =C 2,13 U 3 +V 14 =C 3,14 U 1 +V 7 =C 1,7 U 2 +V 18 =C 2,18 U 3 +V 15 =C 3,15 U 1 =0 kabul edilerek U 1 +V 8 =C 1,8 U 2 +V 19 =C 2,19 U 3 +V 16 =C 3,16 U 1 +V 9 =C 1,9 U 2 +V 21 =C 2,21 U 3 +V 17 =C 3,17 U 1 +V 10 =C 1,10 U 2 +V 22 =C 2,22 U 3 +V 23 =C 3,23 U 1 +V 20 =C 1,20 U 2 +V 23 =C 2,23 U 3 +V 24 =C 3,24 V 1 =56,28 V 11 =61,46 V 21 =61,81 V 2 =57,87 V 12 =53,89 V 22 =65,56 V 3 =55,40 V 13 =57,42 V 23 =64,63 V 4 =60,92 V 14 =79,14 V 24 =66,4 V 5 =55,75 V 15 =75,42 V 25 =61,98 V 6 =83,43 V 16 =70,34 V 26 =67,42 V 7 =63,31 V 17 =73,43 V 27 =78,43 V 8 =68,13 V 18 =77,98 V 28 =-1,86 V 9 =71,54 V 19 =68,39 U 2 =1,86 V 10 =73,13 V 20 =67,60 U 3 =-8 98

24. Boş gözeler için gizli maliyet değerleri hesaplanmıştır. d 2,1 = U 2 +V 1 -C 2,1 = -26,22 d 2,14 = U 2 +V 14 -C 2,14 = -1,59 d 3,1 = U 3 +V 1 -C 3,1 = -25,73 d 1,15 = U 1 +V 15 -C 1,15 = -18,04 d 2,2 = U 2 +V 2 -C 2,2 = -28,61 d 2,15 = U 2 +V 15 -C 2,15 = -0,09 d 3,2 = U 3 +V 2 -C 3,2 = -29,09 d 1,16 = U 1 +V 16 -C 1,16 = -18,88 d 2,3 = U 2 +V 3 -C 2,3 = -29,75 d 2,16 = U 2 +V 16 -C 2,16 = -1,28 d 3,3 = U 3 +V 3 -C 3,3 = -28,03 d 1,17 = U 1 +V 17 -C 1,17 = -6,06 d 2,4 = U 2 +V 4 -C 2,4 = -24,40 d 2,17 = U 2 +V 17 -C 2,17 = -2,79 d 3,4 = U 3 +V 4 -C 3,4 = -22,68 d 1,18 = U 1 +V 18 -C 1,18 = -22,07 d 2,5 = U 2 +V 5 -C 2,5 = -29,75 d 3,18 = U 3 +V 18 -C 3,18 = -4,56 d 3,5 = U 3 +V 5 -C 3,5 = -28,03 d 1,19 = U 1 +V 19 -C 1,19 = -1,51 d 1,6 = U 1 +V 6 -C 1,6 = -0,04 d 3,19 = U 3 +V 19 -C 3,19 = -2,57 d 2,6 = U 2 +V 6 -C 2,6 = -0,66 d 2,20 = U 2 +V 20 -C 2,20 = -10,48 d 2,7 = U 2 +V 7 -C 2,7 = -20,78 d 3,20 = U 3 +V 20 -C 3,20 = -4,77 d 3,7 = U 3 +V 7 -C 3,7 = -20,47 d 1,21 = U 1 +V 21 -C 1,21 = -19,54 d 2,8 = U 2 +V 8 -C 2,8 = -18,88 d 3,21 = U 3 +V 21 -C 3,21 = -5,12 d 3,8 = U 3 +V 8 -C 3,8 = -18,83 d 1,22 = U 1 +V 22 -C 1,22 = -16,85 d 2,9 = U 2 +V 9 -C 2,9 = -13,96 d 3,22 = U 3 +V 22 -C 3,22 = -5,13 d 3,9 = U 3 +V 9 -C 3,9 = -16,30 d 1,23 = U 1 +V 23 -C 1,23 = -11,33 d 2,10 = U 2 +V 10 -C 2,10 = -19,71 d 1,24 = U 1 +V 24 -C 1,24 = -11,85 d 3,10 = U 3 +V 10 -C 3,10 = -19,40 d 2,24 = U 2 +V 24 -C 2,24 = -1,99 d 1,11 = U 1 +V 11 -C 1,11 = -39,83 d 1,25 = U 1 +V 25 -C 1,25 = -14,68 d 3,11 = U 3 +V 11 -C 3,11 = -20,37 d 3,25 = U 3 +V 25 -C 3,25 = -5,53 d 1,12 = U 1 +V 12 -C 1,12 = -32,41 d 2,26 = U 2 +V 26 -C 2,26 = -11,19 d 3,12 = U 3 +V 12 -C 3,12 = -20,60 d 3,26 = U 3 +V 26 -C 3,26 = -10,83 d 1,13 = U 1 +V 13 -C 1,13 = -32,51 d 3,27 = U 3 +V 27 -C 3,27 = -8,53 d 3,13 = U 3 +V 13 -C 3,13 = -20,66 d 1,28 = U 1 +V 28 -C 1,28 = -1,86 d 1,14 = U 1 +V 14 -C 1,14 = -10,97 d 3,28 = U 3 +V 28 -C 3,28 = -9,86 Boş gözelerin gizli maliyet değerleri incelendiğinde pozitif değerli gözenin kalmadığı görülür. Bu durumda bulunan dağıtım planı en iyi çözüm ve en iyi çözüm, 99

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 3,6 1,7 1,8 1,9 1,10 = 83,04 = 91,56 = 28,8 = 4,8 = 9 = 116,88 = 112,92 = 6 = 31,8 = 2, 4 şeklindedir. 2,11 2,12 2,13 3,14 3,15 3,16 3,17 2,18 2,19 1,20 = 274,82 = 8, 4 = 126, 48 = 69 = 11,7 = 91,2 = 27,6 = 1, 2 = 39,12 = 45,6 2,21 2,22 2,23 3,23 2,24 2,25 1,26 1,27 2,27 2,28 = 72,72 = 29,4 = 189,14 = 26,82 = 43,8 = 22, 22 = 36,72 = 0,36 = 21, 24 = 88,26 Toplam Taşıma Maliyeti Amaç Fonksiyonu: z = X * C + X * C + X * C + X * C + X * C + X * C + Min 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4 1,5 1,5 3,6 3,6 X * C + X * C + X * C + X * C + X * C + X * C + X * C 1,7 1,7 1,8 1,8 1,9 1,9 1,10 1,10 2,11 2,11 2,12 2,12 2,13 2,13 X 3,14 * C3,14 + X 3,15 * C3,15 + X 3,16 * C3,16 + X 3,17 * C3,17 + X 2,18 * C2,18+ X 2,19 * C2,19 + X * C + X * C + X * C + X * C + X * C + X * C + 1,20 1,20 2,21 2,21 2,22 2,22 2,23 2,23 3,23 3,23 2,24 2,24 X * C + X * C + X * C + X * C + X * C 2,25 2,25 1,26 1,26 1,27 1,27 2,27 2,27 2,28 2,28 z Min = 83,04*56, 28+ 91,56*57,87 + 28,8*55, 40+ 4,8*60,92+ 9*55,75+ 116,88*75, 43+ 112,92*63,32 + 6*68,13+ 31,8*71,54 + 2, 4*73,13+ 274,82*63,32 + 8, 4*55,75+ 126, 48*59, 28+ 69*71,14 + 11,7*67, 42+ 91, 2*62,34+ 27,6*65, 43+ 1, 2*79,84+ 39,12*70, 25+ 45,6*67,60+ 72,72*63,67 + 29, 4*67, 42+ 189,14*66, 49+ 26,82*56,63+ 43,8*58, 40+ 22, 22*63,84+ 36,72*67, 42+ 0,36*78, 43+ 21, 24*80, 29+ 88, 26*0 = 104.561,84 TL Çözümün temel uygun çözüm olabilmesi için çözüm sonunda (m+n-1= 3+28-1=30) tane değere dağıtım yapılması gerekmektedir. MODİ yöntemi sonunda 30 tane gözeye dağıtım yapılmış ve Temel Uygun Çözüme ulaşılmıştır. 100

5.7 Ulaştırma Probleminin Bilgisayar Programları ile Çözülmesi Ulaştırma probleminin amaç fonksiyonu ve kısıtlarının değişkenler cinsinden aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır. Amaç Fonksiyonu: z = 56,28 + 57,87 + 55,40 + 60,92 + 55,75 + 83,47 + 63,31 + min 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 68,13 + 71,54 + 73,13 + 101,29 + 86,30 + 89,93 + 90,11 + 1,8 1,9 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 93, 461,15 + 89, 221,16 + 79, 491,17 + 100, 051,18 + 69,901,19 + 67,601,20 + 81,35 1,21 + 82, 41 + 75,96 + 78, 25 + 76, 66 + 67, 42 + 78, 43 + 0 + 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 84,36 + 88,34 + 87, 01 + 87,18 + 87,36 + 85,95 + 85,95 + 88,87 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 + 63,32 + 55, 75 + 59, 28 + 82,59 + 77,37 + + 87,362,9 + 94, 70 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 73, 48 + 78, 08 + 79,84 + 70, 25 + 79,94 + 63, 67 + 67, 42 + 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 66, 492,23+ 70, 252,24+ 63,84 2,25+ 80, 472,26+ 80, 292,27 + 02,28+ 74, 013,1 + 78,96 3,2 + 75, 43 + 75,60 + 75, 78 + 75, 43 + 75,78 + 78,96 + 79,84 + 84,53 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 3,10 + 73,83 + 66, 49 + 70, 08 + 71,14 + 67, 42 + 62,34 + 65, 43 + 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 3,17 74,543,18 + 62,963,19 + 64,37 3,20 + 58,933,21 + 62, 693,22 + 56, 633,23+ 58, 403,24 + 59,51 + 70, 25 + 78, 43 + 0 Kısıtlar: 3,25 3,26 1,27 3,28 + + + + + + + + + + + + + + + 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 + + + + + + + + + + + 453 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1, 27 2,1 +,22+ 2,3+ 2,4+ 2,5+ 2,6+ 2,7+ 2,8+ 2, 9+ 2,10 + 2,11+ 2,12 + 2,13 + 2,14 + 2,15 + + + + + + + + + + + + 873 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2, 27 + + + + + + + + + + + + + + + 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 + 3,17 + 3,18 + 3,19 + 3,20+ 3,21+ 3,22 + 3,23+ 3,24+ 3,25+ 3,26 + 3, 27 387 101

+ + 83, 04 + + 91,56 1,1 2,1 3,1 1,2 2,2 3,2 + + 28,80 + + 4,80 1,3 2,3 3,3 1,4 2,4 3,4 + + 9 + + 116,88 1,5 2,5 3,5 1,6 2,6 3,6 + 112,92 + + 6 1,7 + 2,7 3,7 1,8 2,8 3,8 + + 31,80 + + 2, 40 1,9 2,9 3,9 1,10 2,10 3,10 + + 274,82 + + 8, 40 1,11 2,11 3,11 1,12 2,12 3,12 + + 3 126, 48 1,14 + 2,14 + 3,14 69 1,13 2,13 3,1 + + 11,70 + + 91, 20 1,15 2,15 3,15 1,16 2,16 3,16 + + 27,60 + + 1, 20 1,17 2,17 3,17 1,18 2,18 3,18 1,19 + 2,19 + 3,19 39, 12 1,20 + 2,20+ 3,20 45, 60 + + 72,72 + + 29, 40 1,21 2,21 3,21 1,22 2,22 3,22 + + 215, 96 + + 43,80 1,23 2,23 3,23 1,24 2,24 3,24 + + 22, 22 1,26 + 2,26+ 3,26 36,72 1,25 2,25 3,25 + + 21,60 1,27 2,27 3,27 0 ( i= 1, 2,3) ( j= 1,2,3...27) i, j 5.7.1 Problemin Microsoft Ecel Çözücü Eklentisi ile çözülmesi Amaç fonksiyonu ve kısıt fonksiyonları Microsoft Ecel e tanımlanarak Çözücü Eklentisi yardımıyla çözülmeye çalışılmıştır. Kaynak araştırmasında yer alan çalışmaların Microsoft Ecel in bu özeliği kullanılarak çözülebilmiştir. Ancak bu çalışmada yer alan ulaştırma probleminin değişken sayısı Ecel in çözebileceği değişken sayısından çok fazla olmasından dolayı çözüm bulunamamıştır. 102

5.7.2 Problemin Lingo yazılımı ile çözülmesi Problemin çözümünde www.lindo.com adresinden demosu elde edilen Lingo yazılımı kullanılmıştır. Veriler, program içerisine yazılabildiği gibi ayrıca Microsoft Ecelde oluşturulan tablolardan da farklı bir komut ile okutulabilir. Yazılıma aşağıda verilen program yazılır. Program verileri Microsoft Ecel den okuyacak şekilde yazılmıştır. model:!3 DEPO,27 İSTEM MERKEZİ İÇİN ULAŞTIRMA PROBLEMİ; SETS:! Depo ve Bölgeler Ecel'den okunacak; DEPO: KAPASITE; BOLGE: ISTEM; Yollar(DEPO,BOLGE):MALIYET, MIKTAR; ENDSETS MIN =@SUM(Yollar(I,J):MALIYET(I,J)*MIKTAR(I,J));! Kapasite aşılmamalı kısıtı; @FOR(DEPO(I): @SUM(BOLGE(J):MIKTAR(I,J))<=KAPASITE(I));!İstemler karşılanmalı kısıtı; @FOR(BOLGE(J): @SUM(DEPO(I):MIKTAR(I,J))>=ISTEM(J)); DATA:!VERİLERİ EXCEL'DEN OKU; DEPO, BOLGE, KAPASITE, İSTEM, MALIYET=@OLE('F:\optimizasyon\ULASTIRMA TABLOSU2.ls', 'DEPO', 'BOLGE', 'KAPASITE', 'ISTEM', 'MALIYET');!TAŞINMASI GEREKEN MİKTARLARI EXCELE YAZIDR; @OLE( 'F:\optimizasyon\sonuc1.ls','MIKTAR')=MIKTAR; enddata end Programın Lingo da çözülmesi ile EK 1 de verilen sonuçlar elde edilmiş ve amaç fonksiyonu 104.561,84 TL olarak bulunmuştur. 103

5.7.3 Problemin MATLAB Optimization Toolbo ile çözülmesi Amaç ve kısıt fonksiyonu katsayıları programa tanıtıldıktan sonra linprog komutu çalıştırılır ve bulunan karar değişkenlerinden toplam taşıma maliyeti hesaplatılır (Verschelde 2008). Taşıma maliyeti katsayıları C (181) matrisi ile, kısıt fonksiyonları katsayıları A (11181) matrisi ile ve sağ taraf sabitleri b (1111) matrisi ile tanımlandığında; karar değişkenleri ve amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi bulunmuştur. 1,1 = 83,04 2,1 = 0,00 3,1 = 0,00 1,2 = 91,56 2,2 = 0,00 3,2 = 0,00 1,3 = 28,80 2,3 = 0,00 3,3 = 0,00 1,4 = 4,80 2,4 = 0,00 3,4 = 0,00 1,5 = 9,00 2,5 = 0,00 3,5 = 0,00 1,6 = 0,00 2,6 = 0,00 3,6 = 116,88 1,7 = 11,29 2,7 = 0,00 3,7 = 0,00 1,8 = 6,00 2,8 = 0,00 3,8 = 0,00 1,9 = 31,80 2,9 = 0,00 3,9 = 0,00 1,10 = 2,40 2,10 = 0,00 3,10 = 0,00 1,11 = 0,00 2,11 = 274,82 3,11 = 0,00 1,12 = 0,00 2,12 = 8,40 3,12 = 0,00 1,13 = 0,00 2,13 = 126,48 3,13 = 0,00 1,14 = 0,00 2,14 = 0,00 3,14 = 69,00 1,15 = 0,00 2,15 = 0,00 3,15 = 11,70 1,16 = 0,00 2,16 = 0,00 3,16 = 91,20 1,17 = 0,00 2,17 = 0,00 3,17 = 27,60 1,18 = 0,00 2,18 = 1,20 3,18 = 0,00 1,19 = 0,00 2,19 = 39,12 3,19 = 0,00 1,20 = 45,60 2,20 = 0,00 3,20 = 0,00 1,21 = 0,00 2,21 = 72,72 3,21 = 0,00 1,22 = 0,00 2,22 = 29,40 3,22 = 0,00 1,23 = 0,00 2,23 = 189,14 3,23 = 26,82 1,24 = 0,00 2,24 = 0,00 3,24 = 43,80 1,25 = 0,00 2,25 = 22,22 3,25 = 0,00 1,26 = 36,72 2,26 = 0,00 3,26 = 0,00 1,27 = 0,36 2,27 = 21,24 3,27 = 0,00 z= 1.0456e+005 104

6. TARTIŞMA VE SONUÇ Milli Savunma Bakanlığına bağlı bir başkanlığa ait Türkiye nin Trakya bölgesinde üç farklı yerde bulunan depolarından 27 farklı ilçede konuşlu Askeri birliklere benzin taşıması problemi Doğrusal Programlamanın özel bir durumu olan ulaştırma modeli yardımıyla çözülmüştür. Ulaştırma modelleri için kullanılan başlangıç çözüm yöntemlerinden; Kuzey Batı Köşe, En Düşük Maliyetli Gözeler ve Vogel in Yaklaşım Yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntemlerden en düşük toplam taşıma maliyetini veren En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi (Kolon Yaklaşımı) olmuştur. Bu yöntem sonucunda elde edilen dağıtım planı kullanılarak Atlama Taşı Yöntemi ve MODİ Yöntemi ile en iyi çözümü bulma testi yapılmıştır. Problem Doğrusal Programlama problemi olarak değerlendirilip Lingo Yazılımında ve MATLAB Optimization Toolbo kullanılarak bilgisayar ortamında çözülmüştür. Çalışma sonucunda elde edilen değerler çizelge 6.1 de verilmiştir. Çizelge 6.1 Araştırma bulguları Başlangıç Çözüm Yöntemi Toplam Taşıma Maliyeti, TL Kuzey Batı Köşe Yöntemi 107.415,19 En Düşük Maliyetli Hücreler Satır Yaklaşımı 105.972,33 Sütun Yaklaşımı 104.916,40 Genel Yaklaşım 106.033,74 Vogel'in Yaklaşım Yöntemi (VAM Yöntemi) 105.509,01 105

Çizelge 6.1 Araştırma bulguları (devam) En iyi çözümü bulma testi Atlama Taşı Yöntemi MODİ Yöntemi Bilgisayar Yazılımı Microsoft Ecel Çözücü Eklentisi 104.561,84 104.561,84 Değişken sayısı fazla geldiğinden problemi çözememiştir. LİNGO 104.561,84 MATLAB Optimization Toolbo 104.561,84 Çizelge 6.1 den de anlaşılacağı gibi başlangıç çözümünde bulunan toplam taşıma maliyeti 104.916,40 TL iken en iyi çözümü bulma testi sonucunda elde edilen dağıtım planına göre toplam taşıma maliyeti 104.561,84 TL olarak bulunmuştur. Başkanlığın mevcut dağıtım planında stok miktarlarında bir kısıtlamaya gidilmemektedir. Bundan dolayı maliyeti düşük olan yerler arasında taşımalar yapılmıştır. 2008 yılı için verilen ulaştırma tablosu değerlerine göre toplam taşıma maliyeti 101.638,62 TL olmuştur. Görüldüğü gibi stoklarda bulunan yakıtın 8 sene yetmesi için stok miktarlarının sekize bölünmesinden dolayı toplam taşıma maliyeti yükselmiştir. Mevcut dağıtım planında en düşük maliyetli gözelere tahsisler yapılırken bu çalışmadaki ulaştırma probleminde sunum miktarlarının yetersiz kalması ile maliyeti daha yüksek gözelere tahsisler yapılmıştır. Belirlenen ulaştırma problemi daha önce ulaştırma modelleri ile yapılan problemlerden daha çok değişken içermesinden dolayı çözüm basamakları karışık ve uzun olmuştur. Çalışmanın devamı olarak; ulaştırma problemi geliştirilerek farklı kısıtlar modellemenin içerisine alınabilir. Kurumun dağıtımlarının ihale yoluyla değil de kendi tankerleri ile benzin dağıtımını yapması durumunda maliyet analizi yapılabilir. Bu durumda tankerlerin sefer kısıtları ve/veya aktarma durumları da düşünülerek yeni bir model geliştirilip doğrusal veya doğrusal olmayan programlama ile çözüm yoluna gidilebilir. 106

KAYNAKLAR Aksoy, C.N. 1999. Ulaştırma Modeli ile İşletmelerde Dağıtım Sistemi Optimizasyonu ve Türkiye Petrol Ofisi Kurumunda Uygulaması. Yüksek Lisans Tezi. Gazi Üniversitesi, 103 s. Ankara Alan, M.A. ve Yeşilyurt, C. 2004. Doğrusal Programlama Problemlerinin Ecel ile Çözümü.C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi,Cilt 5(Sayı 1);151-162. Anonymous.2009, Lindo Systems Inc. Web Sitesi. www.lindo.com, Erişim Tarihi: 2009 Apaydın, A. 2005. Optimizasyon.389 s.ankara. Çakanel, N. 2008.Ulaştırma Modeli ile Maliyet Optimizasyonu ve Bir Uygulama.Yüksek Lisans Tezi. Pamukkale Üniversitesi,146 s., Denizli. Çetin, E., Tübitak Bilim ve Teknik Dergisi Web Sitesi. http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/kuralim.htm Erişim Tarihi Ekim 2009 Edgar, T.F.,Himmelblau, D.M. and Lasdon, L.S.2001 Optimization of Chemical Processes, SE, McGrawHill. Ergülen, A. ve Kazan, H. 2007.Taşımacılık Sektörünün İşleyiş Süreci, Bulanık Dağıtım Probleminin Tamsayılı Doğrusal Model Denemesi. ZKÜ Sosyal Bilimler Dergisi, Cilt 3 (Sayı 6);109-125. Ergülen, A. 2003. Gıda Ürünlerinin Kara Yolu ile Taşınmasında Maliyet Minimizasyonu, Bir Tamsayılı Doğrusal Programlama Uygulaması, Uludağ Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, Cilt.22 (Sayı 2);203-232 Greig, D.M.1980. Optimisation.Longman,179 s.,new York Günaydın, D. 2006.Türk Silahlı Kuvvetlerinde Ring Taşımacılık Faaliyetlerinin Maliyet Etkinlik Analizi ve Ulaştırma Modelleri Yardımıyla Güzergah Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi. Marmara Üniversitesi, 99 s.,istanbul Işık, A.T. ve Ertuğrul, İ. 2008. Bir Gıda İşletmesinde Ulaştırma Modeli ile Yeni Bir Dağıtım Planı Geliştirme, KMU İİBF Dergisi.Sayı 14 Kabak, M. 2000. Kara Kuvvetleri Akaryakıt İkmal Sistemlerinde Ulaştırma Modelleri Yardımıyla Maliyet Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi. Marmara Üniversitesi, 156 s.,istanbul. Kara, İ.1991, Doğrusal Programlama.Bilim Teknik Yayınevi, 270,Eskişehir. Kotaman, S. 1998. Silahlı Kuvvetlerde İkmal Sistemlerinin Ulaştırma Modelleri Yardımıyla Maliyet Olarak Minimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi. Marmara Üniversitesi, 165 s., İstanbul. Özkal, T. 2003.Capacitated Transportation Problems and an Aplication.Yüksek Lisans Tezi. Dokuz Eylül Üniversitesi, 96 s.,izmir. Rao, S. S. 1996. Engineering Optimization Theory and Practice.John Wiley &Sons, 922 s.,usa 107

Sakarya, E., Cevger, Y. ve Günlü, A. 1996. Et ve Balık Kurumu Kombinalar Arası Et Taşımasında Ulaştırma Modeli Uygulaması.Ankara Üniversitesi Veterinerlik Fak. Dergisi.Cilt 43; 215-227. Sipahioğlu, A. ve Saraç, T. 2003. Lingo 6 Kullanım Kılavuzu. www.baskent.edu.tr/~bkececi/end304/klavuz.pdf 2009 Tabuk, M. 2006. Tasıma Problemlerinde Çözüm Önerileri, Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüsek Lisans Tezi,121 s. İstanbul. Taha, H. A. 2002. Yöneylem Araştırması, (Çev. Baray, S. A. ve Esnaf, S.), Literatür Yayıncılık, İstanbul. Tor, F.O. 1991. Doğrusal Programlama ve Benzin Dağıtımının Ulaştırma Modeli Yardımı ile Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi. Gazi Üniversitesi,103 s., Ankara Verschelde, J. 2008. MATLAB Lecture 9.Linear Programming in MATLAB. http://www.math.uic.edu./~jan/mcs320/matlec9.pdf,erişim Tarihi: Ağustos 2009 Winston, W.L. 1994. Operations Research: Applications and Algorithms, Dubury Pres, California. 108

EK 1 Ulaştırma Probleminin Lingo Yazılımında Elde Edilen Sonuçlar Global optimal solution found. Objective value: 104561.8 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 36 Eport Summary Report --------------------- Transfer Method: Workbook: Ranges Specified: 1 MIKTAR Ranges Found: 1 Range Size Mismatches: 0 Values Transferred: 81 OLE BASED F:\optimizasyon\sonuc1.ls Variable Value Reduced Cost KAPASITE( S1) 453.0000 0.000000 KAPASITE( S2) 873.0000 0.000000 KAPASITE( S3) 387.0000 0.000000 TALEP( D1) 83.04000 0.000000 TALEP( D2) 91.56000 0.000000 TALEP( D3) 28.80000 0.000000 TALEP( D4) 4.800000 0.000000 TALEP( D5) 9.000000 0.000000 TALEP( D6) 116.8800 0.000000 TALEP( D7) 112.9200 0.000000 TALEP( D8) 6.000000 0.000000 TALEP( D9) 31.80000 0.000000 TALEP( D10) 2.400000 0.000000 TALEP( D11) 274.8200 0.000000 TALEP( D12) 8.400000 0.000000 TALEP( D13) 126.4800 0.000000 TALEP( D14) 69.00000 0.000000 TALEP( D15) 11.70000 0.000000 TALEP( D16) 91.20000 0.000000 TALEP( D17) 27.60000 0.000000 TALEP( D18) 1.200000 0.000000 TALEP( D19) 39.12000 0.000000 TALEP( D20) 45.60000 0.000000 TALEP( D21) 72.72000 0.000000 TALEP( D22) 29.40000 0.000000 TALEP( D23) 215.9600 0.000000 TALEP( D24) 43.80000 0.000000 TALEP( D25) 22.22000 0.000000 TALEP( D26) 36.72000 0.000000 TALEP( D27) 21.60000 0.000000 MALIYET( S1, D1) 56.28000 0.000000 MALIYET( S1, D2) 57.87000 0.000000 MALIYET( S1, D3) 55.40000 0.000000 MALIYET( S1, D4) 60.92000 0.000000 MALIYET( S1, D5) 55.75000 0.000000 MALIYET( S1, D6) 83.47000 0.000000 109

MALIYET( S1, D7) 63.31000 0.000000 MALIYET( S1, D8) 68.13000 0.000000 MALIYET( S1, D9) 71.54000 0.000000 MALIYET( S1, D10) 73.13000 0.000000 MALIYET( S1, D11) 101.2900 0.000000 MALIYET( S1, D12) 86.30000 0.000000 MALIYET( S1, D13) 89.93000 0.000000 MALIYET( S1, D14) 90.11000 0.000000 MALIYET( S1, D15) 93.46000 0.000000 MALIYET( S1, D16) 89.22000 0.000000 MALIYET( S1, D17) 79.49000 0.000000 MALIYET( S1, D18) 100.0500 0.000000 MALIYET( S1, D19) 69.90000 0.000000 MALIYET( S1, D20) 67.60000 0.000000 MALIYET( S1, D21) 81.35000 0.000000 MALIYET( S1, D22) 82.41000 0.000000 MALIYET( S1, D23) 75.96000 0.000000 MALIYET( S1, D24) 78.25000 0.000000 MALIYET( S1, D25) 76.66000 0.000000 MALIYET( S1, D26) 67.42000 0.000000 MALIYET( S1, D27) 78.43000 0.000000 MALIYET( S2, D1) 84.36000 0.000000 MALIYET( S2, D2) 88.34000 0.000000 MALIYET( S2, D3) 87.01000 0.000000 MALIYET( S2, D4) 87.18000 0.000000 MALIYET( S2, D5) 87.36000 0.000000 MALIYET( S2, D6) 85.95000 0.000000 MALIYET( S2, D7) 85.95000 0.000000 MALIYET( S2, D8) 88.87000 0.000000 MALIYET( S2, D9) 87.36000 0.000000 MALIYET( S2, D10) 94.70000 0.000000 MALIYET( S2, D11) 63.32000 0.000000 MALIYET( S2, D12) 55.75000 0.000000 MALIYET( S2, D13) 59.28000 0.000000 MALIYET( S2, D14) 82.59000 0.000000 MALIYET( S2, D15) 77.37000 0.000000 MALIYET( S2, D16) 73.48000 0.000000 MALIYET( S2, D17) 78.08000 0.000000 MALIYET( S2, D18) 79.84000 0.000000 MALIYET( S2, D19) 70.25000 0.000000 MALIYET( S2, D20) 79.94000 0.000000 MALIYET( S2, D21) 63.67000 0.000000 MALIYET( S2, D22) 67.42000 0.000000 MALIYET( S2, D23) 66.49000 0.000000 MALIYET( S2, D24) 70.25000 0.000000 MALIYET( S2, D25) 63.84000 0.000000 MALIYET( S2, D26) 80.47000 0.000000 MALIYET( S2, D27) 80.29000 0.000000 MALIYET( S3, D1) 74.01000 0.000000 MALIYET( S3, D2) 78.96000 0.000000 MALIYET( S3, D3) 75.43000 0.000000 MALIYET( S3, D4) 75.60000 0.000000 MALIYET( S3, D5) 75.78000 0.000000 MALIYET( S3, D6) 75.43000 0.000000 MALIYET( S3, D7) 75.78000 0.000000 MALIYET( S3, D8) 78.96000 0.000000 MALIYET( S3, D9) 79.84000 0.000000 MALIYET( S3, D10) 84.53000 0.000000 MALIYET( S3, D11) 73.83000 0.000000 110

MALIYET( S3, D12) 66.49000 0.000000 MALIYET( S3, D13) 70.08000 0.000000 MALIYET( S3, D14) 71.14000 0.000000 MALIYET( S3, D15) 67.42000 0.000000 MALIYET( S3, D16) 62.34000 0.000000 MALIYET( S3, D17) 65.43000 0.000000 MALIYET( S3, D18) 74.54000 0.000000 MALIYET( S3, D19) 62.96000 0.000000 MALIYET( S3, D20) 64.37000 0.000000 MALIYET( S3, D21) 58.93000 0.000000 MALIYET( S3, D22) 62.69000 0.000000 MALIYET( S3, D23) 56.63000 0.000000 MALIYET( S3, D24) 58.40000 0.000000 MALIYET( S3, D25) 59.51000 0.000000 MALIYET( S3, D26) 70.25000 0.000000 MALIYET( S3, D27) 78.96000 0.000000 MIKTAR( S1, D1) 83.04000 0.000000 MIKTAR( S1, D2) 91.56000 0.000000 MIKTAR( S1, D3) 28.80000 0.000000 MIKTAR( S1, D4) 4.800000 0.000000 MIKTAR( S1, D5) 9.000000 0.000000 MIKTAR( S1, D6) 0.000000 0.4000000E-01 MIKTAR( S1, D7) 112.9200 0.000000 MIKTAR( S1, D8) 6.000000 0.000000 MIKTAR( S1, D9) 31.80000 0.000000 MIKTAR( S1, D10) 2.400000 0.000000 MIKTAR( S1, D11) 0.000000 39.83000 MIKTAR( S1, D12) 0.000000 32.41000 MIKTAR( S1, D13) 0.000000 32.51000 MIKTAR( S1, D14) 0.000000 10.97000 MIKTAR( S1, D15) 0.000000 18.04000 MIKTAR( S1, D16) 0.000000 18.88000 MIKTAR( S1, D17) 0.000000 6.060000 MIKTAR( S1, D18) 0.000000 22.07000 MIKTAR( S1, D19) 0.000000 1.510000 MIKTAR( S1, D20) 45.60000 0.000000 MIKTAR( S1, D21) 0.000000 19.54000 MIKTAR( S1, D22) 0.000000 16.85000 MIKTAR( S1, D23) 0.000000 11.33000 MIKTAR( S1, D24) 0.000000 11.85000 MIKTAR( S1, D25) 0.000000 14.68000 MIKTAR( S1, D26) 36.72000 0.000000 MIKTAR( S1, D27) 0.3600000 0.000000 MIKTAR( S2, D1) 0.000000 26.22000 MIKTAR( S2, D2) 0.000000 28.61000 MIKTAR( S2, D3) 0.000000 29.75000 MIKTAR( S2, D4) 0.000000 24.40000 MIKTAR( S2, D5) 0.000000 29.75000 MIKTAR( S2, D6) 0.000000 0.6600000 MIKTAR( S2, D7) 0.000000 20.78000 MIKTAR( S2, D8) 0.000000 18.88000 MIKTAR( S2, D9) 0.000000 13.96000 MIKTAR( S2, D10) 0.000000 19.71000 MIKTAR( S2, D11) 274.8200 0.000000 MIKTAR( S2, D12) 8.400000 0.000000 MIKTAR( S2, D13) 126.4800 0.000000 MIKTAR( S2, D14) 0.000000 1.590000 MIKTAR( S2, D15) 0.000000 0.9000000E-01 MIKTAR( S2, D16) 0.000000 1.280000 111

MIKTAR( S2, D17) 0.000000 2.790000 MIKTAR( S2, D18) 1.200000 0.000000 MIKTAR( S2, D19) 39.12000 0.000000 MIKTAR( S2, D20) 0.000000 10.48000 MIKTAR( S2, D21) 72.72000 0.000000 MIKTAR( S2, D22) 29.40000 0.000000 MIKTAR( S2, D23) 189.1400 0.000000 MIKTAR( S2, D24) 0.000000 1.990000 MIKTAR( S2, D25) 22.22000 0.000000 MIKTAR( S2, D26) 0.000000 11.19000 MIKTAR( S2, D27) 21.24000 0.000000 MIKTAR( S3, D1) 0.000000 25.73000 MIKTAR( S3, D2) 0.000000 29.09000 MIKTAR( S3, D3) 0.000000 28.03000 MIKTAR( S3, D4) 0.000000 22.68000 MIKTAR( S3, D5) 0.000000 28.03000 MIKTAR( S3, D6) 116.8800 0.000000 MIKTAR( S3, D7) 0.000000 20.47000 MIKTAR( S3, D8) 0.000000 18.83000 MIKTAR( S3, D9) 0.000000 16.30000 MIKTAR( S3, D10) 0.000000 19.40000 MIKTAR( S3, D11) 0.000000 20.37000 MIKTAR( S3, D12) 0.000000 20.60000 MIKTAR( S3, D13) 0.000000 20.66000 MIKTAR( S3, D14) 69.00000 0.000000 MIKTAR( S3, D15) 11.70000 0.000000 MIKTAR( S3, D16) 91.20000 0.000000 MIKTAR( S3, D17) 27.60000 0.000000 MIKTAR( S3, D18) 0.000000 4.560000 MIKTAR( S3, D19) 0.000000 2.570000 MIKTAR( S3, D20) 0.000000 4.770000 MIKTAR( S3, D21) 0.000000 5.120000 MIKTAR( S3, D22) 0.000000 5.130000 MIKTAR( S3, D23) 26.82000 0.000000 MIKTAR( S3, D24) 43.80000 0.000000 MIKTAR( S3, D25) 0.000000 5.530000 MIKTAR( S3, D26) 0.000000 10.83000 MIKTAR( S3, D27) 0.000000 8.530000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 104561.8-1.000000 2 0.000000 1.860000 3 88.26000 0.000000 4 0.000000 9.860000 5 0.000000-58.14000 6 0.000000-59.73000 7 0.000000-57.26000 8 0.000000-62.78000 9 0.000000-57.61000 10 0.000000-85.29000 11 0.000000-65.17000 12 0.000000-69.99000 13 0.000000-73.40000 14 0.000000-74.99000 15 0.000000-63.32000 16 0.000000-55.75000 17 0.000000-59.28000 18 0.000000-81.00000 19 0.000000-77.28000 112

20 0.000000-72.20000 21 0.000000-75.29000 22 0.000000-79.84000 23 0.000000-70.25000 24 0.000000-69.46000 25 0.000000-63.67000 26 0.000000-67.42000 27 0.000000-66.49000 28 0.000000-68.26000 29 0.000000-63.84000 30 0.000000-69.28000 31 0.000000-80.29000 113

ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Mihrican KOCAOĞLU Doğum Yeri : Kangal/ SİVAS Doğum Tarihi : 10.01.1981 Medeni Hali : Evli Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise : Mamak Tuzluçayır Lisesi, 1998 Lisans : Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Bölümü, 2002 Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı, 2003-2010 Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl Milli Savunma Bakanlığı Akaryakıt İkmal ve NATO POL Tesisleri İşletme Başkanlığı Doğu Bölge Müdürlüğü, Malatya, 2005-2006 Milli Savunma Bakanlığı Akaryakıt İkmal ve NATO POL Tesisleri İşletme Başkanlığı, Ankara, 2006-devam etmektedir. 114