ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR AKARYAKIT DAĞITIM DİZGESİNİN ULAŞTIRMA GİDERİNİN DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YOLUYLA EN AZA İNDİRGENMESİ Mihrican KOCAOĞLU KİMYA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2010 Her hakkı saklıdır

TEZ ONAYI Mihrican KOCAOĞLU tarafından hazırlanan Bir Akaryakıt Dağıtım Dizgesinin Ulaştırma Giderinin Doğrusal Programlama Yoluyla En Aza İndirgenmesi adlı tez çalışması 27.01.2010 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman : Prof. Dr. M.Çetin KOÇAK Jüri Üyeleri : Başkan : Prof. Dr. Ayşen APAYDIN Ankara Üniversitesi, İstatistik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. M.Çetin KOÇAK Ankara Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Yahya SUYADAL Ankara Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr.Orhan ATAKOL Enstitü Müdürü

ÖZET Yüksek Lisans Tezi BİR AKARYAKIT DAĞITIM DİZGESİNİN ULAŞTIRMA GİDERİNİN DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YOLUYLA EN AZA İNDİRGENMESİ Mihrican KOCAOĞLU Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. M. Çetin KOÇAK Doğrusal programlama, uygulama alanı geniş bir en iyileme yöntemidir. Belli sayıda sunum merkezinden belli sayıda istem merkezine yapılan taşımalarda toplam taşıma maliyetini en aza indirecek bir dağıtım planının yapılmasını sağlayan ulaştırma modeli, doğrusal programlama yaklaşımlarından biridir. Bu çalışmada; Türk Silahlı Kuvvetleri nin üç sunum merkezi ile yirmi yedi istem merkezi arasındaki akaryakıt dağıtımı, 2008 yılı verilerine dayalı olarak çözülmüştür. Tanımlanan ulaştırma problemi için Kuzey Batı Köşe, En Düşük Maliyetli Gözeler ve Vogel in Yaklaşım (VAM) yöntemlerinden başlangıç çözümü olarak elde edilen en düşük taşıma maliyeti, sırayla, 107.415,19, 105.972,33 (Satır Yaklaşımı), 104.916,40 (Kolon Yaklaşımı), 106.033,74 (Genel Yaklaşım), 105.509,01 TL olmuştur. En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi Kolon Yaklaşımı ile bulunan başlangıç çözümü Atlama Taşı ve MODİ yöntemleri ile yoklanmış; düzeltilmiş maliyet, 104.561,84 TL ile en iyi olmuştur. Ulaştırma problemi ayrıca Lingo ve MATLAB ortamında doğrusal programlama yordamıyla çözülünce maliyet, yine 104.561,84 TL çıkmıştır. Öte yanda, Microsoft Ecel deneyimi sonuçsuz kalmıştır. Ocak 2010, 114 sayfa Anahtar Kelimeler: Doğrusal Programlama, uygunlaştırma, en iyileme, ulaştırma modeli, akaryakıt dağıtımı i

ABSTRACT Master Thesis MINIMISATION OF TRANSPORTATION COST A FUEL DISTRIBUTION SYSTEM VIA LINEAR PROGRAMMING Mihrican KOCAOĞLU Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Chemical Engineering Supervisor: Prof. Dr. M. Çetin KOÇAK Linear programming is a widely used optimization technique. Transportation model is a kind of linear programming to minimise the total cost of transportation from a known number of supply centres to a known number of demand centres. This research solved a fuel distribution case of the Turkish Armed Forces involving three supply centres and twenty-seven demand centres using data for the year 2008. North-west Corner, Minimum Cost Cells, and Vogel s Approimation Methods (VAM) were applied separately to find an initial solution for the formulated transportation problem. The respective figures were 107.415,19, 105.972,33 (row approach), 104.916,40 (column approach), 106.033,74 (general approach), 105.509,01 TL. Subsequent application of Stepping Stone and MODI methods to the distribution plan obtained by Minimum Cost Cells with column approach, showed that the lowest cost was 104.561,84 TL. The transportation problem was also solved harnessing linear programming in Lingo and Matlab. The minimum cost was again 104.561,84 TL. On the other hand, attempted application of Microsoft Ecel failed. January 2010, 114 pages Key Words : Linear programming, optimization, transportation model, fuel distribution ii

ÖNSÖZ Yüksek Lisans çalışmam boyunca her konuda yardımlarını benden esirgemeyen başta danışmanım Prof. Dr. M.Çetin KOÇAK (Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Bölümü) olmak üzere bütün hocalarıma, her zaman desteklerini hissettiğim arkadaşlarım ve aileme, bıkmadan bütün nazımı çeken sevgili eşime bütün içtenliğimle teşekkür ediyorum. Başladığımı gören ve hep yanımda olan ama bitirdiğimi görmeye amansız hastalığı izin vermeyen yiğenim, canımın içi Zebedimi (Zeynep AKBABA) özlemle ve sevgiyle anıyorum. Mihrican KOCAOĞLU Ankara, Ocak 2010 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii ÖNSÖZ... iii ŞEKİLLER DİZİNİ... vi ÇİZELGELER DİZİNİ... vii 1. GİRİŞ... 1 2. GENEL BİLGİLER... 5 2. GENEL BİLGİLER... 5 2.1 Doğrusal Programlama... 5 2.1.1 Doğrusal Programlama probleminin matematiksel modeli... 6 2.1.2 Simpleks Algoritması... 9 2.2 Dualite... 10 2.3 Doğrusal Programlama Problemlerinin Bilgisayarda Çözülmesi... 11 3. ULAŞTIRMA PROBLEMLERİ VE ULAŞTIRMA MODELİ... 13 3.1 Ulaştırma Probleminin Matematiksel Modeli... 13 3.2 Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma Problemleri... 16 3.3 Ulaştırma Probleminin Çözüm Algoritması... 18 3.4 Ulaştırma Probleminin Başlangıç Çözüm Yöntemleri... 19 3.4.1 Kuzeybatı Köşe Yöntemi... 19 3.4.2 En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi... 20 3.4.3 Vogel in Yaklaşım Yöntemi... 20 3.5 En İyi Çözümün Bulunması İçin Geliştirilen Yöntemler... 22 3.5.1 Atlama Taşı Yöntemi... 22 3.5.2 MODİ Yöntemi... 24 3.6 Örnek Ulaştırma Problemi ve Çözüm Algoritmasının Uygulanması... 27 3.7 Ulaştırma Modelinin Diğer Çeşitleri... 38 3.8 Ulaştırma Problemleri ile İlgili Ülkemizdeki Örnek Çalışmalar... 39 4. MATERYAL VE YÖNTEM... 45 4.1 Materyal... 45 4.2 Yöntem... 46 iv

5. ARAŞTIRMA BULGULARI... 48 5.1 Kuzey Batı Köşe Yöntemi... 48 5.2 En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi... 52 5.2.1 En Düşük Maliyetli Gözeler (Kolon Yaklaşımı ) Yöntemi... 52 5.2.2 En Düşük Maliyetli Gözeler (Satır Yaklaşımı ) Yöntemi... 54 5.2.3 En Düşük Maliyetli Gözeler (Genel Yaklaşım ) Yöntemi... 57 5.3 Vogel in Yaklaşım Yöntemi... 59 5.4 En İyi Çözümün Bulunması... 63 5.5 Atlama Taşı Yönteminin Uygulanması... 64 5.6 MODİ Yönteminin Uygulanması... 82 5.7 Ulaştırma Probleminin Bilgisayar Programları ile Çözülmesi... 101 5.7.1 Problemin Microsoft Ecel Çözücü Eklentisi ile çözülmesi... 102 5.7.2 Problemin Lingo yazılımı ile çözülmesi... 103 5.7.3 Problemin MATLAB Optimization Toolbo ile çözülmesi... 104 6. TARTIŞMA VE SONUÇ... 105 KAYNAKLAR... 107 EK 1 Ulaştırma Probleminin Lingo Yazılımında Elde Edilen Sonuçlar... 109 ÖZGEÇMİŞ... 114 v

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 3.1 m üretim (sunum) merkezli n tüketim (istem) merkezli ulaştırma probleminin grafiksel gösterimi... 15 Şekil 3.2 Ulaştırma probleminin çözüm algoritması... 18 vi

ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 3.1 Ulaştırma tablosu genel yapısı... 16 Çizelge 3.2 Örnek problemin ulaştırma tablosu... 27 Çizelge 3.3 Örnek problemin yeni oluşturulan ulaştırma tablosu... 28 Çizelge 3.4 Kuzey Batı Köşe Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı... 29 Çizelge 3.5 En düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi (Genel Yaklaşım) sonucunda elde edilen dağıtım planı... 30 Çizelge 3.6 Örnek probleme VAM Yönteminin uygulanması... 30 Çizelge 3.7 Örnek problem için VAM Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı... 31 Çizelge 3.8 Örnek problem için başlangıç çözüm yöntemleri sonucunda elde edilen maliyetler... 32 Çizelge 3.9 VAM Yöntemine göre bulunmuş dağıtım planı... 32 Çizelge 3.10 Örnek problem için bulunan başlangıç çözümüne Atlama Taşı Yönteminin uygulanması sonucunda elde edilen dağıtım planı... 33 Çizelge 3.11 Örnek problem için bulunan başlangıç çözümüne MODİ Yönteminin uygulanması sonucunda elde edilen dağıtım planı... 36 Çizelge 4.1 Üç sunum 27 istem merkezli ulaştırma probleminin maliyet tablosu... 47 Çizelge 5.1 Dengelenmiş ulaştırma tablosu... 49 Çizelge 5.2 Kuzey Batı Köşe Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı... 51 Çizelge 5.3 En Düşük Maliyetli Gözeler (Kolon Yaklaşımı) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı... 53 Çizelge 5.4 En Düşük Maliyetli Gözeler (Satır Yaklaşımı) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı... 56 Çizelge 5.5 En Düşük Maliyetli Gözeler (Genel Yaklaşım) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı... 58 Çizelge 5.6 Vogel in Yaklaşım (VAM) Yöntemine göre elde edilen dağıtım planı... 62 Çizelge 5.7 Başlangıç çözüm yöntemlerine göre toplam taşıma maliyeti karşılaştırılması... 63 Çizelge 5.8 Ulaştırma probleminin başlangıç temel çözümü... 65 vii

Çizelge 5.9 Atlama Taşı Yöntemine göre ilk yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 68 Çizelge 5.10 Atlama Taşı Yöntemine göre ikinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 71 Çizelge 5.11 Atlama Taşı Yöntemine göre üçüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 74 Çizelge 5.12 Atlama Taşı Yöntemine göre dördüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 76 Çizelge 5.13 Atlama Taşı Yöntemine göre beşinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 79 Çizelge 5.14 Ulaştırma probleminin başlangıç temel çözümü... 83 Çizelge 5.15 MODİ Yöntemine göre ilk yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 86 Çizelge 5.16 MODİ Yöntemine göre ikinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 88 Çizelge 5.17 MODİ Yöntemine göre üçüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 91 Çizelge 5.18 MODİ Yöntemine göre dördüncü yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 94 Çizelge 5.19 MODİ Yöntemine göre beşinci yineleme sonucunda oluşan dağıtım planı... 97 Çizelge 6.1 Araştırma bulguları... 105 Çizelge 6.1 Araştırma bulguları (devam)... 106 viii

1. GİRİŞ Optimizasyon, bir probleme geçerli ve etkili bir çözümü belirlemek veya proseslerin tasarımını yapmak için özel metotların kullanımıdır. Bu teknik endüstriyel karar vermede sayısal yöntemlerin en önemlilerinden biridir. Yapı, tasarım, işletme ve kimyasal fabrikaların incelenmesi gibi problemler optimizasyon ile çözülebilir. Optimizasyon fen, mühendislik ve işletme alanlarında yaygınlaşmıştır. İstatistik alanında, maksimum olasılık, minimum kayıp, en küçük kare gibi temel değerlerde, işletmede maksimum kar, minimum maliyet, kaynakların maksimum kullanımı, minimum enerji için optimizasyon kullanılır. Bir optimizasyon probleminin amacı bütün şirket, fabrika, bir proses, işletmenin bir ünitesi, ekipmanın bir parçası ya da bunların arasında herhangi bir büyüklükte bir istem olabilir. Endüstri şirketleri optimizasyonu üç alanda kullanır: a. İşletme b. Süreç tasarımı ve ekipman tanımlamasında c. İşletme operasyonlarında. Optimizasyon kimyasal süreçlerde ve işletmeler için çok sayıda alanda uygulanabilir. Bazıları şunlardır: i. En iyi fabrika yeri belirlemesi, ii. İşlenmiş ve işlenmemiş ürünlerin dağıtımı için tanker planlaması, iii. Boru hatlarının boyutlandırılması ve düzenlenmesi, iv. Bütün bir fabrika ve ekipmanların tasarımı, v. Ekipmanların değişimi ve bakımının programlanması, vi. Reaktör, kolon ve çeşitli ekipmanların işletmesi, vii. Proseslerin modelini kurmak için işletme verilerinin hesaplaması, viii. Yapıların programlaması ve planlaması. Optimizasyon teknikleri önemli derecedeki problemlerin çözümü için hızlı ve güvenli yöntemler olarak yıllardan beri kullanılmaktadır. Optimizasyon algoritması ve bilgisayar teknolojisinde devam eden gelişmeler binlerce değişkeni kapsayan büyük 1

ölçekli doğrusal olmayan problemlerin optimizasyonuna olanak sağlamalıdır (Edgar vd. 2001). Bir optimizasyon problemi, belirli kısıtlar altında bir amaç fonksiyonunun optimize edilmesinden oluşmaktadır. Diğer bir deyişle, karar değişkenleri olarak nitelendirilen fonksiyon değişkenlerinin kısıtların tümünü sağlayan ( uygun çözüm bölgesinde bulunan) ve amaç fonksiyonunu optimize eden sayısal değerlerini bulma problemidir. Optimizasyon modelleri çeşitli kriterlere göre sınıflandırılabilmektedir. Fonksiyonlarının tipine göre, birinci dereceden fonksiyonlardan oluşuyorsa doğrusal (lineer) programlama, diğer durumlarda ise doğrusal olmayan (eğrisel) programlama şeklinde sınıflandırılırlar. Karar değişkenlerinin tipine göre, sadece tam sayılı değişkenlerden oluşan problemlere tam sayılı programlama adı verilir. Hem sürekli hem de tam sayılı değişken içeren modeller ise karma tam sayılı programlama adını alırlar. En az bir tane rassal parametre içeren programlar ise stokastik programlar olarak nitelendirilirler. Aksi halde ise model deterministik olarak isimlendirilir. Optimizasyon problemin çözümü zamanın bir fonksiyonu ise, problem dinamik programlama adı ile adlandırılmaktadır. Dinamik programlama da kendi içerisinde deterministik ve stokastik olarak sınıflandırılabilmektedir. Birden fazla amaç fonksiyonu ile başa çıkmak için geliştirilen ve çok kriterli karar verme aracı olan hedef programlama, birbirleriyle çelişebilen amaçları hep birlikte göz önüne almakta ve amaçlardan sapmaları minimize ederek çözüme ulaşmaktadır. Konveks ve kesirli programlama türleri de yaygın olarak kullanılabilen optimizasyon modellerindendir (Çetin 2009). İster sayısal analizler, ister yöneylem araştırması adı altında olsun uygulanmakta veya geliştirilmekte olan ve matematik model kullanan bütün yöntemler esasında işletme sorunlarının matematiksel olarak programlanması ve çözümünden başka bir şey değildir (Alan ve Yeşilyurt, 2004). Yöneylem araştırmasındaki matematiksel modellerde karar değişkenleri tamsayılı ya da sürekli olabilir, buna karşılık amaç ve kısıt fonksiyonları doğrusal olabilir ya da olmayabilir. Optimizasyon problemleri bu tür modeller sayesinde ortaya çıkmakta ve değişik çözüm yöntemlerinin gelişmesine kaynak olmaktadır. Bunlar içerisinde en 2

belirgin başarıyla kullanılanı doğrusal programlamadır. Doğrusal programlamada tüm amaç ve kısıt fonksiyonları doğrusaldır. Farklı modellerin çözümü için geliştirilen yöntemler arasında dinamik programlama, tamsayılı programlama, doğrusal olmayan programlama, hedef programlama ve şebeke programlama sayılabilir ( Taha 2002 ). Yöneylem Araştırması uygulamalarındaki temel aşamalar şöyle ifade edilebilir (Taha 2002 ): 1. Problemin tanımlanması: Ele alınan problemin incelenip izlenerek tanımlanmasını kapsar. 2. Model kurulması: Problem matematiksel ilişkiler halinde ifade edilir. Başka bir deyişle, problem matematik diline tercüme edilir. Model doğrusal programlama gibi standart bir matematiksel model biçiminde ifade edilebiliyorsa, mevcut algoritmalar yardımıyla çözüme ulaşılır. 3. Modelin çözülmesi: Bu aşamada çok iyi bilinen optimizasyon algoritmaları kullanılmaktadır. Modelin çözülmesinin önemli bir yanı da duyarlılık analizini de içermesidir. 4. Modelin geçerliliğinin onaylanması: geliştirilmiş olan modelle sistemin çalışması karşılaştırılır ve modelin beklenen davranışları sergileyip sergileyemeyeceği incelenir. 5. Çözümün uygulanması: Tutarlığı kanıtlanmış bir modelin çözümünün uygulanması, önerilen sistemi uygulayacak olan kişilere anlaşılır bir biçimde verilecek çalışma talimatlarında yer alan model sonuçlarının aktarılmasını içerir. Yöneylem araştırmasında iyi bilinen bir yöntem olan ulaştırma modeli, 1960lı yıllardan bu yana çeşitli sektörlerde ürünlerin pazarlara dağıtımı, atama ve aktarma problemleri, tesis yeri seçimi, işlerin makinelere ve personele dağıtımı ve üretim programlaması gibi konularda ortaya çıkan sorunların çözümünde kullanılmaktadır. Temeli, işletmenin elindeki üretim kaynaklarını gerekli kullanım yerlerine aktararak toplam taşıma maliyetlerini en aza indirmektir. Modelin amacı gerekli dağıtımlar için en ekonomik dağıtımın seçilmesidir (Işık ve Ertuğrul 2008). Bu çalışmasının amacı üç sunum merkezi ve yirmi yedi istem merkezi olan bir ulaştırma problemine ulaştırma modellerinin çözüm yöntemlerinin uygulanmasıdır. Ulaştırma 3

modelinin doğrusal programlamanın özel bir türü olmasından dolayı optimizasyon yöntemleri içerisinde sadece doğrusal programlama tanımlanacaktır. Ulaştırma problemi hem ulaştırma modelinin özel çözüm yöntemleri hem de doğrusal programlama problemi olarak çözülecek ve elde edilen bulgular değerlendirilecektir. İkinci Bölümde doğrusal programlama ile ilgili genel bilgiler verildikten sonra Üçüncü Bölümde doğrusal programlamanın özel bir türü olan ulaştırma problemleri ve ulaştırma modeli anlatılacaktır. Dördüncü Bölümde Türk Silahlı Kuvvetlerinin akaryakıt taşıması için gerekli veriler kullanılarak ulaştırma problemi tanımlanacak, Beşinci Bölümde ulaştırma modeli çözüm yöntemlerinin probleme uygulanması anlatıldıktan sonra altıncı bölümde sonuçlara ve sonuçların değerlendirilmesine yer verilecektir. 4

2. GENEL BİLGİLER 2.1 Doğrusal Programlama Kısıtlı optimizasyonun en basit hali amaç ve kısıtlayıcı fonksiyonların doğrusal olduğu durumdur (Greig 1980). Doğrusal Programlama en yaygın ve en etkili olarak kullanılan optimizasyon tekniklerinden biridir (Edgar 2001). Doğrusal Programlama, sınırlı kaynakların kullanımını en iyi kılmak için tasarlanmış bir matematiksel modelleme yöntemidir. Askerlik, endüstri, tarım, ulaştırma, ekonomi, sağlık sistemleri, hatta davranış bilimleriyle sosyal bilimler gibi alanlarda başarılı doğrusal programlama uygulamaları vardır (Taha 2002). Doğrusal Programlama modeli ilk olarak 1942 de Kantoroviç tarafından tanımlanmış, Dantzig, 1947 de Simpleks Yöntemi denilen algoritmayı bulmuştur. Von Neumann, piyasa güçleri ile büyüme hızının nasıl maksimize edilebileceğini gösteren bir dinamik genel denge modeli kurmuştur. Dorfman, doğrusal programlamayı firma teorisine uygulamıştır. Samuelson, Solow, Gale ve daha birçok iktisatçı ve matematikçi doğrusal programlama tekniğini tanıtmaya ve geliştirmeye çalışmışlardır (Tor 1991). Doğrusal Programlama Problemi en iyi algoritmalar ve en geniş bilgisayarlarda çözülmek üzere hazırlanır. Fakat tanımlanan geniş çaplı programlama problemlerinin çözümü oldukça güçtür. Bu tür problemlerin çözümünde en yaygın olarak kullanılanı Simpleks Algoritması ya da Yöntemi dir. 1984 yılında Neranda Karmarkar, Karmarkar Algoritması ya da Yöntemi olarak anılan yöntemi ortaya atmıştır (Apaydın 2005). Doğrusal Programlamada geçerli olan varsayımlar aşağıdaki gibi sıralanabilir (Kara 1991): 1. Bölünebilirlik Problemin karar değişkenleri her türlü reel değer alabiliyorsa, bölünebilirlik özelliği sağlanıyor demektir. 5

2. Oranlılık Her bir karar değişkeninin alacağı değerlere göre, bu değişkenden dolayı katkının oluşumu (amaç) ve kaynakların kullanımı (kısıtlar) belirli (sabit) oranda etkileniyorsa, oranlılık özelliği söz konusu demektir. Oranlılık özelliği bir anlamada en iyi değeri araştırılan amacın ve kararı etkileyen kaynakların her bir değişkene göre doğrusal olarak ifade edilebiliyor olmasıdır. 3. Toplanabilirlik Karar değişkenlerine verilecek değerlere göre, her birinin sağladığı katkılar toplanıp toplam katkıyı ve her birinin kullandığı i nci kaynaklar toplanıp i inci kaynak kullanımını veriyorsa ve bu özellik tüm kaynaklar için geçerli ise ele alınan problem toplanabilirlik özelliği taşıyor demektir. Toplanabilirlik özelliği, katkı oluşumu ve kaynak kullanımı yönüyle aynı birimlerle ifade edilebilirlik anlamındadır. 4. Belirlilik Karar probleminin tüm parametrelerinin sayısal değerlerinin biliniyor olmasına belirlilik özelliği denir. Bu özellik, verilecek kararı etkileyen ancak alabilecekleri değerler karar vericinin kontrolü dışında oluşan değişkenlerin (parametrelerin), problemin ele alındığı zamandaki değerlerinin, açıklayıcı ya da kestirim modelleri yardımıyla, belirlenmiş olması anlamındadır. 2.1.1 Doğrusal Programlama probleminin matematiksel modeli Amaç fonksiyonu en büyükleme biçiminde olan bir doğrusal programlama problemi, Amaç Fonksiyonu : n Ma f ( ) = C...(2.1) j= 1 j j Kısıtlar : n j= 1 a ij j b, i = 1,2,... m...(2.2) i Negatif Olmama Koşulu : 0, j = 1,2,... n...(2.3) j 6

olarak tanımlanır (Apaydın 2005). Burada, c i, b j ve a ij (i=1,2, m; j=1,2,..n) bilinen değişmezler, j ise karar değişkenleridir. Eğer bir j kümesi (2.2) kısıtlarını sağlarsa çözüm, hem (2.2) hem de (3.2) kısıtını sağlarsa uygun çözüm adını alır. Amaç fonksiyonunu en iyileyen çözüm ise en iyi çözüm adını alır. Doğrusal programlamanın amacı en iyi çözümü bulmaktır (Apaydın 2005). Doğrusal programlamanın farklı biçimleri verilebilir: 1. Standart Biçim Ma ( Min) f ( ) = n j= 1 n j= 1 j j aij j = bi, i= 1,..., m.(2.4) 0, j= 1,..., n j C 2. Yasal Biçim n Ma f ( ) = C veya Min f ( ) = C n j j j j j= 1 j= 1 a b, i= 1,..., m, a b ij j i ij j i j= 1 j= 1 0, j= 1,..., n, j n n j 0 (2.5) 3. Genel Biçim Ma ( Min) f ( ) = f ( ) n j= 1 aij j{, =, } bi, i= 1,..., m (2.6) j= 1 n C j j 0, j= 1,..., n j = z alındığında genel biçim daha açık olarak 7

Ma ( Min) z= C +... + C 1 1 { } { } a + a +... + a, =, b 11 1 12 2 1n n 1 a + a +... + a, =, b 21 1 22 2 2n n 2 M M { } a + a +... + a, =, b m1 1 m2 2 mn n m,,..., 0 1 2 şeklinde tanımlanır. Matris simgesi ile n n n (2.7) Ma( Min) z= C A {, =, } b 0 biçiminde tanımlanır. Burada, A a 11 1n = ( aij ) mn = am 1 L a mn L a teknik katsayılar matrisi,......(2.8) b1 b 2 b= M b m C C1 2 C n kaynaklar vektörü veya sağ taraf sabitleri, = (, C,..., ) katkı vektörü ya da fiyat vektörü, 1 2 X = karar değişkenleri vektörüdür. M n Matematiksel modelin oluşturulması için aşağıdaki üç sorunun cevaplandırılması gerekir. 1. Model neyi belirlemek istiyor? Modelin değişkenleri nelerdir? 2. Modellenen sistemdeki değişkenler üzerine hangi kısıtlar konulmalıdır? 3. Olası tüm uygun değişken değerleri arasında en iyi çözümü belirlemek için sağlanması gereken amaç nedir? 8

Buradan görüldüğü gibi bir matematiksel modelin tanımlanması için karar değişkenlerinin belirlenmesi, kısıtların ve en iyilenecek amaç fonksiyonunun oluşturulması önemlidir (Apaydın 2005). 2.1.2 Simpleks Algoritması Simpleks Algoritması, modelin bir başlangıç temel uygun çözümünden başlayarak, karşı gelen amaç fonksiyonunun değerini de göz önüne alıp, ardışık sayısal işlemlerle en iyi çözümü araştıran bir yaklaşımdır. Algoritmayla, uygun çözüm alanının bir uç noktasından başlanarak, amaç fonksiyonunu istenen yöne götüren uç noktalar göz önüne alınıp, komşu bir uç noktaya geçilmektedir. Böylece modelin tüm uç noktaları işleme girmediğinden, yoğun işlem yükünden kurtulunmaktadır. Simpleks Algoritması, tek bir noktada en iyi çözüm, birden fazla uç noktada seçenek çözüm, sınırsız çözüm ve uygun çözüm alanı boş gibi karşılaşılabilir tüm durumlara da cevap vermektedir (Kara 1991). Min z= C A = b 0 olarak verilen Doğrusal Programlama problemi için Simpleks Algoritmasında izlenen adımlar aşağıdaki şekilde verilebilir (Apaydın 2005). Adım I: Bir başlangıç uygun çözümü veren B temeli seçilir. Temel özellikleri sağladığı için genellikle birim matris (I) temel matris olarak alınır. Adım II: X = B 1 b, X = 0 ve z= C X hesplanır. B N B B Adım III: Adım II de bulunan z değerinin en küçük olup olmadığının testi için temel olmayan değişkenlere ilişkin ( z C ) ler hesaplanır. {( ), ( ) 0} k k j j j j j j z C = Mak z C z C > ölçütünü sağlayan hiçbir değişken yoksa yani tüm ( z C ) 0 ise son bulunan çözüm en iyi çöüzmdür. Diğer durumda dördüncü adıma geçilir. j j 9

Adım IV: zk Ck ya ilişkin k ncı vektör temele alınır ve y k = hesaplanır. 1 B ak Eğer bütün yk 0 ise en iyi çözüm, sınırlanmamış ya da sınısızdır denir. Eğer y>0 ise beşinci adıma geçilir. Adım V: Temelden çıkacak olan değişken X Y Br rk X Bi = Min, yik > 0 Yik temelden çıkarılır. ölçütü ile belirlenir ve temelin r inci kolonu Adım VI : Beşinci adımda bulunan temelin r inci vektörü çıkarılır, temel dışındaki a k vektörü dolayısıyla k değişkeni temele alınır. Bu şekilde yeni temel oluşturulur. Bu temelin vereceği uygun çözüm ve z nin hesaplanması için ikinci adıma dönülür. En büyükleme probleminin Simpleks yöntem ile çözümünde de yukarıda verilen adımlar uygulanır. Ancak temele girecek vektör seçiminde {( ), ( ) 0} z C = Min z C z C < ölçütü kullanılır ve tüm temel olmayan k k j j j j değişkenlere ilişkin ( z C ) 0 ise en iyi çözüme ulaşılır. j j Simpleks Algoritması ve örnek çalışmalar (Kara 1991), (Rao 1996) ve (Apaydın 2005) da ayrıntılı bir şekilde yer almaktadır. 2.2 Dualite Her maksimizasyon modeline karşılık gelen bir minimizasyon modeli vardır ve bu modellerin her ikisinin de amaç fonksiyonlarının en iyi değerleri eşittir. Aynı şekilde, her minimizasyon modeline karşılık gelen bir maksimizasyon modeli vardır ve bunların da amaç fonksiyonlarının en iyi değerleri eşittir. İlk ele alınan modele primal model (kısaca primal), buna karşılık gelen modele ise dual model (kısaca dual) denir. (Çakanal 2008) 10

Primal Problem: Maksimum z= C j= 1 Kısıtlayıcılar aij j bi i= 1,2,... m j= 1, 2,... n......(2.9) ve j 0 Dual Problem: n n j= 1 Minimum w= b y m i= 1 m i= 1 i j i j Kısıtlayıcılar aijyi C j i= 1, 2,... m j= 1, 2,... n....(2.10) ve y 0 i y 1,y 2,.y n dual değişkenlerdir. 2.3 Doğrusal Programlama Problemlerinin Bilgisayarda Çözülmesi Doğrusal Programlama yönteminin kullanışlılığı, bilgisayar yazılımlarındaki gelişmeler ile daha da artmıştır ( Alan ve Yeşilyurt 2004). Değişken sayısı az ise simpleks yöntemi ile elle çözüm yapılabilir. Ancak değişken sayısının fazla olduğu durumlarda elle çözüm güç olmaktadır. Doğrusal Programlama problemleri Lindo, Gino, WinQSB, MATLAB vb. bilgisayar programları ile çözülebildiği gibi, Microsof Ecel de de çözülebilmektedir. Windows un çok yaygınlaşmış olması, ofis uygulama programlarının hemen herkesçe kullanılabilmesi, bu problemlerin Ecel de çözümünü önemli kılmaktadır (Alan ve Yeşilyurt 2004). Ancak Microsoft Ecel değişken sayısının fazla olduğu problemlerde yetersiz kalmaktadır. Ulaştırma modelleri doğrusal programlamanın özel bir durumu olduğundan ulaştırma problemleri değiştirilmiş doğrusal programlama algoritmaları ile de çözülebilir. Bir ulaştırma probleminin Doğrusal Programlama problemi olarak çözülebilmesi için amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı fonksiyonların değişkenler cinsinden ifade edilebilmesi gerekmektedir. Model için tanımlamalar yapıldıktan sonra bu amaç için hazırlanmış yazılımlar kullanılarak çözüme ulaşılabilir. 11

Lingo, Lindo Systems Inc. Şirketi tarafından üretilmiş, doğrusal, tamsayılı ve doğrusal olmayan matematiksel modelleri çözebilen, duyarlılık analizi yapan bir en iyileme yazılımı ve modelleme dilidir. Daha önce Dos ortamında kullanılan Lindo ve Gino yazılımlarının bir araya getirilmesi ve yeni özellikler eklenmesiyle oluşturulmuştur. En önemli iki yenilik, Lingo nun bir modelleme dili olarak tasarlanması ve Windows ortamında çalışmasıdır (Sipahioğlu ve Saraç 2003). WinQSB veya QSB, yönetim bilimleri karar destek çatısı altında ele alınan ve uygulamada sıklıkla kullanılan, farklı nicel karar alma tekniklerini içeren bir yazılımdır (Aksoy 1999). MATLAB doğrusal programlama problemlerinin çözümünde de kullanılan bir programdır. Optimization Toolbo da yer alan linprog komutuyla çözüm yapılmaktadır. 12

3. ULAŞTIRMA PROBLEMLERİ VE ULAŞTIRMA MODELİ Ulaştırma Modeli, üretim merkezlerinden farklı depolara veya tüketim merkezlerine ürün dağıtımını içeren problemlere çözüm sunan bir modeldir. Modelin amacı, gerekli dağıtımlar için en ekonomik dağıtım yollarının seçilmesidir (Kabak 2000). Ulaştırma modeline ilişkin ilk çalışmalar Kantorovich tarafından yapılmış, Hitchcook tarafından uygulanmıştır (Işık ve Ertuğrul 2008) 3.1 Ulaştırma Probleminin Matematiksel Modeli Doğrusal Programlamanın özel bir türü olan ulaştırma modellerinde de Doğrusal Programlama varsayımları geçerlidir (Aksoy 1999). Ulaştırma Modeline Özgü Varsayımlar Doğrusal programlamanın genel varsayımlarının yanında ulaştırma modelinin kurulabilmesi için bazı özel varsayımların kabul edilmesi gerekir (Aksoy 1999, Kotaman 1998, Kabak 2000, Çakanel 2008). 1. Bütün faaliyet düzeylerinin aynı mal birimi ile ifade edilmesi yani dağıtılacak malın homojen olması gerekir. 2. Gönderilen malların doğrudan doğruya üretim merkezlerinden tüketim merkezlerine gönderilmesi yani istem ve sunum merkezleri arasında nakil yapılmaması gerekir. 3. Üretim merkezinden toplam olarak gönderilecek miktar, istem merkezlerinin toplam istem miktarına eşit olmalıdır. Eşitsizlik durumunda kukla bir üretim ya da tüketim merkezi ilave etmek suretiyle eşitlik sağlanmalıdır. 4. Her bir üretim merkezi ile her bir istem merkezi arasında bir birim malın taşıma maliyeti bilinmelidir ve birim taşıma maliyeti sabit olmalıdır. 5. Ulaştırma modelinin kısıtlayıcı fonksiyonları içinde yer alan karar değişkenlerinin katsayılarının bir ya da sıfır olması veya buna indirgenmesi gerekir. 13

Kurulan bütün modeller gibi ulaştırma modellerinin de matematiksel olarak ifade edilmesi gerekmektedir. Genel ulaştırma modeli aşağıdaki gibi tanımlanır (Kara 1991). Amaç Fonksiyonu: Min z m n = i= 1 j= 1 C ij ij... (3.1) Kısıtlayıcılar: a. Sunum Kısıtı: n ij ai i=1,2,..m... (3.2) j= 1 Sunum kısıtı üretim merkezine ilişkin toplam kapasiteyi gösterir. b. İstem Kısıtları: m ij b j j=1,2,..n... (3.3) i= 1 İstem kısıtı istem merkezine ilişkin toplam istemi gösterir. c. Negatif Olmama Koşulu : 0... (3.4) ij i=1,2,3..m ve j=1,2,3..n Modelin uygun çözümü olması için toplam sunumun toplam isteme eşit veya büyük olması gerekir. m i= 1 n a i b j= 1 j... (3.5) 14

m sunum merkezli n istem merkezli ulaştırma probleminin grafiksel gösterimi Şekil 3.1 de verildiği gibidir (Özkal 2003). Sunum Miktarı Sunum Merkezleri İstem Merkezleri İstem Miktarı a 1 S 1 D 1 b 1 a 2 S 2 D 2 b 2 a m S m D n b n C i,j ; i,j Şekil 3.1 m üretim (sunum) merkezli n tüketim (istem) merkezli ulaştırma probleminin grafiksel gösterimi m n C ij a i b j ij : Ulaştırma probleminde mevcut üretim merkezi sayısı, : Ulaştırma probleminde mevcut tüketim merkezi sayısı, : i. sunum merkezinden j. istem merkezine bir birim ürünün taşıma maliyeti : Sunum merkezi kapasitesi : İstem merkezi kapasitesi : Karar değişkeni, i. sunum merkezinden j. istem merkezine taşınacak ürün miktarı i=1,2,3 m; j=1,2,3 n Ulaştırma problemlerinin standart gösterimi ulaştırma tablosu ile olur. Çizelge 3.1 ulaştırma tablosunun genel yapısını göstermektedir (Winston 1994). Tabloda m satır ve n kolon bulunduğundan dolayı tabloda mn sayıda göze vardır. 15

Çizelge 3.1 Ulaştırma tablosu genel yapısı İSTEM MERKEZLERİ 1 2. n TOPLAM MERKEZLERİ 1 2 m C 1,1 C 1,2 C 1,n 1,1 1,2 1,n C 21 C 2,2 C 2,n 2,1 2,2 2,n C m,1 C m,2 C m,n m,1 m,2 m,n TOPLAM İSTEM b 1 b 2. b n a 1 b 2 a m a i b j Çizelge 3.1 de tabloda bulunan her özel kutucuğa göze veya hücre adı verilir. Her göze i. Sunum merkezinden j. istem merkezine ulaştırılacak i,j miktarına ve C i,j birim taşıma maliyetine sahiptir (Kotaman 1998). Modelin uygun çözümü olması için toplam sunumun, toplam isteme eşit veya büyük olması gerekir. 3.2 Dengeli ve Dengesiz Ulaştırma Problemleri Standart ulaştırma problemlerinde üretim merkezlerince sağlanan toplam sunum miktarı ile tüketim merkezlerinin toplam istem miktarına eşit olduğu kabul edilir. Bu şekilde olan ulaştırma problemlerine Dengeli Ulaştırma Problemi denir (Kabak 2000). Her zaman istem miktarı ile sunum miktarı birbirine eşit olmayabilir. İstem ve sunum miktarları eşit değilse problem Dengesiz Ulaştırma Problemi adını alır. Problemin 16

çözümünün olabilmesi için dengeli hale getirmek gerekir. Bunun için probleme kukla istem ya da istem merkezi ilave edilir. i. Toplam sunum miktarının toplam istem miktarından büyük olduğu durumlar Toplam sunum miktarı toplam istem miktarından fazla ise, fazla olan miktarın tüketimi için bir kukla istem merkezi yaratılır. Gerçekte kukla istem merkezine ürün gönderilmeyeceği için birim taşıma maliyeti sıfıra eşittir. Eğer sunum merkezinden kukla istem merkezine gönderilen ürün varsa bu sunum merkezindeki atıl kapasiteyi gösterir. Kukla istem merkezi için tablonun sonuna bir kolon ilave edilir (Kabak 2000). ii. Toplam sunum miktarının toplam istem miktarından küçük olduğu durumlar Eğer toplam sunum miktarı toplam istem miktarından az ise aradaki farkın sözde üretilebilmesi için modele bir kukla sunum merkezi ilave edilir. Gerçekte hiçbir istem merkezi kukla sunum merkezinden ürün almaz ve taşıma maliyeti sıfırdır. Kukla sunum merkezi satırındaki karar değişkenlerinin değeri değerlendirilmeyen pazar payı miktarı olarak yorumlanır. Kukla sunum merkezi için tablonun sonuna bir satır ilave edilir (Kabak 2000). 17

3.3 Ulaştırma Probleminin Çözüm Algoritması Ulaştırma Problemlerinde çözüme ulaşmak için uygulanan algoritma Şekil 3.2 de verilmiştir (Kabak 2000). Probleme ait verilerin hazırlanması ve ulaştırma tablosunun oluşturulması Başlangıç çözümün bulunması Çözüm en iyi çözüm mü? Evet Problem çözülmüştür. Hayır Yeni temel uygun çözümün bulunması Şekil 3.2 Ulaştırma probleminin çözüm algoritması 18

3.4 Ulaştırma Probleminin Başlangıç Çözüm Yöntemleri Simpleks Algoritması doğrusal programlama problemlerinin çözümünde uygulanabilmesine rağmen, ulaştırma problemlerine daha kolaylıkla uygulanabilen bazı yöntemler vardır (Kabak 2000). 3.4.1 Kuzeybatı Köşe Yöntemi Kabak (2000) a göre yöntem Dantzig tarafından önerilmiş, Charnes ve Cooper tarafından geliştirilmiştir. Çözüm için uygulanan adımlar şöyledir (Winston 2004). 1. Ulaştırma tablosunun sol üst köşesindeki 1,1 gözesine sunum ve istem miktarları içerisindeki en küçük miktar tahsis edilir. 2. 1,1 gözesine yapılan tahsisle birinci sunum merkezinin sunumu kullanılmış ancak birinci istem merkezinin istem miktarı karşılanmamış ise ( 1,1 =a 1 ) ilk kolonda aşağıya doğru inilerek karşılaşılan gözeye istem ve sunum kısıtları içerisinde en küçük miktar tahsis edilir. 3. 1,1 gözesine yapılan tahsisle birinci istem merkezinin istem miktarı karşılanmış ancak birinci sunum merkezinin sunumu tamamlanmamış ise ( 1,1 =b 1 ) birinci kolon işlemden çıkarılır sağa doğru ilerlenerek karşılaşılan gözeye istem ve sunum kısıtları içerisinde en küçük miktar tahsis edilir. 4. 1,1 gözesine yapılan tahsisle birinci sunum merkezinin sunum miktarı kullanılmış ve birinci istem merkezinin talebi karşılanmış ise ( 1,1 =a 1 =b 1 ) birinci satır ve birinci kolon işlemden çıkarılır. Gözenin sağ altındaki gözeye geçilerek işlemler devam ettirilir. Kuzeybatı Köşesi Yöntemi uygulanması basit fakat verdiği başlangıç çözümü en iyiye yakın olmayan bir yöntemdir (Kabak 2000). 19

3.4.2 En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi Yöntemin üç yaklaşımı mevcuttur. 1. Satır Yaklaşımı Ulaştırma tablosunda ilk satırın en düşük maliyetli gözesine sunum ve istem miktarları içerisinden en küçük miktar kadar tahsis yapılır. Yapılan bu tahsisle istem miktarı karşılanmış ancak sunum miktarının tamamı kullanılmamış ise aynı satırda ikinci maliyetli gözeye sunum ve istem miktarlarına dikkat edilerek tahsis yapılır. Sunum miktarı tükenene kadar aynı işlemlere devam edilir. Sunum miktarı tükenince alt satıra geçilir. 2. Kolon Yaklaşımı Ulaştırma tablosundaki ilk kolonun en düşük maliyetli gözesine sunum ve istem miktarları içerisinden en küçük miktar kadar tahsis yapılır. Yapılan bu tahsisle istem miktarı karşılanmamış ise ikinci maliyetli gözeye sunum ve istem miktarları dikkate alınarak tahsis yapılır. İstem miktarı karşılandıysa sağdaki kolona geçilerek aynı işlemlere devam edilir. 3. Genel Yaklaşım Genel yaklaşımda en düşük maliyetli göze seçilirken tablonun tamamı dikkate alınır. Tablodaki en düşük maliyetli gözeye bu gözenin bulunduğu sunum ve istem miktarları içerisinden büyük miktarda tahsis yapılır. Daha sonra tablo sırasıyla diğer düşük maliyetli gözelere sunum ve istem miktarları dikkate alınarak tahsis yapılır. 3.4.3 Vogel in Yaklaşım Yöntemi VAM kısaltması ile gösterilen Vogel in Yaklaşım Yöntemi nde başlangıç çözümüne kuzeybatı köşe ve en düşük maliyetli gözeler yöntemi kadar kolay ulaşılamaz. Ancak çözüm en iyiye oldukça yakındır (Kabak 2000). 20

VAM Yönteminin kullanımında şu adımlar izlenir (Kara 1991, Winston 1994). 1. Ulaştırma tablosunun her bir satır ve kolonu için ayrı ayrı en düşük maliyetli iki göze belirlenir. 2. Küçük olan gözenin maliyet değeri büyük olan gözenin maliyet değerinden çıkarılır. Her satır ve kolon için hesaplanan bu değerler, tabloya eklenen satır ve kolonlara yazılır. Bunlar pişmanlık(ceza) değerleridir. 3. İlave satır ve kolondaki en büyük pişmanlık değerleri (en kötü ceza) belirlenir. Bu belirlenen pişmanlık değelerinin karşısındaki satır veya kolon da yer alan en küçük maliyetli gözeye istem ve sunum kısıtları içerisinden en küçük miktar kadar dağıtım yapılır. İstemi karşılanan kolon veya sunumu tükenen satır tablodan çıkarılır. 4. Geriye kalan satır ve kolonlar için 1,2 ve 3. adımlardaki işlemler satır ve kolon sayısı bire inene kadar tekrar edilir. Son satır veya kolonda en düşük maliyetli gözeden başlayarak dağıtım yapılır ve başlangıç çözümü elde edilir. Satır ve kolonların pişmanlık değerleri hesaplanırken birden fazla en büyük pişmanlık ortaya çıkabilir. Bu durumda çözüme daha çabuk ulaşmak için şu kurallar uygulanmalıdır (Kabak 2000). 1. En büyük pişmanlık bir satır ve bir kolonda aynı anda varsa ve bunların kesiştiği göze en düşük maliyetli ise dağıtım bu gözeye yapılır. Kesişim gözesi en düşük maliyetli değilse söz konusu satır ve kolondan maliyeti en düşük olan gözeye dağıtım yapılır. 2. En büyük pişmanlık birden fazla satırda veya birden fazla kolonda varsa, satırlar veya kolonlar içinden en büyük istem ya da sunum miktarlı olan seçilir. Bu çalışma kapsamında incelenmeyen Russel in Yaklaşım Yöntemi de başlangıç çözüm yöntemleri arasında yer almaktadır. 21

3.5 En İyi Çözümün Bulunması İçin Geliştirilen Yöntemler Ulaştırma problemlerinden başlangıç çözüm yöntemi elde edildikten sonra bulunan çözümün en iyi olup olmadığının kontrolünün yapılması gerekmektedir. Çözümde m+n-1 gözeye tahsis yapılmışsa, yani çözüm temel uygun çözüm ise ve yapılan tahsisler bağımsız pozisyon oluşturuyorsa, m adet sunum merkezli ve n adet istem merkezli mn boyutlu bir ulaştırma probleminin herhangi bir uygun çözümüne en iyi çözümü bulma testi uygulanabilir (Aksoy 1999). Ulaştırma probleminin başlangıç çözümleri içerisinde en iyi olanını bulabilmek için geliştirilen yöntemler vardır. Bir uygun çözüm bulunduktan sonra bu çözümün vereceği maliyetin en iyi olup olmadığının araştırması yapılır. Bu yapılırken de amaç fonksiyonunun değerindeki potansiyel iyileşme için temel olmayan değişkenlerin denenmesi gerekmektedir. Böylelikle temel olmayan değişkenler temel değişken haline getirilerek amaç fonksiyonundaki değişmeye bakılır. Temele girecek değişkenin bulunabilmesi için başlangıç çözümünde kullanılmamış olan gözelerden hareket edilir (Aksoy 1999). En iyi çözümü bulma testini yapmak için geliştirilen iki yöntem vardır: i. Atlama Taşı Yöntemi ii. MODİ Yöntemi 3.5.1 Atlama Taşı Yöntemi Atlama taşı yöntemi, başlangıç çözümdeki boş bir gözeye dağıtım yapıldığında toplam maliyetin ne şekilde değişeceğini hesaplamakta kullanılır. Hangi temel olmayan değişkenlerin temel hale getirileceğini belirlemek için, boş hücreye bir birimlik ayrım yapıldığında maliyetteki net değişme veya test miktarı (d i,j ) hesaplanır. Bu maliyete gizli maliyet de denir. Hesaplama yapılırken izlenen adımlar şöyledir (Kabak 2000). 22

1. Gizli maliyeti hesaplanacak boş göze belirlenir. 2. Gizli maliyeti hesaplanacak gözeden başlayıp sadece yatay ve dikey ilerleyebilen, dolu gözelerde 90 derecelik dönüşler yapabilen sonunda tekrar aynı boş gözeye gelen çevrimler yazılır. 3. İşlem yapılırken seçilen boş gözenin maliyeti önüne (+) dönüş yapılan dolu gözelerin maliyetlerinin önüne sırasıyla (-),(+),(-) işaretleri konulur. 4. Çevrime giren gözelere ait maliyetler (C i,j ) işaretleri dikkate alınarak toplanır. Bu işlem boş gözenin gizli maliyetini (d i,j ) verir. Gizli maliyet üç durumda olabilir. i. d i,j >0 ise, boş gözenin doldurulması toplam maliyeti artırır, boş gözenin boş kalmasına karar verilir. ii. d i,j <0 ise, boş gözenin doldurulması toplam maliyeti azaltacağından boş gözenin dolu hale getirilmesi gerekmektedir. Boş gözeye dağıtım yapıldığında, o gözenin bulunduğu satır ve kolon miktarının aynı kalması gerekir. En uygun miktar, gizli maliyet hesaplanırken çevrim içerisindeki negatif işaretlenen gözelerdeki en küçük miktarıdır. Bu miktar çevrim maliyetlerine (+) işaret konulan gözelere ilave edilir, maliyetlerine (-) konulan gözelerde eksiltilir. Böylece satır ve kolon toplam miktarlarının değişmemesi sağlanmış olur. iii. d i,j =0 ise, boş gözeye ürün dağıtımı yapılması maliyeti değiştirmeyecektir. Fakat bu durum dağıtım planı için alternatifler olduğunu gösterir. 5. Her boş gözenin gizli maliyeti hesaplanmalıdır. Eğer bütün gizli maliyetler (d i,j ) sıfıra eşit veya büyükse çözüm, en iyi çözümdür. Kaç tane d i,j değeri sıfıra eşitse, o kadar alternatif dağıtım planı vardır. Bu planlarda maliyetler eşittir. 6. Eğer gizli maliyetlerden (d i,j ) sıfırdan küçük olan varsa; dağıtım yapılacak göze negatif maliyetlilerden mutlak değerce en büyük maliyete sahip gözedir. 7. Bu gözeye dağıtım yapıldıktan sonra, yeni tabloda oluşan boş gözelerin gizli maliyetleri hesaplanır. İşlemler boş gözelerin tamamının gizli maliyetleri sıfır veya daha büyük olana kadar devam ettirilir. Eğer alternatif dağıtım planları da bulunacaksa, gizli maliyeti sıfır olan gözelere de aynı işlemler yapılır. Bu durumda ulaşılan çözüm en iyi çözüm, maliyet de en düşük maliyet olur. 23

3.5.2 MODİ Yöntemi Basitleştirilmiş Dağıtım Yöntemi ya da Çoğaltan Yöntemi olarak da bilinen MODİ yönteminde boş gözelerin gizli maliyetleri çevrim yapılmadan hesaplanır. Atlama taşı yönteminde yolların saptanması ve izlenmesi yorucudur. MODİ yönteminin işlem sayısı daha az ve çok daha basittir (Kabak 2000). MODİ yöntemi doğrusal programlamadaki dual problemin çözümünden hareket eder. Problem dengelenmiş kabul edildiğinden, dengelenmemiş problem söz konusu değildir. Ulaştırma modelinin genel formülünü primal model olarak düşünülürse duali aşağıdaki gibi olur: Primal Model: 1. Amaç Fonksiyonu: m n Min = Cij ij i= 1 j= 1 z... (3.6) 2. Kısıtlayıcı Fonksiyonlar: a. Sunum Kısıtları: n ij = ai i=1,2,3 m... (3.7) j= 1 b. İstem Kısıtları: m ij = bj j=1,2,3,n... (3.8) i= 1 n m ij = ai = ij = bij... (3.9) j= 1 i= 1 c. Negatif Olmama Koşulu: 0 i=1,2,3,m.....(3.10) ij j=1,2,3,n 24

Dual Model: 1. Amaç Fonksiyonu: m Mak Y = au + b V i i j j i= 1 j= 1 n... (3.11) 2. Kısıtlayıcı Fonksiyonlar: U i + V C i=1,2,3,m.. (3.12) j ij j=1,2,3,n 3. U i ve V j değişkenleri pozitif veya negatif değerler alabilir. Primal modelde (m+n) tane kısıtlayıcı fonksiyon olduğundan dual modelde (m+n) tane değişken olacaktır. Dual modeldeki değişkenlerden U i ler sunum kısıtlayıcılarına, V j ler istem kısıtlayıcılarına karşılıktır. Ayrıca dual ulaştırma modelinde m adet sıra ve n adet kolon olduğuna göre (m+n) adet denklem var demektir. Fakat bu denklemlerden (m+n-1) kadar bilinerek bir çözüme ulaşılabileceğinden U i veya V j lerden birinin değeri sıfır kabul edilir. Genelde U 1 =0 kabul edilir. Daha sonra dolu gözeler için gösterge değerleri (U i ve V j ) U + V = C denklemi yardımıyla hesaplanır. i j ij Boş gözelerin gizli maliyetleri (d ij ) de d ij = U + V C bağıntısı ile hesaplanır. i j ij MODİ Yönteminde çözüme ulaşmak için izlenecek adımlar şöyledir: 1. Başlangıç çözüm yöntemlerinden biriyle çözülmüş problemin dağıtım planı ulaştırma tablosunda gösterilir. 2. U i veya V j değerlerinden birisi sıfıra eşit kabul edilerek (genelde U 1 =0) dağıtım yapılmış dolu gözeler için U i V j = Ci, j + denklemiyle U i ve V j değerleri hesaplanır. 3. Boş gözelerin gizli maliyetleri (d ij ), d ij = U i + V j Ci, j bağıntısıyla bulunur. 4. Bütün boş gözelerin gizli maliyetleri sıfıra eşit veya sıfırdan küçük ise (d ij 0) mevcut çözüm en iyidir. Eğer boş gözelerden birinin gizli maliyeti pozitif ise bu gözeye 25

ürün dağıtımı yapılarak maliyet azaltılabilir. Eğer birden fazla boş gözenin gizli maliyeti pozitif ise tahsis en büyük pozitif değerli gözeye yapılır. 5. Dağıtım yapılacak göze belirlendikten sonra, atlama taşı yönteminde olduğu gibi bu gözeden başlayan kapalı bir çevrim oluşturulur. 6. Dağıtım yapılacak boş gözeye (+) diğer dolu gözelere sırasıyla (-),(+),(-) değerler verilir. Hareketler yatay ve dikey doğrultuda dolu gözelerde 90 derece ile dönebilmelidir. 7. Boş gözeye dağıtım yapılacak miktar çevrimde negatif işaretlenen gözelerden en az miktarlı gözenin değeridir. Çevrimdeki işaretlere göre artırma ve azaltma işlemi yapılır. Sunum ve istem miktarlarının aynı kalmasına dikkat edilir. 8. Boş gözelerin tamamının gizli maliyetleri sıfır veya sıfırdan küçük olana kadar işlemler devam ettirilir. Koşul sağlandığında dağıtım planı en iyidir (Kabak 2000). 26

3.6 Örnek Ulaştırma Problemi ve Çözüm Algoritmasının Uygulanması A, B ve C fabrikaları D1, D2, D3, D4 pazarlarına mal göndermektedir. Fabrikaların gönderebileceği mal miktarları, pazarların tahmin edilen istem miktarları ve taşıma maliyetleri çizelge 3.2 de verilmiştir. Çizelge 3.2 Örnek problemin ulaştırma tablosu A D1 D2 D3 D4 X 11 15 X 12 18 X 13 12 X 14 13 200 B X 21 10 X 22 10 X 23 11 X 23 9 300 C X 31 8 X 32 5 X 33 7 X 33 8 450 İSTEM 250 100 225 325 900 950 Toplam İstem miktarı ile toplam sunum miktarı birbirine eşit olmadığından problem Dengesiz ulaştırma problemi dir. Problemi çözebilmek için tabloya Kukla İstem Merkezi ilave etmek gerekir. Yeni oluşturulan ulaştırma tablosu çizelge 3.3 de verilmiştir. 27

Çizelge 3.3 Örnek problemin yeni oluşturulan ulaştırma tablosu A D1 D2 D3 D4 D5 1,1 15 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 200 B 2,1 10 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 300 C 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 450 İSTEM 250 100 225 325 50 950 950 Çizelge 3.3 deki tabloya kukla istem merkezi ilave edip problemi dengeli hale getirdikten sonra problemin çözümüne başlanabilir. 1. Kuzey Batı Köşesi Yöntemi ile Başlangıç Çözümü: Ulaştırma tablosunun 1,1 gözesine 200 birimlik ürün (sunum ve istem miktarları içindeki en küçük miktar) tahsis edilir. Yapılan bu tahsis ile A fabrikasının sunumu bitmiş olur. Bu durumda tabloda aşağı doğru ilerlenerek 2,1 gözesine 50 birimlik ürün tahsis edilir. Yapılan bu tahsis ile D1 pazarının istem miktarı karşılanmış olur. Bu durumda bir sağa doğru ilerlenir. 2,2 gözesine 100 birimlik (sunum ve istem miktarları içindeki en küçük miktar) ürün tahsis edilir. Böylece D2 pazarının istem miktarı karşılanmış olur. Ancak hala B fabrikasının sunumu bitmemiştir. Tabloda sağa doğru ilerlenir. 2,3 gözesine 150 birimlik ürün tahsis edilir. Böylece B fabrikasının sunabileceği ürün bitmiş olur. Bu durumda bir alt sıraya geçilir ve 3,3 gözesine 75 birimlik ürün tahsis edilerek D3 pazarının istem miktarı karşılanmış olur. Tabloda sağa doğru ilerlenerek D4 pazarının istem miktarı olan 325 birimlik ürün C fabrikasından karşılanarak 3,4 gözesine tahsis yapılır. Bütün istem merkezlerinin istemleri karşılanmış olur. Ancak sunum merkezi olan fabrikalardan C fabrikasının sunabileceği 50 birimlik ürün miktarı da kukla istem merkezi olan D5 pazarına tahsis edilir. Yapılan tahsislerle çizelge 3.4 oluşturulur. 28

Çizelge 3.4 Kuzey Batı Köşe Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı A B C İSTEM D1 D2 D3 D4 D5 1,1 15 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 200 2,1 10 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 50 100 150 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 75 325 50 250 100 225 325 50 950 200 300 450 950 Çizelge 3.4 incelendiğinde ulaştırma problemi için toplam taşıma maliyeti: 200*15 + 50*10+100*10+150*11+75*7+325*8+50*0=9.275 olarak bulunmuştur. Başlangıç temel uygun çözüm 1,1 =200, 2,1 =50, 2,2 =100, 2,3 =150, 3,3 =75, 3,4 =325, 3,5 =50 şeklindedir. 2. En Düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi (Genel Yaklaşım ile Başlangıç Çözümü): Tablonun geneli düşünülerek en düşük taşıma maliyeti olan gözeler 1,5, 2,5 ve 3,5 gözeleridir. En düşük maliyetli gözeler eşit ise herhangi biri seçilir. Burada 1,5 gözesine 50 birimlik ürün (sunum ve istem miktarları içerisindeki en küçük miktar) tahsis edilir. Yapılan bu tahsisle D5 pazarının talebi karşılanmış olur. Tabloda diğer düşük maliyetli gözelere istem ve sunum miktarları dikkate alınarak dağıtım yapılır. En düşük maliyet yöntemi genel yaklaşımına göre dağıtım yapılan gözeler çizelge 3.5 de verilmiştir. 29

Çizelge 3.5 En düşük Maliyetli Gözeler Yöntemi (Genel Yaklaşım) sonucunda elde edilen dağıtım planı D1 D2 D3 D4 D5 A 1,1 15 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 125 25 50 200 B 2,1 10 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 300 300 C İSTEM 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 125 100 225 250 100 225 325 50 950 450 950 Çizelge 3.5 incelendiğinde ulaştırma problemi için toplam taşıma maliyeti: 125*8+125*15+100*5+225*7+25*13+300*9+50*0=7.975 olarak bulunmuştur. Başlangıç temel uygun çözüm 1,1 =125, 3,1 =125, 3,2 =100, 3,3 =225, 1,4 =25, 2,4 =300, 1,5 =50 şeklindedir. 3. Vogel in Yaklaşım Yöntemi ile Başlangıç Çözümü: Bu yöntemi uygulamak için pişmanlık (ceza) satır ve kolonları oluşturulur. Bunun için satır ve kolonlar dikkate alınarak en düşük maliyetli iki göze arasındaki farklar hesaplanır ve pişmanlık satır ve kolonlara yazılır. Ulaştırma tablosuna ceza satır ve kolonların ilave edilmesi ile çizelge 3.6 oluşturulur. Çizelge 3.6 Örnek probleme VAM Yönteminin uygulanması A B C D1 D2 D3 D4 D5 1,1 15 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 2,1 10 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 İSTEM 250 100 225 325 50 Kolon Pişmanlık 2 5 4 1 950 200 300 450 950 Satır Pişmanlık 12 9 5 30

Pişmanlık değerleri içerisinde en büyük değer birinci satırdadır. Bu satırdaki en düşük maliyetli 1,5 gözesine istem kısıtı dahilinde 50 birimlik ürün tahsis edilir. İstem miktarı karşılandığından bu kolon işlemden çıkarılır. Bu kolonun işlemden çıkarılması ile yeniden pişmanlık değerleri hesaplanır. Pişmanlık değeri en yüksek olan Y pazarının bulunduğu kolonda en düşük maliyetli 3,2 gözesine 100 birimlik ürün tahsis edilir. Böylece Y pazarının talebinin karşılanması ile ikinci kolon işlemden çıkarılır. İşlemden satır ve kolon çıkarılması ile pişmanlık değerleri değişeceğinden yeniden pişmanlık değerleri hesaplanır. En büyük pişmanlık değerine sahip satır veya kolonun içerisinde en düşük maliyetli gözeye istem ve sunum kısıtları dahilinde ürün tahsisi yapılarak başlangıç çözümü elde edilir. Dağıtımlardan sonra çizelge 3.7 oluşmuştur. Çizelge 3.7 Örnek problem için VAM Yöntemi sonucunda elde edilen dağıtım planı A B C İSTEM D1 D2 D3 D4 D5 1,1 15 1,2 18 1,3 12 1,4 13 1,5 0 150 50 2,1 10 2,2 10 2,3 11 2,4 9 2,5 0 125 175 3,1 8 3,2 5 3,3 7 3,4 8 3,5 0 125 100 225 250 100 225 325 50 950 200 300 450 950 Çizelge 3.7 incelendiğinde ulaştırma problemi için toplam taşıma maliyeti:125*8+125*10+100*5+225*7+150*13+175*9+50*0=7.850 olarak bulunmuştur. Başlangıç temel uygun çözüm 2,1 =125, 3,1 =125, 3,2 =100, 3,3 =225, 1,4 =150, 2,4 =175, 1,5 =50 şeklindedir. Başlangıç çözüm yöntemlerinde elde edilen toplam taşıma maliyetleri çizelge 3.8 de verilmiştir. 31