6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.5. Doğrusal olmayan fonksiyonların eğimi Doğrusal fonksiyonlarda eğim her noktada sabittir ve eğim katsayısına eşittir: Ancak doğrusal fonksiyonlarda kullandığımız eğim tespit yöntemi, farklı iki noktalar arasında çizilen bir doğrunun eğiminin hesaplanması, doğrusal olmayan fonksiyonlarda sonuç vermeyecektir. Şekilde çizili eğrinin farklı noktalarındaki doğruların eğimlerinin aynı olmadığı açıktır. Ekonomide çoğu zaman eğrinin farklı noktalarında bağımsız değişkenin değişimine bağımlı değişkenin vereceği tepkiler ölçülmek istenir. Şimdi bu durumda bağımsız değişkenin her hangi bir noktasındaki çok küçük bir değişime bağımlı değişkenin vereceği tepkiyi ölçülmeye çalışalım. A.5.1. Bir Eğrinin Bir Noktasındaki Eğimi Doğrusal olmayan bir fonksiyon olarak fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonda noktasında bağımsız değişkenin çok küçük bir değişime bağımlı değişkenin vereceği tepkiyi ölçmeye çalışalım. Şu ana kadar doğrusal fonksiyonlarda geliştirdiğimiz eğim bulma denklemini kullanarak belli bir noktaya kadar eğimi bulalım: 2
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 3 f(x) 1 B 0.36 C D 0.25 A E 0 0.5 0.6 1 x Eğri üzerinde çizilen AB doğrusunun eğimini hesaplamaya çalışalım: Şimdi biraz daha A noktasına yaklaşarak bağımsız değişkendeki değişimi mümkün olduğu kadar küçültmeye çalışalım. AC doğrusunun eğimini hesapladığımızda aşağıdaki değeri elde ederiz: A noktasına daha da yaklaşarak AD doğrusunun eğimini hesaplayalım. D noktasında değerler şu şekildedir: Şekilde A noktasına en yakın nokta üzerinde çizilen yaklaşarak AE doğrusunun eğimini hesaplayalım. E noktasında değerler şu şekildedir: 3
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 4 Dikkat edilirse doğrular A noktasına yaklaştıkça eğim katsayısı da 1 değerine yakınsamaktadır. Ancak bu şekilde sorumuza cevap bulmamız mümkün değildir. Zira eğri üzerindeki tek bir noktanın eğimini aramaktayız. Ancak bir eğri, sonsuz sayıda noktanın birleşiminden elde edildiğinden, tek bir noktanın eğimini bu şekilde tespit etmek imkânsızdır. Aslında şu ana kadar kullandığımız eğim denklemi, sekant doğrusunun 1 eğimini hesaplamaktadır. A noktasında sekant doğrusunun eğimi hesaplanabilir ancak bu değer tanımsız olacaktır: Bu durumda bir eğrinin üzerindeki bir noktayı görünür kılan yeni bir analize ihtiyacımız olacaktır. A.5.2. Türev: Bir Eğrinin Belirli Bir Noktasındaki Eğimin Tespit Edilmesi ifadesi, sekant doğrusunun eğimini tespit etmek için kullanılmaktadır. Tanjant doğrusu ise, bir eğriyi tek bir noktada kesen doğrunun adıdır. Böylece eğri üzerindeki bir nokta, görünür kılınmaktadır. Tanjant doğrusunun eğimi, 1 Sekant Doğrusu: Bir eğriyi iki noktada kesen doğruya verilen isimdir. 4
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 5 ile temsil edilmektedir ve bir eğrinin her hangi noktasındaki eğimini veren denklemi ifade etmektedir. ifadesi türevi temsil ederken, bu denklemi bulma sürecine differentiation adı verilmektedir. Türevin Kuvvet (Üs) Kuralı Bu kuralı örnek olan fonksiyona uyguladığımızda aşağıdaki sonuç elde edilecektir: Bağımsız değişkenin değeri 0.5 olduğu noktada fonksiyonun eğimi 1 olarak bulunacaktır. Bu değer, sekant doğrusunun A noktasına yaklaştıkça yakınsadığı değerdir. edilebilir: Sekant doğrusunun eğimi ile türev denklemi arasındaki ilişki, aşağıdaki gibi ifade Yüksek Mertebeden Türevler : 1. Dereceden türev (y' veya ile temsil edilir) : 2. Dereceden türev (y'' veya ile temsil edilir) bulalım: : 3. Dereceden türev (y''' veya ile temsil edilir) 3.28. Örnek olarak aşağıdaki fonksiyonu ele alalım ve 3. Dereceden türevine kadar 5
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 6 Bir Fonksiyonun Artan veya Azalan Olduğunun Tespit Edilmesi Şayet bir fonksiyonunun birinci dereceden türevi pozitif bir değer alırsa, bu fonksiyon artandır: Şayet bir fonksiyonunun birinci dereceden türevi pozitif bir değer alırsa, bu fonksiyon artandır: İkinci Dereceden Türev ve Fonksiyonun Değişim Hızı 3.29. fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun birinci dereceden türev değerleri pozitifken, ikinci dereceden fonksiyon değerleri negatiftir. Diğer bir deyişle bu fonksiyon pozitif eğimlidir ancak azalarak artmaktadır. Tablo 3.1: Azalarak Artan Bir Fonksiyon 4 2 1/4 16 4 1/8 36 6 1/12 6
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 7 Veya fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun birinci ve ikinci dereceden türev değerleri pozitiftir. Diğer bir deyişle bu fonksiyon pozitif eğimlidir ve artarak artmaktadır. Tablo 3.2: Artarak Artan Bir Fonksiyon 1 1 2 2 2 4 4 2 3 9 6 2 A.6. Tek Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon Optimizasyondan kasıt, bir eğrisel fonksiyonunun maksimum veya minimum noktasının bulunmasıdır. Fonksiyonun maksimum veya minimum noktalarını tespit ederken aşağıdaki aşamalar takip edilir: 1. Adım Fonksiyonun birinci dereceden türevi alınır ve sıfıra eşitlenir: 2. Adım Fonksiyonun ikinci derecen türevinin negatif veya pozitif olduğu tespit edilir. Şayet ikinci dereceden türev negatifse, birinci dereceden türevde bulunan x değeri, 7
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 8 fonksiyonunun maksimum noktasını göstermektedir. Veya ikinci türev pozitifse, birinci türev sonucunda bulunan x değeri, fonksiyonunun minimum noktasını göstermektedir. Birinci türevin çözümü olan x değeri, in minimum noktasını verir. Birinci türevin çözümü olan x değeri, in maksimum noktasını verir. 3. Adım İlk adımda elde edilen x değerine tekabül eden değeri bulunur ve fonksiyonun minimum veya maksimum noktası tespit edilmiş olur. 3.30. Aşağıdaki fonksiyonu ele alalım ve fonksiyonun minimum veya maksimum noktasını tespit etmeye çalışalım: 1. Adım 2. Adım Birinci türevin çözümü olan x değeri, in minimum noktasını verir. 3. Adım Fonksiyonun minimum noktasını veren değer elde edilmiş olur. 8
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 9 3.31. Başka bir örnek olarak aşağıdaki fonksiyonu ele alalım: 1. Adım 2. Adım Birinci türevin çözümü olan x değeri, in maksimum noktasını verir. 3. Adım Fonksiyonun maksimum noktasını veren değer elde edilmiş olur. 9
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 10 A.6. Üretici Teorisi Üretim Fonksiyonu: Teknoloji düzeyi veri iken kullanılan emek ve sermaye miktarları ile elde edilecek çıktı miktarları arasındaki ilişkiyi verir. Piyasa Dönemi: Üretimde kullanılan girdilerin miktarları ve bileşimlerinin değiştirilemediği dönemi ifade eder. Kısa Dönem: Üretimde kullanılan girdilerden sadece emeğin değiştirilebildiği, sermayenin ise değiştirilemediği dönemi ifade eder. eder. Uzun Dönem: Üretimde kullanılan her iki girdinin de değiştirilebildiği dönemi ifade A.6.1. Kısa Dönem ve Azalan Verimler Kanunu Firmaların üretim sürecinde sadece bir girdiyi yani emeği değiştirebildiği, diğer girdi olan sermayenin sabit kabul edildiği dönemi ifade eden kısa dönemde, üretim faktörlerinin diğerlerini sabit tutup sadece birini arttırdığında arttırılan faktörün verimi, belirli bir üretim düzeyinden sonra azalmaya başlayacaktır. Buna Azalan Verimler Kanunu denilmektedir. Ayrıca azalan verimler kanunu ile firma, optimal girdi bileşimine karar verebilmektedir. Kısa dönemde firmanın amacı, üretimine maksimize edecek olan emek miktarını tespit etmektir. Toplam Ürün (TP veya Q): Sermaye miktarı sabitken kullanılan emek miktarının arttırılması ile elde edilen çıktı miktarıdır. TP L Q f ( L, K) Ortalama Ürün (AP L ): Elde edilen çıktı miktarının kullanılan emek miktarına bölünmesi ile elde edilir. Diğer bir deyişle, çalışan kişi başına düşen çıktı miktarıdır. AP L TPL ( Q) L Marjinal Ürün (Emeğin Marjinal Fiziki Ürünü) (MP L ): Kullanılan emek miktarındaki bir birim değişim sonucunda toplam çıktıda meydana gelen değişimi ifade eder. Diğer bir deyişle, istihdam edilen son birim emeğin toplam üretime katkısıdır. MP L Q( L) L TP L 10
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 11 Örneğin elimizde bir çiftlik olsun ve bu çiftlikte 3 adet traktör bulunsun. Çiftçinin cevabını aradığı soru şu olacaktır: Acaba mevcut arsa büyüklüğü ve traktör sayısı ile ne kadar işçi istihdam edersem, elde ettiğim ürün miktarı en çok olacaktır? Sermaye (K) Emek (L) Toplam Ürün (Q) Ortalama Ürün (AP L ) 3 1 20 20 20 3 2 50 25 30 3 3 90 30 40 3 4 120 30 30 3 5 145 29 25 3 6 160 26 15 3 7 168 24 8 3 8 168 21 0 3 9 160 17-8 Marjinal Ürün (MP L ) Dikkat edilirse 4. İşçiye kadar toplam ürün artarak artmakta ve ortalama ürün ile marjinal ürün de artmaktadır. Bu bölgede (Üretimin 1. Bölgesi) Artan verimler kanunu geçerlidir. 4. İşçiden itibaren toplam ürün azalarak artmakta, ortalama ürün ile marjinal ürün azalmaktadır (negatif eğimlidir). Bu bölgede Azalan verimler kanunu geçerlidir. TP TP MP AP 0 I. BÖLGE II. BÖLGE III. BÖLGE Değişim Faktörü Emek MP L>APL MP L<AP / L MP L<0<APL APL 0 L Şekil A 24: Toplam Ürün (TP) Ortalama Ürün (AP) ve Marjinal Ürün (MP) Gösterimi 11 MPL
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 12 Şekil yardımı ile firmanın optimal emek girdi kullanım miktarı kararını ve çıktı miktar kararını belirlemeye çalışalım. 1. bölgede firma emek istihdamını durdurmaz. Zira emek miktarı arttıkça girdi artan miktarda artmaktadır (artan verimlilik). 3. bölgedeki emek istihdamı da firmayı ilgilendirmemektedir (negatif verimlilik). Bu bölgede ek bir emek istihdamı toplam çıktıda azalmaya neden olacaktır. Bu durumda firma, emek istihdam kararı için 2. bölgede hareket edecektir. 2. bölge içerisinde karar verirken firma, sabit faktör ve değişken faktörün görece maliyetlerine bakacaktır. Şayet değişken girdi daha pahalıysa 2. bölgenin başlangıç kısımlarına yakın yerde girdi istihdamına karar verecektir. Sabit girdi nispeten daha pahalıysa 2. bölgenin bitiş kısmına doğru istihdam kararını verecektir. A.6.2. Üretici Teorisinin Matematiksel İktisat Uygulamaları 3.32. Aşağıdaki gibi bir üretim fonksiyonu verilmiş olsun: a) Ortalama ürün ve marjinal ürün fonksiyonlarını bulunuz. b) Ortalama ürün ve marjinal ürünün maksimum olduğu emek düzeylerini ve bu düzeylerdeki fonksiyon değerleri ile üretim miktarını bulunuz. Öncelikle ortalama ürünün maksimum düzeyini tespit edelim. 1. Adım 2. Adım Birinci türevin çözümü olan x değeri, in maksimum noktasını verir. 12
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 13 3. Adım Türev alındığında bulunan emek miktarı yerine yazılarak ortalama ürünün maksimum olduğu emek düzeyi tespit edilmiş olur. Ortalama ürünü maksimize eden emek miktarı, üretim fonksiyonunda yazılarak ortalama ürünün maksimum olduğu düzeydeki toplam üretim tespit edilmiş olur. Şimdi de marjinal ürünün maksimum noktasını tespit edelim. 1. Adım 2. Adım Birinci türevin çözümü olan x değeri, in maksimum noktasını verir. 3. Adım Marjinal ürünün türev alınarak sıfıra eşitlenmesi ile elde edilen emek miktarı yerine yazılarak marjinal ürünün maksimum olduğu emek düzeyi tespit edilmiş olur. Marjinal ürünü maksimize eden emek miktarı, üretim fonksiyonunda yazılarak marjinal ürünün maksimum olduğu düzeydeki toplam üretim tespit edilmiş olur. 13
SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 14 c) Toplam ürünün maksimum olduğu düzeydeki emek miktarını ve toplam üretimi tespit ediniz. Toplam ürünün maksimum olduğu düzeyi tespit edebilmek için üretim fonksiyonunun birinci dereceden türevi alınmalıdır. Bu fonksiyon, aynı zamanda marjinal ürün fonksiyonuna eşittir. Toplam ürünü maksimize eden emek miktarı, üretim fonksiyonunda yazılarak toplam üretimin maksimum düzeyi tespit edilmiş olur. 14