TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ 4
Skaler: Fiziki büyüklükler SKALER BÜYÜKLÜK SEMBOLÜ BİRİMİ Kütle m Kilogram Hacim V m 3 Zaman t Saniye Sıcaklık T Kelvin Sadece sayısal değer ve birim verilerek ifade edilen büyüklüklerdir. 3 ekmek; 7 öğrenci; 80 kg; 2 litre süt; 4 metre kumaş v.b.gibi Skaler büyüklükler aritmetik işlem kurallarına uyar. ( Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ) 2
Vektörel: Fiziki büyüklükler Yönlü büyüklüklerdir. Fiziksel büyüklüğünün yanında yönünü de belirten ifadelere Vektörel büyüklükler denir. Hız; ivme; moment; yönlü kuvvet; manyetik alan v.b. gibi 80 Km/h; 9,81 m/s 2 VEKTÖREL BÜYÜKLÜK SEMBOLÜ YÖNÜ BİRİMİ Hız ν Kuzey Metre /saniye Kuvvet + - Newton Yer değiştirme Δx Düşeyyukarı Metre Vektörel büyüklüklerle yapılacak işlemler aritmetik kurallara uymaz. Bunların işlemlerinde geometrik kurallar geçerlidir. ( Üçgen, dörtgen ya da çokgenlerde kenar uzunluğu hesaplama ) 3
Vektörel Büyüklüklerin Gösterilmesi: Vektörler, yönlü büyüklük olduğundan oklarla gösterilir. Oksuz tanımlanan vektör sembolü vektörün yalnız sayı değerini gösterir. ( Bir sayı, değeri ne olursa olsun, tek bir noktaya karşılık gelir. ) Bu nedenle F = 10 YAZILAMAZ. A : Vektörün başlangıç noktasıdır. B : Vektörün bitiş noktasıdır. [ AB ] : Vektörün büyüklüğü, okun uzunluğu ile doğru orantılıdır. d : Vektörün doğrultusunu gösterir. 4
Vektörler Doğrultu ve yön faklı iki kavramdır. Bir vektörün yönü, doğrultusuna göre daha belirgin bir tanımlamadır. Vektörün tanımlanması için her ikisi de gereklidir. Doğrultuları farklı olan vektörlerin, yönleri de farklıdır. Doğrultuları aynı olan vektörlerin yönleri aynı olabileceği gibi ters de olabilir. Vektörlerin Özellikleri Eşit vektörler: Yön, doğrultu, büyüklük ve birimleri aynı olan vektörlere eşit vektörler denir. 5
Vektörler Vektörler eşit kalmak koşulu ile taşınabilir. Vektörün yönünü ve büyüklüğünü değiştirmeden istenilen noktaya taşınabilir. Zıt vektörler: Büyüklük ve doğrultuları aynı, yönleri ters olan vektörlere zıt vektörler denir. 6
Vektörler Vektörlerde Toplama Vektörel büyüklüklerin geometrik kurallara göre toplanıp çıkarılacağını belirtmiştik. Vektörlerin toplanmasında, problemine göre farklı metodlar kullanılabilir. Uç Uca Ekleme Metodu İle Toplama Toplanacak vektörlerin herhangi birinden başlanarak, bir sonraki bir öncekinin bitiş noktasına taşınır. İlk vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitiş noktasına doğru çizilen vektör, toplam vektördür. 7
Vektörler İkinci şekle biraz dikkatli bakılırsa, bir başlangıç noktası ile bir bitim noktasının açıkta kaldığı görülecektir. Bu iki nokta birleştirilir. Birleştirilen vektörün başlangıcı açıktaki başlangıç noktasına, bitim noktası da açıkta kalan bitim noktasına gelindiğinde bulunan bu vektöre BİLEŞKE VEKTÖR denir. Bileşke vektör bulunurken bileşenlerin taşınma sırası önemli değildir. Toplarken de bu sıra önemli değildir. Dikkat edilecek en önemli nokta vektörlerin yönünü ve büyüklüğünü taşırken değiştirmemek olacaktır. 8
Dik Bileşenler Metodu İle Toplama Bir vektörü meydana getiren birbirine dik iki vektöre, o vektörün dik bileşenleri denir. Bu bileşenler genelde yatay ( X, ) ve düşey ( Y, ) bileşen olarak da adlandırılır. Bileşenler, matematiksel olarak, bir vektörün bitiş noktasının başlangıç noktasına göre yatay ve düşey eksende tanımıdır. Bu eksenlerdeki '' + '' ya da '' - '' işaretleri vektörün yönünü tanımlar. Birden fazla vektörün toplama işlemi, dik bileşenlerinin yardımıyla da gerçekleştirilebilir. Yataydaki bileşenlerin toplamı yatay bileşke (R X ), düşeydekilerin toplamı da düşey bileşke (R Y ) dir. 9
Dik Bileşenler Metodu İle Toplama 10
Dik Bileşenler Metodu İle Toplama Bir vektörün, dik bileşenleri ile arasında açısal ilişkiler vardır. Bu ilişkiler önemlidir. Vektör ve bileşenleri dik üçgen oluştururlar. Bu üçgendeki kenar açı ilişkileri kullanılarak vektör ve bileşenleri arasındaki büyüklük bağıntıları trigonometri yardımıyla bulunabilir. Bir dik üçgende kenar açı bağıntıları aşağıdaki gibidir. Vektör ve bileşenleri arasındaki büyüklük ilişkisi X² + Y² = R² olarak da ifade edilir. 11
Vektörlerde Çıkarma İşlemi Vektörde çıkartma; çıkartılacak büyüklüğün tersini diğer büyüklükle toplama işlemidir. 12
Kuvvet: Vektörel bir büyüklüktür. Bu nedenle vektör işlemlerinin hepsi kuvvet için geçerlidir. Genelde F (Force) harfi ile gösterilir.yay (dinamometre) ile ölçülür. SI birim sisteminde birimi N (Newton) dur. Ancak üst katları kullanılabilir. Örneğin ; 1 kn= 1.10 3 = 1000 N' dur. Bir kuvvetin bileşenlere ayrılması: Kuvvetin her hangi bir eksendeki bileşeni kuvvetin başlangıç ve bitim noktalarından o eksene dik inilerek elde edilir. F kuvvetinin X ekseni üzerindeki izdüşümü; yani F kuvvetinin yatay bileşeni,f x = F.Cosα F kuvvetinin Y ekseni üzerindeki izdüşümü; yani F kuvvetinin düşey bileşeni, F y = F.Sinα F kuvvetinin büyüklüğü : 13
Bir kuvvetin bileşenlere ayrılması: F u = F.Cos 50 F v = F.Cos 80 14
İki kuvvetin bileşkesi: dır. buna göre R maximum değerdedir. Yani R= F 1 +F 2 R minumum değerdedir. Yani R= F 1 -F 2 Bu durumda 15
İki kuvvetin bileşkesi: Özel Durum; Özel açı ve eşit kuvvetler olması hali. Görülmektedir ki; açı büyüdükçe bileşke küçülmektedir. 16
İki kuvvetin bileşkesiyle ilgili örnekler: 2 N ve 5 N luk iki kuvvetin bileşkesi kaç N olabilir? 7 yani R {3,4,5,6,7} değerlerinde olabilir. 2 N, 5 N, 5N luk üç kuvvetin bileşkesi 0 olabilirmi? Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi, 2 ve 5 N luk iki kuvvetin bileşkesi 5 N olabildiğine göre, üçüncü 5 N luk kuvvet bu ikisinin bileşkesi olan 5 N'a ters yönlü alındığında üç kuvvetin bileşkesi 0 olabilir. 17
Bir noktada kesişen kuvvetlerin bileşenleri F 2x =- F 2 F 2y = 0 F 3x = 0 F 3y =- F 3 X ve y doğrultusundaki bileşenlerin cebrik toplamı ve Bileşke bileşkenin doğrultusu (yönü) ise; bileşkenin x ekseni ile yaptığı açı α olmak üzere: 18
Moment ve denge şartları: STATİK Maddesel noktanın dengesini ve denge şartlarını önceki konularda inceledik. Herhangi bir cisme etki eden kuvvetlerin x ve y yönündeki izdüşümlerinin cebrik toplamının sıfır olması cismin denge şartlarıydı. Burada cisme etki eden kuvvetlerin, cisme olan etkisinin, onu doğrusal olarak harekete zorladığı varsayımına dayanıyordu. Halbuki bir cisme etki eden kuvvetler, cisme döndürme etkisi de yapabilir. Bu durumda, bir kuvvetin bir cismi sabit bir nokta etrafında döndürme etkisi üzerinde durulmalıdır. Çünkü kuvvet etkisindeki bir cismin, kuvvetin etkisi doğrultusunda hareket eğiliminde bulunması yanında, kuvvet cismi, kuvvetin etki çizgisi (doğrultusu) ile kesişmeyen bir eksen etrafında döndürmekte ister. İşte bir kuvvetin bir cismi sabit bir nokta etrafında döndürme gayretinin ölçüsüne, o kuvvetin o noktaya göre momenti denir. 19
Moment ve denge şartları: STATİK Yandaki şekilde gösterilen ve bir cıvata başlığını döndürmeye çalışan anahtar üzerinde moment kavramını irdelemeye çalışalım. Anahtarın koluna P ve Q gibi eşit iki kuvvet etki etsinler. Bu iki kuvvetten anahtar koluna dik olarak etki eden kuvvetin, P kuvvetinin, şiddetçe Q kuvvetine eşit olmasına rağmen daha önemli olduğu söylenebilir. Bu durum bize bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin şiddetinin ölçüsünü anlamada yardımcı olacaktır ve göreceğiz ki kuvvetin momentinin şiddeti, kuvvetin moment merkezine olan dik uzaklığıyla doğru orantılıdır. 20
Moment ve denge şartları: STATİK Bir momentin şiddeti: Kuvvetin şiddeti ile, cismin dönme noktasının etki doğrusuna olan uzaklığının çarpımı olarak ifade edilir. Bu uzaklık kuvvet kolu olarak da adlandırılır. Kuvvet kolunun dik uzaklık olduğu unutulmamalıdır. Yani kuvvetin veya doğrultusunun, cismin o kuvvet tarafından döndürülmeye çalışılan noktasına olan dik uzaklığı, momentin şiddeti yazılırken dikkate alınmaktadır. Moment= Kuvvet x Kuvvet kolu M O = F x *l Momentin birimini de bu ifadeden çıkarırsak; birinci bölümde, kuvvet ve uzunluk birimlerinin SI birim sistemine göre, Kuvvet (N) ve uzunluk (m) olarak kullanıldığı ifade edilmişti. O halde momentin biriminin Nm (Newton-metre) olduğu görülmektedir. M O : O noktasına göre F kuvvetinin momenti, Nm (Newton-metre) F: Kuvvet (N) ( Newton ) l: Kuvvet kolu ya da kuvvetin moment alınan noktaya dik uzaklığı (m) 21
Moment ve denge şartları: Bu ifadeden, momentin şiddetinin sadece kuvvetin şiddetine bağlı orantılı olmayıp, kuvvet kolunun uzunluğuna da bağlı olduğu gözükmektedir. Yandaki şekilde gösterilen O noktasına moment merkezi adı verilmektedir. Q kuvvetinin momenti, Böyle durumlarda, düzleme daima aynı taraftan bakmak şartıyla sağ el kuralı uygulanarak Şekilde moment merkezi etrafında saat ibrelerinin tersi yönünde döndürme etkisi meydana getiren kuvvetlerin momenti pozitif (+), saat ibreleri yönünde döndürme etkisi meydana getiren kuvvetlerin momenti negatif (-) olarak işleme sokulur. nümerik olarak Q kuvvetini temsil eden vektörü taban, O moment merkezi tepe noktası olarak çizilecek olan ABO üçgeninin alanının iki katına eşittir. Bir noktada kesişen birden fazla kuvvetin rijit bir cisme etki ettikleri bir durumda, kuvvetlerin bir kısmı verilen moment merkezi etrafında bir yönde döndürme etkisi meydana getirmelerine karşın bir diğer kısmı aynı merkez etrafında ters yönde döndürme etkisi meydana getirmek isteyeceklerdir. 22
Bir kuvvet çiftinin momenti: Aynı şiddette olan ve tesir çizgileri (doğrultuları) paralel ve yönleri ters (zıt) olan kuvvetlere kuvvet çifti denir veya böyle kuvvetler bir kuvvet çifti oluştururlar. Bu iki kuvvetin her hangi bir doğrultudaki bileşenleri toplamı sıfırdır. Buna karşın, bu iki kuvvetin verilen bir noktaya göre momentleri toplamı sıfır değildir. Böyle iki kuvvet etki ettikleri rijit cisim üzerinde öteleme değil, döndürme etkisi meydana getirirler. Bu iki kuvvetin bulunduğu düzlemdeki, bir O noktasından geçen ve bu düzleme dik olan bir eksene göre, bu kuvvetlerin momentleri, kuvvet çifti olarak tanımlanır ve şiddeti; M = F(a+d)-F.a veya M= F.d şeklinde bulunur. 23
Üçüncü bir denge şartı olarak moment: Yukarıda da ifade edildiği gibi; bir kuvvetin, etki ettiği rijit cismi, sabit bir nokta etrafında döndürmeye çalışması statik problemlerin çözümünde, ilave bir denge şartı olarak göz önüne alınması gereken bir husustur. Çünkü kuvvetin döndürme etkisinin de sıfıra eşit olması şartı cismin dengesi için gereken bir unsur olmaktadır. Rijit cisme etki eden kuvvetlerin x ve y yönündeki izdüşümleri ile ilgili olarak yazmış olduğumuz denge şartlarına ilave olarak denge şartı da yazılmalı ve cisme döndürme etkisi yapan kuvvetlerin momenti yazılmalıdır. Artık bundan sonra değişik kuvvetlerin etkisindeki bir cisim veya sistemle ilgili olarak denge şartlarımız üçe çıkmış bulunmaktadır. Bu denge şartları: Bir Maddesel Noktanın Dengesi Bir maddesel noktanın dengede olması demek hiçbir hareket özelliği taşımaması demektir. Bunun için ana (temel) doğrultular olan X doğrultusu ve Y doğrultusunda hareket etmemesi gerektiği gibi, olduğu yerde dönmemesi de gerekmektedir. Kısacası aşağıdaki şartları taşımalıdır. Olmalıdır. ( x doğrultusunda hareket olmaması için) ( y doğrultusunda hareket olmaması için ) ( Dönme olmaması için) 24
Üçüncü bir denge şartı olarak moment: S.C.D. ve Denge Şartları Serbest Cisim Diyagramı (S.C.D.): Sistemin şematik resmi çizilerek her parçası (elemanı) üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin gösterildiği diyagramdır. Bir statik probleminin çözümü için mutlaka S.C.D. çizilmiş olmalıdır ve bilinmeyen sayısı kadar denge denklemini yazılarak çözüm yapılmalıdır. 25
Moment ve denge şartları örnekleri: Ağırlığı 2 kn olan homojen dikdörtgenler prizmasının devrilmememsi için F kuvveti en fazla kaç kn olmalıdır? Çözüm : Devrilmesi için dönme zemindeki köşe etrafında olacağından, bu köşeye göre toplam moment sıfır olursa dengede olur. Devrilme A noktası etrafında olacağından devrilmemesi için F.80=W.20 F.80=2.20, F=0,5 kn 26
Moment ve denge şartları örnekleri: Şekildeki AB çubuğunun ağırlığı W=100 N. F=50 N ise B mafsalındaki reaksiyon (tepki) kuvvetinin değeri kaç N dur? olduğundan 100.2 + 40.3 - B y.4 = 0 dır. B y.4 = 320 B y = 80 N dır. 27
ÖDEV Ağırlık ve Özgül ağırlık nedir açıklayınız? Kitabınızda sf.94 teki örnek 4.11 nolu problem çözümünü açıklamalı olarak yazınız? Kitabınızda sf.98-99 daki problemlerin çözümünü açıklamalı olarak yazınız? 28