Sürekli Rastsal Değişkenler

Sürekli Rastsal Değişkenler

Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım denir. Örnek: uzunluk, ağırlık, vb.

Uzunluk dağılımı için oluşturulan histogram a b c d a) 100 bayandan oluşan rastsal bir örneklem b) Örneklem büyüklüğü arttı, sınıf genişliği azaldı. c) Örneklem büyüklüğü daha da arttı, sınıf genişliği daha da azaldı. d) Popülasyonun normal dağılımı

Normal dağılımın özellikleri: 1. Simetrik ve çan eğrisi biçimindedir. 2. Tamamen ortalaması,, ve standart sapması,, ile tanımlanmaktadır. 3. Normal dağılım eğrisi altında kalan alan 1 e eşittir. 4. x-eksenine yatay asimtotiktir (x-eksenine yaklaşmakta fakat dokunmamaktadır).

Simetrik ve çan eğrisi şeklinde: Simetrik ve çan şeklinde. Normal dağılım eğrisidir. Simetrik, ama çan şeklinde değil. Normal dağılım eğrisi değildir. Normal dağılıma uygun olan veri setlerinde ortalama, medyan ve mod aynı değerdir.

Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanmaktadır. Bükülme noktası eğrinin yön değiştirdiği noktalardır. - ve + bükülme noktalarıdır. Standart sapma eğrinin şeklini belirlemektedir. Standart sapma ne kadar büyük olursa, normal dağılım eğrisinin kuyruk kısmında kalan alan daha büyük olmaktadır (eğri daha yassıdır).

Eğrinin altında kalan alan = 1: Belli bir rastsal değişkenin (x) aldığı herhangi bir değerin solunda kalan alan, rastsal olarak seçilen bir değerin x değerinden daha az olma olasılığına eşittir [P(X < x)].

x-eksenine yatay asimtotiktir: Doğru Yanlış

Kaç tane normal dağılım eğrisi vardır? ve için sonsuz ihtimal olduğu için sonsuz sayıda normal dağılım eğrisi bulunmaktadır.

Standart Normal Dağılım: Standart normal dağılım normal dağılımla aynı özellikleri taşımakla birlikte, standart sapması 1 ve ortalaması 0 dır. Standart Normal Dağılımın Özellikleri: 1. Standard normal normal dağılım eğrisi simetrik ve çan şeklindedir. 2. Tamamen ortalaması,, ve standart sapması,, ile tanımlanmaktadır, = 0 and = 1. 3. Eğrinin altındaki alan 1 e eşittir. 4. x-eksenine yatay asimtotiktir.

Standart Normal Dağılıma Dönüştürme: Standard Skor Formülü (z-değeri):

Normal dağılım eğrisini çiziniz: = 40 ve = 5 ise, ortalama değerini, bükülme noktalarını ve her bir x değerinin nerede olacağını belirtiniz. Çözüm: x 1 = 33 ve x 2 = 51 35 33 40 45 51

Standart Normal Dağılıma Dönüştürünüz: = 40 ve = 5, ise her bir x değeri için standart skoru hesaplayınız ve standart normal dağılım eğrisindeki yerini belirtiniz. Çözüm: x 1 = 33 and x 2 = 51-1 -1.4 0 1 2.2

Standart Normal Dağılıma Dönüştürünüz: = 48 ve = 5, ise x = 45 değerini standart normal dağılım eğrisi üzerinde gösteriniz. Çözüm: 43 45 48 53-1 0 1-0.6

Örnek Her bir soru için normal dağılım eğrisi çiziniz. Ortalama, bükülme noktaları ve verilen x değerlerinin nerede olması gerektiğini gösteriniz. Standart normal dağılım eğrisini çiziniz. Verilen x değeri için standart skoru hesaplayınız. z-değerini gösteriniz. μ=65, σ=20, x=40 μ=5, σ=0.25, x=4.8 μ=15, σ=2, x=19 μ=0.023, σ=0.001, x=0.02 μ=12000, σ=2000, x=10750

Normal Dağılım Tablosunun Okunması Normal Dağılımın Olasılığı: Belirli bir aralıkta değerler alan rastsal bir değişkenin olasılığı, ilgili bölgedeki eğrinin altında kalan alana eşittir. P(X > 80) = P(X 80)

Standart Normal Dağılım Tablosu: Standart Normal Dağılım Tablosu ( z) z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995

z-değerinin sol tarafındaki alan:

z-değerinin sol tarafındaki alanı bulunuz: a. z = 1.69 b. z = -2.03 c. z = 0 d. z = 4.2 e. z = - 4.2

z-değerinin sağ tarafındaki alan: z-değerinin sağ tarafındaki alan= 1 z-değerinin sol tarafındaki alan

z-değerinin sağ tarafındaki alanı bulunuz: a. z = 3.02 b. z = -1.70 c. z = 0 d. z = 5.1 e. z = - 5.1

z 1 ve z 2 arasındaki alan:

z 1 ve z 2 arasındaki alanı bulunuz: a. z 1 = 1.16, z 2 = 2.31 b. z 1 = -2.76, z 2 = 0.31 c. z 1 = -3.01, z 2 = -1.33

Kuyruklardaki alan:

Kuyruklardaki alanı bulunuz: a. z 1 = 1.25, z 2 = 2.31 b. z 1 = -2.50, z 2 = 3.00 c. z 1 = -1.23, z 2 = 1.23

Örnek Verilen z değerleri arasındaki alanı bulunuz. 1) z = 0.35 and z = 1.85 2) z = -1.25 and z = 2.16 z 1 in solundaki ve z 2 nin sağındaki alanı bulunuz. 1) z 1 = -2.31, z 2 = 1.67 2) z 1 = 1.31, z 2 = 1.93 Verilen olasılıkları bulunuz. 1) P(z < -3.14) 2) P(-1.86 < z < 3.14) 3) P(z < -1.26 or z > 1.26)

Normal Dağılım Kullanılarak Olasılıkların Bulunması Standart olmayan normal dağılım eğrisinin altındaki alanı bulurken; x değerleri standart skorlara dönüştürülür ve standart normal dağılım kullanılır.

Olasılığı hesaplayınız: ABD de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde kaçının IQ skorları 92 den daha azdır? Çözüm: = 100, = 15, x = 92 P(z < -0.53) = 0.2981 = 29.81%

Olasılığı hesaplayınız: ABD de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde kaçının IQ skorları 130 dan daha fazladır? Çözüm: = 100, = 15, x = 130 P(z > 2.00) = 0.0228 = 2.28%

Olasılığı hesaplayınız: ABD de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde kaçının IQ skorları 90 ve 110 arasındadır? Çözüm: = 100, = 15, x 1 = 90 ve x 2 = 110 P(-0.67 < z < 0.67) = 0.4972 = 49.72%

Olasılığı hesaplayınız: ABD de yaşayanların IQ skorlarının ortalaması 100, standart sapması ise 15 olduğu bilinmektedir. Popülasyonun yüzde kaçının IQ skorları 80 den daha az veya 120 den daha fazladır? Çözüm: = 100, = 15, x 1 = 80 ve x 2 = 120 P(z < -1.33 veya z > 1.33) = 0.1835 = 18.35%

Örnek Buffalo Ticaret Odası ndan alınan verilere göre, çalışanların haftalık maaşlarının normal dağılım özelliği gösterdiği, ortalamanın 700$ ve standart sapmanın 50$ olduğu tespit edilmiştir. Buffalo dan rastsal olarak seçilen bir çalışanın; a) 600$ ın altında haftalık maaş alma olasılığı nedir? b) 810$ ın üzerinde haftalık maaş alma olasılığı nedir? c) 620$ ve 770$ arasında haftalık maaş alma olasılığı nedir? d) 620 den daha az veya 780$ den daha fazla haftalık maaş alma olasılığı nedir?

t-dağılımı ve t-değerleri t-dağılımı: Şekli normal dağılım eğrisine benzemekle birlikte, kuyruklarda daha fazla alanı bulunan ve serbestlik derecesi ile tanımlanan dağılımdır.

t-dağılımının özellikleri: 1. t-dağılım eğrisi simetrik ve çan şeklindedir ve merkezi 0 civarında bulunmaktadır. 2. Tamamen serbestlik derecesi, yada s.d. (bir parametrenin tahmin edilmesinde kullanılan bağımsız bilgi sayısı) ile tanımlanmaktadır 3. t-dağılım eğrisinin altında kalan alan 1 e eşittir. 4. x-eksenine yatay asimtotiktir.

Normal dağılım ve t-dağılımının karşılaştırılması:

t-dağılımı tablosu: t-dağılımı tablosu s.d. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

t-dağılımı tablosu: 1. Üst satırdaki sayılar, t-değerinin sağındaki alanı ( ) ifade etmektedir. 2. Sol sütundaki sayılar serbestlik derecesini ifade etmektedir (s.d. = n 1). 3. İlgili sütun ve satırın kesiştiği hücredeki değer t- değeridir.

t 0.025 ve s.d.= 25 ise t-değerini bulunuz. Student t-dağılımı t-distribution tablosu Table d.f. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 t 0.025 = 2.060

Kaç serbestlik derecesi t 0.010 = 4.604 sonucunu vermektedir? Student t-dağılımı t-distribution tablosu Table d.f. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 d.f. = 4

s.d.=17 ve sağındaki alan 0.1 e eşit olan t-değerini bulunuz. Student t-dağılımı t-distribution tablosu Table d.f. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 t 0.100 = 1.333