Nedensel Modeller Y X X X

Tahmin Yöntemleri

Nedensel Modeller X 1, X 2,...,X n şeklinde tanımlanan n değişkenin Y ile ilgili olmakta; Y=f(X 1, X 2,...,X n ) şeklinde bir Y fonksiyonu tanımlanmaktadır. Fonksiyon genellikle aşağıdaki şekilde verilir (Ekonometrik modeller için): Y X X X 0 1 1 2 2... n n Burada 1,..., n katsayılardır. Bu katsayıların belirlenmesinde en yaygın olarak kullanılan yöntem en küçük kareler yöntemidir. 1

Örnek 1 YIL x i y i YIL x i y i 1 9.098 5.492 12 11.307 5.907 2 9.138 5.540 13 11.432 6.124 3 9.094 5.305 14 11.449 6.186 4 9.282 5.507 15 11.697 6.224 5 9.229 5.418 16 11.871 6.496 6 9.347 5.320 17 12.018 6.718 7 9.525 5.538 18 12.523 6.921 8 9.756 5.692 19 12.053 6.471 9 10.282 5.871 20 12.088 6.394 10 10.662 6.157 21 12.215 6.555 11 11.019 6.342 22 12.494 6.755 x i ile hane başına gelir y i ile de satışlar gösterilmiştir. 2

Örnek 1 Amaç y i =+x i doğrusunun tespit edilmesidir. Bunun için ve nın tahminleri olan a ve b en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilmeye çalışılır. b 1 n 1 n x x y i 2 i a y bx i nxy n x 2 y a bx y 1922,39 0,3815x x y (tahmin) 15 1928,113 20 1930,020 25 1931,928 3

Doğrusal Regresyon Regresyon kullanılarak yapılan tahminin iyi bir tahmin olması için nedensellik ilişkisi kurulan bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında regresyonun açıklama gücünün yüksek olması gerekir. Bunun tespiti için aşağıdaki tanımlamalar yapılır: BKT RKT HKT n i1 n i1 n i1 e y i yˆ i 2 i y y 2 2 Bütün Kareler Toplamı Regresyon Kareleri Toplamı Hata Kareleri Toplamı BKT RKT HKT R 2 RKT BKT 2 0 R 1 HKT =1- BKT 4

Örnek 1 Örneğimizde R 2 değeri; 2 HKT 436283 R 1 1 0,919 0,92 BKT 5397561 BKT 436.283 RKT 4.961.977 HKT 5.397.561 Bu değerin anlamı; y i lerin %92 si, x i ler ile açıklanabilmektedir. Bu açıklama hayli başarılıdır. 5

Zaman Serileri Zaman serisi, ilgilenilen bir büyüklüğün (ekonomik veya fiziksel) zaman içinde sıralanmış ölçümlerinin (geçmişteki) bir kümesi olarak tanımlanır. Çoğunlukla kullanılan zaman serisi biçimleri: Trend (eğilim) Dönemsellik Döngüler Rasgelelik 6

Talep Talep Talep Talep Zaman Serileri Rasgelelik Artan doğrusal trend Zaman Zaman Eğrisel Kareli, üstel Dönemsel, doğrusal Zaman Zaman 7

Notasyonları Dönemler : 1,2,,t, Talepler : D 1,D 2,,D t, t. dönemde tahmin çalışması yapılıyor ise D t ve D t-1, dönemleri gözlenmiş, D t+1 dönemi ise henüz gözlenmemiştir. Bir tahmin iki dönemin tanımlanmasını gerektirir: Tahminin yapıldığı dönem ve Tahmin edilen dönem. 8

Buna göre; Notasyonları F t,t+ : t.dönemde tahmin çalışmasının yapıldığı, (t+).dönemin ise tahmin edildiğini gösterir. değeri 1,2,3, gibi değerler alır ve tahmin ufku olarak adlandırılır. Genellikle bir dönem sonraki dönem tahmin edilmeye çalışılacağından; F t =F t-1,t 9

Notasyonları Zaman serisi yöntemleri gelecek değerlerin tahmin edilmesinde geçmiş verileri kullandığından birçok yöntem için aşağıdaki eşitlik yazılabilir: F a D a, a,... ağırlık setleriiçin. t, t n tn 0 1 n0 10

Tahminin Duyarlılığı Öncelikle t.dönemdeki tahmin hatası e t nin nasıl hesaplandığını görelim: Çoklu adım sonrası için; e t =F t-,t -D t Tek adım sonrası için aynı formül; e t =F t -D t şekline dönüşür. e 1, e 2,..., e n ile n dönem için her bir dönemde yapılan tahmin hatası gösterilsin. 11

Tahminin Duyarlılığı Tahminin etkinliğinin gösterilmesinde iki önemli gösterge bulunur. Bunlar; MAD : Ortalama Mutlak Sapma (Mean Absolute Deviation) MSE : Ortalama Hatanın Karesi (Mean Squared Error) n 1 1 MAD e MSE n i i1 n i1 n e 2 i 12

Tahminin Duyarlılığı MAD yöntemi, kare almaya gerek olmadığı için genellikle tercih edilen bir yöntemdir. Ayrıca genellikle kabul gördüğü gibi tahmin hatalarının normal dağıldığı kabulünden hareketle tahmin hatasının standart sapması e MAD ın yaklaşık 1,25 katıdır. MAD ve MSE haricinde yaygın olarak kullanılan bir diğer tahmin etkinlik ölçüsü de MAPE yani Ortalama Mutlak Hata Yüzdesi dir. (Mean Absolute Percentage Error). n 1 e i MAPE *100 n i1 Di 13

Örnek 2 DDR ram üreten bir firmanın iki üretim merkezi vardır. Üretim merkezleri yöneticilerinden 6 hafta boyunca tek adımlık tahminler yapması istenmiştir. Elde edilen sonuçlar aşağıda sunulmuştur. Hangi yönetici daha etkili bir tahminde bulunmuştur? Hafta P1 O1 P2 O2 1 92 88 96 91 2 87 88 89 89 3 95 97 92 90 4 90 83 93 90 5 85 91 90 86 6 93 93 85 89 14

Örnek 2 MAD, MSE ve MAPE için hesaplanan sonuçlar aşağıda verilmiştir. Yön1 Yön2 MAD 2,8333 3,0000 MSE 13,1667 11,6667 MAPE 0,0325 0,0336 Neden MSE farklı? 15

Tahminin Duyarlılığı Tahminlerin taraflı (biased) olmaması istenir. Matematiksel olarak E(e i )=0 şeklinde gösterilir. Bu durum yapılan tahmin hatalarının sıfırın altında ve üstünde dalgalanmasını gerektirir. 10 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8-10 Rasgele Taraflı 16

Problem 1 Aşağıda bilgisayarlar için Blu-Ray sürücü üreten bir firmanın geçmiş 12 haftalık satışları verilmiştir. Hafta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Satış 86 75 72 83 132 65 110 90 67 92 98 73 Buna göre; Tek adım sonrası için 3. haftadan 12.haftaya kadar tahminleri yapınız. (Tahminler en son iki dönemin ortalaması şeklinde yapılacaktır.) Tahmin hatalarını hesaplayınız. MAD, MSE ve MAPE nin değerini hesaplayınız. 17

Problem 2 Aşağıda iki farklı tahmin yöntemi ile elde edilen tahmin sonuçları ile gerçekleşen veriler verilmiştir. Buna göre hangi yöntemin daha etkili olduğunu MAD, MSE ve MAPE kullanarak bulunuz. Sonuçları yorumlayınız. Yöntem1 Tahmini Yöntem2 Tahmini Gerçek Sonuç 223 210 256 289 320 340 430 390 375 134 112 110 190 150 225 550 490 525 18

Sabit Seri Tahmin Yöntemleri Bu kapsamda iki önemli teknik bulunur: Hareketli Ortalamalar Üstel Düzeltme Bir sabit zaman serisi, her bir gözlemi temsilen bir sabit ve bir rasgele dalgalanmanın toplamından oluşur: D t t : Seri ortalamasına karşılık gelen bilinmeyen sabit t : Ortalaması 0, varyansı 2 olan rasgele hata 19

Hareketli Ortalamalar Basit ama bir o kadar da popülerdir. N sıralı bir hareketli ortalama, basitçe en son N gözlemin aritmetik ortalaması olarak tanımlanabilir. F t, dönem (t-1) de dönem t için hesaplanan tahmin değeri ise; t1 1 1 t i t1 t2... tn N i t N N F D D D D Kısaca MA(N) şeklinde gösterilir. 20

Örnek 3 Bir hava üssünde son 2 yıl için kayıt altına alınmış 3 er aylık (dönemlik) motor arızaları; 200, 250, 175, 186, 225, 285, 305, 190 şeklindedir. 3 dönemlik ve 6 dönemlik hareketli ortalamalar kullanılarak sonraki döneme ait tahminlerin hesaplanması istenmektedir. 4.dönemden 8.döneme kadar tek adım sonrası tahminleri MA(3) ile, 7. ve 8. döneme ait tek adım sonrası tahminleri ise MA(6) ile hesaplayınız. 21

Örnek 3 200,250,175,186,225,285,305,190 MA(3) F 4 =(1/3)(200+250+175)=208 F 5 =(1/3)(250+175+186)=204 F 6 =(1/3)(175+186+225)=195 F 7 =(1/3)(186+225+285)=232 F 8 =(1/3)(225+285+305)=272 MA(6) F 7 =(1/6)(200+250+175+186+225+285)=220 F 8 =(1/6)(250+175+186+225+285+305)=238 22

Tartışma sorusu: Örnek 3 Hareketli ortalama yöntemi ile çoklu adım sonrası tahmin üretilebilir mi? Örnek-2 de 3.dönemde 6.dönem arızalarını tahmin edin. 23

Hareketli Ortalamalar Hareketli ortalamaların bir diğer dezavantajı da, her bir yeni gözlem değeri elde edildikçe en son N gözlemin ortalamasının yeniden hesaplanma zorunluluğudur. Özellikle N değerinin çok büyük sayılara ulaşması durumunda bu durum çok sıkıcı olabilir. Hesaplamayı biraz kolaylaştırmak için; 1 F F D D N t1 t t tn İlk terimi çıkarıp, yeni terimi ilave et. 24

Hareketli Ortalamalar Belirli bir dönem boyunca taleplerin 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 gibi kesin bir trend oluşturduğu bir durumu göz önüne alalım. Böyle bir durumda tek adım sonrası için MA(3) ve MA(6) tahminlerini hesaplayalım. 25

Hareketli Ortalamalar Dönem Talep MA(3) MA(6) 1 2 - - 2 4 - - 3 6 - - 4 8 4-5 10 6-6 12 8-7 14 10 7 8 16 12 9 9 18 14 11 10 20 16 13 11 22 18 15 12 24 20 17 26

Hareketli Ortalamalar 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Talep MA(3) MA(6) Seride bir trend özelliği keşfedilirse, basit hareketli ortalama yöntemi ortaya çıkan tahmin gecikmesinden dolayı uygun bir yöntem olmaz. 27

Ağırlıklı Hareketli Ortalamalar Ağırlıklı ortalamalar yöntemi, hareketli ortalamalar yöntemine çok benzer. Temel fark, ağırlıklı ortalamalar yönteminde en güncel verilere daha fazla ağırlık verir. Örneğin; En gücel veri %40, daha önceki en güncel veri %30, daha önceki en güncel veri %20 ve daha önceki en güncel veri %10 ağırlık alır. Dikkat edilecek olursa ağırlıklar toplamı %100 olur. 28

Örnek 4 Yanda verilen veriler ışığında en güncel veriye %50 ve geçmişe doğru %30 ve %20 ağırlık vererek ağırlıklı ortalamayı hesaplayınız. Dönem Talep 1 42 2 40 3 43 4 40 5 41 29

Örnek 4 Dönem Talep MA(3) Ağırlıklı MA(3) 1 42-2 40-3 43-4 40 (43+40+42)/3=41,6 0,50*43+0,30*40+0,20*42=41,9 5 41 (40+43+40)/3=41,0 0,50*40+0,30*43+0,20*40=40,9 6 (41+40+43)/3=41,3 0,50*41+0,30*40+0,20*43=41,1 Son gerçekleşen talebe verilen ağırlık fazla olduğundan tahmin bu veriye çok bağımlıdır. Bu sebeple ağırlıkların çok dikkatli seçilmesi gereklidir. 30

Problem 3 Bir yedek parça deposundan 2009 yılında aylar bazında talep üzerine gönderilen parça miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir: Ay Talep (adet) Ay Talep (adet) Ocak 89 Temmuz 223 Şubat 57 Ağustos 286 Mart 144 Eylül 212 Nisan 221 Ekim 275 Mayıs 177 Kasım 188 Haziran 280 Aralık 312 31

Problem 3 1. Tek adım sonrası için MA(3), MA(6) ve MA(12) ile Ocak 2010 ayının gönderi miktarını tahmin ediniz. 2. MA(4) ile tek adım sonrası tahminleri Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar hesaplayınız. 3. MA(4) ile Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar iki adım sonrası tahminleri hesaplayınız. (F t,t+ = F t+1 bütün 1 için.) 4. 2. ve 3. sorularda hesaplanan tahminle için MAD değerlerini hesaplayınız. Hangisinin daha iyi tahminler olduğunu belirleyiniz. (Tahmin teorisine göre hangisinin daha iyi sonuç vermesi gerekirdi?) 5. Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar MA(3) ve MA(6) tahminlerini hesaplayınız. (N değerinin 3 ten 6 ya çıkarılmasının nasıl bir etkisi oldu?) 6. MA(1) ne anlama gelir? Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar olan verileri kullanarak MA(1) ve MA(4) tahminlerinin etkinliklerini hesaplayınız. 32

Üstel Düzeltme Diğer çok kullanılan bir yöntem de üstel düzeltmedir. Tahmin genel olarak aşağıdaki gibi formüle edilir: F D 1 F t t1 t1, talebin gözlenen değerinin bağıl (relative) ağırlığıdır. (1-) ise geçmiş gözlenen talep değerlerinin bir ağırlığı olarak düşünülebilir. 33

Üstel Düzeltme Formül küçük bir düzenleme ile aşağıdaki şekilde yazılabilir: F D 1 F t t1 t1 F F D t1 t1 t1 F e 0 1 t1 t1 düzeltme sabiti (t-1). dönemde kestirim sonucu yüksek ise e t-1 pozitif olacağından yeni tahmin değeri düşer. (t-1). dönemde kestirim sonucu düşük ise e t-1 negatif olacağından yeni tahmin değeri yükselir. 34

Örnek 5 Örnek-3 de verilen geçmiş 2 yıllık uçak motoru arıza sayılarını ele alalım: 200,250,175,186,225,285,305,190 Daha önce hareketli ortalama ile hesaplanan tahminleri bu sefer üstel düzeltme ile kestirmeye çalışalım. Bunun için =0,1 alalım. Ayrıca 2.dönem tahminini hesaplamak için 1.dönem tahminine ihtiyaç duyulduğundan, 1.dönem tahminini bu dönemin gerçek değeri olan 200 olarak kabul edelim. Hesaplama kolaylığı sağlayan bu kabul, aslında önemli bir etkiye sahiptir. Bu etkiyi göz önüne alarak aslında birkaç dönemin gerçekleşen verilerinin aritmetik ortalamasının alınarak bu ortalamanın başlangıç tahmini olarak kullanılması daha uygun bir hareket tarzı olarak literatürde yerini almıştır. 35

Örnek 5 Dönem Motor Arıza Sayısı Tahmin =0,1 Hesaplama F t =F t-1 -*(F t-1 -D t-1 ) 1 200 200 F 1 değeri D 1 değerine eşit seçilir. 2 250 200 F 2 =200-0,1*(200-200) 3 175 205 F 3 =200-0,1*(200-250) 4 186 202 F 4 =205-0,1*(205-175) 5 225 200 F 5 =202-0,1*(202-186) 6 285 203 F 6 =200-0,1*(200-225) 7 305 211 F 7 =203-0,1*(203-285) 8 190 220 F 8 =211-0,1*(211-305) düzeltme sabitinin etkisine dikkat ediniz. Gerçek değerler yüksek farklılıklar barındırsa da, tahmin değerleri daha stabildir. düzeltme sabitinin 0,4 olması durumunda tahminler nasıl olur? 36

Örnek 5 Dönem Motor Arıza Sayısı Tahmin =0,1 Tahmin =0,4 1 200 200 200 2 250 200 200 3 175 205 220 4 186 202 202 5 225 200 196 6 285 203 207 7 305 211 238 8 190 220 265 düzeltme sabitinin 0,4 olması durumunda tahminler nasıl olur? Bu durumda tahmin farklılıkları artar. 37

Örnek 5 350 300 250 200 Arıza alfa=0,1 alfa=0,4 150 1 2 3 4 5 6 7 8 =0,1 ve =0,4 tahmin üzerinde farklı etkilere sahiptir. 0,1 değeri daha düzgün bir tahmin profili verirken, 0,4 değeri daha büyük tahmin farklılıklarına neden olur. Planlama amaçlarına uygun olarak küçük değerleri daha caziptir. 38

Örnek 5 Şimdi ise aynı arıza sayıları kullanılarak MA(3) ve ES(0,1) tahmin yöntemlerinin performanslarını inceleyelim. MA(3) 4.dönemden başladığından karşılaştırma 4.dönemden itibaren başlayacaktır. Dönem Arıza MA(3) Hata ES(0,1) Hata 4 186 208 22 202 16 5 225 204 21 201 24 6 285 195 90 203 82 7 305 232 73 211 94 8 190 272 82 220 30 39

Örnek 5 n 1 1 MAD e MSE n i i1 n i1 n e 2 i Ölçüt Sonuç MA(3) ES(0,1) MAD 57,6 49,2 MSE 4215,6 3458,4 MAPE 24,0 18,9 Görüldüğü gibi ES(0,1) yöntemi çok daha iyi sonuçlar vermiştir. Ancak bu durum her zaman bu şekilde gerçekleşmeyebilir. 40

Tahmin Duyarlılığı Karşılaştırma Örneğimizde karşılaştırılan yöntemlerde kullanılan N=3 ve =0,1 parametreleri birbirleri ile karşılaştırılmak için tutarlı mıdır? 300 270 240 210 Görüldüğü gibi, MA(3) daha büyük farklılıklar oluşturur. Bu sebeple bir tutarlılıktan bahsetmek doğru olmayacaktır. 180 4 5 6 7 8 MA(3) ES(0,1) 41

Tahmin Duyarlılığı Karşılaştırma ve N için tutarlı değerlerin tespit edilmesi için kullanılan iki farklı yol vardır: Ortalama Yaş Hesabı Hareketli Ortalama için; Ort.Yaş=(1/N)(1+2+3+ +N)=(N+1)/2 Üstel Düzeltme için; Ort.Yaş i1 i 1 i1 1 N 1 1 2 veya N 2 2 N 1 =0,1 için N=19 N=3 için =0,5 olmalıdır. 42

Üstel Düzeltme ve Hareketli Ortalamaların Karşılaştırılması Benzerlikler 1. Her iki yöntem de talep sürecinin sabit olduğunu kabul eder. D t =+ t 2. Her iki yöntemde de tek bir parametre bulunur. N ve Küçük N veya büyük son veriye daha fazla ağırlık verirken büyük N veya küçük geçmiş veriye daha fazla ağırlık verir. 3. Her ikisi de, gözlenen veride bir trend özelliği bulunuyorsa gecikmeye sebep olur. 4. =2/(N+1) olduğunda her iki yöntemin tahmin hataları aynı dağılıma sahiptir. Bu durum her iki yöntemin de aynı tahminleri üreteceği anlamına gelmez. 43

Üstel Düzeltme ve Hareketli Ortalamaların Karşılaştırılması Farklılıklar 1. Üstel düzeltme ile hesaplanan kestirimler geçmiş bütün verilerin ağırlıklı bir ortalaması iken hareketli ortalamalar sadece son N dönemin ağırlıklı ortalamasıdır. Bu durum, hareketli ortalamalar açısından bir üstünlük sağlar. Neden? 2. Hareketli ortalama yönteminin kullanılması için sistemde N geçmiş verinin saklanması gerekir. Üstel düzeltme için sadece en son tahminin saklanması yeterlidir. Bu durum, üstel düzeltme açısından önemli bir avantaj sağlar. Neden? 44

Problem 4 Güneş enerjisi ile çalışan hesap makineleri üreten bir firma geçmiş dört aylık satış rakamlarını aşağıdaki gibi açıklamıştır. Ay Satışlar Ay Satışlar Ocak 23,3 Mart 30,3 Şubat 72,3 Nisan 15,5 a. Eğer Ocak için yapılan tahmin 25 ise, tek adım sonrası için Şubat Mayıs arası için üstel düzeltme yöntemi ile tahminleri hesaplayınız (=0,15 ve =0,40). b. =0,15 ve =0,40 ile yapılan tahminler için MSE değerini hesaplayınız. Hangi seçeneğin daha etkili bir tahminde bulunulduğunu belirtiniz. 45

Trend Analizi Temelli Yöntemler Eğer gözlenen verilerde bir trend varsa hareketli ortalama ve üstel düzeltme yöntemlerinin bir gecikmeye sebep olduğu belirtilmişti. Bu sebeple bu tür bir durumda kullanılmak üzere iki farklı yöntemden bahsedilecektir. Regression Analizi İkili Düzeltme (Holt) Yöntemi 46

Regression Analizi (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x n,y n ) X ve Y değişkenlerine ait veri noktalarını temsil etsin. x i X in y i de Y nin geçmişte gözlenen verilerdir. Y bağımlı, X ise bağımsız değişkendir. Yöntemde, X ve Y arasında doğrusal bir ilişki olduğu varsayılır. Ŷ a bx Yˆ Y nin tahmin değeridir. 47

Regression Analizi Yöntemin amacı tahmin hatasının karelerinin toplamını en küçükleyen a ve b değerlerinin hesaplanmasıdır. Tahmin hatası ile trend doğrusu arasındaki hatalar aşağıdaki grafikte gösterilmiştir. 48

Regression Analizi Regression analizi uygulandığında, bağımsız değişken genellikle zaman olarak alınır. Bağımlı değişken ise tahminin kendisidir. Dönemler : 1,2,,n Talepler : D 1,D 2,,D n a ve b nin en iyi (optimal) değeleri (yöntem-1) b S S xy xx a D b n 1 2 n n nn ( 1) S n id D S xy i i i1 2 i1 xx n ( n 1)(2n 1) n ( n 1) 6 4 2 2 2 49

Regression Analizi a ve b nin en iyi (optimal) değeleri ayrıca aşağıdaki şekilde de hesaplanabilir (yöntem-2). 2 2 n n xy x y y b x b a y bx n x x Tahmin için aşağıdaki eşitlik kullanılır: Dˆ a b* t t 50

Uçak arızaları: Örnek 6 n n nn ( 1) S n id D xy i i i1 2 i1 2 2 2 200,250,175,186,225,285,305,190 İlk beş periyodu regression analizi için kullanacağız S xy = 5*(1*200+2*250+3*175+4*186+5*225) -15*(200+250+175+186+225) = -70 S xx = ((25*6*11)/6)-(25*36)/4 = 50 S xx n ( n 1)(2n 1) n ( n 1) 6 4 Sxy 70 7 b S 50 5 xx n 1 7 a D b 207, 2 *3 211, 4 2 5 ˆ 7 Dt 211, 4 * t 5 51

Örnek 6 Regression analizi sonucu elde edilen trend denklemi, 5 ve daha ilerisi periyotlardaki arızaların tahmin edilmesi için kullanılır. Örneğin 8.dönem tahminini aşağıdaki şekilde tespit edebiliriz; 7 Dˆ 8 211, 4 *8 5 200,2 Ancak 7.dönemde, 8.dönem tahmini istenirse bu durumda daha önce yapılan hesaplamaların 7 dönem için tekrarlanması gerekir. 52

Problem 5 Bir otopark işletmesi, Ocak 2010 dan başlamak üzere altı aylık devamlı müşteri sayılarını kayıt altına almıştır. Ay Satışlar Ay Satışlar Ocak 133 Nisan 640 Şubat 183 Mayıs 1876 Mart 285 Haziran 2550 a. Regression eşitlikleri yardımıyla a ve b değerlerini bulunuz. b. Temmuz 2010 için hesaplanan tahmin ne kadardır? c. Elde ettiğiniz sonucu grafik üzerinde tartışınız. 53