İTATİTİKEL KALİTE KOTROLDE KULLAILA TEMEL İTATİTİKEL ÖLÇÜLER (MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILIM ÖLÇÜLERİ) Kalite Mühendisliği kapsamında İstatistik Proses Kontrolde (İPK) kullanılan temel istatistik ölçüler ve bunların hesaplanma tarzları bu bölümde ele alınmıştır. Bir prosesi ele alırken anakütledeki (prosesteki) elemanlara ait ölçüm değerleri kümesi ve bu kümeden seçilen örnek değerleri kullanılarak temel bazı istatistik ölçülere ulaşılır. Bu sebeple anakütle ve örnek kavramlarının öncelikle tanımlanması gerekir. Anakütle: Belli bir konu hakkında ölçülmüş veya ölçülebilen elemanlardan meydana gelen evrensel kümeye denir. Anakütleye ait özelliklere (ortalama, oran, standart sapma vs.) parametre adı verilir. Örnek: ınırlı sayıda elemandan meydana gelen ve anakütlenin parametreleri hakkında bilgi edinmek amacıyla anakütleden çekilen herhangi bir alt kümeye örnek veya örneklem adı verilir. Örneğin her şeyden önce anakütlenin özelliklerini yansıtması gerekir. Bunun için örnek seçiminin yeterli ve uygun şekilde yapılması şarttır. Örneğe ait karakteristiklere (ortalama, oran, standart sapma vs.) örnek istatistiği adı verilir ve anakütle parametrelerinin tahmincileri olarak iade edilirler. Anakütledeki birim sayısı () ve örnekteki birim sayısı ise (n) hari ile gösterilmektedir. İstatistik problemlerin çözümünde kullanılacak veriler, istatistik serilere ve graiklere dönüştürülmek suretiyle incelenmektedir. Kalite Mühendisliği çalışmalarında kullanılan başlıca istatistik seriler veya veri setleri üç grupta toplanmaktadır. a) Basit seri veya veri seti: Verideki değerlerin küçükten büyüğe sıralanması ile elde edilen serilerdir.
b) Tasni edilmiş (sınılandırılmış) seri veya veri seti: Tekrarlayan elemanların bir araya getirilip rekans (tekrar sayısı) şeklinde gösterildiği seridir. Böylece seri değerleri aynı kalmakta, ancak seri daha dar ve anlaşılır hale gelmektedir. c) Gruplanmış eri: Bir veri setinde yer alan değerlerin sını denilen belli genişlikteki aralıklara ve seride yer alan rekansların da bu sınılara dağıtılmasıyla elde edilen serilere denilir. Bu tip serilerde verinin gerçek değerleri ortadan kalkmakta, ancak veri daha anlaşılır hale gelmektedir. Örnek: Bir makinede 30 günlük üretilen mamul miktarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verileri basit, tasni edilmiş ve gruplanmış serilere dönüştürünüz. Üretim miktarı ( i) : 0,5,8,7,5,6,,4,3,4,7,4,8,6,5,,5,0, 3,7,5,9,7,8,5,,3,4,9,6 Çözüm: Basit seriye dönüşüm i :7,8,0,0,,3,3,3,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8,8, 9,9,,,4,5 Basit seride sadece bir sıralama işlemi gerektirdiğinden verideki bütün elemanlar aynen muhaaza edilmiştir. Bu ise verinin anlaşılırlığını azaltmaktadır. Tasni edilmiş seri Üretim mik.( i ) Gün sayısı ( i ) 7 8 0 3 3 4 3 5 6 6 3 7 3 8
3 9 4 Toplam 30 Gruplanmış seri: Bunun için uygun bir sını aralığı belirlenmelidir. ını aralığı için aşağıdaki ormülü kullanmak mümkündür. max min 3,3log : ını aralığı, max : serinin en büyük değeri, min : erinin en küçük değeri, :Gözlem sayısı 4 7 3,3log30 7 5,907 Yukarıdaki veri seti için sını aralığı 3 olur. 3 Gruplama işlemi verinin boyutunu azaltırken daha anlaşılır hale getirmektedir. Ancak verilerin orijinalliği ortadan kalkmaktadır. Üretim Gün sayısı miktarı 7-0 dan az 0-3 3 3-6 6-9 8 9-4 -5 Toplam 30
4. Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Çok sayıda gözlem değerinden oluşan serileri daha anlamlı hale getirebilmek için tasni ve gruplama işlemine gidilir. Ancak bu işlem olayın normal değerini ortaya koymak için yeterli değildir. Bunun için bir serideki bütün gözlem değerlerini temsil eden tek bir rakam elde edilebilir. İşte bu rakama merkezi eğilim ya da ortalama adı verilir. Ortalamalar özellikle tek maksimumlu serilerde gözlemlerin hangi değer etraında toplanma gösterdiğini ortaya koyar. Ortalama değer daima serinin minimum ve maksimum değerleri arasında yer alır. min Ortalama max Ortalamaları arklı açılardan sınılandırmak mümkündür. Ancak burada genel olarak kabul edilen bir sınılama şeklini ele alacağız. Buna göre ortalamaları analitik (duyarlı) ve analitik olmayan (duyarsız) ortalamalar şeklinde iki grupta incelemek mümkündür. Analitik ortalamalar bütün veri setini dikkate alan ortalamalar (aritmetik, geometrik, harmonik, kareli ortalamalar), analitik olmayan ortalamalar ise veri setinin bir kısım elemanlarını dikkate alarak hesaplanan ortalamalardır (mod, medyan)... Analitik (duyarlı) Ortalamalar erideki bütün gözlem değerleri üzerinden hesaplanan ortalamalardır. Bunlar aritmetik, geometrik, harmonik ve kareli ortalamalardır. Ancak burada sadece aritmetik ve geometrik ortalama üzerinde durulacaktır...) Aritmetik Ortalama( ) erideki gözlem değerleri toplamının, toplam gözlem sayısına oranı şeklinde hesaplanır. Basit seride =... = i i Tasni edilmiş ve gruplanmış serilerde = Burada i: i. gözlem değeri,...... k k k k i = k i i i i
5 Gruplanmış seride i; i. sınıın orta noktasıdır. [(ını alt sınırı +ını üst sınırı)/] i : i. gözlemin tekrar sayısı (rekansı) Örnek.) Bir işletmede aynı parçayı üreten işçilerin bu parçayı üretim sürelerinin dağılımı aşağıdaki gibi gözlenmiştir. Parça üretim süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz. Parça üretim süresi İşçi sayısı (dakika) ( i ) ( i ) i i 4 3 4 5 4 7 98 5 6 90 6 6 Toplam i =0 i i =80 eri tasni edilmiş olarak verilmiştir. O halde aritmetik ortalaması: = 5 i 5 i ii i = 80 =4 dk/parça olarak bulunur. 0 Aritmetik ortalama istatistik analizin temel ölçülerinden biri olup en yaygın kullanılan ortalamadır. Özellikle normal dağılış gösteren ya da ona yakın dağılan verilerin ortalaması için seriyi temsil kabiliyeti yüksektir. Aritmetik ortalama bazı özelliklere sahiptir. Bu özellikleri kısaca şöyle özetlemek mümkündür.. Aritmetik ortalamanın veri sayısı ile çarpımı serinin toplamına eşittir.. Terimlerin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının toplamı sıırdır. 3. Terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimumdur. 4. Bir serinin bütün terimlerine aynı sayıyı eklersek (çıkartırsak) aritmetik ortalama eklenen (çıkartılan) sayı kadar artar (azalır). 5. Bir serinin bütün terimlerini aynı sayıyla çarptığımızda (böldüğümüzde) aritmetik ortalama çarptığımız (böldüğümüz) sayıyla orantılı olarak büyür (küçülür). 6. Aritmetik ortalama veri setindeki aşırı değerlere karşı duyarlı bir ortalamadır..) Geometrik Ortalama(G) Bir serideki gözlem değerlerinin birbirleri ile çarpımlarının, gözlem sayısı derecesinde kökünün alınması ile elde edilir. Şu halde basit bir seri için geometrik ortalama; G 3 şeklinde bulunur. Kısaca
6 G i i yazılabilir. Burada işleci çarpım işlemi için kullanılır. Ancak bu yoldan geometrik ortalamayı bulmak için gözlem sayısının az olması gerekir. Gözlem sayısı arttıkça bu yoldan geometrik ortalamayı hesaplamak güçleşmektedir. Bunun yerine logaritmik dönüşüm uygulanarak geometrik ortalama hesaplanır. Şöyle ki; G 3 iadesi üslü olarak şöyle yazılabilir. G ( 3 ) / veya G = ( i ) / şeklinde yazılabilir. Bu iadenin her iki taraının logaritması alınırsa log( 3 ) logg = olur. Çarpımın logaritması ayrı ayrı logaritmalar toplamına eşit olduğuna göre; yapılır. logg = logg = log log log 3 i log olup düzenlenirse; log i elde edilir. logg yi G ye çevirmek için; G =0 logg dönüşümü Tasni edilmiş ve gruplanmış serilerde; i G = logg = 3 k 3 k olup logaritmik olarak log log 3 log 3 3 k k log k k i i log i k i i olur. Örnek.9) Bir işletmede aynı parçayı üreten 5 işçinin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayıları aşağıda verilmiştir. Bu işletmede kusurlu parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. Kusurlu parça sayısı log ( i ) i 3 0.477 5 0.699 8 0.903 5.76
7 30.477 log i = 4.73 -) G 3 = 5 5 8 5 30 -) Logaritmik yoldan geometrik ortalamanın bulunuşu 3 = 5 54000 G = 8,84 parça G = İ log i 4.73 5 logg = 0.9464 G = 0 0,9464 G = 8,84 parça... Analitik olmayan ortalamalar: Bu gruptaki ortalamalar serinin bütün değerlerini dikkate almayıp, sadece belli birkaç değerini, özellikle ortadaki değerleri esas alarak hesaplanan ortalamalardır. erinin bütün değerlerini dikkate almadan hesaplandıkları için analitik olmayan ortalamalar olarak adlandırılmaktadırlar...) Mod Bir seride en çok tekrarlanan değere mod adı verilir. İstatistikte nispeten az kullanılan bu ölçü özellikle verilerin simetrik bir dağılış göstermediği durumlarda iyi bir ölçü olarak düşünülebilir. Basit ve tasni edilmiş seride modun bulunması oldukça kolaydır. Basit bir sayma ya da tasni işlemi ile en çok tekrarlayan eleman bulunabilir. Eğer seride en çok tekrarlanan birden azla eleman varsa bu tür seriler çok modlu seriler olarak isimlendirilir. Böyle serilerde modun tek bir değerle iade edilmesi istenirse seri gruplanmış hale dönüştürülerek modu hesaplanabilir. Gruplama sonrasında da en yüksek rekansa sahip tek bir sını bulunamazsa sınılar birleştirilerek mod hesaplanabilir. Gruplanmış seride modu bulmak için serinin rekanslar sütunundan hareketle en çok tekrarlanan sını belirlenir. Belirlenen sını içerisinde mod a karşılık gelen değeri elde etmek için aşağıdaki ormül kullanılır. Mod l s l : mod sınıı alt sınırı : mod sınıı rekansı ile bir önceki sını rekansı arasındaki ark : mod sınıı rekansı ile bir sonraki sını rekansı arasındaki ark
8 s: serinin sabit sını aralığı Örnek.Konutlarda yıllık olarak tüketilen doğalgaz miktarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Konutlarda yıllık olarak tüketilen doğalgaz miktarının ortalamasını mod ile belirleyiniz. Doğalgaz tüket. (m 3 /yıl) Konut ayısı 0 500 30 l = 000 500 000 50 = 00 50 = 50 000 500 00 Mod sınıı = 00 70 = 30 500 000 70 s = 500 000 500 0 Mod l s Mod 000 50 50 30 500 Mod 3,5 Mod 3500m 3 / yil Modun özellikleri - Ortalamalar oranında en temsili alanıdır. - Pratik hayatta çok kullanılan ortalamalardandır 3- Özellikle kalitati (niteliksel) serilerin ortalaması mod ile iade edilir. Göz rengi, medeni hal, marka, cinsiyet v.s gibi değişkenler kalitati değişkenler olup sayısal olarak iade edilemezler. 4- Mod serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü normal serilerde mod genellikle serinin orta bölgesinde yer alır, uç değerlerden etkilenmez. 5- Yukarıdaki avantajlarının yanında analitik olmaması sebebi ile matematik işlemlere elverişli değildir. 6- J, ters J ve U tipi serilerde mod temsili alma özelliğini kaybeder. Böyle serilerde mod ya en küçük veya en büyük değere karşılık gelir.... Medyan (Ortanca) erideki değerler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortaya düşen ve seriyi iki eşit parçaya bölen değere medyan adı verilir. Basit ve tasni edilmiş seride medyanın bulunuşu: Bunun için serideki değerler küçükten büyüğe sıralanır daha sonra medyana karşılık gelen değerin sıra değeri belirlenir. işlemi ile medyanın hangi sıradaki eleman olduğu belirlenir. Eğer bu işlemin sonucu tam sayı ise bu sıradaki eleman medyan olarak belirlenmiş olur. Eğer bu işlemin sonucu kesirli çıkarsa
9 medyan iki değerin tam ortasına düşeceğinden bu iki değerin ortalaması alınarak medyan bulunur Medyanın özellikleri - Pratik bir ortalamadır. Çünkü sadece basit bir sıralama işlemi gerektirir. - Özellikle açık sınılı seriler için medyan daha bir önem kazanır. Çünkü seride açık sınılar uçlarda yer alır. Medyan ise ortaya düşen değerdir. Böyle olunca medyan bu açık sınılardan etkilenmez ve kolaylıkla hesaplanabilir. 3- erideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü medyan serinin ortasına rastladığında, uçlarda oluşan aşırı değerler medyanı etkilemez. 4- erideki değerlerin medyandan mutlak arkları toplamı minimum olur. i -medyan minimum 5- Medyanın zayı taraı serideki bütün değerleri dikkate almaması sebebi ile matematik işlemlere elverişli değildir. Mod, Medyan ve Aritmetik Ortalama Arasındaki İlişkiler - imetrik ortalamada her üç ortalama birbirine eşit olur. = Medyan = Mod - ağa çarpık serilerde > Medyan > Mod olur. 3- ola çarpık seride < Medyan < Mod olur. 4- Asimetrisi hai seriler için yaklaşık olarak aşağıdaki eşitlik geçerlidir. ( - Mod ) 3( - Medyan). apma Ölçüleri Bir örneği meydana getiren elemanlar ortalama değer etraında belirli bir dağılış gösterirler. Gözlem değerleri arasındaki arklılıktan ileri gelen bu durum istatistik olarak serinin önemli karakteristiklerinden biridir. Bilindiği gibi ortalamalar serinin merkezi noktasını belirlemeye yarayan ölçülerdir. Dağılma ölçüleri ise gözlem değerlerinin bu merkezi noktadan uzaklaşma durumunu ortaya koyan ölçülerdir. Aynı ortalamaya sahip seriler arklı dağılış gösterebilirler. Bu yüzden bir seriyi sadece ortalama değere göre tanımlamak yanlış olur. Bunun yanı sıra dağılışının da bilinmesi gerekir.
0 Bir seride ortalamanın temsil kabiliyeti ile dağılma durumu arasında ters bir ilişki vardır. Dağılışı az olan serilerin ortalamaları daha temsili oldukları halde, dağılışı azla olanların ortalamaları seriyi daha az temsil eder. Bu sayede dağılışın tespiti ortalamanın temsil kabiliyeti hakkında da bilgi verecektir... Mutlak apma Ölçüleri Bu dağılma ölçüleri ilgili değişkenin kendi cinsinden (kg, cm, TL vs) sonuç verir. Bu sebeple mutlak dağılma ölçüleri olarak adlandırılırlar.... Değişim Aralığı Gözlem değerlerinin maksimum ve minimumu arasındaki ark olup verilerin ne kadarlık bir aralıkta değiştiğini gösterir. R = max min i :,5,0,30,50,5,58,70,90 olan bir serinin değişim aralığı R=90- =78 olur. Yani gözlem değerleri 7 birimlik bir aralıkta değişme göstermektedir. Bu dağılım ölçüsünün oldukça basit ve anlaşılır olmasına karşılık sadece iki uç değere bağlı olması, dolayısıyla serideki aşırı değerlerin etkisi altında olması mahzurlu yönünü oluşturur. adece iki uç değeri dikkate alması diğer gözlem değerlerinin dağılımının hiç dikkate alınmamasına sebep olmaktadır.... Ortalama (mutlak) apma Bilindiği gibi sapmalar serisinin (analitik ortalamadan sapmalar) toplamı sııra eşittir. ( i ) 0. Bu durumda sapmalar serisinin ortalamasını elde etmek değildir. erinin toplamını sıır olmaktan kurtarabilmek için mutlak sapmalar dikkate alınabilir. Böylece mutlak sapmalar serisinin ortalaması alınarak yeni bir sapma ölçüsü elde edilebilir. Bu sapma ölçüsü diğer iki sapma ölçülerinin aksine serinin bütün değerlerini dikkate almaktadır. Bu sebeple daha kullanışlı ve daha temsili bir sapma ölçüsü elde edilmiş olmaktadır. Ortalama sapmayı şöyle ormüle edebiliriz.
Basit eride O. i Tasni Edilmiş ve Gruplanmış eride O. i i i Örnek: Bir atölyede üretim hattında günlük olarak üretilen mamul sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Günlük üretimin ortalama sapmasını bulunuz. Mamul ayısı ( i ) Gün ayısı (i) i. i i i i 33 66-3,5 7 34 5 70 -,5,5 35 9 35 -,5 3,5 36 30 080-0,5 5 37 0 740 0,5 0 38 6 608,5 4 39 5 95,5,5 40 3 0 3,5 0,5 Toplam i 90 i.i 386. i i 05 ii i i 386 36,5 Ortalama sapma 05 O. O.,67a det/ gün i 90 i 90
Örnek: Bir ağrı kesicinin insanlar üzerinden ne kadar süre ile etkili olduğunu belirlemek için yapılan araştırmada, ağrı kesicinin etkinlik süresinin aşağıdaki gibi dağıldığı gözlenmiştir. Bu verilere göre etkin sürenin ortalama sapmasını bulunuz. Etkin. ür. (saat) Hast. ay. i i. i i i i 5 0 3,5 35-5,8 58 5 8 30 6,5 95 -,8 84 8 50 0 500 0,7 35 0 6 6 56 6,7 07, Toplam 06 986 84, 986 9, 3 saat 06 Ortalama apma i i 84, O., 68 saat i 06 Ortalama sapmanın üstün ve zayı yönlerini şöyle özetleyebiliriz. Ortalama sapma serinin sapmasını iyi bir şekilde göstermektedir. Ancak mutlak işlemler gerektirmesi bu sapma ölçüsünün aritmetik işlemlere elverişsiz olmasına sebep olmaktadır. Bu sebeple istatistiksel kalite kontrol çalışmalarında kullanılması mümkün olamamaktadır...3. tandart apma erideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları (sapmalar serisi) toplamı sıır idi. Bu durumu daha önce mutlak değer almak suretiyle önlemiş olduk. Ancak bu yol aritmetik işlemler için elverişli olmamaktadır. Mutlak işlemler yerine kare alma yolu ile sapmalar serisi toplamı sıır olmaktan kurtarılabilir. Böylece yeni bir sapma ölçüsü elde edilebilir. tandart sapma, sapmalar serisinin (aritmetik ortalamadan sapmalar) kareli ortalamasıdır. tandart sapmanın karesine varyans adı verilir. Kütlede standart sapma için aşağıdaki ormüller kullanılır. Örnek standart () sapması için paydada n serbestlik derecesi kullanılır.
3 ınılandırılmamış veri setinde ( i ) Örnek için ( i n ) ınılandırılmış veri setinde i( i i ) Örnek için i( i ( i) ) Örnek: Bir liseden mezun olan ve Ö sınavına giren öğrencilerin puanlarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Buna göre öğrenci puanlarının standart sapmasını bulunuz. Ö Puanları Öğr. ayısı i i. i i i ( i ) 90 0 0 00 000-37,9 4364, 0 30 30 0 3600-7,9 96,3 30 50 50 40 7000, 0,5 50 70 5 60 4000, 0,5 70 0 5 90 950 5, 357,05 Toplam 0 6550 49979, 6550 0 37, 9 puan tandart apma i( i i ) 49979, 0 0,4 puan Değişim Katsayısı (Varyasyon Katsayısı) CV % Araştırmada iki arklı yığın kullanılıyorsa; bu iki yığının aritmetik ortalamaları eşit iken varyansı küçük yığının daha homojen olduğu söylenir. Ancak yığının aynı özellik için aritmetik ortalamaları arklı iken varyanslara bakarak homojen yığını tespit etmek yanıltıcı olur. Böyle durumlarda Değişim Katsayısı adı verilen bir dağılım (yayılım) ölçüsü kullanılır. Değişim katsayısı CV ile gösterilecek olunursa bu şu şekilde iade edilir.
4 Araştırmada iki arklı yığın kullanılıyorsa; bu iki yığının aritmetik ortalamaları eşit iken varyansı küçük yığının daha homojen olduğu söylenir. Ancak yığının aynı özellik için aritmetik ortalamaları arklı iken varyanslara bakarak homojen yığını tespit etmek yanıltıcı olur. Böyle durumlarda Değişim Katsayısı veya Varyasyon Katsayısı adı verilen bir dağılım (yayılım) ölçüsü kullanılır. Değişim katsayısı CV ile gösterilecek olunursa bu şu şekilde iade edilir. CV σ μ Örnek: 6 kadın ve 9 erkek izleyicinin belli bir günde kaç saat TV seyrettiği aşağıda verilmiştir. Kadınlar mı yoksa erkekler mi TV seyretme süresi bakımından homojendir. Kadın: 4,7,4,3,5, Erkek: 6,6,8,9,,7,6,5, Çözüm: Her iki grubun aritmetik ortalama ve standart sapmaları hesaplanır, Kadınlar için: Erkekler için: K 4 7 4 6 3 5 4 K.83 CV K 0.46 E 5.55.45 CV E Bulunur. Burada CV değerinin sigmada olduğu gibi küçük olması arzu edilir. E 0.44