LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre; 3 CD 54 54 3 dir. BD 36 36 CED üçgeninin açıları ile AEF üçgeninin açıları aynı olduğundan, benzerlik uygulayabiliriz. açısının karşısındaki kenarları oranlayalım. 3k 3 Benzerlik oranı dir. k Alanları oranı da benzerlik oranının karesidir. A(CED) 3 54 9 A(AEF) A(AEF) 4 4. 54 A(AEF) 9 Doğru Cevap : B şıkkı 6 4.6 4 buluruz. Eşit alanların her birine A diyelim. CAD üçgeni ile CDB üçgenin alanlarının oranı, taban ları ile orantılıdır. A(CAD) A AD AD k ise DB k dır. A(CDB) A DB k k 9 3k 9 k 3 tür. AD k.3 6 birimdir. CAD üçgeninin bir 6 8 10 üçgeni olduğunu görüyoruz. CD 10 birimdir. A(ACE) A(AED) olduğundan taban uzunlukları eşit - tir. Yani x uzunluğu, bir kenarortaydır. Dik açıdan inen kenarortay, ayırdığı parçalara eşittir. (Muhteşem Üçlü) 10 x 5 birim buluruz. Doğru Cevap : A şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ D köşesinden bir dikme indirirsek tabanı iki eşit parçaya böleriz. FH k dersek, CA k diyebiliriz. (Benzerlik).A(ABC) A(ABD) k.z z.( DF k) k.z z.( DF k) 4k z z.( DF k) 4k DF k DF 3k dır. ACE üçgeni ile DEF üçgeni arasında benzerlik uygulayabiliriz. 30 x k 30 x k 90 3x x x 3k x 3k 5x 90 x 18 buluruz. ABC üçgeni içerisinde benzerlik uygularsak; DG k, EF 3k, AB 6k diyebiliriz. Kenarı 3 birim olan karenin kenarına 6k demiş olduk. Buna görei kenarı birim olan karenin bir kenarı 4k'dır. EF 3k olduğundan, EH k'dır. Buradan A(DEHK) A(EDGF) olduğunu görüyoruz. Taralı alanı şekildeki gibi yaşıyabiliriz. Bizden istenen alan, aslında ABC üçgeninin alanıdır. 3.6 18 9 buluruz. Doğru Cevap : B şıkkı Doğru Cevap : D şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Karenin bir kenarına 4k diyelim. DF DG k olur. DGF üçgeni, ikizkenar dik üçgen olduğundan GF k dir. Aynı şekilde GE k dir. GH k dir. HGF üçgeninde pisagor uygularsak, (k ) (k ) 10 8k k 100 10k 100 k 10 dur. Karenin alanı (4k) 16k 16.10 160 buluruz. Kolay işlem yapabilmek için x 6k diyelim. Paralelkenar olduğundan A açısı C açısına eşittir. Açıortay nedeniyle de 3k şeklinde iki eş parçaya bölünür. B açısı da C açısı ile bütünler açı olduğundan; m(b) 180 6x tir. Üç eş parçaya bölündüğünden, her bir parça 60 x tir. FAB üçgeninde, iki iç açının toplamı bir dış açıya eşit olduğundan m(bfe) 3k 60 k 60 k dır. FEB üçgeninde iç açıların toplamından; 79 60 k 60 k 180 199 k 180 k 19 dir. x 6k 6.19 114 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı Doğru Cevap : D şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ D ve C köşelerinden dikme indirirsek, bulundukları kenarları eş parçaya bölerler. ADE eşkenar üçgen olduğundan, AE 1 dir. Yükseklik ise 30-60 - 90 üçgeninden 6 3 buluruz. DC 6 4 10 dur. Buna göre; (10 0).6 3 30.6 3 A(ABCD) 90 3 buluruz. Doğru Cevap : C şıkkı Beşgenin bir iç açısı 108 dir. BCD üçgenin iki kenarı da eşit olduğundan diğer 180 108 7 açıları 36 dir. E'den B'ye bir köşegen çizersek; BCD'ye eş bir üçgen elde ederiz. ABE üçgeni Bu üçgenlerde 108 nin karşısındaki kenarlar eşit olacaktır. DE EC olduğundan AE BE dir. Buna göre; m(bae) 40 dir. m(ead) 90 40 50 dir. 180 50 130 m(ade) 65 dir. m(edc) 90 65 5 dir. x 180 5 5 130 buluruz. Doğru Cevap : D şıkkı Burada EBF üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğunu görüyoruz. Açılar toplamı 180 olacağından, x x 36 36 4 180 x 96 180 x 84 x 4 buluruz. Doğru Cevap : B şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ o Düzgün sekizgenin bir iç açı 135 dir.sekizgenin bir kenarına br diyelim. 45-45 - 90 üçgenlerinden GK MD br olur. FE KM br olduğundan; GD br olur. AF GD br dir. AK AF FK br dir. Üçgenin bir kenarına 3a dersek, altıgenin bir kenarı a olur. a 3 a 3 6 6 Altıgenin Alanı 4 4 Üçgenin Alanı (3a) 3 a 3 9. 4 4 6 9 3 buluruz GD ( ) AK Doğru Cevap : C Şıkkı bulunur. Doğru Cevap : C şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Taralı çevre; 4 numaralı çemberin çevresinin yarısı ile diğerlerinin çeyrekleri toplamıdır. 1,,3,4,5 numaralı çemberlerin yarıçapları sırasıyla; br,3 br, br,1 br,1 br olmak üzere taralı çevre;..3..1.1 4 4 4 4 3 3 3 3 5 buluruz. AEC dik üçgenini tamamlarsak AEC ve OTC üçgenleri benzer üçgen olurlar. Paralellikten FE OT 3 br olur. AE 4 br olur. Temel orantı teoreminden; x 3 3 4x 1 3x 18 x 6 4 x 6 br dir. AC AB BC 6 6 1 br bulunur. Doğru Cevap: C Şıkkı Doğru Cevap : B Şıkkı O merkezli yarım çemberin yarıçapı 0 br, 1 O merkezli yarım çemberin yarı çapı r br olsun. O BO üçgeninde pisagor teoremi uygularsak; 1 0 (r 1) (0 r) 400 16r 144 r 4r 144 400 144 r 9 br dir. 16 x r.9 18 br bulunur. 40r r Doğru Cevap : D Şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Karenin İçteğet çemberinin yarıçapı r, Çevrel çemberinin yarıçapı R olsun. Karenin bir kenarı r, bir köşegeni R olduğuna göre; r R R r dir. Çevrel çemberin alanı.(r ) r İçteğet çemberin alanı.(r) r İkisi arasında kalan alan r r r dir. Karenin alanı (r) 4r dir. Çemberlerin arasında kalan alanın karenin alanına oranı x ise; r x bulunur. 4r 4 DB çap olduğundan, a 4 1 a 3 br dir. AD DC CB BA 360 o o 10k 360 k 36 dir. o AD, DC, CB, BA yaylarına sırasıyla 3k,k,4k,k dersek; 3k k 4k k 360 360 10 k k 7 36 108 x Doğru Cevap : E Şıkkı o o 54 buluruz. Doğru Cevap : C Şıkkı A merkezli çemberde; AB AD 7 br dir. AC 13 br olduğuna göre DC 13 7 6 br dir. C merkezli çemberde; DC CE 6 br dir. BE BC CE 16 6 10 br bulunur. Doğru Cevap : A Şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Yüzey Alanı.Taban Alanı Yanal Alan Taban Alanı 3.4 6 cm Yanal Alanı 6.(3 5 4) 6.1 7 cm Yüzey Alanı.6 7 84 cm bulunur. Doğru Cevap : E Şıkkı h bardağın yüksekliği OT OH OH uzunluğu bardağın bitiş noktasıyla kürenin merkezi arasındaki mesafedir. 3-4 - 5 üçgeni yardımıyla OH 4 olduğu görülür. Buna göre; h 6 5 4 15 br bulunur. Doğru Cevap : D Şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Kare prizmadaki Şekil I de suyun yüksekliği cm dir. Prizma Şekil II konumuna geldiğinde suyun yüksekliği 4 cm olur. KLP üçgeninde 3-4 - 5 üçgeninden dörtgenin KP uzunluğu 5cm olur. PR uzunluğu 3 cm olur. o KPRN dörtgeninin açıları 90 dir.buna göre KPRN bir dikdörtgendir. KPRN dikdörtgeninin Alanı 5.3 15 cm bulunur. Doğru Cevap : B Şıkkı y x doğrusuna göre simetrisi alındığında, A noktasının apsisi ile ortdinatı yer değiştirir. A(6, 3) y x e göre simetriği B(3, 6) olur. B noktasının x 1'e göre simetriği alınınca sadece apsisi etkilenir. x 3 ün x 1'e uzaklığı 4 birim olduğundan, simetrisi de 1'den 4 birim aşağıda olacaktır. 5 B(3, 6) x 1 e göre simetriği C( 5, 6) olur. C noktasının koordinatları toplamı : 5 6 1 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Şekildeki y eksenine yapışık bir kare çizersek, rahatlıkla bir kenar uzunluğu bulabiliriz. Köşegenlerin kesim noktasının apsisi 3 olduğundan, kenarın yarısı 3 birimdir. Bir kenarı ise 6 birimdir. Alanı 6 36 birimkare buluruz. Şekilden de anlaşılacağı üzere, kirişlerin orta noktaları bize bir çember belirtir. x y 6 çemberinin yarıçapı 6 dır. Bu çemberin, merkezinden kirişin orta noktasına çizlen dikme, kirişi iki eş parçaya ayırır. Doğru Cevap : C şıkkı Oluşturduğumuz üçgende pisagor uygulayarak, soruda bizden istenen çemberin yarıçapını bulabiliriz. r 3 6 r 9 6 r 17 r 17 dir. Çemberin denklemini ise x y 17 buluruz. Doğru Cevap : C şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Orjinden bu doğruya dik çizilen doğru, en kısa mesafedir. Öklit teoremi ile a uzunluğunu bulabiliriz. a.8 a 16 a 4 tür. OP uzunluğunu ise pisagor yardımıyla bulabiliriz. OP 4 4 16 0 5 buluruz. Doğru Cevap : C şıkkı B noktasının koordinatını bulalım. x y 8 / x 3y 9 x y 8 x 6y 18 5y 10 y dir. x y 8 x 8 x 3 tür. B(,3) noktası kesişim noktasıdır. d doğrusunun y eksenini kesen noktasını bulalım. 1 x 0 için x y 8 y 8 dir. 8.3 4 Buna göre, A(OBC) 1 dir. d doğrusunun x eksenini kesen noktasını bulalım. y 0 için x 3y 9 x 9 dur. 9. 18 A(OBA) 9 dur. Taralı alan A(OBC) A(OBA) 1 9 1 buluruz. Doğru Cevap: B şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ P noktasının bu üç noktaya olan uzaklığı, hepsinde aynı olmak zorundadır. P noktasının P(a,b) şeklinde koordinatı olsun. Buna bağlı yazacağımız uzaklık denklemleri eşit olmalıdır. P(a,b) ile (0,) arası P(a,b) ile (4, ) arası (a 0) (b ) (a 4) (b ) (a 0) (b ) a (a 4) (b ) a 8a 16 a dir. 8a16 P(a,b) ile (4,) arası P(a,b) ile (4, 4) arası (a 4) (b ) (a 4) (b 4) (a 4) b (b ) (a 4) (b 4) 4b 4 b 8b 16 4b 1 b 3 tür. P(,3) noktasının koordinatları toplamını ; Doğru Cevap : C şıkkı 3 5 buluruz. Ortak çözüm yaparak, kesişen dört noktayı da bulalım. 4 / 4x 9y 36 1x 36y 4 16x 36y 144 1x 36y 4 37x 148 x 4 x veya dir. 4x 9y 36 4.4 9y 36 16 9y 36 0 0 5 9 3 3 9y 0 y y tür. Bulduğumuz değerlerle 4 noktayı da ifade edebiliriz. 5 5 5 5,,, 3,,,, 3 3 3 x değerlerinin ile arasında olduğunu görüyoruz. Bir kenarı 4 birimdir. 5 5 y değerlerinin ile arasında olduğunu 3 3 4 5 görüyoruz. Diğer kenarı birimdir. 3 4 5 16 5 Dikdörtgenin alanı 4 buluruz. 3 3 Doğru Cevap : D şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ u, v a v 3v v v, u b u u u, v a 3 v 1 u 4 Birbirine oranlarsak, a b u, v v v, u u v, u 1 b tür. u 4 3 u 1 1 v 4 u 1 v dir. Karekök alırsak; u 3 v k 3 buluruz. İlk verilen kürenin merkezi M(,3,6) ve yarıçapı 4 dir. Bu merkezin orjine uzaklığı 3 6 x y z r 5 5 k 4 9 36 49 7 dir. r uzunluğu da bu mesafeye eşit olmalıdır. r 7 r 5 tir. 5 buluruz. Doğru Cevap : D şıkkı Doğru Cevap : D şıkkı
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Düzlemin normali x,y ve z'nin katsayılardır. N (1,1,1) dir. AB doğrusu da, normale paralel olduğundan eğimleri eşittir : x 1 y 1 z 1 k 1 1 1 x k 1, y k 1, z k 1 dir. Bu değerler, düzlemin denklemini sağlamalıdır. x y z 1 k 1k 1k 1 1 3k 3 1 3k 9 k 3 tür. B(k 1,k 1,k 1) B(4,4,4) tür. AB (4 1) (4 1) (4 1) 3 3 3 9 9 9 7 3 3 buluruz. Doğru Cevap : D şıkkı