203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem içi matris gösterimi,. x =.. 2... y x y β 0 β + ε ε. 2 olarak verilir.. ε Kısaca Y = Xβ + ε şeklide gösterilir. Öreklem kestirim deklemi Y = Xβ ile taımlaır. Bua göre regresyo katsayıları, β = (X X) X Y formülü ile elde edilir. Örek : Başarı (Y) Tutum (X) Basit doğrusal regresyo aalizi ile tutum pualarıı başarıyı,04 5,43 yordama derecesi icelediğide; 4,36 5,4 5,4 4,4 6,64 6,60 Başarı: Bağımlı değişke (Y) 4,73 8,22 Tutum: Bağımsız değişke (X) 3,6 0,5 4,78 6,49 7,56 9,48 0,25 0,3 2,06 3,40 5,43 5,4 4,4 6,60 X = 8,22 0,5 6,49 9,48 0,3 3,40 Y =,04 4,36 5,4 6,64 4,73 3,6 4,78 7,56 0,25 2,06 Y = [,04 4,36 5,4 6,64 4,73 3,6 4,78 7,56 0,25 2,06]
203-204 Bahar Y Y = 33 veya Y 2 Y = i= y i = 33 formülü ile hesaplaabilir. X = 5,43 5,4 4,4 6,60 8,22 0,5 6,49 9,48 0,3 3,40 0 50 X X = 50 33 veya X X = i= x i 2 formülü ile hesaplaabilir. i= x i x i i= (X X) 0,4 0,06 = 0,06 0,0 veya (X X) = KT x i= x i 2 / x x formülü ile hesaplaabilir. 50 X Y = 300, yardımı ile regresyo deklemie ilişki katsayılar; β = (X X) X 0,4 0,06 Y β = 0,06 0,0 50 =,9 olarak hesaplaır. 300, 0,62 Bua göre b 0 =,9 ve b =0,62 dir. Burada; y i =,9 + 0,62x i olarak yazılır. Regresyo hesaplamasıa ilişki Excel dosyası içi tıklayı. LİSREL SONUÇLARI Lisrel kullaılarak doğrusal regresyo aalizi soucuda da regresyo katsayılarıı bezerlik gösterdiği görülmüştür (Şekil ). Şekil. Basit doğrusal regresyo Lisrel souçları 2
203-204 Bahar Çoklu Doğrusal Regresyo Çoklu doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + β x i2. β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i x i2 x ip] β 0 β + ε i şeklidedir. gözlem içi matris gösterimi, y y 2.. y = x x 2 x p x 2 x 22 x 2p........ x x 2 x p ε β ε 0 +. 2 β. ε olarak verilir. Kısaca Y = Xβ + ε şeklide gösterilir. Öreklem kestirim deklemi Y = Xβ ile taımlaır. Bua göre regresyo katsayıları, β = (X X) X Y formülü ile elde edilir. Örek: Başarı (Y) Tutum (X ) Özyeterlik (X 2 ) Özerklik (X 3 ) Motivasyo (X 4 ),04 5,43, 8,89 0,77 4,36 5,4 0,86 5,08 3,7 5,4 4,4 6,65 4,4 5,92 6,64 6,60 4,9 7,48 6,59 4,73 8,22 3,03 3,39 2,64 3,6 0,5 4,73,74 3,97 4,78 6,49 7,33 5,00 5,09 7,56 9,48,33 8,56 7,6 0,25 0,3 5,34-0,68 4,76 2,06 3,40 5,42 6,2-0,60 Çoklu doğrusal regresyo aalizi ile tutum, özyeterlik, özerklik ve motivasyo pualarıı başarıyı yordama derecesi iceleirse; Başarı: Bağımlı değişke (Y) Tutum: Bağımsız değişke (X ) Özyeterlik: Bağımsız değişke (X 2 ) Özerklik: Bağımsız değişke (X 3 ) Motivasyo: Bağımsız değişke (X 4 ) X = 5,43, 8,89 0,77 5,4 0,86 5,08 3,7 4,4 6,65 4,4 5,92 6,60 4,9 7,48 6,59 8,22 3,03 3,39 2,64 0,5 4,73,74 3,97 6,49 7,33 5,00 5,09 9,48,33 8,56 7,6 0,3 5,34 0,68 4,76 3,40 5,42 6,2 0,60 Y =,04 4,36 5,4 6,64 4,73 3,6 4,78 7,56 0,25 2,06 Y = [,04 4,36 5,4 6,64 4,73 3,6 4,78 7,56 0,25 2,06] 3
203-204 Bahar Y Y = 33 veya Y 2 Y = i= y i = 33 formülü ile hesaplaabilir. 5,43 X =, 8,89 0,77 5,4 0,86 5,08 3,7 4,4 6,65 4,4 5,92 6,60 4,9 7,48 6,59 8,22 3,03 3,39 2,64 0,5 4,73,74 3,97 6,49 7,33 5,00 5,09 9,48,33 8,56 7,6 0,3 5,34 0,68 4,76 3,40 5,42 6,2 0,60 0 50 50 50 50 50 33 227,8 306,36 270,56 X X = 50 227,8 33 260,04 285,59 50 306,36 260,04 33 285,66 50 270,56 285,59 285,66 33 veya i= x i i= x i2 X X = 2 i= x i x i2 formülü ile hesaplaabilir. Sim. i= x i 2 x i2 i= 0 50 50 50 50 50 33 227,8 306,36 270,56 (X X) = 50 227,8 33 260,04 285,59 50 306,36 260,04 33 285,66 50 270,56 285,59 285,66 33 X Y = 50 300, 277,7 36,48 34,274 yardımı ile regresyo deklemie ilişki katsayılar; β = (X X) X Y 0 50 50 50 50 50 50 33 227,8 306,36 270,56 300, β = 50 227,8 33 260,04 285,59 50 306,36 260,04 33 285,66 50 270,56 285,59 285,66 33 277,7 36,48 34,274 =,405 0,234 0,32 0,427 0,488 Bua göre b 0 =-,405, b =0,234, b 2 =0,32, b 3 =0,427 ve b 4 =0,488 dir. Burada; olarak hesaplaır. y i =,405 + 0,234 Tutum + 0,32 Özyeterlik + 0,427 Özerklik + 0,488 Motivasyo olarak yazılır. Regresyo hesaplamasıa ilişki Excel dosyası içi tıklayıız. 4
203-204 Bahar LİSREL SONUÇLARI Lisrel kullaılarak doğrusal regresyo aalizi soucuda da regresyo katsayılarıı bezerlik gösterdiği görülmüştür (Şekil 2). Şekil 2. Çoklu doğrusal regresyo Lisrel souçları MATRİS KAVRAMLARI VE TANIMLARI Kare Matris Eğer satır sayısı sütu sayısıa eşitse (=p), A matrisie, p ici mertebede kare matris deir. Ayrıca bu matrisi i=j ola elemalarıa da esas köşege elemaları deir. 4 5 8 43 67 Öreği; A = 5 7 B = 23 89 9 3 Not: Acak bir kare matrisi determiatı hesaplaabilir. Kare olmaya bir matrisi determiatıı hesaplaması söz kousu değildir. Üçge Matris Bir kare matriste asal köşegei üstüde ya da altıda kala tüm elemalar sıfır ise bu matrise üçge matris deir. Bir başka deyişle bir kare matrisi asal köşegei altıda kala tüm elemaları sıfır ise bu matrise üst-üçge matris; bir kare matrisi asal köşegei üstüde kala tüm elemaları sıfır ise bu matrise alt-üçge matris deir. 5
203-204 Bahar a. Üst-Üçge (Triagular) Matris i>j olduğuda a ij = 0 ise, köşegei altıdaki elemalar sıfır olacaktır. 2 4 6 Öreği; A = 0 7 matrisi 3x3 türüde bir üst üçge matristir. 0 0 8 b. Alt-Üçge (Triagular) Matris i<j olduğuda a ij = 0 ise, köşegei üstüdeki elemalar sıfır olacaktır. 0 0 Öreği; A = 4 2 0 matrisi 3x3 türüde bir alt üçge matristir. 2 4 3 İdempotet (dekgüçlü) Matris A, x boyutlu bir matris ike A 2 =A özelliğii alıyorsa A matrisie idempotet (dekgüçlü) matris deir. A tam raklı ve idempotet bir matris ise A birim matristir (A=I) dır. İdempotet matrisi rakı, izie eşittir. İdempotet bir matrisi özdeğerleri ya sıfır ya da birdir. B= x matrisi idempotet ve rak(b)< ise B pozitif yarı taımlı bir matristir. B= x ve rak(b)=p olsu; o B idempotet ise B sıfırda farklı p tae özdeğere sahiptir ve buları her biri +'e eşittir. o B simetrik ise B 'i idempotet olması içi gerek ve yeter koşul B 'i her biri sıfırda farklı p tae özdeğerii olmasıdır. A= x tipide (simetrik) idempotet bir matris olsu; o A' (simetrik) idempotettir. o P ortogoal ise P'AP (simetrik) idempotettir. o P regüler ise PAP - idempotettir. o I - A simetrik idempotettir. o AA' = A'A ise A'A ve AA' matrisleri simetrik ve idempotettirler. Öreği; A = 5 5 2/4 2/4 B = 4 4 2/4 2/4 A ve B matrisleri idempotet matrislerdir. Bu bağlamda öreği; 2/4 2/4 2/4 2/4 2/4 2/4 BB = = = B olur. 2/4 2/4 2/4 2/4 2/4 2/4 6
203-204 Bahar Not: Birim matris bir idempotet matristir. 0 0 0 0 0 0 I = 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 Bir Matrisi İzi x boyutlu bir A matrisii (kare matrisi) izi, köşege elemalarıı toplamıa eşittir ve tr(a) ya da iz(a) ile gösterilir. tr(a) = a + a 22 + + a = a ii i= 4 3 6 Öreği; A = 8 9 ise, 3 7 2 tr(a) = 4 + 8 + 2 = 24 dür. KORELASYON MATRİSİ - FAKTÖR ANALİZİ Başarı Tutum Özyeterlik Özerklik Motivasyo Başarı, tutum, özyeterlik,,04 5,43, 8,89 0,77 özerklik ve motivasyo puaları 4,36 5,4 0,86 5,08 3,7 faktör aalizie tabi tutulursa; 5,4 4,4 6,65 4,4 5,92 6,64 6,60 4,9 7,48 6,59 4,73 8,22 3,03 3,39 2,64 3,6 0,5 4,73,74 3,97 4,78 6,49 7,33 5,00 5,09 7,56 9,48,33 8,56 7,6 0,25 0,3 5,34-0,68 4,76 2,06 3,40 5,42 6,2-0,60 0,686 0,3354 0,8207 0,7935 0,686 0,274 0,6958 0,2539 Korelasyo matrisi, K = 0,3354 0,274 0,24 0,4394 0,8207 0,6958 0,24 0,4402 0,7935 0,2539 0,4394 0,4402 7
203-204 Bahar Compoet Matrix a Compoet 2 Basari 0,737 0,664 Tutum 0,968-0,95 Ozyeterlik -0,9 0,289 Ozerklik 0,940 0,072 Motivasyo -0,09 0,970 Extractio Method: Pricipal Compoet Aalysis. a. 2 compoets extracted. Compoet matrisi traspozu; C = 0,737 0,664 0,968 0,95 0,9 0,289 0,940 0,072 0,09 0,970 0,984 0,584 0,479 0,740 0,564 0,584 0,974 0,938 0,895 0,295 CC = 0,479 0,938 0,93 0,835 0,379 0,740 0,895 0,835 0,889 0,032 0,564 0,295 0,379 0,032 0,953 Compoet matrisi traspozuyla çarpımı soucu elde edile matrisi köşege elemalarıı faktör aaliziyle elde edile ortak varyas (commuality) değerlerie eşit olduğu görülmektedir. Faktörlerde elde edile korelasyo matrisie ise yeide üretilmiş korelasyo matrisi (reproduced correlatio matrix) adı verilir. Bu faktörü köşege elemaları köşege elemaları yei ortak faktör varyaslarıı verir. Ortak varyas (commuality) bir değişkedeki varyası söz kousu faktörle paylaştığı varyas miktarıdır. Öreği; aşağıdaki tabloda 0,984 değeri, değişkedeki varyası % 98 oraıda belirlee faktörle açıklaabileceğii gösterir. Commualities Iitial Extractio BASARI 0,984 TUTUM 0,974 OZYETER 0,93 OZERK 0,889 MOTIV 0,953 Extractio Method: Pricipal Compoet Aalysis. 8
203-204 Bahar Bezer biçimde, ayı işlem Rotated Compoet Matrisle de yapıldığıda bezer souçları elde edildiği görülmektedir. Rotated Compoet Matrix a Compoet 2 Basari 0,646 0,753 Tutum 0,985-0,070 Ozyeterlik -0,940 0,70 Ozerklik 0,923 0,9 Motivasyo -0,232 0,949 Extractio Method: Pricipal Compoet Aalysis. Rotatio Method: Varimax with Kaiser Normalizatio. Rotated compoet matrisi traspozu; R = 0,646 0,753 0,985 0,070 0,940 0,70 0,923 0,9 0,232 0,949 0,984 0,584 0,479 0,740 0,564 0,584 0,974 0,938 0,895 0,295 RR = 0,479 0,938 0,93 0,835 0,379 0,740 0,895 0,835 0,889 0,032 0,564 0,295 0,379 0,032 0,953 Commualities Iitial Extractio BASARI 0,984 TUTUM 0,974 OZYETER 0,93 OZERK 0,889 MOTIV 0,953 Extractio Method: Pricipal Compoet Aalysis. 9