KİNETİK ENERJİ, İŞ-İŞ ve ENERJİ PRENSİBİ Amaçlar 1. Kuvvet ve kuvvet çiftlerinin yaptığı işlerin tanımlanması, 2. Rijit cisme iş ve enerji prensiplerinin uygulanması.
UYGULAMALAR Beton mikserinin iki motoru tarafından oluşturulan torkun yaptığı işhaznenin rotasyonel kinetik enerjisine dönüşmektedir. Eğer motor dişlilerinin karakteristikleri biliniyorsa, haznenin açısal hızını nasıl buluruz?
UYGULAMALAR (devam) Zemin kompaktörünün motorları tarafından yapılan iş, kompaktörün ötelenme kinetik enerjisine ve silindirin hem ötelenme hem de açısal (döngüsel) kinetik enerjisine dönüşmektedir. Kompaktörün ve silindirin kinetik enerjileri ilişkili midir?eğer öyleyse nasıl?
KİNETİK ENERJİ Bir rijit cismin kinetik enerjisi, ötelenmeve dönmekinetik enerjilerinin toplamışeklinde ifade edilebilir. Denklem formunda, genel düzlemsel hareket yapan bir cismin kinetik enerjisi aşağıdaki gibidir: T = 1/2 m (v G ) 2 + 1/2 I G ω 2 Burada v G ağırlık merkezinin hızıdır. I G, G ye göre kütle atalet momentidir! Birkaç basitleştirme gerçekleşebilir: 1. Sadece Ötelenme: Eğer bir rijit cisim sadece doğrusal veya eğrisel ötelenme hareketi yapıyor ise yani ω = 0ise T = 1/2 m (v G ) 2 olur!
r G KİNETİK ENERJİ (devam) 2. Sadece Dönme: Bir cisim sabit bir eksen etrafında dönmekteyse, cismin hem ötelenme hem de dönme kinetik enerjisi olacaktır, bu durumda: T = 1/2m (v G ) 2 + 1/2I G ω 2 v G = r G ωolduğuna göre, cismin kinetik enerjisi aşağıdaki gibi ifade edilir: T = 1/2[ I G + m(r G ) 2 ] ω 2 = 1/2I O ω 2 Burada I O cismin O noktasında geçen eksene göre kütle atalet momentidir. Eğer dönme kütle merkezi G noktası etrafında olsaydı, v G ne olurdu? Bu durumda, kütle merkezinin hızı sıfır olurdu.böylece, kinetik enerji formülü aşağıdaki formu alırdı: T = 1/2I G ω 2
BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ Hatırlanırsa, bir kuvvetin yaptığı iş aşağıdaki gibi yazılabilir: U F = F dr= (F cos θ )ds. Kuvvet sabit olduğunda, bu denklem U Fc = (F c cos θ )s şeklini almaktaydı burada F c cosθ terimi kuvvetin syerdeğiştirmesi yönündeki bileşenidir. Ağırlığın Yaptığı İş: Daha önce olduğu gibi iş U w = -W y şeklinde ifade edilebilir. Hatırlanırsa, kuvvet ve hareket aynı yönde ise iş pozitif olacaktır. s
BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ Yay Kuvvetinin Yaptığı İş: Lineer bir yay için iş ifadesi: U s = -1/2 k[(s 2 ) 2 (s 1 ) 2 ]
İŞ YAPMAYAN KUVVETLER İş yapmayan bazı dış kuvvetler vardır! Örneğin, sabit mesnetlerde oluşan reaksiyon kuvvetleri etkidikleri noktada hareket olmadığı için iş yapmazlar. Kaymadan yuvarlanancisimlere etkiyen normalve sürtünme kuvvetleri sıfır iş yapar çünkü yerle kontak halinde olan nokta anlık yer değiştirme yapmaz, (bu nokta IC noktasıdır). İç kuvvetler iş yapmaz çünkü her zaman eşit ve zıt yönlü etkirler. Bu sebeple, yaptıkları işin toplamı sıfırdır.
KUVVET ÇİFTİNİN YAPTIĞI İŞ Genel düzlemsel hareket yapan bir cisim, kuvvet çifti etkisindeyse, bu kuvvet çifti sadece,cisim dönmehareketi yaptığında iş yapar. Eğer cisim dθaçısal yerdeğiştirmesi altında dönüyorsa, kuvvet çiftinde dolayı oluşan M momentinin yaptığı iş: U M Eğer moment M sabitse: U M = M (θ 2 θ 1 ) Burada M ve (θ 2 θ 1 ) aynı yönlü olması durumunda, iş pozitiftir. θ burada radyan cinsindendir. = θ 2 θ 1 M dθ
İŞ ve ENERJİ PRENSİBİ İş ve enerji prensibinin genel ifadesini hatırlayalım: T 1 + ΣU 1-2 = T 2 Genel düzlemsel hareket durumunda, bu denklem şunu ifade eder: cismin başlangıç kinetik enerjisi (ötelenme ve dönme kinetik enerjileri) artıtüm dış kuvvetlerin ve momentlerin cisim üzerinde yaptığı iş eşittir cismin son kinetik enerjisine. Bu denklem skaler bir denklemdir ve rijit cisim sistemlerineuygulanırken, tek tek tüm cisimlerin katkısı dikkate alınarak uygulanabilir.
ÖRNEK 2 Verilen:Diskin ağırlığı 40 lb ve kütle atalet yarıçapı (k G ) ise 0.6 ft dir. 15 ft lb şiddetinde bir moment cisme etkimektedir ve yayın rijitliği 10 lb/ft dir. Aranan:G noktası 0.5 ftilerledikten sonra, tekerleğin açısal hızını bulunuz. Tekerlek durağan halden harekete geçiyor ve kaymadan yuvarlanıyor. Yay başlangıçta uzamamış durumda. Plan: İş ve enerji prensibini kullanarak soruyu çöz. Serbest cisim diyagramını çizerek tüm kuvvetleri göster. Bu diyagram hangi kuvvetlerin iş yaptığını gösterir.
Çözüm: ÖRNEK 2 (devam) Diskin serbest cisim diyagramı: Disk yatay düzlemde kaymadan yuvarlandığına göre, sadece yay kuvveti ve moment iş yapmaktadır. Yay, tekerleğe yukarıdan bağlı olduğu için G noktasının hareketinden iki kat fazla hareket edecektir: 1 ft.
ÖRNEK 2 (devam) İş: U 1-2 = -1/2k[(s 2 ) 2 (s 1 ) 2 ] + M(θ 2 θ 1 ) U 1-2 = -1/2(10)(1 2 0) + 15(0.5/0.8) = 4.375 ft lb Kinematik İlişki: v G = r ω= 0.8ω Kinetik Enerji: T 1 = 0(durağan halde) T 2 = 1/2m (v G ) 2 + 1/2I G ω 2 T 2 = 1/2(40/32.2)(0.8ω) 2 + 1/2(40/32.2)(0.6) 2 ω 2 T 2 = 0.621 ω 2 İş ve Enerji Prensibi: T 1 + U 1-2 = T 2 0 + 4.375 = 0.621 ω 2 ω= 2.65 rad/s
ÖRNEK 3 Verilen:50 kg lık Charpy sarkacı durağan durum θ= 0 dan serbest bırakılıyor. Sarkacın A ya göre kütle atalet yarıçapı k A = 1.75 m dir. Aranan: Sarkacın θ = 90 anındaki açısal hızını bulunuz. Yöntem: İş yapan tek kuvvet cismin ağırlığıdır, bu sebeple sadece onu dikkate almak yeterli olacaktır.
ÖRNEK 3 (devam) Çözüm: Kütle merkezinin kat ettiği düşey mesafeyi hesaplamamız gerekmekte. y = 1.25 sin θ(yatay durumda başlıyor) Sonra, ağırlığın yaptığı işi hesaplamamız gerekmekte. U w = W y(kuvvet ve yer değiştirme aynı yönlü) U 1-2 = W (1.25 sin θ ) = 50(9.81) (1.25 sin 90 ) = 613.1 N m A noktasına göre kütle atalet momenti: I A = m (k A ) 2 = 50(1.75) 2 = 153.1 kg m 2
ÖRNEK 3 (devam) Kinetik Enerji: T 1 = 0 T 2 = 1/2m(v G ) 2 + 1/2I G ω 2 = 1/2I A ω 2 = 1/2(153.1) ω 2 İş ve Enerji Prensibini uygularsak: T 1 + U 1-2 = T 2 0 + 613.1 = 76.55 ω 2 ω = 2.83 rad/s olarak bulunur. Not: Sarkaca etkiyen dış moment olması durumunda iş terimi ne olurdu?