MEVCUT TEKNOLOJİLERİN SUNDUĞU ÇOKLU TEMSİL OLANAKLARININ OLUŞTURMACI YAKLAŞIMA GETİRECEĞİ YENİLİKLER Soner DURMUŞ, Hakan YAMAN Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, BOLU Özet: Oluşturmacı yaklaşımlar öğrencilerin aktif olarak kendi bilgi birikimlerini paylaşabilecekleri öğrenme ortamları oluşturmayı ilke olarak kabul etmektedirler. Farklı bilgi ve deneyime sahip öğrenciler, matematik alanında çalışırken farklı açıklamalara ve farklı temsil yaklaşımlarına ihtiyaç duyarlar. Çoklu temsil yaklaşımı farklı anlama ve birikimlere sahip öğrencilerin kendilerine uygun temsillerle konuyu anlamalarına olanak sağlayabilir. Bu çalışmada mevcut teknolojilerin (grafik çizerler, bilgisayar yazılımları ve Internet vb.) ne gibi temsiller sundukları ve bu temsillerin oluşturmacı yaklaşımın önemsediği ilkeleri hayata geçirmede nasıl kullanılabilecekleri eleştirel bir yaklaşımla ele alınacaktır. İLGİLİ LİTERATÜR NCTM 000 standartları ile NCTM 989 standartları arasındaki dikkate değer bir fark, yeni bir işlem standardı olan çoklu temsil yaklaşımının ele alınmasıdır. NCTM, 000 standartlarında çoklu temsil yaklaşımını başlı başına ele almış ve kullanılma gerekliliğini açıklamıştır. Çoklu temsil yaklaşımı standardı, öğrencilerin matematiksel fikirleri organize etmede, kaydetmede ve iletmede temsilleri kullanmasını önerir. Ayrıca öğrenciler için problemleri çözerken matematiksel temsiller arasında seçim yapmak, uygulamak ve dönüştürmeyi mümkün kılar (NCTM 000) Temsil kavramı, çocukların düşünme yolları hakkında bazı önemli olguları açıklamak için matematik eğitimi alanında kullanılan çok önemli psikolojik kavramlardan biridir. Aklın bir yeteneği olarak dış dünyanın bir kopyasını çıkarmaktır veya bir görüş çeşidi olarak kişilerin kendi perspektiflerinden bireysel ürünler ortaya çıkarmasıdır (Radford, 00). Son yıllarda mevcut teknolojilerin kullanımıyla matematik eğitiminde çoklu temsil yaklaşımı önemli avantajlar sunmaktadır. Bir matematiksel kavramın, ilişkinin değişik biçimlerde ifade edilmesi olarak tanımlayabileceğimiz çoklu temsil yaklaşımı günümüzde bir çok eğitimci tarafından kullanılmakta ve önerilmektedir. Çoklu temsil yaklaşımı matematik öğretimi ve öğrenimini etkileyen önemli bir faktördür. Bu yaklaşım, matematiksel ilişki, kavram veya kuralın sözle, grafikle, tabloyla ya da cebirsel sembol olarak sunulması diye düşünülebilir. Öğrencilere kelimelerde sözel, tablolarda sayısal, grafiklerde görsel ve sembollerde cebirsel olarak matematiksel kavramları anlamada yardımcı olur. Bu sayede öğrenciler matematiğin çeşitli biçimlerini öğrenebilirler (Choike, 000). Çoklu temsil yaklaşımı kavramsal anlamayı geliştirir. Daha yüksek seviyede matematik yapmak için öğrencileri hazırlar. Gerçek dünya matematiğine başvurur. Etkili olarak daha fazla teknoloji kullanımını sağlar ve öğrencileri farklı öğrenme stillerine adapte eder (Schultz & Waters, 000) Zihinsel bir temsil doğrudan bireylerin görsel ve bedensel organlarının ürünü değildir. Bunun nedeni bireylerin duydukları ve gördükleri şeylerle doğrudan temas kurmamalarıdır. Bu temas bireylerin kendi kültürleri ve kavram cephaneliği arasında arabuluculuk eder. O halde her bireyin kültürü ve çevresi farklı olduğundan oluşturacakları zihinsel temsilleri de birbirinden farklı olacaktır (Radford, 00). Oluşturmacılık yaklaşımı benimsenerek konu ele alınırsa; oluşturmacılık, öğrencilerin bilgilerini etkin bir biçimde ve kendi çevreleri ile etkileşimde bulunarak, kendi yöntemleri ile kurmalarını önerir. Dolayısıyla, herkesin bir temsilden aynı kavramı anlamasını ya da bir temsilin herkese aynı oranda anlamlı gelmesini düşünmek hatadır (Özgün-Koca, tarihsiz). Temsilin, üç özelliği birbiriyle etkileşerek o temsilin etkinliğini ortaya koyar. Bunlar: - Konu faktörleri (önceki bilgi, bilişsel stil) - Temsilin anlamsal özellikleri 3- Görevin istedikleri Temsilin kullanımında öğrencilere sunulan doğrudan bilgi bu üç faktörün hepsine hitap eder. Bireyler bilgi inşası boyunca, kendi fikirlerini test eder, eski bilgilerini yeniden düzenler, bir modelden bir diğerine bilgiyi dönüştürür ve problemin istediklerine göre bu bilgiyi o konuya adapte etmeye çalışır. Analitik
düşünme alanında konunun parça parça veya küçük küçük temsillerini üretirler. Bazı konularda ise çok yönlü temsiller oluştururlar (Cox, 999). Çoklu temsil yaklaşım, matematiğin temelini oluşturan problem çözümlerini bulmada öğrencilere büyük yararlar sağlamaktadır. Tanımlanan ve sunulan matematiğin bütün biçimlerini kullanmak, bir problem durumunu kavramayı ve anlamayı kazanmak için etkili bir araç olmaktadır. Polya nın ünlü 4 basamaklı problem çözme metodu; bilinmeyeni tanımlama, problem koşullarını yerleştirme, daha uygun bölümler içinde koşulları ayırma ve bir figür veya resim çizme vasıtasıyla problemin anlaşılması ile başlar. Burada öğrencilerin yaşayacağı zorluk problemi temsil edecek bir resim bulmaları olabilir. En iyi durum problemin çeşitli durumlarını temsil edecek bir çok resim çizmektir. Çoklu temsil şemasında grafiksel ve cebirsel çözümler, geometrik çözümler ile karşılaştırılabilir (Embse & Yoder, 998). Matematik eğitimcileri geleneksel olarak matematiksel nesneler ve onların temsilleri arasındaki karışıklıktan kaçınmak amacıyla cebirsel temsilin kullanılmasına odaklanırlar. Onlar normal olarak geometri ve sezgisel temsili ele almazlar. Çünkü onlar için temsilin cebirsel sistemi formaldır, diğerleri değildir. Bu yüzden bazı öğrenciler kavramları oluşturmada temsillerin kısıtlamalarına bağlı olarak zorluklar yaşarlar. Yapılan araştırmalar göstermiştir ki bir matematiksel nesnenin bir öğrenci tarafından inşası bir çok görsel temsilin kullanımına bağlıdır (Hitt, 00). TEMSİL YAKLAŞIMINDA TEKNOLOJİ Matematiksel kavram ve ilişkilerin soyut olarak ele alınması öğrencilerin derse karşı olumsuz tutum geliştirmelerine neden olabilir (Durmuş, 999). Kavramlarla ilişkili bir sistem olarak matematik öğretmek, öğretmenler için oldukça zordur. Sık sık eğiticiler öğretme becerilerine çok zaman harcarlar. Bunun sonucu olarak matematiği anlamada önemli olan kavramlara yoğunlaşmaya az zaman kalır. Öğrenciler sembollerle oynamayı pek sevmezler. Teknoloji tarafından sağlanan grafiksel temsil modelleri gibi diğer temsiller de mantıksal bir tartışmanın oluşmasında önemli bir rol oynar ve öğrencilerin matematiksel kavramlardan hoşlanmalarına yardımcı olur (Lapp, 999). Dünyada, eğitim alanındaki değişimlerden biri bilgisayar yazılımları ve grafik çizer hesap makineleri gibi yeni teknolojilerin kullanılmasıdır. Günümüz teknolojisinde öğrencilerin aynı anda birden fazla matematiksel temsile ulaşması mümkün hale gelmiştir. Öğrenciler bilgisayarlar ile istedikleri grafikleri çizebilir, istedikleri tabloları yapabilir ve sembolik hesaplamaları yapabilirler. Çizdikleri grafiklerin herhangi bir parçasını büyütüp küçültebilirler. Öğrenciler a, b ve c değiştiğinde y = ax + bx + c ne olur? veya (,) ve (3,4) noktalarından geçen doğruyu bulunuz? gibi sorulardan teknoloji vasıtasıyla hoşlanabilirler. Bilgisayarlar ve grafik çizerler kullanılmadan önce öğrenciler böyle soruları tartışır ve öğretmenlerde bu tartışmaları kontrol ederdi. Bilgisayar sınıflarının ana özelliklerinden bir öğretmenler tarafından kontrolün, kısmi olarak kaybolmasıdır. Bilgisayarlar ve güçlü yazılımlarla donatılan bir sınıfta öğrenciler, soruları genelleyebilir ve buluşlar yapabilir (Borba, 995). BAZI ÇOKLU TEMSİL ÖRNEKLERİ Çoklu temsil yaklaşımını bu şekilde açıkladıktan sonra şimdi de örneklerine bakalım. İlk önce somut bir problem yazılabilir. Sonra teknoloji yardımıyla tablo ve grafik çözümleri yapılabilir. Son olarak da cebirsel veya sembolik olarak problem çözülebilir. Hatta yine teknoloji yardımıyla ileri düzeyde ki sınıflar için matris çözümleri de yapılabilir. Şimdi bu temsilleri tek tek inceleyelim. İlk sorumuz ortaokulun. sınıflarından itibaren programda geçen iki bilinmeyenli iki denklemin çözüm kümesini bulmak olsun. ( x + y = 7 ) ve ( x + 4y = 0 ). SOMUT-SÖZEL: Burada öğrencilerin dikkatini çekebilecek gerçek yaşamda gördükleri, kullandıkları nesneleri kullanarak bir problem yazılabilir. İnek ve tavukların toplam sayısının 7 olduğu bir çiftlikte, bu hayvanların ayaklarının sayısı ise 0 dir. Acaba bu çiftlikte kaç inek ve kaç tavuk vardır? 5 tavuk varsa tane inek olmak zorundadır. Tavukların 0, ineklerin ise 8 ayağı vardır. Toplamı 8 yapar. Böyle deneme yanılmalarla öğrenciler doğru cevaba ulaşabilirler.. TABLO: y = 7 x ve y = 5 0,5x denklemlerinde x yerine değerler verilip y ler bulunur ve bu değerlerden bir tablo oluşturulur. Bu tabloda x in değişik değerleri için y ler aynı olduğunda çözüm bulunur.
3. GRAFİK: y = 7 x ve y = 5 0,5x denklemlerinin grafikleri (Şekil ) çizilir. Bu iki doğrunun kesim noktası bize çözümü verir. Şekil : x + y = 7 ve x + 4y = 0 doğrularının Graphmatica adlı programda çizilmiş grafiği 4. MATRİS: A x 7 =, ve 4 X = y B = 0 AX. = B buradan X = A. B yardımıyla x ve y bulunur. 5. CEBİRSEL: a)yok etme metodu: Birinci denklemi (-) ile çarpıp taraf tarafa topladığımızda x ler gidecek ve y yi bulacağız. Sonra bulduğumuz y yi bu iki denklemden herhangi birisinde yerine yazıp x i de bulacağız. (-)/ x + y = 7 (-x) + (-y) = -4 y = 6 y = 3 x + 4y = 0 x + 4y = 0 y = 3 ü ilk denklemde yerine yazarsak x + 3 = 7 x = 4 Ç = { (4, 3) } olur. b)yerine koyma metodu: Birinci denklemden y yi çekip ikinci denklemde yerine koyalım. x + y = 7 y = 7 x bu denklemi ikinci denklemde y gördüğümüz yere yazalım. x + 4(7 x) = 0 x + 8 4x = 0 -x = -8 x = 4 y = 7 x = 7 4 = 3 y = 3 Ç = { (4, 3) } olur. İkinci problemimiz ise biraz lise seviyesinde olmasına rağmen ortaokul son sınıfta gösterilen Pisagor bağıntısı ile ilgili bir problemdir. Cankurtaran bir yüzücünün başının dertte olduğunu görür. Yüzücü cankurtaranın olduğu yerden sahil boyunca 50 m ileridedir. Kıyıdan ise 60 m açıktadır. Cankurtaran ortalama 8 m/sn hızla koşabildiğine ve ortalama m/sn hızla da yüzebildiğine göre yüzücüye en kısa zamanda nasıl ulaşır (Akıntının yüzmeyi engellemeyecek kadar az olduğu varsayılmıştır). Bu soruda herkesin kendine göre bir temsili olacaktır. Kimi 50 m kıyıda koşup sonra da 60 m yüzerse (Şekil -a), kimi doğrudan denize girip yüzerse (Şekil -b), kimi de bir miktar koşup geri kalanını yüzerse (Şekil -c) en kısa zamanda yüzücüye varabileceğini düşünür. - - (a) (b) (c) Şekil : Cankurtaran ve yüzücü probleminin olası durumlarının TI-9 grafik çizer hesap makinesi ile gösterilmesi
. SOMUT-SÖZEL: Bu problemde dediğimiz gibi herkesin farklı bir temsili olabilir. Burada öğrenciler cankurtaran karada ne kadar zaman koşarsa, denizde ne kadar zaman yüzerse en az zamanda yüzücüye varacağını düşünmelidir. Öğrenciler değişik sayılar vererek çözüme yaklaşmaya çalışabilir. ZAMAN = YOL / HIZ bağıntısını kullanırsak: Cankurtaran 00 m. koşsun o halde = 00 / 8 =,5 sn. dir. 00 m. koştuktan sonra yüzme t mesafesi 60 dan fazla olacaktır. Yüzme mesafesine de 70 m. dersek t = 70 / = 35 sn. olacaktır. Buradan da toplam zaman T = t + t =,5 + 35 = 47,5 bulunur. Bu tabi ki doğru bir cevap olmaz fakat öğrencilerin problemi gözlerinde canlandırması için iyi bir alıştırma olur. TABLO: Bu problemde x lere farklı değerler verildikçe t değeri artacak veya azalacaktır. Bulunan bu değerlere göre çözüm yaklaşık olarak bulunabilir. x t t T = ( t + t ) 0 0 808, 808, 80 0 46, 56, 0 5 33, 5 48, 5 30 6, 5 3, 6 47, 85 40 7, 5 30, 4 47, 9 50 875, 30 4875, Buna göre çözüm x, 30 ile 40 arasındayken yaklaşık olarak 47,8 dir. 3. CEBİRSEL: Cankurtaranın kumsalda ne kadar koşacağını ve ne kadar yüzeceğini gösteren bir fonksiyon yazmaya çalışılırsa; kumsalda x m. kadar yol alıyorsa t = x / 8 sn. dir. Pisagor bağıntısından denizde yüzdüğü yol ( 50 ) 60 x + m. dir. Buradan da t = 60 + ( 50 x) / sn. dir. O halde fonksiyonumuz: ( 50 x) x 60 + T = + olur. 8 4. GRAFİK: Bu fonksiyonun grafiğini çizersek (Şekil 3 - a ve b) çıkan eğrinin minimum noktası bize çözümü verir. (a) ( ) x 60 + 50 x Şekil 3 (a-b): T = + fonksiyonunun Graphmatica adlı programda ve TI-9 8 grafik çizer hesap makinesinde çizilmiş grafiği (b)
SONUÇ Bilgisayar yazılımları ve grafik çizer hesap makineleri gibi teknolojilerin sunduklar temsil zenginliği ele alınan kavram ve kuralları ve bunlarla ilgili değişik seviyedeki problemleri çözmede geniş bir hareket alanı sunmaktadırlar. Öğrenme ortamında öğrenciler kendi bilgi birikimlerini ve deneyimlerini diğerleri ile paylaşırken kendilerine uygun temsillerle kendilerini ifade edip öğrenme-öğretme sürecini zenginleştirebilirler. Bu da çağdaş öğrenme teorilerinin hedefledikleri en önemli amaçlardan olması sebebiyle bu farklı temsillerden faydalanmayı bir zorunluluk haline getirmektedir. KAYNAKÇA Borba, M.C. (995). Teaching Mathematics: Computers in the Classroom. Clearing House, Vol.68, Issue 6, p333, p Choike, J.R. (000). Teaching Strategies for Algebra for All. Mathematics Teacher, Vol.93, Issue 7, p556, 5p Cox, R. (999). Representation Construction, Externalised Cognition and Individual Differences. Learning and Instruction, p343-363 Durmuş, S. (999). The Effects of the Use of Technology on College Algebra Students Achievements and Attitudes Toward Mathematics: A Constructivist Approach. Yayımlanmamış Doktora Tezi, The University of Michigan Embse,C.V. & Yoder, V.W. (998). Multiple Representation and Connections Using Technology. Mathematics Teacher, Vol.9, Issue, p6, 6p, 8bw Hitt, F. (998-00). Working Group on Representation and Mathematics Vizualization. North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education: Working Group on Representation and Mathematics Visualization. p-7, <http://www.matedu.cinvestav.mx/wg-hit.pdf> (00, 0 Haziran) Lapp, D.A. (999). Multiple Representations for Pattern Exploration with the Graphing Calculator and Manipulatives. Mathematics Teacher, Vol.9, Issue, p09, 5p NCTM (000). Standarts for School Mathematics. <http://www.nctm.org/standards/standards.htm> (00, 8 Mayıs) Özgün-Koca, S.A. (tarihsiz). Bilgisayar Ortamındaki Çoğul Gösterimlerin Öğrencilerin Matematiksel Kavramları Öğrenmeleri Üzerindeki Etkileri. Yayımlanmamış Doktora Tezi, Ohio State University. <www.yok.gov.tr/egfak/asli.html - 34k> (00, 8 Haziran) Radford, L. (998-00). Rethinking Representations. North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education: Working Group on Representation and Mathematics Visualization, pp. 7-, <http://www.matedu.cinvestav.mx/radford.pdf> (00, 0 Haziran) Schultz, J.E. & Waters, M.S. (000). Why Representations?. Mathematics Teacher, Vol.93, Issue 6, p448, 6p