YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/71

İçerik n Bulunması Kuzey-Batı Köşe Yöntemi En Küçük Maliyetli Göze Yöntemi Sıra / Sütun En Küçüğü Yöntemi Vogel Yaklaşım Metodu (VAM) Optimum Çözümün Bulunması Atlama Taşı Yöntemi Çoğaltan Yöntemi 2/71

Ulaştırma modelleri Üretilen malların belirli hedeflere minimum maliyetle gönderilmesini amaçlayan, doğrusal programlama modellerinin özel bir türüdür. Amaç, üretim merkezlerinden dağıtım merkezlerine mallar dağıtılırken, bu işi minimum maliyetle gerçekleştirmektir. 3/71

Ulaştırma modelleri, aşağıdaki alanlarda kullanılabilir: Üretim ve tüketim merkezleri arasındaki optimal mal dağıtımının belirlenmesinde İşlerin makinelere dağıtımında Üretim planlamada Şebeke ağı problemlerinde Tesis yeri seçiminde İşgücü programlama Stok kontrolü 4/71

Ulaştırma problemlerinin matematiksel modeli: i: üretim (arz) merkezi j: tüketim (talep) merkezi A i : i. üretim merkezinin kapasitesi T j : j. tüketim merkezinin talebi c ij : i. merkezden j. merkeze 1 birim ürün göndermenin maliyeti X ij : i. merkezden j. merkeze ulaştırılan miktar Amaç: Minimum Z = C ij X ij 5/71

Ulaştırma problemlerinin şematik gösterimi: Kaynaklar (Arz) (Talep) A1 C ij : X ij T1 A2 T2 A3... T3... Am C mn : X mn Tn 6/71

Ulaştırma tablosu örneği: 1 2 3 Arz 1 X 11 C 11 X 12 C 12 X 13 C 13 A1 2 X 21 C 21 X 22 C 22 X 23 C 23 A2 3 X 31 C 31 X 32 C 32 X 33 C 33 A3 Talep T1 T2 T3 7/71

Ulaştırma tablosunun dengelenmesi: Toplam Arz = Toplam Talep eşitliği sağlanıyorsa, ulaştırma problemi dengededir. Eğer eşitlik sağlanmıyorsa problemi dengeye getirmek için: Talep < Arz ise, probleme yapay hedef eklenir ve sanki eklenen hedefe de mal gönderiliyormuş gibi düşünülür. Talep > Arz ise, probleme yapay kaynak eklenir ve yapay kaynaktan da eksik olan talep karşılanabilirmiş gibi düşünülür. 8/71

Başlangıç çözümün bulunması: Ulaştırma problemlerinin çözülebilmesi için, öncelikle bir başlangıç çözümünün bulunması gereklidir. Bulunan bir çözümün geçerli olabilmesi için i satır (kaynak) ve j sütundan (hedef) oluşan bir ulaştırma probleminde çözüm sonucunda atama yapılan hücrelerin sayısı, (i + j 1) e eşit olmalıdır. 9/71

Başlangıç çözümün bulunması: 1. Kuzey-Batı Köşe Yöntemi 2. En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi 3. Sıra / Sütun En Küçüğü Yöntemi 4. Vogel Yaklaşımı Metodu (VAM) 10/71

Örnek 1: Arz ve talep miktarları: Kaynak Arz Hedef Talep T 1 T 2 T 3 350 Birim taşıma maliyetleri: Kaynak T 1 T 2 T 3 10 6 5 7 8 8 6 9 12 11/71

Örnek 1: T 1 T 2 T 3 Arz 10 6 5 X 11 X 12 X 13 7 8 8 X 21 X 22 X 23 6 9 12 X 31 X 32 X 33 Talep 350 800 Toplam Arz () > Toplam Talep (800) olduğundan; Hayali Hedef eklenir. 12/71

Örnek 1: Dengelenmiş ulaştırma tablosu: X 11 X 12 X 13 X 14 X 21 X 22 X 23 X 24 X 31 X 32 X 33 X 34 Talep 350 50 13/71

1. Kuzey-Batı Köşe Yöntemi Bu yöntemde, ulaştırma tablosunun sol üstteki hücresinden başlanarak elverişli miktarlar olabildiği kadar dağıtılır. Maliyetler göz önüne alınmaz. Karşılanan talep ya da arzla ilgili satır ya da sütün devreden çıkarılarak tablonun geriye kalan bölümü için dağıtıma devam edilir. 14/71

Örnek 1: (Kuzey-Batı Köşe Yöntemi) Talep 350 50 15/71

Örnek 1: (Kuzey-Batı Köşe Yöntemi) Talep 350 50 16/71

Örnek 1: (Kuzey-Batı Köşe Yöntemi) 50 Talep 350 50 17/71

Örnek 1: (Kuzey-Batı Köşe Yöntemi) 50 150 Talep 350 50 21/71

Örnek 1: (Kuzey-Batı Köşe Yöntemi) 50 150 50 Talep 350 50 25/71

Örnek 1: (Kuzey-Batı Köşe Yöntemi) Maliyet=*10+50*7+*8+150*8+*12+50*0 Maliyet=7550 50 150 50 Talep 350 50 26/71

2. En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi Ulaştırma tablosundaki en düşük birim maliyete sahip gözeye, olabilecek en büyük miktar atanarak işe başlanır. Sonra sıra ile bir sonraki en düşük maliyetli gözeye atama yapılır ve tüm arz ve talep miktarları karşılanana kadar işlem sürdürülür. 27/71

Örnek 1: (En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi) 50 Talep 350 50 28/71

Örnek 1: (En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi) 50 50 Talep 350 50 34/71

Örnek 1: (En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi) 50 150 50 Talep 350 50 38/71

Örnek 1: (En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi) Maliyet=*5+50*7+*8+150*8+*6+50*0 Maliyet=5350 50 150 50 Talep 350 50 39/71

3. Sıra veya Sütun En Küçüğü Yöntemi Bu yönteme göre önce birinci satırdaki/sütundaki en küçük maliyetli hücreye en büyük atama yapılır. Eğer 1.satır/sütun doyurulmamışsa, aynı sıradaki/sütundaki bir sonraki en düşük maliyetli hücreye atama yapılır ve tüm satır/sütunlar için bu işlem sürdürülür. 40/71

Örnek 1: (Sıra veya Sütun En Küçüğü Yöntemi) 50 Talep 350 50 41/71

Örnek 1: (Sıra veya Satır En Küçüğü Yöntemi) 50 Talep 350 50 42/71

Örnek 1: (Sıra veya Satır En Küçüğü Yöntemi) 150 50 Talep 350 50 43/71

Örnek 1: (Sıra veya Satır En Küçüğü Yöntemi) 150 50 150 Talep 350 50 47/71

Örnek 1: (Sıra veya Satır En Küçüğü Yöntemi) 150 50 150 50 Talep 350 50 51/71

Örnek 1: (Sıra veya Satır En Küçüğü Yöntemi) Maliyet=150*5+50*0+*7+150*8+*9+50*12 Maliyet=6100 150 50 150 50 Talep 350 50 52/71

4. Vogel Yaklaşımı Metodu (VAM) Vogel yaklaşımı, diğer yöntemler kadar kolay bir şekilde başlangıç çözümü vermez. Fakat elde edilen başlangıç çözümü, optimal çözüme oldukça yakındır. Bu yöntemde, en düşük maliyetli gözleri seçmemekten doğan ek maliyetler hesaplanır. Bunlara ceza maliyetleri denir. 53/71

4. Vogel Yaklaşımı Metodu (VAM) 1. Ulaştırma tablosundaki maliyetler göz önüne alınarak, her bir satır ve sütun için cezalar belirlenir. Her bir satırda/sütunda yer alan en küçük maliyetli eleman, aynı satırdaki/sütundaki en küçük maliyetli ikinci elemandan çıkarılır. 2. En büyük ceza seçilerek bu cezanın karşısındaki satır ya da sütundaki en düşük maliyetli hücreye olabildiğince atama yapılır. 3. Ceza maliyetleri sürekli hesaplanarak, geriye kalan hücreler için de aynı işlem tekrarlanır. 54/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) XYZ Rent A Car şirketi arabalarını iki merkezden kiraya vermektedir. Arabaları kiralamak isteyen kişilerin talepleri sırasıyla 9, 6, 7 ve 9 arabadır. Şirketin elinde fazladan 1. merkezde 15, 2. merkezde ise 13 araba vardır. Kira sözleşmesine göre arabaların işleri bittikten sonra kiralanan merkeze teslim edilmeleri gereklidir. 55/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) Arabaların kiraya verildikleri merkez ile müşterilerin bulundukları yerler arasındaki birim taşıma maliyetleri aşağıdaki gibidir. 1.müşteri 2.müşteri 3.müşteri 4.müşteri 1.merkez 45 17 21 30 2.merkez 14 18 19 31 56/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) 45 17 21 30 15 14 18 19 31 0 0 0 0 Talep 9 6 7 9 31 13 3 31 57/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) Satır Ceza 45 17 21 30 15 4 14 18 19 31 0 0 0 0 Talep 9 6 7 9 Sütun Ceza 14 17 19 30 31 13 4 3 0 31 58/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) Satır Ceza 45 17 21 30 15 4 14 18 19 31 0 0 0 0 3 Talep 9 6 7 9 Sütun Ceza 14 17 19 30 31 13 4 3 0 31 59/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) Satır Ceza 45 17 21 30 15 4 14 18 19 31 0 0 0 0 3 Talep 9 6 7 9 Sütun Ceza 31 1 2 1 31 13 4 3 31 60/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) Satır Ceza 45 17 21 30 15 4 14 18 19 31 9 0 0 0 0 3 Talep 9 6 7 9 Sütun Ceza 31 1 2 1 31 13 4 3 31 61/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) Satır Ceza 45 17 21 30 15 4 14 18 19 31 9 0 0 0 0 3 Talep 9 6 7 9 Sütun Ceza 1 2 1 31 13 1 3 31 62/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) Satır Ceza 45 17 21 30 6 15 4 14 18 19 31 9 13 1 0 0 0 0 3 3 Talep 9 6 7 9 31 31 Sütun Ceza 1 2 1 63/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) Satır Ceza 45 17 21 30 6 15 9 14 18 19 31 9 13 12 0 0 0 0 3 3 Talep 9 6 7 9 31 31 Sütun Ceza 2 1 64/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) Satır Ceza 45 17 21 30 6 15 9 14 18 19 31 9 4 13 12 0 0 0 0 3 3 Talep 9 6 7 9 31 31 Sütun Ceza 2 1 65/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) 45 17 21 30 6 15 14 18 19 31 9 4 13 0 0 0 0 3 3 Talep 9 6 7 9 31 31 Sütun Ceza Satır Ceza 66/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) 45 17 21 30 6 3 15 14 18 19 31 9 4 13 0 0 0 0 3 3 Talep 9 6 7 9 31 31 Sütun Ceza Satır Ceza 67/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) 45 17 21 30 6 3 15 14 18 19 31 9 4 13 0 0 0 0 3 3 Talep 9 6 7 9 31 31 Sütun Ceza Satır Ceza 68/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) 45 17 21 30 6 3 6 15 14 18 19 31 9 4 13 0 0 0 0 3 3 Talep 9 6 7 9 31 31 Sütun Ceza Satır Ceza 69/71

Örnek 2: (Vogel Yaklaşımı Metodu-VAM) Maliyet=6*17+3*21+6*30+9*14+4*19+3*0 Maliyet=547 45 17 21 30 6 3 6 15 14 18 19 31 9 4 13 0 0 0 0 3 3 Talep 9 6 7 9 31 31 70/71

TEŞEKKÜRLER SORULAR! ouygun@sakarya.edu.tr 71/71