ÖZ İSSİ NZR İRMİTRİN HİMRİNİ İRYN TOM ORMÜRİ HZIRYN ÖĞRNİR: da ROĞN ge Onat ÖZSÜR NIŞMN ÖĞRTMN: izem ÜN ÇISÖZ İZMİR 2014
İÇİNİR 1. ROJNİN MI.. 3 32. İRİŞ.... 3 3. ÖN İİR..... 4 4. NZR ÜÇNRİN NRINN NZR ÜÇN İRMİTRİN HİMRİN ÇİŞ. 8 SONUÇR V TRTIŞM.... 21 TŞÜR... 13 YNR.. 13 21 321 0 2
1. ROJNİN MI u projenin amacı, hacmi V olan bir üçgen piramidin herhangi bir ayrıtının üzerinde, herhangi bir yüzeyinde, piramidin iç bölgesinde veya dış bölgesinde alınan bir noktasını içeren ve piramidin tüm yüzeylerine paralel olan düzlemler ile piramit kesildiğinde oluşan benzer üçgen piramitlerin hacimleri ile büyük piramidin hacmi arasındaki bağıntıları belirlemektir. 2. İRİŞ 1996 yılında İsveç Matematik Olimpiyatları nda yer alan aşağıdaki problemden yola çıkılarak bu çalışma oluşturulmuştur: lanı S olan bir üçgeninin içerisinde alınan bir noktasından, üçgenin tüm kenarlarına paraleller çizilerek 6 bölge oluşturuluyor. Oluşan üçgensel bölgelerin alanları ise olduğunu ispatlayınız. rojede, düzlem üzerinde yer alan bir üçgen için sağlanan bu özellik, noktasının üçgenin bir kenarının üzerinde veya üçgenin dış bölgesinde olması durumları göz önüne alınarak incelenmiştir. aha sonra, bu ilginç özellik üçüncü boyuta taşınmıştır. unun için, bir üçgen piramit alınıp piramit ile aynı uzayda olan herhangi bir nokta seçilmiştir. u noktadan geçen ve piramidin tüm yüzeylerine paralel olan tüm düzlemler ile piramit kesildiğinde oluşan küçük üçgen piramitlerin hacimleri arasındaki bağıntının oluşturulması hedeflenmiştir. Seçilen noktanın piramidin herhangi bir ayrıtının üzerinde, herhangi bir yüzeyinde, iç bölgesinde, dış bölgesinde olması durumları tek tek incelenip paralel düzlemler önce el ile çizilmiş, oluşan küçük piramitler belirlenmiştir. aha sonra, yapılan bu çizimler bilgisayar aracılığı ile çizdirilerek netleşmeleri sağlanmıştır. enzerlik kurallarından yararlanarak en genel durumda, hacmi olan bir üçgen piramit yukarıdaki koşullara göre kesildiğinde; piramidin içinde oluşan benzer piramitlerin hacmi, piramidin dışında Uyarı 4.4 de belirtilecek olan ek düzlem koşulu ile oluşturulan benzer piramidin hacmi, piramidin dışında oluşan benzer piramidin hacmi olmak üzere, olduğu ispatlanmıştır. Seçilen noktanın bulunduğu konuma göre en çok dört tane benzer piramit oluşmaktadır. u nedenle, formüldeki lerden en az iki tanesi sıfıra eşittir. 3
3. ÖN İİR u bölümde, bu çalışma boyunca kullanılacak olan teorem ve önermeler yer almaktadır. TORM 3.1 a) ve benzer iki üçgen olsun. u üçgenlerin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. ([1]) b) ve MN benzer iki üçgen piramit olsun. u durumda hacimlerinin oranı, benzerlik oranının kübüne eşittir. İST a) ve olsun., ve kenarına ait yükseklik, kenarına ait yükseklik h olmak üzere olsun. elde edilir. O halde, b) ve olsun. MN piramidinin taban alanı ve yüksekliği sırasıyla ve, piramidinin taban alanı ve yüksekliği sırasıyla ve olsun. u durumda, olmak üzere elde edilir. O halde, dür. 4
Öncelikle projemize ilham kaynağı olan olimpiyat probleminin çözümünü yapalım: ÖNRM 3.2 (1996 İSVÇ MTMTİ OİMİYTRI) [1] : lanı S olan bir üçgeninin içerisinde alınan bir noktasından, üçgenin tüm kenarlarına paraleller çizilerek 6 bölge oluşturuluyor. Oluşan üçgensel bölgelerin alanları ise İST: noktasından geçen ve d 2 1) [] kenarına paralel olan doğru, [] ve [] kenarlarını sırasıyla M ve R noktalarında, S R 2) [] kenarına paralel olan doğru, [] ve [] kenarlarını sırasıyla S ve N noktalarında, a 1 S 1 S 2 a 2 d 1 3) [] kenarına paralel olan doğru, [] ve [] kenarlarını sırasıyla ve noktalarında S 3 kessin. Yandaki şekilde verilenlere göre, a 1 M a 3 N a 2 d 1 // [], d 2 // [] ve d 3 // [] olduğundan S üçgeni ile üçgeni, R üçgeni ile üçgeni ve MN üçgeni ile üçgeni benzer O halde,,, ve olmak üzere a d 3 ise olur. Teorem 3.1 a) dan erekli düzenlemeler yapılarak olduğu bulunur. 5
ÖNRM 3.3 lanı S olan bir üçgeninin [] kenarı üzerinde bir noktası alınsın. noktasından [] ve [] kenarlarına paralel doğrular çizilerek oluşturulan üçgensel bölgelerin alanı ise İST: S1 a 1 S2 d1 noktasından geçen ve [] kenarına paralel olan doğru, [] kenarını noktasında; [] kenarına paralel olan doğru ise [] kenarını noktasında kessin. Yandaki şekle göre, d 1 // [] ve d 2 // [] olduğundan üçgeni ile üçgeni ve üçgeni ile üçgeni benzer O halde, ve ve olmak üzere d2 a 1 a 2 a ise elde edilir. iğer taraftan Teorem 3.1 a) dan, erekli düzenlemeler yapılarak olduğu bulunur. ÖNRM 3.4: lanı S olan bir üçgeninin dış bölgesinde alınan bir noktasından, üçgenin tüm kenarlarına paralel doğrular çizilsin. una göre, I. URUM S 1 noktası, köşesinden geçen ve kenarına paralel doğrunun üzerinde olsun. noktasından geçen ve kenarına paralel olan doğru üçgenin ve kenarlarını sırasıyla ve noktalarında kessin. u durumda, oluşan ve üçgensel bölgelerinin alanları sırasıyla S 1 ve S 2 ise S 2 6
II. URUM S 1 noktası, köşesinden geçen ve kenarına paralel doğrunun üzerinde olsun. noktasından geçen ve kenarına paralel olan doğru üçgenin ve kenarlarını noktasında kessin. u durumda, oluşan üçgensel bölgesinin alanı S 1 ise III. URUM S 1 S1 S 2 noktasından geçen ve kenarına paralel olan doğru ve kenarlarını sırasıyla ve noktalarında kessin. noktasından geçen ve kenarına paralel olan doğru ise üçgenin ve kenarlarını sırasıyla ve noktalarında kessin. u durumda, oluşan, ve üçgensel bölgelerinin alanları sırasıyla ise S 3 IV. URUM S 1 S 2 noktasından geçen ve kenarına paralel olan doğru ve kenarlarını sırasıyla ve noktalarında kessin. noktasından geçen ve kenarına paralel olan doğru ise üçgenin ve kenarlarını noktasında kessin. u durumda, oluşan, üçgensel bölgelerinin alanları sırasıyla ise İST: Önerme 3.2 ve 3.3 de yer alan benzer yöntemle ispat kolayca yapılabilir. 7
4. NZR ÜÇNRİN NRINN NZR ÜÇN İRMİTRİN HİMRİN ÇİŞ u bölümde, 3. bölümde yer alan ve düzlemde bir üçgeni için sağlanan özellikler üç boyutlu uzayda üçgen piramitler üzerine taşınmıştır. SİYOM 4.1 aralel iki düzlem başka bir düzlem ile kesildiğinde oluşan arakesit doğruları birbirine paralel olur. ÖNRM 4.2: Hacmi olan bir üçgen piramidin herhangi bir ayrıtının üzerinde alınan bir noktasını içeren ve piramidin yüzeylerine paralel olan tüm düzlemler çizildiğinde oluşan üçgen piramitlerin hacimleri ve olsun. u durumda, İST: Şİ 1 Şekil 1 de verilenlere göre, noktasını içeren ve piramidinin tüm yüzeylerine paralel olan düzlemler ile piramit kesilsin. Oluşan üçgen piramitleri ve ile isimlendirelim., ve üçgen piramitlerinin hacimleri sırasıyla ve olsun. 8
ksiyom 4.1 den,,, ve olur. O halde, ile ve ile piramitleri benzer enzerlik oranları sırasıyla olsun. olmak üzere, ve dolayısıyla elde edilir. olduğundan Teorem 3.1 b) den, olur. erekli düzenlemeler yapılarak elde edilir. ÖNRM 4.2: Hacmi olan bir üçgen piramidin herhangi bir yüzeyinin üzerinde alınan bir noktasını içeren ve piramidin yüzeylerine paralel olan tüm düzlemler çizildiğinde oluşan üçgen piramitlerden ortak köşeleri noktası olanların hacimleri, ve olsun. u durumda, İST: I H M N Şİ 2 9
Şekil 2 de verilenlere göre, noktasını içeren ve piramidinin tüm yüzeylerine paralel olan düzlemler ile piramit kesilsin. Oluşan ve ortak köşeleri noktası olan üçgen piramitler, HI, MN ile adlandırılsın. u piramitlerin hacimleri sırasıyla, ve olsun. ksiyom 4.1 den, HI, MN piramitlerinin üçü de piramidine benzer enzerlik oranları sırasıyla olsun. Şimdi, üçgen piramidin yüzeyine odaklanalım: olmak üzere,,, olduğundan ve dolayısıyla H elde edilir. iğer taraftan, a 1 a 2 olduğundan a 1 a 3 M a 2 Teorem 3.1 b) den a olur. erekli düzenlemeler yapılarak elde edilir. ÖNRM 4.3 (N N URUM) Hacmi olan bir üçgen piramidin iç bölgesinde alınan bir noktasını içeren ve piramidin yüzeylerine paralel olan tüm düzlemler çizildiğinde oluşan üçgen piramitlerden ortak köşeleri noktası olanların hacimleri,, ve olsun. u durumda, İST: Şekil 3 ve Şekil 4 de verilenlere göre, noktasını içeren ve piramidinin tüm yüzeylerine paralel olan düzlemler ile piramit kesilsin. Oluşan üçgen piramitlerden ortak köşeleri noktası olanlar, HIJ, M ve NOR ile adlandırılsın. u piramitlerin hacimleri sırasıyla,, ve olsun. ksiyom 4.1 den, HIJ, M ve NOR piramitlerinin üçü de piramidine benzer enzerlik oranları sırasıyla olsun. 10
I H J M R N O Şİ 3 X I H J Y M Z N O R Şİ 4 11
olsun.,,,, noktasını içeren ve piramidin tabanına paralel olan XYZ düzlemi üzerine odaklanılırsa Şekil 5 deki görüntü oluşur. urada, dır. X X a 1 a 1 b 1 c 1 Z I a 1 a 2 J b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 M a 3 Y Şİ 5 olsun. O halde, dır. iğer taraftan, piramidin yüzüne odaklanılırsa Şekil 6 daki görüntü oluşur. urada, dır. d I d 2 a 2 H J d 4 a Şİ 6 12
uradan, elde edilir. UYRI 4.4 ( ÜZM OŞUU) Şimdi, noktası bir piramidinin dış bölgesinde alınsın. noktasını içeren ve piramidinin yüzeylerine paralel olacak şekilde çizilen düzlemlere ek olarak bir düzlem daha çizilmesi gerekmekte u düzlem, piramidinin dış bölgesinde de benzer bir piramidin oluşması için kullanılacaktır. u ek düzlem, noktasını içeren ve piramidinin yüzeylerine paralel olan düzlemlerin piramidi kestikleri noktadan piramidin dış bölgesine doğru tabana paralel olacak şekilde çizilir. ÖNRM 4.5: Hacmi olan bir üçgen piramidi verilsin. iramidin yüzü ile aynı düzlemde, noktası ile aynı hizada olan ve piramidinin dışında bir noktası alınsın. noktasını içeren ve piramidinin yüzeylerine paralel olan düzlemler çizildiğinde; düzlemler piramidini a) Şekil 7 deki gibi kessin. esim noktasından Uyarı 4.4 te bahsedilen ek düzlem çizildiğinde oluşan piramidin hacmi olsun. u durumda, b) Şekil 8 deki gibi kessin. Ortaya çıkan benzer piramidin hacmi ve kesim noktasından Uyarı 4.4 te bahsedilen ek düzlem çizildiğinde oluşan piramidin hacmi olsun. u durumda, İST: a) Şekil 7 de görüldüğü gibi oluşan piramit piramidine özdeştir. olayısıyla, olduğu açıktır. 13
b) Şİ 7 V2 S R N V1 H M Şİ 8 R S H M N Şİ 9 14
Şekil 8 ve Şekil 9 da gösterildiği gibi H ve RS üçgen piramitleri oluşur. ksiyom 4.1 den bu üçgen piramitlerin üçgen piramidine benzer olduğu açıktır. enzerlik oranları sırasıyla ve hacimleri sırasıyla ve olsun. Şekil 9 daki gibi olacak şekilde piramidini oluşturalım. olduğundan RS ve piramitleri özdeştir. O halde, piramidinin hacmi de uradan, olur. a1, S a2 ve a olsun. S a1 a2 a Teorem 3.1 b) den olur. erekli düzenlemeler yapılarak elde edilir. ÖNRM 4.5: Hacmi olan bir üçgen piramidi verilsin. iramidin yüzü ile aynı düzlemde, noktasının altında ve piramidinin dışında bir noktası alınsın. noktasını içeren ve piramidinin yüzeylerine paralel olan düzlemler çizildiğinde üç durum söz konusudur: I. urum: Oluşan benzer piramitlerin hacimleri ile ve Uyarı 4.4 te bahsedilen ek düzlem çizildiğinde oluşan piramidin hacmi olsun. u durumda, II. urum Oluşan benzer piramidin hacmi ve Uyarı 4.4 te bahsedilen ek düzlem çizildiğinde oluşan piramidin hacmi olsun. u durumda, 15
III. urum: piramidine benzer tek bir üçgen piramit oluşur. İST: I. urum: R O N S Şİ 10 H N R O S M Şİ 11 16
Oluşan benzer piramitler Şekil 10 da görülmekte iramitleri, RS ve RON ile adlandıralım. ksiyom 4.1 den bu piramitlerin piramidine benzer olduğu açıktır. enzerlik oranları sırasıyla,, hacimleri de sırasıyla olsun. olacak şekilde Şekil 11 deki gibi RH piramidini oluşturalım. olduğundan RON piramidi ile RH piramitleri özdeştir. O halde, RH piramidinin hacmi de olur. a1, R N a2, R = a3 ve a olsun. N R a1 a2 a3 a uradan, Teorem 3.1 b) den olur. erekli düzenlemeler yapılarak olduğu bulunur. II. urum Şİ 12 17
H Şİ 13 Oluşan benzer piramitler Şekil 12 de görülmekte iramitleri, ve ile adlandıralım. ksiyom 4.1 den bu piramitlerin piramidine benzer olduğu açıktır. enzerlik oranları sırasıyla,, hacimleri de sırasıyla olsun. olacak şekilde Şekil 13 deki gibi H piramidini oluşturalım. olduğundan piramidi ile H piramitleri özdeştir. O halde, H piramidinin hacmi de olur. a1, a2 ve a olsun. a1 a2 a uradan, Teorem 3.1 b) den olur. erekli düzenlemeler yapılarak 18
olduğu bulunur. III. urum Tek bir üçgen piramit oluşacağından bir toplam formülü elde etmek söz konusu değil ÖNRM 4.6: Hacmi olan bir üçgen piramidi verilsin. piramidinin dış bölgesinde ve havada ( noktası, piramidin yüzeylerini içeren düzlemlerin hiç birinin elemanı değildir) bir noktası alınsın. noktasını içeren ve piramidinin yüzeylerine paralel olan düzlemler çizildiğinde; piramidinin iç bölgesinde oluşan benzer piramitlerin hacimleri,, ve piramidinin dış bölgesinde oluşan piramidin hacmi olsun. u durumda, İST H M N R S T U Şİ 14 19
Oluşan benzer piramitler Şekil 14 de görülmekte iramitleri H, MR, MN, RSTU ile adlandıralım. ksiyom 4.1 den bu piramitlerin piramidine benzer olduğu açıktır. enzerlik oranları sırasıyla, ve hacimleri de sırasıyla ve olsun. piramidinin yüzüne odaklanırsa Şekil 15 deki görüntü oluşur. urada ve dır. H a 2 M N a 1 R a 3 T U a 1 + a 2 a 4 a 2 + a 3 a Şİ 15 olmak üzere, elde edilir. iğer taraftan, olduğundan Teorem 3.1 b) den olur. erekli düzenlemeler yapılarak elde edilir. 20
SONUÇR V TRTIŞM Uzayda herhangi bir noktası verilsin. ir üçgen piramidin tüm yüzeylerine paralel olan ve noktasını içeren düzlemler ile üçgen piramit kesildiğinde oluşan benzer üçgen piramitlerin hacimlerini ilişkilendiren toplam formülleri elde edilmiştir. enzerlik kurallarından yararlanarak en genel durumda, hacmi olan bir üçgen piramit yukarıdaki koşullara göre kesildiğinde; piramidin içinde oluşan benzer piramitlerin hacmi, piramidin dışında Uyarı 4.4 de belirtilen ek düzlem koşulu ile oluşturulan benzer piramidin hacmi, piramidin dışında oluşan benzer piramidin hacmi olmak üzere, olduğu ispatlanmıştır. Seçilen noktanın bulunduğu konuma göre en çok dört tane benzer piramit oluşmaktadır. u nedenle, formüldeki lerden en az iki tanesi sıfıra eşittir. TŞÜR u çalışmanın oluşması sırasında üç boyutlu çizimleri bilgisayarda solidworks programı ile çizen Makine Yüksek Mühendisi rhan ÜN e, bizleri teşvik eden okul yönetimiz ve danışman öğretmenimiz ilim urulu ş aşkanı r. izem ÜN ÇISÖZ e ve bizlerden hiç bir zaman desteklerini esirgemeyen ailelerimize teşekkür ederiz. YNR [1] Serkan üpeli, 2010, 100 Yılın Olimpiyat Sorularıyla eometri, ltın Nokta Yayınevi, İzmir. 21