DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: Sayı: 3 sh. 11-1 Ekim 006 KISA SÜRELİ FOURİER DÖNÜŞÜMÜ İÇİN BAŞARIM KARŞILAŞTIRMA (PERFORMANCE COMPARISON FOR THE SHORT TIME FOURIER TRANSFORM) Gülden KÖKTÜRK ÖZET/ABSTRACT Bu makalede çok oanlı işaet çözümleme yöntemleinden bii olan, kısa süeli Fouie dönüşümü (KSFD) kullanılaak elektokadiogam (EKG) sinyallei incelenmişti. KSFD sonuçlaı, aynı EKG veisine uygulanan ayık kosinüs dönüşümü (AKD) sonuçlaı ile kaşılaştıılmıştı. Analiz sıasında, yeni bi yöntem olan istatistiksel uyalanı dönüşüm kodlama (İUDK) tekniği başaım ölçütlei yönünden KSFD ve AKD ünün kaşılaştıılmasında kullanılmıştı. Sonuçta, bu yöntemin kullanılmasıyla faklı dönüşümlein başaımı kaşılaştıılmıştı. KSFD içesinde uygun işlevle kullanılaak algoitma için N çapımsal işlemle yapılmıştı. Kullanılan tüm dönüşümle tesi alınabili algoitmaladı. Bu dönüşümlein ilinti katsayılaının, pozitif ve AR(1) model kaynaklaı için kullanışlı olduğu göülmektedi. This pape investigates analysis of electocadiogam signals using the shot time Fouie tansfom(stft) that is a method in multiate signal analysis and, the STFT is compaed with the discete cosine tansfom (DCT). In whole analysis, a new tool called statistical adaptive tansfom coding is used. Finally, using this tool we compaed thei pefomance. Choosing fitted function the usage of the STFT equies N eal multiplication. It has invese tansfom algoithm. Its coelation coefficients ae positive and esults of it's ae vey attactive to the DCT fo AR(1) model souce. ANAHTAR KELİMELER/KEYWORDS Kısa süeli Fouie dönüşümü, Başaım kaşılaştıma, Ayık Fouie dönüşümü, İstatistiksel uyalanabili dönüşüm kodlama Shot time Fouie tansfom, Pefomance compaison, Discete Fouie tansfom, Statistical adaptive tansfom coding * DEU Mühendislik Fak., Elektik ve Elektonik Müh. Böl., Buca, İZMİR
Sayfa No: 1 G. KÖKTÜRK 1. GİRİŞ Dönüşüm kodlama, dönüşüm yöntemleinin dikkensellik özellikleinden faydalanılaak bit hızında azaltma sağladığı için iletimde sıklıkla kullanılmaktadı. Biçok aaştımacı göüntü ve ses sinyali uygulamalaı için çeşitli dönüşüm yöntemlei önemektedi (Tanaka ve Yamashita, 001; Ache ve Leen, 000; David ve Dik, 00). Ahmed vd., AKD üzeine çalışmış ve bu dönüşümü diğe dönüşüm yöntemlei ile kaşılaştımıştı (Ahmed vd., 1974). Haddad ve Akansu ses sinyal kodlamada ayık Hemite dönüşümünü kullanmıştı (Haddad ve Akansu, 1990). Chen ve Smith ise göüntü işleme üzeine, uyalanı dönüşüm kodlama yöntemini uygulamıştı (Chen ve Smith, 1977). Standat Fouie dönüşüm yöntemi sinyal işlemenin bi çok alanında başaıyla kullanılı. Fakat, sinyal sonlu süeli olduğunda iyi bi fekans çözünülüğüne sahip değildi. Gabo un geliştidiği KSFD olaak adlandıılan Fouie dönüşümünün iyileştiilmiş bi süümü, sonuçlaı daha iyi bi hale getimişti (Allen ve Rabine, 1977). Bu yöntemde, sinyal; x(t), bi pencee fonksiyonu, g(t), ile eviştiilmişti. Böylece Fouie dönüşümü, bi çok üstünlüğe sahip mekezlenmiş zaman bölgeli eviştiilmiş sinyalin üzeinden alını. Bu yöntemin zaman fekans çözünülüğü Şekil 1 de veilmişti (Rioul ve Vetteli, 1991). Şekilden de göülebileceği gibi, KSFD ile bi boyutlu sinyal, iki boyutlu fonksiyon uzayına eşlenmişti. Fekans (a) Zaman Şekil 1. KSFD nün taban fonksiyonu ve zaman fekans düzlemi; (a) KSFD için zaman fekans çözünülük kaplamı, (b) KSFD için taban fonksiyonlaı Bu çalışmada, bütün dönüşümlee uygulanabili ve ayık işaet işlemede daha iyi fekans çözünülüğüne sahip İUDK yöntemi kullanılmıştı. Bu yöntem, KSFD ve AKD üzeine uygulandıktan sona sonuçla, sinyal-güültü oanı ve dönüşüm kazancı başaım ölçütlei yönünden kaşılaştıılmıştı.. KISA ZAMANLI FOURİER DÖNÜŞÜMÜ (KSFD) Bi sinyalin standat Fouie dönüşümü gösteimi, zaman ve fekanstaki içeiği ile ilişkilidi. Fouie dönüşümü ile sinyal bileşenlee ayılı ve bileşenin gücü belileni. Ancak, bu işlev tüm fekans kaakteistiğini içemez. Standad Foie dönüşümünde fekans otamında lokal bi noktadan bahsedeken bu zaman otamında tüm zaman aalığına kaşı gelmektedi. Bu nedenle, duağan olmayan sinyalle için standat Fouie dönüşümü kullanışlı değildi. Çünkü, duağan olmayan sinyalle, sabit peiyoda sahip değildi ve ani değişimle içei. (b)
Fen ve Mühendislik Degisi Cilt : Sayı : 3 Sayfa No: 13 Sonlu enejiye sahip bi x(t) sinyali alınsın. + x ( t) dt < Buada x(t) sinyalinin tüm t değelei için tanımlı olduğu kabul edilmişti. Hem zaman n, hem de fekans ω s de değelendiilen x(n) in KSFD, { Xn (e j s) } ω şeklindedi (Jayant ve Noll, 194). Genelde bu tanım, dilemsel süzgeç bankasının çıkışına bağlı olduğu için, fekansta tektüel dağılıma sahip bakışımlı (simetik) bant geçien süzgeçin temel fomu ile sınılı kalmaktadı. Basitlik için, KSFD de alçak geçien süzgeç olaak süzgeç bankasının tüm özellikleine sahip bi penceeleme fonksiyonu ω (n) kullanılı. Böylece KSFD X = e j n ( e jω s) ω( n k) x( k ) ω s k () k şeklinde tanımlanı. Bu eşitlik ik yolla geçeklenebili. Bunla; süzgeç banka toplama yöntemi ve ötüştü ekle yöntemidi. İlk yöntemde { X n ( e j ω s) }, ω s için n in bi fonksiyonu olaak geçekleni. Bu (e j ω s), ω (n) ve x(n) j n e ω s in evişiminin bi fomudu. Bu duumda { Xn } [ x( n) e jω s n ]* ω( ) X ( e j n ω s) = n (3) şeklinde gösteili. Buada ω (n), x( n) e jω s n sinyaline uygulanan alçak geçien filtedi. e jω s n, x(n) ile modüle edili ve fekansta 0 dan ω s e kada kaydıılı. Bu duumda KSFD, ω s de ω (n) alçak geçien süzgeç ile fekansta kaydıılmış x(n) in süzgeçlenmesi ile bulunu. İkinci geçekleştime yöntemi olan ötüştü ekle yöntemine göe { X n ( e j ω s) }, z- dönüşümü ile ilişkili x(n) in değiştiilmiş bi dizisinin genel Fouie dönüşümü alınaak tüetili. Bu dizi aşağıdaki gibi tanımlanı. y n ( k) = x( k) ω ( n k) (4) ω, ω s in bi fonksiyonudu. Eşitlik 4 te y (k ), x ve ω n ile ilişkilidi. y n in genel Fouie dönüşümü, x ve ω ın kamaşık evişimidi. KSFD de istenilen zaman ve fekans için en önemli kual, pencee seçimidi. Öneğin pencee fonksiyonu olaak Hamming pencee kullanılsın. Hamming pencee, nedenseldi ve N önekli Hamming pencee fonksiyonu için Sabit n değelei için { X n ( e j s) } ω ( n) = 0 n < 0, n > N ω ( n) 0 0 n N 1 (5) Şeklindedi. ω (n) için tipik Hamming pencee fonksiyonu aşağıdaki gibidi. (1) 0,54 0,46 cos(πn / N), ω ( n) = 0, 0 n N 1 n < 0 ve n > N 1 (6)
Sayfa No: 14 G. KÖKTÜRK 3. UYARLANIR DÖNÜŞÜM KODLAMA (UDK) Dönüşüm kodlama sistemleinde giiş sinyali, katsayılaın nicemlenmesi ve iletilebilmesi için bi dizi haline dönüştüülü. Katsayılaın istatistiksel değelei, he katsayı için iletimi sağlayan bit sayısı sabitken zamanda değişebililiğe sahipti. Bu duum, geniş zaman aalıklaında poblem yaatı. Bu poblemi çözmenin en elveişli yolu öneklenmiş giiş sinyalinin kısa zaman istatistiksel değeleinin hesaba katılmasıdı. Bu işlem, dönüşüm kodlama sisteminin katsayılaı uyalanaak yapılabili (Akansu, 197). Bi dönüşüm kodlama sistemi uyalanı hale getiilebili. Bu yöntem UDK olaak adlandıılı. Bu sistem, uyalanı bit özgüleme ile geçekleştiili. Uyalanı bit özgüleme kullanımı ile kalitenin olduğu kada SNR ın atması da sağlanacaktı. 3.1. İstatistiksel Uyalanı Dönüşüm Kodlama (İUDK) Giiş sinyalinin istatistiksel değeleinin değiştiilmesiyle kodlama sistemi, uyalanı hale getiili. Bu yöntem, dönüşüm katsayılaının istatistiksel özellikleini kullanan bi teknikti ve İUDK olaak adlandıılı. x(t), bi Gaussian benze süeç olsun. Bu süecin zamanda istatistiksel özelliklei değişkendi. Matis fomunda dönüşüm katsayılaı bulunduğunda θ = A x (7) elde edili. İstatistiksel özellikle; kısa-zaman otalama ve değişinti, aşağıdaki gibi tanımlanı. [ s (l ] 1 ηl = θ ) ; s,l 0,1,...,N 1 N s [ (l ] ηl 1 σl = θ ) N s = () ; s,l 0,1,...,N 1 = (9) İUDK da, analiz için alt çeçeve yaklaşımı kullanılı. Benze bi yaklaşım Hung taafından geçek zaman duağan olmayan sinyalle için geliştiilmişti (Chadwick ve Bay, 19). Bu çalışmada, ötüşme olmadan öneklenmiş giiş sinyali, N önekli bloklaa bölünmüştü. He N önek, kaşılaştıma için ayı ayı AKD ve KSFD üne uygulanmıştı. Böylece, İUDK hatayı azaltığı kada dinamik alanı da atıı. 4. KARŞILAŞTIRMA İÇİN BAŞARIM ÖLÇÜTLERİ 4.1.1. Dönüşüm Kazancı, N GTC Bi AR(1) kaynağı aşağıdaki gibi tanımlanı. x( k) = ρ x( k 1) + ζ ( k) (10) Buada; ρ, 1 < ρ < 1, ilinti katsayısıdı ve ζ (k) ; vei ile ilintilenmemiş beyaz, sıfıotalamalı ayık güültüdü. Dabe kod kiplenimi (DKK) üzeine dönüşüm kodlama kazancı, dönüşümlede değelendiilen başaımının bi kitei olaak alını. Matematiksel ifadesi aşağıdaki gibidi.
Fen ve Mühendislik Degisi Cilt : Sayı : 3 Sayfa No: 15 max 1 σ N j j GTC 1 N σ j j { N } (11) Buada N, dönüşüm boyutudu. Bu da SNR SNR db N TC ( db) = PCM ( ) + 10log GTC (1) olduğunu göstei. Bu çalışmada, KSFD ve AKD için dönüşüm kodlama kazancı, sıasıyla N=, 16, 3 ve 64 alınaak hesaplanmıştı. Elde edilen sonuçla Şekil de veilmişti. Şekilden de göülebileceği gibi, katsayılaın değişinti değeinin aitmetik ve geometik değişimlei aynıdı. Bu nedenle, dönüşüm kodlama kazancı işaetten bağımsızdı. ρ ya göe AKD ve KSFD için bi simeti vadı. Ayıca, KSFD nün dönüşüm kazanç başaımı AKD nünkinden yaklaşık 5 db daha iyidi. G TC (db) 14 13 1 11 10 9 7 6 5 4 3 DCT STFT 3 G TC (db) 14 13 1 11 10 9 7 6 5 4 3 (a) DCT STFT 16 G TC (db) 14 13 1 11 10 9 7 6 5 4 3 DCT STFT 64 G TC (db) 14 13 1 11 10 9 7 6 5 4 3 (b) DCT STFT (c) (d) Şekil. DKK üzeine dönüşüm kodlama kazancı, (a) N= için AKD nün KSFD ile kaşılaştıılması (b) N=16 için AKD nün KSFD ile kaşılaştıılması (c) N=3 için AKD nün KSFD ile kaşılaştıılması (d) N=64 için AKD nün KSFD ile kaşılaştıılması
Sayfa No: 16 G. KÖKTÜRK 4.1.. Sinyal Güültü Oanı Bu çalışmada, İUDK algoitması kullanılaak dönüşüm yöntemleinin SNR başaılaı hesaplanmıştı. Nomal ve hasta bieyleden alınan EKG sinyallei bilgisayaa depolanmış ve he sinyal, algoitmaya uygulanmadan önce ölçüm sisteminden kaynaklanan güültüyü otadan kaldımak için süzgeçlenmişti. İUDK algoitması, alt çeçeve yaklaşımı kullanılaak KSFD ve AFD için yeniden düzenlenmişti. Daha sona, kısa zaman otalama ve değişinti hesaplanaak KSFD ve AFD ünün SNR değelei bulunmuştu. Şekil 3 te KSFD ü uygulanmış faklı EKG tüetimlei için SNR sonuçlaı veilmişti. Buada R, katsayı başına otalama bit değeidi. Şekil 4 te ise İUKD algoitmasının SNR başaımı veilmişti ve sadece EKG tüetim I alındığında, R=0,5 bit/katsayı ve R=3 bit/katsayı için SNR gösteilmişti. SNR başaımı testi yönünden KSFD ünün AKD üne göe daha iyi olduğu Şekil 4 te göülmektedi. EKG tüetim sonuçlaı aynı zamanda Çizelge 1 de veilmişti. 106 104 ECG De. I ECG De. II ECG De. III ECG De. avr ECG De. avl ECG De. avf 6 ECG De. I ECG De. II ECG De. III ECG De. avr ECG De. avl ECG De. avf 10 4 100 9 0 96 7 94 (a) 76 (b) 100 ECG De. I ECG De. II ECG De. III ECG De. avr ECG De. avl ECG De. avf ECG De. I ECG De. II ECG De. III ECG De. avr ECG De. avl ECG De. avf 9 0 96 7 94 76 9 74 90 7 70 (c) (d) Şekil 3. KSFD için SNR sonuçlaı, (a) N=16 ve R=0,5 bit/katsayı için (b) N=16 ve R=3 bit/katsayı için (c) N=64 ve R=0,5 bit/katsayı için (d) N=64 ve R=3 bit/katsayı için (ECG tüetimlei nomal bieyleden alınmıştı)
Fen ve Mühendislik Degisi Cilt : Sayı : 3 Sayfa No: 17 10 100 STFT fo R=3 bits/coeff. STFT fo R=0,5 bits/coeff. DCT fo R=3 bits/coeff. DCT fo R=0,5 bits/coeff. STFT fo R=0,5 bits/coeff. DCT fo R=3 bits/coeff. STFT fo R=3 bits/coeff. DCT fo R=0,5 bits/coeff. 0 60 40 0 0 0 10 0 30 40 50 60 70 Tansfom Size(N) Şekil 4. AKD ve KSFD de R=0,5 bit/katsayı, R=3 bit/katsayı, ρ=0,95 ve ECG tüetim I için SNR değelei KSFD için SNR başaım sonuçlaından da kolayca göülebileceği gibi, KSFD nün SNR değelei AKD ne göe daha iyidi. Bu iyi yönlü başaım, düşük N değeleinde en az 30 db, büyük N değeleinde ise yaklaşık 50 db lik bi atışla kendini göstei. Çizelge 1. KSFD için SNR başaımı =0,95; R=0,5 bit/katsayı N ECG Tüetimlei: I II III avr avl AVF 97,34 97,5 97,55 97,4 97,33 97,34 16 94,4 94,55 94,6 94,46 94,3 94,39 3 91,51 91,66 91,71 91,56 91,49 91,5 64,7,4,9,75,67,69 =0,95; R=3 bit/katsayı 79, 79,44 79,49 79,34 79,7 79, 16 76,33 76,49 76,54 76,39 76,3 76,33 3 73,44 73,6 73,65 73,5 73,43 73,44 64 70,64 70,7 70,3 70,69 70,61 70,63
Sayfa No: 1 G. KÖKTÜRK 5. SONUÇ Bu makalede, AKD ve KSFD, dönüşüm kazancı ve SNR başaımı yönünden kaşılaştıılmıştı. He iki başaım ölçütü yönünden KSFD, AKD ne göe daha iyi sonuçla vemişti. SNR başaımı, dönüşüm için alt çeçeve den 64 e doğu atııldığında atmıştı. Buda, EKG sinyalleinde KSFD ünün alt çeçeve boyutu atılıldığında daha iyi zaman çözünülüğünün elde edildiğini göstemektedi. Katsayı bit atama, UDK nın SNR başaımında kayıp oluştumasına ağmen AKD ve KSFD deki simetiden dolayı SNR başaımında iyileşme gözleni. Buada belitilmelidi ki, KSFD deki simeti AKD ndekine benzedi. SNR başaımı faklı yöntemle kullanılaak iyileştiilebili. Bi sonaki aaştımada, EKG sinyallei içn SNR başaım atımı geçekleştiilecekti. KSFD duağan olmayan sinyallein analizi için uygundu. Ancak, hesaplama kamaşıklığı çok önemlidi. Dönüşüm kodlama yönteminleinde en az N geçel çapma ve toplama işlemi yapılmaktadı. KSFD kullanılaak hesaplama zoluklaı azaltılabili. Aslında, KSFD ün hesaplaması AKD e göe daha kolaydı. Bu çalışmada, SNR başaımında N azaltıldığında alt çeçeve yaklaşımının daha iyi sonuç vediği gösteilmişti. Ayıca SNR başaımı R değei ile de ilişkilidi. Çünkü, R değei atııldığında SNR değei de ata. Bunun yanında, bu çalışma ile, alt çeçeve boyutu atııldığında KSFD için DKK üzeine dönüşüm kodlama kazancının 1 ve db lik bi kayba sahip olduğu gösteilmişti. Buadan da anlaşılabileceği gibi 1 ve DB lik kayıp oldukça küçüktü. Böylece dönüşüm kodlama uygulamalaı için alt çeçeve yaklaşımının faydalı olduğuda gösteilmişti. KAYNAKLAR Ahmed N., Nataajan T., Rao K.R. (1974): Discete Cosine Tansfom, IEEE Tans. on Computes, pp. 90-93, Januay. Akansu A.N. (197): The Modified Hemite Tansfomation, A New Tansfom fo Statistical Adaptive Tansfom Coding of Speech Signals, Ph.D. Thesis, June. Allen J.B., Rabine L.R. (1977): A Unified Appoach to Shot-Time Fouie Analysis and Synthesis, IEEE Poc., vol.65, no.11, pp. 155-1564, Novembe. Ache C., Leen T.K. (000): Adaptive Tansfom Coding as Constained Vecto Quantization, Neual Netwok in Signal Pocessing X, IEEE Pess. Chen W.H., Smith C.H. (1977): Adaptive coding of Monochome and Colo Images, IEEE Tans. on Commun., vol. 5, no. 11, Novembe. Chadwick V.J, Bay P.T. (19): The Modified Hung Method of Multiesolution Fequency Analysis, Signal Pocessing, Elseive Science Publishes (Noth-England), Vol. 14, No.1, pp. 5-35, Januay. David M., Dik S. (00): Backwod Adaptive Tansfom Coding of Vectoial Signals: A Compaison between Unitay and Causal Appoaches, Euosipco. Haddad R.A., Akansu A.N. (1990): A New Othogonal Tansfom fo Signal Coding, IEEE Tans. on ASSP, vol. 36, no.9, pp. 1404-1411, Septembe. Jayant N.S., Noll P. (194): Digital Coding of Wavefom, Pentice-Hall Inc., Eaglewood Cliffs:NJ, pp. 510-590. Rioul O., M. Vetteli M. (1991): Wavelets and Signal Pocessing, IEEE SP Magazine, Vol., No.4, pp. 14-3, Octobe. Tanaka T., Yamashita Y. (001): Adaptive Tansfoms with Ovelapping Basis Functions fo Image Coding, Jounal of Electonic Imaging.