FRAKTAL VE FRAKTAL GEOMETRİ KAVRAMI Fraktal geometri, yaklaşık çeyrek asırdır bilim dünyasının gündeminde olan ve doğadaki karmaşık biçim ve süreçleri gittikçe daha iyi anlamamıza yardımcı olan özel bir geometri dalıdır. Bu geometri dalı, orta öğretimden beri bildiğimiz Öklid (Euclid) geometrisinden çok farklıdır. Tamamen matematiksel soyutlamalardan ibaret olan Öklid geometrisi, bildiğimiz üçgenlerin, doğruların, karelerin ve küplerin geometrisidir. Teknoloji ve matematik alanında çokça işimize yaramasına rağmen, bu geometri doğadaki biçim ve süreçleri açıklama konusunda bize ancak sınırlı bilgi verebilmektedir. Fraktal geometriyi bugün bildiğimiz boyutlara taşıyarak bilim dünyasındaki yerini almasını sağlayan Benoit Mandelbrot, dağların konilere, yıldırımların düz çizgilere, kıyı şeritlerinin eğrilere, bulutların dairelere benzemediğine vurgu yaparak, doğayı anlamak için yeni bir geometriye ihtiyacımız olduğunu söylüyor (Fractal Geometri of Nature; B. Mandelbrot). 1980 li yıllarda söylediği bu sözlerinde ne kadar haklı olduğunu çok kısa bir süre geçtikten sonra anlaşıldı. Bu gün özellikle biyolojik, canlı süreçleri ve yapıları anlayacak yepyeni yöntemlerimiz mevcut. Bu yöntemlerin birçoğunda fraktal bakış açısının izlerini görebilirsiniz. Fraktal geometri düzensiz, geometrik yapılı formlarda, karmaşık matematiksel düzlemde, dinamik sistemlere dair çözüm olanakları sunmaktadır.
Şekil 2.1. Fraktal Kümeler (Gregory Sams/Science Photo Library) Fraktal geometri, isim olarak da aykırı bir matematiksel çıkışın işaretlerini içermektedir. Cebir sözcüğü Arapça kökenli olup, birleştirme ve bütünleştirme anlamlarına gelir. Fraktal ise, Latince kökenlidir ve parçalanmış, bölünmüş anlamlarını taşımaktadır. Alışılmış geometri dünyayı sadeleştirip, daha kolay algılanabilir hale getirerek, sonlu öğelere indirgeme mantığıyla işlemektedir. Ancak doğa özünde bu disipline uygun değildir. Bir kaya parçasının üzerindeki yosunların kontürü sadeleştirilip geometrisi çıkarılabilir, fakat kaya parçası yakından incelendiğinde, detaya inildikçe karmaşık geometrik şekillerin farkına varılacaktır. Öklid geometrisi ile sadeleştirme yapılarak doğa taklit edilebilir, resmi çizilebilir ama etkin bir matematiksel modelleme yapılamaz.
Fraktal; matematikte, çoğunlukla kendine benzeme özelliği gösteren karmaşık geometrik şekillerin ortak adıdır. Fraktallar, klasik, yani Öklid geometrisindeki kare, daire, küre gibi basit şekillerden çok farklıdır ve doğadaki, Öklid geometrisi aracılığıyla tanımlanamayacak pek çok uzamsal açıdan düzensiz olguyu ve düzensiz biçimi tanımlama yeteneğine sahiptir (Şekil 2.2) Şekil 2.2. Mandelbrot Set. (Stephen Johnson/Tony Stone Images) Fraktallar çok kompleks ve sınırsız detaya sahip olan şekillerdir. Fraktalın bir kesitine zoom yaptığınızda bile, bütün fraktaldaki kadar detay görebilirsiniz. Bunlar tekrarlamalı olarak tanımlanır ve küçük kesitler bütünün aynısıdır. Fraktalları bir fonksiyon olarak düşünürsek; x, f x, f f x, dır. Buradan anlaşılacağı gibi bu işlem sonsuza kadar yinelenebilir, açık uçludur. Sürekli bir ana şeklin yinelenmesi söz konusudur, bu olay kendine benzerlik (self similarity) olarak da adlandırılmaktadır
2.1 Fraktal geometri nerede kullanılır? Klasik geometri sadece insan yapımı nesneleri tanımlamada kullanılır. Fraktal geometri ise doğada bulunan nesneleri tanımlamak için kullanılan bir yöntemdir. Fakat eğriler hem doğanın simülasyonunda kullanılır, hem de sanatsal değer taşırlar. Meteoroloji, akışkan mekaniği, ekonomi, biyoloji vb. Dinamik sistemlerin açıklanmasında önemli rol oynarlar. Fraktal ne işe yarar? sorusuna verilecek en iyi yanıt şudur: Fraktallar çeşitli bilim dalları ile ilgili henüz çözülemeyen problemlere yanıt aramada kullanılan bir araçtır, (Stevens 1990). 2.2 Fraktal Geometrinin Özellikleri ve Klasik Geometri 1. Öklid geometrisinin kökeni 2000 yıl öncesinde dayanıyorken, fraktal geometri alanında çalışmalar bigisayar teknolojisinin gelişimi ile hızlanmıştır. 2. Öklid geometrisi insan yapımı nesneleri tanımlar, fraktal geometri ise doğadaki nesneleri tanımlar. 3. Fraktallar kendine benzerdirler(self similaritiy). Fraktallar yapılarında kendilerinin pek çok küçük kopyalarını barındırırlar. 4. Fraktalların çok detaylı yapıları vardır. Bir fraktal büyütülecek olursa bu detaylar belirginleşir. 5. Detaylı yapılarına rağmen fraktalları tanımlamak kolaydır. Klasik geometri elemanları formüllerle ifade edilir. Fraktallar ise özyineleme metotları ile oluşturulurlar. 6. Bir fraktalın bütünü ya da bir parçası klasik geometri terimleri ile ifade edilemez. Fraktalların özellikleri basit geometrik ifadeler ile tanımlanamaz. Fraktallar basit denklemlerin çözüm kümesi değildir. 7. Fraktalların büyüklüğü, uzunluk gibi alışalagelmiş ölçülerle tanımlanamaz. Fraktallar, fraktal boyuta sahiptirler ve bu boyut fraktalların topolojik boyutundan büyüktürler, (Falconer 1990).
2.3 Fraktal Algoritmalar Matematikçiler 2, 3 ve daha yüksek boyutlardaki eğri ve yüzeylerle ilgili teoriler ortaya koymuşlardır. Bu eğri ve yüzeyler bir bütün olarak incelendiklerinde oldukça karmaşık bir yapıya sahiptirler. Fakat bu eğri ve yüzeyler küçük parçalar halinde incelenirlerse her bir parçanın çevredeki komşulukları ile doğrusal ya da yüzeysel ilişkide olduğu görülür. Eğri ve yüzeylerin bu tür özellikleri ile ilgilenen bilim dalına Diferansiyel geometri denir. Fraktallar ise bunun tam tersine düzgün olmayan yüzey ve eğriler ile ilgilidirler. Düzgün objeler büyütüldüklerinde yeni detaylar ortaya çıkmaz. Fraktallarda ise durum tam tersidir. Fraktallar doğayı taklit etmede kullanılır. Fraktallar ne kadar karmaşık olsalar da onları oluşturan algoritmalar kısa ve basittirler. Fraktallar oluşturdukları algoritmalara göre Deterministik ve Rastgele olmak üzere iki alt başlıkta incelenebilir. 2.3.1 Deterministik Fraktallar Sierpinsky Gasket, Von Koch eğrisi gibi kendi kendilerinin küçültülmüş ve döndürülmüş kopyalarını kapsayan fraktallar bu gruba girer. Bu tür fraktallar özel bir kurala bağlı olarak iteratif veya özyinelemeli olarak tasarlanan algoritmalarca üretilir, (Falconer 1990). 2.3.2 Rastgale Fraktallar Genelde doğayı simüle etmede kullanılan ve yapılarında gelişigüzellik barındıran metotlarla elde edilir. Bu metotlar bilgisayar programı haline dönüştürülür (Kantarcı 1994). Fraktallar sonsuz detaya sahip oldukları için tam ve doğru olarak hesaplanamazlar. O yüzden bilgisayar uygulamalarında belli bir duyarlılık hesaba katılarak fraktallara yaklaşım sağlanabilir. İstenilen çözünürlük seviyesi, ekran üzerindeki piksellerin sayısı ve işlemde geçen zaman vb. Kısaltmalar çerçevesinde belirlenir (Peitken ve Saupe 1988).