Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada alanını bilmek isteyeceğimiz düzlemsel alanlar, yukarıda sayılan şekillerden hiç birisine benzemeyebilir. Üstelik bunların sayısı bilinen geometrik şekillerden daha çoktur. Bilimin her alnında olduğu gibi, matematik de kuralları genişletme ve mümkünse genelleştirme peşindedir. Belirli integral bu gereksemeden doğmuştur. İlk genelleşme, bilinen geometrik şekiller yerine, bilinen fonksiyonlarla sınır- 58
584 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL lanmış düzlemsel bölgelerin alanlarının hesaplanması işidir. Daha sonra çok boyutlu uzaylarda yüzey alanlarını bulmaya genişletilmiştir. Ayrıca, fizikte farklı amaçlarla kullanılmaya başlanmıştır. Şimdi bir [a, b] aralığında tanımlı f (x) fonksiyonunu düşünelim. Ox- ekseni x = a doğrusu, x = b doğrusu ve y = f (x) fonksiyonunun sınırladığı düzlemsel alanı hesaplamak isteyelim. Genişleme için daima iyi bildiğimiz kavramlara dayanırız. Dikdörtgenin alanını iyi bildiğimize göre, söz konusu dülemsel alanı dikdörtgenlere ayırmaya çalışalım. Tabii, y=f(x) fonksiyonu Ox-eksenine paralel bir doğru değilse, dikdörtgenlerin alanlarının toplamı ancak gerçek alanın yaklqaşık bir değeri Şimdi bunu geometrik olrak açıklayalım: Şekil.: Eğri altındaki alanın yaklaşık değeri Önce, f fonksiyonunun [a,b] aralığı üzerinde pozitif değerler aldığını varsayalım. [a, b] aralığını, eşit olması gerekmeyen alt aralıklara bölelim: a = x < x < x <... < x n < x n = b (.) Her [x i, x i ] aralığında bir c i noktası seçelim. f (c i ) = yi diyelim. Ox- ekseni x = a doğrusu, x = b doğrusu ve y = f (x) fonksiyonunun sınırladığı düzlemsel alan, yaklaşık olarak tabanı x i = x i x i ve yüksekliği y i = f (c i ) (i =,,...,n) olan dikdörgenlerin alanları toplamına eşittir. Bunu şöyle ifade edelim:
.. İNTEGRAL KURALLARI 585 s n = n y i x i = y x + y x +... + y n x n (.) i= (.) ifadesine [a, b] aralığının bir bölüntüsü (partition), (.) toplamına da bu parçalanışa ait Riemann toplamı denilir. Ayrıntıya girmeden, f nin belirli koşulları sağlaması durumunda, en büyük x i uzunluğu sıfıra yaklaşırken (.) toplamının varlığını söyleyeceğiz: lim s n = max{ x i } lim max{ x i } i= n y i x i (.) Tabii, lim max{ xi } olduğunda alt aralıkların sayısı sonsuz olur ve her bir alt aralığın uzunluğu sıfıra yaklaşır. Dolayısıyla, (.) toplamı bir sonsuz serinin toplamına dönüşür.. İntegral Kuralları Teorem.. f (x) ile g (x) fonksiyonları [a,b] aralığında tanımlı ve integrallenebilen iki fonksiyon, k R sabit bir sayı ise, aşağıdaki bağıntılar vardır:... 4. 5. 6. b a (f (x) ± g (x))dx = b a f (x)dx ± b b a k f (x)dx = k b a b a k f (x)dx c a f (x)dx + b b a kdx = k(b a) b a f (x)dx = a b f (x)dx, a a f (x)dx =, a g (x)dx f (x)dx, (k sabit sayı) c g (x)dx, (c [a,b]) 7. x [a,b] ve m, M sabit sayılr olmak üzere m f (x) M ise 8. m(b a) b a f (x)dx M(b a) b a f (x)dx b a f (x) dx, (a < b) 9. x [a,b] için f (x) ise b a f (x)dx. x [a,b] için g (x) f (x) ise b a g (x)dx b a f (x)dx
586 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL. Calculus un Birinci Temel Teoremleri Calculus un.teoremi Teorem.. f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ise; F (x) = b a f (x)dx, x [a,b] foksiyonu (a, b) aralığında süreklidir, türetilebilir ve F (x) = f (x) eşitliği sağlanır. x (a,b) Calculus un İkinci Temel Teoremi Teorem.. f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ise, yukarıdaki gösterimler altında, dır. b a Örnek.. f (x)dx = F (b) F (a) (.4) y = f (x), Ox, x = a, x = b eğrilerinin sınırladığı düzlemsel alan, b a f (x)dx (.5) belirli integrline eşittir. Örnek.. y = x eğrsi, Ox doğrusu, x = ve x = doğrularının sınırladığı düzlemsel alanı bulunuz. xd x (.6) = x (.7) = = (.8) + 4 = (.9)
.. CALCULUS UN BİRİNCİ TEMEL TEOREMLERİ 587 Şekil.: Düzlemsel Alanın Belirli İntegral İle Hesaplanması Aynı sonucu, Şekil.5 deki yamuğun alan formülü ile de bulabiliriz. Anımsayacağınız gibi, yamuğun alanı, taban uzunlukları toplamının yarısının yüksekliği ile çarpımına eşittir. Bazı aralıklarda y = f (x) fonksiyonu negatif değerler alabilir. O zaman (.) Riemann toplamındaki negatif y i ler için gikdörtgen alanları negatif Oysa, düzlemsel alanın değeri daima pozitif olmalıdır.negatif alan tanımmlı değildir. O nedenle, negatif alanları pozitif yapmalıyız. Bunu yapmak için fonksiyonun negatif değerler aldığı aralıkları saptar ve onlar için bulduğumuz belirli integrali pozitif yaparız. Bu eylemi prtik bir formüle bağlamak da mümkündür: b a f (x) dx (.) Örnek.. eğrisi altında ve [,] alaığı üzerinde kalan alanı bulunuz. Verilen bölgede y =
588 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL Şekil.4: Düzlemsel Alanın Belirli İntegral İle Hesaplanması Şekil.5: Yamuğun Alanı
.. CALCULUS UN BİRİNCİ TEMEL TEOREMLERİ 589 Şekil.6: Negatif Alanlar
59 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL cos x fonksiyonu pozitif değerler aldığı için, istenen alan,.5 cos xdx = sin x.5 (.) = sin() sin(.5) (.) =.84.479 (.) =.6 (.4) Şekil.7: y = cos x altındaki Alan Örnek.4. Yarıçapı r = olan dairenin üst yarı düzlemdeki alanını bulunuz. A = 9 x dx = sin t cos tdt, [x = sin t, dx = cos tdt ] = cos tdt = ( + cost) dt = t + cost dt = ( ) sin ( x ) + x x = π 4 sin ( ) = 9π 4
.. CALCULUS UN BİRİNCİ TEMEL TEOREMLERİ 59 Örnek.5. [,] aralığında y = x ile y = 4x + eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. [(x (4x + )]dx = x4 4 x x Örnek.6. = 6 [,] aralığında y = x + x + ile y = x eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. [(x + x + ) (x )]dx = x4 4 + x + 4x Örnek.7. = 4 [,] aralığında y = x x ile y = eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. (x x)dx = x + x Örnek.8. = [,5] aralığında y = +x x ile y = x eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. 5 [( + x x ) (( x )]dx = x 5 + x + 5x = 6
59 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL Örnek.9. [ 5, + 5 ] aralığında y = + x x ile y = x eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. + 5 5 Örnek.. [( + x x ) (( x )]dx = x + x + x =.44 + 8x [,] aralığında y = 7 + x + x x ile y = 7x + eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. [( 7 + x + x x ) (( 7x + )]dx = x4 4 + x + 9x 7x Örnek.. = 8 [,/] aralığında y = x 5x + ile y = x eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. [(x 5x + ) (x )]dx = x + 5x = 4 + x Alan negatif olamayacağından, integralin mutlak değeri alınırsa sonuç 4 Örnek.. [,] aralığında y = 9 x ile y = eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. (9 x )dx = 9x x = 6 Alan negatif olamayacağından, integralin mutlak değeri alınırsa sonuç 4 + 5 5
.. CALCULUS UN BİRİNCİ TEMEL TEOREMLERİ 59 Örnek.. [4,] aralığında y = x ile y = eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. x +9 x 9 5 x + 9 dx = du 6 u, [u = x + 9, du = xdx] = logu 9 6 = log 9 6 = log458 Örnek.4. [,] aralığında y = x x ile y = x eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. Örnek.5. [(x x ) x ]dx = 8x x )dx ( x = x = y = x ile y = x eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. Fonksiyonları x = f (y) biçiminde yazmak işlemleri kolaylaştıracaktır: (y + ) y d y = [x = y +, x = y ] = (y + y )d y ( = y + y ) y ( = + ) ( + ) = 6
594 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL Örnek.6. x = y ile x = y + 5 eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. Fonksiyonları x = f (y) biçiminde yazmak işlemleri kolaylaştıracaktır: Örnek.7. (y + 5) y d y = [x = y + 5, x = y ] = ( y + 5y ( y ) = y y + 5y ( ) ( = ) + ( 5) 8 ) = 4.7 y = x ile y = x eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. (x x dx = = = x x = 6 Örnek.8. y = x + y = 5 ile y = eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. 4 ( + 5 x ) dx 4 = 5sin ( 4 5 ) = 46.648
.. CALCULUS UN BİRİNCİ TEMEL TEOREMLERİ 595 Örnek.9. y = x + y = 5 ile x = eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. 5 (+ 5 x ) dx = 5π 5 = 7.5.98 Örnek.. y = x ile x = x + eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. ( x + x dx = x + + x ) (x ) Örnek.. = 9 + 7 (4 + 8 = (9 + 9) (4 + 8 ) = ( 6 +.67) = (.) = 4. y = 4x ile y = x+ 7 eğrileri arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. x +.5 7 4x dx = 7.5 ( x = 7 x + 4.5 + x 4 x x dx ).5 = 7 ( + 4.5 + ) 4 ( 8.5 = (6.5) 4(.67.4) 7 = (4.875]) 4(.6) 7 = 9.8 )
596 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL Örnek.. y = x(x )(x ) ile Ox ekseni arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. Grafiği çizersek, istenen alanın [, ] aralığında pozitif [, ] aralığında negatif olduğunu görebiliriz. Ohalde toplam alan şöyle olacaktır: Pozitif alan, (x x + x)dx = x4 4 x + x = x4 4 x + x = 4 + () = 4 Negatif alan, B = (x x + x)dx = x4 4 x + x = x4 4 x + x = ( 6 4 8 + 4) ( 4 + ) = 4 = 4 Toplam alan A + B = 4 + 4 = (.5) Örnek..
.. CALCULUS UN BİRİNCİ TEMEL TEOREMLERİ 597 y = x(x ) ile Ox ekseni arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. Grafiği çizersek, istenen alanın [, ] aralığında negatif [, 5] aralığında negatif olduğunu görebiliriz. Ohalde toplam alan şöyle olacaktır: Negatif alan, (x x)dx = x x + x = ( 7 9 ) ( ) = (9 7 ) () Pozitif alan, B = 5 = 4 = 4.5 (x x)dx = x x + x 5 = ( 5 5 ) ( 7 9 ) = (4 + 7 ) (9.5) = 8 + = 6 Toplam alan A + B = 4.5 + 6 = + (.6) Örnek.4.
598 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL y = x + x + 4 ile Ox ekseni arasında ve [,] aralığı üzerinde kalan düzlemsel alanını bulunuz. (x + x + 4)dx = x + 4x x = ( 7 + 9 + ) ( + + 4) = 5 9 6 = 6 Örnek.5. y = x( x) eğrisi ile y = x doğrusu arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının apsisleri x = ile x = dir. İstenen alan pozitif bölgededir. O bölgede x( x) x dir. Ohalde (x( x)) (x)dx = x x x = (6 8 ( ) = = 4 Örnek.6. y = sin x eğrisi ile y = doğrusu arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. y = sin x eğrisi ile doğrunun kesişim noktalarının apsisleri x = π 4 ile x = π 4 dür. İstenen alan pozitif bölgededir. O bölgede sin x dir. Ohalde eğri altında
.. CALCULUS UN BİRİNCİ TEMEL TEOREMLERİ 599 kalan alan π 4 π sin xdx = cos x π 4 π 4 4 = [cos( π4 ] ) cos(π4 ) [ = ( ) ( )] = Bundan doğru altında kalan alanı çıkarmalıyız. Doğru altında kalan alan ( π B = 4 π ) 4 = π 4 = π dir. Öyleyse istenen alan C = A B = = 4 π Örnek.7. π y = x 5x + ile y = x eğrilei arasında kalan düzlemsel alanını bulunuz. Birinci parabolun kökleri yoktur;öyleyse Ox eksenini kesmez. Baş katsayı pozitif olduğundan parabol üst yarı düzlemdedir. İkinci parabol başlangıç noktasından geçer ama eğri alt yarı düzlemdedir. Dolayısıyla bu iki eğri kesişmez ve ortak bir düzlemsel alan belirlemez. Bu durumda sorunun yanıtı Al an = olacaktır.
6 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL Ama istersek, belirli integrak formülünü uygulayabiliriz. İntegral sınırları için x 5x + x = denkleminin köklerini alırsak,.5 [(x 5x + ) x ]dx = x 5x.5 + x = 4 Ancak bu sonucun problemde istenen alan değil, x 5x + ) x = eğrisi ile Ox ekseni arasında kalan alan olduğunu bilmeliyiz. Örnek.8. Aşağıdaki belirli integrali bulunuz. Örnek.9. [(7 + x x x ) ( x )]dx = x4 4 x + x 6x Aşağıdaki belirli integrali bulunuz. Örnek.. = 4 [(7 + x x x ) ( 7x + )]dx = x4 4 + x + 9x 7x Aşağıdaki belirli integrali bulunuz. = 8 [(x x 4x) ( x )]dx = x4 4 x x + x = 4.
.. CALCULUS UN BİRİNCİ TEMEL TEOREMLERİ 6 Örnek.. y = ( x x ) (x 5) eğrisi ile Ox ekseni arasında kalan düzlemsel alanı bulunuz. ( x x ) (x 5) = denkleminin kökleri x = (± 5) olduğundan istenen alan, Örnek.. (+ 5) ( 5) [( x x ) (x 5)]dx = x x + 8x = 5 5 6.44 (+ 5) ( 5) y = (x (4x + )) eğrisi ile Ox ekseni arasında ve [,] aralığı üzerinke kalan düzlemsel alanı bulunuz. (x (4x + ) = denkleminin kökleri x = ( ± 5) olduğundan istenen alan, Örnek.. [((x (4x + )]dx = x4 4 x x = 6 y = (8x x x) parabolü ile y = ekseni arasında ve [,8] aralığı üzerinde kalan düzlemsel alanı bulunuz. 8 [8x x x]dx = x 6x = 64.
6 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL Örnek.4. Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız. bulunuz. 5 [ + x x ]dx = x4 4 + x + 5x = 78 Örnek.5. Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız. bulunuz. 5 I = 5 [ + x x ]dx = x4 4 + x + 5x = 78 Örnek.6. Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız. bulunuz. 5 I = ( x [(x + x 4) (x ) x + )]dx = 5 x = 5 = 7.5 Örnek.7. Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız. bulunuz.
.. CALCULUS UN BİRİNCİ TEMEL TEOREMLERİ 6 I = [(x (4x + )]dx = x4 4 x x = 6 Örnek.8. y = 4ax parabolü ile x = 4ay parabolü arasında kalan düzlemsel alanı bulunuz. 4a [ a x x 4a ] ( dx = ) a x x a = 4 a (4a) 64a a = a 64a = 8a 64a = 6a 4a Örnek.9. y = x + doğrusu ile y = x parabolü arasında ve [-,] aralığı üzerinde kalan düzlemsel alanı bulunuz.
64 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL [ x + x ] ( x dx = + x ) x = (x + x x Örnek.4. = (9 + 7 ) (4 + 8 ) = (9 + 9) (4 +.67) = ( 6 +.67) = (.) = 4. y = x + doğrusu ile y = x parabolü arasında ve [-,] aralığı üzerinde kalan düzlemsel alanı bulunuz. [ x + x ] ( x dx = + x ) x = (x + x x Örnek.4. = (9 + 7 ) (4 + 8 ) = (9 + 9) (4 +.67) = ( 6 +.67) = (.) = 4. y = x+ 7 doğrusu ile y = 4x parabolü arasında kalan düzlemsel alanı bulunuz.
.. CALCULUS UN BİRİNCİ TEMEL TEOREMLERİ 65 [ ] x +.5 7 4x dx = [( x 7 + x 4 ] x.5 = [ 8 7 [ + 4 (.5 + )] 4.5 ] Örnek.4. = (6.5) 4(.67 4) 7 = (4.875) 4(.6) 7 = 9.8 x = y parabolü ile x = y + 5 doğrusu arasında kalan düzlemsel alanı bulunuz. Bu sorunun çözümü için koordinat eksenlerinin rollerini değiştirmek kolaylık sağlayacaktır. Örnek.4. [ y + 5 y ] ] d y = [( y + 5y ( y ) ( = ) ( 8 + ( 5) ) = 4.7 y = x parabolü ile y = x prabolü arasında kalan düzlemsel alanı bulunuz. Eğrilerx = ile x = noktalarında keişir. [ x x ] dx = = [ ( ] x ( x )
66 BÖLÜM. BELİRLİ İNTEGRAL Örnek.44. y = x parabolü ile y = 4x + 6 doğrusu arasında kalan düzlemsel alanı bulunuz. Eğrilerx = ile x = noktalarında keişir. [ (4x + 6 (x + ) ] [ dx = x + 4x + 6 ] ( dx = ) x + x + 6x = 64 Örnek.45. y = sin x ile y = cos x, y =, x = ve x = π eğrileri arasında kalan düzlemsel alanı bulunuz. Eğriler x = π 4 noktasında kesişirler. [, π 4 ] aralığında cos x sin x ve [ π 4, π ] aralığında sin x cos x olduğundan, alan, π 4 [cos x sin x]dx + π π 4 [sin x cos x]dx = (sin x + cos x) π 4 + ( cos x sin x) π π 4 = ( ) + =.8847 Örnek.46. x = y ile y = x eğrileri arasında kalan düzlemsel alanı bulunuz. Bu sorunun çözümü için koordinat eksenlerinin rollerini değiştirmek kolaylık
.. CALCULUS UN BİRİNCİ TEMEL TEOREMLERİ 67 sağlayacaktır. 4 = = 4 [ ( (y + ) [ y + y + 4 ( 6 y + ) 4 y + 4y = 8 Örnek.47. )] y d y ] d y x = y + ile x = (y ) eğrileri arasında kalan düzlemsel alanı bulunuz. Bu sorunun çözümü için koordinat eksenlerinin rollerini değiştirmek kolaylık sağlayacaktır. = = [ y + (y ) ] d y [ y + 4y + 6 ] d y ( ) y + y + 6y = 64
Dizin bölüntü, 585 belirli integral, 58 calculus un İkinci Teoremi, 586 calculus un Birinci Teoremi, 586 definite integral, 58 integral kuralları, 585 partition, 585 65