10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı ile gösterilirse, olur. Bu eşitliğin her iki tarafını ile bölersek, bulunur. limit halde sıfıra yaklaştığında bu ifadenin reel değerli bir limiti varsa, bu limite fonksiyonun x 0 noktasındaki türevi denir ve olarak gösterilir. fonksiyonunun türevi, f (x), veya daha basit olarak sembolü ile gösterilebilir. Kapalı fonksiyonlarda her iki tarafın türevi alınarak eşitlikten çözülür. türevi Geometrik Açıklama fonksiyonun eğrisine deyip türevin geometrik açıklamasını yapalım. A bu eğri üzerinde koordinatları, B olan iki nokta olsun. ABD dik üçgeninden, yazılabilir. 1
Bu oran A ve B noktalarını birleştiren doğrunun (kirişin) eğimi halinde bu oran, x = x x 0 in sıfıra yaklaşımı = olur. Bu eğrisine noktasında teğet olan doğrunun eğimi olup tanıma göre fonksiyonun bu noktadaki türevi Yani ; Bu sonuca göre, fonksiyonunun eğrisine noktasında teğet olan doğrunun denklemi, olarak veya daha basit bir gösterimle, şeklinde yazılabilir. 2
10.1.1 Türev Kavramı İle İlgili Tanım, Teorem ve Örnekler Tanım : Eğer bir fonksiyonun tanım aralığının bir noktasında türevi varsa yani mevcutsa fonksiyona bu noktada türevi alınabilir fonksiyon denir. Teorem : fonksiyonu tanım aralığının herhangi bir fonksiyonu bu noktada sürekli noktasında türevi alınabilir bir fonksiyon yazabiliriz. Her iki tarafın için limitini alırsak, elde edilir. Burada, bulunur. Yani fonksiyonu noktasında sürekli Bu teoremin tersi doğru değil Yani bir fonksiyon tanım aralığının herhangi bir olduğu halde bu noktada türevi alınamayabilir. noktasında sürekli 3
i) ii) iii) 10.2 Türevi Alma Kuralları 10.2.1 Toplamın Türevi ve tanım aralığının her noktasında türevi alınabilir fonksiyonlar olsun. Toplamın Türevi: 4
te meydana gelen artma miktarına karşılık ve de meydana gelen artma miktarları ve, de meydana gelen artma miktarı ile gösterilirse, yazılabilir. yani, bulunur. Eşitliğin her iki tarafını ile bölersek, ve için limitleri alınırsa, bulunur. 10.2.2 Çarpımın Türevi ve tanım aralığının her noktasında türevi alınabilir fonksiyonlar olsun. Çarpımın Türevi: dur. 5
fonksiyonu türevi alınabilir bir fonksiyon olup dır. Dolayısıyla, elde edilir. 10.2.3 Bölümün Türevi ve tanım aralığının her noktasında türevi alınabilir fonksiyonlar olsun. Bölümün Türevi: dır. Buna göre, bulunur. 6
10.2.4 Fonksiyon Fonksiyonunun (Bileşke Fonksiyonu) Türevi ve bileşik fonksiyonun türevi, veya ya da diğer bir gösterimle, ve yazılabilir. u ve y fonksiyonları türevi alınabilir fonksiyonlar olduğuna göre için ve dır. Buna göre, olup Yani, yazılabilir. Burada, ile birlikte sıfır olan sonsuz küçük bir büyüklüktür. dır. Böylece veya diğer bir gösterimle yazılabilir. Bu kurala zincir kuralı denir. 10.2.5 Ters Fonksiyon Türevi ters fonksiyonunun türevi 7
bağıntısından yararlanılarak bulunur. 10.2.6 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (I) y = cos x Fonksiyonun Türevi bağıntısından bulunur. Yani 10.2.7 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (II) y = tan x Fonksiyonunun Türevi 8
olarak yazılırsa bölümün türevinden, veya olduğundan, yazılabilir. 10.2.8 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (I) y = arcsin x Fonksiyonunun Türevi yazılabilir. Buradan, ve ters fonksiyonun türevinden; ( zira ) bulunur. ve olduğundan bulunan değerler yukarıdaki türev ifadesinde yerine yazılırsa bulunur. Yani, 10.2.9 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (II) y = arccos x Fonksiyonunun Türevi 9
ve Ters fonksiyonun türevinden, bulunur. ( çünkü ) yazılırsa ve olduğundan bulunan değerler yukarıdaki türev ifadesinde yerine bulunur. Yani, 10.2.10 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (III) y = arctanx Fonksiyonunun Türevi ve Ters fonksiyonun türevinden bulunur. ( ) olduğuna göre, bulunur. O halde, 10
10.2.11 Logaritma Fonksiyonunun Türevi y = log a x Fonksiyonunun Türevi yazılabilir. Logaritmanın özelliklerinden, eşitliğin sağ tarafını x ile çarpıp bölersek, ve buradan olup denirse için olacağından; olup bulunur. Yani, y = ln x Fonksiyonunun Türevi 11
in türev ifadesi olan ifadesinde a = e konursa, bulunur. olduğuna göre, bulunur. O halde, 10.2.12 Üstel Fonksiyonların Türevi y = a x Üstel Fonksiyonunun Türevi dır. ifadesinin her iki tarafının logaritmasını alırsak, bulunur. Bu ifadenin her iki tarafının türevi alınırsa, elde edilir. ifadesi bu eşitlikteki yerine yazılırsa, bulunur. 10.2.13 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri (I) y = shx Fonksiyonunun Türevi 12
ifadesinin türevi alınırsa, bulunur. Yani, 10.2.14 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri (II) y = chx Fonksiyonunun Türevi ifadesinin türevi alınırsa, bulunur. Yani, 10.2.15 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri (III) y = thx Fonksiyonunun Türevi yazılabilir. Bölümün türevinden, bulunur. Buna göre, 13
10.3 Bazı Elemanter Fonksiyonların Türev Tablosu Buraya kadar incelediğimiz türev ifadeleri yardımıyla özel fonksiyonların türevlerini bir tablo halinde verebiliriz. Aşağıda verilen tablodaki ifadelerde u nun x e bağlı ve türevi alınabilir bir fonksiyon olduğu kabul edilmiştir. u = x halinde u' = 1 olacağı açıktır. Bölüm sonundaki soruların çözümü için aşağıdaki tablo bilgileri yeterli olacaktır. y y' 0 u u' a.u' u n nu n-1 u' e u e u. u' a u (a > 1, a 1) a u.lna.u' log a u(a > 1, a 1).log a e.u' sin u cos u. u' cos u -sin u. u' 14
tan u (1 + tan 2 u). u' =. u' = sec 2 u. u' cotan u -(1 + cotan 2 u). u' =. u' = - cosec 2 u. u' sh u chu.u' ch u shu.u' th u (1 - th 2 u). u' =. u' = sech 2 u. u' coth u. u' = -cosech 2 u. u' arcsin u arccos u arctan u arccotan u 15
10.4 Kapalı Fonksiyonların Türevi f(x,y) = 0 denklemiyle belirtilen kapalı fonksiyonlarda denklemin y = φ(x) şeklinde y nin x e bağlı bir ifadesi elde edilebiliyorsa türev φ' (x) = olarak bulunabilir. Ancak bu tür fonksiyonlarda y nin x cinsinden ifadesini hesaplamak çoğu kez mümkün olmaz. Bu durumda y nin x in fonksiyonu olduğu göz önünde bulundurularak zincir kuralı uygulanıp türev hesaplanır. 10.5 Ardışık Türev ve Yüksek Mertebeden Türevler fonksiyonu aralığında türevi alınabilir bir fonksiyon, bu fonksiyonun türevine yani y'=f '(x)= ifadesine f(x) in birinci mertebeden türevi denir. Eğer f '(x) = g(x) fonksiyonu da aralığında türevi alınabilir bir fonksiyon buna yani, g(x) e f(x) fonksiyonunun ikinci mertebeden türevi denir ve y'', f ''(x), sembollerden biri ile gösterilir. Benzer şekilde eğer mevcutsa f(x) in (n) inci mertebeden türevi, y n, f n (x), sembollerinden biri ile gösterilir. Bu ifadedeki n(n N) ye türevin mertebesi denir. 16
f (x) = f '(x) = f '' (x) = f ''' (x) =... f (n) (x) = Bir Toplamın Yüksek Mertebeden Türevi u ve v n inci mertebeden x e bağlı türevi alınabilir iki fonksiyon, (u + v) (n) = u (n) + v (n) 17