Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır. Hesap makinesi kullanmak yasaktır. Sınav boyunca cep telefonlarınızı kapalı tutunuz. Cep telefonunuzun açık olması sınavınızın geçersiz sayılmasına neden olacaktır. Hesaplamalarınız için soru kağıdındaki boş yerleri kullanınız. Değerlendirmede 4 yanlış 1 doğruyu götürecektir. Toplam 20 adet soru vardır. Sınav süresi 120 dakikadır. Sınavda her türlü ders notunun kullanımı yasaktır. Başarılar dilerim. Prof. Dr. Emrah AKYAR 2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 1 B) 101 C) 10 D) 11 E) 121 3. n herhangi bir çift doğal sayı olmak üzere verilen büyüklükler için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? i. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı ii. Pascal üçgeninin n. satırındaki elemanların toplamı n iii. n/2 A) i = ii iii B) i iii ii C) ii i iii D) i ii = iii E) iii i = ii SORULAR 1. ( 2+ x 2 + y 3 + z 4 + w 8 ifadesinin açılımında xyzw nun katsayısı nedir? 5) A) 112 B) 224 C) 105 D) 140 E) 168 4. 2 50 sayısı kaç basamaklıdır? Not: log 2 0.30, log 50 1.70, ln 2 0.70, ln 50 3.90 A) 15 B) 14 C) 16 D) 13 E) 12 Ara Sınav 1 2015 2016 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 11.04.2016 5. HECELEME sözcüğündeki tüm harfler kullanılarak elde edilecek 8 harfli sözcükler içerisinden kaç tanesinde ikieharfi yan yana gelmez? 7. A noktasından B noktasına C noktasına uğrayarak ve her seferinde 1 birim sağa ya da 1 birim aşağı gitmek koşuluyla kaç farklı şekilde gidilebilir? A) 96 B) 120 C) 128 D) 112 E) 94 A C B A) 45 B) 90 C) 180 D) 228 E) 350 8. 0,1,2 karakterlerinden oluşan 10 karakter uzunluğundaki string ifadelerin kaç tanesinde 3 tane 0, 2 tane 1 ve 5 tane 2 vardır? Not: 1202220102 istenen türden string ifadeye bir örnektir. A) 2228 B) 1600 C) 1256 D) 2520 E) 3800 6. Bir zar 6 kez atıldığında hiç birinde çift sayı gelmeme olasılığı nedir? A) 1 2 B) 1 6 C) 1 64 D) 1 3 E) 1 4 9. x 1 + x 2 + x 3 10 eşitsizliğinin negatif olmayan tamsayılarda kaç farklı çözümü vardır? A) 66 B) 84 C) 36 D) 286 E) 392 Ara Sınav 2 2015 2016 Bahar Dönemi
10. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Not: Buradacnt,a,bvectamsayı değişkenlerdir. set cnt to 0; FOR a = 1 to 10^6 FOR b = 2 to 10^6 FOR c = 3 to 10^6 if a^3 + b^3 = c^3 THEN cnt = cnt + 1 END FOR END FOR END FOR print cnt; A) 0 B) 1 C) 66 D) 192 E) 492 12. 4 farklı top 4 farklı kutuya rastgele dağıtılırsa, ilk iki kutunun boş olma olasılığı nedir? A) 1/2 B) 1/8 C) 1/16 D) 1/32 E) 1/4 13. 11 özdeş top 4 farklı kutuya, her kutuda en fazla 5 top bulunmak üzere kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) 364 B) 224 C) 45 D) 140 E) 455 11. Hiçbirisi bir diğerinin 3 katı olmayan 51 den küçük en çok kaç pozitif tamsayı seçebilirsiniz? A) 24 B) 26 C) 16 D) 36 E) 38 14. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin kaç tane alt kümesinde 4 bulunur? A) 2 8 B) ( 8 4 ) C) 2 7 D) 8! 4! E) ( 8 7 ) Ara Sınav 3 2015 2016 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 11.04.2016 15. S = {1, 2, 3,..., 2n 1, 2n} kümesinin 0 k n olmak üzere tam olarak k elemanı{1, 2, 3,..., n 1, n} kümesinden kalan n k elemanı ise{n+1, n+2,..., 2n 1, 2n} kümesinden seçilen n elemanlı alt kümelerinin sayısı aşağıdakilerden hangisidir? 2n A) n k n 2 B) k 2n C) n 2n D) E) ( n k k ) 18. Aşağıda verilen şekle göre, A noktasından B noktasına her seferinde bir önceki altıgenin sağında bulunan altıgenden geçmek koşuluyla kaç farklı şekilde gidilebilir? Not: Örnek bir rota çizilmiştir. A noktasından x ve y noktalarına gitmek mümkün iken (A nın sağındalar) x den y noktasına gitmek mümkün değildir (sağında değil). A) 462 B) 89 C) 233 D) 924 E) 144 A y x B 16. Seçildikten sonra sabitlenmiş pozitif bir n tam sayısı için ( 2n k ) binom katsayısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) k, [0, n] aralığında artarken artar. B) k, [n, 2n] aralığında artarken azalır. C) k = n için en büyük değerini alır. D) Yukarıdakilerin hepsi. E) Yukarıdakilerin hiçbiri. 17. Rakamları birbirinden farklı ve tek sayı olan kaç tane 3 basamaklı sayı vardır? A) 320 B) 280 C) 324 D) 296 E) 126 19. ( + 3 0 1 A) 4 B) 3 C) 3 101 D) 101 3 3 E) ( 3 ) ) + 3 2 + +3 99 2 99 20. {1, 2,..., 7} kümesinin kaç alt kümesi ardışık iki eleman içermez? A) 511 B) 34 C) 55 D) 32 E) 256 + 3 =? Ara Sınav 4 2015 2016 Bahar Dönemi
1. Multinomial Teoremine göre, 8 2 4( x 1 ( y 1 ( z 1 ( w 4, 1, 1, 1, 1 2) 3) 4) 5 olduğundan cevap 224 ÇÖZÜMLER ) 1 = ( 8! 4! 1! 1! 1! 1! )( 16 2 3 4 5 ) xyzw = 224xyzw 2. Cevap 10 özdeş objenin 5 farklı kutuya tüm farklı dağılımlarının sayısı (kutular boş da kalabilir) olduğuna göre elde edilir. 10+5 1 = 5 1 14 = 14! 4 4! 10! = 14 13 12 11 4 3 2 = 1 3. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı, 2 n ve Pascal üçgeninin n. satırındaki elemanların toplamı da 2 n olduğundan (neden?) i = ii olmalıdır. Diğer taraftan n Pascal üçgeninin n. satırının ortasındaki en büyük eleman olduğundan toplamdan küçük olmalı yani iii i = ii n/2 olmalıdır. 4. Bir n tamsayısının basamak sayısının 1+ log n olduğunu biliyoruz. Buna göre, elde edilir. 2 50 nin basamak sayısı = 1+ 50 log 2 = 16 5. E harflerini sözcükten çıkarırsak kalan H,C,L,M harfleri kendi arasında 4! farklı şekilde sıralanır. Şimdi bu dört harf sıralandıktan sonra H C L M ifadesinde ile gösterilen yerlerden 4 tanesini seçip buralara E harflerini yerleştirirsek E harfleri yan yana gelmemiş Bu işlem de( 5 4 ) farklı şekilde yapılabileceğinden cevap, 5 4! = 24 5 = 120 4 7. Her seferinde 1 birim sağa ya da 1 birim aşağıya gidilerek C noktasına ulaşmak için 3 kez sağa 2 kez de aşağıya gitmek gerekir. Buna göre S, S, S, A, A harflerinin (S, sağa; A, aşağıya) farklı dizilimleri bize A noktasından C noktasına farklı yollar verecektir. Bu dizilimlerin sayısı da 3! 5! 2! = 10 Aynı şekilde C noktasından B noktasına ise 7! 3! 4! = 35 farklı şekilde ulaşmak mümkündür. O halde cevap 10 35 = 350 8. 0001122222 ifadesinden kaç farklı anagram elde edildiğini bulmalıyız. Buna göre cevap 10! 3! 2! 5! = 2520 9. x 1 + x 2 + x 3 = 10 eşitliğinin negatif olmayan tamsayılarda ( 10+3 1 3 1 ) farklı çözümü olduğunu biliyoruz (10 özdeş objenin 3 farklı kutuya dağılımlarının sayısı). Eşitsizliğin kaç çözümü olduğunu bulmak için bir değişken (kutu) daha eklersek ve x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10 denkleminin negatif olmayan tamsayılardaki çözümlerinin sayısını bulursak istenen, eşitsizliğin çözüm sayısını da bulmuş oluruz (x 4 = 10 (x 1 + x 2 + x 3 ) olduğuna dikkat ediniz). Buradan cevap 10+4 1 = 4 1 13 = 13! 3 3! 10! = 13 12 11 10! = 286 3 2 10! 10. Fermat ın son teoremine göre x n + y n = z n denklemini n 3 için sağlayan x, y, z pozitif tamsayıları bulunamaz. Buna göre cevap 0 olmalıdır. 11. 51 den küçük pozitif sayıları aşağıdaki gibi parçalayalım: {1, 3},{2, 6},{4, 12}, {5, 15},{7, 21},{8, 24},{9, 27},{10, 30},{11, 33},{13, 39},{14, 42},{16, 48} } {{ } 12 tane Bu kümelerin her birisinden en fazla birer sayı alınabilir. Ayrıca geriye kalan 50 24 = 26 sayıyı da seçersek, en fazla 12 + 26 = 38 sayı seçebileceğimiz sonucu ortaya çıkar. 6. Zar bir kez atıldığında çift gelmeme (tek gelme) olasılığı 1 2 atılması bağımsız olaylar olduğundan cevap 1 = 1 2 6 64 dir. Zarların art arda 12. 4 farklı top 4 farklı kutuya 4 4 farklı şekilde dağıtılır. İlk iki kutunun boş olduğu durumların sayısı ise 2 2 2 2 = 2 4 Buradan cevap 24 4 4 = 1 16 Ara Sınav 5 2015 2016 Bahar Dönemi
13. Hiçbir koşul olmazsa 11 özdeş top 4 farklı kutuya( 11+4 1 4 1 ) farklı şekilde dağıtılır. i = 1, 2, 3, 4 olmak üzere c i diye i. kutuda 5 den daha fazla sayıda top olduğu durumların kümesini gösterelim. O zaman c i = ( 5+4 1 4 1 ) = 56 Aynı şekilde 1 i < j 4 olmak üzere c i c j = 0, 1 i < j < k 4 olmak üzere c i c j c k = 0 ve c 1 c 2 c 3 c 4 = 0 Buradan cevap elde edilir. c 1 c 2 c 3 c 4 = S ( c 1 + c 2 + c 3 + c 4 ) = 364 4 56 = 140 14. 4 ü S kümesinden çıkarırsak 7 elemanı kalır. Bu 7 elemanlı kümenin 2 7 tane alt kümesi vardır ve bu alt kümelerin hiç birisinde 4 yoktur. Şimdi bu 2 7 kümenin her birisine 4 ü eklersek S nin 4 ü bulunduran tüm alt kümelerini elde etmiş oluruz. Böylece cevap 2 7 18. Merdiven sorusuna benzer olarak ilk adımda yatay mı yoksa diagonal mi gidildiğine göre iki duruma ayrılarak incelenecek olursa, Fibonacci sayılarının elde edildiği görülür. Cevap F 12 = 144 19. Binom Teoreminden 4 = (3+1) = + 3 0 1 + 3 2 + +3 99 2 99 + 3 =? 20. Derste {1, 2,..., n} kümesinin ardışık iki eleman içermeyen alt kümelerinin sayısının F n+2 olduğunu göstermiştik. Buradan cevap F 9 = 34 15. k eleman {1, 2, 3,..., n 1, n} kümesinden ( n k ) farklı şekilde seçilebilir. Kalan n k eleman ise {n+1, n+2,..., 2n 1, 2n} kümesinden ( n n k ) farklı şekilde seçilebilir. ( n n k ) = (n k ) olduğundan cevap(n k )2 16. ( 2n k ) binom katsayısı için k, [0, n] aralığında artarken artar. k, [n, 2n] aralığında artarken azalır. k = n için en büyük değerini alır. ifadeleri doğrudur. 17. Buradan cevap }{{} İkinci seçilecek. 0 hariç kalan sayılardan biri olabilir. 8 seçenek var. }{{} Üçüncü seçilecek. Kalan sayılardan biri olabilir. 8 seçenek var. 8 8 5 = 320 }{{} İlk seçilecek. 1,3,5,7,9 olabilir 5 seçenek var. Ara Sınav 6 2015 2016 Bahar Dönemi