Uludağ Üniversitesi Müendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 9, Sayı, DAİRESEL HİDROSTATİ ESENEL AYMALI YATALARIN OPTİMİZASYONU Erol SOLMAZ Özet: Bu araştırmada, dairesel idrostatik yataklarda, yatak için gerekli olan toplam gücün ve yatakta meydana gelen sıcaklık artışının imum değerlerde kalması için tek ve çok kriterli eniyileme çalışmaları yapılmıştır. Önerilen yaklaşımın etkinliği, tek ve çok kriterli çalışmalardan elde edilen sonuçların karşılaştırılması ile verilmiştir. Elde edilen sonuçlar temelinde, idrostatik yatak tasarımlarında çoklu kriterin terci edilmesi önerilmiştir. Anatar elimeler: Hidrostatik yatak, çoklu kriter optimizasyon uygulamaları, bilgisayar destekli optimizasyon. Optimization Studies in Circular Trust Bearings Abstract: In tis researc, single and multiple-criterion optimisation approaces ere carried out to detere te circular ydrostatic journal bearing design parameters for te imisation of total poer requirement and for te imisation of te temperature rise of te oil, so tat te total performance of te system is optimal. Te efficiency of proposed approac is verified by comparing te results of single criterion optimization it tose of multicriteria optimisation. In tis paper, computer-aided design optimization approac for ydrostatic bearings is proposed as an efficient metod compared to single criteria optimisation. ey Words: Hydrostatic bearings, multicriteria-optimization, computer-aided optimisation.. GİRİŞ Dairesel idrostatik eksenel kaymalı yatak için gerekli olan toplam gücün imum olabilmesi için optimizasyon çalışması yapılmıştır. Boyutsuz olarak tanımlanan yatak katsayısı ve istenilen imum sıcaklık farkını elde etmek amacıyla çalışmalar gerçekleştirilmiştir. Yapılan bu çalışmalarda, elde edilen yağ film kalınlık değerlerine göre toplam gücün ve sıcaklık farkının aldığı değerler, yeterli görülmemiştir. Literatürde rastlanmayan kriterli optimizasyon çalışması gerçekleştirilmiştir. Yataklar iki eleman arasındaki bir veya birkaç yönde izafi arekete imum bir sürtünme ile müsaade eden fakat kuvvet doğrultusundaki arekete engel olan elemanlardır. Hidrostatik sıvı sürtünmesinde, dış kuvvetin dengelenmesi ve yüzeylerin birbirinden ayrılması için gereken basınç, bir yüksek basınçlı pompa vasıtası ile dışardan sağlanır ve basınç ile idrostatik kaymalı yataklara yağ gönderilir. Hidrostatik kaymalı yataklarda, yatak yüzeyleri arasında metalik temas olmadan yani aşınmaya neden olmadan, mümkün olan en küçük sürtünme katsayısında çalışılır. Çok küçük çalışma ızlarında dai kayma yüzeyleri arasında taşıyıcı yağ filin idrodinamik etkisi olmaksızın yatağın çalışması sağlanır... Dairesel Hidrostatik Eksenel aymalı Yataklar Dairesel idrostatik eksenel yatakların çalışma prensibi Şekil de gösterilmektedir. Pompadan gönderilen yağın basıncı ile merkezi dairesel silindirik yağ cebinin çalışması sonucunda bir plaka üzerinde geniş bir mil desteklenir. Böylece cepte, yani r r i aralığında yağ basıncı p c (efektif cep basıncı) akim olur. Uludağ Üniversitesi, Müendislik-Mimarlık Fakültesi, Makine Müendisliği Bölümü, Görükle, Bursa.
Şekil : Dairesel idrostatik eksenel yatak (Steinilper ve Röper 99) Dairesel idrostatik kaymalı yataklarda, yatağın yük taşıma kabiliyeti F F A pc () olarak verilmektedir (Akkurt,99). Burada kuvvet katsayısı ( F ), yatağın iç ve dış yarıçaplarına göre boyusuz olarak ( ri / rd) F () Ln( rd / ri) şeklinde tanımlanmaktadır. Bu yataklarda yağ debisi q F q () A η olarak verilmiştir. (Akkurt 99). Debi katsayısı ( q ), yarıçaplara göre boyutsuz olarak π q () ( ri / rd) şeklinde verilmektedir. Yatakta gerekli olan toplam güç, sürtünmeye arcanan güç (P s ) ve pompa için gerekli olan gücün (P p ) toplamından oluşur. Sürtünmeye arcanan güç, r Ps Msω d sη ω A (5) ifadesi ile verilir. (Akkurt 99). Eşitlikte sürtünme gücü katsayısı ( s ) yarıçaplara bağlı olarak s r i rd şeklinde verilmektedir. Pompa için gerekli olan güç ise, F Pp p ηp A η olarak verilir. (Akkurt 99). Pompa gücü katsayısı ( p ) boyutsuz olarak p π Ln( rd / r i) r i rd şeklinde verilmektedir. Hidrostatik eksenel kaymalı yataklarda gerekli olan toplam güç, (6) (7) (8)
P P + P t s p ile r F Pt s η ω d A + p η p A η olarak verilmektedir (Akkurt 99). (9).. Dairesel Hidrostatik Eksenel Yatakların İncelenmesi Dairesel idrostatik eksenel kaymalı yataklarda geometriye bağlı olarak elde edilen kuvvet katsayısı ( F ), debi katsayısı ( q ), sürtünme gücü katsayısı ( s ) ve pompa gücü katsayısı ( p ) boyutsuz olan katsayılardır.bu katsayılar, kuvvet, debi, sürtünme ve pompa gücü esaplarında kullanılır. Yatağın yarıçap oranlarının değişimi boyutsuz geometrik katsayıları etkilemektedir. Boyutsuz geometrik katsayıların yatağın iç ve dış yarıçapına bağlı olarak değişimi şekil de verilmektedir. Şekil den görüleceği gibi yarıçap oranlarının değişimi sayısal olarak pompa gücü katsayısında büyük değerlere ulaşmaktadır. Dairesel idrostatik eksenel yataklarda bilinmesi gereken büyüklükler olarak, taşıyabileceği eksenel kuvvet (F), yatağın iç (r i ) veya dış (r d ) yarıçapı, devir sayısı (n), yağın viskozitesi (η), kullanılan pompanın verimi (η p ) ve yağın ortalama sıcaklığı (t) verilir. Bu değerler sabit alınarak yatağın iç ve dış yarıçap oranlarının (r i /r d ) değişie bağlı olarak debi, sürtünmeye arcanan güç, pompa için gerekli olan güç, yatak için gerekli olan toplam güç ve sıcaklık farkı değerlerinin değişimi incelenmiştir. Çap oranları değiştikçe, pompa gücü katsayısı ve sürtünme gücü katsayısı değişimlerine paralel olarak pompa için gerekli olan güç ve sürtünmeye arcanan güç sarfiyatı değişmektedir.yağda meydana gelen ısınma ve dolayısıyla yağda meydana gelen sıcaklık farkı, yağ filmi kalınlığı sabit kalsa bile yarıçap oranlarına bağlı olarak değişmektedir. Yarıçap oranı arttıkça debi miktarı artar ve buna paralel olarak ta sıcaklık farkı azalmaktadır. atsayılar 7 6 5,5,5,5,5,5,55,65,75,85 oran (ri/rd) F q p s Şekil : Geometrik katsayıların yarıçap oranlarına göre değişimi. DAİRESEL ESENEL HİDROSTATİ AYMALI YATALARDA OPTİMİZASYON ÇALIŞMALARI Hidrostatik eksenel kaymalı yatakta gerekli olan toplam gücün imum olabilmesi için optimizasyon çalışması yapılmıştır. Boyutsuz olarak tanımlanan yatak katsayısı ve istenilen imum sıcaklık farkını elde etmek amacıyla çalışmalar gerçekleştirilmiştir. Çalışma sonucunda er kriterlere göre elde edilen güç ve sıcaklık değerleri, kriterlerin birlikte alınarak yapılan optimizasyon çalışması sonucunda elde edilen değerler ile karşılaştırılmıştır. Eksenel idrostatik kaymalı yataklarda imum yağ film kalınlığı, Niemann (97) tarafından 5-5 d o ()
olarak verilmiştir. Burada d o - yatağın ortalama çapı (m) dır. Sıvı sürtünmesinin meydana gelmesi için yağ film kalınlığının, imum yağ film kalınlığından büyük olması gerekmektedir... Minimum Güç İçin Optimizasyon Çalışmaları Yatak için gerekli olan toplam güç, sürtünmeye arcanan güç (P s ) ile pompa için gerekli gücün (P p ) toplamından elde edilmektedir. Toplam güç için 9 nolu ifade ile yatak için gerekli güç verilmiştir. Bu ifade önce geometrik katsayılar cinsinden değerlendirilmiştir. Toplam güce etki eden geometrik katsayılar, sürtünme gücü katsayısı ( s ) ve pompa gücü katsayısı ( p ) boyutsuz katsayılardır. Pompa gücü katsayısının toplam güce etkisi, sürtünme gücü katsayısının etkisine göre daa fazladır. Toplam gücü imum yapmak için, öncelikle pompa gücü katsayısını imum yapan yarıçap oranı esaplanmıştır. Boyutsuz geometrik katsayıların yarıçap oranlarına bağlı olarak değişii incelemek amacıyla yazılan programın çalıştırılması sonucunda; r i / r d.55 olduğunda, pompa gücü katsayısı p.57 olarak imum değerini aldığı tespit edilmiştir. Toplam güç için verilen 9 nolu bağıntı incelendiğinde, yağ film kalınlığı arttıkça, sürtünmeye bağlı güç sarfiyatı azaldığı, pompa için gerekli güç itiyacının arttığı görülmektedir. Belirli bir yağ film kalınlığı değeri için toplam güç sarfiyatının imum olması gerekmektedir. Elde edilen bu değer toplam güç sarfiyatı bakımından optimum bir değerdir. Optimum değeri elde etmek için toplam güç denklein, yağ film kalınlığına göre türevi alınır ve sıfıra eşitlenirse, optimum yağ film kalınlığı değeri elde edilir. Bunun için P t işlemi yapıldığında optimum yağ film kalınlığı sη p ωrd η opt A p F / A olarak elde edilir. Elde edilen optimum yağ film kalınlığı toplam gücü imum yapmaktadır. ().. Yatak atsayısına Göre Çalışmalar Yatak için gerekli olan toplam gücün, imum olması amacıyla yapılan optimizasyon işlemi sonucunda elde edilen optimum yağ film kalınlığı değeri, sıcaklık artış ifadesine tatbik ettirildiğinde, yağda meydana gelen sıcaklık artışının yüksek olduğu tespit edilmiştir. Eksenel idrostatik kaymalı yataklar için tanımlanan yatak katsayısını (Steinilper ve Röper 99) belirlemek amacıyla, bu çalışmada sürtünmeye arcanan gücün pompa için gerekli olan güce oranı incelenmiş ve boyutsuz olarak bir yatak katsayısı tanımlanmıştır. Yatak yarıçap oranları, c r i / r d olarak tanımlanırsa, belirlenen yatak katsayısı yarıçap oranlarına bağlı olarak ( c )( c ) L π () Ln(/ c) şeklinde elde edilmiştir. Elde edilen yatak katsayısı ifadesinin, (Steinilper ve Röper 99) in tanımladığı yatak katsayısı ifadesi ile aynı olduğu görülmüştür. Yatak katsayısı boyutsuz olarak F L () ηωr d şeklinde de ifade edilir (Steinilper ve Röper 99, Haberauer ve Bodenstein 997). Yatak katsayısının yarıçap oranlarına göre değişimi Şekil. de verilmiştir. Boyutsuz olarak tanımlanan pompa gücü katsayısını, imum yapan yatak yarıçap oranı değeri, literatürde,5 olarak verilmiş olup, çalışmamızda daa assas olarak,55 olarak bulunmuştur. Elde edilen bu değer, nolu ifadeye uygulandığında, yatak katsayısının L,59 değerini aldığı tesbit edilmiştir.
Yatak atsayısı L (-),5,5,5,5,5,5,5,5 c (ri/rd),55,65,75,85,95 Şekil : Yatak katsayısının yarıçap oranlarına göre değişimi Bulunan yatak katsayısı değeri sabit tutularak, yağ film kalınlığını tesbit etmek amacıyla, yatak katsayısı için verilen nolu bağıntıdan yağ film kalınlığı ( ), Lηω rd F olarak elde edilir. ().. Minimum Sıcaklık Farkına Göre Çalışmalar Eksenel idrostatik yataklarda ısı, yalnız yağ tarafından yataktan dışarı atıldığından, sıcaklık artış esabı Ps t (5) co ρ q eşitliğine göre yapılır (Akkurt 99). Burada P s - sürtünme gücü, c - yağın özgül ısısı, ρ - yağın yoğunluğu ve q- yağ debisidir. Sürtünme gücü ve debi denklemleri sıcaklık artışı 5 nolu eşitliğe uygulandığında, sıcaklık farkı ( rd A) s t ηω c ρ F q (6) olarak elde edilir. Burada istenen bir sıcaklık farkı değeri girildiğinde bu değeri sağlayan yağ film kalınlığı ( ηω ) rd A s co ρ F q t olarak ifade edilir. Elde edilen bu yağ film kalınlığı sıcaklık artışını istenen imum değere indirgemektedir... Minimum Güç, Yatak atsayısı ve Minimum Sıcaklık Farkına Göre Optimizasyon Çalışmaları Minimum güç, yatak katsayısı ve imum sıcaklık farkı denklemleri birlikte ele alınarak, er üç denkle birleştirilmesinden yeni bir denklem elde edilmiştir. Elde edilen bu denklem Y Pt + λ L + t (8) λ şeklinde yazılır. Burada, ve ağırlık faktörleri, λ ve λ ise assasiyet faktörüdür. Hassasiyet faktörleri (7) 5
P t λ (9) L P t λ () t olarak ifade edilir. Ağırlık faktörleri arasındaki ilişki ise + + () şeklindedir. Minimum güç için verilen 9 nolu denklemi, yatak katsayısı için verilen nolu denklemi ve sıcaklık farkı için verilen 6 nolu denklemi, 8 nolu denkleme uygulandığında ( ωr ) F F ( ηω r A) d Y λ () c ρ F şeklinde elde edilir. Burada d sη A+ p + λ + A ηη p η ω rd ( ) ηω r A, s d ( ) rd A s ηω c ρ F q şeklinde tanımlandığında nolu denklem Y p F A ηηp F, ηω r d + +λ + λ () şeklinde ifade edilir. Elde edilen bu denklem optimizasyon için amaç fonksiyonudur. ısıtlayıcı fonksiyonlar ise t t L L olarak alınır. Buna göre Lagrange fonksiyonu Y + + λ + λ u ( + s ) + u ( t + s ) şeklinde elde edilir. Lagrange çarpan teoree göre optimizasyon işlemleri yapılır. Bu fonksiyonu imum yapan yağ film kalınlığını bulmak için, fonksiyonun yağ film kalınlığına göre türevi alınır ve sıfıra eşitlenir. Elde edilen denkle çözümü için yazılan programda sayısal analiz yöntemi olan Neton Rapson yöntemi uygulanmıştır. Programın çalışması sonucunda yağ film kalınlığı değeri elde edilir. Elde edilen yağ film kalınlığı değerinin, debiyi, sürtünmeye arcanan gücü, pompa için gerekli olan gücü, ve sıcaklık artışını nasıl etkilediği tespit edilmiştir.. DAİRESEL ESENEL HİDROSTATİ AYMALI YATA İÇİN YAPILAN OPTİMİZASYON ÇALIŞMASI SONUÇLARININ ARŞILAŞTIRILMASI Dairesel eksenel idrostatik kaymalı yataklarda imum güç için optimizasyon çalışması yapılmıştır. Yatak katsayısına ve imum sıcaklık farkı değerlerine göre çalışmalar gerçekleştirilmiştir. Çalışmalar sonucunda elde edilen değerler yeterli görülmediğinden, karşılaştırma yapmak ve daa etkin sonuçlara ulaşmak amacıyla er üç kriteri birlikte değerlendirerek üç kriterli optimizasyon çalışması yapılmıştır. + u ( L + s ) + q s () 6
Sayısal örneklerle yapılan optimizasyon çalışmaları sonuçları karşılaştırmalı olarak sunulmuş ve optimizasyon çalışmaları aşağıdaki şekilde gruplandırılmıştır.. Opt:. de açıklanan imum güç için yapılan optimizasyon çalışması sonuçları. Opt:. de açıklanan yatak katsayısına göre yapılan çalışmanın sonuçları. Opt:. de açıklanan imum sıcaklık farkına göre yapılan çalışmanın sonuçları. Opt.. de açıklanan imum güç, yatak katsayısı ve imum sıcaklık farkına göre yapılan optimizasyon çalışması sonuçları Dairesel idrostatik eksenel kaymalı yataklarda yapılan çalışmada er bir optimizasyon grubu için aşağıdaki sayısal veriler kullanılmıştır. İç yarıçap r i mm Eksenel uvvet F 8 kn Devir sayısı n 5 d/d Yağın viskozitesi η. Pas Pompa verimi η p.75 Yağın yoğunluğu x Yağın özgül ısısı c o ρ,67 6 J/kg C Optimizasyon yapmak amacıyla yazılan bilgisayar programında, giriş verileri tamamlandıktan sonra, sayısal verilere göre öncelikle pompa gücü katsayısını (p) imum yapan oran bulunmuş ve bu orana bağlı olarak yatağın dış çapı esaplanmıştır. Çalışma sonucunda oran (r i / r d ),55, p,57 ve dış yarıçap r d 87, mm olarak bulunmuştur. Yatakta oluşması gereken imum yağ film kalınlığı ise,7 µm olarak esaplanmıştır. Optimizasyon çalışmalarının sonuçları çizelge de verilmektedir. Optimizasyon sonuçları incelendiğinde, yağ film kalınlığı değerinin, imum güç için yapılan optimizasyon çalışması (Opt.) sonucunda imum,imum sıcaklık farkı için yapılan çalışma (Opt.) sonucunda maksimum değerini aldığı belirlenmiştir. Minimum sıcaklık farkı değerini sağlayabilmek için yatağa gönderilecek yağ miktarının artması gerekir ve bu durum ise yağ film kalınlığı değerinin ve buna bağlı olarak debi miktarının artmasına neden olmaktadır. Bir başka deyişle yağ film kalınlığındaki değişime paralel olarak debi miktarı değeri de değişmektedir. Çizelge. Dairesel idrostatik kaymalı yatak optimizasyon çalışması sonuçları Opt.No opt (µm) Q (lt/dak) Pp (W) Ps (W) Pt (W) Ps/Pp t 6,7,798 7 98,,9 88,7,7 9 79 58,75 7,6 98,6,79 7 5 6,9 5, 9,88,7 599 5 575,6 6,8 Yağ debi miktarı arttıkça yani yağ film kalınlığı değeri arttıkça sıcaklık farkı değeri azalmaktadır. Yapılan çalışmalar sonucunda sıcaklık farkı değeri, imum güç için yapılan optimizasyon çalışması sonucunda maksimum, imum sıcaklık farkı için yapılan çalışma sonucunda ise imum değerini aldığı görülmektedir. Minimum güç için yapılan optimizasyon çalışması (Opt.) sonucunda elde edilen toplam güç değeri ta edileceği gibi imum ve imum sıcaklık farkına göre yapılan çalışma (Opt.) sonucunda elde edilen toplam güç değeri ise maksimum olmaktadır. Yağ film kalınlığı değeri arttırıldığında, sürtünme etkisi azaldığından sürtünmeye arcanan güç a- zalmaktadır. Ayrıca yağ film kalınlığı değeri arttırıldığında, daa fazla basma gücü gerektiğinden pompa için gerekli olan güç artmaktadır. Bu nedenle, nolu optimizasyonda elde edilen imum yağ filmi kalınlığı değerine bağlı olarak sürtünmeye arcanan güç maksimum değerine ulaşmakta ve pompa için gerekli olan güç ise imum olmaktadır. Bu bilgiler ışığı altında nolu optimizasyon çalışmasında sürtünmeye arcanan gücün pompa için gerekli olan güce oranının maksimum olduğu görülmektedir. Yağ filmi kalınlığı değeri nolu çalışmada maksimum değerde olduğundan, sürtünmeye arcanan güç imum ve pompa için gerekli olan güç ise maksimum değerini almaktadır. Buna bağlı olarak nolu çalışmada sürtünmeye arcanan gücün pompa için gerekli olan güce oranının imum olduğu tesbit edilmiştir. 7
. SONUÇ Yapılan dört farklı çalışmanın sonuçları, dairesel idrostatik kaymalı yataklar için gerçekleştirilen tüm optimizasyon çalışmalarında elde edilen imum güç değerleri, kabul edilen P t değerine oranlandığında bulunan sayısal değerler ile tüm optimizasyon çalışmalarında elde edilen imum sıcaklık farkı değerleri, kabul edilen t değerine oranlandığında bulunan sayısal değerler karşılaştırma amacıyla çizelge de verilmiştir. Ayrıca bu çizelgede tüm optimizasyon çalışmalarında elde edilen, sürtünmeye arcanan gücün pompa için gerekli olan güce oranı da yer almaktadır. Hidrostatik eksenel kaymalı yataklarda, gerekli olan toplam gücün imum olması istenmektedir. Toplam gücün imum olması, sürtünmeye arcanan gücün ve pompa için gerekli olan gücün imum olmasına bağlıdır. Dairesel idrostatik eksenel kaymalı yataklarda, sürtünmeye arcanan gücün pompa için gerekli olan güce oranı olduğunda (P s / P p ), yatak için gerekli olan toplam gücün imum olduğu tespit edilmiştir. Yatak için gerekli olan toplam güç imum olduğunda yatakta meydana gelen sıcaklık artışı yüksek olmaktadır. Bu olay yatakta istenmeyen bir durumdur. Sıcaklık artışının fazla olması kullanılan yağın özelliklerini değiştirmekte ve kullanılan yağın viskozitesi azalmaktadır. Viskozitenin azalması yatak için gerekli olan toplam gücün artmasına neden olmaktadır. Bunun için sıcaklık artışının ve toplam gücün birlikte değerlendirilmesi gerekmektedir. Çizelge. Dairesel idrostatik eksenel kaymalı yatak optimizasyon çalışması sonuçlarının karşılaştırılması Opt.No Pt / Pt t / t Ps/Pp, 6,,,,5,75,5,,9,,,6 Bu çalışmada azırlanan bilgisayar programının çalıştırılması sonucunda, sadece yatak için gerekli olan toplam gücü imize eden optimizasyon işlemi sonunda (Opt.No:), sıcaklık farkı değerinin, istenen imum sıcaklık farkı değerine göre yaklaşık 6 kat fazla olduğu tespit edilmiştir. İstenen sıcaklık farkı değeri için yapılan optimizasyon işlemi (Opt. No:) sonunda, yatak için gerekli olan toplam gücün, imum toplam güce oranının yaklaşık,5 katı olduğu tespit edilmiştir. Her iki optimizasyon işlemleri sonucunda isteklerin birebir karşılanmadığı görülmüştür. Elde edilen sonuçlara göre, yatak için gerekli olan toplam güç sarfiyatının az olması ve kullanılan yağın özelliklerinin fazla değişmemesi için nolu optimizasyon işlein yapılması gerekmektedir. Her üç kriterin birlikte değerlendirildiği bu çalışmada elde edilen gücün imum güce oranı yaklaşık, ve ortaya çıkan sıcaklık farkının imum sıcaklık farkına oranı yaklaşık, olarak tespit edilmiştir. Dairesel eksenel idrostatik kaymalı yataklarda boyutsuz olarak bir yatak katsayısı tanımlanmış ve yatak katsayısına göre optimizasyon işlemleri gerçekleştirilmiştir. Böylece daa doğru bir yaklaşımla değerlendirme yapılabilmesi için alternatif sayısının arttırılması sağlanmıştır. Dairesel eksenel idrostatik kaymalı yataklarda imum güç için yapılan optimizasyon çalışması, yatak katsayısına göre ve imum sıcaklık farkına göre yapılan çalışmalar sonucunda elde edilen değerlerin yeterli olmayacağı düşünülmüştür. Bunun yanında üç farklı kriter birlikte değerlendirilerek optimizasyon çalışması yapılmıştır. Literatürde imum güç, yatak katsayısı ve imum sıcaklık farkına göre çalışmaların yapıldığı görülmüştür. Fakat bu kriterlerin üçünün birlikte değerlendirilerek yapılan çalışmaya rastlanmamıştır. Üç farklı kriter birlikte değerlendirilerek yapılan optimizasyon çalışması sonucunda, tek kriterle elde edilen optimizasyon çalışması sonuçlarına göre, yatak için gerekli olan toplam güç ve yatakta meydana gelen sıcaklık farkı değişimleri açısından çok daa iyi sonuçların elde edilmesini sağlamıştır. 5. AYNALAR. Akkurt, M. (98) Makine Elemanları. İkinci Cilt. İTÜ. Müendislik-Mimarlık Fakültesi, İstanbul. (s: -9).. Akkurt, M. (99) Makine Elemanları. Birsen Yayınevi, Cilt No:, İstanbul. (s: 6-). 8
. Arora, J.S. (989) Introduction To Optimum Design. McGra-Hill Series in Mecanical Engineering, United States of America. (p: 78-8).. Freund, H. (99) onstruktions Elemente. Wissenscaftsverlag, Band, Manneim. (p: 6-67). 5. Haberauer, H., Bodensteın, F. (997) Mascinenelemente. Springer, Berlin. (p:-7). 6. Niemann, G. (97) Makine Elemanları. Fon Matbaası, Ankara. (s: 59-9). 7. Peeken, H. (975) Die Berecnung Hydrostatiscer Lager. VDI Bericte Nr:8, Aacen. (p: 85-9). 8. Steınılper, W., Röper, R. (99) Mascinen- und onstruktionselemente. Springer Verlag, Berlin. (p: - ). 9. Weck, M. (985) Werkzeugmascinen. Band. onstruktion und Berecnung. VDI Verlag, Düsseldorf. (p: 5-97). 9