Difrsil Dklmlr
Doç. Dr. Slhi MADEN Ord Üivrsisi F dbi Fkülsi Mmik Bölümü DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr Yüksk Mrbd Bzı Özl Difrsil Dklmlr Yüksk Mrbd Lir Difrsil Dklmlr Difrsil Dklm Sismlri v Toplm Difrsil Dklmlr Difrsil Dklmlri Srilrl Çözümü Bssl Lgdr v Gss Difrsil Dklmlri Forir Srilri Lpl Döüşümü Yömi SEÇKİN F Bilimlri
Difrsil Dklmlr Slhi MADEN SEÇKİN F Bilimlri No: ISBN 978-975--7- Birii Bskı: Elül Akr Birii Bskı: 8 Sf Tsrımı: Ömr Cd Kpk Tsrımı: İsmil Çm 76 Sf 65 m.. Difrsil Dklmlr. Yüksk Drd Difrsil Dklmlr. Birii Drd Difrsil Dklmlr. Lir Difrsil Dklmlr 5. Dklm Sismlri 6. Toplm Difrsil Dklmlr 7. Forir Srilri 8. Lpl Döüşüm Yömi Sçki Yıılık S. v Ti. A.Ş. B kibı hr ürlü ı hkkı Sçki Yıılık S. v Ti. A.Ş iir. Yıvii zılı izi olmd ıım mçlı oplm bir sfı gçmk lıılr hriç olmk üzr hiçbir şkild kibı ümü v bir kısmı hrhgi bir ormd ımlmz v çoğlılmz. Sış v Dğıım: Mrkz Sğlık Sok. No: Sıhhi / Akr Tl : 5 Fks: 5 7 sis@ski.om.r Wb Sisi: www.ski.om.r Şb Srzbrg Cd. No: /B Sıhhi / Akr Tl: 5 6 krsb@ski.om.r Sçki Yıılık Srifik No: 6 Şb Akr Adl Srı K-Blok Zmi K Sıhhi / ANKARA Tl: 9 5 8 dlisb@ski.om.r Şb Abid-i Hürri Cd. No: 9/A Şişli / İSTANBUL Tl : 77 Fks: 69 sislisb@ski.om.r Bskı: Sözks Mbılık Ti. Ld. Şi. Srifik No: 68 İVOGSAN 57 Sok. M-Si İşmrkzi No: / Yimhll /ANKARA - Tl: 95 Şb Adol Adl Srı C Blok Zmi K No: 9 Krl / İSTANBUL Tl : 6 Fks: 6 krlsb@ski.om.r
Ösöz Difrsil Dklmlr üivrsilrimizi birçok birimid bir v iki sömsrlik drslr hlid oklmkdır. Difrsil Dklmlr drslrii dh kol lşılbilmsi içi öd difrsil v igrl hsbı z iki sömsrlik bölümüü oklmş olmsı grkmkdir. B kip dğişik üivrsilrd görv pığım klşık o bş ıllık sür içrisid birçok dğişik kk kllrk olşrdğm v okm çlışığım drs olrıd v blrı gişlmsid olşmkdır. Bgü Difrsil Dklmlr v o glmlrı bş Fizik v Mühdislik olmk üzr pk çok ld grksiim dl ömli bir bilim lı hli glmişir. Üivrsilrimizi birçok fkül v üksk okllrıd liss düzid dğişik isimlr lıd oklmk ol Difrsil Dklmlr drslrii müfrd progrmlrı çrçvsid drs kibı v rdımı drs kibı olrk kllılmk mıl hzırlıl b kip lı bölümd olşmkdır. Dil v rmioloji bkımıd kol okp lşılbilmsi içi ld gl hr ürlü çb v özi gösrm çlışmış olmkl birlik şüphsiz bzı hlrı blbilğii d bş kbl diorm. Siz oklrd glbilk üm olml lşiri v ol gösrii rdımlrıızı bklr kibı bş öğrilr olmk üzr üm okrlr v ğiim misı fdlı olmsıı mi drim. B kibı hzırlbilk bilgi v dim ship olmmd mği gç üm holrım b kibı mmlmsı v bilgisrd zımı sırsıd vdki gi hoşgörü v dsğid dolı şim v çoklrım rdımlrıd dolı Ord Üivrsisi F Edbi Fkülsi Mmik Bölümü öğrim lmlrıd Sı Yrd. Doç. Dr. Erdl ÜNLÜYOL v rı b kibı bsımıı grçklşir Sözks Mbılık Ti. Ld. Şi. çlışlrı iç şkkürlrimi srım. ORDU- Doç. Dr. Slhi MADEN
Đçidkilr Ösöz... 5 BÖLÜM I BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN BĐRĐNCĐ DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER.. Giriş..... Difrsil Dklmlri Sııfldırılmsı..... Difrsil Dklmlri Çözümü... 5.. Çözüm Yömlri... 8... Dğişklr Arılbil Dklmlr... 9... Homoj Dklmlr...... Homoj Dklm Döüşürülbil Dklmlr... 5... Tm Difrsil Dklmlr.....5. Đgrso Çrpı... 7..6. Lir Difrsil Dklmlr... 58..7. Dğişk Dğişirm... 65..8. Brolli Difrsil Dklmi... 7..9. Rii Difrsil Dklmi... 7... Eğri Aillrii Yörüglr... 8 BÖLÜM II BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN YÜKSEK DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER.. Giriş... 9.. gör Çözülbil Difrsil Dklmlr... 9 p.. Gör Çözülbil Difrsil Dklmlr... 96.. Gör Çözülbil Difrsil Dklmlr....5. Clir Difrsil Dklmi....6. Lgrg Dklmi... 7
8 Difrsil Dklmlr BÖLÜM III YÜKSEK MERTEBEDEN BAZI ÖZEL DĐFERANSĐYAL DENKLEMLER.. Giriş... 5.. Bğımsız Dğişki Blmmsı Hli... 5.. Bğımlı Dğişki Blmmsı Hli... 9 d.. f Difrsil Dklmi... d d.5. g Difrsil Dklmi... 5 d k k.6. d d d F Difrsil Dklmi... 7 k k d d d BÖLÜM IV YÜKSEK MERTEBEDEN LĐNEER DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER.. Giriş..... Doğrsl Lir Bğımsızlık... 5.. Sbi Ksılı Đkii Trfsız Doğrsl Difrsil Dklmlr... 9.. Sbi Ksılı Đkii Trflı Doğrsl Difrsil Dklmlr... 8.5. Prmrlri Dğişimi Mod... 6.6. Mrbi Düşürülmsi Mod... 67.7. Ch-Elr Dklmi... 7 BÖLÜM V DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ VE TOPLAM DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER 5.. Giriş... 8 5.. Difrsil Dklm Sismlri... 8 5.. Lir Difrsil Dklm Sismlri... 9 5.. Toplm Difrsil Dklmlr... 6
Đçidkilr 9 BÖLÜM VI DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐN SERĐLERLE ÇÖZÜMÜ 6.. Giriş... 9 6.. Tml Kvrmlr... 9 6. Sri Çözümlri Blmsı... 6... Blirsiz Ksılr Yömi... 6... Frobis Yömi... 9 BÖLÜM VII BESSEL LEGENDRE VE GAUSS DĐFERANSĐYEL DENKLEMLERĐ 7.. Bssl Difrsil Dklmi... 7 7. Lgdr Difrsil Dklmi... 8 7.. Gss Difrsil Dklmi... 9 BÖLÜM VIII FOURĐER SERĐLERĐ 8.. Forir Srisii Ksılrıı Blirlmsi... 7 8.. Forir Srisi Açılbilm Koşllrı... 8.. Tk v Çif Foksiolrı Forir Srilri... 6 8.. Hrhgi Priodl Foksiolrı Forir Srisi... 9 8.5. Priodik olm Foksiolrı Forir Srisi... BÖLÜM IX LAPLACE DÖNÜŞÜM YÖNTEMĐ 9.. Lpl Döüşümü... 9 9.. Trs Lpl Döüşümü... 8 9.. Lpl Döüşümüü Difrsil Dklmlr Uglmsı... 58 Kklr... 75 Özgçmiş... 76
.. Giriş BÖLÜM I BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN BĐRĐNCĐ DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER 676 ılıd Libiz rfıd kllılm bşlıl Difrsil Dklm bğımlı dğişk il bir v dh fzl bğımsız dğişk gör b bğımlı dğişki ürvlrii içr bir dklmi ifd mkdir. Doğdki pk çok olı çıklmsıd difrsil dklmlr kllılmkdır. B çıklmk içi bir doğr üzrid zm bğlı olrk f dklmi gör hrk d bir prçığı ıdki hızıı ımlm çlışlım. ıı kılrıd bir zmı lıırs prçığı ldığı ol f f olp b rd gç zm is olkır. B so olrk gç sür içid prçığı orlm hızı f f ]/[ ] [ olkır. Ak bizd b prçığı ıdki hızı isirs b kdird olmk üzr ld dil üm orlm hızlrı ik limii olrk vrs f lim f. zılbilği çıkır. m şklid bir doğr vrildiğid m sısı b doğr ğimi dildiğii biliorz. B ş şkild ormlbiliriz. B doğr grfiği üzrid v gibi iki dğişik ok lıdığıd m m m m α
Difrsil Dklmlr ld dilir. Böl m ğimi doğr ksii poziif öül pığı α çısıı jı şi olkır. α Şkil Bir doğr foksio olm foksiolr içi d bzr işlmi pılbilğii blirlim. B içi bzr bir mhkm il m α zılbilir. Diğr rf. bğıısı bkılırs b ürv ımı gör f il vril foksio oksıdki ürvi oldğ çıkır... Difrsil Dklmlri Sııfldırılmsı Tım..: bğımsız dğişki f foksio v bğımlı dğişki v b foksio bğımsız dğişk gör... ürvlri rsıdki hrhgi bir bğıı bir difrsil dklm dı vrilir. Böl bir difrsil dklm v F.... d d d d F... d d d d smbolü il gösrilir.. d çkilbiliors b ri bz
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr gösrimi d kllılır. ϕ.... Bir difrsil dklmd bir bğımsız dğişk vrs difrsil dklmdki ürvlr orml di ürv olğıd böl bir dklm di difrsil dklm dir. Biz b kip gl olrk di difrsil dklmlri l lğız. B dl d di sıfıı kllmksızı difrsil dklm dirk söz dğiz. Ö d bğımlı dğişki bird çok bğımsız dğişk gör ürvlrii içr dklmlr d kısmi ürvli difrsil dklmlr dı vrilğii d blirlim. Örği dklmi. ipid bir di difrsil dklmdir. dklmi. ipid bir di difrsil dklm ik d d d dz dklmi is bir kısmi ürvli difrsil dklm olkır. Brd so dklmd z biçimiddir. Tım..: Bir difrsil dklmd bl üksk mrbd ürvi mrbsi o difrsil dklmi mrbsi v bsmğı dı vrilir. Örği dklmi birii mrbd dklmi ikii mrbd bir difrsil dklmdir. B gör birii mrbd bir difrsil dklmi gl şkli F biçimid olkır.
Difrsil Dklmlr Tım..: Bir difrsil dklmdki büü ürvlri drlri m hl girildik sor üksk mrbd ürvi drsi o difrsil dklmi drsi dı vrilir. Örği 5 dklmi ikii drd dklmi birii drd bir difrsil dklm v 5 dklmi is üçüü drd bir difrsil dklmdir. Bz difrsil dklmlrd söz dilirk lir doğrsl sıfı d birlik kllılır. Lir difrsil dklmlr ss iibril difrsil dklmlri ömli v sık kllıl kısmıı olşrmkdır. Tım..: Bir difrsil dklmd bğımlı dğişk v ürvlri lız birii drd olp blr dklmd çrpım v rsd foksio biçimid blmors dklm lirdir dir. bğımsız dğişk v bğımlı dğişk olmk üzr. mrbd lir bir difrsil dklm gl şkild... b. biçimid zılbilir.. formd zılm difrsil dklmlr is lir olm difrsil dklm dı vrilir. Örği dklmi. mrbd bir lir difrsil dklm 5 os dklmi 5. mrbd bir lir difrsil dklm olp dklmi is bir lir olm difrsil dklmdir.
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5.. Difrsil Dklmlri Çözümü Difrsil dklmlr ilirk çok üzrid drl hss olrı çözümlri kosdr. Bir difrsil dklmi çözümü dimi il ürv hriç bğımlı v bğımsız dğişklri rsıdki ilişkii gösr bir şilik lşılmkdır. Bşk bir ifd il bir difrsil dklmi çözmk dmk ürvlri il birlik difrsil dklmd ri koldğ zm dklmi özdş olrk sğl büü foksiolrı blmsı dmkir. Bir difrsil dklmi çözümlrii hr zm lmr foksiolr il v bili foksiolrı çık bir ifdsi olrk gösrilmsi mümkü olmbilir. Tım..:. mrbd bir F... difrsil dklmii göz öü llım. B kdird ımlı oldğ hr dğişki içi F f f... f d ımlı v F f f... f olk şkild. mrbd ürvlbil bir f foksio blbilirs b foksio difrsil dklmi bir çözümü dı vrilir. Yi v ürvlri ri f foksio v ürvlri zıldığıd vril dklm özdş olrk sğlıors b f foksio difrsil dklmi bir çözümü diğiz. Difrsil dklmlri çözümlri gl özl v kil çözümlr olmk üzr üç ürlüdür. ii mrbd bir F... dklmii gl çözümü sı idirgm kfi prmr içrir. Özl çözümlr is gl çözümd sözü gç prmrlr özl dğrlr vrilrk ld dilir. Ö d bzı difrsil dklmlrd is b dklmi sğl k gl çözümd ld dilm bir v dh fzl çözümü d blbilir. B ip çözümlr is kil v sigülr çözümlr dı vrilmkdir. Özl olrk f.5 bğıısı il ıml bir prmrli düzlm ğri ilsii göz öü llım. B ild prmrsii hr bir dğri içi bir ğri ld dilir. i sbi rk f kplı foksio gör kısmi ürvii lırsk f f.6
6 Difrsil Dklmlr ld dilir..5 v.6 dklmlrid prmrsi ok dilirs birii mrbd F biçimid bir difrsil dklm ld dilir. Trsi olrk F difrsil dklmii gl çözümü bir prmrli f ğri ilsi olrk ifd dilbilir. Örği difrsil dklmii göz öü llım. B dklm içi os lıırs si olğıd blr dklmd ri zılırs dklm özdş olrk sğlır. O hld f os foksio b dklmi bir çözümüdür. Aı şkild si lıırs os olp b drmd d i vril dklm sğlır. Dolısıl f si foksio d b dklmi bir çözümü olkır. Ö rf bir sbi olmk üzr si foksio d vril dklmi sğlr. Yi si foksio d dklmi bir çözümüdür. Üslik b foksiod lıırs si v π / lıırs os çözümlri d ld dilir. Dh gl olrk ğr f... foksio sı dh şğı idirgm... gibi kfi prmr içriors i düzlmid prmrli bir ğri ilsi gösriors b kdird vril foksiod. mrb kdr ürvlr rdımıl... prmrlri ok dilbilir. B sod il dhil büü ğrilri ork bldğ gomrik özlliği ifd d. mrbd bir difrsil dklm ld dilmiş olr. Yi f... ğri ilsii sğlğı difrsil dklm olrk F... şklid bir ifd blmş olr. Örk..: difrsil dklmii göz öü llım. B drmd sğlır. Brd foksio içi şiliği foksio vril difrsil dklm içi bir çözümdür. Diğr rf bir kfi prmr olmk üzr. foksio d vril dklmi sğlkır. O hld b foksio vril difrsil dklmi gl çözümüdür.
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 Örk..: difrsil dklmii göz öü llım. B drmd dır. Bzr şkild foksio içi foksio içi d şiliği sğlır. O hld hr iki foksio d vril dklmi bir çözümü olkır. Ö rf v kfi iki prmr olmk üzr. v. foksiolrı d vril dklmi sğlkır. O hld b iki foksio oplmı olrk.. foksio ğri ilsi vril difrsil dklmi gl çözümüdür. Örk..: difrsil dklmii l llım. B kdird d d d d d ld dilir. Eşiliği birii rfıd gör v ikii rfıd is gör igrl lıırs b kdird ilsi vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. Örk..: ğri ğri ilsii çözüm olğı difrsil dk- lmi ld dlim. d ld dilir. B şiliklrd birid prmrsi v isid çkilip diğrid ri kolrs isil difrsil dklmi ld dilmiş olr. B drmd d olp b diğr dklmd ri korsk ğri ilsi krşılık gl difrsil dklmi olğı görülür. Örk..5:. os. si ğri ilsii çözüm olğı difrsil dklmi bllım. B kdird os. si si. os... os. si ld dilir. B şiliklrd isil difrsil dklm olrk ld dilir. Örk..6: f il vril ğri ilsii çözüm olğı difrsil dklmi ld dlim. B kdird f f ld dilir.
8 Difrsil Dklmlr Örk..7: f..si il vril ğri ilsii çözüm olğı difrsil dklmi bllım. B kdird..si..os..si ld dilir. B üç ifdd v prmrlrii ok mk mümküdür. B içi..si v..si şiliklrd dğrlr / v / si ld dilir. B..os şiliğid ri kop grkli düzlm pılırs r difrsil dklm olrk F si os si si os ld dilir... Çözüm Yömlri B kısımd difrsil dklmlr içi çözüm ömlri vrilkir. Birii mrbd difrsil dklmlri çözümü içi gl bir öm vrilmmkl birlik çşili ip birii mrbd difrsil dklmlr içi bzı özl krllr vrilmişir. B dl bir difrsil dklmi çözbilmk içi ölikl difrsil dklmi hgi ip oldğ bkılmsı v dh sor d o ip g çözüm ömii kllılmsı dh g olkır. Brd çşili ip difrsil dklmlri v çözüm ömlrii dlı bir şkild ilğiz. Birii mrbd bir difrsil dklm gl şkild F v f formd vrilir. Eğr f foksio f P / Q biçimid is b dklm P d Q d.7
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 şklid d vrilbilir. B kısımd böl bir difrsil dklmi P v Q foksiolrıı özl drmlrı gör kdi rlrıd sııflr ırıp hr bir sııf içi çözüm ömlri or koğız. Eğr f foksio f P / Q şklid is b kdird Q koşl sğl oklrd f sürksiz v P Q koşl sğl oklrd is f blirsizdir dir. f i sürksiz v blirsiz oldğ oklr.7 difrsil dklmii kil oklrı dir.... Dğişklr Arılbil Dklmlr Tım..: Eğr birii mrbd bir difrsil dklm h olmk üzr f g. h.8 biçimid v b dk olrk P d Q d.9 şklid zılbiliors b dklm dğişklr rılbilir difrsil dklm dir. B drmd dklmi çözmk içi rim rim igrl lmk rli olkır. B gör çözüm P d Q d ifdsi il ımlır. Eğr b igrllr çözülbilirs ld dil ğri ilsi dklmi gl çözümü olkır. Aksi kdird dklmi çık bir çözümü vrilmz. Örk..:. os difrsil dklmii çözlim. Vril dklm d. os d. os. d d d os. d şklid d zılbilir ki b dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. Brd rim rim igrl lımk sril dklmi gl çözümü olrk
Difrsil Dklmlr d d os. l si ld dilir. Örk..: d d difrsil dklmii çözlim. Söz kos dklmd d d d d ld dilir ki b dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. Brd rim rim igrl lımk sril dklmi gl çözümü olrk d d d d d d d l ld dilir. Örk..: si dklmii çözlim. Söz kos dklmd d d si d si. d ld dilir. Brd rim rim igrl lımk sril dklmi gl çözümü d si. d os olrk blmş olr. Örk..: difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklmd d d d d
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr ld dilir ki brd rim rim igrl lımk sril d d olğıd d d d d d d l l l l l ld dilir.... Homoj Dklmlr içi Tım..: f iki dğişkli bir foksio olmk üzr hr f λ λ λ. f λ> zılbiliors b kdird f foksio v dğişklri gör. drd homojdir dir. Örği f foksio içi f λ λ λ λ λ λ λ. f oldğd b foksio. drd homoj bir foksiodr. Tım..: Hrhgi bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid P v Q foksiolrı v dğişklri gör ı drd homoj is b dklm birii mrbd homoj difrsil dklm dı vrilir. B gör ğr P v Q foksiolrı m. drd homoj is m m P λ λ λ P v Q λ λ λ Q
Difrsil Dklmlr olğıd b şiliklrd λ / lıırs m m P P v Q Q ld dilir. Brd d P P / Q Q / d b dk olrk g. blr. Böl bir difrsil dklmi çözbilmk içi dğişk dğişimi pılrk dklm dğişklr rılbilir bir difrsil dklm döüşürülbilir. B dğişk dğişimi lıd. difrsil dklmid d d d g g d d d g d l l g d g. ld dilir. Brd g oldğ vrsılmkdır. B so şilik / zılmk sril vril difrsil dklmi v gör gl çözümü blmş olr. Örk..5: d d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklm içi P v Q olp hr iki foksio d. drd homojdir. Dolısıl vril difrsil dklm dğişk dğişimi pılrk d. d. d olp
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr d. d. d v b dk olrk d d. d şklii lır. Grkli sdlşirm pılrk d. d d d gl çözümü ld dilmiş olr. d d l l l l / / Örk..6: d / d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklmd P v Q foksiolrı / isid ifd dilmiş oldklrıd vril dklm bir homoj difrsil dklm olkır. Dolısıl dğişk dğişimi pılrk d. d. d olp vril difrsil dklm v. d. d d d d d şklii lır. Grkli sdlşirm pılrk d d d d d d
Difrsil Dklmlr l l l d l l d d / / d / d gl çözümü ld dilmiş olr. Örk..7: d d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. P v Q foksiolrı v gör birii drd homoj foksiolr oldklrıd vril dklm bir homoj difrsil dklm olkır. dğişk dğişimi pıldığıd d. d. d olğıd vril difrsil dklm d. d. d v b dk olrk d d d şklii lır. Grkli sdlşirm pılrk. d. d d d d d gl çözümü ld dilmiş olr. l rsi l rsi
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5... Homoj Dklm Döüşürülbil Dklmlr d d b α β γ şklid sbi ksılı bir difrsil dklm il krşılşılırs b drmd. β α.b ifdsii dğri bkılır. B drmd ğr i. β α. b is b kdird b v α β γ şklid ıml doğrlr birbiri prll olkır. Bşk bir dişl α. k v b β. k olrk zılbilir. B kdird b k. α β ld dilir. Brd α β döüşümü pılırs d d d d α β d d α d β d blr. Böl vril difrsil dklm d k. α β d γ d k. β α d γ şkli glir ki b dklm dğişklr rılbil ip bir difrsil dklmdir. B içi is çözüm ömii dh öd vrmişik. ii. β α. b is b kdird X h v Y k dğişk dğişimi il dklm şğıdki gibi homoj difrsil dklm döüşürülrk çözülbilir. X h v Y k d dx v d dy olğıd dklm dy dx X by h bk α X βy αh βk γ d d olrk zılbilir. Brd h bk v αh βk γ olk şkild h v k sbilri blirlbilir.. β α. b oldğd b mümküdür. Böl dklm dy dx X by α X βy dy dx
6 Difrsil Dklmlr homoj difrsil dklmi döüşmüş olr. B drmd dh öd vril öml gl çözüm ld dilir. Diğr rf ğr dklm d d b f α β γ biçimid is b drmd i krıdki öm glır. d 5 Örk..8: şklid vril difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklm içi d. β α. b.. olr. B kdird d d d d d d d d döüşümül dklm d 5 d olrk zılbilir. Brd d d d d d d d 5 d d d d d d d 7 d d d d 7 d d 7 l 6 7 l 6 ld dilir.
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 d Örk..9: şklid vril difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B dklm d içi. β α. b.. 5 dır. Dolısıl X h v Y k d dx v d dy döüşümü pılrk dklm d d dy dx dy dx X Y h k X Y h k şklid zılbilir. Brd h v k sbilri h k v h k olk şkild blirlirs h v k blr. Böl dy dx X Y X Y Y X dğişk dği- homoj difrsil dklmi ld dilir. Brd şimil X d dx X X X X X d dx d dx X d d d d dx X dx X r l l X
8 Difrsil Dklmlr ld dilir. B kdird X Y v vril dklmi gl çözümü olrk r l v dh sd şkild r l ld dilir..l C C Y olğıd X d Örk..:. difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B d dklm d d. f biçimid d zılbilğid. β α. b.. dır. O hld döüşümül d d d d d d d d d d d d d d d d d d. d. d d d d d
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 l d l ld dilir. Alışırmlr. Aşğıdki ğri illrii çözüm kbl d difrsil dklmlri blz. b... os.si. d 5 f. Aşğıdki dğişklr rılbilir difrsil dklmlri çözüüz.. b d d d si.os d.os d. π / 6 f d d g d d h l l d d
Difrsil Dklmlr. Aşğıd vril homoj difrsil dklmlri çözüüz. Arı homoj olmlrı d homoj hl girrk gl çözümlrii blz. d d b d d d d d d os d f d g d d / / h d d ı d d i d d d j d d k d d l d d m d d 6 o
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr ö p r 5 s 6 9 ş ü 5... Tm Difrsil Dklmlr Tım..: Bir difrsil dklm d Q d P. formd zıldığıd U P v U Q. olk şkild düzlmi blli bir B bölgsid ımlı v sürkli ürvlbilir bir U foksio blbilirs b kdird d Q d P difrsil dklmi bir m difrsil dklm dı vrilir. B drmd U foksio is d Q d P difrsil dklmii bir m difrsili v oplm difrsili dir.
Difrsil Dklmlr Torm..: P v Q v ürvlri düzlmi blli bir B bölgsid sürkli olmk üzr ğr v kıs P Q P Q. is P d Q d difrsil dklmi bir m difrsil dklmdir. Đsp: B bölgsid sbi bir oksı lırk U P s ds Q d foksio göz öü llım. B şkild ıml U i dğişki gör kısmi ürvi lıırs b kdird U P Q d P P d P P P P ld dilir. Bzr düşül U P s ds Q d il ıml U foksio gör kısmi ürvi lıırs b kdird U P s ds Q
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr Q ds s s Q Q Q Q Q ld dilir. O hld d Q d P ifdsi bir m difrsildir. Torm..: Eğr P v Q ürvlri düzlmi blli bir B bölgsid sürkli olmk üzr d Q d P difrsil dklmi m difrsil is Q P şiliği sğlır. Đsp: d Q d P difrsil dklmi m difrsil oldğ-d U P v U Q olk şkild düzlmi blli bir B bölgsid ımlı v sürkli ürvlbilir bir U foksio vrdır. B drmd U P v U Q olkır. Ö rf P v Q foksiolrı sürkli oldğd U U Q P şiliği ld dilir. Soç..: d Q d P difrsil dklmi bir m difrsil dklm v
Difrsil Dklmlr U P v Q U olk şkild bir U foksio mv ols. B kdird F foksio vril difrsil dklmi bir çözümü olmsı içi grk v r şr U dklmii sğlmsıdır. Ykrıdki bilgilri ışığı lıd bir difrsil dklmi m difrsil olp olmdığıı lmk içi P Q özdşliğii sğlıp sğlmdığı korol dilir. Eğr b özdşlik sğlıors Torm.. gör dklm m difrsil olkır. O hld b özdşliğ m difrsillik koşl d dir. Ykrıdki soç is bir m difrsil dklmi çözümü hkkıd biz bir fikir vrmkdir. Örk..: os d si d difrsil dklmii çözlim. B dklm içi P os v Q si olğıd P si Q olkır. Yi vril difrsil dklm m difrsildir. O hld dklmi çözümü U biçimid olkır. Ö d U P os şiliğid U os d h os h olp h bilim foksio blmk içi b ifdi dğişki gör kısmi ürvii lrk Q ifdsi şillim. Böl U si h Q si h h k ld dilir. Brd r U foksio
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 U os k olp difrsil dklmi gl çözümü os olrk blmş olr. Örk..: 6 d d şklid vril difrsil dklmii çözlim. B dklm içi P 6 v Q olğıd P 6 Q olkır. Yi vril difrsil dklm m difrsildir. Şimdi dklmi gl çözümüü bllım. B drmd U P 6 şiliğid U 6 d h h olp h i blmk içi b ifdi gör ürvii lıp Q şillim. Böl U h Q h h k ld dilir. Brd U k
6 Difrsil Dklmlr olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr. Örk..: d d gl çözümüü bllım. B dklm içi difrsil dklmii P v Q olğıd P Q olp vril difrsil dklm m difrsildir. B drmd U P şiliğid U d h h ld dilir. h bilim ifdsii blmk içi b ifdi gör ürvi lııp Q şilirs U h Q h k h ld dilir. Brd U olp vril difrsil dklmi gl çözümü dklmi il ımlır. k
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 Örk..: os d d dklmii gl çözümüü bllım. B dklm içi P os v olr. B drmd P dklm m difrsildir. Dolısıl U P os olğıd U os d h Q Q oldğd vril difrsil d os d h si h ld dilir. B drmd U h Q ld dilir. Brd h h k U si k olp vril difrsil dklmi gl çözümü si şklid blmş olr...5. Đgrso Çrpı Birii mrbd bir difrsil dklmi P Q olmk üzr P d Q d şklid vrildiğii vrslım. B drmd dklm bir m difrsil dklm dğildir. Bir çok df böl bir dklm λ λ gibi bir foksiol çrpılrk dklmi m difrsil hl girilmsi müm-
8 Difrsil Dklmlr küdür. B kdird ld dil i dklm il vril dklmi gl çözümlri ı olkır. B şkildki λ λ foksio P d Q d difrsil dklmi içi bir igrso çrpı igrl çrpı dı vrilir. B so olrk [ P d Q d] λ. v b dk olrk [ P ] d [ λ Q ] d λ. ld dilir. B drmd m difrsillik koşl gör [ P ] λ [ Q ] λ.5 zılbilir. Brd λ P P λ λ Q Q λ v dh kıs olrk λ P P. λ λ Q Q. λ. d bşk bir zılışl. λ. P Q λ. Qλ P.6. bğıısı blr. Diğr rf b şr sğlk şkild bir λ λ foksio blmsı problmi bir kısmi difrsil dklm çözm problmidir. B is vril difrsil dklmi çözmk dh d zordr. B dl b kısımd sd bzı özl drmlr içi bir igrso çrpı blrk dklmi gl çözümüü ld m çlışğız. I. λ λ biçimid bir igrso çrpıı blmsı. Birii mr-bd bir difrsil dklm P Q olmk üzr P d Q d
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks.6 bğıısıd λ olğıd λ. P Q λ Q. λ P Q λ Q dλ P Q λ Q d zılbilir. B drmd ğr b so şiliği ikii rfıdki ifdsi sd bğlı is r igrso çrpı P Q Q P Q d Q λ.7 bğıısı il hsplır. Örk..5: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü bllım. Vril dklm içi P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q oldğd difrsil dklmi sd bğlı igrso çrpı λ PQ d Q d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd d d ld dilir ki b dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz.
Difrsil Dklmlr U d h l h ld dilir. Dolısıl U h h h k olp vril dklmi gl çözümü U l olrk blmş olr. Örk..6: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. B drmd P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q. oldğd difrsil dklmi sd dğişki bğlı igrso çrpı mv olkır. B çrp λ P Q d Q d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ il çrpıldığıd d d [ ] v dh çık şkild d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz.
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr U d h d d. d h d d. ld dilir. Dolısıl U. h. h h olp vril dklmi gl çözümü U olrk blmş olr. d h h k II. λ λ biçimid bir igrso çrpı blmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr dklmi λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks b kdird.6 bğıısıd λ olğıd λ P Q λ. P Q λ. P λ P dλ P λ Q d P P Q zılbilir. Brdki so şiliği ikii rfıdki ifdsii P sd dğişki bğlı olmsı drmd r igrso çrpı d P λ.8 bğıısı il hsplır. P Q Örk..7: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. B drmd P v Q
Difrsil Dklmlr olğıd P v Q v dolısıl P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q P oldğd difrsil dklmi sd dğişki bğlı igrso çrpı λ PQ d P d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd d d d d ld dilir ki b dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz. B drmd U d h U h h h olğıd vril dklmi gl çözümü U l olrk blr. Örk..8: d d d h l k difrsil dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. B difrsil dklm d d biçimid zılbilğid P Q
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr Q P P Q olp dklm bir m difrsil dklm dğildir. Ö rf P Q P oldğd difrsil dklmi sd dğişki bğlı ol igrso çrpı λ PQ d P d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd d d d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz. B drmd U d h h U h h h k olğıd vril dklmi gl çözümü U olrk blr. III. λ λ biçimid igrso çrpıı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril
Difrsil Dklmlr λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P... ifdsid λ λ.. λ v λ λ.. λ olğıd λ P Q dλ λ. P Q Q P. λ λ Q P λ P Q d Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d QP λ.9 Örk..9: d d il vril difrsil dklmi m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril dklm içi P Q P Q P Q olp b difrsil dklm m difrsil dğildir. Diğr rf P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd çrpı λ d bğlı igrso olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 ld dilir ki b dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h d d h l h ld dilir. Brd U h h h l k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U l l olrk blmş olr. Örk..: dklmii m difrsil hl girip gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm d d biçimid zılbilğid b difrsil dklm içi P v Q P Q olp rf P Q dir. Yi vril dklm m difrsil dğildir. Diğr P Q Q P 6 6 6
6 Difrsil Dklmlr oldğd difrsil dklmi sd çrpı bğlı igrso λ d olrk ld dilir. Böl [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd d d h h U h h h k blr v böl vril difrsil dklmi gl çözümü U şklid ld dilmiş olr. Örk..: d d şklid vril difrsil dklmi bir m difrsil dklm döüşürrk gl çözümüü blz. B drmd
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 P Q P Q olp P Q dır. Dolısıl vril difrsil dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd d λ olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm il çrpılmk sril d d v grkli sdlşirmlr pılrk d d bğlı igrso çrpı ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd d d h h U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U şkliddir.
8 Difrsil Dklmlr IV. λ λ biçimid igrso çrpı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P... ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ P Q λ. P Q Q P. λ λ Q P dλ P Q d λ Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P dğişki bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d QP λ. Örk..: d d dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril dklm içi P Q P Q P Q olp difrsil dklm m difrsil dğildir. B dl P Q Q P oldğd vril difrsil dklmi sd bğlı ol igrso çrpı λ d dğişki
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 9 olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm λ / il çrpıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h d d d h l h ld dilir. Brd U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l ld dilir. Örk..: d d dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril dklm içi P Q P Q P Q
5 Difrsil Dklmlr olp difrsil dklm m difrsil dğildir. B drmd P Q Q P oldğd vril difrsil dklmi sd bğlı igrso çrpı dğişki λ d λ / il çr- olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm pıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d d d ld dilir ki b difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd l h U h h l k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l l blmş olr. V. λ λ biçimid igrso çrpı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 şklid vrildiğid ğr λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P... ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ. P Q Q P. λ λ λ P Q Q P dλ λ P Q Q P d zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki P Q Q P bğlı olmsı drmd r igrso çrpı P Q ifdsii sd d Q P λ. bğıısı il hsplır. Örk..: d d dklmii m difrsil hl girrk gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm içi P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd igrso çrpı dğişki bğlı ol λ d olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm çrpıldığıd [ d d] / λ il
5 Difrsil Dklmlr v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir. B difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ kol görülbilir. Dolısıl b difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. U d h ld dilir. Brd d d h d d h l h U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l blr. VI. λ λ biçimid igrso çrpıı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr b difrsil dklmi λ λ biçimid sd dğişki bğlı bir igrso çrpı mv olks b kdird dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P...
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 5 ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ P Q λ. P Q Q P. λ λ Q P dλ P Q d λ Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d Q P λ. Örk..5: d d difrsil dklmii bir m difrsil dklm hli girrk gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm içi P Q P Q P Q olp dklm m difrsil dğildir. Ö rf olmk üzr P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd çrpı bğlı igrso λ d olrk ld dilir. Böl vril difrsil dklm igrso çrpı il çrpıldığıd λ / [ d d]
5 Difrsil Dklmlr v grkli sdlşirmlr pılrk d d d d ld dilir ki b difrsil dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd U d h l h ld dilir. Diğr d h U h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü olrk U l blr. Örk..6: d d dklmii bir m difrsil dklm hli girrk gl çözümüü blz. Vril difrsil dklm içi P Q P Q P Q olp vril difrsil dklm m difrsil dğildir. Ö rf olmk üzr P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd igrso çrpı bğlı λ d
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 55 olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir. B difrsil dklmi bir m difrsil dklm oldğ çıkır. Brd d U d h d d h r l h ld dilir. Böl U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U l şklid blmş olr. VI. λ λ biçimid igrso çrpı rmsı. Tm difrsil olm birii mrbd bir difrsil dklm P d Q d şklid vrildiğid ğr b difrsil dklmi λ λ biçi- mid sd bğlı bir igrso çrpı mv olks dh ö vril λ P P. λ λ Q Q. λ v λ. P Q λ. Qλ P...
56 Difrsil Dklmlr ifdsid λ λ. λ v λ λ. λ olğıd λ. P Q Q P. λ λ P Q λ Q P dλ λ P Q d Q P P Q zılbilir. B so şiliği ikii rfıdki ifdsii sd Q P dğişki bğlı olmsı drmd r igrso çrpı bğıısı il hsplır. P Q d Q P λ. Örk..7: d d difrsil dklmii bir m difrsil dklm hli girrk gl çözümüü blz. B drmd P Q P Q P Q olp vril difrsil dklm m difrsil dğildir. Ö rf olmk üzr P Q Q P oldğd difrsil dklmi sd ol igrso çrpı dğişki bğlı λ d olrk ld dilir. Böl vril dklm λ / il çrpıldığıd
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 57 [ d d] v grkli sdlşirmlr pılrk d d ld dilir ki b difrsil dklmi m difrsil oldğ çıkır. Brd U d h d d h l h ld dilir. Ö d U h h h k olp vril difrsil dklmi gl çözümü U l şklid blmş olr. Alışırmlr. Aşğıd vril difrsil dklmlri m difrsil oldklrıı gösrip gl çözümlrii ld diiz. d d b d d d d d d d f d d g os d os dsi d
58 Difrsil Dklmlr h l l d l d ı d d. Aşğıd vril difrsil dklmlri m difrsil hl döüşürrk gl çözümlrii ld diiz. d d d b d d d d d d d d d f 8 d 6 d g d d h d d ı d d i d d..6. Lir Difrsil Dklmlr Birii mrbd bir difrsil dklmd v ü çrpımlrı birii drd büük üslri v lir olm diğr kombizolrı blmors böl bir difrsil dklm birii mrbd lir difrsil dklm dı vrilir. B drmd birii mrbd bir lir difrsil dklm. bğıısı gör v dh gl şkild biçimid zılbilir. b. d P Q d P Q.5 d
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 59 Lir difrsil dklmlr içi dğişik çözüm ömlri mvr. Brd biz sd igrso çrpı ömii vrrk b öml vril difrsil dklmlri çözğiz. B içi ö vril difrsil dklm.5 biçimid zılır..5 i birii rfıdki ifdd v rimlri bldğ gör b drm söz kos ifdi λ. şklid bir çrpımı ürvil ilgili olbilğii gösrmkdir. Brd dğişki gör ürv lıırs d dλ λ..6 d d ld dilir. Şimdi.5 ifdsii hr iki ıı λ il çrplım. B drmd d λ. λ. P. λ. Q.7 d blr. B so şiliği birii rfıı [ λ.] ifdsii ürvi şklid düşübiliriz. B isi olrk d d dλ d λ. λ. λ. P. d d d şiliğid dλ λ. P d ld dilir ki b difrsil dklm rık dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. B dl b so difrsil dklmi çözümü dλ dλ P d λ λ P d lλ P d lλ P d λ P d olrk ld dilmiş olr. B şkild bl λ ifdsi igrso çrpı dı vrilir. B kdird.5 dklmii hr iki rfı bl b λ igrso çrpı il çrpılırs
6 Difrsil Dklmlr P d P d P.. P d Q. v d P d P d Q. d ld dilir. Brd d P d P d Q. d d λ. λ. Q d zılbilir. Böl brd ld dilk ol P d P d Q. d.8 ifdsi vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. Diğr rf.8 şiliğii.5 il vril lir difrsil dklmi gl çözümü olrk hırlmsı d zbrlmsi grk okr. B içi bir lir difrsil dklmi çözmk içi şğıdki sır kip dilbilir. P d i Ö igrso çrpı olrk dğri hsplmlıdır. ii Vril difrsil dklm hspl igrso çrpı il çrpılmlıdır. iii Eld dil şiliği hr iki rfıı igrli lımlıdır. B drmd birii rfı igrlii igrso çrpı il i çrpımı şi olğı dikk dilmlidir. Örk..8: d d difrsil dklmii çözüüz. iv Soç ld dil şilik gör çözülmlidir.
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 6 Vril difrsil dklm d d d d d d d gl şkli glir. B drmd P v Q d d olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ şkliddir. Şimdi vril difrsil dklmi d d il çrplım. B gör ld dilir. Brd difrsil dklmi gl çözümü olrk d d d d ld dilmiş olr. d Örk..9: difrsil dklmii çözüüz. Vril difrsil dklm d d biçimid d zılbilir. B drmd P v Q
6 Difrsil Dklmlr olkır. Böl r igrso çrpı d P d l l λ olrk blr. Şimdi vril difrsil dklmi gör il çrplım. B v d d d d ld dilir. Brd difrsil dklmi gl çözümü olrk d d.. d.. d ld dilmiş olr. Örk..:.. d. os si. os difrsil dklmii çözüüz. Vril difrsil dklm içi P os v Q si. os olkır. Böl r igrso çrpı λ P d osd si olr. Şimdi vril difrsil dklmi si il çrplım. B gör si d d si os. si os.si ld dilir. Dolısıl difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 6 bğıısıd os d os d si.os. d si si.os. si d si si si si. si şklid ld dilir. Örk..: difrsil dklmii çözüüz. Vril difrsil dklm içi P v Q olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ ld dilir. Dolısıl vril difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d bğıısıd d d olrk ld dilir. Örk..:. [ ] Vril difrsil dklm içi P v Q [ ] difrsil dklmii çözüüz.
6 Difrsil Dklmlr olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ ld dilir. Dolısıl b difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d bğıısıd. d şklid blmş olr. Örk..: difrsil dklmii koşl sğl çözümüü blz. Vril difrsil dklm şklid zılırs P v Q olkır. Böl r igrso çrpı d P d l λ ld dilir. Dolısıl difrsil dklmi gl çözümü P d P d Q. d bğıısıd. d d [ l ] l
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 65 olrk blr. Diğr rf koşl göz öü lıırs olkır. Dolısıl r çözüm l olrk ld dilir. Alışırmlr:. Aşğıd vril difrsil dklmlri çözüüz. b si si l d 6 f 6 os π g ı h si d i d j k d l o m r d si/ o ö p r r s..7. Dğişk Dğişirm Birii mrb birii drd olmsı rğm dh ö vrdiğimiz difrsil dklm ürlrid hiçbiri m dklmlr d mvr. B ip difrsil dklmlri çözbilmk içi dğişklrd birii d hr ikisii d g bir döüşüm rdımıl dğişirmk bz dklmi çözümüü kollşırbilir. B dğişk dğişimi rdımıl çoğ zm vril difrsil dklm bili bir difrsil dklm ipi idirgbilir. Örği homoj difrsil dklmi çö-
66 Difrsil Dklmlr zümüd döüşümü pılrk difrsil dklm dğişklr rılbilir bir difrsil dklm ürü döüşür. B ıd bili iplrd hiçbiri idirgm difrsil dklmlr oldğ gibi vril hr difrsil dklm içi g döüşüm formülü blmk d bz mümkü olmbilir. Aslıd döüşüm formüllrii blmsıı blli bir krlı d mv dğildir. B sbpl vril difrsil dklm gör g döüşüm formülü rmk dh g olkır. Örği ğr vril difrsil dklmd d d şklid bir ifd vrs b drmd ri i bir dğişk lmk g düşkir. Y d vril difrsil dklmd d d ifdsi vrs / ri i bir dğişk lbiliriz. Ö d ğr vril difrsil dklmd v ürüd ifdlr vrs g döüşüm r osθ r siθ kpsl koordi döüşümüdür. Şimdi ömi çıklmk mıl P d Q d şklid bir difrsil dklmi vrildiğii vrslım. B difrsil dklm içi G v H v.9 şklid bir dğişk dğişimi formülüü gldığıı vrslım. B kdird d G d G dv d H d H dv. olğıd vril difrsil dklm v P G v H v G d G dv Q G v H v H d H dv şklid zılbilir. Brd grkli düzlm pılrk v P v d Q v dv. ld dilir. Eğr b difrsil dklm bili ip is gl çözümü F v şklid olrk ld dildik sor.9 bğıısıd çözülk ol v v dğrlri b çözümd ri zılrk bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü blmş olr. v v
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 67 Örk..: d d çözümüü bllım. B dklmd difrsil dklmii v v döüşümlri pılırs b kdird d d v dv d olğıd vril difrsil dklm vd dv olkır. B is dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. B difrsil dklmi gl çözümü is v olrk bldk sor bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. difrsil dklmii çözümüü bl- Örk..5: lım. B difrsil dklmd döüşümü pılırs b kdird d d d d d d d d olğıd vril difrsil dklm d d d d d d d d r r şklid bir gl çözüm ship olkır. Örk..6: d d difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmd pılırs b kdird d. d. d. d d. d döüşümlri
68 Difrsil Dklmlr olğıd vril difrsil dklm d d d d d d d d d d d d d d d d d d d şkli glir ki b difrsil dklm dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk d ld dilir. d l l l l l Örk..7: d d dklmii çözlim. Brd difrsil dklmi ö [ ] d [ ] d şklid zlım. B şilik v
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 69 döüşümlri pılırs b kdird d dv d d d dv d d d v olğıd vril difrsil dklm d dv d d dv dv d v v v d dv v dv d vd d vdv dv vdv dv vd d d vdv d vdv şkli glir. B dklm dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklm gl çözümü d olrk blr. Alışırmlr: vdv l Aşğıd vril difrsil dklmlri çözüüz. v l d d b d d d d d d d 6 d d d f 6 g h ı i d d j d d k 7 d 8 d
7 Difrsil Dklmlr..8. Brolli Difrsil Dklmi P v Q foksiolrı bğımsız dğişkii sürkli foksiolrı v olmk üzr d d. P Q şklid zılbil bir difrsil dklm Brolli difrsil dklmi dir. Dikk dilirs Brolli difrsil dklmii bir lir difrsil dklm olmğı çıkır. Ak böl bir difrsil dklmi çözmk içi. dğişk dğişimi pılrk vril difrsil dklm bir lir difrsil dklm döüşürülbilir. B kdird d d d d d d olğıd vril difrsil dklm d d. d P Q d v şiliği hr iki rfı il bölüüp il çrpılrk d P. Q.5 d şklii lır ki b difrsil dklm bir lir difrsil dklmdir. Dh ö vril öml b difrsil dklm çözüldük sor grkli dğişk dğişimi pılrk bşlgıç vril difrsil dklm çözülmüş olr. Böl.8 bğıısı gör P d olkır. P d [ Q. d ] Örk..8: l dklmii gl çözümüü bllım. B dklmi ölikl
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 d d l şklid zlım. B kdird d d d d döüşümü pılırs vril difrsil dklm d d d d l l d d l şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp gl çözümü d l. d d l l olrk blr. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü l olkır. Örk..9: difrsil dklmii çözlim. B kdird d d d d döüşümü pılırs vril difrsil dklm d d d d d d şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp d d gl çözümü d [. d ] [ ]. d d
7 Difrsil Dklmlr olrk blr. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olkır.. Örk..: l difrsil dklmii çözlim. B difrsil dklmi hr iki rfı il bölüürs l ld dilir. B kdird d d d d d d döüşümü pılırs vril difrsil dklm d l d d d l şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp gl çözümü d l. d d d d l l d l olkır. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü l olrk blmş olr. Örk..: difrsil dklmii çözlim. B dklmi hr iki rfı il bölüürs ld dilir. B kdird d d d d d d d d
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 7 döüşümü pılırs vril difrsil dklm d d d d şkli glir. B difrsil dklm bir lir difrsil dklm olp gl çözümü d. d d d olr. B kdird bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olrk ld dilmiş olr. Alışırmlr: Aşğıd vril difrsil dklmlri çözüüz. 6 b d d d d d d d f g ı h i j k 5 os si l 5 m os..9. Rii Difrsil Dklmi P Q v R foksiolrı dğişkii sürkli foksiolrı v R olmk üzr d P Q R d.6 şklid zılbil bir difrsil dklm Rii difrsil dklmi dir. B ip bir difrsil dklmi bzı özl drmlr dışıd çözmk
7 Difrsil Dklmlr oldkç zordr. Ak b difrsil dklmi bir v dh fzl özl çözümü biliiors b drmd gl çözümü blbilir. Şimdi b drmlrı rı rı illim. I. Eğr.6 şklid vril bir Rii difrsil dklmii gibi bir özl çözümü biliiors b drmd döüşümü il vril difrsil dklm v dğişklri gör bir lir difrsil dklm döüşürülür. B gör olp b dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılırs.. R Q P v dh çık olrk Q P P R Q P.7 ld dilir. Diğr rf vril difrsil dklmi bir özl çözümü oldğd R Q P olkır. B kdird.7 ifdsi Q P P v [ ] P Q P difrsil dklmi idirgmiş olr. B difrsil dklm is v dğişklri gör bir lir difrsil dklmdir. B difrsil
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 75 dklmd ld dilk ol F G çözümü / ifdsid ri zılmk sril bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü ld dilmiş olr. Örk..: difrsil dklmii bir özl çözümü oldğ gör gl çözümüü bllım. B drmd ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs b kdird difrsil dklm şkli glir. B difrsil dklm is bir lir difrsil dklm olp gl çözümüü d d d. olğı görülbilir. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olkır.
76 Difrsil Dklmlr Örk..: difrsil dklmii bir özl çözümü oldğ gör gl çözümüü bllım. Ölikl vril difrsil dklmi şklid zlım. B drmd ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs b kdird difrsil dklm şkli glir. B difrsil dklm is bir lir difrsil dklm olp b gl çözümüü olğı görülbilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olkır.
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 77 Örk..: difrsil dklmii bir özl çözümü biçimid oldğ gör gl çözümüü bllım. olğıd b dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs şiliğid oldğ görülür. Böl r özl çözüm olkır. B drmd ld dilir. B dğrlr vril difrsil dklmd ri zılırs b kdird difrsil dklm şkli glir. B difrsil dklmi gl çözümüü olğı görülbilir. Böl bşlgıç vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. II. Eğr bir Rii difrsil dklmii v gibi iki özl çözümü biliiors b kdird gl çözümü ş şkild blbilir. v foksiolrı R Q P
78 Difrsil Dklmlr Rii dklmii iki özl çözümü oldğ gör R Q P R Q P olkır. Brd bsi bir işlml Q P Q P şiliklri ld dilir. B iki dklmd biriisii il v ikiisii is il bölrsk b kdird Q P Q P dklmlri ld dilir. Böl P zılbilir. B ifdd rim rim igrl lıırs d P l l v b dk olrk d P l.8 ld dilir. Brd blk ol bşlgıç vril Rii difrsil dklmii gl çözümü olkır. Örk..5: Rii difrsil dklmii k şklid bir özl çözümüü blrk gl çözümüü ld diiz. k k
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 79 olğıd b dğrlr vril difrsil dklmd rlri zılrk k k k k k oldğ görülür. Böl difrsil dklmi iki özl çözümü blmş olr. Blr v olkır. B drmd.8 bğıısı gör difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. Brd l P d l d l d l l ld dilir. Brd l C lıbilir. Böl gl çözüm l l C l l C. C. şklid d zılbilir. III. Eğr bir Rii difrsil dklmii v gibi üç özl çözümü biliiors b kdird difrsil dklmi gl çözümüü ş şkild kol blbiliriz. / döüşümüü vril difrsil dklmi v dğişklri gör bir lir difrsil dklm döüşürğii dh öd ifd mişik. Brd / zılbilir. B drmd v özl çözümlri krşılık gl lir difrsil dklmi iki özl çözümü sırsıl / v / olkır. Diğr rf iki özl çözümü bili b lir difrsil dklmi gl çözümü
8 Difrsil Dklmlr şklid zılbilir. Dolısıl Rii dklmii gl çözümü v..9 olkır. Örk..6: Üç özl çözümü v / şklid vril bir Rii difrsil dklmii gl çözümü. / /. olkır. IV. Eğr bir Rii difrsil dklmii v gibi dör özl çözümü biliiors b dör özl çözüm içi.. bğıısı sğlır. B drm krıd vril.9 bğıısıd ri lırk kollıkl ld dilbilir. Alışırmlr: Aşğıdki Rii difrsil dklmlrii lrıd vril özl çözümlrii kllrk gl çözümlrii blz. b
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 8 d f / g h ı. i j k l k. m difrsil dklmii k. formd bir özl çözümüü blrk koşl sğl çözümüü ld diiz.... Eğri Aillrii Yörüglr Đki ğri rsıdki çı b iki ğrii ksişm oklrıd hr iki ğri çizil ğlr rsıdki çı olrk ımlır. Eğr b çıı ölçüsü 9 dr is b iki ğri birbiri dikir v orogoldir dir. θ
8 Difrsil Dklmlr B bölümü bşıd F şklidki birii mrb birii drd bir difrsil dklmi çözümüü f şklid bir ğri ilsi olğıı v rsi olrk koordi düzlmid bir sbi bğlı olrk vril hr bir ğri ilsi bir difrsil dklmi krşılık girilbilğii ifd mişik. Şimdi düzlmd f v g şklid iki ğri ilsi göz öü llım. Eğr birii ğri ilsii hr bir lmı ikii ğri ilsii hr bir lmıı sbi bir çı lıd ksiors b iki ğri ilsi birbirii örüglri dı vrilir. B drmd çıı dik çı olmsı drmd örüglr dik örüglr v ksi kdird ğik örüglr dı vrilmkdir. Örği mrkzi orijid bl çmbr illrii dik örüglri orijid gç doğr illridir. B kısımd ö f şklid vril bir ğri ilsii ğik örüglrii ld dilmsii ilğiz v dh sor d dik örüglrd söz dğiz. B içi α f ilsii P oksıd gç lmıı ğii ksi il pığı çı v β is g ilsii P oksıd gç lmıı ğii ksi il pığı çı ols. Brd α β θ olkır. B kdird β θ α β θ β.θ zılbilir. θ m dilim. f ilsii P dki ğimi α i birii ili difrsil dklmidki dğridir. β
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 8 is g il-sii difrsil dklmidki dğri olkır. O hld f ğri il-sii difrsil dklmi F α is b kdird g ilsii difrsil dklmi β θ m F i F β.θ m olkır. B gör vril bir ğri ilsii θ çılı örügsii blmk içi ölikl vril ğri ilsi krşılık gl difrsil dklmi ld mliiz. Dh sor b difrsil dklmd gördüğümüz r m / m zmk sril ld dil i difrsil dklmi gl çözümüü blmlıız. θ β α Özl olrk dik örüglri ismsi drmd is θ π / olğıd vril ğri ilsii difrsil dklmid gördüğümüz r / zılrk ld dil difrsil dklmi gl çözümüü blmk rli olkır. Şimdi bzı örklri göz öü llım. Örk..7: bllım. B kdird.. ğri ilsii. o θ 5 drlik örüglrii difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmd /
8 Difrsil Dklmlr dğişirmsi pılrk d d difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. Brd d d d ld dilmiş olr. d d d d d C l C o Örk..8:. ğri ilsii θ drlik örüglrii bllım. B kdird difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmd o dğişirmsi pılrk o / / / / d d
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 85 homoj difrsil dklmi ld dilir. B difrsil dklmi gl çözümüü blbiliriz. d d d d dğişk dğişimi pılırs dklmi gl çözümü d d d d d d d d r l d l C olrk blr. Örk..9: ğri ilsii drlik örüglrii dklmii bllım. B kdird o θ 5 ld dilir. B difrsil dklmd / dğişirmsi pılrk homoj difrsil dklmi ld dilir. Brd
86 Difrsil Dklmlr d d d d dğişk dğişimi pılırs b difrsil dklmi gl çözümü d d d d d d d d r l d l l C olrk blr. r l C l Örk..5: ğri ilsii dik örüglrii dklmii bllım. B kdird b ğri ilsi krşılık gl difrsil dklm olkır. B difrsil dklmd / dğişirmsi pılrk / ğri ilsi ld dilir. d d d d C C C Örk..5: ğri ilsii dik örüglrii dklmii bllım. B kdird b ğri ilsi krşılık gl difrsil dklm
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 87 olkır. B difrsil dklmd / d d d / dğişirmsi pılrk d l C l l l C C / ğri ilsi ld dilir. B örüglri bir görüümü şğıdki şkild vrilmkdir. Örk..5. çmbr ğri ilsii dik örüglrii blz. Vril ğri ilsii difrsil dklmii bllım. olp b dğr vril ğri ilsid ri zılırs r difrsil dklm olrk ld dilir. B difrsil dklmd ri / zılırs b kdird r ğri ilsii difrsil dklmi
88 Difrsil Dklmlr olrk blmş olr. B difrsil dklm homoj bir difrsil dklm olp dğişk dğişimi rdımıl gl çözümü blbilir. B drmd gl çözümü hld r dik örüglr Örk..5. k şklid olğı görülbilir. O k şklidki çmbr ğri ilsidir. ğri ilsii dik örüglrii blz. Vril ğri ilsii difrsil dklmii bllım. olp b dğr vril ğri ilsid ri zılırs r difrsil dklm olrk ld dilir. B difrsil dklmd ri / zılırs r ğri ilsii difrsil dklmi d d olrk blmş olr. B difrsil dklm dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklm olp çözümü k şklid olğı görülbilir. O hld r dik örüglr ğri ilsidir. k şklidki Örk..5. doğr ilsii θ 5 o lik ğik örüglrii dklmii blz. B drmd oldğd vril doğr ilsi krşılık gl difrsil dklm biçimid dğişklr rılbilir ip bir difrsil dklmdir. o 5 B difrsil dklmd ri zılrk o. 5
. Bölüm: Birii Mrbd Birii Drd Difrsil Dklmlr 89 ld dilir. B difrsil dklm is bir homoj difrsil dklmdir. dğişk dğişimi pılrk b difrsil dklmi gl çözümüü r / k. biçimid oldğ görülbilir. Böl r ğri ilsi blmş olr. Alışırmlr: Aşğıd vril ğri illrii lrıd vril çılr lıdki örüglrii blz. o θ 5 b o θ 9 o θ 5 d θ 5 o f o θ 9 o θ 9 g o o θ 5 h. si θ 9 ı j l o θ i o θ k o θ 6 o θ 6 o θ 5 m o θ 9 θ 9 o
.. Giriş BÖLÜM II BĐRĐNCĐ MERTEBEDEN YÜKSEK DERECEDEN DĐFERANSĐYEL DENKLEMLER Birii bölümd F şklidki birii mrb birii drd bir difrsil dklmi gl çözümüü f şklid bir ğri ilsi olğıı v rsi olrk koordi düzlmid bir sbi bğlı olrk vril f biçimidki hr bir ğri ilsi F formd bir difrsil dklmi krşılık girilbilğii ifd mişik. F biçimid sd v bğlı ol bir difrsil dklm birii mrbddir dmişik v dklmi gör birii drd oldğ kbl mişik. Eğr F ifdsi gör. drd is b kdird dklm birii mrbd. drddir dir. Böl bir difrsil dklm gl olrk olmk üzr d p. d p Q p Q p... Q p Q. şklid gösrilbilir. Örği p p difrsil dklmi birii mrb ikii drd bir dklmdir. Bzr şkild 5 p p p p dklmi birii mrb bşii drd bir difrsil dklmdir. Birii mrb üksk drd bir difrsil dklm şğıd vril ömlrd biri il çözülbilir. B ömlri hr birid problm bird fzl birii mrb v birii drd difrsil dklmi çözülrk çözümlri birlşirilmsi grçği dmkdır.
9 Difrsil Dklmlr.. p gör Çözülbil Difrsil Dklmlr p i bir poliom olrk göz öü lı. dklmii p F p F... p F. şklid çrplrı rılbildiğii vrslım. Brd F i... foksiolrı v dğişklrii foksiolrı olkır. B drmd. dki çrplrd hr birisi sıfır şilrk birii mrbd birii drd difrsil dklm ld dilir. B kdird d F d d F F. d d d dklmlrii çözümlri sırsıl f f f.5 şklid blbilir. Böl. il vril difrsil dklmii gl çözümü b çözümlri çrpımı olrk biçimid olkır. f. f... f.6 Örk..: p p difrsil dklm p p p p biçimid d zılbilir. Brd d d p d d d p d d d difrsil dklmii çözlim. B d d [ d ] d d i
. Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 9 [ ] ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk. blr. Örk..: p p p difrsil dklmii çözlim. B drmd p p p p p p zılbilir. Dolısıl d p d d d d d d p d d d d d d p d d d d d
9 Difrsil Dklmlr ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü.. biçimid blr. Örk..: p p 6 difrsil dklmii çözlim. Vril difrsil dklmi 6 p p p p zılbilir. Dolısıl p p d d d d d d l l l d d d d d d l l l ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blr.. Örk..: p 6 p difrsil dklmii çözlim. B drmd p 6 p p p ld dilir. Dolısıl
. Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 95 p p d d d d d d d p d d d d d ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olkır. Örk..5: p p p difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B drmd p p p p p zılbilir. Brd d p d d d d d d p d d d d d l
96 Difrsil Dklmlr ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr. l Örk..6: p p difrsil dklmii gl çözümüü bllım. B difrsil dklmi p p p p biçimid çrplrı ırdığımızd birii mrb birii drd iki difrsil dklmi çrpımı olrk zmış olrz.. Brd birii çrpd d d p d d şklid bir lir difrsil dklm ld dilir. B difrsil dklmi çözümü ld dilir. Đkii çrpd is p d d gl çözümü ld dilir. Böl vril difrsil dklmi gl çözümü olrk blmş olr... Gör Çözülbil Difrsil Dklmlr p i bir poliom olrk göz öü lı. dklmii. şklid çrplrı rışımıı blmk bz oldkç güç h imksız olbilir. B drmd dklmi dğişki gör v dğişki gör çözüp b gör işlm pılır. Şimdi F difrsil
. Bölüm: Birii Mrbd Yüksk Drd Difrsil Dklmlr 97 dklmii dğişki gör çözülbildiğii vrslım. p lıırs difrsil dklm f p şklii lkır. Brd dğişki gör ürv lırk d d zılbilir. B is df df dp dp p G p.7 d dp d d p i foksio v i d dğişk lrk birii mrb v birii drd bir difrsil dklm döüşmkdir. B difrsil dklmi çözümü blrk b çözüm v f p dklmi rsıd p ok dilmk sril vril F difrsil dklmii gl çözümü blmş olr. Eğr b difrsil dklmlrd p i ok mk mümkü dğils b kdird difrsil dklmi p p şklid prmrik çözümlri vrilbilir. Örk..: p p difrsil dklmii çözlim. B drmd p olp vril difrsil dklmi p il bölmk sril p p p p zılbilir. Brd dğişki gör ürv lırk d d p p dp d p zılbilir. B drmd dp. d p p dp p p d dp d dp p p d p dp dp dp d p d p p d p p dp p d l l p l l. p p dp ld dilir. Diğr rf ifdsi rimi içrmdiğid b d ifd dikk lımbilir. Böl p / olp b vril difrsil dklmd ri zılırs difrsil dklmi gl çözümü olrk