INTEGRAL REPRESENTATIONS FOR SOLUTIONS OF FRETNEL DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEMS TYPE DIFFERENTIAL EQUATIONS

Cumhuriyet Ünivertsitesi Fen Fakültesi Fen Bilimleri Dergisi (CFD), Cilt 35, No. (4) ISS: 3-949 Cumhuriyet University Faculty of Sciences Science Journal (CSJ), Vol. 35, No. (4) ISS: 3-949 FRENET DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ SİSTEMİ TİPİNDEKİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ İÇİN İNTEGRAL GÖSTERİMLERİ R. KH. AMIROV and T. MERT Department of Mathematics, Faculty of Science and Arts, Cumhuriyet University, 584 Sivas, Turkey Received 6..3; Accepted 9.3.4 Ozet. Bu çalışmada Frenet diferansiyel denklem sisteminin çözümleri için bazı integral gösterimleri elde edilmiştir. Çevirme Operatörü ve özellikleri araştırılmış, özdeğer ve normalleştirici sayıların davranışları incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Dönüsüm operatörü, Integral denklemi, Sturm-Liouville. INTEGRAL REPRESENTATIONS FOR SOLUTIONS OF FRETNEL DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEMS TYPE DIFFERENTIAL EQUATIONS Abstract. In this paper, we obtain some integral representations system for solution of Frenet differential equations system. In addition that we search transformation operator and its properties and also we investigate eigenvalue and behaviour of normalized number. Keywords: Transformation operator, Integral equaiton, Sturm-Liouville.. GİRİŞ Spektral analizin bir dalı olan inverse (ters) problemler yani, spektral karakteristiklere göre operatörlerin kurulması problemi, fiziğin bir çok alanında kullanılmaktadır. Örneğin mekanikte, verilen dalga boylarına göre homojen olmayan yayda yoğunluk dağılımının öğrenilmesinde, Kuantum mekaniğinde, verilen enerji seviyelerine veya saçılma verilerine göre parçacıklar arasında etkileşmenin öğrenilmesinde, jeofizikte yer altı madenlerinin aranmasında karşımıza çıkmaktadır. Bu yüzden verilen sistemin enerji seviyelerinin ve dalga fonksiyonlarının bulunması en önemli problemlerden birisidir. Söz konusu problemler verilen sistemin yerleştiği potansiyel alana bağlıdır. Bu tip problemlerin çözümü, farklı potansiyelli Schrödinger denklemi için sınır-değer problemlerinin özdeğer, özfonksiyon ve normalleştirici sayıların bulunmasına indirgenmektedir. Ayrıca, Kuantum teorisinin önemli problemlerinden biriside sistemin enerji seviyeleri belli iken sistemin bulunduğu potansiyel alanı bulmaktır. Bu tip problemler, singülariteye sahip Sturm-Liouville operatörler için inverse(ters) problemler Author's email addresses. emirov@cumhuriyet.edu.tr; tmert@cumhuriyet.edu.tr http://dergi.cumhuriyet.edu.tr/ojs/index.php/fenbilimleri c 4 Faculty of Sciences, Cumhuriyet University

R. KH. AMIROV and T. MERT yardımıyla çözülmektedir. Bu yüzden de, söz konusu operatörlerin spektral karakteristiklerine göre belirlenmesi probleminin çözülmesi için önem taşımaktadır. Tanım. : Tanım bölgesi sonlu, katsayıları toplanabilir fonksiyonlar olan diferansiyel operatöre regüler operatör, tanım bölgesi sonsuz veya katsayıları (bazıları veya tamamı) toplanabilir olmayan diferansiyel operatöre singüler operatör denir. İkinci mertebeden regüler operatörler için spektral teori günümüzde Sturm-Liouville teorisi olarak bilinir. XIX. yüzyılın sonlarında ikinci mertebeden diferansiyel operatörler için sonlu aralıkta regüler sınır şartları sağlanacak şekilde adi diferansiyel operatörlerin dağılımı Birkof tarafından incelenmiştir. Diskret spektruma sahip ve uzayın tamamında tanımlı operatörlerin özdeğerlerinin dağılımı, özellikle Kuantum mekaniğinde çok önem taşımaktadır. Birinci mertebeden iki denklemin regüler sistemleri daha sonraki yıllarda ele alınmıştır. Singüler operatörler için spektral teori ilk olarak Weyl tarafından incelenmiştir. Daha sonra Riestz, Neumann, Friedrichs ve diğer matematikçiler tarafından simetrik ve self-adjoint operatörlerin genel spektral teorisi oluşturulmuştur. Simetrik operatörlerin tüm self-adjoint genişlemelerinin bulunması problemi Neumann tarafından bir süre sonra yapılmıştır. İkinci mertebeden singüler operatörlerin spektral teorisine yeni bir yaklaşımı 946 yılında Titchmarsh vermiştir. Doğru ekseninde tanımlı azalan (artan) potansiyelli L = d dx + q (x) Sturm-Liouville operatörleri için özdeğerlerin dağılımı formülü Titchmarsh tarafından bulunmuşur. Son yıllarda bu operatöre bir boyutlu q (x) potansiyelli Schrödinger denklemi de denir. Aynı zamanda bu çalışmada Schrödinger operatörü için özdeğerlerin dağılım formülüde verilmiştir. Singüler diferansiyel operatörlerin incelenmesine ilişkin ve diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde önemli bir yere sahip olan çalışmalar, 949 yılında Levitan tarafından yapılmıştır. Levitan bu çalışmalarında spektral teoriyi esaslandırmak için kendine has bir yöntem vermiştir. Farklı singüler durumlarda diferansiyel operatörlerin spektral teorisi, özellikle özdeğerlerin, özfonksiyonların asimptotiğine ve öz fonksiyonların tamlığına ilişkin konular Courant, Carleman, Birman, Salamyak, Maslov, Keldish vs. matematikçiler tarafından geliştirilmiştir.. ÇEVİRME OPERATÖRÜ VE ÖZELLİKLERİ.. İntegral Denklemin Oluşturulması y (x) = iρκ (x) y (x) y (x) = iρ κ (x) y λ = ρ (x),, < x < π () { y () hy () = y (π) + Hy (π) = () sınır-değer problemini ele alalım. Burada κ (x), κ (x) L [, π] ve x [, π]

FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI için κ (x) dır. İlk önce y (x, ρ) = κ (x)u (x, ρ) ve y (x, ρ) = κ (x) V (x, ρ) (3) dönüşümleri yapılırsa { U (x, ρ) + m (x) U (x, ρ) = iρv (x, ρ) V (x, ρ) m (x) V (x, ρ) = iρu (x, ρ) (4) denklemler sistemi elde edilir. Burada m (x) = κ (x) κ (x) dir. ve U (x, ρ) + m (x) U (x, ρ) = iρv (x, ρ) U (x, ρ) + [ m (x) m (x) ] U (x, ρ) = ρ U (x, ρ) U (x, ρ) + q (x) U (x, ρ) = λu (x, ρ) (5) elde edilir. Burada q (x) = m (x) m (x), λ = ρ, q (x) L [, π] dir. Böylece Sturm-Liouville denklemi elde edilmiş olur. Şimdi (5) denkleminin çözümünü bulalım. q (x) = için homojen kısmın çözümü U (x, ρ) = c e iρx + c e iρx şeklindedir. Homojen olmayan kısmı çözmek için sabitlerin değişimi yöntemi kullanılırsa ve buradan da U (x, ρ) = c e iρx + c e iρx + iρ iρ q (t) U (t, ρ) e iρ(t) q (t) U (t, ρ) e iρ(t) dt elde edilir. ve U (x, ρ) = c e iρx + c e iρx + V (, ρ) = hκ (), U (, ρ) = U (, ρ) = iρhκ () κ () κ () sin ρ (x t) q (t) U (t, ρ) dt ρ 3

R. KH. AMIROV and T. MERT koşulları yardımıyla c ve c ı hesaplanırsa c = + hκ () κ () 4iρκ () ve c = hκ () + κ () 4iρκ () bulunur. Dolayısıyla U (x, ρ) = + ( ) ( ) () + hκ κ () e iρx () + hκ + κ () e iρx 4iρκ () 4iρκ () sin ρ() ρ q (t) U (t, ρ) dt (6) olur. Dolayısıyla elde edilir. U (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + sin ρ (x t) q (t) U (t, ρ) dt (7) ρ.. Çevirme Operatörünün Varlığı Bu bölümde. alt bölümünde alınan integral denklemlerin her bölge için çözümünün varlığı ve tekliği gösterilecektir. Ayrıca çevirme operatörünün çekirdeğinin sağladığı özellikler incelenecektir. Bunun için ardışık yaklaşımlar yöntemi uygulanacaktır. Şimdi U (x, ρ) çözümünü U (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + şeklinde arayalım. (8) ifadesi (7) de yerine yazılırsa Ae iρx + Be iρx + + elde edilir. Ohalde sin ρ (x ξ) ρ K (x, t) e iρt dt = Ae iρx + Be iρx + q (ξ) Ae iρξ + Be iρξ + K (x, t) e iρt dt (8) K (ξ, µ) e iρµ dµ dξ 4

FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI K (x, t) e iρt dt = = A + = A + e iρ(x) e iρ(x) q (ξ) Ae iρξ + Be iρξ + iρ e iρx e iρ(x) q (ξ) dξ + B iρ K (ξ, µ) e iρµ dµ dξ e iρ(x) e iρx q (ξ) dξ+ iρ e iρ(x+µ) e iρ(x µ) K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ iρ e iρt q (ξ) dtdξ + B x e iρt q (ξ) dtdξ+ +ξ x+µ +ξ+µ e iρt K (ξ, µ) q (ξ) dtdµdξ şeklinde yazarız. Yukardaki integrallerde gerekli bölge dönüşümlerini yaparsak I 3 = t+x I = I = +ξ x e iρt q (ξ) dtdξ = e iρt q (ξ) dtdξ = K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ e iρt dt+ x+t e iρt q (ξ) dξdt e iρt q (ξ) dξdt t+ξ şeklinde elde edilir. Burada µ > ξ için K (ξ, µ) = dır. Ohalde K (x, t) e iρt dt = A + + x+t q (ξ) dξ e iρt dt + B t+x t+ξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ e iρt dt K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ e iρt dt+ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ e iρt dt q (ξ) dξ e iρt dt+ 5

R. KH. AMIROV and T. MERT K (x, t) A t+x x+t q (ξ) dξ B K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ q (ξ) dξ t+ξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ e iρt dt = olur. Burada A (x, t) = K (x, t) A alınırsa olur. t+ξ x+t K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ fonksiyonunu tanımlarsak q (ξ) dξ B q (ξ) dξ A (x, t) e iρt dt = < t < x à (x, t) = A (x, t) < t < x x < t < + + à (x, t) e iρt dt = t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ yazılabilir. Son eşitlik à (x, t) fonksiyonunun Fourier dönüşümüdür. Fourier dönüşümünün birebirliğinden à (x, t) = yani dır. Ohalde K (x, t) = A + t+ξ x+t q (ξ) dξ + B A (x, t) = q (ξ) dξ + K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ, x < t < x t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ 6

olarak elde edilir. Şimdi ve FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI σ (x) = σ (x) = şeklinde tanımlansın. Burada - σ (x) ve σ (x) artan fonksiyonlardır. - σ (x) = olur. Dolayısıyla elde edilir. σ (t) dt = t q (s) dsdt = σ (x) = q (ξ) dξ σ (t) dt s (x s) q (s) ds q (s) dtds = (x s) q (s) ds ve K (x, t) = A x+t q (ξ) dξ + B q (ξ) dξ K m (x, t) = t+x m =,, 3,...olacak şekilde serisini tanımlayalım. A K (x, t) = A x+t K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + K (x, t) = K m (x, t) m= t+ξ K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ K m (x, t) serisinin düzgün yakınsak olduğunu gösterelim. m= q (ξ) dξ + B q (ξ) dξ + B q (ξ) dξ A q (ξ) dξ = x+t q (ξ) dξ + B q (ξ) dξ = Cσ (x) q (ξ) dξ 7

olur. Dolayısıyla R. KH. AMIROV and T. MERT K (x, t) Cσ (x) elde edilir. Burada C = A + B dir. t+x K (x, t) = K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + şeklinde yazılır. Burada J = t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ C 4 ve = C 4 j = = C σ ( ) C σ (x) = C 4 q (ξ) σ (ξ) (x + t) dξ C 4 σ ( ) t+ξ t+ξ t+ξ q (ξ) σ (ξ) ( ) x C q (ξ) dξ σ ( ) (x ξ) q (ξ) dξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ C 4 K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ t+x (x + t) q (ξ) dξ q (ξ) σ (ξ) dµdξ (x ξ) q (ξ) dξ t+ξ q (ξ) σ (ξ) (x t) dξ C x 4 σ (x) (x ξ) q (ξ) dξ dµdξ C σ (x) x (x ξ) q (ξ) dξ olur. O halde K (x, t) C σ (x) (x ξ) q (ξ) dξ + C x σ (x) (x ξ) q (ξ) dξ C x σ (x) (x ξ) q (ξ) dξ = σ (x) σ (x) 8

FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI olduğundan K (x, t) C σ (x) σ (x) elde edilir. Benzer şekilde K (x, t) = + t+x t+x t+ξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ t+ξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ olur.. j = = C 4 t+x C σ (x) K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ C 4 σ (ξ) σ (ξ) q (ξ) (x + t) dξ C σ (x) şeklindedir. Benzer şekilde j = = C 4 t+ξ σ (ξ) q (ξ) (x ξ) dξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ C 4 σ (ξ) σ (ξ) q (ξ) (x t) dξ C σ (x) q (ξ) q (ξ) x t+x σ (ξ) σ (ξ) dµdξ σ (ξ) q (ξ) ( x t+ξ σ (ξ) σ (ξ) dµdξ σ (ξ) q (ξ) (x ξ) dξ ) dξ elde edilir. O halde 9

R. KH. AMIROV and T. MERT veya K (x, t) C σ (x) σ (ξ) q (ξ) (x ξ) dξ + C σ (x) C x σ (x) (x s) σ (s) q (s) ds = C x σ (x) σ (s) q (s) = C x σ (x) = C σ (x) [σ (x)] σ (s) q (s) dsdξ = C x σ (x) K (x, t) C σ (x) [σ (x)] şeklinde elde edilir. Benzer şekilde t+x K 3 (x, t) = K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + şeklinde yazılır. Burada j 3 = t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ C C 4 C σ (x) q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] (x + t) dξ = C olur. Benzer şekilde j 3 = = C 4 t+ξ C σ (x) q (ξ) [σ (ξ)] (x ξ) dξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] (x t) dξ x q (ξ) (x ξ) [σ (ξ)] dξ t+ξ t+ξ q (ξ) x σ (ξ) σ (ξ) q (ξ) (x ξ) dξ s dξds q (s) ds dξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ σ (ξ) [σ (ξ)] dµdξ q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] ( ) x dξ

elde edilir. Ohalde K 3 (x, t) C FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI q (ξ) [σ (ξ)] (x ξ) dξ + C x σ (x) q (ξ) (x ξ) [σ (ξ)] dξ = C x σ (x) (x ξ) [σ (ξ)] q (ξ) ds = C x σ (x) [σ (ξ)] q (ξ) dsdξ s = C x σ (x) [σ (ξ)] q (ξ) dsdξ = C x σ (x) [σ (ξ)] q (s) ds dξ = C σ (x) [σ (x)] 3 elde edilir. Şimdi kabul edelimki olsun. Gösterelim ki dir. K m+ (x, t) = dir. 3! K 3 (x, t) C σ (x) [σ (x)] 3 3! K m (x, t) C σ (x) [σ (x)] m K m+ (x, t) C σ (x) [σ (x)] m+ t+x t+x K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + (m + )! K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + + t+ξ K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ t+ξ K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ

j m = C 4 = C t+x C σ (x) q (ξ) olur. Benzer şekilde R. KH. AMIROV and T. MERT K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ = t+x q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] m σ (ξ) [σ (ξ)] m dµdξ = C 4 q (ξ) [σ (ξ)] m ( ) x dξ (x ξ) dξ q (ξ) t+x K m (ξ, µ) dµdξ q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] m (x + t) dξ j m = C 4 = C 4 t+ξ C σ (x) q (ξ) K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ = t+ξ σ (ξ) [σ (ξ)] m dµdξ q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] m (x t) dξ x q (ξ) [σ (ξ)] m (x ξ) dξ q (ξ) t+ξ K m (ξ, µ) dµdξ

FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI dir. Ohalde K m+ (x, t) C σ (x) + C x σ (x) q (ξ) [σ (ξ)] m q (ξ) [σ (ξ)] m (x ξ) dξ+ (x ξ) dξ C x σ (x) (x ξ) q (ξ) [σ (ξ)] m dξ = C x σ (x) q (ξ) [σ (ξ)] m dξds = C x σ (x) elde edilir. Bu tümevarımdan olduğunu gösterir. Dolayısıyla K (x, t) := şeklinde elde edilir. = C x σ (x) [σ (ξ)] m = C σ (x) [σ (x)] m+ m + q (ξ) [σ (ξ)] m dsdξ s q (s) ds dξ K m+ (x, t) C σ (x) [σ (x)] m+ = C σ (x) [σ (x)] m+ (m + )! (m + )! m için K m (x, t) C σ (x) [σ (x)] m K m (x, t) ve K (x, t) C σ (x) exp [σ (x)] n=.3. Çevirme Operatörünün Özellikleri () denklem sisteminin çözümü. alt bölümünde şeklinde verilmiştir. Ohalde U (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + K (x, t) e iρt dt 3

R. KH. AMIROV and T. MERT U (x, ρ) = iρae iρx iρbe iρx + K (x, x) e iρx K (x, ) e iρx + ve K x (x, t) e iρt dt U (x, ρ) = ρ Ae iρx ρ Be iρx dk (x, x) + e iρx + iρk (x, x) e iρx dx dk (x, ) e iρx + iρk (x, ) e iρx + K x (x, t) t=x e iρx dx K x (x, t) t= e iρx + şeklindedir. Şimdi bu ifadeleri denkleminde yerine yazalım. Ohalde K xx (x, t) e iρt dt U (x, ρ) + q (x) U (x, ρ) = λu (x, ρ) ρ Ae iρx + ρ Be iρx + dk (x, x) e iρx iρk (x, x) e iρx dx dk (x, ) e iρx iρk (x, ) e iρx K x (x, t) t=x e iρx dx +K x (x, t) t= e iρx +Bq (x) e iρx + = Aρ e iρx + Bρ e iρx + ρ dk (x, x) e iρx iρk (x, x) e iρx + dx K xx (x, t) e iρt dt + Aq (x) e iρx q (x) K (x, t) e iρt dt K x (x, t) t=x e iρx + K x (x, t) t= e iρx +Bq (x) e iρx + q (x) K (x, t) e iρt dt = ρ K (x, t) e iρt dt dk (x, ) e iρx iρk (x, ) e iρx dx K xx (x, t) e iρt dt + Aq (x) e iρx K (x, t) e iρt dt 4

olur. Öteyandan ρ ρ FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI K (x, t) e iρt dt = iρ elde edilir. Dolayısıyla K (x, t) e iρt dt integralinde iki kez kısmi integrasyon yapılırsa K (x, t) ( e iρt) dt = iρ K (x, t) e iρt x K t (x, t) e iρt dt = iρk (x, x) e iρx + iρk (x, ) e iρx + K t (x, t) ( e iρt) dt = iρk (x, x) e iρx + iρk (x, ) e iρx + K t (x, t) t=x e iρx K t (x, t) t= e iρx dk (x, x) e iρx iρk (x, x) e iρx + dx K x (x, t) t=x e iρx + K x (x, t) t= e iρx +Aq (x) e iρx + Bq (x) e iρx + K tt (x, t) e iρt dt dk (x, ) e iρx iρk (x, ) e iρx dx q (x) K (x, t) e iρt dt K xx (x, t) e iρt dt = iρk (x, x) e iρx + iρk (x, ) e iρx + K t (x, t) t=x e iρx K t (x, t) t= e iρx olur. Buradan elde edilir. K tt (x, t) e iρt dt K xx (x, t) q (x) K (x, t) = K tt (x, t) dk (x, x) + Aq (x) = dx dk (x, ) + Bq (x) = dx K (x, ) = 3. ÖZDEĞER VE NORMALLEŞTİRİCİ SAYILARIN DAVRANIŞLARI () () problemi için κ () κ () U (x, ρ) = e iρx e iρx + sin ρ (x t) q (t) U (t, ρ) dt ρ 5

R. KH. AMIROV and T. MERT çözümü elde edilir. Burada A = κ () ve B = κ () olarak alırsak U (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + ve. alt bölümünde gösterildiği gibi U (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + sin ρ (x t) q (t) U (t, ρ) dt ρ K (x, t) e iρt dt olur. olur. Buradan y (π) =, (ρ) = U (π, ρ) = y (π) = (ρ) = Ae iρπ + Be iρπ + K (π, t) e iρt dt = π (ρ) = Ae iρπ + Be iρπ + K (π, t) e iρt dt + K (π, t) e iρt dt = ve κ () κ () e iρπ e iρπ + K (π, t) e iρt dt + K (π, t) e iρt dt = burandan i κ () sin ρπ + K (π, t) e iρt dt + K (π, t) e iρt dt = sin ρπ + i κ () K (π, t) e iρt dt + i κ () K (π, t) e iρt dt = (ρ) = sin ρπ + K (ρ) 6

şeklinde yazılabilir. Burada şeklindedir. FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI K (ρ) = i κ () bölgesi tanımlansın. = i κ () + i κ () = i κ () + i κ () Γ n = K (π, t) e iρt dt + i κ () K (π, t) [cos ρt + i sin ρt] dt+ K (π, t) [cos ( ρt) + i sin ( ρt)] dt [K (π, t) + K (π, t)] cos ρt+ [K (π, t) K (π, t)] sin ρtdt { λ λ = ( n + ) }, n N K (π, t) e iρt dt yazılabilir. (ρ) = f (ρ) + g (ρ), f (ρ) = sin ρπ, g (ρ) = K (ρ) sin ρπ = e iρπ e iρπ e iρπ i e iρπ = e Im ρ π Im ρ π e ρ π e Im ρ G = {ρ ρ k δ, k }, δ > bölgesinde Im ρ π sin ρπ c δ e eşitsizliği geçerli olacak şekilde c δ sayısı vardır. { cos ρπ e Im ρ π olduğundan Im ρ π sin ρπ e Im ρ π g (ρ) c.e yazılır. Dolayısıyla n ler yeterince büyük olmak üzere λ Γ n için f (ρ) > g (ρ) 7

yazılır. Ohalde Rouche teoreminden R. KH. AMIROV and T. MERT f (ρ) = sin ρπ fonksiyonunun sıfırlarının sayısı ile (ρ) nin Γ n içindeki sıfırlarının sayısı aynıdır ( yani (n + ) tanedir. Böylece λ < n + ) çemberinde verilen L probleminin λ, λ,.., λ n olmak üzere tam olarak (n + ) tane özdeğeri vardır. (ρ) = sin ρπ = ρ n π = nπ buradanda ρ n = n yani ρ n = n + ɛ n, ɛ n = (), n elde edilir. Dolayısıyla = ( ) ρ n = sin (n + ɛ n ) π + K (ρ n ) sin nπ cos ɛ n π + cos nπ sin ɛ n π + K (ρ n ) = olur. Buradan ( ) n sin ɛ n π + K (ρ n ) = n iken ɛ n olduğundan ɛ n = ( )n+ K (ρ n ) π 8

FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI eşitliği elde edilir. Dolayısıyla ɛ n = ( )n+ π i [K (π, t) + K (π, t)] cos ρ n tdt+ κ () + π [K (π, t) K (π, t)] sin ρ n tdt κ () = ( )n+ π i [K (π, t) + K (π, t)] cos (n + ɛ n ) tdt+ κ () π [K (π, t) K (π, t)] sin (n + ɛ n ) tdt κ () = ( )n+ π i [K (π, t) + K (π, t)] (cos nt cos ɛ n t sin nt sin ɛ n t) dt+ κ () + π [K (π, t) K (π, t)] (sin nt cos ɛ n t + cos nt sin ɛ n t) dt κ () olur. Dolayısıyla ɛ n = ( )n+ π +δ n, δ n l i K () π ˆK (π, t) cos ntdt + Ǩ (π, t) sin ntdt K () şeklindedir. Burada ˆK (π, t) = K (π, t) + K (π, t) ve Ǩ (π, t) = K (π, t) K (π, t) dir. Ayrıca ˆK (π, t) L (, π), Ǩ (π, t) L (, π) olduğundan ˆK (π, t) cos ntdt l ve olur. Böylece Ǩ (π, t) sin ntdt l ρ n = n + ɛ n, ɛ n = (), n 9

R. KH. AMIROV and T. MERT ve ɛ n = ( )n+ π i K () +O (ɛ n t), ɛ n, ɛ n l π ˆK (π, t) cos ntdt + Ǩ (π, t) sin ntdt K () dir. Şimdi α n normalleştirici sayımızı hesaplayalım. α n = sayımızı hesaplamak için gerekli hazırlıklarımızı yapalım. ϕ (x, ρ n ) dx idi. Bu ϕ (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + ifadesinde bir kez kismi integrasyon yapılırsa yazılabilir.a = κ () ϕ (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + O ve B = κ () olmak üzere K (x, t) e iρt dt ( ) ρ ( ) ϕ (x, ρ n ) = Ae iρnx + Be iρnx + O ρ n ϕ (x, ρ n ) = κ () 4 eiρnx + κ () 4 e iρnx κ () + ( κ ()e iρnx O ( ) κ ()e iρnx O ρ n + [ O ( )] ρ n ) ρ n = κ () 4 eiρnx + κ () 4 e iρnx κ () + [ ( )] b κ ()e iρnx + O ρ n ρ n [ ( )] ( ) b κ ()e iρnx + O ρ n ρ + O n ρ n = κ () 4 eiρnx + κ () 4 e iρnx κ () κ ()b + e iρnx ρ n κ ()b ρ n ( ) e iρnx + O ρ n 3

şeklinde yazılır. Ohalde α n = FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI = ϕ (x, ρ n ) dx [ κ () 4 eiρnx + κ () 4 e iρnx κ () κ ()b + ρ n ( ) e iρnx + O ]dx κ ()b ρ n ρ n = [ κ () 8iρ n e iρnx κ () 8iρ n e iρnx κ () x+ ( ) κ ()b κ ()b + iρ e iρnx + n iρ e iρnx ] π +O n ρ n = κ () 8iρ n e iρnπ κ () 8iρ n e iρnπ κ () π+ κ ()b κ ()b + iρ e iρnπ + n iρ e iρnπ κ ()b n iρ n ( ) + O ρ n κ ()b κ ()b + iρ e iρnπ + n iρ e iρnπ ( ) κ ()b n iρ + O n ρ n = κ () sin ρ n π κ () ( ) 4ρ n π + O ρ n = π ( ) sin ε nπ + O ρ n = π ( ) [sin nπ cos ε nπ + cos nπ sin ε n π] + O n = π ( ) sin ε nπ + O n = π + = π + ε n n e iρnx ( ) sin ε n π + O n = π ε ( ) n n π + O n [ ε ] [ n n + ε n n ε n π (ε nπ) 3 + (ε nπ) 5 3! 5! ] 3

elde edilir. Yani şeklindedir. Dolayısıyla R. KH. AMIROV and T. MERT α n = π ( )n+ n i κ () + π Ǩ (π, t) sin ntdt + O (ɛ n t) κ () ˆK (π, t) cos ntdt + O α n = π + K n n + δ n şekilnde elde edilir. Burada K n sınırlı dizi ve δ n l dir. ( ) n References [] Marchenko, V.A.,Sturm-Liouville Operators and their Applications, Kiev: Naukova Dumka, 977, (Endl. Transl. 986 (Basel: Birkhauser)). [] Freiling, G. and Yurko, V.A., Inverse problems for differential equations with turning points, Inverse Problems, 3 (997), 47-63. [3] Freiling G. and Yurko A.A.,Inverse spectral problems for differential equations on the half-line with turning points, J. Diff. Equations, 54 (999), 49-453. [4] Yurko, V.A., Inverse Spectral Problems for Differential Operators and their Applications, New York: Gordon & Breach, 999. [5] Yurko, V.A., On higher-order differential operators with a singular point, Inverse problems, 9 (993), 495-5. [6] Freiling, G. And Yurko, V.A.,On constructing differential equations with singularities from incomplete spectral information, Inverse Problems 4 8998), 3-5. [7] Freiling, G. And Yurko, V.A.,Reconstructing parameters of a medium from incomplete spectral information, Result in Matematics 35 (999), 8-49. [8] Yurko, V.A., Inverse problem for differential equations with a singularity, Differ. Uravreniya 8 (99), no. 8, 355-36 (in Russian); English transl. İn Differ. Equations 8 (99),-7. [9] Bellman, R. and Cook, K., Differential-difference Equations, Academic Press, New York,963. [] Convay, J.B., Functions of One Complex Variable, nd ed., vol. I, Springer-Verlag, New York,995. [] Levitan, B.M., Inverse Sturm-Liouville Problems, Moscow: Nauka, 984, (Engl. Transl.987 (Utrecth: VNU Science Press)). 3