KATEGOR TEORS Yüksek Lisans Ders Notlar 2010 Prof. Dr. smet KARACA
1
çindekiler 1 KATEGORLER 5 1.1 Somut Kategori.......................... 8 1.2 Soyut Kategori.......................... 11 1.3 Di er Kategori Tanm...................... 16 1.4 Yeni Kategoriler.......................... 18 1.5 Bölüm Kategorileri........................ 20 1.6 Kategoriler Çarpm........................ 21 1.7 Kategoriler Toplam........................ 22 1.8 Zt(Dual) Kategoriler....................... 23 1.9 Duallik Prensibi.......................... 23 1.10 Ok (Arrow) ve Üçgen (Triangle) Kategorileri.......... 24 1.11 Virgül (Comma) Kategorileri................... 25 2 ÖZEL MORFZMLER VE ÖZEL NESNELER 28 2.1 Kesit (Section), Retraksiyon (retraction) ve zomorzm.... 28 2.1.1 Kesit............................ 28 2.1.2 Retraksiyon........................ 29 2.1.3 zomorzm........................ 30 2.2 Monomorzm, Epimorzm ve Bimorzm........................... 33 2.2.1 Monomorzm (Monomorphsim)............. 33 2.2.2 Epimorzm........................ 36 2.2.3 Bimorzm......................... 40 2.3 Alt Nesneler ve Bölüm Nesneleri................. 41 2.4 Ba³langç, Biti³ ve Sfr nesneleri................ 43 2.4.1 Ba³langç nesnesi..................... 43 2.4.2 Biti³ nesnesi........................ 44 2.4.3 Sfr nesnesi........................ 44 2.5 Sabit Morzmler, Sfr Morzmler ve Noktal Kategoriler...................... 45 2
3 FUNKTORLAR VE DO AL DÖNÜ ÜMLER 51 3.1 Funktorlar............................. 51 3.2 Hom Funktoru.......................... 58 3.3 Hom-Tipi Funktor Örnekleri................... 60 3.4 Kategoriler Kategorisi...................... 61 3.5 Funktor Özellikleri........................ 63 3.6 Funktorlarda Duallik....................... 64 3.7 Somut Kategori Tanm...................... 67 3.8 Do al Transformasyonlar ve Do al zomorzmler....... 74 3.9 Yldz Çarpm (Star Product).................. 77 3.10 Funktorlar zomorzmas ve Kategoriler Denkli i...................... 82 3.11 Funktor Kategorileri....................... 86 4 KATEGORLERDE LMT 88 4.1 E³itleyici (Equalizer) ve E³e³itleyici (Coequalizer)....... 88 4.2 Regüler Monomorzmler..................... 92 4.3 Çekirdek.............................. 93 4.4 Arakesitler ve Çarpanlar..................... 95 4.4.1 Arakesitler......................... 95 4.5 Çarpanlar ve Ekstrem Morzmler................ 97 4.6 Çarpm ve E³-çarpm....................... 102 4.7 Kaynaklar (Source) ve Batrmalar (Sink)............ 114 4.7.1 Mono-Kaynaklar Epi-batrmalar............ 114 4.7.2 Ayrclar (Seperators) ve E³-ayrclar (Co-Seperators) 117 4.8 Daha kuvvetli küçüklük art.................. 119 4.9 Kaynaklar ve Batrma Çarpanlar................ 120 4.10 Limit ve E³limit.......................... 122 4.11 Geri Çekilim (Pullback) ve leri tme (Pushout)........ 127 4.12 Geri Çekilimlerin Özel Morzmlerle Ba nts.......... 132 4.13 Kongrüanslar........................... 135 4.14 Ters ve Direkt Limitler...................... 137 4.15 Tam (Complete) Kategoriler................... 142 4.16 Tamlk Karakterizasyonu..................... 145 5 EVRENSEL DÖNÜ ÜMLER 149 6 ADJONT FUNKTORLAR 164 6.1 Adjointlerin Varl........................ 173 3
7 KÜME DE ERL FUNKTORLAR 182 7.1 Hom Funktorlar.......................... 182 8 TEMSL EDLEBLEN FUNKTORLAR 188 9 ALT NESNELER, BÖLÜM NESNELER VE FAKTORZASYONLAR 204 9.1 (E,M) Kategoriler........................ 205 9.2 (EPI,EKSTREM MONO) VE (EKSTREM EPI, MONO) KATEGORLER........................ 210 4
Bölüm 1 KATEGORLER Kategori teorisi bütün gruplarn snf ve homomorzmlerle bütün topolojik uzaylarn snf ve sürekli fonksiyonlar, ve üstelik yap kümelerinin di er snar ve yap koruyan fonksiyonlar kar³la³trr. Kategori çal³mamzn esas nedeni, di er soyut matematik derslerindeki gibi kategori teorisinin de yeni bir dil üretmesi- dü³ünce ve ifade bakmndan ekonomik oldu u kadar farkl alanlarda çal³anlar arasndaki ileti³imi kolayla³tran; genel temel kirler altnda yatan çe³itli ba lantsz teorem ve yaplar yüzeye çkaran; ve böylece eski problemlere yeni bir anlam kazandran bir dil olmasdr. A³a daki ifadeler arasndaki benzerlikleri göz önüne aldktan sonra, böyle yeni bir dile duyulan ihtiyaç açkça görülebilir. 1) a. π 1 : A 1 A 2 A 1 ve π 2 : A 1 A 2 A 2 izdü³üm fonksiyonlar ile birlikte A 1 ve A 2 kümelerinin kartezyen çarpm a³a daki özelli e sahiptir: C herhangi bir küme ve f 1 : C A 1 ve f 2 : C A 2 fonksiyonlar ise, bu takdirde π 1 f = f 1 ve π 2 f = f 2 yani; A 1 π 1 A 1 A 2 f 1 f C π 2 A 2 diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir tek f : C A 1 A 2 fonksiyonu vardr. f 2 5
b. π 1 ve π 2 ile birlikte A 1 A 2 için (a)'da tanmlananla ayn evrensel özelliklere sahip ρ 1 : P A 1 ve ρ 2 : P A 2 fonksiyonlar ile birlikte herhangi bir küme P ise, bu takdirde π 1 g = ρ 1 ve π 2 g = ρ 2, yani; A 1 π 1 A 1 A 2 ρ 1 g P π 2 A 2 ρ 2 diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir g : P A 1 A 2 bijeksiyonu vardr. 2) a. π 1 : A 1 A 2 A 1 ve π 2 : A 1 A 2 A 2 izdü³üm homomorzmleri ile birlikte A 1 ve A 2 gruplarnn A 1 A 2 direkt çarpm a³a daki özelli e sahiptir: C herhangi bir grup ve f 1 : C A 1 ve f 2 : C A 2 homomorzler ise, bu takdirde π 1 f = f 1 ve π 2 f = f 2 olacak ³ekilde bir tek f : C A 1 A 2 homomorzmi vardr. b. π 1 ve π 2 ile birlikte A 1 A 2 için (a)'da tanmlananla ayn evrensel özelliklere sahip ρ 1 : P A 1 ve ρ 2 : P A 2 homomorzmleri ile birlikte herhangi bir grup P ise, bu takdirde π 1 g = ρ 1 ve π 2 g = ρ 2 olacak ³ekilde bir g : P A 1 A 2 izomorzmi vardr. 3) a. π 1 : A 1 A 2 A 1 ve π 2 : A 1 A 2 A 2 sürekli izdü³üm fonksiyonlar ile birlikte A 1 ve A 2 topolojik uzaylarnn A 1 A 2 topolojik çarpm a³a daki özelli e sahiptir : C herhangi bir topolojik uzay ve f 1 : C A 1 ve f 2 : C A 2 sürekli fonksiyonlar ise, bu takdirde π 1 f = f 1 ve π 2 f = f 2 olacak ³ekilde bir tek f : C A 1 A 2 sürekli fonksiyonu vardr. b. π 1 ve π 2 ile birlikte A 1 A 2 için (a)'da tanmlananla ayn evrensel özelliklere sahip ρ 1 : P A 1 ve ρ 2 : P A 2 sürekli fonksiyonlar ile birlikte herhangi bir topolojik uzay P ise, bu takdirde π 1 g = ρ 1 ve π 2 g = ρ 2 olacak ³ekilde bir g : P A 1 A 2 homeomorzmi vardr. Snandrma yaplrsa; 6
Genel nesneler Küme Grup Topolojik Uzay Morzmler Fonksiyon Homomorzm Sürekli Fonksiyon zomorm Bijeksiyon zomorzm Homeomorzm Çarpm Kartezyen Çarpm Direkt Çarpm Topolojik Çarpm 4) a. µ 1 : A 1 A 1 A 2 ve µ 2 : A 2 A 1 A 2 injeksiyonlar ile birlikte A 1 ve A 2 kümelerinin A 1 A 2 ayrk birle³imi a³a daki özelliklere sahiptir: C herhangi bir küme ve f 1 : A 1 C ve f 2 : A 2 C fonksiyonlar ise, bu takdirde f µ 1 = f 1 ve f µ 2 = f 2 olacak ³ekilde bir tek f : A 1 A 2 C fonksiyonu vardr, yani; A 1 µ 1 f 1 A 1 A 2 f C µ 2 A 2 f 2 b. µ 1 ve µ 2 ile birlikte A 1 A 2 için (a)'da tanmlananla ayn evrensel özelli e sahip v 1 : A 1 P ve v 2 : A 2 P fonksiyonlar ile birlikte herhangi bir küme P ise, bu takdirde g µ 1 = v 1 ve g µ 2 = v 2 olacak ³ekilde bir tek bijektif g : A 1 A 2 P fonksiyonu vardr,yani; A 1 µ 1 v 1 A 1 A 2 g P µ 2 A 2 v 2 7
1.1 Somut Kategori Tanm 1.1.1. O nesneler snf, U morzm snf ve bu morzmler arasndaki hom i³leminden olu³an ve a³a daki özellikleri sa layan C(O, U, hom) üçlüsüne somut kategori denir: (i) Elemanlar C-nesneler olarak adlandrlan O snf; (ii) Her bir C-nesnesi A için A nn underlying cümlesi U(A), küme de- erli bir fonksiyon U : O U; (iii) Her C-nesneler ikilisi (A, B) için hom : O O U küme de- erli fonksiyon, A domain ve B codomain olmak üzere hom(a, B), tüm C- morzmlerinin kümesi iken: 1) Her C-nesneler ikilisi (A, B) için hom(a, B), U(A) dan U(B) ye tüm fonksiyonlarn bir alt kümesidir. 2) Her bir C-nesnesi A için U(A) kümesi üzerindeki özde³lik fonksiyonu 1 U(A), hom(a, A) nn bir elemandr. 3) Her C-nesneler üçlüsü (A, B, C) için, f hom(a, B) ve g hom(b, C) ise, g f hom(a, C) (burada, fonksiyonlarn bile³kesini gösterir). Örnek 1.1.1. (1) Kümeler Kategorisi (Set) Nesneler : Kümeler Morzm : U : U(A) U(B) fonksiyonlar 8
hom: O O U (A, B) hom(a, B) A dan B ye fonksiyonlarn kümesi i) 1 U(A) : U U birim fonksiyondur. ii) hom(a, B) U(B) U(A) (2) Gruplar Kategorisi (Grp) Nesneler: Gruplar Morzm: Homomorzm hom: O O U (A, B) hom(a, B) A dan B ye homomorzmlerin kümesi (3) Topolojik Uzaylar Kategorisi (Top) Nesneler: Topolojik uzaylar Morzm: Sürekli fonksiyonlar hom: O O U (A, B) hom(a, B) A dan B ye sürekli fonksiyonlarn kümesi (4) Di er Kategoriler Mod-R R-modüller ve modül homomorzmleri POS Ksmi sral kümeler ve monoton fonksiyonlar Lat Kafesler ve kafes homomorzmleri BooAlg Boolean cebirleri ve boolean homomorzmleri Ab Abel gruplar ve grup homomorzmleri Mon Monoidler ve birimi koruyan yar grup homomorzmleri Rng Halkalar ve halka homomorzmleri Field Cisimler ve cisim homomorzmleri 9
R-Alg R-cebirleri ve R-cebir homomorzmleri TOP 2 Hausdor uzaylar ve sürekli fonksiyonlar CRegT 2 Tamamen regüler Hausdor uzaylar ve sürekli fonksiyonlar TopGrp Topolojik gruplar ve sürekli homomorzimler LinTop Lineer topolojik Hausdor uzaylar ve sürekli lineer dönü³ümler NLinSp Normlu lineer uzaylar ve snrl lineer dönü³üm BanSp 1 Kompleks Banach uzaylar ve snrl lineer dönü³ümler BanSp 2 Kompleks Banach uzaylar ve normlu lineer dönü³ümler CBanAlg De i³meli kompleks Banach cebirleri(birimli) ve normlu cebir homomorzmleri (5)Nesnelerinin snf U olan kümeler ve injektif (srasyla sürekli,bijektif) fonksiyonlar kategorisi. U : U U özde³lik fonksiyonudur ve hom(a, B) A dan B ye bütün injektif (srasyla sürekli,bijektif) fonksiyonlarn kümesidir. (6) A ve B uzaylar için hom(a, B), A dan B ye bütün açk fonksiyonlarn kümesi olmak üzere nesneleri topolojik uzaylar olan topolojik uzaylar ve açk fonksiyonlar kategorisi. (7)pSet kategorisi, A bir küme ve a A olmak üzere nesneleri bütün (A, a) ikilileri olan; U((A, a)) = A ve hom((a, a), (B, b)) = {f f : A B ve f(a) = b} olan kategoridir. pset genellikle baz noktal kümeler kategorisi ya da seçilmi³ nokta kümeler kategorisi olarak adlandrlr. Benzer ³ekilde noktal topolojik uzaylarn kategorisi olan ptop ve; a 0, a 1 A ve morzmler ayrk elemanlar koruyor, yani f(a 0 ) = b 0 ve f(a 1 ) = b 1 olmak üzere nesneleri (A, a 0, a 1 ) üçlüleri olan bi-noktal küme kategorisi elde edilebilir. 10
1.2 Soyut Kategori Tanm 1.2.1. Bir kategori; (i) O, elemanlar C-nesneler olarak adlandrlan bir snf, (ii) M, elemanlar C-morzmler olarak adlandrlan bir snf, (iii) dom ve cod, M den O ya fonksiyonlar ((dom(f), f nin domaini ve cod(f) f nin codomaini olarak adlandrlr) olmak üzere a³a daki ³özellikleri sa layan bir (O, M, dom, cod, ) be³lisidir: 1) E³leme Özelli i: f g tanml ise, bu takdirde dom(f g) = dom(g) ve cod(f g) = cod(f). 2) Birle³me Özelli i: f g ve h f tanml ise, bu takdirde h (f g) = (h f) g. 3) Birim Varlk Özelli i: Her bir C-nesnesi A için dom(e) = A = cod(e) ve a) f e tanml ise, f e = f b) e g tanml ise, e g = g olacak ³ekilde bir e : A A C-morzmi vardr. 4) Morzm Snfnn Küçüklük Özelli i: C-nesnelerinin herhangi bir (A, B) ikilisi için; hom C (A, B) = {f f M, dom(f) = A ve cod(f) = B} snf bir kümedir. 11
Önerme 1.2.1. C bir kategori ve A bir C-nesne olsun. A³a daki özellikleri sa layacak ³ekilde bir tek e : A A C-morzmi vardr: a) f e tanml olmas durumunda f e = f. b) e g tanml olmas durumunda e g = g. spat: Yukardaki özelli i sa layan iki morzm e ve ê olsun. Bu takdirde (a)'dan ê e = ê ve (b)'den ê e = e. Böylece ê = ê e = e ê = e elde edilir. Tanm 1.2.2. C-kategorisinde bir nesne A olmak üzere yukardaki iki özelli i sa layan bir tek e : A A C-morzmine A nn C-birimi denir ve 1 A ile gösterilir. Tanm 1.2.3. C bir kategori olsun. 1) C kategorisinin nesneleri kümeler ise, C katogorisine küçük(small) kategori denir. 2) C kategorisine ait bütün morzmler birim morzm ise, C kategorisine discrete kategori denir. 3) her bir C-nesneler ikilisi (A, B) için hom C (A, B) ise, C kategorisine ba lantl(connected) kategori denir. Örnek 1.2.1. (1) Somut(concrete) Kategori Nesneleri: O nesneler snf Morzmleri: hom(a, B) ³lem: Fonksiyonlarda al³lm³ bile³ke i³lemi Bundan sonra somut ve soyut kategori arasnda ayrm yapmayaca z. (2)Kümeler ve Ba ntlar Kategorisi 12
Nesneleri: Bütün kümelerin snf Morzmleri: A dan B ye bütün ba ntlarn kümesi ³lem: Ba ntlardaki al³lm³ bile³ke i³lemi (3)TopBun : Topolojik demetler (Topological bundles) Kategorisi Nesneleri: (X, p, B) (X ve B topolojik uzay, p : X B sürekli dönü- ³üm) Morzmleri: (X, p, B) den (X, p, B ) ye morzmleri, r : X X ve s : B B sürekli dönü³ümler ve p r = s p olmak üzere (r, s) ikililerinden olu³ur. (4)R-Matris Kategorisi Nesneleri : pozitif tamsaylar Z + Morzmleri : Katsaylar R de olan tüm n m matrislerinin hom(m, n) kümesi ³lem: Matrislerdeki al³lm³ çarpma i³lemi (5) Abel Gruplar Zincir Kompleksler Kategorisi Her bir i Z için G i bir abel grup, d i : G i G i 1 Ab'deki bir morzm ve d i 1 d i = 0 olacak ³ekilde, Z tam saylar tarafndan indislenen (G i, d i ) i Z ailesine abel gruplarnn bir zincir kompleksi denir. Nesneleri : Tüm Abel gruplarnn zincir kompleksler snf Morzmleri : f : (G i, d i ) i Z (G i, d i) i Z, her bir i Z için f i : G i G i 13
Ab'deki bir morzm ve d G i i G i 1 f i G i d i f i 1 G i 1 kare diagram de i³meli olacak ³ekilde f = (f i ) i Z indisli ailesi ³lem: (f i ) (g i ) = (f i g i ) (6) Quasi-sral (Quasi-Ordered) Snar Kategorisi; Nesneleri: G ksmi sral olmak üzere G nin elemanlar Morzmleri: A B ise, bir eleman içerir, aksi halde bo³ kümedir. hom C (A, B) = {f f : A B morzmi tektir,a B} hom C (B, A) = Benzer ³ekilde, ksmi-sral snf (ya da toplam-sral snf ) n bir kategori belirtmesi için gerek ve yeter ko³ul her bir C-nesneler ikilisi (A, B) için hom C (A, B) hom C (B, A) en fazla (ya da sadece) bir eleman içermesidir. (7) Monoid Nesneleri : Sadece bir G nesnesi vardr Morzmler : G nin elemanlar ³lem: Yar gruptaki bile³ke i³lemi Tersine, sadece bir nesnesi olan herhangi bir kategori monoid olarak ifade edilebilir. (8) Bir kategori sadece birkaç morzme sahip ise, nesnelerin tümünü noktalar ve birim olmayan morzmleri oklarla göstererek kategoriyi bir diyagramn terimleriyle ifade edebiliriz. 14
ve kategoriler olarak göz önüne alnabilirdir, fakat; ne ne de kategori olamaz. (9) n-kategorisi Her bir n do al says için {0, 1, 2,..., n 1} kümesi, al³lm³ sralama ile birlikte bir kategoridir. Böylece özel küçük kategorilere sahip oluruz. 0=Bo³ kategori 1= 2= 0 1 3= 0 1 2 4= 0 1 2 3 15
1.3 Di er Kategori Tanm Herhangi bir C-kategorisinde C-nesneleri ve C-birim morzmleri arasnda A 1 A birebir e³leme olmas nedeniyle önceki tanmmza denk, fakat nesnelerden ba msz olan a³a daki tanm verece iz. Önerme 1.3.1. (Birim Karakterizasyonu) Bir C kategorisindeki herhangi bir e morzmi için a³a daki özellikler denktir: 1) e bir C-birimdir. 2) f e tanml olmas durumunda f e = f. 3) e g tanml olmas durumunda e g = g. spat: C-birimin tanmndan (1) (2) ve (1) (3) vardr. (2) (1) : (2)'nin do ru oldu unu varsayalm. Kategorinin tanmndan h : cod(e) cod(e) birim morzminin var oldu unu biliyoruz. Dolaysyla (2)'den h birimdir. Üstelik e = h e = h. Bu da bize (2) (1) oldu unu verir. Benzer ³ekilde (3) (1) vardr. Tanm 1.3.1. i) Bir M snf üzerindeki ksmi i³lem, M M nin bir alt kümesinden M nin içine giden bir σ fonksiyonudur: σ:m M M (f, g) σ(f, g) = fσg ii) g M için (g, e) ikilisinin σ nn domainine ait olmas durumunda (yani, gσe tanml iken) gσe = g ve eσg tanml iken eσg = g ise, e M ye birim morzm denir. 16
Not 1.3.1. Herhangi bir C = (O, M, dom, cod, ) kategorisi için bile³ke i³lemi M üzerinde bir ksmi i³lemdir. Tanm 1.3.2. Bir C-kategorisi, M morzmler snf, ve M üzerinde bir ksmi i³lem olmak üzere (M, ) ikililierinden olu³ur. Buradaki ksmi i³lem a³a daki özellikler sa lamaldr: 1) Çak³ma (Matching) Özelli i: Her f, g, h M için f g ve g h tanml ise, bu takdirde f (g h) ve (f g) h tanmldr. 2) Birle³me Özelli i: Her f, g, h M için f g ve g h tanml ise (f g) h = f (g h). 3) Birimin Varlk Özelli i: f M morzmi için, e C f ve f e D tanml olacak ³ekilde e C ve e D birim morzmleri vardr. e C f = f ve f e D = f. 4) Morzm Snfnn Küçüklük Özelli i: e C, e D M birimleri için snf bir kümedir. ALI TIRMALAR {f M e C f ve f e D tanml} 1. Bir C kategorisi dicretedir ancak ve ancak her A, B Ob(C) için, A B; hom(a, B) = {1 A }, A = B. spatlaynz. 2. Hem ba lantl hem de discrete olan tüm kategorileri belirleyiniz. 3. C = (O, M, dom, cod, ) bir kategori olsun. A³a daki ifadelerin denk oldu unu ispatlaynz: (a) C small'dur. (b) O bir kümedir. 17
(c) M bir kümedir. (d) dom bir kümedir. (e) cod bir kümedir. (f) bir kümedir. 4. Objelerinin snf sonlu olmayan bir small kategori örne i veriniz. 5. C kategorisinin objelerinin snf, morzmlerinin snf, domain ve codomain fonksiyonlar D kategorisininkilerle ayn olacak ³ekilde C ve D kategorilerini olu³turunuz. 1.4 Yeni Kategoriler Tanm 1.4.1. E er a³a daki özellikler mevcutsa B kategorisine, C-kategorisinin alt kategorisi denir: 1) Ob(B) Ob(C) 2) Mor(B) Mor(C) 3) B kategorisindeki domain, codomain ve bile³ke fonksiyonlar C kategorisindekilerin kstlanm³dr. 4) Her B-birim, bir C-birimdir. Not 1.4.1. (2) ve (3) ko³ullar, B-nesnelerin her bir (A, B) ikilisi için, hom B (A, B) hom C (A, B) olmasn gerektirir. Tanm 1.4.2. Bir C-kategorisinin bir alt kategorisi B olsun. Tüm A, B Ob(B) için, hom B (A, B) = hom C (A, B) ise, B kategorisine C kategorisinin dolu (full) alt kategorisi denir. 18
Örnek 1.4.1. (1) Her kategori, kendisinin bir dolu alt kategorisidir. (2)B = F initesets kategorisi, C = Sets kategorisinin dolu alt kategorisidir. i) Ob(B) Ob(C) ii) Mor(B) Mor(C) iii) A, B sonlu kümeler olmak üzere; cod : M O f cod(f) Ob(B) iv) A sonlu bir küme olmak üzere 1 A : A A B-birim iken ayn zamanda A Ob(B) A Ob(C) oldu undan 1 A C-birimdir. (3) B-kategorisinin, nesneleri: Kümeler Morzmleri: njektif Fonksiyonlar ³lem: Bilinen Bile³ke ³lemi ve C = Sets olmak üzere B-kategorisi, C = Sets kategorisinin bir alt kategorisidir, fakat dolu de ildir. Çünkü hom B (A, B) hom C (A, B). (4) B =Ab, C =Grp olsun. Her abel grup ayn zamanda grup oldu undan Ab, Grp un alt kategorisidir. Ayrca hom B (A, B) = hom C (A, B) e³itli i var oldu u için Ab, Grp kategorisinin dolu alt kategorisidir. hom B (A, B) hom C (A, B) zaten sa lanr. Tersinin mevcut olup olmad n inceleyelim: Abel grup ve Grup durumlarndaki homomorzmler çak³t ndan istenen e³itlik sa lanr. Grp, Mon kategorisinin dolu alt kategorisidir. Mon, SGrp kategorisinin alt kategorisidir, ama dolu de ildir. R-Mod, Grp kategorisinin alt kategorisidir, ama dolu de ildir; çünkü hom R Mod (A, B) hom Grp (A, B). (5) Grp, Top, pset, Pos, Lat kategorilerinin hiçbiri Sets kategorisinin 19
alt kategorisi de ildir. Neden?(Fakat, her somutla³trlabilir kategori Sets kategorisinin bir alt kategorisine izomorktir.) 1.5 Bölüm Kategorileri Tanm 1.5.1. C bir kategori, C kategorisindeki morzmler snf üzerinde bir denklik ba nts olsun. A³a dakiler mevcut ise, denklik ba ntsna C üzerinde kongrüans denir: 1) A, B Ob(C) için altndaki her denklik snf hom(a, B) tarafndan içerilmelidir. 2) f f ve g g g f g f. Önerme 1.5.1., C kategorisi üzerinde bir kongrüans olsun. A³a da tanmlanan i³lemi ile birlikte C kategorisindeki morzmlerin denklik snarnn D snf bir kategoridir; Burada; g f = g : altnda g nin denklik snf, f : altnda f nin denklik snf, g f g f : altnda g f nin denklik snfdr. Tanm 1.5.2., C kategorisi üzerinde bir kongrüans olsun. Yukarda tanmlad mz (D, ) kategorisine 'ya göre C'nin bölüm kategorisi denir. C/ ile gösterilir. Not 1.5.1. i) Bir C kategorisinin bölüm kategorisi, C kategorisindeki nesnelere sahiptir. 20
ii) Denklik ba nts ile farkl nesneler olu³turuldu unda bölüm kategorisi olu³maz. Örnek 1.5.1. (1) C herhangi bir kategori olsun ve ba ntsn a³a daki gibi tanmlayalm: f g dom(f) = dom(g) ve cod(f) = cod(g). Bu durumda C/ bir ksmi sral snftr. (2) C = Top olsun ve ba ntsn a³a daki gibi tanmlayalm: f g f, g ye homotoptur., C nin morzmler snf üzerinde bir kongrüanstr. Top/ bir bölüm kategorisidir. htop Top/. 1.6 Kategoriler Çarpm Tanm 1.6.1. C 1, C 2,..., C n kategoriler olsun. f i, g i Mor C i, i = 1, 2,..., n morzmleri için bile³ke i³lemi: (f 1, f 2,..., f n ) (g 1, g 2,..., g n ) = (f 1 g 1, f 2 g 2,..., f n g n ) ³eklinde tanmlansn. Tanmlanan bile³ke i³lemi ile; Mor C 1 Mor C 2... Mor C n morzmler snfnn çarpmna C 1, C 2,..., C n kategorilerin çarpm denir. Önerme 1.6.1. Kategorilerin çarpm da kategoridir. 21
1.7 Kategoriler Toplam Tanm 1.7.1. C 1, C 2,..., C n kategoriler olsun. f ve g morzmleri için bile³ke i³lemi, (f, i) (g, j) = (f g, i) i = j ³eklinde tanmlansn. Morzmler snfnn Mor C 1 Mor C 2... Mor C n ayrk birle³imine C 1, C 2,..., C n kategorilerinin toplam denir ve C 1 C2... Cn ³eklinde ifade edilir. Önerme 1.7.1. Kategoriler toplam da kategoridir. Tanm 1.7.2. Snarn bir (A 1, A 2,..., A n ) ailesinin A 1 A 2... A n ayrk birle³imi; (A 1 {1}) (A 2 {2})... (A n {n}) snfdr. 22
1.8 Zt(Dual) Kategoriler Tanm 1.8.1. C = (O, M, dom, cod, ) herhangi bir kategori olsun. i³lemi, f g = g f ³eklinde tanml olmak üzere C op = (O, M, dom, cod, ) kategorisine C kategorisinin zdd (ya da duali) denir. C op ile gösterilir. Önerme 1.8.1. Herhangi bir kategorinin duali de kategoridir. Önerme 1.8.2. Herhangi bir C kategorisi için (C op ) op = C. 1.9 Duallik Prensibi P, bir C kategorisinin morzm ve nesnelerini içeren bir özellik ise onun duali olan P op özelli i C op kategorisinin özelli ine kar³lk gelir; di er bir de i³le, oklar tersine çevirerek P den elde edilen özelliktir. Örne in; C deki bir X nesnesinin P (X) özelli i a³a daki gibi olsun: "C nin herhangi bir Y nesnesi için bir tek f : Y X C-morzmi vardr." Buna C op de kar³lk gelen özellik ³u ³ekilde olacaktr: "C op nin herhangi bir Y nesnesi için bir tek f : Y X C op -morzmi vardr." Bu özelli i C için bir özelli ie çevirirsek, P op yi elde ederiz: 23
"C nin herhangi bir Y nesnesi için bir tek f : X Y C-morzmi vardr." Örne in; Set kategorisinde yukardaki P (X) özelli i geçerlidir X bir tek nokta kümesidir ve P op (X) geçerlidir X bo³ kümedir. Bir P kavramnn P op dual kavram genellikle "co-p " ile gösterilir. Bir P kavram için P = P op ise, self dual olarak adlandrlr. Bir kategorinin morzm ve nesnelerini içeren bir ifade S ise, bu takdirde S op dual ifadesi C de geçerlidir S, C op de geçerlidir. "S, bütün kategorilerde geçerli bir kategori ifadesi ise, bu takdirde S op de bütün kategorilerde geçerlidir." 1.10 Ok (Arrow) ve Üçgen (Triangle) Kategorileri Tanm 1.10.1. C herhangi bir kategori olsun. C için bir ok (arrow) kategorisi, nesnelerinin snf C kategorisinin morzmleri olan; C 2 ile gösterilen ve A f B a b A f B kare daigram de i³meli oldu u kategoridir. Burada a : A A ve b : B B C-morzmlerdir. C 2 deki bile³ke ile tanmldr. (â, ˆb) (a, b) = (â a, ˆb b) 24
Tanm 1.10.2. C herhangi bir kategori olsun. C için (C 3 ile gösterilen) üçgen (triangle) kategorisi, nesnelerinin snf C kategorisinin komütatif üçgenlerinin snf ve bir üçgeninden A f B h g C A f B h g C üçgenine a : A A, b : B B ve c : C C üzere bir (a, b, c) üçlüsüdür. Burada; C-morzmler olmak A f B h a C g c b A f B C h g ³eklindeki diyagramda her kare diagram de i³melidir. C 3 teki bile³ke i³lemi de (â, ˆb, ĉ) (a, b, c) = (â a, ˆb b, ĉ c) ³eklindedir. 1.11 Virgül (Comma) Kategorileri Tanm 1.11.1. C herhangi bir kategori ve A Ob(C) olsun. C üzerinde birgül (comma) kategorisi, domaini A olan C-morzmlerin (A, C) kategorisidir. Burada f : A B den f : A B ne morzmler C-morzmler 25
olup, g : B B olmak üzere; A f f B g B üçgeni de i³melidir. Tanm 1.11.2. C herhangi bir kategori ve A Ob(C) olsun. A üzerinde C kategorisinin virgül (comma) kategorisi; nesneleri, codomaini A olan C- morzm ve f : B A dan f : B A ne morzmleri g : B B iken; B g B üçgenini de imeli klan (C, A) kategorisidir. f A f ALI TIRMALAR 1. A³a daki ifadeleri ispatlaynz: (a) B, C kategorisinin bir alt kategorisi, ve C, B kategorisinin bir alt kategorisi ise, bu takdirde B = C dir. (b) B, C kategorisinin bir (full) alt kategorisi, ve C, D kategorisinin bir (full) alt kategorisi ise, bu takdirde B, D kategorisinin bir (full) alt kategorisidir. 2. A, B kategorisinin bir bölüm kategorisi, ve B, C kategorisinin bir bölüm kategorisi ise, bu takdirde A, C kategorisinin bir bölüm kategorisidir. Gösteriniz. 3., B kategorisi üzerinde bir kongrüans ve A, B kategorisinin bir full alt kategorisi ise, bu takdirde A/ A, B/ nin bir alt kategorisi olacak ³ekilde nin bir A kongrüansn indirgedi ini gösteriniz. 26
4. Her kategorinin, bir quasi-ordered snf olan bir bölüm kategorisine sahip oldu unu gösteriniz. 5. (C i ) i I, small kategorilerin bir küme-indeksli ailesi olsun. Bile³ke i³lemi ile π i (F G) = π i (F ) π i (G) ³eklinde tanmlanan morzm snarnn Π(MorC i ) i I çarpmnn bir kategori oldu unu gösteriniz. 6. Herhangi C 1 ve C 2 kategorileri için, Ob(C 1 C 2 ) = Ob(C 1 ) Ob(C 2 ) oldu unu ve, A 1, B 1 Ob(C 1 ) ve A 2, B 2 Ob(C 2 ) ise, bu takdirde hom C1 C 2 [(A 1, A 2 ), (B 1, B 2 )] = hom C1 (A 1, B 1 ) hom C2 (A 2, B 2 ) oldu unu gösteriniz. 7. Her i = 1, 2,..., n için A i, C i nin bir (full) alt kategorisi ise, bu takdirde A 1 A 2... A n, C 1 C 2... C n nin bir(full) alt kategorisidir. Gösteriniz. 27
Bölüm 2 ÖZEL MORFZMLER VE ÖZEL NESNELER 2.1 Kesit (Section), Retraksiyon (retraction) ve zomorzm 2.1.1 Kesit Önerme 2.1.1. A bo³tan farkl bir küme ve B bir küme olmak üzere f : A B bir fonksiyon olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) f injektiftir. 2) g f = 1 A olacak ³ekilde g : B A fonksiyonu vardr. Tanm 2.1.1. C bir kategori ve f C de bir C-morzm olsun. g f = 1 A olacak ³ekilde C de bir g : B A C-morzmi varsa f ye kesit (section) denir. Örnek 2.1.1. (1) Sets kategorisinde bir morzmin kesit olmas için gerek ve yeter ³art bu morzmin injektif olmas ve bo³ kümeden bo³ olmayan bir kümeye bo³ fonksiyon olmamasdr. 28
(2) R-Mod kategorisinde f : A B morzmi kesittir f injektif ve f[a] B nin direkt toplam terimi olmaldr. (B = f[a] C) (3) Top kategorisinde f : X Y morzmi kesittir f gömme ve f(x), Y nin retrackt olmaldr. Önerme 2.1.2. Bir C kategorisinde iki kesitn bile³keside bir kesittir. spat: C kategorisinde iki kesit f : A B ve g : B C olsun. Bu durumda f 1 f = 1 A olacak ³ekilde f 1 : B A C-morzmi ve g 1 g = 1 B olacak ³ekilde g 1 : C B C-morzmi vardr. (f 1 g 1 ) (g f) = f 1 g 1 g f = f 1 1 B f = f 1 f = 1 A g f nin sol tersi mevcut oldu undan kesittir. Önerme 2.1.3. f ve g, C kategorisinde morzmler ve g f kesit ise, f kesittir. spat: g f kesit olsun. Bu durumda h (g f) = 1 olacak ³ekilde h dönü³ümü vardr. f : A B, g : B C, h : C A olmak üzere h (g f) = 1 (h g) f = 1 A. Bu durumda h g, f nin sol tersi oldu undan f kesittir. 2.1.2 Retraksiyon Önerme 2.1.4. f : A B bir fonksiyon olsun.a³a daki ifadeler denktir: 1) f : A B surjektiftir. 2) f g = 1 B olacak ³ekilde bir g : B A fonksiyonu vardr. Tanm 2.1.2. C bir kategori ve f : A B bir C-morzm olsun. f g = 1 B olacak ³ekilde bir g : B A C-morzmi varsa f ye retraksiyon (retraction) denir. 29
Örnek 2.1.2. (1) Sets kategorisinde f : A B retraksiyondur f surjektiftir. (2) R-Mod kategorisinde f : A B retraksiyondur S A alt modül olmak üzere p : A S izdü³üm dönü³ümü ve f = h p olacak ³ekilde h : S B izomorzmi vardr. 3) Top kategorisinde f : X Y retraksiyondur f = h r olacak ³ekilde bir r retraksiyonu ve h homeomorzmas vardr. Önerme 2.1.5. Kesit ve retraksiyon birbirlerine dual kavramlardr. spat: S(C) a³a daki önerme olsun: "f Mor(C) ve g C f C-birim olacak ³ekilde bir g Mor(C) vardr." Bu takdirde S(C op ) önermesi a³a daki gibidir: "f Mor(C) ve g C op f C op -birim olcak ³ekilde bir g Mor(C op ) vardr." Bunu C ile ilgili önermeye çevirirsek a³a daki ifadeyi elde ederiz: "f Mor(C) ve f C g bir C-birim olacak ³ekilde bir g Mor(C) vardr." Bu, f nin C kategorisinde bir retractiom olmasna kar³lk gelir. Önerme 2.1.6. 1) ki retraksiyonun bile³kesi de retraksiyondur. 2) f ve g C kategorisinde birer morzm ve g f retraksiyon ise, g retraksiyondur. 2.1.3 zomorzm Önerme 2.1.7. f : A B bir fonksiyon olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) f bijektiftir. 30
2) g f = 1 A ve f g = 1 B olacak ³ekilde g : B A fonksiyonu vardr. Tanm 2.1.3. C bir kategori ve f : A B bir C-morzm olsun. g f = 1 A ve f g = 1 B olacak ³ekilde g : B A C-morzmi varsa f ye izomorzm denir. Yani f kesit ve retraksiyon ise, f izomorzmdir. Örnek 2.1.3. (1) Herhangi bir kategoride birim morzm, izomorzmdir. (2) Sets kategorisinde bir morzm, izomorzmdir bu morzm bijektiftir. (3) Grp kategorisinde bir morzm, izomorzmdir bu morzm grup izomorzmasdr. (4) Top kategorisinde bir morzm, izomorzmdir bu mozm homeomor- zmdir. Önerme 2.1.8. 1) zomorzm kendisinin dualidir. 2) Herhangi bir kategoride izomorzmlerin bile³kesi izomorzmdir. Önerme 2.1.9. f bir C-morzm olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) f bir C-izomorzmdir. 2) f nin bir tane sa tersi ve bir tane sol tersi vardr. spat: (2) (1) : f nin sol tersi var oldu undan f kesit, f nin sa tersi oldu undan f retraksiyondur. Dolasyla f C-izomorzmdir. (1) (2) : f bir C-izomorzm oldu undan f kesit ve retraksiyondur. O halde f nin sol tersi ve sa tersi vardr. imdi bunlarn tekli ini gösterelim; f nin h ve k gibi iki tane sa ve sol tersi olsun. Bu durumda olur. k f = 1 A ve f h = 1 B 31
k = k 1 B = k (f h) = (k f) h = 1 A h = h. Önerme 2.1.10. f bir C-izomorzm ise, f 1 de bir C-izomorzmdir ve f = (f 1 ) 1. Tanm 2.1.4. C bir kategori ve, A ve B C kategorisinin iki nesnesi olsun. A ve B arasnda bir f : A B C-izomorzmas varsa, A nesnesi B nesnesine C-izomorktir denir ve A B ile gösterilir. Önerme 2.1.11. C herhangi bir kategori olsun. " " izomorzma ba nts, nesneler snf üzerinde bir denklik ba ntsdr. spat : i) Yansma: A A Birimler izomorzm oldu undan yansma sa lanr. ii) Simetri: A B B A f bir izomorzm iken f 1 de izomorzm oldu undan simetri sa lanr. iii) Geçi³me: A B B C A C zomorzmler bile³ke altnda kapal oldu undan geçi³me sa lanr. Tanm 2.1.5. B, C kategorisinin bir alt kategorisi olsun. 1) Herhangi bir C Ob(C) için C ye C-izomork olacak ³ekilde bir B Ob(B) varsa, B kategorisine C kategorisinin yo un (dense) alt kategorisi denir. 2) Her C-nesnesi ayn zamanda B-nesnesi ve B kategorisindeki bir nesneye izomorf ise B kategorisine C kategorisinin izomorf kapal alt kategorisi denir. Örnek 2.1.4. (1) Tüm kardinal saylar kategorisi, Sets kategorisinin yo un alt kategorisidir. (2) PerGrp, Grp kategorisinin yo un alt kategorisidir. 32
ALI TIRMALAR 1. f ve g, bir C kategorisindeki iki izomorzm ise, bu takdirde (f g) 1 = g 1 f 1 oldu unu gösteriniz. 2. Genelde bir section'n birkaç sol inverse ve bir retraction'nn birkaç sa inverse sahip olabilece ini gösteriniz. 3. f, en az iki elemana sahip olan tüm kümelerin kategorisindeki bir morzm olsun. A³a daki ifadelerin denk oldu unu gösteriniz: (a) f bir izomorzmdir. (b) f sadece bir sa inverse sahiptir. (c) f sadece bir sol inverse sahiptir. Ayn denklikler en az iki elemana sahip olan tüm topolojik uzaylarn kategorisi için de sa lanr m? 4. f ve g C-morzmler olsun. g f bir izomorzm ise, bu takdirde f nin bir section ve g nin bir retraction oldu unu fakat tersinin do ru olmad n gösteriniz. 5. Do al saylarn toplamaaltnda monoidi bir kategori olarak göz önünealnrsa, bu durumda sfrn sadece section, sadece retraction ve böylece sadece izomorzm oldu unu gösteriniz. 2.2 Monomorzm, Epimorzm ve Bimorzm 2.2.1 Monomorzm (Monomorphsim) Önerme 2.2.1. f : A B kümeler üzerinde bir fonksiyon olsun. A³a daki ifadeler denktir: 33
1) f injektiftir. 2) f h = f k e³itli ini sa layan tüm h ve k fonksiyonlar için h = k dr (yani, f h = f k h = k; yani f, fonksiyonlarn bile³kesine göre sol sadele³tirmedir). Tanm 2.2.1. C bir kategori ve f : A B bir morzm olsun. f h = f k olacak ³ekilde C kategorisindeki tüm h ve k morzmleri için h = k ise, f ye monomorzm (monomorphism) denir. Not 2.2.1. Underlying set, küme de erli fonksiyonlardan olu³an kümedir. 34
Örnek 2.2.1. (1) Somut kategorilerdeki injektif olan her morzm monomorzmdir. (2) Set, Grp, SGrp, Ab, R Mod,Rng, POS, Top, Top 2, ComT 2, LinTop, BanSp 1 kategorilerinden alaca mz injektif fonksiyonlar monomorzm te³kil eder. (3) Bölünebilir abel gruplar ve grup homomorzmlerinin A kategorisinde, underlying kümeler üzerinde injektif olmayan monomorzmler vardr. (4) f nin f : X Y homotopi snf htop kategorisindeki (topolojik uzaylarn homotopi kategorisi) bir monomorzm olmayacak ³ekilde Top kategorisinde f : X Y monomorzmi vardr. (5) Field kategorisinde ve ksmi-sral snfn herhangi bir kategorisindeki her morzm bir monomorzimdir. Önerme 2.2.2. 1) ki C-monomorzmann bile³kesi de C-monomorzmadr. 2) f ve g, C-morzm ve g f C-monomorzm ise, f de bir C-monomorzmdir. 3) Her C-kesit bir C-monomormdir. spat: 1) f : A B ve g : B C, C-monomorzmler olsun. f : A B C-monomorzm : f h 1 = f k 1 h 1 = k 1 g : B C C-monomorzm : g h 2 = g k 2 h 2 = k 2 (g f) h = g (f k) f h = f k h = k. 2) g f C-monomorzm olsun. Bu taktirde (g f) h = (g f) k h = k dir. imdi f h = f k iken h = k oldu unu gösterelim. g (f h) = g (f k) (g f) h = (g f) k h = k. 35
3) f : A B bir kesit olsun. Bu durumda g f = 1 A olacak ³ekilde g : B A vardr. f h = f k olsun. Her iki tarafa g yi uygularsak; g (f h) = g (f k) (g f) h = (g f) k 1 A h = 1 A k h = k. Not 2.2.2. Her monomorzm bir kesit de ildir. Örne in Top kategorisinde bir açk aral n bir kapal aral a gömmesi (embedding) bir monomorzmdir fakat bir kesit de ildir. Önerme 2.2.3. Herhangi bir kategoride a³a daki ifadeler denktir: 1) f bir izomorzmdir. 2) f bir monomorzm ve retraksiyondur. spat: (1) (2) : Bir izomorzm bir kesit ve bir retraksiyon oldu undan, izomor- zm hem bir monomorzmdir hem de retraksiyondur. (2) (1) : f bir monomorzm ve bir retraksiyon, g de f nin bir sa tersi olsun. f bir retraksiyon ve C-monomorzm oldu undan f g = 1 B (f g) f = 1 B f f (g f) = f 1 A g f = 1 A, böylece f bir kesittir. Ayrca f bir retraksiyon oldu undan izomorzmdir. 2.2.2 Epimorzm Önerme 2.2.4. f : A B kümeler üzerinde bir fonksiyon olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) f surjektiftir. 2) h f = k f e³itli ini sa layan tüm h ve k lar için h = k dr, yani f fonksiyonlarn bile³kesine göre sa sadele³tirmedir. 36
spat: (1) (2) : f sürjektif olsun. O zaman f g = 1 B olacak ³ekilde g : B A fonksiyonu vardr. Tüm h, k için h f = k f olsun. h f g = k f g h 1 B = k 1 B h = k olur. (2) (1) : f : A B surjektif olmasn ve h, k : B {1, 2} fonksiyonlarn a³a daki gibi tanmlayalm: h[b] = 1, k[f[a]] = 1 ve k[b f[a]] = {2}. Bu takdirde h f = k f, fakat h k. Tanm 2.2.2. C bir kategori ve f : A B bir C-morzm olsun. h f = k f e³itli ini sa layan tüm h ve k C-morzmleri için h = k oluyorsa f ye C-epimorzm denir. Örnek 2.2.2. (1) Somut kategoride surjektif olan her morzm bir epimor- zmdir. (2) Set, Grp, Ab, R Mod, POS, Top, CompT 2 kategorilerindeki epimor- zmler, underlying kümeler üzerindeki surjektif morzmlerdir. (3) f nin f : X Y homotopi snf htop kategorisindeki bir epimorzm olmayacak ³ekilde Top kategorisinde bir f : X Y epimorzmi vardr. (4) Rng ve SGrp kategorilerindeki her epimorzm surjektif de ildir; yani, surjektif olmayan epimormler vardr. Örne in; f : Z Q, Rng ve SGrp kategorilerinde epimorzm olan bir gömmedir. h f = k f olacak ³ekilde homomorzmler h, k olsun ve n/m Q 37
alalm. h(n/m) = h(n).h(1/m).h(1) = k(n).h(1/m).k(1) = k(n).h(1/m).k(m).k(1/m) = k(n).h(1/m).h(m).k(1/m) = k(n).h(1).k(1/m) = k(n).k(1).k(1/m) = k(n/m). (5) Top 2 kategorisinde epimorzmler, görüntüleri yo un olan surjektif fonksiyonlardr. (6) Torsion-free abel grup kategorisinde f : A B morzmi epimorzmdir B/f(A) torsion gruptur. Önerme 2.2.5. Monomorzm ve epimorzm dual kavramlardr. spat: S(C) yi a³a daki gibi ifade edelim: "f Mor(C), ve tüm h, k Mor(C) için f h = f k h = k." Bu takdirde S(C op ) de a³a daki ³ekilde ifade edilir; "f Mor(C), ve tüm h, k Mor(C) için h f = k f h = k." Önerme 2.2.6. 1) C-epimorzmlerin bile³kesi bir C-epimorzmdir. 2) g f bir C-epimorzm ise, bu takdirde g bir C-epimorzmdir. 3) Her C-retraksiyon, bir C-epimorzmdir. spat: 1) f : A B ve g : B C birer C-epimorzm olsun. h (g f) = k (g f) olsun. (h g) f = (k g) f f, C epimorfizm g, C epimorfizm = h g = k g = h = k 38
dr. g f, C-epimorzmdir. 2) g f C-epimorzm olsun. h g = k g olsun. (h g) f = (k g) f = h (g f) = k (g f) dr. g, C-epimorzmdir. g f, C epimorfizm = h = k 3) f : A B C-retraksiyon olsun. O zaman f g = 1 B olacak ³ekilde g : B A morzmi vardr. h f = k f olsun. (h f) g = (k f) g h (f g) = k (f g) h 1 B = k 1 B h = k dr. f, C-epimorzmdir. Önerme 2.2.7. Herhangi bir kategoride a³a daki ifadeler denktir: 1) f bir izomorzmdir. 2) f bir epimorzm ve bir kesittir. spat: (1) (2) : f bir izomorzm olsun. O zaman f bir kesit ve retraksiyondur. Bir retraksiyon epimorzm oldu undan f bir epimorzmdir. (2) (1) : f bir epimorzm ve kesit olsun. f nin retraksiyon oldu unu göstermeliyiz. f kesit ise g f = 1 A olacak ³ekilde bir g : B A morzmi vardr. f (g f) = f 1 A = f = 1 B f f epimorfizm = f g = 1 B dir. f retraksiyondur. 39
2.2.3 Bimorzm Tanm 2.2.3. C bir kategori olsun. C-morzmi hem monomorzm hem de epimorzm ise, bu C-morzmine bimorzm denir. Örnek 2.2.3. (1) C herhangi bir kategori olsun. Her C-izomorzm bir C- bimorzmdir. (2) Set, Grp, Ab, R Mod, POS, Top kategorilerinde bimorzm bijektif. (3) Top ve POS kategorilerinde bimorzmler, izomorzm olmak zorunda de ildir. Tanm 2.2.4. C bir kategori olsun. C kategorisindeki her bimorzm bir izomorzm ise, C kategorisine balanced (ayarl,balansl) kategori denir. Örnek 2.2.4. (1) Set, Grp, Ab, R Mod ve CompT 2 kategorileri balansl kategorilerdir. (2) Rng, SGrp, Top 2, Top, LinTop ve POS kategorileri balansl de ildir. Çünkü her epimorzm, surjektif olmak zorunda de ildir. (3) Ksmi sral snar kategorisi balansldr bu kategoriler discretetir. Önerme 2.2.8. C-bimorzmlerin bile³kesi bir C-bimorzmdir. spat: Monomorzm ve epimorzmler bile³ke altnda kapal oldu undan C-bimorzmlerin bile³kesi de bir C-bimorzm olur. Önerme 2.2.9. g f bir C-bimorzm ise, bu takdirde f bir monomorzm ve g bir epimorzmdir. Not 2.2.3. Son önermenin tersi do ru de ildir. 40
2.3 Alt Nesneler ve Bölüm Nesneleri Tanm 2.3.1. C bir kategori ve A, B Ob(C) olmak üzere f : A B bir C-monomorzm olsun. B nesnesinin alt nesnesi (A, f) ikilisidir. E er f kesit ise, (A, f) ikilisine B nin sect'i denir. Tanm 2.3.2. C bir kategori ve A, B Ob(C) olmak üzere f : B A bir C-epimorzm olsun. B nin bir bölüm nesnesi (f, A) ikilisidir. E er f retraksiyon ise, (f, A) B nin bir retraktdr. Tanm 2.3.3. 1) (A, f) ve (C, g), B nin alt nesneleri olsun. A³a daki diyagram komütatif klacak ³ekilde h : A C morzmi varsa, (A, f) alt nesnesi (C, g) alt nesnesinden daha küçüktür denir ve (A, f) (C, g) ile gösterilir. A h f C g B 2) (A, f) (C, g) ve (C, g) (A, f) ise, (A, f) ve (C, g) alt nesneleri B nin izomork alt nesneleridir denir ve (A, f) (C, g) ile gösterilir. Tanm 2.3.4. 1) (f, A) ve (g, C), B nin bölüm nesneleri olsun. E er a³a- daki diyagram komütatif klacak ³ekilde bir h : A C morzmi mevcut ise, (f, A), (g, C) den daha büyüktür denir ve (f, A) (g, C) ile gösterilir. B g C h 2) (f, A) (g, C) ve (g, C) (f, A) ise, (f, A) ve (g, C) bölüm nesneleri izomorftur denir. Önerme 2.3.1. B nesnesinin (A, f) ve (C, g) alt nesneleri izomorftur g h = f olacak ³ekilde bir tek h : A C izomorzmi vardr. f 41 A
spat: ( :) (A, f) ve (C, g) nin izomorf alt nesneler oldu unu kabul edelim. (A, f) (C, g) oldu undan g h = f olacak ³ekilde bir h morzmi vardr. f bir monomorzm oldu undan h da bir monomorzmdir. Ayrca (C, g) (A, f) oldu undan f k = g olacak ³ekilde bir k morzmi vardr. g (h k) = (g h) k = f k = g = g 1 C. g bir monomorzm oldu undan, h k = 1 C. Böylece h bir retraksiyon ve bir monomorzmdir, o halde izomorzmdir. h nin tekli i, g nin bir monomorzm olmasndan elde edilir. ( :) h : A C, g h = f olacak ³ekilde bir izomorzm ise, bu taktirde (A, f) (C, g) oldu u açktr. Benzer ³ekilde f h 1 = g oldu undan (C, g) (A, f). Böylelikle alt nesneler izomorktir. Sonuç 2.3.1. Alt nesnelerin izomorzm ba nts bir denklik ba ntsdr. Tanm 2.3.5. C bir kategori olsun. Her bir C-nesnesi küme olacak ³ekilde alt nesne snf temsiline sahip ise, bu kategoriye iyi kuvvetlendirilmi³(wellpowered) kategori denir. Her bir nesnesi, bir küme olan bölüm nesnelerinin bir gösterim snfna sahip olan kategoriye e³-iyi kuvvetlendirilmi³(e³-iyi güç) kategori denir. ALI TIRMALAR 1. B, C kategorisinin bir (full) alt kategorisi olsun. (a) Bir B-monomorzmin (srasyla B-epimorzm, B-bimorzm) bir C- monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) olmas gerekmez. Gösteriniz. 42
(b) Bir C-monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) olan her B-morzmin bir B-monomorzm (srasyla B-epimorzm, B-bimorzm) olmas gerekti ini ispatlaynz. 2. C, C nin bir bölüm kategorisi olsun. (a) f bir C-monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) ise, bu takdirde f bir C-monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) olmal mdr? (b) f bir C-monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) ise, bu takdirde f bir C-monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) olmal mdr? 3. (f, g), C 2 arrow kategorisinde birmonomorzm ise, bu takdirde f, C kategorisinde bir monomorzmdir. Gösteriniz. 4. f bir C-epimorzm ve g f bir C-section ise, bu takdirde g bir C-sectiondr. Gösteriniz. 2.4 Ba³langç, Biti³ ve Sfr nesneleri 2.4.1 Ba³langç nesnesi Önerme 2.4.1. Bo³ kümeden herhangi bir kümeye bir tek fonksiyon vardr. Tanm 2.4.1. C bir kategori ve X bir C-nesne olsun. Her B Ob(C) için hom C (X, B) nin bir tek eleman varsa, X nesnesine ba³langç nesnesi (initial object) denir. 43
Örnek 2.4.1. (1) Set, SGrp ve Top kategorilerinde bir tek ba³langç nesnesi vardr ve bu nesne bo³ kümedir. (2) Z halkas Rng de bir ba³langç nesnesidir. Önerme 2.4.2. Herhangi iki X ve Y ba³langç nesneleri izomorftur. spat: f : X Y ve g : Y X morzmler olsun. g f = 1 X (kesit) f g = 1 Y (retraksiyon) 2.4.2 Biti³ nesnesi Tanm 2.4.2. C bir kategori, X bir nesne olsun. Her B nesnesi için hom C (B, X) in sadece bir eleman varsa, X nesnesine biti³ nesnesi (terminal object) denir. Örnek 2.4.2. (1) Set, SGrp, Mon, Grp, Ab, R Mod, Rng, Top, LinTop kategorilerindeki tek noktal (tek elemanl) nesne biti³ nesnesidir. (2) Field kategorisinde biti³ nesnesi yoktur. Önerme 2.4.3. 1) Ba³langç ve biti³ nesneleri birbirlerinin dual kavramlardr. 2) Herhangi iki biti³ nesnesi izomorftur. 2.4.3 Sfr nesnesi Tanm 2.4.3. C bir kategori olsun. Bir X nesnesi hem ba³langç hem de biti³ nesnesi ise, bu X nesnesine sfr nesne (ya da bir C-sfr nesnesi (zero object)) denir. Örnek 2.4.3. (1) Grp, Mon, Ab, R Mod, TopGrp, LinTop, BanSp 1, BanSp 2, pset ve ptop kategorilerinin sfr nesnesi vardr. 44
(2) Set, Top, SGrp, Rng, R Alg, BooAlg, POS ve Lat kategorilerinin sfr nesnesi yoktur. Önerme 2.4.4. Herhangi iki C-sfr nesnesi izomorktir. ALI TIRMALAR 1. Sayfa 7 ve Sayfa 10'daki örneklerde verilen kategorilerin (varsa) ba³langç, biti³ ve sfr objelerini belirleyiniz. 2. X, bir C-ba³langç (srasyla C-biti³, C-sfr) obje ise, bu takdirde hom C (X, X) = {1 X } oldu unu ispatlaynz. 3. f : X A bir C-morzm olsun. (a) X bir biti³ objesi ise, bu takdirde f bir monomorzmdir. spatlaynz. (b) C ba lantl ve X bir ba³langç objesi ise, bu takdirde f bir monomorzmdir. spatlaynz. (c) E er C kategorisinin ba lantl olma ko³ulu kaldrlrsa, (b)'nin yanl³ oldu unu gösteriniz. 4. X bir C-ba³langç objesi ve Y bir C-biti³ objesi ise, bu takdirde a³a dakiler denktir: (a) C bir sfr objeye sahiptir. (b) X ve Y izomorktir. (c) hom C (Y, X). (d) C ba lantldr. 2.5 Sabit Morzmler, Sfr Morzmler ve Noktal Kategoriler Önerme 2.5.1. A bo³tan farkl bir küme, B herhangi bir küme ve f : A B bir fonksiyon olsun. A³a daki ifadeler denktir: 45
1) f bir sabit fonksiyondur, yani f[a] tek noktaldr. 2) C kümesi ve r, s : C A fonksiyonlar için f r = f s dir. 3) f, tek noktal küme üzerinde "çarpanlarna ayrlr." (f = g h, f nin çarpanlarna ayrlmasdr.) Tanm 2.5.1. C bir kategori ve f : A B bir C-morzm olsun. 1) Herbir C-nesnesi ve tüm r, s hom C (C, A) için f r = f s ise, f morzmine C kategorisinde bir sabit (constant) morzm denir. 2) E er f, C op ta bir sabit morzm ise, f ye C kategorisinde bir e³-sabit(e³constant) morzm denir. 3) E er f hem sabit hem de e³-sabit ise, f ye C kategorisinde bir sfr (zero) morzmi denir. Örnek 2.5.1. (1) Set ya da Top kategorilerinde f : A B sabittir A = ya da f[a] tek noktaldr. (2) Grp, R Mod, Mon, LinTop, BanSp 1 ya da BanSp 2 de f : A B bir sabit mozmdir f[a], B nin birim elemandr. (3) X ve Y sonsuz ayrk kümeler, Ob(C) = {X, Y }, hom C (X, X) = {1 X }, hom C (Y, Y ) = {1 Y }, hom C (Y, X) = ve hom C (X, Y ) = Y X olsun. Bu taktirde X ten Y ye her C-morzm ayn zamanda hem bir bimorzmdir hem de bir sfr mor- zmidir. Önerme 2.5.2. f bir C-sabit (srasyla C-e³sabit, C-sfr) morzm olsun. h f g tanml ise, h f g C-sabittir (srasyla C-e³sabit, C-sfr). spat: g r ve g s tanml olacak ³ekilde r ve s ayn domaine sahip C-morzmler ise, bu taktirde f sabittir ve f (g r) = f (g s). Böylece (h f g) r = (h f g) s olup h f g bir sabittir. 46
Önerme 2.5.3. f : A B bir C-morzm ve T bir C-biti³ nesnesi olsun. i) f, T üzerinde çarpanlarna ayrlr ise, f sabit morzmdir. ii) hom C (T, A) olsun. f nin, T üzerinde çarpanlarna ayrlmas için gerek ve yeter ³art f nin sabit morzm olmasdr. spat: i) f : A B, g : A T, h : T B birer C-morzm ve f = h g olsun. r, s : C A morzmler ise, C den T ye sadece bir morzm varoldu undan; g r = g s h g r = h g s f r = f s f sabittir. ii) f sabit ve hom C (T, A) olsun. f nin çarpanlarna ayrlabilir oldu unu gösterelim. T biti³ nesnesi oldu undan bir u : A T morzmi vardr. f sabit oldu undan, g Hom C (T, A) olmak üzere f = f 1 A = f (g u) = (f g) u. Böylece f, T üzerinde iki morzmin bile³kesi olarak yazld ndan çarpanlarna ayrlabilir. Önerme 2.5.4. f bir C-morzm, X C için bir sfr nesnesi olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) f bir sfr morzmdir. 2) f bir sabit morzmdir. 3) f bir e³sabit morzmdir. 4) f, X üzerinde çarpanlarna ayrlabilir. 47
spat: (1) (2) ve (3) tanmdan söylenebilir. (2) (4), bir önceki önermenin (ii) ³kkndan elde edilir. (3) (4) X ba³langç nesnesi oldu undan hom C (X, A). Lemma 2.5.1. f : A B bir C-sabit morzm ve g : A B bir C-e³sabit morzmi var olsun. hom C (B, A) ise, f = g. spat: h : B A bir morzm olsun. Sabit ve e³sabit tanmndan f = f 1 A = f (h g) = (f h) g = 1 B g = g. Teorem 2.5.1. C herhangi bir kategori olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) Tüm A, B Ob(C) için hom C (A, B) bir sfr morzmini içerir. 2) Tüm A, B Ob(C) için hom C (A, B) sadece bir sfr morzmini içerir. 3) Tüm A, B Ob(C) için hom C (A, B) sadece bir sabit morzm içerir. 4) Tüm A, B Ob(C) için hom C (A, B) sadece bir e³-sabit morm içerir. 5) Tüm A, B Ob(C) için hom C (A, B) en az bir sabit morzm ve en az bir e³-sabit morzm içerir. 6) Herhangi bir morzm ile seçilmi³ bir morzmin bile³kesi yine seçilmi³ morzm olacak ³ekilde bir "seçilmi³ fonksiyon" vardr (buradaki fonksiyonu her bir hom C (A, B) kümesinin d³ndan seçiyoruz). spat: (1) (2) (6) (5) (3) (1) oldu unu gösterece iz. (1) kendisinin duali ve (3), (4)'e dual oldu undan bütün ko³ullarn denk oldu unu göstermi³ olaca z. (1) (2) : Lemma 2.5.1, (1) sa land ndan hom C (B, A). (2) (6) : "Seçilmi³" morzm tek sfr morzm olsun. Önermer 2.5.4 bir sfr morzmin herhangi bir morzm ile bile³kesi bir sfr morzmdir. (6) (5) : f : A B "seçilmi³" morzm ve r, s : C A olsun. Bu 48
takdirde f r ve f s, hom C (C, A) da "seçilmi³" morzmlerdir. Seçimin tekli inden f r = f s. Böylece f bir sabit morzmdir. Dual kavramndan, f bir e³-sabit morzmdir. (5) (3) : f, g hom C (A, B) sabit morzmler olsun. (5)'ten, C ba lantldr ve bir h : A B e³-sabit morzmi vardr. Böylece lemmadan f = h ve g = h. (3) (1) : f : A B bir sabit morzm olsun. C-morzmlerin bir ikilisi r, s : B C ise, bu takdirde r f ve s f, A dan C ye sabit morzmlerdir ve özde³tirler. Böylece f bir e³-sabit ve bir sfr morzmdir. Tanm 2.5.2. E er bir C-kategorisi yukardaki ³artlardan birini sa lyor ise, bu kategoriye noktal (pointed) kategori denir. Önerme 2.5.5. 1) Bir sfr nesnesine sahip bir kategori noktaldr. 2) Bir noktal kategorinin her dolu alt kategorisi noktaldr. Örnek 2.5.2. (1)Grp, R Mod, Mon, LinTop, pset, ptop ve sonlu olmayan gruplarn kategorisi noktal kategoridir. (2) Set, Top, SGrp, POS, Lat ve binoktal kümelerin kategorisi noktal kategori de ildir. ALI TIRMALAR 1. Bir ba lantl kategoride a³a daki ifadelerin denk oldu unu ispatlaynz: (a) Domaini A olan bir bir sabit monomorzm vardr. (b) Domaini A olan her morzm bir sabit monomorzmdir. (c) A bir biti³ objesidir. 2. C ba lantl ve h : Z X, f, g : X Y olsun. f ve g, f g olacak ³ekilde C-sabit morzmler ise, bu takdirde f h g h oldu unu ispatlaynz. 3. f : X Y bir ba lantl kategoride bir sabit morzm ise, bu takdirde h f = f olacak ³ekilde bir tek h : Y Y sabit morzminin var oldu unu 49
gösteriniz. 4. C bir ba lantl kategori ve W, X, Y Ob(C) ise, bu takdirde hom C (W, Y ) deki C-sabit morzmlerin kolleksiyonu ile hom C (X, Y ) deki C-sabit morzmlerin kolleksiyonu arasnda bire bir e³leme var oldu unu gösteriniz. 5. C bir noktal (pointed) kategori ise, a³a daki ifadelerin denk oldu unu ispatlaynz: (a) A, C kategorisi için bir sfr objedir. (b) hom C (A, A) = {1 A }. 50
Bölüm 3 FUNKTORLAR VE DO AL DÖNÜ ÜMLER 3.1 Funktorlar Tanm 3.1.1. C ve D birer kategori olsun. C kategorisindeki nesneleri D kategorisindeki nesnelere, C kategorisindeki morzmleri D kategorisindeki mor- zmlere götüren ve a³a daki özellikleri sa layan özel fonksiyona funktor denir: 1) F (g f) = F (g) F (f); (F bile³keyi korur). 2) F (1 A ) = 1 F (A) ; (F birimi korur). Domaini bir küçük kategori olan bir funktora küçük (small) funktor denir. Tüm C-nesneleri A ve B için F [hom C (A, B)] hom D (F (A), F (B)). Örnek 3.1.1. (1) 1 A : A A bir funktordur.(birim funktor) 51
(2) C, D nin bir alt kategorisi ve E : Mor(C) Mor(D) bir kapsama fonksiyonu ise, bu takdirde E : C D bir funktordur ve C den D ye kapsama funktoru olarak adlandrlr. (3) C, C kategorisinin bir bölüm kategorisi ve her bir f morzmini f denklik snfna götüren kanonik fonksiyon Q : Mor(C) Mor( C) ise, bu takdirde Q : C C bir funktordur ve C den C ye bir kanonik ya da do al funktor olarak adlandrlr. (4) C ve D iki kategori olsun. F : Mor(C) Mor(D) f F (f) ³eklinde tanmlanan F funktonuna C den D ye bir sabit funktor denir. (5) C bir somut kategori olmak üzere U : C Set funktoru bir unutkan funktordur. Örne in; Rng Mon (toplam unutur) ve Rng Ab (çarpm unutur). (6) F, C kategorisinden D kategorisine bir funktor olsun. F op : C op D op, F nin dual (opposite) funktorudur. (7) A herhangi bir grup olmak üzere A, A nn komütatör grubu olsun, yani; A = {ghg 1 h 1 g, h A} F : Grp Grp A F (A) = A f F (f) = f A f(a) = A f F (f) B f(b) = B 52
³eklinde tanmlanan funktora komütatör alt grup funktoru denir. (8) H : Grp Ab A H(A) = A/A f H(f) A H(A) = A/A f H(f) B H(B) = B/B h ve g kanonik dönü³ümler olmak üzere; A h A/A f H(f) B g B/B H funktoruna abelle³tirme funktoru denir. (9) π : ptop Grp (X, x 0 ) π 1 (X, x 0 ) f π 1 (f) = f (X, x 0 ) π 1 (X, x 0 ) f π 1 (f) (Y, y 0 ) π 1 (Y, y 0 ) ile tanmlanan π 1 funktoruna temel grup funktoru denir. (10) H n : Top Ab X H n (X) f H n (f) 53