GEOTEKNİK MÜHENDİSLİĞİNDE SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ - TEMEL BİLGİLER - Y. Doç. Dr. Nejan Huvaj ODTÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Geoteknik Anabilim Dalı nejan@metu.edu.tr Ankara ODTÜ
İçerik Sayısal analiz yöntemleri Sonlu elemanlar yöntemi Analiz türü: 2 boyutlu, 3 boyutlu Geometrik idealizasyon Malzeme bünye davranışı Doğrulama (validation) nın önemi Örnekler ODTÜ 2
Geoteknik Problemler: Temeller Derin kazılar, şevler Dolgular, barajlar İstinat yapıları Tüneller Gerilme-şekil değiştirme problemleri Stabilite, güvenlik sayısı Zeminde su akışı
Geoteknik Tasarımda Amaçlar Toptan göçme Toptan göçme Göçme yüzeyi Yerel göçme şebeke Tünel Zemin ve Komşu yapılarda şekil değiştirme Kesit tesirleri
Nümerik Yöntemler: Sonlu Elemanlar (finite element method, FEM) Rastsal sonlu elemanlar (random finite element method, RFEM) Sonlu Farklar (finite difference method, FDM) Ayrık Elemanlar (discrete element method, DEM) Malzeme Nokta Metodu (material point method) vb...
Nümerik Yöntemler: Sonlu Elemanlar (finite element method, FEM) Rastsal sonlu elemanlar (random finite element method, RFEM) Sonlu Farklar (finite difference method, FDM) Ayrık Elemanlar (discrete element method, DEM) Malzeme Nokta Metodu (material point method)...
Ayrık Elemanlar
Rastsal Sonlu Elemanlar yöntemi (RFEM) Olasılıksal malzeme özelliği, Mekansal korelasyon uzunluğu - x, y yönünde aynı veya farklı ODTÜ Burak Akbaş (2015) ODTÜ Yüksek Lisans tezi
Üç boyutlu sonlu elemanlar modeli ile pasif kazıklar (PLAXIS 3D) Validation of 3D finite element solution for laterally loaded passive piles (Ekici ve Huvaj, NUMGE 2014, 8th European Conference on Numerical Methods in Geotechnical Engineering, Anıl Ekici (2013) ODTÜ Yüksek Lisans Tezi 12
Üç boyutlu sonlu elemanlar modeli ile pasif kazıklar (PLAXIS 3D) Validation of 3D finite element solution for laterally loaded passive piles (Ekici ve Huvaj, NUMGE 2014, 8th European Conference on Numerical Methods in Geotechnical Engineering, Anıl Ekici (2013) ODTÜ Yüksek Lisans Tezi 13
Deniz üstü petrol platformu temellerinin deniz tabanı zeminine girmesi (Offshore oil platform foundations: Spudcan Penetration into Seabed) (ABAQUS) Volkan Emren (2015) ODTÜ Yüksek Lisans Tezi 14
2B ve 3B Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Şev stabilitesi (MİDAS) Fatih Saraydar ve Alper Koç (2015) Lisans öğrencileri 15
BAZI YAZILIMLAR PLAXIS FLAC MIDAS GTS NX DIANA ABAQUS ADONIS CRISP Rocscience: RS2 GEOSLOPE: SIGMA/W vb...
İdeal Çözüm Denge, Uygunluk (compatibility), Malzeme Bünye Davranışı, Sınır Koşulları koşullarını sağlamalıdır
Denge Denklemleri σ x x + τ xy y + τ xz z + γ = 0 τ xy x + σ y y + τ xz z = 0 τ xy x + τ xy y + σ xz z = 0
Geometrik Uygunluk (Sürekli ortam mekaniği, continuum mechanics) (a) Orijinal (b) Uygun olmayan (c) Uygun Matematiksel Uygunluk
Malzeme Bünye Davranışı D xz yz xy z y x D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D xz yz xy z y x 66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11
Malzeme Bünye Davranışı, genellikle efektif gerilmedeki küçük değişim oranı ile şekil değiştirmedeki küçük değişim oranı arasındaki ilişkiyi tanımlar.
Zemin, Üç fazlı Daneli Heterojen Anizotrop Elastik olmayan (elasto-plastik...) Gerilme tarihçesi olan Yükleme koşulları Drenaj
Sonlu elemanlar metodu, temel yaklaşım: Sürekli bir ortam/malzeme (continuum) kabulü Diferansiyel denklemlerle ifade edilen mühendislik problemlerinin nümerik olarak çözümü Sürekli ortam küçük elemanlara bölünür, Elemanların düğüm noktaları (node ları) vardır. Diferansiyel denklemler bir eleman için yazılır ve integre edilerek sistem denklemleri elde edilir Her bir düğüm noktasında belli sayıda / çeşitte serbestlik derecesi var (degrees of freedom)
Sonlu eleman tipleri
3 nodlu bir çizgisel elemanda şekil fonksiyonları (shape function)
Örnek Örnek: Kutay Özaydın, Zemin Mekaniği, s. 203 E=8650 kpa c v =3.9x10-3 m 2 /gün 6 düğüm noktalı üçgen eleman eleman=17 node=44 15 d.n. e=260 n=2173 Berilgen (2014) 28
Örnek: Sonuçların karşılaştırılması Berilgen (2014) 29
2 Boyutlu veya 3 Boyutlu sonlu elemanlar analizi Bir geoteknik problemi çözmek istiyoruz, 2 boyutlu mu 3 boyutlu mu ele almalıyız? - Problemin doğasına bağlıdır. Problem «düzlem şekil değiştirme (plane strain)» veya «aksisimetrik» olarak ele alınabiliyorsa 3 boyutlu analiz gerekli olmayabilir. Ör: eğer değişken olmayan bir geometri, aynı yükleme koşulları, homojen bir malzeme ise, sayfanın içine doğru yönde deformasyon beklenmiyorsa 2 boyutlu sonlu elemanlar yöntemiyle analiz edilebilir. - Amacımız ne? Hesaplama için gereken zaman ve maliyet? Ne kadar hassasiyet, doğruluk gerekli/yeterli? Değer mi?
Geometrik İdealizasyon Düzlem şekil değiştirme Eksenel simetri (aksisimetri)
Eksenel simetri (aksisimetri)
Düzlem şekil değiştirme x D11 D12 D14 D D D y 21 22 24 x z D31 D32 D34 y xy D41 D42 D44 xy xz D51 D52 D 54 zy D 61 D62 D64
ε θ = u r Eksenel Simetri ε r = u r ε z = v z γ rz = v r u z γ rθ = γ zθ = 0
Tekin (2017)
Sonlu Elemanlar Analizi: GEREKLİ VERİLER: İdealize geometri: Geometrik modelin boyutları? Literatürde öneriler, ön analizler ile değerlendirme... Başlangıç koşulları: Arazi (in-situ) gerilmeler, su basıncı Sınır koşulları (boundary conditions) Sonlu eleman ağı eleman boyutu (mesh element size) Malzeme bünye modeline karar vermek O malzeme bünye modeli için zemin parametreleri İnşaa aşamaları
Sonlu Elemanlar Analizi: ÇIKTILAR Gerilmeler Boşluk suyu basıncı Deformasyonlar, düzlem şekil değiştirmeler Plastik noktalar Yapısal elemanlarda oluşan kuvvet ve momentler DOĞRULAMA (VALIDATION / VERIFICATION)!
Sonlu elemanlar analizi adımları - Geometrinin tanımlanması - Başlangıç koşulları (arazi gerilmeleri) ve Sınır koşullarının belirlenmesi - Malzeme bünye modeli ve parametrelerinin tanımlanması - İnşaa aşamalarının tanımlanması - Hesapların yapılması - Sonuçların görüntülenmesi
Sınır koşulları Sınır koşulları dinamik analizde? viskoz sınırlar"
Örnek Örnek: Özaydın, K., Zemin Mekaniği, s. 203 E=8650 kpa c v =3.9x10-3 m 2 /gün 6 d.n. e=17 n=44 15 d.n. e=260 n=2173
Model Geometrisi ve Sınır Koşulları D D/2 D L=D Berilgen (2014)
İdealize geometrinin boyutlarının seçimi
Sonlu eleman ağı eleman boyutunun etkisi dikkate alınmalı. Daha küçük elemanlar kullanarak sonuçlara etkisi incelenmeli, sensitivite (hassaslık) çalışması yapılmalı.
Sınır koşullarının doğru seçilmemesinin oluşacak boşluk suyu basınçlarındaki etkisi
Brinkgreve and Engin, ISSMGE Paris 2013 Konferansı Sonlu elemanlar metodunun geoteknik mühendisliğinde kullanımı oldukça yaygınlaştı. Genellikle gençler yazılımları kullanıyor, ve renkli çıktılar elde ediyor. Fakat tecrübeli (senior) mühendisler bu çıktıların doğrulanması konusunda zorlanıyor. Geoteknik sonlu eleman hesaplarının doğrulanmasının (verifiye edilmesinin) nasıl yapılacağı konusunda öneriler hazırlanmasına ihtiyaç var.
Aşağıdaki yöntemler sonlu elemanlar metodunun doğrulanması (validasyonu) için kullanılabilir: Arazi ölçümleri ile kıyaslama yapılabilir Abaklar ve tablolardan elde edilebilecek beklenen gerilme ve/veya deformasyon değerleri ile kıyaslanabilir. O bölgede, o malzemedeki tecrübe ile kıyaslanabilir Literatürde çözümü mevcut olan mihenktaşı (benchmark) problemler çözülerek kıyaslanabilir Daha basitleştirilmiş modellerin sonuçları ile kıyaslanabilir (basitleştirilmiş geometri, veya 2 boyutlunun 1 boyutlu analiz ile, veya 3 boyutlunun 2 boyutlu analiz sonuçları ile kıyaslanması) Aynı analizin başka yazılımların sonuçları ile kıyaslanabilir
Malzeme Bünye Davranışı Doğrusal ve doğrusal olmayan elastik modeller Doğrusal (doğrusal olmayan) elastik ideal plastik modeller İzotropik pekleşen tek yüzey plastik modeller İzotropik pekleşen çift yüzey plastik modeller Berilgen (2014)
Doğrusal Elastik - İdeal plastik model MOHR-COULOMB MODEL Mohr Coulomb Model: Rijtlik sabit Başlangıç yüklemesi Başlangıç yüklemesi (deviatorik) Boşaltma Geri Yükleme Mohr Coulomb Model: Rijtlik sabit Boşaltma Geri Yükleme
PLAXIS Kullanıcı Kitabı
Nümerik analizin avantajları Karmaşık geometri, malzeme davranışı, yükleme ve sınır koşullarını modellemek mümkündür. Parametrik analizler yapılabilir ve tasarımda optimizasyon sağlanabilir. Geri analizler yapılarak tasarım eksikleri ve hataları giderilebilir. Analizlerde bilgisayar kullanımı zorunlu olduğundan analizler hızlı yapılabilir. İnşa adımları gözönüne alınabilir. Farklı problemleri birarada çözmek (bütünleşik problemler) mümkündür
http://cogan.eu.com
Deneme B s = 1.2 m Toker
Deneme C sıra 1,2,3 +2m Toker
Kazık imalatı Toker
Ankraj 1 Toker
Kazı 2 Toker
Ankraj 2 Toker
Kazı 3 Toker
Ankraj 3 Toker
Kazı 4 Toker
Ankraj 4 Toker
Kazı 5 Toker
Ankraj 5 Toker
Kazı 6 Toker
Ankraj 6 Toker
Kazı 7 Toker
Ankraj 7 Toker
Kazı 8 Toker