HARRAN ÜNİVERSİTESİ 016 YILI ZİRAAT FAKÜLTESİ FİNAL SINAVI SORU ÖRNEKLERİ Soru 1 - Bir tekerlek, 3.5 rad/ s ' lik sabit bir açısal ivmeyle dönüyor. t=0'da tekerleğin açısal hızı rad/s ise, (a) saniyede teker kaç derecelik açı döner? (b) t= s aniye sonra açısal hız nedir? (1rad=57.3 derecedir.) Q, t r P, t 1 θ son θ ilk Cevap 1 - (a) Aşağıdaki formülde theta açısı tekerleğin dönme açısı; yani yaptığı açısal yerdeğiştirme; ω ilk açısal ilk hızı, α ise açısal ivmeyi temsil eder. (1rad=57.3 derecedir.) θ son - θ ilk = ω ilk. t + (½ α. t ) = ( rad/s).(s) + ( ½. 3,5 rad/s. 4s ) =11 rad 11radyan = 11 x 57.3 = 630 derece (b) ω son = ω ilk + (α. t ) = rad/s + (3.5 rad/s ).(s) = 9 rad/s Soru İki atomlu bir oksijen molekülünün (0 ), molekül uzunluğuna dik ve merkezden geçen bir z ekseni etrafında xy düzleminde döndüğünü kabul edelim. Her bir oksijen atomunun kütlesi.66 x 10-6 kg ve oda sıcaklığında iki molekül arasındaki uzaklık d= 1.1 x 10-10 m' dir. NOT: Molekülleri nokta gibi düşününüz. (a) Molekülün z ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti nedir? (b) Molekülün z eksenine göre açısal hızı 4.6 x 10 1 rad/s ise, dönme kinetik enerjisi nedir?
Cevap - (a) Eylemsizlik momemti = I = Σ m i r i buradaki i harfi 1,, gibi sistemde bulunan cisimlerin sayısı karar olan sayılar dizisidir. r i ise her cismin dönme merkezine uzaklığıdır. i I = Σ m i r i i = m 1 r 1 + m r = m. (d/) + m. (d/) = ½ m.d I= ½. (.66 x 10-6 kg).(1.1 x 10-10 m) = 1.95 x 10-46 kg.m (b) Tabiki önce a seçeneği çözülüp, eylemsizlik momenti (I) bulunmalıdır. Dönme kinetik enerjisi = T dönme = ½ I. ω T dönme = ½ (1.95 x 10-46 ).(4.6 x 10 1 rad/s) =.06 x x 10-1 joule Soru 3 - Dört küçük küresel kütle, xy düzleminde kütlesi ihmal edilen bir düzeneğin uçlarına yerleştirilmiştir. (a) Sistem, ω açısal hızıyla y ekseni etrafında dönerse, bu eksene göre eylemsizlik momenti ve kinetik enerjisi ne olur? (b) Eğer sistem, O noktasından geçen bir z ekseni etrafında dönerse, z eksenine göre eylemsizlik momenti ve dönme kinetik enerjisi ne olur? m 1 =m m 3 =M m 4 =M m =m
Cevap (a) Eylemsizlik momemti = I = Σ m i r i = m 1 r 1 + m r + i Dönme kinetik enerjisi = T dönme = ½ I. ω ise bunu hareket doğrultusuna göre bileşenlerine ayırmak, izlenecek yol olmalıdır. Y ekseninde yapılan dönmelerde cisimlerin dönme eksenlerine uzaklığı olan r=0 olacağından, bu cisimlerden eylemsizlik momentine bir katkı gelmez. I y = m 1 r 1 + m r + m 3 r 3 +m 4 r 4 = m 0 + m 0 +M.a +M.a =.M.a T dönme = ½ I y. ω = ½. (.M.a ). ω = M.a. ω (b) Burada formüllerdeki r uzaklığının dönme noktasına dik uzaklık olduğunu bilmek lazım. I z = m 1 r 1 + m r + m 3 r 3 +m 4 r 4 = m.b + m.b +M.a +M.a =.M.a +.m.b T dönme = ½ I z. ω = ½. (.M.a +.m.b ). ω = (M.a + m.b ). ω Soru 4 - Yarıçapı R, kütlesi M ve eylemsizlik momenti I olan bir tekerlek yandaki şekildeki gibi sürtünmesiz yatay bir milde dönmektedir. Tekerleğin açısal ivmesini ve ipteki T gerilmesini bulunuz. Cevap 4 - Öncelikle Tork'un ne olduğu bilinmelidir. Tork bir kuvvetin bir cismi bir eksen etrafında döndürme eğilimidir. τ= F. d şeklinde kuvvet ve bu kuvvetin dönme noktasına dik uzunluğunun çarpımıyla bulunur. τ= F. d= (F.sinφ).r şeklinde de aşağıdaki gibi hesaplanabilir.
Sonuç olarak sorudan hareketle Tork= τ= F. d = T.R olarak yazılır. Tekerleğin ağırlık merkezi ve milin merkesi hareket ekseninden geçtiği için bunların turku sıfır olacaktır. Çünkü R=0 'dır. Σ τ = I. α şeklinde eylemsizlik momenti ve açısal ivme cinsinden de yazılabilir. Dolayısıyla τ = I. α = T.R ve α = (T.R) / I bulunur. Aşağı yönlü cismin hareketini pozitif yön olarak alır, hareket yönğnde Newton'un. yasasını uygularsak: Σ F y = m.g T = m.a sonuç olarak çizgisel ivme a = (m.g T) /m olur. Cisim ve tekerlek kaymayan bir ipe bağlı olduklarından asılan cismin çizgisel ivmesi, tekerleğin dış yüzeyindeki bir noktanın çizgisel ivmesine eşittir. Bu yüzden çizgisel ve açısal ivme arasındaki ilişki şöyledir : a= R. α olur. Önceden bulduğumuz bağıntılarıda kullanırsak, a= R. α = R. (T.R / I ) = (m.g T) /m bulunur. Gerekli ara işlemler yapılırsa (burayı siz yapacaksınız), T= mg / (1+ mr / I) ip gerilmesine ulaşılır. a = g / (1+ I/ mr ) ve α = a/r = g/ (R+ I/ mr) Soru 5 - Dönme eksenine göre eylemsizlik momenti I, yarıçapı R olan bir makara üzerinden geçen bir ipin uçlarına m 1 m olan iki cisim asılıyor. İp makara sisteminden kaymamaktadır. Sistem durgunken serbest bırakılıyor. m kütlesi h kadar düşerken m 1 yükseliyor. Kütlelerin çizgisel hızlarını ve açısal hızlarını bulunuz. Sürtünmeleri ihmal ediniz. Cevap 5 - Makara ve kütleden oluşan sistemin kinetik enerjisindeki artış, potansiyel enerjideki azalışa eşit olmalıdır. Sistem durgunken harekete başladığı için ilk anda sistemin kinetik enerjisi 0'dır. Sistemin hem öteleme hem de dönme kinetik enerjisi olacaktır. K= kinetik enerji farkı = K son - K ilk =[ ½ m 1 ν son + ½ m ν son + ½ I. ω son ] - 0 Burada aynı ipe bağlı olan kütlelerin hızları eşit alınmıştır. Çizgisel ve açısal hız arasındaki ilişki ν = R. ω olarak bilinir. Bu üstteki formülde yazılırsa:
K= ½ (m 1 + m + I/R ). ν son enerjiler şöyle verilir: bulunur. Kaybedilen ve kazanılan potansiyel U 1 = m 1.g.h ve U = -m.g.h olur. Enerjinin korunumu yazılırsa: K + U 1 + U = ½ (m 1 + m + I/R ). ν son + m 1.g.h -m.g.h = 0 Sonuç olarak, ν son = ( [ (m 1 m ).g.h ] / [m 1 + m + I/R ] ) ½ ν son = R. ω son olduğundan açısal hız şöyle bulunur: ω son = (1/R). ( [ (m 1 m ).g.h ] / [m 1 + m + I/R ] ) ½ Soru 6 - Şekildeki durgun katı küre için, kütle merkezinin (KM) eğik düzlemin alt ucundaki hızını ve kütle merkezinin doğrusal ivmesini hesaplayıp, sonucu yorumlayınız. (Not: Küre için eylemsizlik momenti = I KM = /5 M.R ) Cevap 6 Enerjinin kounumu ilkesini kullanırsak, eğik düzlemin tepesinde U ilk =M.g.h potansiyel ve K ilk =0 kinetik enerjisine sahip olan bir kürenin, bu toplam enerjisini sistemin aşağı ucundada korumasını bekleriz. Bu yüzden, E ilk = E son K ilk + U ilk = K son + U son 0+ M.g.h = [ ½.I KM. ω + ½. M.R.ω ] + 0 ν= R. ω olduğundan, formül ν KM kütle merkezi cinsiden yazılırsa: M.g.h = ½.[ I KM. /R + M ].ν KM ν KM = [ gh / (1 + I KM. /MR )] 1/ =[ gh / (1 + [/5 MR./MR ] )] 1/ = (10/7 g.h ) 1/ Şimdi kütle merkezinin doğrusal ivmesinin hesaplamak için düşey doğrultudaki yer değiştirmeyi dik üçgende pisagor yöntemiyle h= x.sinθ kullanmak lazım. Dolayısıyla; ν KM = (10/7 g. x.sinθ) olurken, ν son = ν ilk + a KM.x formülü hatırlanak olursa; ilk hızı sıfır (ν ilk = 0) olan bu cismin ivmesinin
a KM = ν son /.x = 5/7.g. sinθ olduğu görülür. YORUM: Bu sonuçlar, bize kütle merkezinin hız ve ivmesinin kürenin kütle ve yarıçapından bağımsız olduğu gerçeğini gösterir. Soru 7 - M kütleli ve L uzunluklu katı bir çubuk, merkezinden geçen sürtinmesiz bir mile tutturulmuştur. Bu çubuğun uçlarında m 1 ve m kütleli iki parçacık bulunmaktadır. (a) Sİstemin açısal momentum büyüklüğü için bir ifade bulunuz. (b) Çubuk yatayla θ açısı yaptığında, sistemin açısal ivmesinin büyüklüğü için bir ifade bulunuz ve yorumlayınız. NOT: Merkezinden geçen eksen etrafında dönen L uzunluklu çubuk için I KM = 1/1 M.L Cevap 7- (a) Eğer eylemsizlik momenti bulmada kullanılan paralel eksen teoremi hatırlacak olursa, I = I KM + m.d ifadesinde KM kütle merkezini, d ise kütle merkezinden geçen eksenden d kadar uzaklığı ifade eder. Böylelikle, I = I = I KM + m 1.d 1 + m.d = 1/1 M.L +m 1.(L/) +m.(l/) I = (L /4). (M/3+m 1 +m ) bulunurken, açısal momentum = L = I.ω = [ (L.ω) /4 ]. (M/3+m 1 +m ) olarak bulunur. (b) Öncelikle cismlerin dönmesi ve açısal ivmenin olabilmesi için m 1 m ve θ 90 veya -90 derece şartı sağlanmalıdır. Sonrasında toplam dış tork = τ 1 + τ = I.α' u bulmalıyız. τ 1 = m 1.g.(L/).cosθ sağ el kuralıyla sayfa düzleminden dışarıyken, τ = - m.g.(l/).cosθ torku sayfa süzlemine doğru bir tork oluşturur. Toplam tork = τ 1 + τ = m 1.g.(L/).cosθ m.g.(l/).cosθ= ½. (m 1 m ).g.l. cosθ olur. m 1 > m olması durumunda net tork düzlem dışına iken, m 1 < m durumnda düzleme doğrudur. α = τ toplam / I = [ ½. (m 1 m ).g.l. cosθ ] / [ (L /4). (M/3+m 1 +m ) ] α = [.(m 1 m ).g.cosθ ] / [L.(M/3+m 1 +m ) ]
Yukarıdaki formülde açısal ivme α ' nın θ =90 veya -90 derece iken en küçük değeri sıfırı, θ =0 veya 180 derece iken ise en büyük değerini alacağı görülür. Soru 8 - Dairesel disk, sürtünmesiz yatay bir platformda düşey bir mil etrafında yatay düzlemde dönmektedir. Platform M=100kg kütleli ve R=m yarıçapa sahiptir. m=60kg kütleli bir öğrenci dönen platformun kenraından merkezine doğru yavaşça yürümektedir. Öğrenci, platformun kenarındayken sistemin açısal hızı rad/s ise, öğrenci merkezden r= 0.5m uzaklıktaki notaya geldiğinde açısal hızı ne olur bulunuz ve yorumlayınız? Cevap 8- Eğer I sistem = I ilk = I platform + I öğrenci veya kısaca I ilk = I p + I ö şeklinde gösterilirse, I ilk = ½.MR + mr olur. Öğrenci r < R konumuna kadar yürüdüğünde I son = I pson + I öson = ½.MR + mr değerine doğru azalır. Dönen platform ve öğrenci sistemine etki eden dış dönme momenti olmadığından açısal momentumun korunumu yasası uygulanabilir. I ilk ω ilk = I son ω son (½.MR + mr ).ω ilk = (½.MR + mr ).ω son ω son =ω ilk.(½.mr + mr ) / (½.MR + mr ) ω son = [ (00cm+40cm)/ (00cm+15cm) ]. rad/s ω son = 4.1 rad/s beklendiği gibi açısal hız artmıştır.
Soru 9 Düzgün bir cisim için denge şartını yazınız. Kuvvetlerin eşdeğer olması nasıl sağlanır? Cevap 9- Bir cismin dengede olabilmesi için iki şartın sağlanması gerekir. Bunlar: 1. Cisme etkiyen dış kuvvetlerin bileşkesi sıfır olmalıdır. Yani, ΣF =0 ' dır.. Herhangi bir dönme eksenine göre dış torkların bileşkesi yada açısal ivmesi (α ) sıfır olmalıdır. Yani, Στ = I.α = 0 olmalıdır. Soru 10 - Yandaki resimde 50N'luk bir küre yatay olarak tutulmaktadır. Pazu kaslarının dirsekteki dönme noktasına uzaklığı d=3cm ve eldeki kürenin dönme noktasına uzaklığı L=35cm'dir. Önkolun ağırlığını ihmal ederek, pazunun önkola uyguladığı yukarı doğru kuvveti ve dirsekteki dönme noktasından üst kola uygulanan aşağı doğru kuvveti bulunuz. Cevap 10 - Pazunun yukarı doğru uyguladığı kuvvet F ve R tamda dönme noktasında olan aşağı yönlü kuvvet ise pozitif y noktasındaki kuvvetlerin bileşkesi denge şartı için 0 olmalıdır. ΣF y = F -R 50 = 0 ise F-R = 50 newton olur. İkinci denge şartından, bileşke tork O noktasına göre sıfır olmadır. F.d m.g.l = 0 F. (3cm) (50 N).(35cm) = 0 ise F= 583 Newton bulunur. R= F-50= 533 Newton bulunur. Derleyen: Öğrt. Gör. Dr. İlker Can Çelik Fizik Bölümü, Nükleer Fizik A.B.D Kaynak: Fen ve Mühendislik için Fizik (Serway) Ünite 10,11, 1