Turkish Jurnal f Cmputer and Mathematics Educatin Vl.6 N.2 (2015), 179-208 Teknlji Destekli Ortamda Matematiksel Mdellemede Ortaya Çıkan Üst Bilişsel Yapılar 1 Çağlar Naci Hıdırğlu 2 ve Esra Bukva Güzel 3 Özet: Çalışmanın amacı, teknlji destekli matematiksel mdelleme sürecinde rtaya çıkan üst bilişsel yapıları açıklamaktır. Üst bilişsel yapıların mdelleme sürecinde nasıl şekillendiği planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin byutlarında ele alınarak incelenmiştir. Durum çalışması niteliğindeki çalışma, rtaöğretim matematik öğretmenliğinde öğrenim gören üç birinci sınıf öğrencisinin luşturduğu bir çalışma grubuyla yürütülmüştür. Veriler, çalışma grubunun mdelleme prblemini çözerken alınan vide kayıtlarından, prblemin çözümü ile ilgili yazılı yanıtlarından, GeGebra çözüm dsyalarından ve prblemlerin çözüm sürecinde araştırmacılar tarafından alınan gözlem ntlarından derlenmiştir. Verilerin analizinde tematik kdlamalar yapılarak kategriler luşturulmuş ve üst bilişsel yapılar belirlenmiştir. Analiz snucunda mdelleme sürecindeki üst bilişsel yapılar planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin byutları için n sekiz kategri altında tplanmıştır. Üst bilişsel eylemler, teknlji destekli mdelleme sürecinde bilişsel eylemleri düzenlediği gibi birbirlerini de desteklemiştir. Çalışmanın matematiksel mdelleme sürecindeki üst bilişsel eylemlere farklı ve derin bir bakış getireceği düşünülmektedir. Anahtar Kelimeler: Matematiksel mdelleme, üst bilişsel yapılar, GeGebra, matematik öğretmen adayları, teknlji destekli mdelleme süreci DOI: 10.16949/turcmat.00708 Abstract: The aim f this study is t explain metacgnitive structures ccurring in mathematical mdelling within a technlgy aided envirnment. Hw metacgnitive structures in mdelling prcess are shaped within the dimensins f planning, mnitring, evaluatin and predictin was examined. The study which is a case study, was cnducted with a cllabrative grup f three freshman students wh are studying in Secndary Mathematics teacher educatin prgramme. Data was cllected frm vide recrdings which were taken while cllabrative grup was slving the mdelling prblem, written answers f students n slutin, GeGebra slutin files and bservatin ntes which were taken by the researchers during prblem slving prcess. During data analysis prcess, categries were frmed by applying thematic cding and metacgnitive structures were specified. As a result f data analysis, metacgnitive structures in mdelling prcess fr planning, mnitring, evaluatin and predictin steps are gruped under eighteen categries. Metacgnitive activities rganised cgnitive activities in technlgy aided mdelling prcess and supprt ther metacgnitive activities. It is believed that this study will bring a different and detailed view int metacgnitive activities in mathematical mdelling prcess. Keywrds: Mathematical mdelling, metacgnitin, GeGebra, mathematics student teachers, technlgy aided mdelling prcess See Extended Abstract 1. Giriş Hllanda, İsveç, Amerika, İsviçre, Finlandiya, Almanya, Singapur, Japnya, Avustralya gibi pek çk ülkenin matematik dersi öğretim prgramlarında 1995 den günümüze değin 1 Bu çalışma Dç. Dr. Esra Bukva Güzel danışmanlığında yürütülen Arş. Gör. Çağlar Naci Hıdırğlu nun dktra tezinin bir bölümünden luşturulmuştur. 2 Arş. Gör., Pamukkale Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, caglarr.naci@gmail.cm 3 Dç. Dr., Dkuz Eylül Üniversitesi, Buca Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Matematik Eğitimi, esra.bukva@gmail.cm
180 Teknlji Destekli Ortamda Matematiksel Mdellemede Ortaya Çıkan Üst Bilişsel Yapılar yaşanan radikal değişimlerin temelinde öğrencilerin gerçek yaşamlarında matematiği kullanamamaları ve buna bağlı larak TIMMS ve PISA sınavlarında aldıkları başarısız snuçlar yatmaktadır (Blmhøj & Kjeldsen, 2006; Brrme Ferri, 2006; English, 2006; Lingefjärd, 2000; Maaβ, 2006; Sklverket, 1997; Tanner & Jnes, 1999). Öğretim prgramlarında bu sıkıntıların üstesinden gelmek için günümüz matematik eğitimi çalışmalarında da ağırlıklı gördüğümüz matematiksel mdelleme kavramı karşımıza çıkmaktadır. Matematiksel mdelleme, gerçek yaşamdaki bir prbleme yanıt vermek için matematik ile gerçek yaşamın ilişkilendirilmesi ve matematiksel mdellerle ilgili bir durumun veya layın açıklanmaya çalışılması sürecini içermektedir (Berry & Hustn 1995; Cruch & Haines, 2004; Hıdırğlu, 2012). Gerçek yaşamdaki açık uçlu prblemlerin temel zrluklarından birisi, gerçek yaşamın karmaşık dğasını açıklamanın büyük güçlükler içermesidir (Plya, 1957). Mdelleme yapan bireyler bu süreçte sadece matematikle değil; gerçek yaşam durumuna etkisi farklı düzeylerde lan değişkenlerle de karşı karşıya kalmakta ve gerçek yaşam ve matematik arasındaki ilişkiyi kurmakla uğraşmaktadır. Matematiksel mdelleme prblemlerinin zengin yapıya sahip lmasının en temel nedenlerinden biri çözümde farklı stratejilerle, değişkenlerle ve varsayımlarla beslenebilmeleridir (Hıdırğlu & Bukva-Güzel, 2013). Bu durum aynı zamanda mdelleme için gerekli zihinsel yeterliklerin üst düzeyde ve karmaşık yapıda lmasına da neden lmaktadır (Hıdırğlu, 2012; Niss, 1994; Schenfeld, 1994). Matematiksel mdellemede, yaşanan öğrenci zrluklarının önüne geçebilmek ve srunun nerede lduğunu fark ederek bu yönde uğraş vermek öğrenme rtamlarının niteliğini arttırmada büyük önem taşımaktadır. Bunun için süreçte sergilenen kumaanlama, prblem çözme stratejilerini düşünme ve uygulama, muhakeme, matematiksel işlemler yapma, değişkenleri belirleme, gerçek yaşam ile matematik arasındaki ilişkiyi kurma, matematiksel mdeller arasındaki ilişkiyi açıklama ve matematiksel snuçlar ile gerçek yaşam arasında uzlaşı sağlama gibi üst düzey düşünme eylemlerinin rtaya çıkarılması gerekmektedir (Niss, 2004). Araştırmalar matematiksel mdellemedeki zrlukların en aza indirilmesinde, bilişsel yükün hafifletilmesinde ve başarının artırılmasında öğrencilerin gerçekleştirdiği üst bilişsel eylemlerin etkili lduğunu göstermektedir (Blum & Kaiser, 1997 den akt., Maaβ, 2006; Mevarech & Kramarski, 2003; Schenfeld, 1992). Üst biliş matematiksel mdellemede önemli bir etki yaratsa da matematiksel mdelleme ve üst biliş ile ilgili kapsamlı çalışmalara sadece sn n yıldır yer verildiği görülmektedir. Bunun en önemli sebeplerinden biri söz knusu iki kavramın karmaşık yapıda lmalarıdır (Maaβ, 2006; Schenfeld, 1992). Bu durum matematiksel mdelleme sürecindeki üst bilişsel eylemlerin analizini zrlaştıracak kuramsal bir engel larak düşünülebilir. Matematiksel mdellemedeki üst bilişsel yapıların süreç için birçk araştırmacı tarafından (Lesh, Lester & Hjalmarsn, 2003; Lingefjärd & Hlmquist, 2005; Maaβ, 2006; Magiera & Zawjevski, 2011; Tanner & Jnes, 2002; Schenfeld, 1987;1992) çk önemli
Ç. N. Hıdırğlu, E. Bukva Güzel 181 lduğu düşünülse de üst bilişsel yapıların rtaya çıkarılmasına yönelik çalışmaların lmayışı bu alanda önemli bir ihtiyacı rtaya çıkarmaktadır (Brrme Ferri, 2006; 2010; Kaiser, 2005; Maaβ, 2006; Magiera & Zawjevski, 2011; Schenfeld, 1992). Öğrencilerin mdelleme sürecinde sergileyebilecekleri üst bilişsel eylemlerin neler lduğu ve üst bilişsel eylemlerin bilişsel eylemleri nasıl etkilediklerinin rtaya kyulması, öğrencilerin bilgi, beceri ve stratejik kararlar alma gibi geliştirilmesi gereken yönlerine ilişkin önemli bir yl gösterici lacak ve öğretmenlere zihinsel bir yl haritası rtaya kyacaktır. Bu tür araştırmaların rtaya çıkarılması için araştırmacıların felsefesi, üst bilişi diğer kavramlardan ayırmada tutarlılığı ve alandaki deneyimleriyle süreci harmanlamaları büyük önem taşımaktadır. Çalışma bu yönüyle öncelikle alana katkı sağlayacak çalışmalar arasına girerken en önemli hedefi ileriki araştırmacılara ve eğitmenlere farklı ve derin bir görüş sağlamaktır. Bu dğrultuda çalışmanın amacı, teknlji destekli matematiksel mdelleme sürecinde rtaya çıkan üst bilişsel yapıların planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin byutlarında açıklanmasıdır. 2. Kuramsal Çerçeve Araştırmada matematiksel mdelleme bakış açılarından bilişsel mdelleme (Blmhøj, 2008; 2009; Kaiser & Sriraman, 2006; Kaiser, 2005) yaklaşımı benimsenmektedir. Bu dğrultuda çalışmada bireylerin süreçteki zihinsel imgeleri incelenerek; üst bilişsel süreçlerin rtaya çıkış sebepleri ve zihinsel süreçleri nasıl etkiledikleri açıklanmaya çalışılmakta ve bu şekilde de matematiksel düşünme süreçlerinin geliştirilmesine yönelik bir açıklama rtaya knulması hedeflenmektedir. Bu sayede öğrencilerin mdelleme sürecindeki temel güçlükleri rtaya kyularak daha etkili bir öğrenme süreci için öğretmene ya da eğitmene yl gösterilebilecektir (Blmhøj, 2009; Hıdırğlu, 2012). Araştırma kapsamında mdelleme sürecindeki üst bilişsel yapıların daha net rtaya knulması ve nasıl rtaya çıktıklarının açıklanması için Hıdırğlu (2012) tarafından rtaya knulan mdelleme süreci temel alınmıştır (bkz. Şekil 1). Çalışmada söz knusu mdelin seçilmesinin dört sebebi vardır: 1) Sn 10 yıl içerisinde teknlji destekli rtamda matematiksel mdelleme sürecindeki bilişsel eylemlere ilişkin kapsamlı araştırmalardan (Ang, 2010; Brrme Ferri, 2006; Galbraith & Stillman, 2006; Hıdırğlu, 2012; COM² ve DISUM prjeleri) birisi larak görülmektedir. 2) Mdelleme sürecini yedi temel basamak, sekiz temel bileşen ve kırk yedi alt basamak ile en kapsamlı larak açıklayan çalışmadır. 3) Hıdırğlu nun (2012) mdelinin rtaya çıkması sürecinde de, bu araştırmayla aynı şekilde grup çalışması, GeGebra, vide, animasyn, resim gibi teknljik araçlarla teknlji destekli prblem çözme rtamı dikkate alınmıştır. Bu etkenler çalışmamızda üst bilişsel kdların daha iyi anlaşılması, zengin bir üst bilişsel sürecin rtaya çıkarılması ve kdlama sürecinde geçerlik ve güvenirliğin artırılması açısından önemli görülmektedir. 4) Çalışmada üst bilişsel eylemlerin süreçteki hangi basamaklarda ve nasıl şekillendiğini rtaya çıkarmak amaçlandığı için kdlama sürecinde bir mdelleme sürecinin
182 Teknlji Destekli Ortamda Matematiksel Mdellemede Ortaya Çıkan Üst Bilişsel Yapılar temel alınması gerekmektedir. Ayrıca çalışmada söz knusu mdelleme sürecinin basamaklarında öğretmen adaylarının nasıl düşündükleri rtaya çıkarılarak, düşünceleri tetikleyen üst bilişsel eylemler ve özellikleri daha kapsamlı açıklanmıştır. Prblemin Analizi Sistematik Yapıyı Kurma Matematikselleştirme Üst Matematikselleştirme Matematiksel Analiz Prblem durumu anlamlandırılır ve basitleştirilir. Basit varsayımlar rtaya çıkarılır ve stratejik etkenler yüzeysel larak rtaya knulur. Prblem durumunun bir mdeli rtaya knur ve genel çözüm stratejisi belirlenir. Temel matematiksel kavramlar, varsayımlar, gerekli stratejik etkenler belirlenir. Prblem matematiksel bir frma dönüştürülür ve zihinsel mdel yardımıyla yardımcı matematiksel mdellere ulaşılır. Yardımcı Matematiksel Mdel ler (YMMler) gruplandırılır ve belirlenen stratejiler yardımıyla gerekli Ana Matematiksel Mdel e (AMMye) ulaşılır. AMM ve YMMler yardımıyla matematiksel çözüme ve matematiksel snuçlara ulaşılır. Matematiksel hesaplamalar yapılır. Matematiksel çözüm AMMden elde edilen ve istenilen duruma cevap veren matematiksel ifadeler larak karşımıza çıkar. Matematiksel snuçlar ise bazen matematiksel çözüme ulaşmada kullanılırken bazen de gerçek yaşam durumunun farklı durumları için AMMye genel bir bakış sağlar. Yrumlama/ Değerlendirme Mdelin Dğrulanması Matematiksel dünya ile gerçek yaşam arasındaki ilişki kurulur. Matematiksel çözümden gerçek yaşam çözümüne, matematiksel snuçlardan da gerçek yaşam snuçlarına ulaşılır. Çözüm süreci, matematiksel mdeller ve dlayısıyla gerçek yaşam çözümünün geçerliliği irdelenir. Mdelin geçerliliği hakkında bir karara varılır ve çözüm kısa çözüm rapruyla snlandırılır. Gerektiğinde çözüm tekrar gözden geçirilir. İdeal bir çözüm bulunduğu düşünülüne kadar bu süreç devam eder. Şekil 1. Matematiksel Mdelleme Süreci Çalışmamızın ikinci byutu teknljidir. NCTM (1998; 2000), teknljinin matematik öğrenmede öğrencilerin matematiksel gücüne, farklı düşünmelerine ve kavramsal becerilerine ne şekilde etki edeceğinin rtaya knulmasının önemine vurgu yapmaktadır. Baki (2002) de etkileşim düzeyi yüksek vide, animasyn, resim ve bilgisayar
Ç. N. Hıdırğlu, E. Bukva Güzel 183 yazılımlarının grup çalışmalarındaki öğrencilere değişik prblemler tasarlamada, farklı stratejiler belirlemede, kşulları yeniden tanımlayarak snuçlarını gözlemlemede, mdel luşturmada, farklı düşünceleri seçmede, yeni ilişkileri ve özellikleri keşfetmede çk çeşitli üst düzey düşüncelerin rtaya çıkmasında büyük fırsatlar sağlayabileceğini belirtmektedir. Bu dğrultuda teknlji destekli mdelleme sürecindeki üst bilişsel yapıları derinlemesine rtaya çıkaracağı düşünülerek çözüm süreci grup çalışması yöntemiyle gerçekleştirilmiştir. Ayrıca gemetri, cebir ve analize hitap edebilen dinamik matematik yazılımı GeGebra matematiksel mdelleme prblemi çözüm sürecinde kullanılmış ve prblemle birlikte vide, animasyn ve resimler verilerek zengin bir zihinsel süreç rtamı yaratılmak istenmiştir. Çalışmamızın bir diğer byutunu üst biliş kavramı luşturmaktadır. Bilişsel ve üst bilişsel eylemler benzer yapılar larak düşünülse de içerik ve fnksiyn açısından farklıdırlar (Flavell, 1979; Gama, 2004). Bu farklılık aşağıda açıklanmıştır. a) İçerik açısından farklılık: Bilişsel eylemin içeriği, hem gerçek yaşam hem de zihinsel imajlardan (nesne, kişi, lay, fenmen ve benzerlerini ele almak için gerekli beceri ve bilgi) luşmaktadır. Üst bilişsel eylemlerin kapsamı ise düşüncelerle ilgilidir (Gama, 2004). b) Fnksiynel açıdan farklılık: Bilişsel eylemlerin fnksiynu, prblemi nitelikli bir şekilde çözmek ve bilişsel girişimleri etkili snuçlara ulaştırmaktır. Üst bilişsel eylemlerin fnksiynu ise prblemi çözerken kişinin kendi bilişsel eylemlerini düzenlemesidir (Vs, 2001). Örneğin, bir kişinin bir durumu anlamadığını fark etmesi, anlamadığı bir metni veya prblemi tekrar kuması, ders çalışırken dikkatini dağıtan etkenleri rtadan kaldırması, bir durumu açıklarken mevcut bilgi ve deneyimlerini düşünmesi ve kullanması, bir işi yaparken zamanı iyi bir şekilde ayarlaması ve bir işi yapamayacağını düşünmesi üst bilişsel eylemlerin fnksiynlarına örnek verilebilir (Gama, 2004; Hacker,1998; Panaura & Philippu, 2005). Literatür incelendiğinde üst biliş kavramını üst bilişsel strateji, üst bilişsel bilgi, üst bilişsel beceri, inanç ve sezgiler ve üst bilişsel düzenleme larak beş byutta ele almak mümkündür (bkz. Şekil 2). Şekil 2. Üst Biliş Kavramına Genel Bir Bakış
184 Teknlji Destekli Ortamda Matematiksel Mdellemede Ortaya Çıkan Üst Bilişsel Yapılar Üst bilişsel eylemleri temsil eden ve üst bilişin süreç byutunu açıklayan kavram üst bilişsel düzenleme veya bilişin düzenlenmesidir. Diğer byutlar lan üst bilişsel strateji, üst bilişsel bilgi, üst bilişsel beceri, inanç ve sezgiler ise üst bilişsel düzenleme eylemlerini etkilemekte ve üst bilişsel düzenlemede gerçekleşen eylemlerin yapısını ve niteliğini değiştirmektedir (Panaura & Philippu, 2005; Pugalee, 2001). Üst bilişsel düzenleme, bilişsel amaçlara ulaşmak için kişinin duruma veya laya yönelik farkındalık luşturduğu düşünceleriyle ilgili eylemlerde bulunduğu ve öğrenmesini denetlediği zihinsel süreci tanımlamaktadır (Gama, 2004; Panaura & Philippu, 2005; Schraw,1998). Literatürdeki çalışmalar (Allen, 1991; Desete, 2001; Desete, Reyers & Buysse, 2001; Lucangeli & Crnldi, 1997; Panaura, Philippu & Christu, 2003; Panaura & Philippu, 2005; Pugalee, 2001; Schraw & Graham, 1997; Wilburne, 1997) incelenerek çalışmamızda üst bilişsel düzenleme eylemleri; planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin byutlarında ele alınmıştır. Planlama, kişinin bir hedefe ulaşmak için hangi eylemleri, ne zaman ve niçin gerçekleştirmesi gerektiği ve lası çözüm yllarının snuçlarının nasıl lacağı ile ilgili düşünme sürecini temsil eder (Desete, 2001; Wilburne, 1997). İkinci byut lan izleme, kişinin bir prblemi çözmek için eylemlerde bulunurken ihtiyaç duyacağını düşündüğü adımların veya stratejilerin işleyişini ve snuçlarını kntrl etme ve anlık irdeleme sürecini içerir (Wilburne, 1997). Değerlendirme, herhangi bir eylemin snucunda, kişinin yaptıklarını ve yaptıklarının etkililiğini düşünmesi ve bu yönde karara varması sürecidir (Brwn, 1987; Wilburne, 1997). Tahmin ise kişinin bir düşünceyi veya bir layı eylemleri byunca (öncesi-uygulanması- snrası) mantıksal, sezgisel ve deneysel larak kestirmesi sürecidir (Desete, Reyers & Buysse, 2001; TDK, 2013). Çalışmada teknlji destekli matematiksel mdelleme sürecindeki üst bilişsel yapılar planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin byutları çerçevesinde açıklanmıştır. Bu amaçla teknlji destekli rtamda matematiksel mdelleme prblemi üzerinde çalışan bir grubun çözüm süreci incelenerek üst bilişsel düzenlemeye ilişkin ayrıntılı betimlemeler ve açıklamalar yapılmaya çalışılmıştır. Bu dğrultuda araştırmanın prblemi Teknlji destekli matematiksel mdelleme sürecinde öğretmen adaylarından luşan üç kişilik bir çalışma grubunun zihinsel süreçlerinde planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin byutlarında hangi üst bilişsel yapılar rtaya çıkmaktadır? larak ifade edilmiştir. 3. Yöntem 3.1. Araştırmanın Mdeli Bir durum çalışması niteliğinde lan bu çalışmada, işbirlikli bir çalışma grubunun tasarlanan Köprü Prblemi ne yönelik çözüm sürecine yğunlaşılmış ve matematiksel mdellemedeki üst bilişsel yapılar, elde edilen verilerin ayrıntıları ve aralarındaki ilişkileri dikkate alınarak tematik kdlama ile açıklanmaya çalışılmıştır.
3.2. Katılımcılar Ç. N. Hıdırğlu, E. Bukva Güzel 185 Çalışma, 2014-2015 öğretim yılında rtaöğretim matematik öğretmenliği prgramı birinci sınıfta öğrenim görmekte lan ve bir dönem byunca teknlji destekli rtamda matematiksel mdelleme prblemlerine yönelik deneyimler gerçekleştirmiş üç öğretmen adayının luşturduğu bir çalışma grubuyla gerçekleştirilmiştir. Öğrenciler kendi istekleri dğrultusunda çalışma grubunu luşturmuşlar ve bir dönem byunca gerçekleştirilen uygulamalarda aynı grupla çalışmalarını sürdürmüşlerdir. Çalışma kapsamında söz knusu grup seçilirken grubun daha önceki çalışmalardaki yaklaşım ve düşünme süreçleri dikkate alınmış ve zengin bir veri setine ulaşabilmek için bu grup ile çalışmanın yürütülmesine karar verilmiştir. Bulgular sunulurken öğrencilerin gerçek isimleri yerine kd isimlerine yer verilmiştir. 3.3. Veri tplama Aracı Araştırmadaki veriler araştırmacılar tarafından tasarlanan Köprü Prblemi (bkz. Ek 1) bağlamında elde edilmiştir. Prblem tasarlanırken literatürdeki bazı matematiksel mdelleme çalışmaları (Berry & Hustn, 1995; Brrme Ferri, 2006; Maaβ, 2006) incelenmiş ve mdelleme prblemlerinde bulunması gereken özellikler araştırmacılar tarafından belirlenmiştir. Prblemin açık ve anlaşılır lmasına, açık uçlu lmasına, ilgi çekici ve günlük yaşamla ilişkili lmasına, gerçek ve zengin verilerden luşmasına, içerisinde birden fazla değişkeni, parametreyi, sabiti ve matematiksel kavramı barındırmasına, matematiksel mdel/ler luşturmaya imkan sağlamasına, öğrencilerin kendilerinin veri luşturmasını gerektirmesine ve öğrencilerin teknlji bilgisini, deneyimlerini ve matematik bilgisini ilişkilendirerek kullanmasına lanak sağlamasına dikkat edilmiştir. Prblemle birlikte aynı zamanda dört ftğraf, bir animasyn ve prjenin kapsamıyla ilgili genel bilgiler veren bir vide verilmiştir. Veriler, grubun prblem çözüm sürecinde alınan vide kayıtlarının çözümlemelerinden, uygulama süresince araştırmacılar tarafından alınan gözlem ntlarından, prblem çözümünde grubun luşturduğu GeGebra dsyalarından ve yazılı yanıt kağıtlarından derlenmiştir. Geçerlik ve güvenirliği sağlamak için prbleme ilişkin uzman görüşleri alınmış ve uzman görüşleri dğrultusunda gerekli değişiklikler yapılmıştır. Snrasında ise prblemin sn hali üzerinden bir grup öğrenci ile pilt çalışma gerçekleştirilerek prblem sn haline getirilmiştir. 3.4. Veri Tplama Süreci Veriler sadece araştırmacıların ve çalışma grubunun bulunduğu sessiz bir rtamda tplanmıştır. Çalışma grubu çözüm sürecinde bilgisayar yardımıyla GeGebra yazılımından, ScreenHunter prgramından ve prblemlerle birlikte verilen animasyn, vide ve resimlerden (bkz. Ek 2) yararlanmışlardır. Öğrencilerin yaklaşım ve düşünme süreçleri ile ilgili davranışlarını izlemek amacıyla nlardan prblem çözüm sürecinde sesli düşünmeleri ve akıllarına gelen her yaklaşımı rtaya kyarak grup arkadaşlarıyla paylaşmaları ve etkili bir iletişim halinde lmaları istenmiştir.
186 Teknlji Destekli Ortamda Matematiksel Mdellemede Ortaya Çıkan Üst Bilişsel Yapılar 3.5. Verilerin Analizi Verilerin analizinde ilk larak videdan elde edilen kelimesi kelimesine çözümlenmiş çözümleme dsyası ve diğer veri kaynakları (GeGebra dsyası, yazılı yanıt kağıtları, gözlem ntları) ayrıntılı larak kunmuş, incelenmiş ve bütünleştirilmiştir. Tematik kdlama süreci byunca analiz birimi kelimeler larak seçilmiş ve kategriler süreç içerisinde tanımlanmıştır. Veri analizi byunca iki araştırmacı birbirlerinden bağımsız larak veri grubu üzerinde çalışmışlardır. Bu bağlamda araştırmacılar grubun çözüm yaklaşımlarında rtaya çıkan üst bilişsel eylemleri belirlemişler ve bunlara ilişkin kdlar luşturmuşlardır. Devamında iki araştırmacı bir araya gelerek ayrı ayrı gerçekleştirdikleri kd listelerini karşılaştırmışlardır. Ezzy nin (2002) düşünceleri dikkate alınarak, araştırmada kdlar yeniden incelenmiş ve kategrilere yerleştirilmiş, kelime, kd ve kategrilerin kayıtları tutularak ilgili kategrileri açıklayan ifadeler luşturulmuştur. Yıldırım ve Şimşek (2011) ile Fraenkel ve Wallen ın (2010) vurguladıkları gibi, kategriler tipik larak kdların geliştirilmesi sürecinde ya da snrasında kdların gruplandığı ve bir bütün haline gelerek anlamlandığı syut kavramlar larak karşımıza çıkmıştır. Crbin ve Strauss un (2008) ifade ettiği gibi bu araştırmada da kategriler kavramsal bir güce sahip lduklarından dlayı, biliş veya üst biliş gibi diğer kavramlar ve alt kategriler arasında bağlantı kurabilme ve ayrıştırabilme lanağını sağlamıştır. Bu süreçte karşılaşılan zrluklardan birisi bilişsel ve üst bilişsel eylemlerin birbirleriyle iç içe lan karmaşık yapısından kaynaklanmıştır. Bunun önüne geçebilmek amacıyla çalışmada hem mdelleme süreci (Hıdırğlu, 2012) hem de üst biliş kavramları için (bkz. Şekil 2) önceden belirlenen bir kuramsal çerçeve dikkate alınmıştır. Bu dğrultuda, Hıdırğlu nun (2012) mdelindeki temel ve alt basamaklar dikkate alınarak mdelleme sürecinde planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin üst bilişsel eylemlerinin nasıl rtaya çıktığı açıklanmıştır. Örneğin, öğrencilerin Prblemin Analizi basamağında hangi üst bilişsel eylemlerde bulunduğu ve bu eylemlerin nedenleri daha smut bir şekilde rtaya çıkarılmıştır. Prblemin Analizi basamağında öğrencilerin gerçekleştikleri üst bilişsel eylemlerinin özellikleri basamağın temel yapısı da dikkate alınarak açıklanmaya çalışılmıştır. Kategrilerin rtaya çıkarıldığı analiz sürecinde Matematiksel mdelleme sürecinde hangi üst bilişsel eylemler (planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin) nasıl rtaya çıkıyr? srusuna yanıt aranmaya çalışılmıştır. Araştırmada veri analizinin güvenirliğini sağlamak amacıyla, araştırmacıların bağımsız larak yaptıkları analizler Miles ve Huberman ın (1994) kdlayıcı güvenirliği frmülü ile incelenmiştir. Bu hesaplama snucunda planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin için sırasıyla %82, %85 ve %78 %79 değerleri bulunmuştur. Ek larak bulgular sunulurken birlikte çalışma gruplarının çözümlerinden alıntıların ekleme yapılmadan lduğu gibi verilmesi sağlanarak araştırmanın güvenirliği arttırılmaya çalışılmıştır. Araştırma knusu hakkında genel bilgiye sahip bir matematik eğitimcisinden yapılan araştırmayı çeşitli byutlarıyla incelemesinin istenmesiyle de geçerlik arttırılmaya çalışılmıştır.
Planlama Yapıları 4. Bulgular Ç. N. Hıdırğlu, E. Bukva Güzel 187 Matematiksel mdelleme sürecindeki üst bilişsel yapılar planlama byutunda beş, izleme byutunda üç, değerlendirme byutunda beş ve tahmin byutunda beş kategride şekillenmiştir. Üst bilişsel düzenleme davranışları lan planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin temel eylemleri matematiksel mdelleme sürecinde genel larak bilişsel aktivitelerle iç içe geçmiş karmaşık bir süreci meydana getirmişlerdir. 4.1. Matematiksel Mdelleme Sürecindeki Planlama Yapıları Matematiksel mdelleme sürecinde grubun rtaya kyduğu planlama yapıları beş temel kategri altında şekillenmiştir (bkz. Tabl 1). Tabl 1. Matematiksel mdelleme sürecindeki planlama yapıları Kategriler Yanıt Aranan Temel Srular 1a- Amaç ve imkanların Prblemde ne isteniyr?, Prbleme cevap verebilmek için nelere ihtiyaç var ve analizini yapma. neler biliniyr? 1b- Temel büyük düşünceyi tasarlama. 1c- Çklu düşünce yapılarını birleştirme / ayrıştırma. 1d- Matematiksel ve teknljik düşünceleri uzlaştırma. 1e- Matematiksel ve gerçek yaşam düşüncelerini uzlaştırma. Prblem için gerekli çözüm stratejisi nasıl lmalıdır?, Çözümde hangi temel kavramlar önemli?, Bilinenler nasıl kullanabilir?, Varsayımlar neler ve hangi değişken, sabit ve parametreler çözümde kullanılır? Çözüm için gerekli farklı düşünceler bir arada nasıl kullanabilir?, Eski deneyimlere bağlı çklu düşüncelerde prblem için gerekli düşünceler hangileridir? Matematiksel düşünceler ve teknljik düşünceler birbirlerini destekliyr mu? Matematiksel düşünceler eksikse çözümde ilerlemek için teknljik düşünceler nasıl değiştirilir?, Teknljik düşünceler eksikse çözümde ilerlemek için matematiksel düşünceler nasıl değiştirilir? Matematiksel düşünceler ve gerçek yaşama ilişkin düşünceler birbirlerini destekliyr mu? Matematiksel düşünceler eksikse çözümde ilerlemek için gerçek yaşam düşünceleri nasıl değiştirilir?, Gerçek yaşama ilişkin düşünceler eksikse çözümde ilerlemek için matematiksel düşünceler nasıl değiştirilir? Çözüm sürecinde öğrenciler ilk larak prblemin amacını net larak rtaya kymaya çalışmışlar; ne yapmaları gerektiğini ve nelere sahip lduklarını zihinlerinde netleştirme ihtiyacı duymuşlardır. Grup bu dğrultuda, Köprü Prblemi nin prblem durumunu, verilen videları ve resimleri ayrıntılı larak inceleyerek prblemi anlamlandırmaya ve prblemi çözmek için var lan imkânları rtaya çıkarmaya çalışmıştır. Yapılacak köprünün genişliği ve uzunluğunu veren matematiksel mdeller luşturunuz. Bu şekilde köprünün lası genişliği ve uzunluğu hakkında en iyi tahmininizi nedenleriyle birlikte açıklayınız. Prblemle birlikte 2 vide ve 4 resim dsyası da verilmiştir ( prblem ifadesini kurken de resimleri açıyr ve le ikisi resimleri inceliyrlar.). Devamı var mı prblemin? Bu kadar. Hıhı. Buradaki köprü 1, köprü 2, köprü 3 ve köprü 4 ftğraf. Diğerleri de videlar sanırım. Evet. Bakalım zaman (Köprü 1 in lduğu dsyayı tekrar inceliyrlar.). Köprü buraya yapılacak sanırım (Eliyle resimdeki beyaz çizgiyi gösteriyr.).
188 Teknlji Destekli Ortamda Matematiksel Mdellemede Ortaya Çıkan Üst Bilişsel Yapılar Hı hı. Daha da yakınlaşsana (Birlikte ikinci resmi inceliyrlar ve yakınlaştırarak ayrıntılara bakıyrlar). Hah burada ayakları var işte belli luyr. Şuralarda. Hah bak yl buradan burayaymış. Köprüde şu kısım luyr (Resimdeki gölgelerden hareketle köprünün ayaklarının yerini belirliyrlar.). Evet (Köprü ile ilgili dördüncü resmi açıyrlar.). Bak burada rayları var gidiş geliş (Resimdeki tren raylarını gösteriyr.). Grup amaç ve imkanların tam larak belirlenebilmesi amacıyla önemli yerlerin altını çizme, videlardaki bazı gerekli bilgileri nt etme gibi üst bilişsel stratejiler sergilemiştir. Mdelleme sürecindeki en çk karşılaşılan planlama eylemi temel büyük düşünce nin rtaya kyulması lmuştur. Bu süreçte öğrenciler gerekli matematiksel kavramları, stratejileri, teknlji vb. araçları ve temel varsayımlar, değişken, sabit, parametre gibi çözümdeki stratejik etkenleri ayrıntılı larak düşünmüşlerdir. Örneğin, videları ve ftğrafları ayrıntılı larak inceleyerek nlara en iyi çözümü vereceğini düşündükleri kesiti GeGebra ya taşımışlardır. GeGebra ya ekledikleri kesiti analitik düzleme uygun bir şekilde yerleştirmeye çalışarak da süreçte daha uygun matematiksel mdeller elde etmeyi planlamışlardır. Şimdi bizden köprünün uzunluğu ve genişliği isteniyr. Şimdi şurada işimize yarayacak bir şu resim var ama ( resim 4 ü gösteriyr.). Bunu kesmemiz gerekebilir mi? Bunu kullanamayız uzunluk için (Resim 4 yandan çekilmiş lduğu için kullanmak istemiyr.).
Ç. N. Hıdırğlu, E. Bukva Güzel 189 Şurada videdan aslında düz lduğu bir yeri kesip yapabiliriz. Şu videda vardı. ( birinci videyu tekrar açtı ve izliyrlar.). 2.15 civarında bir yerdeydi (Videdaki istedikleri kesitin yerini söylüyr. de videyu raya dğru ilerletiyr.). Hah burası lur mu? ( videyu durduruyr.). Bunu kullanabiliriz herhalde. Daha yakın yktu değil mi? Evet. Şimdi kesit alalım zaman. Grubun bu eyleminin temelinde daha önce kendilerine srulan bir prblemin çözümünden elde ettikleri deneyimlerinin etkili lduğu görülmüştür. Öğrenciler çözümlerinin daha uygun labilmesi için önceki prblemde yaptıkları gibi videdaki en iyi açıyla yakaladıkları kesiti almaya çalışmışlardır. Bu durumu açıklayan gözlem ntu şöyledir: ( Öğrenciler vide ve resimleri bir defa inceleme yerine tekrar tekrar izleyerek tartıştı çözümde ilk larak resim 2 den yararlanmayı düşünse de önceden çözdükleri Salıncak Prblemi nde videdan kesit aldıklarını ifade etti ve burada da uygun açıyla kesit alabileceklerini söyledi, nin videdan kesit alma görüşünü çabuk benimseyerek bu yönde düşüncelerini belirtti. Gözlem ntu: Köprü Prblemi) Grup çözüm sürecinde birçk düşünce rtaya kymuş ve bu çklu düşüncelerini rganize etmeye çalışmıştır. Bu dğrultuda, öğrenciler düşüncelerini grup rtamında sergilemişler, farklı düşünceleri çözümde kullanmak için birleştirmişler ve düşünceler arasında ilişki kurmuşlardır. Öğrencilerin planlama eylemlerinden biri stratejilerini, varsayımlarını, düşüncelerini teknlji, matematik ve gerçek yaşama ilişkin bilgi, beceri ve stratejileri dğrultusunda yönlendirmeleri lmuştur. Süreçte bazen matematiksel düşüncelerle teknljik düşünceler arasında uzlaşı sağlamaya çalışmışlar, bazen ise matematiksel düşünceleri ile gerçek yaşamdaki düşünceleri arasında uyum aramışlardır. Örneğin, grup belirlediği vide kesitini GeGebra da analitik düzleme yerleştirmiş, resmi sabitleyip şeffaflaştırarak daha iyi bir çözüm sağlamaya çalışmıştır. Bu dğrultuda grup kesitin yapısından dlayı köşe nktalarını belirleyerek resmi sabitlememiş, bunun yerine köprü x ekseninde lacak şekilde kesiti yerleştirmeye karar vermiştir. Böylece matematiksel düşüncelerini en iyi yansıtabilecek teknljik stratejiyi seçmiştir. Bir başka deyişle matematiksel düşünceleri ile teknljik düşünceleri arasında bir uzlaşı sağlamışlardır. Ortalamayalım mı? (y ekseninin vide kesitini iki eş parçaya bölmesini kastediyr.). Ortalıyrum (Köprünün hizası x eksenine gelecek şekilde vide kesitini yerleştiriyrlar.).
İzleme Yapıları 190 Teknlji Destekli Ortamda Matematiksel Mdellemede Ortaya Çıkan Üst Bilişsel Yapılar Şey yapsak ya biraz şeffaf. Bir de resmi sabitleyelim. Tamam. ( sabitlemeyi hatırlayamıyr.). Yer belirliyrduk ya. Tamam, hah şuradan yapıyrduk ( sağı tıklıyr ve yaptıklarını hatırlıyr.). Ya biz taşıyarak yapabiliriz bence bunu. Sabitleyemeyiz bunun köşelerini bilmiyruz. Zr lacak sabitlemek (Sabitlemek yerine köprünün vide kesitini rtalayarak x ve y eksenlerini belirliyrlar.) Evet, haklısın. Bence de böyle kalsın. Planlama eylemleri; mdelleme sürecinin başlarında ve rtalarında rtaya çıktığı gibi snlarında da meydana gelmiştir. Örneğin, öğrencilerin 84.6 metre larak buldukları gerçek yaşam çözümü e tatmin edici gelmemiştir. ve de bu görüşü desteklemişler ve bu dğrultuda stratejilerini, temel büyük düşüncelerini ve gerçek yaşam durumuna ilişkin luşturdukları zihinsel ve matematiksel mdellerini gözden geçirmişlerdir. Bu dğrultuda, gerçek yaşam durumuna ilişkin luşturdukları zihinsel mdellerinde değişikliğe gitmişler ve çözüm planlarını bu yönde tekrar luşturmuşlardır. Düzenlemeler snrasında gerçek yaşam çözümünü 72.9 metre larak bulmuşlar ve snucu tatmin edici bir çözüm larak değerlendirmişlerdir. Bu durumu açıklayan gözlem ntu şöyledir: ( Öğrenciler köprünün genişliğini 84.6 metre larak buldu. bu değer bulununca vide kesitini daha ayrıntılı incelemek istedi. Çizimde srun labileceğini ve bunun snucu etkileyebileceğini belirtti. Tekrar videyu incelediler. i destekledi ve çizimi tekrar yapmaları gerektiğini ifade etti. Hemen ardından de bu görüşü destekledi. Gözlem ntu: Köprü Prblemi) 4.2. Matematiksel Mdelleme Sürecindeki İzleme Yapıları Matematiksel mdelleme sürecinde grubun rtaya kyduğu izleme yapıları üç temel kategri altında şekillenmiştir (bkz. Tabl 2). Tabl 2. Matematiksel mdelleme sürecindeki izleme yapıları Kategriler Yanıt Aranan Temel Srular 2a- Anlık sru ve O anda rtaya çıkan sru ya da srunlara yönelik anlık düşünceler nelerdir?, srunlara yönelik anlık Çözümde yapılanları eleştirecek anlık düşünceler nelerdir?, Çözümün düşünceler üretme. herhangi bir anındaki eylem ile ilgili düşüncelerde srun var mıdır? 2b- Planı takip etme. 2c- Plan dışı durumları rtaya kyma. Düşünsel plana göre yapılanlar veya yapılmayanlar nelerdir?, Çözümde plana göre neler yapılacaktır?, Çözüm planda belirlenen sıraya göre gerçekleşiyr mu? Plandaki sıraya uymayan düşünceler veya eylemler var mıdır?, Plandaki düşüncelerle çelişen bir durum luşuyr mu?
Ç. N. Hıdırğlu, E. Bukva Güzel 191 Öğrenciler çözüm sürecinin nerdeyse tamamında birbirlerinin düşüncelerini aktif larak dinlemişler ve elde ettikleri bilgilere ilişkin sru srma, naylama ve düşünce üretme gibi anlık tepkiler sergilemişlerdir. Öğrenciler sürekli larak çözümün herhangi bir anında sergilenen eylemlere ve düşüncelere ilişkin anlık düşüncelerini rtaya kymuşlardır. Süreçteki izleme eylemlerinden en çk karşılaşılanı büyük temel düşüncedeki eylemlerin uygulanış sırasının, şeklinin ve düşüncelerdeki düzenin sürekli larak izlenmesi lmuştur. Şimdi 4,43 ün ne kadar geleceğine bakacağız. Hah. Şimdi ne yapıyruz? Bir dakika bak şurası 1,2 ldu. Burası da 4,43 ldu ( hesap makinesinde işlemleri gerçekleştiriyr.). 1,2. 1,2. Tamam. Tamam. Şimdi ne kaldı? Uzunluğu bulduk. Uzunluğu bu bulduk, genişliği de bu bulduk. Başka bir şey ne istiyrdu bizden? Matematiksel mdeller dğrultusunda genişlik ve uzunluk. ( prblemi bir daha kuyr.) Her şeyi bulmuş lduk. x yaklaşık larak 1885 metre lur ( eksik kısımları yazıyr.). Şimdi genişliği yazalım. Kaç bulmuştuk? Bir dakika bakıyrum. Orantıladık aslında biz rayı. Köprünün ayaklarından genişliğini bulmuş lduk. Evet. Çözüm için tasarlanan temel büyük düşünce bazı yönleriyle eksik kalmış ve öğrenciler bu eksikliği gidermek için temel büyük düşüncenin dışında bazı düşüncelere ve eylemlere yönelmişlerdir. Plan dışı durumları rtaya kyma üst bilişsel izleme eylemi, sürecin devamında planın değerlendirilmesini ve gerekirse planın gözden geçirilmesini gerektirmiştir. Öğrencilerin bu durumda çklu düşünceler arasında uzlaşı sağlamaya çalıştıkları da görülmüştür. Grubun sergilediği izleme eylemi snucunda, plan dışı bir durumla karşılaşmış ve planda ileriye gidememiştir. Grup iki nkta arasındaki uzaklığı GeGebra daki dğru yardımıyla bulmayı planladıkları halde bu değeri elde edememişlerdir. planının eksik bir yanının lduğunu düşünerek gruba Bu iki nktadan geçen dğruya bakacaktık dimi? ve Buradan mıydı? gibi srular yöneltmiştir. plan dışı rtaya çıkan bu duruma karşı ise dğrudan çözüme gidilemeyeceğini ifade etmiştir. ise buna karşılık çözümü dğru parçası ile sürdürebileceklerini açıklamıştır. Plan tekrar revize edilerek çklu düşünceleri birleştirme/ayrıştırma yaklaşımı sergilenmiştir. Evet. Uzunluğu 14 gelecek (GeGebra da uzunluk hesaplatmadan tahminini söylüyr.) Bu iki nktadan geçen dğruya bakacaktık değil mi? Buradan mıydı (GeGebra da dğruyu nereden çizdireceğine bakıyr.)? Yk değil, dğrudan değildi. Haklısın ya. Uzaklıktan yapacaktık değil mi?
Değerlendirme Yapıları 192 Teknlji Destekli Ortamda Matematiksel Mdellemede Ortaya Çıkan Üst Bilişsel Yapılar Evet. Tamam. GeGebra bize rayı 14 larak verdi. ( bir yerden kağıda küçük ntlar alıyr.). Snra genişlik. Genişliği yaparız snra değil mi? Evet. 4.3. Matematiksel Mdelleme Sürecindeki Değerlendirme Yapıları Matematiksel mdelleme sürecinde grubun rtaya kyduğu değerlendirme yapıları beş temel kategri altında şekillenmiştir (bkz. Tabl 3). Tabl 3. Matematiksel mdelleme sürecindeki değerlendirme yapıları Kategriler Yanıt Aranan Temel Srular 3a-Farklı düşünceleri Sergilenen farklı düşüncelerin çözüme etkisi nasıl?, Hangi düşünce değerlendirme. çözümde kullanılır?, Farklı düşüncelerin çözüme etkisi nasıl lur? 3b-Planı ve snuçları srgulama. 3c-Düşüncelere ilişkin kişisel ya da grupsal tatmin sağlama. Uygulanan veya süreçte revize edilmiş planın etkileri nasıldır?, Plan istenen snuçlara ulaşmada yeterli midir?, Ekstra hangi snuçlara ulaşılabilir? Çözümde rtaya çıkan düşüncelerin, planın ve ulaşılan snuçların dğruluğuna ve uygulanabilirliğine ilişkin kararlar nelerdir? Bunlar kendi aralarında tutarlı mıdır? 3d- Farklı şekillerde ulaşılan snuçları karşılaştırma. 3e- İşlem hatalarını tarama. Farklı şekillerde ulaşılan snuçlar birbirleriyle uyuşuyr mu?, Uyuşmama sebepleri nelerdir? Ulaşılan snuçlarda herhangi bir işlem hatası var mı?, Çözümün her basamağında yapılan işlemler kntrl ediliyr mu? Öğrenciler çözüm sürecinde sürekli larak planları dğrultusunda yaptıklarını ve yaptıklarının etkilerini srgulayarak hareket etmişlerdir. Bir başka deyimle, temel büyük düşünceyi luşturan ve bunu uygulayan öğrenciler planlarının ve çıktılarının çözüme etkisini incelemişlerdir. Öğrenciler farklı düşünceleri değerlendirerek ve bu düşüncelere ilişkin kişisel ve grupsal tatmini sağlayarak çözümü iyileştirme çabası içerisinde lmuşlardır. Çözüme farklı yllardan ulaşma ve ulaştıkları snuçları karşılaştırma yluna gitmişlerdir. Örneğin, grup köprünün genişliğini GeGebra yardımıyla 88,6 metre larak bulmuştur. Fakat gerçek yaşam açısından çözümden tatmin lmamaları nedeniyle farklı stratejileri dikkate almışlardır. Buldukları iki farklı gerçek yaşam çözümü arasından ise tatmin edici kabul ettikleri snucu kullanmışlardır.
Ç. N. Hıdırğlu, E. Bukva Güzel 193 Şimdi 2,6 da 350 ise, 2 de kaçtır? Hah. 88,6 Evet. Evet. Yani bu da gerçekte köprünün genişliğiymiş. Tamam. Dğru çıktı herhalde. Bitti diye düşünüyrum. Bence mantıklı bir snuç. Vardır kadar. Nrmal. Diğer resme bir daha baksak ya. Burada alt kısımları tam yl hizasında ldu mu acaba? Bununla birlikte grup üyeleri düzeni bzan durumlarda işlem hatalarının labileceğini düşünmüş ve işlemlerini tekrar kntrl etmişlerdir. Grup ilk larak köprünün genişliğini 88,6 metre larak bulmuştur. Fakat çözümde bir srun lduğunu düşünerek srun lduğunu düşündüğü kısmı ve e göstermiştir. Devamında hep birlikte planda srun lduğu düşüncesine ulaşmışlar ve çözümde değişikliğe gitmişlerdir. Bu dğrultuda, nktalar tekrar belirlenmiş ve böylece yeni çözüm 72,9 metre larak düzeltilmiştir. Grubun bu değişikliği işlemsel bir hatadan kaynaklanmamıştır. Fakat çözüm sürecinde grubun önceki çözümüne ilişkin tatminsizliği nların işlemlerini kntrl etme ihtiyacını rtaya çıkarmıştır. Biraz daha mı yukarı çeksek nları ne dersiniz? (Köprünün yl hizasında kalan hizasını ayarlamaya çalışıyrlar). Yani kabaca denk getirmeye çalıştık tam turmasa da. A nktası biraz daha mı yukarıda lmalıydı? Biraz da resmin yamukluğundan kaynaklanıyr. B ye sıfır kyduğumuzda aslında B nin biraz daha yukarıda kalması mantıklı geliyr. O zaman biz de A yı radan işaretleyelim snuçta. Gene bir şey değişmez ki gene iki nkta arasındaki uzaklık. Zaten kesişimi y eksenini verecek. A yı yukarı mı alayım ne diyrsunuz? Evet, biraz yukarı alalım. Tamam rası.
194 Teknlji Destekli Ortamda Matematiksel Mdellemede Ortaya Çıkan Üst Bilişsel Yapılar Sanki böyle daha iyi ldu Evet Peki B yi ne yapacağız? İyi mi nun yeri? İyi de aslında tam da denk geliyr B nktası. Biraz önü gibi sanki. Onu da biraz yukarıda alalım. Tamam. Aslında biraz açıdan kaynaklanıyr. Tam turtamadık. 72.9 ldu. Şimdi bu kadar ldu bakın. 72.9 muş. Değerlendirme eylemleri süreçte genel larak planlama ve izlemeyi takip eden eylemlerin arkasından ve iç içe geçmiş bir şekilde meydana gelmiştir. Bununla birlikte, üst bilişsel değerlendirme eylemleri sürecin başlarında da rtaya çıkmıştır. Çözüm sürecinin başlarında verilerin yeterli lduğuna ilişkin karara varma davranışı değerlendirme eylemlerinden biridir. Ayrıca, ve sürekli larak süreç içerisinde prblem durumunu kuduktan snra prblemi tam larak anlamadıklarını fark ederek metni tekrar kumuşlardır. Bu durumu açıklayan gözlem ntu şöyledir: ( ve videları incelerken bu sırada prblem ifadesini fısıldayarak tekrar kudu çözümde köprünün genişliğine ilişkin verilerin eksik labileceğini belirtti. çözümü kendi tahminleriyle luşturmaları gerektiğinden ve bu şekilde çözüme ulaşabileceklerinden bahsetti. Gözlem ntu: Köprü Prblemi) 4.4. Matematiksel Mdelleme Sürecindeki Tahmin Yapıları Matematiksel mdelleme sürecinde grubun rtaya kyduğu tahmin yapıları beş temel kategri altında şekillenmiştir (bkz. Tabl 4).
Tahmin Yapıları Ç. N. Hıdırğlu, E. Bukva Güzel 195 Tabl 4. Matematiksel mdelleme sürecindeki tahmin yapıları Kategriler Yanıt Aranan Temel Srular 4a-Temel büyük düşüncenin Temel büyük düşüncenin uygulanmasında yaşanabilecek lay veya ilerleyişine ve stratejik srunlara ilişkin tahminler nelerdir?, Stratejik etkenler plana bağlı etkenlere yönelik tahminlerde kalınarak nasıl bulunur ve yaklaşık larak ne bulmak beklenir? bulunma. 4b- Farklı snuçları uzlaştırmak için tahmin yapma. 4c- Kararların etkilerini önceden tahmin etme. 4d- Ulaşılamayan stratejik etkenler için tahminlerden yararlanma. 4e- Farklı durumlardaki snuçlara veya aynı durumdaki farklı düşüncelere ilişkin tahminlerde bulunma. Terik larak elde edilen snuçlar ve düşünceler tahminlerle uyuşuyr mu?, Bu farklılık neyden ya da nereden kaynaklanıyr?, Tahminler terik snuçları srgulamada ne kadar etkilidir? Süreçte alınan kararların lası etkilerine ilişkin ön tahminler nelerdir?, Zamanı geldiğinde planı değiştirmek için tahminlere bağlı ek kararlar alınmalı mıdır? Planda önemli bir yeri lan etkenlere ilişkin yeterli bilgi mevcut mudur?, Değil ise bu etkenler nasıl kullanılabilir?, Çözüm sürecinde etkenlerin bazı değerlerini kullanmak için tahminlerden yararlanılır mı? Plana bağlı larak elde edilen snuçlar farklı durumlarda değişiyr mu?, Aynı duruma ilişkin farklı düşünceler snuçları etkiler mi?, Bu düşüncelere ilişkin tahminlerde bulunarak bir karara varılabilir mi? Tahmin eylemleri öğrencilerin planlama, izleme ve değerlendirme eylemleri arasındaki düzeni sağlamak için önemli bir rl ynamıştır. Çünkü grup üyeleri planlama, izleme ve değerlendirme eylemlerinde bulunurken tahmin eylemlerinden dğrudan veya dlaylı larak yararlanmışlardır. Özellikle matematiksel mdelleme prbleminin yapısının tahmine uygun bir rtam sağlaması, öğrencilerin çözüm sürecinde araba genişliğini, raylar arası genişliği ve şerit genişliğini tahmin etme gibi çeşitli eylemler sergilemelerine lanak sağlamıştır. Bu durumu açıklayan gözlem ntu şöyledir: ( şeritlerin tüm yllarda standart lacağını ve bu nedenle köprünün genişliğini bulmak için şeritleri kullanabileceklerini söyledi. Bu şekilde yaklaşık larak bir snuca ulaşabileceklerini ifade etti şeritlerin yanında trenler arası mesafe ve rayların genişliğini de tahmin edebileceklerini söyledi., i destekleyerek tahmin yaparken kenarlardaki bşlukları da dikkate almaları gerektiğini vurguladı. Gözlem ntu: Köprü Prblemi) Öğrenciler çözümde alacakları resimlerin veya vide kesitlerinin hangisinin çözümde daha etkili lacağı knusunda bazı ön tahminlerde bulunmuşlardır. Bu dğrultuda, çözümde ftğrafın çekim açısını dikkate almaları gerektiğini ve buna dikkat etmezlerse snuca tam larak ulaşamayacaklarını ifade etmiştir. İleriye yönelik yaptığı bu tahmin grubun temel büyük düşüncesini tasarlamasında etkili lmuştur. Evet, alsak öyle lurdu. Evet. (Videyu çalıştırırken farklı bir yerde durduruyr) Mesela burada burayla (köprünün yüksekliği) ve burayı (köprünün genişliği) ranlayabiliriz. Burada nkta larak burayı (sl ayak ve yl hizası kesişimi) da alabiliriz burayı (sağ ayak ve yl hizası kesişimi) da alabiliriz. Ama resimde perspektifi iyi almamız lazım. Bu bizim snucumuzu etkileyebilir.
196 Teknlji Destekli Ortamda Matematiksel Mdellemede Ortaya Çıkan Üst Bilişsel Yapılar Evet. Yakınlaşalım mı biraz daha resme? Al bakalım videyu biraz ileri. Belki bir şeyler vardır (daha iyi bir şeyler labileceğini kastediyr). Bunlar biraz kötü lacak sanki. Daha iyisini seçebiliriz. Öğrenciler süreçte temel büyük düşüncelerinin ilerleyişlerine ve stratejik etkenlere yönelik tahminlerde bulunmuşlardır. Öncelikle vide kesitiyle çözümlerine devam etmek isteyen grup üyeleri sürecin bir kısmında ölçeklendirmede, matematiksel mdelleri luşturmada ve gerçek yaşam çözümüne ulaşmada sıkıntı yaşamışlardır. Bu dğrultuda, temel büyük düşünceyi tasarlarken kullandıkları vide kesitinin ölçeğinin lmamasının sürecin ilerisinde çözüme ulaşmada sıkıntılara yl açtığını fark etmiş ve farklı resimlerin çözümdeki etkisine ilişkin bazı sezgisel tahminlerde bulunmuştur. çözümün ileriki aşamasında gerçek yaşam çözümüne ulaşmada sıkıntı yaşayınca ölçekli larak verilmiş resmi belli bir açıdan çekilmiş dahi lsa kullanmalarının daha iyi labileceği tahmininde bulunmuştur. Buradan yaklaşık bir snuca aslında varabiliriz. Bir de geliş-gidiş raylı sistemi var. Burada da aslında bütün ölçüler standart lduğu için bulabiliriz. Burası da dahil midir ( köprünün kenarlarındaki bşlukları kastediyr.)? Biz şu an ne yaptık? GeGebra üzerinden sadece şeyi bulduk uzunluğu. Burada şey yk değil mi ölçek (Tekrardan uzunluk lan GeGebra dsyasını açtılar.)? Yk. Aslında bir resim vardı kenarında ölçek lan. Hah işte şunu (İkinci resmi kastediyr.) kullanabilirdik. Belki de daha iyi lacaktı (İkinci resmi açıyr ve arkadaşlarına gösteriyr.). Grup in bu düşüncesini hemen naylamıştır. Fakat videlarda köprünün ayağının yüksekliğinin verildiğini (350 metre) ifade etmiş ve buradan hareketle de vide kesitinin ölçeğini bulabileceklerini vurgulamıştır. ve, in yaklaşımının mantıklı lduğunu düşünmüşlerdir. Tekrar çözümde başa dönüp süreci uzatmak istemedikleri için de in düşüncesini dikkate alarak GeGebra yardımıyla ve köprünün 350 metre lduğu gerçek yaşam bilgisiyle vide kesitinin ölçeğini hesaplamışlar ve gerçek yaşam çözümüne ulaşmışlardır. Buradan yaklaşık bir snuca aslında varabiliriz. Bir de geliş-gidiş raylı sistemi var. Burada da aslında bütün ölçüler standart lduğu için bulabiliriz. Burası da dahil midir ( köprünün kenarlarındaki bşlukları kastediyr.)? Biz şuan ne yaptık? GeGebra üzerinden sadece şeyi bulduk uzunluğu. Burada şey yk değil mi ölçek (Tekrardan uzunluğu veren lan GeGebra dsyasını açtılar.)?
Ç. N. Hıdırğlu, E. Bukva Güzel 197 Yk. Aslında bir resim vardı kenarında ölçek lan. Hah işte şunu (İkinci resmi kastediyr.) kullanabilirdik. Belki de daha iyi lacaktı (ikinci resmi açıyr ve arkadaşlarına gösteriyr). Ayakların yüksekliği 300 metre diyrdu nu kullanalım bence. 300 metre mi? Evet, gerçi pardn ya 350 metreydi videda öyle diyrdu ya? Yukarıda da görüldüğü gibi matematiksel mdelleme sürecinde rtaya çıkan üst biliş kavramları; üst bilişsel eylemler, üst bilişsel yapılar ve üst bilişsel eylem grupları lmuştur. Üst bilişsel eylemler, üst bilişsel düşüncelerle rtaya çıkan temel davranışları temsil etmiştir. Üst bilişsel yapılar, üst bilişsel eylemlerin birlikte bir bütün larak meydana getirdikleri zihinsel yapılar lmuştur. Üst bilişsel eylem grupları ise, üst bilişsel düşüncelerde rtaya çıkan temel davranışları şekillendiren yardımcı eylemlerin luşturduğu zihinsel yapılar larak karşımıza çıkmıştır. Eylem grupları mdelleme sürecinde üst bilişsel eylemlerin genel özelliklerini açıklamada araştırmacılara yl gösterirken üst bilişsel eylemlerin nasıl rtaya çıktığı ve nasıl snlandırıldığı hakkında da bilgi vermiştir (bkz Şekil 3). Üst Bilişsel Eylem: Köprünün uzunluğunu bulurken en iyi vide kesitini veya ftğrafı GeGebra ya ekleyerek çözümde ilerlemeyi düşünme. (Üst bilişsel Planlama Eylemi) Üst Bilişsel Eylem Grubu: 1- En iyi ftğrafı veya vide kesitini seçmeyi düşünme 2- GeGebra ile prblemi ilişkilendirmeyi düşünme 3- Seçilecek ftğraf veya vide kesitini GeGebra ya eklemeyi düşünme Şekil 3. Üst Bilişsel Eylem ve Eylem Gruplarının Yapısı Araştırmada planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin byutlarındaki üst bilişsel eylemler birçk farklı yapıda eylem grubunun iç içe geçtiği zihinsel luşumlar larak rtaya çıkmışlardır. Örneğin, mdelleme sürecinde herhangi bir üst bilişsel planlama eyleminin kendi içerisinde birçk eylem grubundan meydana geldiği görülmüştür. Üst bilişsel planlama eylemleri temelinde planlama amacı gütmüşlerdir; fakat söz knusu üst bilişsel planlama eyleminin gerçekleşmesi için gerekli lan eylem grupları temel amaca bağlı lsalar da farklı öznel amaçlardan dlayı da rtaya çıkmışlardır. Örneğin, öğrenciler köprünün uzunluğunu bulurken en iyi vide kesitini veya ftğrafı GeGebra ya ekleyerek çözümde ilerlemeyi düşünmüşlerdir. Grubun bu davranışı üst bilişsel bir eylemdir. Öğrenciler burada planlama yapmak amacıyla çklu düşüncelerini birleştirmeye çalışmışlar ve bu düşüncelerini diğer düşüncelerinden ayırarak çözümde kullanmak istemişlerdir. Bir başka deyişle nların çklu düşünme yapılarını birleştirme/ayrıştırma davranışı rtaya
198 Teknlji Destekli Ortamda Matematiksel Mdellemede Ortaya Çıkan Üst Bilişsel Yapılar çıkmıştır. Bu durum üst bilişsel yapıya bir örnek teşkil etmiştir. Öğrenciler söz knusu üst bilişsel eylemi gerçekleştirirlerken en iyi ftğrafı veya vide kesitini seçme eylemini, GeGebra ile prblemi ilişkilendirme eylemini ve seçilecek ftğraf veya vide kesitini GeGebra ya ekleme eylemini gerçekleştirmeyi düşünmüşlerdir. Öğrencilerin köprünün uzunluğunu bulurken en iyi vide kesitini veya ftğrafı GeGebra ya ekleyerek çözümde ilerlemeyi düşünmelerinde yukarıda sözü edilen üç yardımcı üst bilişsel davranışın etkisi lmuştur. Bu yardımcı üst bilişsel eylemlerin luşturduğu zihinsel yapılar ise üst bilişsel eylem grupları larak karşımıza çıkmıştır. 5. Tartışma, Snuç ve Öneriler Eğitim sisteminin temel amaçlarından biri, gerçek yaşam prblemlerini çözebilen, düşüncelerini düzenleyebilen ve farklı durumlarda kullanabilen insanlar yetiştirmektir. Bu amaç özelde ise bilişsel ve üst bilişsel eylemleri destekleyen zengin öğrenme rtamlarının tasarlanmasını gerektirmektedir. Bu çalışma günümüz şartlarında öğretimde kullanılabilecek araçların ve yöntemlerin nasıl etkili rganize edilebileceğine ve hangi becerilerin geliştirilebileceğine yönelik lup teknlji destekli matematiksel mdelleme sürecindeki üst bilişsel yapıların açıklandığı alandaki önemli çalışmalardan biri larak görülebilir. Çalışmada Magiera ve Zawjevski ye (2011) paralel larak öğrencilerin mdelleme sürecindeki üst bilişsel eylemleri, bireysel düşünceleri/deneyimleri ve grubun düşünceleri ya da deneyimleri lmak üzere iki kaynaktan beslenmiştir. Magiera ve Zawjevski (2011) üst bilişsel eylemlere ilişkin iki temel byut (bireysel ve grupsal) altında altı farklı kategriler rtaya kymuş, fakat bunların üst bilişin planlama, izleme, değerlendirme ve tahmin byutlarından hangisine ait lduğuna ilişkin bir sınıflandırmaya gitmemiştir. Çalışmamızda farklı larak bu üst bilişsel eylemler dikkate alınarak süreçteki üst bilişsel yapılar dört byut bağlamında açıklanmıştır. Matematiksel mdelleme sürecindeki üst bilişsel eylemler üst bilişsel eylem grupları ile şekillenmiştir. Mdelleme sürecinin karmaşık yapısının ve alanda çalışmanın zrluğunun iki nedeninin bilişsel ve üst bilişsel eylemlerin iç içe karmaşık bir süreci luşturması ve üst bilişsel eylemlerin üst bilişsel eylem gruplarından meydana gelmesi lduğu söylenebilir. Bu durum, mdelleme sürecindeki yaklaşımlara ilişkin farklı araştırmacıların görüşlerine de ihtiyaç duyulmasına neden lmaktadır. Desete, Reyers ve Buysse un (2001) ifade ettiği gibi çalışmamızda da, genel larak planlama eylemleri harekete geçilmek üzere tasarlanacak zihinsel eylemlerin öncesinde izleme eylemleri, zihinsel eylemlerin uygulama esnasında, değerlendirme eylemleri zihinsel eylemlerin snunda, tahmin eylemleri ise söz knusu zihinsel eylemlerin öncesinde uygulanması anında ve snrasında rtaya çıkmıştır. Bununla birlikte, planlama eylemleri mdelleme sürecinin başlarında lduğu gibi sürecin rtalarında ve snlarında da, değerlendirme eylemleri de mdelleme sürecinin snlarında lduğu gibi sürecin rtalarında ve başlarında da rtaya çıkmıştır.