4 th International Advanced Technologies Symposium September 8 3, 5 Konya / Türkiye DÜZ DİŞLİ HIZ KUTUSUNUN GENETİK ALGORİTMA İLE ENİYİLENMESİ Metin ZEYVELİ Cevdet GÖLOĞLU Kürşad DÜNDAR ) Gazi Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi 65 Beşevler/Ankara TR mzeyveli@gazi.edu.tr ) Zonguldak Karaelmas Üniversitesi Karabük Teknik Eğitim Fakültesi 785 Karabük TR cgologlu@hotmail.com ÖZET Mühendislik tasarımlarının eniyilenmesinde kullanılan hedef fonksiyonların doğrusal olmaması ve birden fazla değişkenleri içermesi, tasarımın yapılmasında güçlükler oluşturmaktadır. Hız kutularındaki dişli çark tasarımı da doğrusal olmayan tasarım işlemi olduğundan, ilgili değişkenlerin çok hedefli ve sınır şartlarına bağlı olarak çözümlerinin yapılmalarını güçleştirmektedir. Mekanik tasarım problemi olan dişli çarkların tasarımı, kullanım yerlerine göre farklı tasarımlar gerektirebilmektedir. Dişli tasarımında dikkate alınacak tasarım hedeflerinden biri de minimum malzeme hacmine göre yapılan tasarımdır. Bu çalışmada Genetik Algoritma (GA) kullanılarak, tek kademeli düz dişli hız kutusu için minimum malzeme hacmi koşuluna göre tasarım gerçekleştirilmektedir. İlgili hedef fonksiyonunda kullanılan değişkenler; modül, diş sayısı, diş genişliği, mil çapları, olarak belirlenmiş ve değişkenler GA da kromozomlar olarak kodlanmıştır. Eğilme, aşınma ve burulma mukavemetleri sınırlama fonksiyonları olarak sisteme eklenmiş ve hazırlanan program belirlenen genetik operatörlere uygun olarak çalıştırılmıştır. Değişik genetik operatör değerleri ile sistem denenmiştir. Minimum malzeme koşulu için GA performans eğrileri oluşturulmuştur. Tek kademeli düz dişli hız kutusunun, minimum malzeme koşulu için en uygun çözümler bulunmuştur. GA nın doğrusal olmayan değişkenlere bağlı problemlerin çözümünde etkili bir şekilde kullanılabileceği anlaşılmıştır. GA ile geleneksel analitik yöntemlerle yapılan dişli tasarımları karşılaştırılmış, GA nın verdiği sonuçların analitik yöntemler tarafından elde edilen sonuçlarla uygun ve bazı değerler bakımından da üstün olduğu görülmüştür. Anahtar Kelimeler: Genetik Algoritma, Mekanik Tasarım, Dişli Çark Tasarımı. GİRİŞ Dişliler, mekanik sistemlerde ve daha çok makinelerde kullanılan temel makine parçalarıdır. Mekanik sistemlerin ve makinelerin performanslarının geliştirilmesinde en önemli konu dişli sistem tasarımlarının eniyilenmesidir (optimizasyonudur). Dişli tasarımının geleneksel yöntemlerle çözümü karmaşık ve bir o kadar da güç bir işlemdir. Dişli sistem tasarımının başarısı tasarım işlemini gerçekleştiren kişinin bilgi, beceri ve deneyimine bağlı olup bu etkenler tasarım işlemini doğrudan etkilemektedir. Geleneksel eniyilenim yöntemlerinde birçok güçlükler görülmektedir. Bazı değişkenlerin değişimi süreklilik oluştururken, diğer değişkenlerin değişimi ise ayrık (farklı) değerler ile gerçekleşmektedir. Bu ise problemin belirli bir amaca yönelik olarak tanımlanması, modellenmesi ve çözümünün elde edilmesini zorlaştırmaktadır. Ayrıca bu yöntemler eniyi değerleri bulurken belirli bir noktada takılıp, genel eniyiden ziyade yerel eniyiye ulaşmaktadır Günümüz teknolojik şartlarında, bilgisayarların kullanımı ile dişli tasarımı için hazırlanmış birçok bilgisayar programı bulunmaktadır. Bunların bir kısmı kullanıcı ara yüzlü ve bilgi tabanlı sistemlerdir [-4]. Dişli tasarımı çalışmaları sadece bununla kalmamış tasarım işleminin belirli bir amaca yönelik olarak düzenlenmesi yani belirli bir amaç için tasarlanması ve eniyilenmesi şeklinde farklı çalışmalara da literatürde rastlanmaktadır [5,6]. Literatürde dişli tasarım çalışmaları, minimum modül, minimum ağırlık, minimum kutu hacmi şeklinde farklı amaçlar için yine çok amaçlı eniyileme yöntemleri, random search, direct search, simplex, variable matrix, flexible tolerance metod ve GA nın kullanıldığı çalışmalara rastlanılmıştır [7-4]. Bu çalışmada amaç, geleneksel yöntemler ile çözümü güç olan çok amaçlı tasarım ve eniyilenim problemlerinden biri olan dişli çarkların GA ile modellenmesi ve çözümüdür. Alan araştırması yapılmış ve üzerinde fazla yoğunlaşılmamış olan, dişli çarkların malzeme hacmine göre tasarım ve eniyilenimi çalışmanın temelini oluşturmuştur. Tek kademeli düz dişli çark mekanizması, minimum malzeme hacmine göre modellenmiş ve GA ile çözümü için de dişli çarkı oluşturan değişkenlerin kodlanması işlemi gerçekleştirilmiştir. GENETİK ALGORİTMA Yapay zeka tekniklerinden bir tanesi olan Genetik Algoritma lar biyolojik sistemlerin gelişim sürecini taklit eden bir stokastik arama yöntemidir [5]. Genetik algoritmalar sürekli iyileşen çözümler üretir. Bunun için iyi nin ne olduğunu belirleyen bir uygunluk (fitness) fonksiyonu ve yeni çözümler üretmek için çaprazlama (crossover), değiştirme (mutation), gibi operatörleri kullanır (Şekil ). Genetik algoritmaların bir diğer önemli özelliği de bir grup çözümle uğraşmasıdır. Bu sayede çok sayıda çözümün içinden iyileri seçilip kötüleri elenebilir [6]. Genetik algoritmaları diğer algoritmalardan ayıran en önemli özelliklerden biri de seçmedir. Genetik algoritmalarda çözümün uygunluğu onun seçilme şansını arttırır ancak bunu garanti etmez. Seçim de ilk grubun oluşturulması gibi rasgeledir ancak bu rasgele seçimde seçilme olasılıklarını çözümlerin uygunluğu belirler.
Dişli çarklarda diş yüzeylerinde meydana gelen Hertz temas gerilmesi (yüzey basıncı) ise aşağıda verilen eşitlik ile elde edilir; H = CP Ft KvKoKm bdi σ (4) Burada; σ H diş yüzeyinde oluşan hertz yüzey basıncı, CP malzemenin elastikiyet katsayısı, d pinyon veya çarkın çapı, I geometri faktörünü ifade etmektedir. Diş yüzeyinin emniyetli yüzey basıncı gerilmesi ise; S = S C C (5) H fe li r şeklinde elde edilir. Burada; S H diş yüzeyinin 7 taşıyabileceği emniyetli yüzey basıncı, S fe devirde malzemenin %99 güvenilirlikteki yüzey basıncı dayanımı referans değeri, C li yüzey yorulması ömür faktörü, C r güvenilirlik uyum faktörünü ifade etmektedir. Dişli çark dişlerinin yüzey basıncına göre emniyeti olması için Eşitlik 4, 5 ve 6 sağlanmalıdır. C P Ft KvKi K bdi m S C C (6) fe li r Şekil. Genetik Algoritmanın yapısı PROBLEMİN MODELLENMESİ Dişli Tasarımının Analitik Çözümü Düz dişli çarkların modellenmesi, mukavemet hesaplamalarında kullanılan genel formüllerden yararlanılarak yapılmıştır. Modellemede AGMA, standartlarında kullanılan bağıntı ve notasyonlar dikkate alınıştır [7]. Dişli tasarımında mukavemet açısından en kritik dişli pinyon dişlisi olduğundan tasarım işlemi pinyona göre yapılmıştır. Düz dişlilerde dişe etki eden F n kuvveti sonucunda dişte meydana gelen eğilme gerilmesi Eşitlik de verilmiştir. σ FtP e = KvKiKm bj () Burada; Ft teğetsel kuvveti, P adımı, Kv hız faktörünü, Ki işletme faktörünü, Km yük dağılım faktörünü, b diş genişliğini, j Lewis form faktörünü temsil etmektedir. Dişli çark dişinin taşıyabileceği emniyetli gerilme ise; Sn = S C k k () n s r ms eşitliği ile elde edilir. Burada, Sn çark dişinin emniyetli dayanım limiti, S n malzemenin dayanım limiti, Cs yüzey faktörü, kr güvenilirlik faktörü, kms ortalama gerilme faktörünü ifade etmektedir. Eşitlik ve Eşitlik ye bağlı olarak bir dişin diş dibindeki kırılma açısından emniyetli olarak kuvvet taşıyabilmesi için Eşitlik 3 ü sağlamalıdır. FtP KvKiKm S n Cs kr kms (3) bj Amaç Fonksiyonunun Oluşturulması Dişli tasarımının temeli, dişlinin bir tek dişinin mukavemet açısından kırılması ve diş yüzeyinin aşınmasıdır. Bu nedenle dişli tasarımları yapılırken temel olarak bu sınırlamalar dikkate alınarak belirli bir amaç için tasarım yapılır. Bu çalışmada dişlinin minimum malzeme hacmi amaç fonksiyonunu, eğilme, aşınma, mil burulması ve yüzey genişliği sınırlamaları dikkate alınarak modellenmiş ve çözümü yapılmıştır. Bir dişli tasarımında dişlinin malzeme hacmi dişliyi meydana getiren pinyon dişlisi ve dişli çarkın (karşılık çarkı) hacimlerinin toplamından meydana gelir. Tek kademeli bir düz dişli çark mekanizmasının minimum malzeme amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde yazılır. F F F F + F min. = + + 3 4 (7) Burada; F min. dişli mekanizmasının minimum malzeme hacmi amaç fonksiyonu, F ve F sırasıyla. dişlinin (pinyon) minimum malzeme hacmi amaç fonksiyonu ve. dişlinin (çark) minimum malzeme amaç fonksiyonu, F3 ve F4 yine sırasıyla pinyon dişlisi ve çark dişlisi milinin minimum malzeme hacmi amaç fonksiyonlarının ifade etmektedir. Buna göre; F dp = π b 4 (8) ve dg F = π b (9) 4
şeklinde ifade edilir. Burada; dp pinyonun taksimat (yuvarlanma) çapını, b dişlilerin diş genişliklerini ifade etmektedir. Dişli mekanizmasında kullanılan millerin amaç fonksiyonları ise Eşitlik ve de verilmiştir. Burada d m pinyon dişlisinin mil çapını, dm çark dişlisinin mil çapını, lm ise kullanılan millerin boyunu ifade etmektedir. π dm F = 3 l 4 m π dm F = 4 l 4 m () () Yukarda anlatılan amaç fonksiyonları ile dişli mekanizmasının global amaç fonksiyonunu tekrar yazarsak ve F ve F amaç fonksiyonlarında ise pinyon ve dişlinin taksimat çaplarını, modül (m) ve diş sayısı (z) cinsinden ifade edersek aşağıdaki eşitlik elde edilir. π ( m z ) + ( m z ) ) b + ( d + d ) l π Fmin. = m m m 4 4 () Problemin GA ile Kodlaması ve Sınırlama Fonksiyonları GA ile tek kademeli düz dişli hız kutusu tasarımı için minimum malzeme hacmi amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde kodlanmış ve çözülmüştür. F min = ( m, Z, b, d m, dm, ) (3) Burada; Fmin minimum malzeme amaç fonksiyonunu, m modülü, Z pinyon dişlisi diş sayısını, b dişlilerin genişliğini, d m ve d m dişlilerin takıldığı mil çaplarını ifade etmektedir. GA kodlama işleminde ikilik sayı sistemi kullanılmış ve bit uzunluğunda kromozom yapısı oluşturulmuştur. Tek kademeli bir düz dişli çark mekanizmasının GA ile çözümü için kullanılan değişkenlerin bit uzunlukları ve kodlanması aşağıda verilmiştir. Tablo I. Değişkenlerin GA ile Kodlanması m z b dm dm 5 bit 4 bit 3 bit 5 bit 5 bit Kodlama işleminde değişkenlerin alabileceği değerler önceden belirlenmiş ve bu değerlere bağlı olarak kodlama yapılmıştır. Buna göre; m, modül değeri ila 5 modül aralığında farklı (discrete); z, pinyon diş sayısı 7 ila 5 diş aralığında; b, 8 ila 3 aralığında; dm, mil çapı 5 ila 35 ve dm, mil çapı ila 4 aralığında kabul edilmiş ve bu değerler ikilik sistemde kodlanıp kromozom yapısı oluşturulmuştur. Amaç fonksiyonunun eniyileniminde kullanılan sınırlama fonksiyonları ise şunlardır; g( x) = ( kb/ m ) ( b * J)*( m * z)* 35.5348*.5 g ( x) = k s *( m * z ) + ( m * z ) * b * ( m * z ) *( m * z ) 3 (4) (5) g ( x ) = ( k ( ) ) (6) 3 t ds 4 ( x ) = ( k * m * z ) 3 ( ds ) * m * z (7) 5( x ) = ((8* m ) b ) (8) 6( x ) = ( b ( 3* m )) (9) g t g g Burada, g (x) eğilme dayanımı, g (x) aşınma dayanımı, g 3 (x) Pinyon mili burulma dayanımı, g 4 (x) çark mili burulma dayanımı sınırlama fonksiyonlarını ve g 5 (x), g 6 (x) ise yüzey genişliği alt ve üst limitleri sınırlama fonksiyonlarını belirtmektedir. kb eğilme dayanımı, ks aşınma dayanımı, kt burulma dayanımı sınırlama fonksiyonlarındaki sabit sayı ve katsayıları ifade etmektedir. ÖRNEK UYGULAMA GA ile tek kademeli hız kutusu tasarımı için literatürden alınan ve Tablo II ve Tablo III de [7] verilen dişli tasarım parametreleri kullanılmış ve bu değerlere göre analitik ve GA ile çözüm yapılmıştır. Elde edilen çözümler karşılaştırılmıştır. Mekanizmayı oluşturan elemanlar, pinyon, çark ve millerden meydana gelmektedir. Verilen değişken aralık değerlerinde ve mukavemet esaslarına göre önce analitik olarak çözülmüştür. Çözüm işleminde dişli çarklar flanşsız, dolu alın çarkları olarak dikkate alınmıştır. Motor gücü 7.5 kw, iletim oranları (i),, 3, 4, 5 olmak üzere, alın dişli çarklarda bir kademedeki maksimum iletim oranı olarak 5 kabul edilmiş ve bu değerlere göre çözümler elde edilmiştir. Tablo II de dişli tasarımında kullanılan sabit dişli tasarım parametreleri verilmiştir. Tablo III de analitik çözüm için farklı iletim oranlarında elde edilen dişli parametreleri görülmektedir. Tablo II. Dişli tasarım parametreleri Tanımlama Sembol Değer Birim Eğilme emniyet fak. k r.84 - Yük dağılım fak. k m.3 - Ortalama gerilme fak. k ms.4 - İşletme faktörü ki. - Hız faktörü k v. Yüzey yorulma day. S fe 335.83 N/mm Yüzey day. ömür fak. Yüzey emniyet fak. Burulma gerilme lim. C li. - C r. - τ max 75.76 N/mm Tablo III. Analitik çözüm parametre ve değişkenleri Güç (kw) Giriş Çıkış İletim Oranı Min. Malzeme Hacmi (cm 3 ) 7.5 4 84 5 7,78 7.5 4 355 4 56,69 7.5 4 473,3 3 3,9 7.5 4 7 83, Şekil de analitik çözümlerden elde edilen veri dağılımları görülmektedir. Grafiklere göre farklı iletim oranlarında, giriş gücü, giriş devri ve diğer dişli tasarım parametreleri sabit kalmak şartıyla çözümler elde edildiğinde, tek kademeli düz dişli mekanizması için
düşük iletim oranında, daha küçük boyutlarda dişli mekanizması elde edildiği görülmektedir. Ayrıca tasarım sürecinde iterasyon sayısı da iletim oranında olduğu gibi daha Min. Malzeme Hacmi (cm 3 ) 6 5 4 3 İletim Oranı - Malzeme Hacmi Değişimi az olmakta yani düşük iletim oranında, daha az işlem ile sonuca ulaşılmaktadır. İletim oranı i=5 İletim oranı i=4 İletim oranı i=3 İletim oranı i= 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 İterasyon Sayısı Şekil. Analitik çözüm, farklı iletim oranlarında, malzeme hacmi değişimi Analitik çözümler elde edildikten sonra tasarım işlemi bu kez yine aynı parametre ve değerler kullanarak GA ile gerçekleştirilmiştir. GA da kromozom yapısında kodlanan dişli parametreleri üretim, çaprazlama, değişim ve seçim mekanizmaları dediğimiz GA işlemcileri yardımıyla, minimum malzeme hacmi amaç fonksiyonunu elde edecek şekilde çalıştırılmıştır. Tablo IV de GA ile elde edilen çözümler görülmektedir. Çaprazlama ve mutasyon parametrelerinin değişimi ile GA farklı çözümlere ulaşmıştır GA ile elde edilen çözümlerin grafikleri ise Şekil 3 de verilmektedir. Tablo IV de verilen minimum malzeme hacimlerinin jenerasyon sayısına bağlı olarak değişimi Şekil 3 de açıkça görülmektedir. GA ile çözüm işleminde popülasyon sayısı 5, jenerasyon sayısı alınmıştır. Bu popülasyon ve jenerasyon işlemi için çaprazlama işlemi.5,.7,.9 değerlerinde ve mutasyon işlemi ise.,.,. değerleri için çalıştırılmıştır. Çözümler sonucunda elde edilen malzeme hacmi değerlerinden, iletim oranı i= için.9 çaprazlama ve. mutasyon değerlerinde en uygun sonuç elde edilmiştir. Sınırlı eniyilenim problemi, amaç fonksiyonunun, statik penaltı fonksiyonu yardımı ile cezalandırılması ile sınırsız Min. Malzeme Hacmi (cm 3 ) 8 7 6 5 4 3 eniyilenim problemine dönüştürülmüş ve GA ile iletim oranları, 3, 4 ve 5,için elde edilen çözümlerin performans eğrileri Şekil 4, 5, 6 ve 7 de görülmektedir. Grafiklerde amaç fonksiyonunun minimum uygunluk (minimum malzeme hacmi) ve ortalama uygunluk değerleri dağılımı izlenmektedir. Grafiklerde minimum uygunluk ve ortalama uygunluk eğrileri başlangıçta farklılık göstermektedir. Ancak jenerasyon sayısı ilerledikçe aynı eğri eğilimlerine yaklaştıkları ve bir noktadan sonra artık değişmedikleri ve aynı değerleri aldıkları izlenmektedir. GA ile elde edilen malzeme hacmi değerlerinin, analitik çözüm ile elde edilen çözümler ile karşılaştırıldığında, bulunan hacimler itibariyle ile uyumlu olduğu görülmektedir. Güç (kw) Tablo IV. GA çözüm parametre ve değişkenleri Giriş Çıkış İletim Oranı Min. Malzeme Hacmi (cm 3 ) 7.5 4 84 5 7,5 7.5 4 355 4 483,5 7.5 4 473,3 3 37,8 7.5 4 7 69,63 İletim oranı i= iletim oranı i=3 İletim oranı i=4 İletim oranı i=5 39 58 77 96 5 34 53 7 9 Jenerasyon Sayısı Şekil 3. GA ile çözümde farklı iletim oranlarında, malzeme hacmi değişimi
,8 İletim Oranı i= için,8 İletim Oranı i=4 için,6,4, Ortalama uygunluk Minimum uygunluk,6,4, Ortalama uygunluk i=4 Minimum uygunluk i=4 39 58 77 96 5 34 53 7 9 39 58 77 96 5 34 53 7 9 Şekil 4. İletim oranı için uygunluk Şekil 6. İletim oranı 4 için uygunluk,8 İletim Oranı i=3 için,8 İletim Oranı i=5 için,6,4, Ortalama uygunluk Minimum uygunluk 39 58 77 96 5 34 53 7 9,6,4, Ortalama uygunluk Minimum uygunluk 39 58 77 96 5 34 53 7 9 Şekil 5. İletim oranı 3 için uygunluk Şekil 7. İletim oranı 5 için uygunluk SONUÇ VE TARTIŞMA Yapılan bu çalışmadaki amaç tek kademeli düz dişli çark mekanizmasının GA ile modellenmesi ve eniyilenmesidir. Çalışma sonucunda elde edilen veriler analitik çözüm ile elde edilen veriler ile karşılaştırılmış ve GA ların geleneksel eniyilenim yöntemlerinden daha iyi sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir. Bu çalışma sonucunda elde edilen verilerden, dişli çark tasarımı gibi çok amaçlı eniyilenim problemlerinde GA nın etkili bir tasarım ve eniyilenim yöntemi olarak kullanılabileceği görülmüştür. KAYNAKLAR [] Su, D., Wakelam, M., Jambunathan, K., Integration Of A Knowledge-Based System, Artificial Neural Networks And Multimedia For Gear Design, Journal Of Materials Processing Technology, vol.7, no. -3, pp. 53-59,. [] Ognjanovic, M., Decisions In Gear Train Transmission Design, Research In Engineering Design vol. 8, no. 3. pp. 78-87, 996. [3] Ohmachi, T., Katsumi I., Kato M., An Expert System For Design Of Power Transmission Gear Units, International Conference On Engineering Design, ICED 93, pp. 486-49, 993. [4] Ramchandran, N., Shah, A., Langrana, N. A., Expert System Approach In Design Of Mechanical Components, Comput Eng 988 Proc. Publ By Asme, New York, Ny, USA. pp. -, 988. [5] Zarefar,H., Lawley, T. J., Computer-Aided Spur Gear Tooth Design: An Application-Driven Approach, Proc 989 Int Power Transm Gearing Conf: New Technol Power Transm 9's. Publ By American Soc Of Mechanical Engineers (Asme), New York, Ny, USA. pp. 7-, 989. [6] Osyczka, A., Computer Aided Optimum Design Of Machine Elements, International Conference On Engineering Design, ICED 93, pp.75-8, 993. [7] Lin, K.C., Johnson, G.E., Hybrid Expert System- Nonlinear Programming Approach To Optimal Gear Design, American Society Of Mechanical Engineers, Design Engineering Division (Publication) De V (Of 3). Publ By American Soc Of Mechanical Engineers (Asme), New York, Ny, USA. pp. 35-43, 989. [8] Marcelin, J.L., Evolutionary Optimization Of Mechanical Structures, Engineering Optimization, vol. 3, pp. 57-588, 999. [9] Li, Q., Zhou, J., Zhong, Y., Complex Genetic Algorithm For Mechanical Dynamic Optimization Design, Chinese J. of Mechanical Engineering, vol. 35, no. 5, pp. 7-3, 999. [] Yokota, T., Taguchi T., Gen M., A Solution Method For Optimal Weight Design Problem Of The Gear Using Genetic Algorithms, Computers And Industrial Engineering, vol. 35, no. 3-4, pp. 53-56, 998. [] Saruhan, H., Uygur, İ., Design Optimization Of Mechanical Systems Using Genetic Algorithms, Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, cilt 7, no, s. 77-84, 3. [] Duan, G., Zha, J., Lin, J., Weng, Q., Use Of Genetic Algorithms In Designing Movements Of Clocks And Watches, Journal Of Software, vol. 9, no. 7, pp. 55-59, 998. [3] Shariat, P.M., Toogood, R.W., Genetic Algorithm Based Approach To Parametric Design Of Machine Components, Intelligent Engineering Systems Through
Artificial Neural Networks, Asme, Fairfield, Nj, Usa, vol. 5, pp. 375-38, 995. [4] Deb, K., A Flexible Optimization Procedure For Mechanical Component Design Based On Genetic Adaptive Search, Journal Of Mechanical Design Transactions Of The Asme, vol., pp 6-64, 998. [5] Chambers L., Practical Handbook of Genetic Algorithms, vol., Crc Press. 995. [6] Goldberg D.E., Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Addison Wesley. 989. [7] Shigley, J. E., Mischke, C. R., Mechanical Engineering Design, 5 th Edition, McGraw-Hill Book Co., Singapore, 989.