DENGELEME HESABI-I DERS NOTLARI Dengeleme Hesabı Adımları, En Küçük Kareler İlkesine Giriş, Korelasyon Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Yrd. Doç. Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 2016
DENGELEME HESABI Ölçüler kaba ve düzenli hatalardan ayıklanmış olsa bile düzensiz hatalar içermektedirler. Düzensiz hataların etkisi dengeleme hesabı sonucu belirlenir. Bu nedenle yalnızca gereği kadar ölçü ile yetinilmez, gereğinden fazla ölçü yapılarak Dengeleme Hesabı ile Kesin Değer ve Duyarlıkları hesaplanır.
DENGELEME HESABININ ADIMLARI 1- Bilinmeyenlerin seçimi 2- Dengeleme hesabı kararı 3- Dengelemenin Matematik (Fonksiyonel ve Stokastik) Modelinin kurulması 4- Gauss un En Küçük Kareler İlkesi ile çözüm
1- BİLİNMEYENLERİN SEÇİMİ Problemin çözümü için öncelikle bilinmeyenlerin seçilmesi ve bilinmeyenlerin sayısının belirlenmesi gerekir. Jeodezide bilinmeyenlere göre ölçü türleri; Dolaysız (Direkt) Ölçüler Dolaylı (Endirekt) Ölçüler
1- BİLİNMEYENLERİN SEÇİMİ Dolaysız (Direkt) ölçüler, bir büyüklüğün doğrudan ölçülmesi ile elde edilen değerlerdir. Örneğin bir uzunluğun ya da bir açının ölçüldüğünde elde edildiği değerler direkt ölçülerdir. Direk ölçülerde ölçülmek istenen büyüklük bilinmeyendir ve bilinmeyen sayısı 1 dir Problem Bilinmeyen Bilinmeyen Sayısı Uzunluk ölçüsü Uzunluk 1 Açı ölçüsü Açı 1 Bir noktanın yüksekliğinin birden fazla belirlenmesi Yükseklik 1 v.d.
1- BİLİNMEYENLERİN SEÇİMİ Dolaylı (Endirekt) ölçüler, aranan bilinmeyenin değil de başka büyüklüklerin ölçülüp, bu değerlerin fonksiyonlarıyla istenen bilinmeyenlerin hesaplandığı durumdur. Problem Ölçü Bilinmeyen Bilinmeyen sayısı Doğrultu Ağı Doğrultu Nokta koordinatları P*Boyut (2 ya da 3) Kenar Ağı Kenar Nokta koordinatları P*Boyut (2 ya da 3) Doğrultu- Doğrultu, kenar Nokta koordinatları P*Boyut (2 ya da 3) Kenar Ağı Nivelman Ağı Yükseklik farkı Nokta yükseklikleri P Trigonometrik Düşey açı, uzunluk Nokta yükseklikleri P Nivelman Ağı GPS Ağı Koordinat farkı Nokta koordinatları P*3 Geometrik Şekil Uzunluk, Açı Şeklin çizilmesi için gerekli en az sayıdaki ölçüler Yeteri kadar ölçü sayısı P: Ağdaki nokta sayısı
2- DENGELEME HESABI KARARI n : ölçü sayısı, u : bilinmeyen sayısı, f = n u fazla ölçü sayısı (serbestlik derecesi) n > u ise dengeleme hesabı yapılır. n = u ise tek anlamlı cebrik çözüm yapılır. n < u ise varsayımlara dayalı çözüm yapılır. ya da f > 0 ise dengeleme hesabı yapılır. f = 0 ise tek anlamlı cebrik çözüm yapılır. f < 0 ise varsayımlara dayalı çözüm yapılır.
3- DENGELEME HESABININ MATEMATİK MODELİ MATEMATİK MODEL FONKSİYONEL MODEL STOKASTİK MODEL Stokastik Model: Ölçülerin duyarlıkları (ortalama hataları ve ağırlıkları) ve aralarındaki korelasyonlar konusunda, dengelemeden önce (öncül, a priori) elde bulunan bilgiler stokastik model (ağırlık matrisi (P)) oluşturulur. Fonksiyonel Model: Ölçülerle bilinmeyenler arasındaki sabit geometrik ve fiziksel ilişkileri gösteren fonksiyonlar fonksiyonel modeli oluşturur. Fonksiyonel model Deterministik Model olarak da adlandırılmaktadır.
3- DENGELEME HESABININ MATEMATİK MODELİ Direkt ölçüler için Fonksiyonel Model: Ölçü + Düzeltmesi = Kesin değer L i + v i = x i= 1, 2,, n (n, ölçü sayısı) Endirekt ölçüler için Fonksiyonel Model: Ölçü + Düzeltmesi = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu L i + v i = F i (x, y, z,, u)
3- DENGELEME HESABININ MATEMATİK MODELİ Ağ Türü Ölçü Bilinmeyen Fonksiyonel Model Kenar Ağı Endirekt Ölçülerde Fonksiyonel Model Örnekleri Nivelman Ağı GPS Ağı i ve j noktaları arasındaki uzunluk (S ij ) i ve j noktaları arasındaki yükseklik farkı ( h ij ) i ve j noktaları arasındaki koordinat farkı ( x ij, y ij, z ij ) i ve j noktalarının koordinatları (x i, y i ); (x j, y j ) i ve j noktalarının yükseklikleri (H i, H j ) i ve j noktalarının koordinatları (X i, Y i, Z i ) (X j, Y j, Z j ) S ij + v ij = (x j x i ) 2 + (y j y i ) 2 h ij + v hij = H j H i x ij + v xij = X j X i y ij + v yij = Y j Y i z ij + v zij = Z j Z i
4- En Küçük Kareler İlkesi Tarihçe 1794 de C. F. Gauss, Almanya da daha henüz 17 yaşında iken En Küçük Kareler (EKK) yönteminin temel ilkelerini yazmış ve ilk kez Gauss un toplu eserlerinin yayınlandığı ciltlerden ikincisinde 1809 yılında yayınlanmıştır. Fransız A. Legendre (1805) ve Amerikalı matematikçi R. Adrain de (1808) yıllarında EKK yöntemini Gauss dan habersiz ve bağımsız olarak keşfetmişlerdir. Gauss 1803-1807 yılları arasında bir jeodezik ağın dengelenmesi için EKK ilkesini kullanan ilk kişidir. Helmert ise 1800 li yılların sonlarına doğru ölçmede EKK nın kullanımına çok ciddi katkılar sağlamıştır.
4- En Küçük Kareler İlkesi Tarihçe 1850 li yıllarda matrisler kullanılmış, 1960 lı yıllarda bilgisayarların kullanımı olmuştur, 1960 lı yıllardan önce ölçmeciler ve öğrenciler logaritmaların sayısal tabloları, trigonometrik fonksiyonlar, mekanik hesap makineleri kullanmışlardır, 1970 li yıllarda ise trigonometrik fonksiyonların da yapılandırıldığı ve küçük oranda hafızaya kayıt yeteneği olan ve hatta programlanabilir elektronik hesap makineleri kullanılmaya başlanmıştır, 1980 li yıllarda bilgisayarlar EKK dengelemeleri için kullanılır hale gelmiştir.
4- En Küçük Kareler İlkesi Tarihçe Artık günümüzde kişisel bilgisayarlardaki hızlı gelişme EKK yöntemlerinin kolay uygulamalarına izin vermektedir. Gelecekde yeni ölçme yöntemleri ve artan miktarda gözlem verisi ile bir çok yeni teknolojiyi beraberinde getirecektir. Böylece, EKK nın anlaşılması yeni teknolojileri içeren ve verileri analiz edebilen mevcut bir yazılımın kullanılabilmesinde daha çok gerekli olacaktır.
4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ Gereğinden fazla sayıdaki ölçüler arasındaki çelişkileri giderebilmek ve ölçülerle bilinmeyenler arasındaki fonksiyonel ilişkileri kesin olarak sağlayabilmek için dengeleme hesabı yapılır. Dengeleme hesabı yapabilmek için: Ölçülerin sayısının gereğinden fazla olması gerekir. Ölçülerin öncül (a priori) duyarlıkları aşağı yukarı kestirilebilmelidir.
4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ Normal Dağılım Olasılık Fonksiyonu f ε = 1 ε 2 2π e 2σ2 0 σ 0 σ 0 : Birim ölçünün kuramsal ortalama hatası e= 2.718281 ε = L μ : Gerçek hata Normal Dağılım Olasılık Fonksiyonu φ v = m 0 1 2π e v 2 2m 0 2 m 0 : Birim ölçünün deneysel ortalama hatası e= 2.718281 v = x - L : Düzeltme
4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ P v 1 = v 1 = P v 2 = v 2 =. m 0 m 0 1 1 2π e 2π e v 1 2 2m 0 2 v 2 2 2m 0 2 Dengeleme hesabının amacı, olasılığı maksimum olan değeri elde etmek olduğundan; P v n = v n = m 0 1 2π e vn 2 2m 0 2 P(D)=Max olması gerekir. Bu olayın olasılığı P(D), olasılık hesabının çarpım kuralına göre; P(D) = P(v 1 ) P(v 2 ) P(v n ) (olasılık çarpımı) P D = v = m 0 1 2π e v 1 2 +v2 2 + +v n 2 2m 0 2 olarak bulunur.
4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ 2 P(D) = max için e v 1 +v2 2 + +v n 2 2m 2 0 P(D) = max için v 1 2 +v 2 2 + +v n 2 = max. olmalı 2m 0 2 = min. olmalı P(D) = max için v 1 2 + v 2 2 + + v n 2 = vv = V T V = min. olmalı Duyarlıkları Eşit Ölçüler için En Küçük Kareler İlkesi Ω = vv = V T V = min. AMAÇ FONKSİYONU
4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ Duyarlıkları farklı ölçülerin dengelenmesi sonucunda duyarlığı ±m i olan bir l i ölçüsüne v i düzeltmesi getirme olasılığı; P v i = v i = m i 1 2π e v i 2 2 m i 2 i=1,2,,n Ağırlık, P i = Sabit m2 = 1 i m2 i ise m 2 i = 1 P i değeri P(v i ) de yerine konursa P(D) = P(v 1 ) P(v 2 ). P(v n ) (olasılık çarpımı) P D = v i = 1 2π n e P 1 v 2 1+ P2 v 2 2+ + P nvn 2 2 m 2 1m 2 m n
4- GAUSS EN KÜÇÜK KARELER İLKESİ P D = v i = 1 2π n e P 1 v 2 1+ P2 v 2 2+ + P nvn 2 2 m 2 1m 2 m n P(D) = max olması için P 1 v 1 2 + P 2 v 2 2 + + P n v n 2 = min. olmalı Duyarlıkları Farklı Ölçüler için En Küçük Kareler İlkesi Ω = Pvv = min. AMAÇ FONKSİYONU Korelasyonlu Ölçüler için En Küçük Kareler İlkesi Ω = V T P V = min. AMAÇ FONKSİYONU
Uygulama 1) İki nokta arasındaki mesafenin ortalama, medyan ve 100.020 değerleri için v 2 düzeltmelerin kareleri değerleri hesaplanmıştır. Ölçü no Ölçü (m) v =Ortalama-Ölçü (mm) v 2 v =100.020-Ölçü (mm) v 2 v =Medyan-Ölçü (mm) 1 100.010 12 144 10 100 11 121 2 100.035-13 169-15 225-14 196 3 100.020 2 4 0 0 1 1 4 100.026-4 16-6 36-5 25 5 100.031-9 81-11 121-10 100 6 100.022 0 0-2 4-1 1 7 100.018 4 16 2 4 3 9 8 100.014 8 64 6 36 7 49 Toplam 800.176 0.00 494-16 526-8 502 v 2 Medyan: Sıralanan sayıların ortasındaki değer Ortalama 100.022 0.00-2 -1 Tabloda görüldüğü üzere v 2 düzeltmelerin kareleri değerleri için en küçük değer 494, mesafe için en uygun değerin ortalamadan (kesin değer) hesaplandığı durumda elde edilmiştir. EKK Yöntemi daha uygundur.
İki nokta arasındaki mesafenin bir çok kestirimi için hesabının sonucunu göstermektedir. v 2 eğrisinin en küçük değeri (1. Derece türevi veya eğimi sıfır) EKK kestirimidir ve bu da ortalama mesafeye (100.022) eşittir. v 2
KORELASYON (Bağlılık, İlişki)
KORELASYON Dengelemenin fonksiyonel modeli ölçülerle bilinmeyenler arasındaki ilişkinin matematik denklemlerle tanımıdır. Stokastik model ise ölçülerin duyarlıklarını, ölçülerin birbirleriyle olan korelasyonlarını gösterir. En küçük kareler yöntemi ile hiçbir zaman gerçek değerlerin elde edilemeyeceğini, ancak gerçek değere çok yakın kesin değerlerin elde edileceğini biliyoruz. Gerçek değere mümkün olduğu kadar yaklaşma, gerek fonksiyonel modelin gerekse stokastik modelin doğru kurulmasına bağlıdır.
KORELASYON Örneğin, yer elipsoidi üstünde ölçülmüş bir ağın dengelemesi söz konusu olduğunda bu ağı küre veya düzlem üzerinde gibi düşünülmesi, ekseslerin dikkate alınmaması ile fonksiyonel modelde bir yaklaşıklık yapılmasına neden olur. Ölçülerin duyarlıklarının veya ölçüler arasındaki korelasyonun dikkate alınmaması stokastik modelde yaklaşıklık yapılmasına neden olur. Örneğin doğrultu yöntemine göre ölçülmüş bir ağın açı yöntemine göre dengeleme arzusunda yine korelasyonun dikkate alınmaması Bir ön dengelemeden çıkacak sonuçların ikinci dengelemeye sokulduğunda birinci dengelemeden çıkan sonuçların birbirleriyle olan korelasyonunun dikkate alınmaması stokastik modelin bütünlüğünü zedeleyici dolayısı ile sonuçların kesin olmamasına etki eden faktördür.
KORELASYON Korelasyon: Ölçüler ya da bilinmeyenler arasındaki ilişkidir. Bir ölçü değiştiğinde diğer ölçülerde değişiklik oluyorsa veya bir bilinmeyen değiştiğinde diğer bilinmeyenlerde değişiyorsa bu ölçüler veya bu bilinmeyenler birbirleriyle korelasyonlu (ilişkilidir). Korelasyon Türleri: Fiziksel korelasyon Cebirsel korelasyon
KORELASYON Fiziksel Korelasyon; Fiziksel çevre koşullarından kaynaklanan dış parametrelerin etkisiyle oluşan korelasyonlara Fiziksel Korelasyon adı verilir. Bir ölçünün gerçek hatası (ε), fiziksel çevre koşullarından kaynaklanan çok sayıda elemanter hatanın toplamı olarak düşünülür. Sınırlı sayıdaki bir ölçü kümesinde, bu elemanter hataların hepsi bulunmaz. Elemanter hatalar çok yavaş değişirler ve ard arda yapılan bir çok ölçüde yaklaşık aynı büyüklükte etkili olurlar. Elemanter hatalardan bazılarının çok büyük olmadığı durumlarda, bunlardan biri yada bir kaçının gerçek hata (ε) daki payı aynı kalır. Böyle durumlarda elde edilen ölçüler bir birine bağımlı olurlar. Ölçüler arasındaki bu karşılıklı bağımlılığa fiziksel korelasyon denir.
KORELASYON Cebirsel Korelasyon; Bağımsız ilk ölçülerin dengelenmesi sonucu bulunan büyüklükler arasındaki ilişkiye Cebirsel Korelasyon denir. Ölçülerin dengelemeye girmeden önce tabi tutulacakları bir işlem sonucunda ortaya çıkan korelasyonlardır. Bazen ilk bağımsız ölçülerin (L) fonksiyonu olan x = f(l) ve y = g(l) büyüklüklerinin dengelenmesi gerekebilir. İlk ölçüler (L) bağımsız (korelasyonsuz) olsalar bile bunların fonksiyonları olan x ve y cebirsel olarak karşılıklı bağımlıdırlar. Bu durumda x ve y arasındaki ilişkiye Cebirsel Korelasyon denir.
KORELASYON EKK yönteminde ölçülerin bağımsızlığı öngörüldüğünden korelasyonun dikkate alınmaması halinde model hatası olur ve dengelemeden beklenen sonuç elde edilemez. Bu model hatasından kurtulmak için korelasyonlar dikkate alınmalıdır. Örneğin, doğrultu yöntemine göre ölçülmüş bir jeodezik ağın açı yöntemine göre dengelenmesinde; Açılar doğrultuların bir fonksiyonu olduğundan aynı doğrultulardan hesaplanan açılar arasında cebirsel korelasyon olur. Bu durumda dengeleme ya doğrultu yöntemine göre yapılmalı ya da açı yöntemi göre dengelemede korelasyonlar dikkate alınmalıdır.
KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Dikdörtgen şeklindeki parselin kenarlarının gerçek uzunlukları (x ve y) biliniyorsa parselin kenarları gereğinden fazla ölçüldüğünde y x x kenarı ölçüleri L x = L x1 L x2 ; y kenarı ölçüleri L y = L xn L y1 L y2 L yn
KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Ölçülerin gerçek hataları ε xi = L xi x ε yi = L yi y ε x1 = L x1 x ε x2 = L x2 x... ε xn = L xn x ε y1 = L y1 y ε y2 = L y2 y... ε yn = L yn y matris gösterimi ε x1 ε x2 ε xn = L x1 L x2 L xn x x x ε y1 ε y2 ε yn = L y1 L y2 L yn y y y
KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) matris gösterimi ε x1 ε x2 ε xn = L x1 L x2 L xn x x x ε y1 ε y2 ε yn = L y1 L y2 L yn y y y ε x = ε x1 ε x2 ε xn ε y = ε y1 ε y2 ε yn x x x = e x y y y = e y e = 1 1 1 : Bir vektörü matris gösterimi ε x = L x e x ε y = L y e y
KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Kuramsal varyansları σ x 2 = ε x T ε x n σ y 2 = ε y T ε y n Kuramsal kovaryansları σ xy = ε x T ε y n Kuramsal korelasyon Katsayısı ρ xy = σ xy σ x σ y = ε x T ε x ε x T ε y ε y T ε y Korelasyon katsayısı ölçüler arasındaki raslantısal (stokastik) bağımlılığın ölçütüdür. 1 ρ +1 ρ = 0 ise ölçüler arasında korelasyon yoktur. ρ = ±1 ise ölçüler arasında fonksiyonel bağımlılık vardır. ±1 e yakın korelasyon katsayıları ölçüler arasında çok fazla bağımlılık (korelasyon) olduğunu gösterir. 0 a yakın korelasyon katsayıları ölçüler arasında zayıf korelasyon olduğunu gösterir.
KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Dikdörtgen şeklindeki parselin kenarlarının gerçek uzunlukları (x ve y) bilinmiyorsa parselin kenarları gereğinden fazla ölçüldüğünde y x x kenarı ölçüleri L x = L x1 L x2 ; y kenarı ölçüleri L y = L xn L y1 L y2 L yn Parselin kenarlarının kesin değerleri, x = L x n = et L x n y = L y n = et L y n
KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Ölçülerin düzeltmeleri v xi = x L xi v yi = y L yi v x1 = x L x1 v x2 = x L x2... v xn = x L xn v y1 = y L y1 v y2 = y L y2... v yn = y L yn Matris gösterimi v x1 v x2 v xn = x x x L x1 L x2 L xn v y1 v y2 v yn = y y y L y1 L y2 L n
KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Matris gösterimi v x1 v x2 v xn = x x x L x1 L x2 L xn v y1 v y2 v yn = y y y L y1 L y2 L n V x = v x1 v x2 v xn V y = v y1 v y2 v yn, x x x = e x y y y = e y e = 1 1 1 : Bir vektörü matris gösterimi V x = e x L x V y = e y L y
KORELASYON (Cebirsel Korelasyon) Deneysel varyansları m x 2 = V x T V x n 1 m y 2 = V y T V y n 1 Deneysel kovaryansları m xy = V x T V y n 1 Deneysel korelasyon Katsayısı r xy = m xy m x m y = V x T V x V x T V y V y T V y 1 r +1 r = 0 ise ölçüler arasında korelasyon yoktur. r = ±1 ise ölçüler arasında fonksiyonel bağımlılık vardır. ±1 e yakın korelasyon katsayıları ölçüler arasında çok fazla bağımlılık (korelasyon) olduğunu gösterir. 0 a yakın korelasyon katsayıları ölçüler arasında zayıf korelasyon olduğunu gösterir.
KORELASYON Bu bağıntılar L x ve L y ölçülerin bağımsız yani kendi aralarında korelasyonlu olmadıkları durumlarda geçerlidir. L x ve L y ölçüleri korelasyonlu ise hesaplama «Dolaysız (Direkt) Ölçüler Yöntemi Dengelemesi» yolu ile yapılır.
x ölçülerin bir eksende ve y ölçüleri de diğer eksende çizilirse; Eğer iki değişken arasındaki korelasyon +1 veya -1 e eşit ise mükemmel bir ilişki/korelasyon vardır ve ölçüler düz bir çizgi üzerinde olurlar. Eğer çizdirilen noktalar bir düz çizgi etrafında dar bir bant boyunca dağılıyor ise, ortalama bir korelasyon var demektir. Ölçüler ya geniş bir şekilde dağılmış ise veya bir eğri boyunca dağılmış ise korelasyon sıfıra yaklaşıyor demektir. (Durum 1): doğru etrafında yoğun bir dağılım (Durum 2): doğru etrafında dağınık bir dağılım (Durum 1) deki korelasyon (Durum 2) ye göre daha büyüktür.
Korelasyon pozitif olduğunda, bir değişkendeki artışın diğer bir değişkendeki artış ile ilişkili olduğu anlamına gelir. Korelasyon negatif olduğunda ise, bir değişkendeki artışın diğer değişkendeki azalma ile ilgili olduğu anlamına gelir.
Korelasyonlu Ölçü Ölçü±ort. Kovaryans hata L 1 ± m 1 m 12 L 2 ± m 2 m 13. m 23 L n ± m n. m 1n KORELASYON K ll = Varyas-Kovaryans Matrisi m 1 2 m 12 m 13 m 1n 2 m 12 m 2 m 23 m 2n m 13 m 2 23 m 3 m 3n m 1n m 2n m 3n m2 n Korelasyonlu Ölçü Ölçü±ort. hata L 1 ± m 1 L 2 ± m 2. L n ± m n Korelasyon Katsayısı r 12 r 13 r 23. r 1n K ll = Kovaryans : m ij = r ij m i m j Varyas-Kovaryans Matrisi m 1 2 r 12 m 1 m 2 r 1n m 1 m n r 12 m 1 m 2 2 m 2 r 2n m 2 m n r 3n m 3 m n r 1n m 1 m n r 2n m 2 m n 2 m n
KORELASYON K ll = s 0 2 Q ll Q ll = 1 s 0 2 K ll Ölçülerin Varyans-Kovaryans Matrisi Ölçülerin Ters Ağırlık Matrisi s 0 : Birim ölçünün öncül ortalama hatası Ölçülerin Ters Ağırlık Matrisi Biliniyorsa Q ll = q 11 q 12 q 13 q 1n q 12 q 22 q 23 q 2n q 13 q 23 q 33 q 3n q 1n q 2n q 3n q nn Korelasyon Katsayısı r 23 = q 23 q 22 q 33 r ij = q ij q ii q jj = m ij m ii m jj r 12 = q 12 q 11 q 22
KORELASYON X parametresi için yapılan ölçü dizisi L xi y parametresi için yapılan ölçü dizisi L yi m xy r xy : Çapraz korelasyon r xy = m x m y Jeodezik uygulamalarda fazla ölçü yapılır. Bu nedenle aynı ölçü dizisinin elemanları arasında da korelasyon hesaplanır. Bu korelasyonlara «otokorelasyon» denir. Örneğin herhangi bir uzunluk, öğleden önce (gidiş (L x1 ), dönüş (L x2 )) öğleden sonra (gidiş (L y1 ), dönüş (L y2 )) r xx = r yy = m x 1 x 2 m x1 x 1 m x2 x 2 öğleden önceki ölçüler arasındaki otokorelasyon m y 1 y 2 m y1 y 1 m y2 y 2 öğleden sonraki ölçüler arasındaki otokorelasyon
Uygulama 1) EUÖ aletinin kalibrasyonu ve bu aletle yapılan uzunluk ölçüleri arasındaki korelasyonun belirlenmesi amacıyla gerçek uzunluğu 1000.643m olan bazda öğleden önce 30 ve öğleden sonra 30 olan ölçüler yapılmıştır. Ölçüler arasındaki otokorelasyon ve çapraz korelasyonları hesaplayınız. Saat ÖĞLEDEN ÖNCE Gidiş Geliş L x1 (m) L x2 (m) ÖĞLEDEN SONRA Saat Gidiş L y1 (m) Geliş L y2 (m) 8.15 1000.6286 1000.6279 12.15 1000.6301 1000.6283 8.30 1000.6257 1000.6260 12.30 1000.6279 1000.6411 8.45 1000.6300 1000.6312 12.45 1000.6236 1000.6322 9.00 1000.6282 1000.6278 13.00 1000.6270 1000.6317 9.15 1000.6312 1000.6328 13.15 1000.6283 1000.6292 9.30 1000.6306 1000.6323 13.30 1000.6533 1000.6547 9.45 1000.6593 1000.6590 13.45 1000.6635 1000.6630 10.00 1000.6289 1000.6295 14.00 1000.6326 1000.6250 10.15 1000.6553 1000.6555 14.15 1000.6578 1000.6583 10.30 1000.6298 1000.6283 14.30 1000.6311 1000.6325 10.45 1000.6569 1000.6581 14.45 1000.6589 1000.6622 11.00 1000.6293 1000.6295 15.00 1000.6293 1000.6270 11.15 1000.6590 1000.6630 15.15 1000.6565 1000.6581 11.30 1000.6567 1000.6568 15.30 1000.6567 1000.6569 11.45 1000.6325 1000.6338 15.45 1000.6283 1000.6305
Uygulama 1) Saat L x1 (m) ÖĞLEDEN ÖNCE ε x1 (mm) L x2 (m) ε x2 (mm) Saat L y1 ÖĞLEDEN SONRA ε y1 L y2 ε y1 (mm) (m) (mm) (m) 8.15 1000.6286-14.4 1000.6279-15.1 12.15 1000.6301-12.9 1000.6283-14.7 8.30 1000.6257-17.3 1000.6260-17.0 12.30 1000.6279-15.1 1000.6411-17.9 8.45 1000.6300-13.0 1000.6312-11.8 12.45 1000.6236-19.4 1000.6322-10.8 9.00 1000.6282-14.8 1000.6278-15.2 13.00 1000.6270-16.0 1000.6317-11.3 9.15 1000.6312-11.8 1000.6328-10.2 13.15 1000.6283-14.7 1000.6292-13.8 9.30 1000.6306-12.4 1000.6323-10.7 13.30 1000.6533 10.3 1000.6547 11.7 9.45 1000.6593 16.3 1000.6590 16.0 13.45 1000.6635 20.5 1000.6630 20.0 10.00 1000.6289-14.1 1000.6295-13.5 14.00 1000.6326-10.4 1000.6250-18.0 10.15 1000.6553 12.3 1000.6555 12.5 14.15 1000.6578 14.8 1000.6583 15.3 10.30 1000.6298-13.2 1000.6283-14.7 14.30 1000.6311-11.9 1000.6325-10.5 10.45 1000.6569 13.9 1000.6581 15.1 14.45 1000.6589 15.9 1000.6622 19.2 11.00 1000.6293-13.7 1000.6295-13.5 15.00 1000.6293-13.7 1000.6270-16.0 11.15 1000.6590 16.0 1000.6630 20.0 15.15 1000.6565 13.5 1000.6581 15.1 11.30 1000.6567 13.7 1000.6568 13.8 15.30 1000.6567 13.7 1000.6569 13.9 11.45 1000.6325-10.5 1000.6338-9.2 15.45 1000.6283-14.7 1000.6305-12.5
Uygulama 1) Otokorelasyon (Öğleden önceki ölçüler için): Kuramsal varyanslar: σ 2 x1 = ε x1 T ε x1 n = 2912.56 15 = 194. 17 σ 2 x2 = ε x2 T ε x2 n = 3001. 75 15 = 200. 12 Öğleden önceki ölçülerin ortalama hatası σ x1 = ±13. 93mm σ x2 = ±14. 15mm Öğleden önceki ölçülerin kuramsal kovaryansları σ xx = ε x1 T ε x2 n = 2942.38 15 = 196. 16 Öğleden önceki ölçülerin Otokorelasyon katsayısı ρ xx = σ xx σ x1 σ x2 = ε T x1 ε x1 ε T x1 ε x2 ε T x2 ε x2 = 0. 995
Uygulama 1) Otokorelasyon (Öğleden sonraki ölçüler için): Kuramsal varyanslar: σ 2 y1 = ε y1 T ε y1 n = 3264.55 15 = 217. 64 σ 2 y2 = ε y2 T ε y2 3378. 61 = = 225. 24 n 15 Öğleden sonraki ölçülerin ortalama hatası σ y1 = ±14. 75mm σ y2 = ±15. 01mm Öğleden sonraki ölçülerin kuramsal kovaryansları σ yy = ε y1 T ε y2 n = 3224.71 15 = 214. 98 Öğleden sonraki ölçülerin Otokorelasyon katsayısı ρ yy = σ yy σ y1 σ y2 = ε T y1 ε y2 ε T y1 ε y1 ε T y2 ε y2 = 0. 97
Uygulama 1) Çapraz Korelasyon: Kuramsal varyanslar: σ x 2 = ε x T ε x n = 5914.31 30 = 197. 14 σ y 2 = ε y T ε y n = 6643.16 30 = 221. 44 σ x = ±14. 04mm Öğleden önceki ölçülerin ortalama hatası σ y = ±14. 88mm Öğleden sonraki ölçülerin ortalama hatası Öğleden önce ve sonraki ölçülerin kuramsal kovaryansları σ xy = ε x T ε y n = 5632.76 30 = 187. 76 Çapraz Korelasyon katsayısı ρ xy = σ xy σ x σ y = ε x T ε x ε x T ε y ε y T ε y = 0.89
Uygulama 2) Eğim ve buna bağlı sıcaklık bilgileri verilmiştir. Acaba bu iki değişken (sıcaklık, eğim) arasında bir fiziksel korelasyon var mıdır? m x 2 = V x T V x n 1 m xy = V x T V y n 1 m y 2 = V y T V y n 1 r xy = m xy m x m y m x = ±4. 33 m y = ±1. 71 m xy = 6. 02 r xy = 0. 81 İki değişken arasında -0.81 fiziksel korelasyon vardır.
Uygulama 3) Bir parselin 4 kez ölçülen iki kenarı (x, y) arasındaki korelasyonunun hesabı. Ölçü No Ölçü (L x ) (m) 1 3266.023 2 3266.024 3 3266.027 4 3266.030 Kesin Değerler: m xy = V x T V y n 1 = 28 3 Ölçü Ölçü (L y ) No (m) 1 7643.814 2 7643.810 3 7643.818 4 7643.818 = 9. 3 r xy = m x 2 = V x T V x n 1 = 30 3 = 10 m y 2 = V y T V y = 44 n 1 3 m y = ±3.83mm m xy m x m y = = 14. 7 9. 3 3. 16 3. 83 Ölçü No x = L 1 = 3266. 026m 4 Ölçü y = L 1 = 7643. 815m m x = ±3.16mm 4 No V x = ex L x (mm) İki kenar uzunlukları arasında 0.7 cebrik korelasyon vardır. V x T V x 1 +3 9 2 +2 4 3-1 1 4-4 16 Toplam 0 30 Topla m = 0. 7 V y T V y V y = ey L y (mm) 1 +1 1 2 +5 25 3-3 9 4-3 9 0 44
Uygulama 4) Varyans-Kovaryans Matrisi K ll = 1. 862 5. 029 1. 420 2. 170 5. 029 71. 332 7. 106 1. 347 1. 420 7. 106 2. 244 2. 562 2. 170 1. 347 2. 562 4. 985 K ll = m 1 2 m 12 m 13 m 1n 2 m 12 m 2 m 23 m 2n m 13 m 2 23 m 3 m 3n m 1n m 2n m 3n m2 n r 34 =? r 23 =? r ij = m ij m i m j r 34 = r 43 = 2.562 1.50 2.23 = +0. 77 r 23 = r 32 = 7.106 8.45 1.50 = 0.56
Uygulama 5) Ters Ağırlık Matrisi Q ll = 0. 1304 0. 0285 0. 0388 0. 0058 0. 0285 0. 1332 0. 0306 0. 2247 0. 0388 0. 0306 0. 1239 0. 0076 0. 0058 0. 2247 0. 0076 0. 0854 Q ll = q 11 q 12 q 13 q 1n q 12 q 22 q 23 q 2n q 13 q 23 q 33 q 3n q 1n q 2n q 3n q nn r 34 =? r 12 =? r ij = q ij q ii q jj = m ij m ii m jj r 34 = r 43 = r 12 = r 21 = 0. 0076 0. 1239 0. 0854 0. 0285 0. 1304 0. 1332 = 0. 07 = 0. 22
ÖDEV 1) Bir parselin iki kenarının (x, y) uzunluk ölçüleri arasındaki korelasyonu hesaplayınız. NO L x (m) L y (m) 1 542.3464 744.3128 2 542.3455 744.3133 3 542.3465 744.3138 4 542.3461 744.3129 5 542.3459 744.3127 6 542.3458 744.3130 7 542.3457 744.3135 8 542.3465 744.3129 9 542.3466 744.3127 10 542.3462 744.3131 ÖDEV 2) EUÖ aletinin kalibrasyonu için gerçek uzunluğu 1254.321m olan bir kalibrasyon bazında ölçüler yapılmıştır. Bu ölçülerin korelasyon katsayısını hesaplayınız. 1254.3224m, 1254.3230m, 1254.3228m, 1254.3234m, 1254.3214m, 1254.3210m, 1254.3218m, 1254.3211m, 1254.3219m, 1254.3221m,