ORTÖĞRETİM ÖĞRENİLERİRSI RŞTIRM ROJELERİYRIŞMSI (007 008) GEOMETRİROLEMLERİNE HRMONİK YKLŞIM rojeyi Hazırlayan Öğrencilerin dısoyadı : Semih YĞI Sınıf ve Şubesi : 10- dısoyadı : Uğur KRĞ Sınıf ve Şubesi : 10- Okulun dı : Eskişehir Fatih Fen Lisesi anışman Öğretmen : Osman EKİZ ESKİŞEHİR 008 1
ÖZET üzlem geometri problemlerinin veya teoremlerinin çözümünde bir lise öğrencisinin rahatlıkla anlayabileceği klasik metotlar kullanılır. Olimpiyat problemlerinde de durum hemen hemen aynıdır. Sıra dışıtekniklere pek rastlanmaz. Mevcut problemlere farklıçözüm yöntemleri bulma arayışlarımız bizi harmonik bölüm kavramıile tanıştırdı. Harmonik bölüm kavramıyardımıyla çeşitli problem ve teoremlere özgün çözümler ürettik. Farklıçözümler yaparken yeni problemler de geliştirdik. Çalışmamızda kaynak taramasıyaparak konu ile alakalıdaha önce yapılmışçalışmalar tespit edilmeye çalışılmışve bir kaç matematik forumunda bazıuygulamalar bulunmuştur 1. u uygulamalardan farklıolarak harmonik bölüm kavramınıuygulayabileceğimiz problem ve teoremler araştırılmışve bu problemlere daha önceden yapılmamışfarklıve özgün çözümler üretilmiştir. Çalışmalarımız bizde bahis konusu yöntemin birçok problemin içerisinde var olduğu ama gözden kaçtığıkanaatini uyandırmıştır. Harmonik bölümün kullanışlı, açık ve anlaşılır bir yöntem olduğu sonucu ortaya çıkmıştır. Özellikle noktadaşlık veya doğrusallık içeren problemlerin çözümünde etkin bir yöntem olduğunu düşünmekteyiz. 1 http://www.mathlinks.ro/forum/ sitesinde harmonik bölümün bazıuygulamalarımevcuttur.
GİRİŞ. roje çalışmamız bir matematik forumundaki bazıproblemlerden yola çıkarak başlamıştır. Çalışmamızın amacı; geometri ile alakalıteorem veya problemlerin ispatlarına harmonik bölüm kavramınıkullanarak yeni bir yaklaşım getirmek ve özgün çözümler üretmektir. Kaynak taramasıyaptığımızda harmonik bölüm kavramıyardımıyla problemlerin çözüldüğü görülmüştür 3.iz bu çalışmalardan farklıolarak çoğu lise öğrencisinin bildiği teoremlere de bu yöntemi uyguladık ve yeni problemler ürettik. YÖNTEM. Çalışmamızda kullanacağımız veriler için kaynak taramasıyapıldı. Harmonik bölüm ile alakalıtemel tanım ve teoremler belirlendi. u bilgiler çeşitli problem ve teoremlerin ispatlarıiçin kullanıldı. Çalışmamıza, gerekli tanım ve yardımcıteoremleri vererek geçelim. Tanım. ir d doğrusu ile bu doğru üzerinde ve noktalarıverilsin. noktası[] yi içten, noktasıise dıştan bölen birer nokta olsun. Eğer ise ve noktaları yi harmonik olarak bölüyor denir. u dört nokta harmonik bölüm yada kısaca harmonik olarak adlandırılır ve (;) biçiminde gösterilir. yrıca ve noktalarına ve noktalarına nazaran birbirinin harmonik eşleniği denir. Sonuç 1. (; ) harmonik ise (; ), (; ) ve (; ) de harmoniktir. iz bir tanesinin ispatınıyapalım. iğerleri de benzer şekilde ispatlanabilir. İspat: (; )harmonik ise (;) harmoniktir. Tanım. ir doğru üzerinde sırasıyla,,, noktalarıve bu doğru üzerinde olmayan bir O noktasıverilsin. Eğer sin O sin O sin O sin O ise [O ve [O ışınlarıo açısınıharmonik bölüyor denir. [O, [O, [O, [O ışın demetine harmonik ışın demeti denir ve O(;) biçiminde O gösterilir.urada [O ve [O ışınlarıise [O ve [O ışınlarına göre harmonik eşlenik ışınlar olarak adlandırılır.iz harmonik ışın demeti yerine kısaca harmonik ışın adlandırmasınıkullanacağız. http://www.geomania.org/index.php?topic=359.0 3 www.mathlinks.ro sitesinde çeşitli uygulamalar mevcuttur. 3
oğal olarak O ve O ışınlarıo açısınıharmonik olarak bölüyorsa O ve O ışınlarıda O açısınıharmonik olarak böler. Çünkü O(;) ise sin O sin O sin O sin O olur ki bu ise O ve O sin O sin O sin O sin O ışınlarının da O açısınıharmonik böldüğünü gösterir. olayısıile O(; ) ışındır. rojemizde kullanacağımız yardımcıteoremler verelim. harmonik Y.Teorem 1. üçgeninin, ve kenarlarıüzerinde sırasıyla X, Y, Z noktalarıverilsin. ile ZY nin kesim noktasıx olsun (X X; ) nin harmonik olmasıiçin gerek ve yeter şart X, Y ve Z nin noktadaşolmasıdır. Z Y İspat: Yeterlilik: (X X; ) harmonik olsun. u durumda dir (1). Menaleus teoreminden; X ' Z Y.. 1 X ' Z Y Y, Z noktadaştır. X Z Y X ' X X ' X olup (1) den.. 1 olup Seva teoreminin karşıtıgereğince X, X Z Y (Gereklilik): X, Y, Z noktadaşolsun. Menaleus teoreminden X X ' Z Y.. 1 X ' Z Y X X X X. 1 X ' X X ' X ve Seva X Z Y teoreminden.. 1 X Z Y olup taraf tarafa oranlarsak ' ' olur ki bu ise (X X; ) nin harmonik olduğunu gösterir. Y.Teorem. ir d doğrusu üzerinde sırasıyla,,, noktalarıve bu doğru üzerinde olmayan bir O noktasıverilsin. O(; ) nun harmonik ışın olmasıiçin gerek ve yeter şart (; ) nun harmonik olmasıdır. O X' H İspat: Yeterlilik: O(; ) harmonik ışın ve OH olsun. Sinüs alan bağıntısından HO. O. O sin O O sin O (1) HO. O. O.sin O O sin O 4
HO. O. O sin O sin O. O () eşitliklerini yazabiliriz. O(;) HO. O. O.sin O O sin O sin O sin O harmonik ışın olduğundan (3) olup 1, ve 3 ten dir.u durumda (;) harmoniktir sin O sin O Gereklilik: (;) harmonik ise dur. Sinüs alan bağıntısından HO. O. O sin O O sin O HO. O. O.sin O O sin O HO. O. O sin O sin O. O yazabiliriz. HO. O. O.sin O O sin O sin O sin O olur. olayısıile O(; ) harmonik ışındır. sin O sin O olduğundan Y.Teorem 3. ir d doğrusu üzerinde sırasıyla,,, noktalarıve bu doğru üzerinde olmayan bir O noktasıverilsin. i) (; ) harmoniktir. ii) O açısının iç açıortayıo dir. iii) O O dur. Yukarıda belirtilen iddialardan herhangi ikisi doğru ise diğeri de doğrudur. O İspat: i ve ii doğru ise iii de doğrudur. (; ) harmonik ise (; ) da harmoniktir. (1) ve O üçgeninde O açıortay olduğundan O O () olur. (1) ve () den olur. u eşitlik bize O nun O O O açısının dışaçıortayıolduğunu gösterir. u durumda O O dir. i ve iii doğru ise ii de doğrudur. (; ) harmoniktir olduğundan O(; ) harmonik ışındır. olayısıile sin O sin O sin O sin O sin O sin O sin O sin O sin O cos O sin O cos O sino.coso sino.coso = 0 olup sin(o O) = 0 sin O O 0 O O veya O O dir. O O olamayacağından O O olmalıdır. olayısıile O açısının açıortayıo dir. 5
ii ve iii doğru ise i de doğrudur O üçgeninde O açıortay olduğundan O O (1) ve O O ve O açıortay olduğundan O dışaçıortay olur ve O () olur. (1) ve () den olup bu eşitlik O (; ) harmonik ve buradan (; ) harmoniktir. Y.Teorem-4. (;) harmonik ve nin orta noktasıo ise O O O. O dur. İspat 1: O noktası ile arasında olsun. (;) harmonik olduğundan; O O O O O. O. O O. O. O. O O O. O. O. O O( O ) O O ( O ) dir. O O O olduğundan dur. O O. O ve O O. O u ispata alternatif olarak geliştirdiğimiz estetik olarak güçlü olduğuna inandığımız geometrik ispatıverelim. R S H O İspat : olacak şekilde bir noktasıalalım. ir üçgende yükseklikler noktadaşolduğundan, R, S yükseklikleri noktadaştır.(;) harmonik olduğundan Y.Teorem-1 gereğince, S, R noktalarıdoğrusaldır. olsun. HSR ve HR kirişler dörtgeni olduğundan SR SH S R olacaktır. R olsun. RO ve R üçgeninde RO kenarortay olduğundan O = OR ve RO RO yani RO olur ki bu bize OR ile OR üçgenlerinin benzer olduğunu gösterir. u durumda OR O. O O O. O dir. Şimdi düzlem geometrinin bazıteoremlerini ve matematik olimpiyatlarında çıkmışbazı problemleri alışılmışın dışında, harmonik bölüm kullanarak ispatlayabiliriz. Şimdi ispatlayacağımız teorem açıortaylarla ilgili olduğu halde biz açıortay teoremi kullanmadan ispatınıyapacağız. Teorem 1. ir üçgende iki iç açıortayın ayaklarıile üçüncü açının dışaçıortayının ayağıdoğrusaldır. 6
E F İspat: ve E noktalarıiç açıortayların ayaklarıve E ile nin kesim noktasıf olsun. F noktasının dışaçıortay ayağıolduğunu ispatlamalıyız. ir üçgende iç açıortaylar noktadaşolduğundan iç açıortaydır. u sebeple dir. Y.Teorem-1 den (F;) harmonik dolayısıile (F;) harmonik ışındır. sin F sin sin F sin sin F 1 sin F sin sin F sin sin F sin F sin F F F veya F F olur. 0 olduğundan F F F olup bu sonuç F nin dışaçıortay olduğunu gösterir. İddia doğrulanmışoldu. Teorem [lanchet]. üçgeninin yüksekliği üzerinde keyfi bir noktasıalınsın. ile, E de, ile, F de kesişsin. nin FE açısının açıortayıolduğunu ispatlayınız. F K E L İspat: FE ile, L noktasında kesişsin. Y.Teorem 1 den (L; ) harmoniktir. Y.Teorem den (L; ) harmonik ışındır. Ve buradan (LK; EF) harmoniktir. K L olup Y.Teorem 3 ten, FE açısının açıortayıdır. lanchet Teoreminin karşıtıda doğru olup harmonik bölüm yardımıyla ispatıyapılabilir. 7
Teorem 3. ir üçgenin yükseklikleri noktadaştır. E F H K İspat 1: F ve E yükseklikleri H noktasında kesişsin. nin yükseklik olduğunu gösterirsek iddiamız ispatlanmışolur. lanchet Teoreminden FH ve EH, EF üçgeninin iç açıortaylarıolup iç açıortaylar noktadaşolduğundan H da FE açısının açıortayıolur. lanchet teoreminin karşıtından yükseklik olur. İspat : EH açıortay ve EH E olup Y.Teorem-1 den (H;KF) harmoniktir. (H;KF) harmonik ve H açıortay olduğundan yine Y.Teorem-1 den H olup yükseklik olur. Teorem 4. üçgeninin iç teğet çemberi,, kenarlarına sırasıyla, E ve F noktasında teğet olsun., E ve F nin noktadaşolduğunu ispatlayınız. F E G İspat:, E, F değme noktalarıolduğundan E =, = F ve F = E dir. Menaleus teoreminden.. 1.. 1 olup (G;) harmoniktir. o- G F E G F G G F E G F G layısıile Y.Teorem-1 den, E ve F noktadaştır. Harmonik bölümü çeşitli olimpiyat problemlerinin çözümünde nasıl kullandığımıza dair örnekler verelim. 8
roblem 1[elarus Matematik Olimpiyatı 005]. dar açılıüçgeninin E ve F yükseklikleri H noktasında kesişsin. dan geçen E ye paralel bir doğrusu çizilsin., EF ve nin noktadaşolmasıiçin gerek ve yeter şart H noktasının E nin orta noktasıolmasıdır. a b c E F H a a c b İspat: ir üçgende yükseklikler bir noktada kesiştiği için E, F ve yüksekliklerinin kesim noktasıh dir. Y.Teorem-1 den (;) harmonik ve buradan (;) harmonik ışın olup sin a sin( a b c ) sin b ve buradan sin a (1) dir. H üçgeninde sinüs teoreminden sin b sin c sin c H sin b HE () ve EH dik üçgeninde sin a H sin c H (3) olur.(1), () ve (3) ten H = H olup buradan H noktasının E nin orta noktasıolduğu ispatlanmışolur. HE Karşıt olarak H noktasıe nin orta noktasıolsun. EH dik üçgeninde sin a H ve H sin b H üçgeninde sinüs teoreminden dir. H = HE olduğundan H sin c sinb sina 1 sin a sin 90 sin( a b c ) sin a olur. olayısıile (;) sin c sin b sin c sin b sin c sin c harmonik ışın olup Y.Teorem- den (;) harmonik ve Y.Teorem-1 den, EF ve noktadaştır. Çalışmamız için önemli bir problem verelim. roblem. O merkezli çembere dışındaki bir noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları ve dir. den geçen bir doğru çemberi sırasıyla ve noktalarında kessin. ile O nin kesim noktasım ise OM dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu ispatlayınız. O M 9
İspat: O ve O dir. noktasına göre dışkuvvetten; =. dir. O ve M üçgenleri benzer olduğundan M = M.O olup. M. O O (1) dir. M ve O üçgenlerinde M ortak açıve (1) den M ve O üçgenleri benzer olur. M O olup bu ise OM nin kirişler dörtgeni olduğunu gösterir. Sıradaki problemin sonucu roblem- nin önemini ortaya koymasıbakımından oldukça ilgi çekicidir. u problem yardımıyla çözümü oldukça uzun ve zor olan, bilinen bazı problemleri sıra dışıbir yöntem olan harmonik bölmeden faydalanarak çözeceğiz. roblem 3. ir çembere dışındaki bir noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları ve olsun. den geçen bir doğru çemberi sırasıyla ve noktalarında kessin. ile nin kesim noktası olmak üzere (;) nin harmonik olduğunu ispatlayınız. O M İspat. Çemberimizin merkezi O ve ile O nun kesim noktasım olsun. roblem den OM kirişler dörtgenidir. yrıca O merkez olduğundan O O ve OM kirişler dörtgeni olduğundan O M ve O MO MO M dir. u M durum da M, M üçgeninin dışaçıortayıolur. dir.(1) O olduğundan M M M da M üçgeninin iç açıortayıolur. () dir. (1) ve () den olup M bu (;) nin harmonik olduğunu gösterir. u problemden esinlenerek sıradaki problemi oluşturduk. roblem 4. ir çembere dışındaki noktasından çizilen teğetin değme noktası olsun. den geçen bir doğru çemberi sırasıyla ve noktalarında kessin. üzerinde (;) harmonik olacak şekilde bir noktasıalınsın. ise çemberi noktasında kessin. nin çembere teğet olduğunu ispatlayınız. İspat: çılardan bazılarınışekildeki gibi isimlendirelim. X olduğunu ispatlarsak nin Y 10
çembere teğet olduğunu ispatlamışoluruz. (;) harmonik olduğundan (;) ve (;) harmonik ışın olup sin sin Y sin sin sin sin sin sin ve sin sin sin X sin sin sin sin sin olur. X ve = Y olduğunu da göz önüne alırsak sin sin sin sin sin sin ve sin sin sin sin olup olduğundan olmalıdır. eşitliklerini elde ederiz. Taraf tarafa oranlarsak roblem 3 ve roblem 4 sıradaki problemi çözmemizi oldukça kolaylaştıracak. u sebeple bazıtanımlar verelim. Tanım. ir üçgende kenar ortayın iç açıortaya göre simetriğine simedyan denir. kenarortay ve T simedyan ise T dir. T Tanım. üçgeninin ve kenarlarıüzerinde K ve L noktalarıalalım. Eğer KL oluyorsa KL doğrusu ye anti-paraleldir denir. L K roblem 5. üçgeninin çevrel çemberine ve noktalarından çizilen teğetler noktasında kesişsin. i) nin üçgeninin bir simedyanıolduğunu ispatlayınız. ii) nun üçgeninin bir simedyanıolduğunu ispatlayınız. M 11
İspat-i: Çevrel çemberin merkezi O, nin orta noktasım, ile nin kesim noktası ve nin çemberi kestiği nokta olsun. ve M olsun. O dır. roblem den OM kirişdörtgeni olup M O dir. roblem 3 te M nun M açısını ortaladığı gösterildiğinden M M olur. M ve M kenarortay olduğunda, üçgeninin simedyanıdır. İspat-ii: Çembere de teğet olan doğru ile, R de kesişsin. iz R nin çembere teğet olduğunu gösterirsek ispat-i den dolayır, üçgeninin simedyanıolacaktır. çıları şekildeki gibi isimlendirelim. (;) harmonik ışın olduğundan R sin sin olur.u eşitlik (R;) nın harmonik ışın olduğunu gösterir. roblem-4 ten dolayır çembere teğet sin( ) sin olur. roblem 6. ir üçgende herhangi bir kenara ait simedyanın yine o kenara ait anti-paralelleri ortaladığınıispatlayınız. Y X İspat: Yandaki şekli incelersek bir önceki problemden nun üçgeninin simedyanıolduğunu biliyoruz. roblem-3 ten (;) harmonik olup dir (1). //Y olsun. 1
u durumda Y Y () yazabiliriz. (1) ve () den (3) olur. üçgeninde Y Y X kesenine göre Menaleus teoreminden.. 1 ve (3) ten X XY XY eşitliğini elde ederiz. //Y olduğundan Y dir. u son eşitlik Y ye paralel olan ve ve yi kesen doğruların ye anti-paralel olduğunu gösterir. olayısıile YX =X olduğu da işin içine katılırsa simedyanı ye anti-paralel olan doğrularıortalar. Yine bir olimpiyat problemini harmonik yaklaşım ile çözelim. roblem 7[vusturya-olonya Matematik Olimpiyatı 1998]. ir çember üzerinde,,,, E, F noktalarıaynısırada verilsin. Çemberin ve noktalarındaki teğetleri ile F ve E noktadaşolsun. una göre ispatlayınız ki;,, EF ya paraleldir ya da noktadaştır. F R E X İspat: F ve E, noktasında ve ile FE ise X noktasında kesişsin. roblem 3 den (;F) ve (R; E) harmoniktir. olayısıile Y.Teorem- den X(;F) ve X(R;E) harmonik ışındır. XF, FXE, XE ve X olsun. X(; F) ve X(R;E) harmonik ışın sin sin olduğundan ve sin sin sin sin sin sin ve buradan sin sin sin sin üzenlersek cos cos cos cos sin sin olup sin sin eşitliğini elde ederiz. olup veya olacaktır. uradan 0 veya 0 olur. İlk eşitlik noktadaş olma durumunu ikinci eşitlik paralel olma durumunu ispatlar. Tüm bu yaptıklarımız bizce estetik olan şu problemi üretmemizi sağladı. Önce problemde kullanacağımız bir kavramıverelim. 13
Tanım. ir üçgenin iç böl gesinde X X X olmasınısağlayan X noktasına üçgeninin irinci rocard Noktasıbenzer şekilde Y Y Y olmasınısağlayan Y noktasına İkinci rocard Noktasıdenir. X Y roblem. ir çembere dışındaki bir noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları ve ve nin orta noktasım olsun. den geçen bir doğru çemberi sırasıyla ve noktalarında yi de M den farklıolarak da kessin. M nin çemberi kestiği nokta R ve R ile nin kesim noktasıt olsun. Eğer nun orta noktasıt ise R noktasının ve üçgenlerinin. brocard noktasıolduğunu ispatlayınız. M R T İspat: M olsun. M R R olacaktır. T noktasına göre dışkuvvetten T. T TR. T dir. Y.Teorem 4 ten T. T T dir. u durumda T TR. T olacaktır. u ise T ve TR üçgenlerinin benzer olduğunu yani RT olduğunu gösterir. u durumda iddiamız ispatlanmışolur yrıca bu problemden şu sonuçlarıda elde ettik. Fakat fazla uzatmamak için ispatlarını vermiyoruz. 1. noktasır üçgeninin 1. rocard Noktasıdır.. noktasır üçgeninin 1. rocard Noktasıdır. 3., üçgeninin simedyanıdır. 4.R// dir. Elde ettiğimiz bu problemden birçok orijinal soru üretilebileceği kanaatindeyiz. 14
SONUÇ: raştırmamızda ele aldığımız problemler ve teoremler için incelediğimiz kaynaklarda mevcut olmayan çözümler ürettik. u sebeple harmonik bölüm problem çözmede etkin bir yöntemdir. Geometri problemlerinde aslolan sentetik çözümlerdir. Fakat yaptığımız çözümlerde temel bazıtrigonometrik bağıntıların kullanılmasıçözümlerin etkileyiciliğini kısmen de olsa azaltmıştır. Fakat harmonik bölüm yapısıitibariye trigonometrik özellikleri içinde barındırdığından bu durumdan kaçınmak da mümkün değildir. Veri toplama esnasında bu yöntemin kullanıldığıaz sayıda örnek bulduk. Kitaplarda genellikle harmonik bölümün ne olduğuna ve bazıözelliklerine yer verilmiştir. raştırmamız da esas aldığımız kitapta da durum aynıdır. Konunun problem çözmede bir yöntem olduğuna dair açıklamalara rastlanmamıştır. u açıdan çalışmamızın, farklıbir bakışaçısısunmasıyönüyle faydalıolduğu kanaatindeyiz. yrıca çalışmalarımız sayesinde yeni problemler ürettik. Ürettiğimiz problemler olimpiyatlar için önerilebilecek mahiyettedir. KYNKÇ: 1. R.Lachlan, n Elementary Treatise on Modern ure Geometry, London 1893. V.rasolov, roblems in lane and Solid Geomety 3. Çeşitli ülkelerin matematik olimpiyatlarına ait kitapçıklar 15