hkm Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi Hakemli Dergi 21/2 Say 13 6 ayda bir yaymlanr. Yaygn süreli yayn Ücretsizdir Sahibi A. Fahri ÖZEN ÇNDEKLER Genel Yayn Yönetmeni imur Bilinç BAUR Yaz leri Müdürü Prof. Dr. Ahmet AKSOY Editör Prof. Dr. Ahmet AKSOY Prof. Dr. Ahmet YAAYAN Yayn Kurulu Prof. Dr. Haluk KONAK Prof. Dr. Çetin CÖMER Doç. Dr. Rahmi Nurhan ÇELK Doç. Dr. Hülya DEMR Doç. Dr. Mahmut Onur KARSLIOLU Yrd. Doç. Dr. Çetin MEKK Nihal ERDOAN Saadet ÖZEN Bu Saydaki Hakemler Prof. Dr. Ahmet YAAYAN Prof. Dr. evk AYAN Prof. Dr. Hüseyin DEMREL Prof. Dr. erif HEKMOLU Prof. Dr. enol KUÇU Prof. Dr. Rasim DENZ Prof. Dr. Gönül OZ Prof. Dr. Zübeyde ALKI Prof. Dr. Gül BAUK Doç. Dr. Yunus KALKAN Doç. Dr. brahim KOÇ Doç. Dr. Muzaffer KAHVEC Doç. Dr. Çetin MEKK Robust Kestirimin GPS Alarnda Kullanlabilirlii...3 Mevlüt YEKN, Cevat NAL GPS ve Nivelman Ölçüleri le Çekül Sapmas Bileenlerinin Hesaplanmas ve Konya GPS est A Örnei...9 Ayhan CEYLAN GNSS ayc Faz Ölçmelerinde Belirsizlik Çözümü için LAMBDA Yöntemi...15 Mevlüt YEKN, Cevat NAL Fotogrametrik Modelleme eknii ile Bir Osmanl Çinisinin Dokümantasyonu...25 Bahadr ERGUN, Cumhur AHN, Elif Özlem AYDIN akömür Havzasndaki asman Oluumlarnn Kentleme ve Arazi Kullanm Üzerindeki Etkileri...33 Eray CAN, Hakan AKÇIN Etkinlikler akvimi...39 Dergi Kurallar...43 Harita ve Kadastro Mühendisleri Odas Sümer 1 Sokak No: 12/4 644 Kzlay/ANKARA el: 312 232 57 77 - Faks: 312 23 85 74 GSM: 533 762 28 13 e-posta: hkmo@hkmo.org.tr - Web: www.hkmo.org.tr
Mizampaj ve asarm MMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odas Yayn Kurulu eknik Hazrlk ve Bask Hermes Ofset Ltd. ti. Kazm Karabekir Cad. 39/16 skitler / ANKARA el: 312 384 34 32-341 1 97 Faks 312 341 1 98 www.hermesofset.com.tr hermes@hermesofset.com.tr Ankara - 21
hkm Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi 21/2 Say 13 www.hkmo.org.tr Robust Kestirimin GPS Alarnda Kullanlabilirlii Mevlüt YEKN 1 Cevat NAL 2 Özet GPS tayc faz ölçülerinin deerlendirilmesi sonucu elde edilen ve noktalar arasndaki koordinat bileenlerinin farklar olarak ifade edilen baz gözlemleri EKKY (en küçük kareler yöntemi) ile dengelenmektedir. EKKY uyuumsuz ölçülere kar duyarl bir yöntemdir. Bu nedenle GPS alarnda uyuumsuz ölçülerin belirlenmesi için robust yöntemlerin kullanlmas tercih edilmelidir. En küçük L 1 norm yöntemine (EKL 1 Y) göre dengeleme jeodezik alarda uyuumsuz ölçüleri belirlemek için kullanlan robust bir yöntemdir. Bu yöntemle jeodezik alarn dengelenmesi bir dorusal programlama probleminin çözümüyle gerçekletirilebilir. Bu çalmada, baz bileenleri arasndaki korelasyonlar dikkate alnarak bir GPS ann EKL 1 Y ne göre dengelenmesi incelenmitir. Yöntemin etkinlii ve uyuumsuz ölçülere kar direnci saysal bir uygulamayla gösterilmitir. Ayrca gözlemler arasndaki korelasyonlar dikkate alnarak iç güvenirlik ölçütleri hesaplanmtr. Anahtar Sözcükler GPS A, Korelasyonlu Gözlemler, Cholesky Çarpanlarna Ayrma Yöntemi, En Küçük L 1 Norm Yöntemi, ç Güvenirlik Abstract Utilizing Robust Estimation in GPS Networks he baseline observations obtained from the processing of GPS carrier phase measurements and described as the differences of coordinate components between points have been adjusted using the method least squares (LS). Nevertheless LS is sensitive to outliers. herefore, robust methods must be used to detect outliers in GPS networks. L 1 norm minimization is a robust method to detect outliers in geodetic networks. Adjustment of geodetic networks by this method can be realized solving a linear programming problem. In this study, the adjustment of a GPS network by the L 1 norm minimization method has been studied with the consideration of the correlations among baseline components. he efficiency and robustness of the method have been demonstrated with a numerical example. Moreover, internal reliability measures have been computed by taking into account the correlations among observations. Key words GPS Network, Correlated Observations, Cholesky Factorization Method, L 1 norm Minimization, Internal Reliability. 1. Giri Ölçülerde yaplmas kaçnlmaz olan normal dalml rasgele hatalar nedeniyle nokta koordinatlar gibi parametrelerin en optimal deerlerini, dier bir deyile olasl en yüksek deerlerini elde etmek için, istatistiksel bir yöntem olan EKKY den yararlanlr. Ancak EKKY uyuumsuz ölçülere kar duyarl bir yöntemdir. Uyuumsuz ölçüler olduu zaman EKKY ile elde edilen sonuçlar önemli ölçüde bozulmaktadr. Bu nedenle uyuumsuz ölçülerin belirlenmesi ve giderilmesi gerekir. Bunun için robust yöntemler kullanlabilir. Bu yöntemlerde temel amaç uyuumsuz ölçülerin etkilerinden arnm parametre kestirimi yapmaktr. Bir taraftan da uyuumsuz ölçüler otomatik olarak belirlenmektedir. Ayrca robust yöntemler bir ölçünün uyuumsuzluunun o ölçünün düzeltmesine büyük ölçüde yansmasn salamaktadr. Robust yöntemlerle ilgili olarak BERBER (1997), ERENOLU (23), HEKMOLU ve BERBER (23), HEKMOLU ve ERENOLU (27a,b), HUBER (1981), HAMPEL vd. (1986), KOCH (1999), ROUSSEEUW ve LEROY (1987), SIMKOOEI (23), YEKN (28), YEKN vd. (29) ve YEKN ve NAL (21) a bavurulabilir. Uyuumsuz ölçüler açsndan jeodezik alarn kalitesi güvenirlik analizi ile ölçülebilir. Ancak güvenirlik ölçütlerinin hesaplanmasnda gözlemlerin korelasyonlu olmas durumu dikkate alnmaldr (WIESER 24). Benzer durum robust kestirim için de geçerlidir. Literatürde verilen robust yöntemlerden çou sadece korelasyonsuz gözlemlere ilikin olduundan, korelasyonlu gözlemler için uygun robust yöntemler kullanlmaldr. Bu noktada önemli bir robust yöntem, arlk elemanlarnn iki faktörlü indirgeme modelinin kullanld yöntemdir (YANG vd. 22; YEKN vd. 29). GPS jeodezisinde ikili fark tayc faz gözlemleri ve baz bileenleri korelasyonlu gözlemlere örnek olarak gösterilebilir. Optimizasyon verilen bir amaç fonksiyonunu belirli kstlamalar altnda minimum veya maksimum yapan deiken deerlerinin bulunmas eklinde tanmlanabilir. Bu çerçevede dorusal optimizasyon olarak da adlandrlan dorusal programlama yönteminden pek çok bilim dalnda yararlanlmaktadr. Bu yöntemde hem amaç fonksiyonu hem de eitlik ve/veya eitsizlik kstlamalar dorusaldr. Genel olarak bir dorusal programlama problemi simpleks yöntemiyle çözülebilir (SCHRIJVER 1998). Öte yandan EKL 1 Y jeodezik alardaki uyuumsuz ölçüleri belirlemek için kullanlan robust bir tekniktir. EKL 1 ilkesinde dengeleme bir dorusal programlama probleminin çözümü ile gerçekletirilebilir. SIMKOOEI (23) de jeodezik alarda düük mergtebeli bir Gauss-Markoff modeli için dorusal programlama yöntemiyle çözülebilen EKL 1 Y verilmektedir. Bilindii gibi EKKY, düzeltmelerin karelerinin toplamnn minimum yapld bir parametre kestirim yöntemidir. Ancak, uyuumsuz ölçüler olmas durumunda EKKY nin sonuçlarda öngörülen olumlu özellikleri salanamamaktadr. Bu durumda uyuumsuz ölçülerin robust tekniklerle belirlenmesi ve giderilmesi ve bundan sonra EKKY nin uygulanmas gerekmektedir. Bu noktada kullanlan EKL 1 Y de arlkl düzeltmelerin toplam minimum yaplmaktadr: n p v p v min. (1) i1 i i Burada p vektörü, P arlk matrisinin köegen elemanlardr. L 1 norm ilkesine göre dengeleme, EKKY deki gibi, 1 Ar.Gör, 2 Prof. Dr., Selçuk Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlk Fakültesi, Harita Mühendislii Bölümü, Konya -3-
Yetkin M., nal C. Robust Kestirimin GPS Alarnda Kullanlabilirlii hkm 21/2 Say 13 yansz bir kestirim salar. Ancak EKKY nin minimum varyans ve maksimum olaslk gibi özelliklerini salamaz. EKL 1 Y nin avantaj, uyuumsuz ölçülere kar robust olmasdr (SIMKOOEI 23). Bu çalmada EKL 1 Y nin, korelasyonlu baz bileenlerinin gözlemler olarak alnd bir GPS a için kullanlabilirlii konusu incelenmitir. Bunun için arlk matrisinin Cholesky yöntemiyle köegen matrise ve gözlemlerin korelasyonsuz gözlemlere dönütürülmesi gerekmektedir (ERENOLU ve HEKMOLU 29). EKL 1 Y incelendikten sonra EKKY ile bir karlatrma yapmak için her iki yöntem bir GPS ana uygulanmtr. Ayrca baz bileenlerinin iç güvenirlik ölçütleri gözlemler arasndaki korelasyonlar dikkate alnarak hesaplanmtr. 2. Gauss-Markoff Modeli Gauss-Markoff modeli, dengeli ölçüler ile bilinmeyen parametreler arasndaki dorusal veya dorusallatrlm fonksiyonlar (fonksiyonel model) ile ölçülerin stokastik özelliklerini yanstan kovaryans matrisinden (stokastik model) oluur: l v Ax (2) D x (3) P Q l C (4) 1 2 1 l Bu eitliklerde v n1 düzeltmeler vektörü; l n1 gözlemler vektörü; x u1 parametreler vektörü; A nu tasarm matrisi; P nn arlk matrisi; D ud datum matrisi; d1 sfr vektörü; C lnn gözlemlerin kovaryans matrisi; Q lnn 2 kofaktör matrisi ve birim arlkl ölçünün varyansdr (SIMKOOEI 23). EKK ilkesine göre parametre kestiriminde, A PAx A Pl (5) eklindeki temel eitlik elde edilir. Buradan da bilinmeyen parametreler -1 A PA A Pl x (6) eitliiyle elde edilir. Düzeltmeler ise 1 PA A P R I - A redundans (fazla ölçü) matrisi ile, v Ax - l -Rl (7) eklinde hesaplanabilir. Gauss-Markoff modeli hakknda daha ayrntl bilgi için KOCH (1999) a bavurulabilir. Robustlatrlm maksimum olaslk yöntemi olarak da adlandrlan M-kestirimi edeer arlk matrisi P kavram kullanlarak tanmlanmaktadr. Bu matrisin hesaplanmasnda Huber veya Andrews gibi farkl arlk fonksiyonlarndan yararlanlabilir. M-kestirimi iteratif yeniden arlklandrmal en küçük kareler algoritmas ile gerçekletirilir (HEKIMOGLU ve BERBER 23). YANG vd. (22) tarafndan M-kestirimi korelasyonlu gözlemlere uyarlanmtr. GPS alarnda da uygulanabilen bu yöntem arlk elemanlarnn bifaktör indirgeme modelinin kullanld yöntem olarak adlandrlmaktadr (YANG vd. 22; YEKN vd. 29). 3. GPS Alarnda En Küçük L 1 Norm Yöntemi (1) amaç fonksiyonu Gauss-Markoff modeli kullanlrsa L 1 norm ilkesine göre dengeleme hesab (EKL 1 Y) gerçekletirilmi olur. Bu çözümün gerçekletirilmesi için dorusal programlama yönteminden yararlanlabilir (SIMKOOEI 23). Dorusal programlama yöntemi ile L 1 kestirim probleminin çözülmesi, tüm deikenlerin yani hem düzeltmelerin hem de parametrelerin negatif olmad bir matematiksel modelin oluturulmasn gerektirir. Bu nedenle parametrik dengeleme için verilen denklemlerin gevek (slack) deikenler ekleyerek L 1 kestirim problemine dönütürülmesi gerekir. Parametrik denklemleri parametrelerin ve düzeltmelerin negatif olmad bir forma dönütürmek amacyla parametreler için ve, düzeltmeler içinse u ve w gev- ek vektörlerini kullanalm. Buna göre bilinmeyenler ve düzeltmeler için v u - w, x -, u, w, vektörleri elde edilir. Gevek deikenler yardmyla parametrik denklemler ve datum kstlar ile (1) amaç fonksiyonu ve kstlamalar Gauss-Markoff modeli için, z p v p u - w p u w min (9) l u - w A - D u, v,, (8) (1) eklinde yeniden yazlabilir. Ayn amaç fonksiyonu ve kstlamalar aadaki gibi düzenlenebilir: z A D (11) w u - A I - I l (12), -,, u, w D Z Z w u p p min -4-
hkm 21/2 Say 13 Yetkin M., nal C. Robust Kestirimin GPS Alarnda Kullanlabilirlii Burada olarak, x; w u ve A D denirse; - D I birim matris, - A n n c p p I Z - I A Z ; Z ise sfr matrisidir. Sonuç d n l b (13) (14) z c xmin (15) A x b; x (16) eklinde bir dorusal programlama problemi elde edilebilir. (15) eitlii amaç fonksiyonu, (16) ile verilenler ise kstlamalardr. Bu denklem sistemi, dorusal programlama yöntemiyle çözülebilen özel bir yöneylem aratrmas problemidir. x vektörü çözülerek,, w ve u vektörleri elde edilir. Sonuç olarak da bilinmeyenler vektörü x ve düzeltmeler vektörü v bulunur. Bu ilemler dorusal olmayan modeller için çözüm vektörü sfra yaknsayncaya kadar iteratif olarak yaplmaldr (SIMKOOEI 23). Dorusal programlama problemlerinin çözümünde simplex yönteminden yararlanlabilir (SCHRIJVER 1998). EKL 1 ilkesine göre bir GPS ann dengelenmesi için korelasyonlu gözlemler (baz bileenleri) korelasyonsuz gözlemlere Cholesky çarpanlarna ayrma yöntemiyle dönütürülmelidir (SRANG ve BORRE 1997, YEKN 28). P arlk matrisi Cholesky yöntemi ile P W W (17) eklinde çarpanlarna ayrlr. W matrisini kullanarak dönütürülmü A matrisi ve l vektörü ' ' srasyla A' WA (18) l' W l (19) eklinde elde edilir. Parametre kestiriminde bu dönüüm uyguland zaman bilinmeyen parametreler vektörü de- imemektedir (SRANG ve BORRE 1997). Dönütürülmü gözlemlerin kovaryans ve dolaysyla arlk matrisleri birim matristir: l I (2) P ' I Buradan hareketle (14) de verilen A matrisi ile b vektörü C ' ve (13) de verilen c vektörü aadaki gibi deitirilmelidir (YEKN 28): A' D - A' - D I Z - I A Z ; l' b ; p', elemanlar bir olan bir vektördür. 4. Korelasyonlu Gözlemlerin Güvenirlik Analizi c (21) p' p' ksmi redundans saylar i Güvenirlik analizi ile bir an kaba hata belirleme yetenei (iç güvenirlik) ile ortaya çkarlamayan uyuumsuzluun sonuçlar üzerindeki etkileri (d güvenirlik) incelenir. Bu balamda redundans matrisi R nin köegen elemanlar olan r ile gözlemlerin kontrol edilebilirlikleri ölçülmektedir. Korelasyonsuz gözlemler için r i 1 olmasna ramen korelasyonlu gözlemlerin ksmi redundans saylar 1 den büyük veya negatif olabilmektedir (SCHAFFRIN 1997; WANG and CHEN 1994). Bu nedenle normlandrlm redundans saylarn kullanarak korelasyonlu gözlemler için iç güvenirlik ölçütü, i 1, li ci PRci,n (22) eklinde hesaplanmaldr (WIESER 24). ç güvenirlik ölçütü belirli bir istatistik güven düzeyi 1 ve test gücü 1 ile yaplan uyuumsuz ölçü testiyle (BAARDA 1968) bir ölçüde kantlanabilen en uyuumsuzluk miktarn göstermektedir. Belirlenemeyen bir uyuumsuzluun parametre kestirimleri üzerindeki etkisi ise hem korelasyonlu hem de korelasyonsuz gözlemler için, xˆ 1 A PA A Pcili, i (23) eitlii ile verilen d güvenirlik ölçütü kullanlarak tahmin edilebilir (WIESER 24). Eitliklerdeki c, i. eleman 1, dier elemanlar olan bir vektördür. 5. Saysal Uygulamalar 5.1 Uygulama 1 Bu bölümde, SIMKOOEI (23) tarafndan klasik jeodezik alarda Gauss-Markoff modeli için verilen robust EKL 1 Y bir GPS ana uygulanmtr. Dört farkl durum için EKKY ile EKL 1 Y sonuçlarnn karlatrlmas amaçlanm; srasyla EKKY rasgele hatal ölçülere ve uyuumsuz ölçülere, EKL 1 Y rasgele hatal ölçülere ve uyuumsuz ölçülere uygulanmtr. Daha önce de belirtildii gibi EKL 1 Y nin GPS alarna uygulanabilmesi için korelasyonsuz ölçü dönüümü gerekmektedir. Çünkü SIMKOOEI (23) de arlk matrisinin diyagonal (köegen) olmas öngörülmektedir. Uygulamalar için 6 nokta ve 13 baz gözleminden oluan bir GPS a kullanlmtr (ekil 1). An datumu A noktasnn koordinatlar sabit tutularak salanmtr. Baz bileen- i -5-
Yetkin M., nal C. Robust Kestirimin GPS Alarnda Kullanlabilirlii hkm 21/2 Say 13 leri birbirleri ile korelasyonlu olduu için, orijinal arlk matrisi dolu simetrik bir matristir. Ölçüler için iki farkl durum göz önünde bulundurulmutur. Birinci durumda sadece normal dalml rasgele hatalar ölçüleri etkilemektedir. kinci durumda ise X baz bileenine 3 m, ZDE baz bileenine +7 m ve YBF baz bileenine de + 4 m kaba hata eklenmitir. Uyuumsuz ölçüler ablo 1 de verilmitir. E D A F ekil 1: GPS A (Wolf ve Ghilani, 1997) ablo 1: Uyuumsuz ölçüler Baz Bileeni Uyuumsuz Ölçüler 396.5442-3m X BC Z DE Y BF B -6596.6697 +7m 5686.2926 +4m C BC MALAB ortamnda yaplan hesaplamalarda Cholesky yöntemiyle çarpanlara ayrma ilemi için chol.m altyordam, dorusal programlama probleminin çözümü içinse linprog.m altyordam kullanlmtr. GPS a önce ölçüler sadece rasgele hatalar ile yüklüyken EKK ve EKL 1 ilkelerine göre dengelenmitir. Dengelemeler sonunda elde edilen koordinat deerleri ablo 2 de verilmitir. Uyuumsuz ölçülere kar hangi yöntemin daha iyi oldu- unu görmek için bu kez ablo 1 de verilen uyuumsuz baz bileenlerini de içeren ölçü kümesine EKKY ve EKL 1 Y uygulanm, elde edilen koordinatlar ablo 3 de verilmitir. EKKY ve EKL1Y uygulama sonuçlar üzerine aadaki deerlendirmeler yaplabilir (YEKN 28): 1-Ölçüler sadece rasgele hatalarla yüklü olduu zaman EKL 1 Y ve EKKY yakn sonuçlar vermektedir (ablo 2). 2-Uyuumsuz ölçü olmas durumunda EKL 1 Y, EKKY den daha iyi sonuçlar vermektedir. ablo 2 ve 3 den ölçüler ister sadece rasgele hatalarla yüklü olsun ister baz ölçüler uyuumsuz olsun, EKL 1 Y nin birbirine yakn sonuçlar verdii görülmektedir. Ayrca bu sonuçlar rasgele hatal ölçülere ilikin EKKY sonuçlarna çok yakn deerlerdir. Uyuumsuz ölçülere ilikin EKKY sonuçlarnn ise oldukça kötü olduu görülmektedir. Örnein B noktasnn uyuumsuz ölçülere ilikin Y koordinat rasgele hatal ölçülere ilikin olandan 1.625 m farkl çkmaktadr. ablo 2: Rasgele hatal ölçülere ilikin koordinatlar (m) N Dengeli Koordinatlar (EKL 1 Y) Dengeli Koordinatlar (EKKY) X Y Z X Y Z A 42.359-4652995.311 434976.7775 42.359-4652995.311 434976.7775 B 886.314-4642712.8478 436439.689 886.32-4642712.846 436439.7 C 1246.58-4649394.844 435316.549 1246.582-4649394.859 435316.552 D -381.5827-464317.3681 4359531.1143-381.5799-464317.366 4359531.112 E -4919.3419-4649361.2182 4352934.4479-4919.34-4649361.216 4352934.442 F 1518.813-4648399.1442 4354116.6829 1518.81-4648399.1459 4354116.68 ablo 3: Uyuumsuz ölçülere ilikin koordinatlar (m) N Dengeli Koordinatlar (EKL 1 Y) Dengeli Koordinatlar (EKKY) X Y Z X Y Z A 42.359-4652995.311 434976.7775 42.359-4652995.311 434976.7775 B 886.343-4642712.8369 436439.734 886.2753-4642711.2218 436438.548 C 1246.5885-4649394.836 435316.584 1245.78-4649393.5554 4353158.9638 D -381.5753-464317.3782 4359531.1141-381.7359-464317.213 4359529.971 E -4919.3655-4649361.2153 4352934.4525-4919.3789-4649361.1177 4352935.934 F 1518.833-4648399.1459 4354116.683 1518.8352-4648399.1837 4354116.4181 ablo 4: EKL 1 Y ve EKKY ile bulunan düzeltmeler (m) EKL 1 Y EKKY Ölçü No Düzeltmeler Ölçü No Düzeltmeler Ölçü No Düzeltmeler Ölçü No Düzeltmeler 1.144 21 -.3 1 -.7941 21.2619 2.14 22 -.48 2.5296 22 -.8451 3.284 23.23 3-1.662 23.5683 4 24 -.46 4 -.134 24 -.8342 5.17 25 -.288 5.183 25 -.741 6.15 26.6 6 1.492 26.136 7 3.1 27 -.5 7-1.395 27 1.746 8 28.14 8-1.868 28 -.1911 9 -.2 29 -.123 9 -.5693 29.3825 1.4 3.11 1 -.412 3-1.751 11 -.213 31.1 11-1.2794 31.212 12.7 32-3.9836 12-1.499 32 1.6693-6-
hkm 21/2 Say 13 Yetkin M., nal C. Robust Kestirimin GPS Alarnda Kullanlabilirlii 13.38 33.4 13 -.644 33 -.261 14.46 34 -.1 14.1759 34 -.212 15.43 35 -.9 15.9268 35-1.6619 16 -.42 36 -.14 16.17 36.251 17.129 37 -.67 17 -.2465 37.252 18-6.9919 38.1 18 3.567 38 -.377 19 -.33 39 -.86 19 -.352 39 -.2735 2.59 2.437 3- ablo 4 de EKL1Y ve EKKY ne ilikin düzeltmeler verilmitir. abloya göre EKL1Y, uyuumsuzluk miktarlarn büyük oranda ilgili ölçünün düzeltmesine yanstmaktadr. Bu deerler italik koyu karakterlerle gösterilmitir. EKKY ise 3,6,8 ve 12. gibi pek çok iyi ölçüyü uyuumsuz gibi göstermektedir. Bu deerler koyu karakterlerle belirtilmitir. ablo dikkatle incelenirse uyuumsuz ölçüler olan 7., 18. ve 32. gözlemlerdeki etkiyi EKKY nde düzeltmelere tam olarak yansmamaktadr (italik deerlere baknz). Bu, EKKY nin uyuumsuz ölçü belirlemede, ilk admda yetersiz kaldnn bir göstergesidir. 4- EKL1Y nde 4 ve 8. gibi baz ölçü düzeltmeleri yada a çok yakn çkmaktadr. Bu, yönteme ilikin bir zorlama etkisinden kaynaklanmaktadr. Bu etki EKL1Y nin bir sakncas olarak düünülebilir. 5.2 Uygulama 2 Adaki baz bileenleri için iç güvenirlik ölçütleri (22) eitlii ile hesaplanm ve ablo 5 de verilmitir. d merkezlik parametresi,. 1 için ve. 2 4.13 olarak seçilmitir. ablo 5 deki deerler istatistiksel test yöntemiyle (data snooping) kantlanabilen uyuumsuzluun en alt snrn göstermektedir. ablo 5: ç güvenirlik ölçütleri (cm) l i Ölçü No Ölçü No 1 13.68 21 4.91 2 13.26 22 7.84 3 13.65 23 7.49 4 7.28 24 7.62 5 7.5 25 5.83 6 7.16 26 5.88 7 7.77 27 5.78 8 8.5 28 5.48 9 7.66 29 5.61 1 7.65 3 5.87 11 7.76 31 4.3 12 7.68 32 4.67 13 7.24 33 4.31 14 7.38 34 4.2 15 7.8 35 4.67 16 6.5 36 4.36 17 6.61 37 4.57 18 6.62 38 4.73 19 4.63 39 5.6 2 4.6 6. Sonuç Jeodezide uyuumsuz ölçülere kar robust yöntemler kullanlabilir. Bu yöntemlerden birisi de bir dorusal programlama problemi eklinde çözülebilen en küçük L 1 norm yöntemidir (EKL 1 Y). EKKY nden farkl olarak düzeltmelerin kareleri toplam yerine mutlak deerleri toplamnn minimum yapld EKL 1 Y uyuumsuz ölçülere kar daha az duyarl bir yöntemdir. Ancak bu yöntemin GPS alarnda olduu gibi korelasyonlu gözlemlere uygulanabilmesi için arlk matrisinin köegenletirilmesi gerekir. Cholesky çarpanlarna ayrma yöntemiyle gerçekletirilebilen bu ilemle gözlemler arlklar 1 olan korelasyonsuz gözlemlere dönütürülmektedir. Bu çalmada EKL 1 Y ile EKKY ni karlatrmak için saysal bir uygulama yaplmtr. Ayrca uygulamada kullanlan GPS ann iç güvenirlik ölçütleri baz bileenleri arasndaki korelasyonlar dikkate alnarak hesaplanmtr. Ölçüler sadece rasgele hatalarla yüklüyken EKL 1 Y ve EKKY sonuçlar yakn çkmaktadr. Uyuumsuz ölçüler söz konusu olduunda ise EKL 1 Y, sadece rasgele hatal ölçülere ilikin sonuçlardan az sapan de- erler, EKKY ise kaba hata etkilerini içeren kötü sonuçlar vermektedir. Ayrca kaba hatalar EKL 1 Y nde düzeltmelere daha iyi yansmaktadr. Ancak baz gözlemlerin düzeltmelerinin sfr çkmas bu yöntemin sakncas olarak görülebilir. Kaynaklar BAARDA W.: A testing procedure for use in geodetic networks, Publications on Geodesy. New Series 2, no.5. Netherlands Geodetic Com., Delft, 1968. BERBER M.: Kenar alarnda uyuumsuz ölçülerin klasik uyuumsuz ölçü testleri ve M kestirimi ile belirlenmesi ve karlatrlmas, Yüksek Lisans ezi, YÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul, 1997 ERENOLU R.C.: Jeodezik alarda uyuumsuz ölçülerin robust yöntemlerle ve uyuumsuz ölçü testleriyle belirlenmesi ve birbirleriyle karlatrlmas, Yüksek Lisans ezi, YÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul, 23 ERENOLU R.C., HEKMOLU. : An investigation into robust estimation applied to correlated GPS networks, M.G. Sideris (ed.) Observing our Changing Earth, International Association of Geodesy Symposia 133, Springer- Verlag, Berlin, 29. HAMPEL F., RONCHEI E., ROUSSEEUW P., SAHEL W. : Robust statistics: the approach based on influence functions, Wiley, New York, 1986. HEKMOLU., BERBER M. : Effectiveness of robust methods in heterogeneous linear models, J Geod 76:76-713, 23. HEKMOLU., ERENOLU R.C. : Effect of heteroscedasticity and heterogeneous on outlier detection for geodetic networks, J Geod 81:137-148, 27a. HEKMOLU., ERENOLU R.C.: Jeodezik alarda uyu- umsuz ölçülerin klasik yaklam ve robust yöntemlerle belirlenmesi, HKM Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi, Say: 97, 3-14, 27b. HUBER P.J.: Robust statistics, John Wiley, New York, 1981. KOCH K.R. : Parameter estimation and hypothesis testing in linear models, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1999. -7-
Yetkin M., nal C. Robust Kestirimin GPS Alarnda Kullanlabilirlii hkm 21/2 Say 13 ROUSSEEUW P.J. LEROY A.M. : Robust regression and outlier detection, John Wiley, New York, 1987. SCHAFFRIN B. : Reliability measures for correlated observations, J Surv Eng 123:126-137, 1997. SCHRIJVER A. : heory of Linear and Integer Programming, John Wiley & Sons, 1998. SIMKOOEI A.A. : Formulation of L 1 norm minimization in Gauss-Markov Models, J Surv Eng, 129(1):37-43, 23. SCHRIJVER A. : heory of Linear and Integer Programming, John Wiley & Sons, 1998. SIMKOOEI A.A. : Formulation of L 1 norm minimization in Gauss-Markov Models, J Surv Eng, 129(1):37-43, 23. SRANG G. BORRE K. : Linear algebra, geodesy and GPS, Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, USA, 1997. WANG J. CHEN Y. : On the reliability measure of observations, Acta Geod Cartogr Sinica 23:42-51, 1994. WIESER A. : Reliability checking for GNSS baseline and network processing, GPS Solutions 8:55-66, 24. WOLF P.R. GHILANI C.D. : Adjustment computations, statistics and least squares in surveying and GIS, John Wiley & Sons, Inc., 1997. YANG Y. SONG L. XU. : Robust estimator for correlated observations based on bifactor equivalent weights, J Geod 76:353-358, 22. YEKN M. : GPS alarnn optimal tasarm ve robust istatistik yöntemlerin kullanlabilirlii, Selçuk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Jeodezi ve Fotogrametri Müh. ABD Yüksek Lisans ezi, 28. YEKN M. NAL C. Y C.Ö.Y. : Ölçülerin korelasyonlu olmas durumunda robust kestirim, HKM Jeodezi Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi, 1: 21-26, 29. YEKN M. NAL C. : Jeodezik alarda L 1 norm minimizasyonu: yükseklik a örnei, Harita Dergisi, 143:13 18, 21-8-