Ön Söz Bu kitap lisans ve yüksek lisans düzeyinde tanıtıcı nitelikte, her bölümün sonunda görünen daha gelişmiş konulara bağlı olarak ele alınan bir ders kitabı olarak yazılır. Gelişmiş konular olmadan kitap, yeni başlamış ve son sınıf fen bilimleri ve mühendislik öğrencileri tarafından kolayca anlaşılır bir düzeydedir. Gelişmiş konuları içermesiyle birlikte kitap, yüksek lisans seviyesinde sonlu elemanlar dersine giriş için ders kitabı olarak hizmet verebilir. Yazarların 50 yılı aşkın lisans ve yüksek lisans sonlu elemanlar derslerindeki öğretim deneyimlerinin birleşimi ile bu metin ortaya çıkmıştır. Kitap sonlu elemanlar yönteminin formülasyonu ve uygulamaları üzerine odaklıdır. Aşağıdaki üç açıdan diğer temel sonlu elemanlar ders kitaplarından farklıdır: 1. Kendi kendine yeten ve tanıtıcı niteliktedir. Mühendislik ve fen bilimleri müfredatının ilk iki yılındakilerin tamamının harmanlanması, yalnızca makul miktarda matematik ve fizik altyapısı gerektirir. Ayrıca, matris cebiri, diferansiyel denklemlerdeki bazı özel konular gibi matematikte yer alan özel konuların bazıları ve korunum kanunları ve esas denklemler gibi mekanik ve fizik uygulamalarından önce gözden geçirilmektedir. 2. Kapsamlıdır. Tanıtıcı nitelikte olan sonlu elemanlar ders kitaplarının çoğu örneğin lineer elastiklik üzerine odaklı uygulamalar olmasına rağmen, bu kitapta yer alan sonlu elemanlar yöntemi kısmî diferansiyel denklemler tarafından yönetilen mühendislik problemlerinin çözümünde genel amaçlı sayısal prosedür olarak formüle edilmiştir. Sonlu elemanların anlaşılması ve geliştirilmesinde önemli bir adım olan, denklemlerin zayıf formlarını elde etmek için, metodoloji dikkatle geliştirilmiştir. Sonuç olarak, çeşitli mühendislik ve fen bilimleri disiplinlerinden olan öğrenciler konunun tefsirinden eşit olarak faydalanacaklardır. 3. Deneyim uygulamalarıdır. Kitap sonlu elemanlar teorisini, sonlu elemanlar kodu geliştirilmesini ve ticari yazılım paketlerinin uygulamalarını entegre eder. Sonlu elemanlar kodu geliştirilmesi, ticari sonlu elemanlar yazılımının kullanımının gösterilmesi için ABAQUS kullanılmasına rağmen, MATLAB alıştırmaları ve bir MATLAB programı vasıtası ile tanıtılır. Bu kitaptaki öğretiler bir çeyrek ders dönemi için kitap bölümlerinin alt kümesinden anlamlı bir ders ve tek bir sömestr ile harmanlanabilir. Ders materyali her biri yaklaşık bir aylık üç kronolojik birimde düzenlenir: (1)bir boyutlu problemler için sonlu elemanlar; (2)iki boyutlu skaler alan problemleri için sonlu elemanlar; (3) iki boyutta vektör alan problemleri ve kirişler için sonlu elemanlar. Her bir adımda, zayıf formlar geliştirilir, şekil fonksiyonları tanımlanır ve bu maddeler sonlu elemanlar denklemlerini elde etmek için sentezlenir. Dahası, ağ tabanlı bölümler içinde, genel amaçlı sonlu elemanlar yazılımının uygulanmasıyla lineer ısı iletimi ve elastikiyeti için ABAQUS verilir. Her bölüm, bazıları MATLAB ile programlama gerektiren kapsamlı bir ev ödevleri kümesi içerir. Her kitap beraberindeki bir ABAQUS öğrenci baskısı CD ile gelir ve MATLAB sonlu elemanlar programları xi
xii ÖN SÖZ John Wiley&Sons:www.wileyeurope/college/Fish ilişik ev sahipliğindeki internet sitesinden indirilebilir. Bu kitaba ayrıca ABAQUS personeli tarafından yazılan, eğitici, ABAQUS örnek problemleri dahil edilmiştir. Öğrencilerin ilgi ve altyapısına bağlı olarak, üç yol geliştirilmiştir: 1. Yaygın Fen Bilimleri ve Mühendislik (BilMüh) yolu 2. İleri seviye (Geliştirilmiş) yolu 3. Yapı Mekaniği (YapıMek) yolu BilMüh fen bilimleri ve mühendislik öğrencilerinin yaygın bir kitlesine yöneliktir. SEY in sunulmasında mühendislik dizayn problemlerinin çözümü için çok yönlü bir araç ve bilimsel keşifler için de bir vasıta olması hedefleniyor. Bu yolu başarıyla tamamlayan öğrenciler kitapta belirtilen problem türleri için sonlu elemanlar yönteminin değerini anlamak ve uygulamak için ellerinden geleni yapmaları gerekmektedir, ancak daha da önemlisi, bu BilMüh yolu onları kitapta açıkça yer almamış problem çeşitleri için yöntemi anlamak ve geliştirmek yetenekleri ile donatır. Bu bizim tavsiye edilen yolumuzdur. Geliştirilmiş yol matematik uygulamaları üzerine güçlü bir odaklı, kafesler ve çubuklar gibi özel uygulamalarından ziyade yöntemin daha ayrıntılı bir anlatımı ile daha az ilgilenen yüksek lisans öğrencileri gibi lisans öğrencileri için tasarlanmıştır. Çok boyutta detaylı yakınsama delillerinin dışında kalmasına rağmen, Geliştirilmiş yol metodun kapsamlı bir matematiksel analizi ilgilenen öğrenciler için mükemmel bir sıçrama tahtasıdır. Ana odak noktaları yapı ve katı mekaniği olan inşaat, makine ve uzay mühendisliği öğrencileri için YapıMek yolu planlanır. Çubuklar, kafesler ve enerji prensibi tabanlılar gibi uzmanlaşılmış konular bu yol içinde vurgulanır, çok boyutlu katı mekaniği dışındaki konular ile ilgilenen bölümler isteğe bağlı sınıflandırılmıştır. Üç yol için P1 tablosu önerilen ders taslaklarını verir. Listenin sol üç kolonu her yol için önerilen kısımlardır. Tablo P1 Bilim ve Mühendislik (BilMüh) için önerilen taslak yolu, Gelişmiş parça ve yapı mekaniği (YapıMek) yolu. Taslak BilMüh Gelişmiş YapıMek Kısım 1: Bir boyutlu problemler için sonlu Bölüm 1: Giriş Hepsi Hepsi Hepsi Bölüm 2: Ayrık sistemlere doğrudan yaklaşım 2.1-2.3 2.1, 2.2, 2.4 Bölüm 3: Bir boyutlu problemler için güçlü ve zayıf formlar Bölüm 4: Bir boyutlu problemler için deneme çözümleri yaklaşımı, ağırlık fonksiyonları ve Gauss kareleme hesabı yaklaşımı Bölüm 5: Bir boyutlu problemler için sonlu Kısım 2: Çok boyutlu skaler alan problemleri için sonlu Bölüm 6: Çok boyutlu skaler alan problemleri için zayıf ve güçlü formlar Bölüm 7: Çok boyutlu problemler için deneme çözümleri, ağırlık fonksiyonu ve Gauss kareleme hesapları yaklaşımı Bölüm 8: Çok boyutlu skaler alan problemleri için sonlu 3.1-3.6 Hepsi 3.1.1, 3.2-3.5, 3.9 Hepsi Hepsi Hepsi 5.1-5.4, 5.6, 5.6.1 Hepsi 5.1, 5.2, 5.4, 5.6 5.6.1 6.1-6.3 Hepsi 6, 6.1 7.1-7.4, 7.8.1 Hepsi 7.1-7.4, 7.8.1 8.1, 8.2 Hepsi
ÖN SÖZ xiii Taslak BilMüh Gelişmiş YapıMek Kısım 3: İki boyutlu alan vektör problemleri için sonlu Bölüm 9: Vektör alanı problemleri için sonlu elemanlar formülasyonu lineer elastisite 9.1-9.6 Hepsi 9.1-9.6 Bölüm 10: Kirişler için sonlu 10.1-10.4 Bölüm 11: Ticari sonlu elemanlar programı ABAQUS öğreticisi Hepsi Hepsi Hepsi Bölüm 12: MATLAB ile Sonlu Elemanlar Programlaması (sadece ağ üzerinden) 12.1-12.6 12.3-12.6 12.1, 12.1-12.4, 12.6-12.7 NOTASYONUN KISA BİR TERİMLER LİSTESİ Skaler, Vektörler, Matrisler Fiziksel koordinatlar (x 1 boyutta) a, B Skalerler Gradyan ve simetrik gradyan a, B Matrisler matrisleri Vektörler Gradyan vektörü Matris ve vektör bileşenleri Tamsayılar Güçlü Form-Isı iletimi Düğüm noktaları sayısı T Sıcaklık Eleman sayısı Akı (q 1 boyutta) Gauss noktaları sayısı Ana sınır Eleman düğümleri sayısı Doğal sınır e Eleman numarası s Isı kaynağı Kronecker delta Sınır akısı ve sıcaklığı D İletkenlik matrisi Takımlar İletkenlikler (k 1 boyutta) Hepsi için Güçlü Form-Elastisite Birleşim Yer değiştirmeler (u 1 boyutta) Kesişim x ve y yönlerine dik doğrultuda düzlem Üyesi olmak üzerine etkiyen gerilme vektörleri Alt kümesi Şekil değiştirme ve gerilme matrisleri Aralıklar, Süreklilik Gerilme tansörü Deneme çözümlerinin aralığı Şekil değiştirme bileşenleri Ağırlık fonksiyonlarının aralığı Gerilim bileşeni j. türevleri sürekli olan fonksiyonlar Cisim kuvvetleri (b 1 boyutta) Türevleri s kare integrallenebilir fonksiyonların aralığı Güçlü Formlar-Genel Problem alanı Alanın sınırı Birim D Çekmeler Young modülü ve Poisson oranı Malzeme modülü matrisi Tanımlanmış yüzey gerilme vektörü ( 1 boyutta) Tanımlanmış yerdeğiştirmeler ( 1 boyutta) Esas (yer değiştirme) ve doğal (çekme) sınırı
xiv ÖN SÖZ Güçlü form-kirişler Sonlu Elemanlar-Isı iletimi Orta çizgideki x Sonlu elemanlar sıcaklığı yer değiştirmesi İç moment sıcaklık matrisleri İç kesme kuvveti Yayılı yük iletkenlik matrisleri I Eylemsizlik momenti Eğrilik Sınır akı matrisleri Dikey yer değiştirmeler, Dönmeler kaynak matrisleri Tanımlanmış moment ve r Global artık matrisi kesme kuvvetleri f Global akı matrisi Tanımlanmış dikey yer değiştirmeler ve dönmeler Sonlu Elemanlar-Elastisite Doğal sınır: moment ve kesme Sonlu elemanlar yer değiştirmeleri Esas sınır: yer değiştirmeler ve Eleman 1 düğümündeki sırasıyla x ve dönmeler y doğrultularındaki yer değiştirmeleri yerdeğiştirme matrisi Sonlu Elemanlar-Genel katılık e ( 1B)Elemanının etki alanı matrisi e (kesit alanı 1B) Elemanının alanı sınır kuvvet matirisi e elemanındaki 1 düğümünün koordinatları cisim kuvveti matrisleri Eleman ve global şekil fonksiyonları kuvvet matrisi Eleman ve global şekil fonksiyon Global tepki kuvveti matrisi türev matrisleri Toplama matrisi Sonlu Elemanlar-Kirişler Dağıtma matrisi Sonlu elemanlar dikey Jacobian matrisi yer değiştirmeleri Eleman ve global deneme çözümleri Eleman yer değiştirme Eleman ve global matrisi ağırlık fonksiyonları katılık Gauss karaleme ağırlıkları matrisleri Esas/doğal koordinat ın x - koordinat eşleştirme Sınır kuvvet matrisleri y - koordinat eşleştirme cisim E- ve F- düğümleri içine bölme kuvvet matrisleri Global ağırlık fonksiyonları matrisi Elemandan global koordinat kuvvet matrisleri sistemine rotasyon matrisi Global tepki kuvveti matrisi
Çeviri Editörünün Ön Sözü Sonlu Elemanlar Yöntemi değişik disiplinlerdeki, genellikle analitik yöntemlerle çözülemeyen, karmaşık birçok fizik ve mühendislik problemlerinin çözümü için geliştirilmiş sayısal bir yöntemdir. Bu problemleri tanımlayan diferansiyel denklemleri birçok cebirsel denklem sistemine dönüştürülmesini ve çözümünü içeren sonlu elemanlar yönteminin başlangıcı 1940 lı yıllara kadar uzanmaktadır. Başlangıçta katı cisimler mekaniğinde gerilme ve deformasyon analizi için kullanılan yöntem günümüzde ısı transferi, akışkanlar mekaniği, elektrik iletimi ve manyetizma gibi birçok değişik disiplinlerarası problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır. Sonlu elemanlar yöntemi inşaat, makine, otomotiv, uzay, savunma ve spor endüstrisi gibi birçok alandaki yapı elemanlarının analiz ve tasarım aşamalarında etkin bir şekilde kullanılmaktadır. Üretim firmaları, büyük tasarım ofisleri ve AR-GE merkezleri genellikle kendi bünyelerinde geliştirdikleri sonlu eleman yazılımlarını ya da ticari amaçlı geliştirilmiş genel amaçlı sonlu eleman yazılımları kullanmaktadırlar. Bu kadar yaygın etkisi olan sonlu elemanlar yöntemi birçok farklı disiplinin lisans ve yüksek lisans eğitimi müfredatında yer almaktadır. Ülkemizde okutulan sonlu elamanlar derslerinde, sınırlı sayıda Türkçe eser bulunmasından dolayı ağırlıklı olarak İngilizce eserler kullanılmaktadır. Jacob Fish ve Ted Belytschko tarafından yazılan Sonlu Elemanlar Yöntemine Giriş adlı bu kitap, lisans ve yüksek lisans düzeyinde sonlu elemanlara başlangıçtaki temel prensipleri ve gelişmiş konulara bağlı ileri düzey bilgileri ele alan bir ders kitabı olarak yazılmıştır. Lisans düzeyindeki öğrenciler tarafından kolayca anlaşılabileceği düşünüldüğünden kitabın çevirisinin yapılmasının bu alanda eğitim alan öğrencilere faydalı olacağı düşünülmüştür. Kitabın çevirisi mümkün olduğu kadarı ile aslına uygun olarak yapılmaya çalışılmakla birlikte dilimize uygun akıcılığına da önem verilmiştir. Ancak çevirisi yapılan birçok eserde olduğu gibi bu çalışmada da muhtemel çeviri ve baskı hataları olabilecektir. Bu tür hataların, okuyucularımız ve alanındaki uzaman meslektaşlarımız tarafından geri bildirimleri kitabın akıcılığının artırılması noktasında çok faydalı olacaktır. Kitabın çeviri sürecinde etkin görev alarak değerli katkılar sunan meslektaşlarım, Prof. Dr. Mehmet Ali Güler e, Doç. Dr. Murat Yazıcı ya, Arş. Gör. Oğuzhan Mülkoğlu na ve TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi öğrencilerinden Ümit Kılınçkaya ile Burak Ölçek e en içten duygularla teşekkür ederim. Kitabın dizgisinde ve basımında görev alan Nobel Akademik Yayıncılık yetkilerine, özellikle de bizlerin bütün isteklerimizi sabır ve nezaket içinde titizlikle yerine getiren Kahraman Boğaz ve Damla Aydın a şükranlarımı sunarım. Kitabın okuyucularına faydalı olması dileklerimle Prof. Dr. Babür Deliktaş Uludağ Üniversitesi xv