Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/ 7. İSKOZ ( SÜTÜNMELİ ) AKIŞLA 7.. Giiş Bi akışta iskoite etkisi önemli ise bu akış isko (sütünmeli) akış adını alı. Akışkan iskoitesinden dolaı, üe ile akışkan aasında bi hı (hidodinamik) sını tabakası oluşu. isko akışlada, akışın kaakteine bağlı olaak iki tü akış bölgesi/ tüü sö konusudu. Lamina akışta, akış apısı, akış tabakalaının haeketi ile tanımlanı. Komşu tabakala bibileine kaışma e tek bi çigi halinde haeket edele. Tübülanslı akışta ise, akış apısı astgele üç boutta haeket eden patiküllele tanımlanı. Hı dalgalanmalaı nedenile tabakala aası momentum tansfei sö konusudu. Bu bölümde isko e lamina akışla gö önüne alınmakta e analitik çöümü apılabilen baı akış poblemleinin çöüm aşamalaı açıklanmaktadı. 7.. isko akışlada Naie-Stokes Denklemlei Sütünmesi akışla için tüetilen denklemde ihmal edilen isko kuet etkilei gö önüne alındığında, sütünmeli akış denklemlei otaa çıka. Newtonan akışkanla için isko kuetlei ile defomason aasında ilişki linee olup, stes-defomason ilişkisi momentum denklemine ugulanı e geekli işlemle apılısa; g Dt D ~ ~ ~ ~ ~ denklemi elde edili. Bu denklem sistemi daha önce beliildiği üee, Naie Stokes haeket denklemlei olaak adlandıılı. İki boutlu bi akışta Naie Stokes denklemlei kateen koodinatla için ( e önlei için), u u g Dt Du g Dt D şeklindedi. Silindiik koodinatlada ise ( e θ önlei için), θ θ θ g Dt D θ θ θ θ θ θ θ θ g Dt D
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. olaak eili. Bu denklemlede iki hı bileşeni e basınç bilinmeen büüklükle olup, bilinmeenlein bulunması için ilae bi denkleme daha ihtiaç adı. Bu nedenle kateen e silindiik koodinatla için aşağıda eilen süeklilik denklemi kullanılmaktadı: u θ θ ( ) ( ) 7.. Hı (hidodinamik) sını tabakası e tam gelişmiş akış kaamı isko akışlada, akışkan iskoitesinden dolaı katı üede bi apışma, ani akış hıının sıfı olması sö konusudu. Katı üeden uaklaştıkça hıın sıfı değeinden, sebest akış hıı değeine ulaştığı bi tabaka mecut olup, bu tabaka hı sını tabakası olaak adlandıılı. Sını tabakası kaamına önek olmak üee; Şekil 7. de dü leha üei (lamina) bi akışta hı sını tabakasının, leha uunluğu bounca nasıl geliştiği gösteilmişti. Lehanın U sabit hııla akan bi akışkan içine konulması halinde, lehaa değen paçacıklaın hıı, apışma sonucu sıfı olu. Bölece cidaa akın elede hıın, sıfıdan değeine ulaştığı ince bi tabaka oluşu. Bu tabakaa 9 de andtl taafından hidodinamik sını tabaka ismi eilmişti. Lehanın ucunda sıfı olan sını tabaka kalınlığı akış () önünde gideek ata. U Şekil 7. Dü leha üei (lamine) akışta sını tabakanın gelişimi Dü üeli leha için eel enold saısı: e U e kitik enold Saısı, 5 ( e ) 5* k olduğundan, akış III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. e e < 5* > 5* 5 5 Lamina Tubulans olacaktı. Lamina akışta hı sını tabakası kalınlığının hesabında; δ ( ) 5 e denklem kullanılmaktadı. Denklemden anlaşılacağı üee; leha üeinde atan mesafesi ile sını tabakası kalınlığı da atmış olacaktı. isko etkiden dolaı üe üstü (haici) akışlada akış önünde gelişen sını tabaka kalınlığı, kanal içi (dahili) akışlada; Şekil 7. de gösteildiği üee, kanal giişinden itibaen he iki cidada simetik olaak gelişi. He iki önden gelişen sını tabakalaın mekede bileşiminden itibaen, kanal içeisinde akış tamamen isko etkile altında kalı. Akış bu noktadan itibaen hidodinamik önden tam gelişmiş akış olaak adlandıılı. Şekil 7.. Kanal içi akışlada hidodinamik sını tabaka gelişimi e tam gelişmiş akış bölgesi Şekilde gösteilen D çapına sahip daiesel bou içeisindeki akış için; u m otalama hı e m&. u A akış debisi olmak üee, enold saısı, m. u m D e D şeklinde eili. Kitik enolds saısı ise, ) (e D k olduğundan akış, e e D D > Lamina Tubulans III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. şeklindedi. Bou içi lamina akışta; kanal giişinden itibaen tam gelişmiş bölgee ulaşma mesafesi, h.5 D e D eşitliği ile hesaplanabilmektedi. Tam gelişmiş akış bölgesinin en önemli öellikleinden bi hı pofilinin, Şekil 7. de gösteildiği gibi, akış önünde anı kalmasıdı. anı hı pofili akış önü Şekil 7.. Tam gelişmiş bölgede akış önünde hı pofilinin anı kalma öelliği 7..Temel isko akışla e analitik çöümlei isko akışlada çöümle genellikle o e kamaşık saısal teknikle geektimektedi. Ancak baı basit geometiledeki akışlaın analitik çöümlei mecut olup, bu çöümlee ulaşmada; tam gelişmiş, lamina, bi-boutlu e kaalı akış asaımlaı ugulanı. Baı temel akışla e çöüm aşamalaı aşağıda eilmişti. 7... Haeketsi (sabit) e paalel üele aasında akış Şekil 7.. Sabit paalel üele aasında akış w, g g, g g Süeklilik Denklemi u u u f ( ) III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/5 -önü momentum denklemi { { { { { u u g u u u t u u -önü momentum denklemi { { { { { g u t ( ) c g g Momentum denkleminden; c d du d u d ) ( c c u hı pofiline ulaşı. Not (): / teimi in bi fonksionu olmadığından sabit olaak alınabili. Sını Koşullaı: e h c c h u m Hı dağılımı: ( ) h u Hacimsel debi: h u d da A h h. ~. ~ & Not (): teimi negatif işaetli olup, l uaklığındaki iki nokta aasında l olaak aılabili. Bu duumda;
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. & h l elde edili. Otalama hı e maksimum Hı: & u ( h.) u h l u Kama geilmesi: τ h h l ( ) u u u l ma Elde edilen sonuçla doğultusunda, hı e kama geilmesi pofilleinin şematik göüntüsü Şekil 7.5 de gösteilmişti. Şekil 7.5. Sabit paalel üele aasında akış için hı e kama geilmesi pofillei 7... Üst üei haeketli iki leha aası akış (Couette akışı) Şekil 7.5. Üst üei haeketli iki leha aası akış III/6
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. Momentum e süeklilik denklemi bi önceki kısımda ugulandığı şeklile; sabit paalel leha aasındaki akış ile anı aşamalaı içei e otaa çıkan genel hı pofili aşağıda eildiği gibi anıdı. Değişiklik sını koşullaında oluşu. u Sını koşullaı: ( ) c c u c b u u c ( b) u b b b b u u u b b b b Hı pofili denklemdeki basınç gadanı teimine bağlı olacaktı. Şekil 7.6 da basınç gadanının, ( ) ; ( > ) e ( < ) duumlaı için çiilen hı pofillei gösteilmişti. Şekil 7.6. Üst üei haeketli iki leha aası akışta faklı basınç gadanlaı için hı pofillei olması duumudu. Basit Couette Akış olaak adlandıılan bu duumda hesaplamala aşağıdaki şekilde sonuçlanı: Hı dağılımı: Şekil 7.6 da gösteilen üç faklı duum içeisinde en basit duum; ( ) ( ) u Hacimsel debi: u b & u( ) d u b III/7
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. Otalama hı e maksimum hı: b ise & u u b b u u ma Kama geilmesi e dağılımı: τ u u b Kama geilmesi denklemden anlaşılacağı üee; kesit bounca sabit bi değee sahip olacaktı. Basit Couette Akış için elde edilen hı pofili ile kama geilmesi dağılımı Şekil 7.7 de; bu akışa ait baı ugulama öneklei ise şematik olaak Şekil 7.8 de gösteilmektedi. Şekil 7.7. Basit Couette akış için hı e kama geilmesi pofillei Şekil 7.7. Basit Couette akışa ait baı ugulama öneklei III/8
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. 7.. Daiesel kesitli boulada akış Şekil 7.8. Daiesel kesitli akışta koodinatlaın gösteimi Süeklilik denklemi: θ Akış aksimetik olduğundan, süeklilik denkleminden elde edilen sonuç, hıın sadece aıçap önünde değiştiğini ifade etmektedi. Yani; () şeklindedi. Naie Stokes denklemi: Yeçekimi imesinin bileşenlei; g sinθ g cosθ θ () önündeki NS denkleminden, ( ) g f ( ) g sin θ f ( ) () önündeki NS denkleminden; elde edili. () c ln c g g sinθ e g g cosθ olmak üee, θ III/9
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/ Hı dağılımı: Yukaıdaki denkleme, de e da d /d sını şatlaı ugulanaak aşağıdaki hı pofili elde edili: () ( ) Hacimsel debi: ( ) ( ) l d Q 8 8. Otalama hı e maksimum hı: l Q 8 l ma 7... Halkasal kesitli boulada akış Şekil 7.9. Halka kesitli akışta koodinatlaın gösteimi Hı dağılımı: Halka kesitli akışla için; daiesel kesitli boula için çıkaılan bağıntılada hı dağılımı anı kalı, fakat sını şatlaın aşağıdaki gibi değişi: i Mecut sını şatlaının ugulanmasıla, hı pofili için, ln ln i i denklemine ulaşılı.
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/ Hacimsel debi: ( ) i i i l Q ln ) ( 8 Otalama hı e maksimum hı: l Q 8 Maksimum hıı een aıçap değei, / ln i i m denklemi ile belileneek, hı dağılım denkleminde, ( ) m ma şeklinde eine konulaak bulunu.
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. 7.5. Bou e kanallada sütünmeli akış kaıplaı Bi bou hattı bounca akan isko bi akışkan, bou cidalaındaki sütünme dienci ea bağlantı noktalaında akışta medana gelen kaışmala nedenile basınç kabına uğa. Bu kaıpla iki ana başlık altında toplanabili: a) Süekli Kaıpla (temel akış kabı, H A ) b) Yeel Kaıpla (bağlantı elemanlaı kabı, H B ) Bu kaıplaın toplamı; ani toplam basınç kabı; Şekil 7. da gösteilen iki nokta aasındaki eneji seiesi fakıdı. Toplam basınç kabı (H T ), Benouilli denkleminin, α α g g şeklinde aılmasıla bulunu. H T Şekil 7.. Bou hattı bounca toplam basınç kabı için seçilen efeans noktala 7.5.. Temel akış kabı a da süekli kaıpla (H A ) Geçek sıılaın bou içindeki haeketinde oluşan ük kabı, akıma tes öndeki sütünme kuetleinin neden olduğu, eneji kabının biim kütlee düşen değeidi. Sütünme etkisi Şekil 7. de gösteildiği üee; lamina e tübülanslı akış için bou kesiti bounca faklı hı pofilleinin olşmasına sebep olmaktadı. Bouladaki akıma Benoulli denklemini ugulaabilmek için H A nın belilenmesi geeki. Tam gelişmiş bölgede ata bi bou/kanal içeisindeki akış sö konusu olduğunda; α α H A elde edili. Buadan, H A nın basınç kabı ile oantılı olduğu göülü. Denele akış sütünme kabının; H A L D f e, e D III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. şeklinde ifade edilebileceğini kanıtlamaktadı. Denklemde; f sütünme faktöü, e ise üe püülülüğünü göstemekte olup, lamina e tübülanslı akış için faklı şekilde tespit edilmektedi. Şekil 7.. Lamina e tübülanslı akış için bou kesiti bounca hı pofillei Lamina akış 8 LQ 8 LD / L D D D D L L H A 6 D D D D 6 f e olup, sadece e saısının fonksionudu. Tübülanslı Akış 6 e Tübülanslı akış duumunda, sütünme kaıpla sadece e saısının değil anı amanda bou püülülüğünün (e) de bi fonksionudu. Yani; e L H A f e, D D Bu duumda f için basit bi ifade bulunmamaktadı. En genel halde, f değei Şekil 7. de gösteilen MOODY diagamı adımıla bulunu. Ancak, püüsü boula için (diagamdaki S eğisi), aşağıda eilen Blasius denklemini küçük bi hata paı ile kullanmak ugundu:.6 f..5 e L D H A III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. üülü boulada ise, püülülük oanına bağlı olaak f in bulunması için bitakım fomülle eilmişse de en ugun ol Mood diagamını kullanmaktı. Şekil 7.. Mood diagamı Not: Yukaıda daiesel boula için eilen çöümlein tümü; daiesel olmaan boula için,, hidolik çap dönüşümüle anen kullanılı. Hidolik (eşdeğe çap) ( Akışın geçtiği alan) / Islak çee A D h 7.5.. Bağlantı elemanlaı kabı a da eel kaıpla (H B ) Boulada sütünmeden ilei gelen süekli ük kaıplaı anında, akım önünün e kesit değişmesinin neden olduğu eel ük kaıplaı da adı. Yeel ük kaıplaı bou bouna bağlı değildi e çok kısa aalıkta eneji çigisinin düşmesine neden olula. Yeel kaıplaının hesabında kullanılan temel denklem ile bu tü kaıplaa sebep olan kesit e III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. bağlantı elemanlaı Şekil 7. de öetlenmişti. Denklemde eilen k katsaısının hesabı, eel kaıp tüüne bağlı olaak değişi. Bu katsaının bilinmesile eel kaıpla kolaca hesaplanabili. Aşağıda k katsaısı değelei ile ilgili anali a da denesel olaak elde edilen değele eilmişti. giiş e çıkış kesitlei kabı H B k ani genişleme e daalma kabı bou disek kabı alf e bağlantı elemanlaı kabı Şekil 7.. Yeel kaıplaın hesabı e tülei Bağlantı kaıplaını een denklem, Le H B f D şeklinde de ifade edilebili. Bu duumda, L e dü boua kaşılık gelen eşdeğe uunluk anlamındadı. Bağlantı kaıplaının diğe bi ifade taı ise; kaıplaın akışkan sütun üksekliği (m) olaak bulunmasıdı. Bu duumda, h,...( m) olaak bulunan değe, eçekimi imesi (g) ile çapılaak, H B g h, değein elde edili.. Ani Genişleme Kabı: Şekil 7. de göüldüğü gibi A kesitli boudan akmakta olan akışkan ani olaak daha büük kesitli (A ) boudan akmak duumunda kalısa, kesitinde ölü bi akışkan bölgesi medana geli e bu bölgede bi p basıncı oluşu. Şekil 7.. Ani genişleen kesitin şematik gösteimi III/5
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/6 () e () kesitlei aasında medana gelen momentum değişimi, p, p e p basınçlaının sebep olduğu kuetlein toplamına eşit olmalıdı: ) (. ).(.. g Q Q m γ & ) ( A A p A p A p F. Denesel sonuçla doğultusunda, p p olup, F m &. bağıntısı kullanılaak, ) (. ) ( g Q p p A γ Q A. A. g p p g p p. ). (. γ γ () e () noktalaı aasında Benoulli denklemi aılısa,, h g p g p γ γ elde edili. h, - kesitlei aasında ani genişlemeden dolaı medana gelen eneji kabı olmak üee, γ, p p g h ) (, g h olu. Süeklilik denklemi (A A. ) kullanılaak, elde edilen (A /A ) değeini eine aasak,... ) (, g k g A A h ag elde edili. Kaıp katsaısı k bu duumda aşağıdaki bağıntı ile hesaplanı: ) ( A A k ag. Ani Daalma Kabı: Şekil 7.5 de göüldüğü gibi; A kesitli boudan akmakta olan akışkan ani olaak daha küçük kesitli (A ) boudan akmak duumunda kalısa, akım ani daalma nedenile önce en küçük kesit teşekkül ettiecek şekilde daalı, sona da bouu tüm dolduacak şekilde
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. genişle. Buada () e () kesitlei aasındaki eneji kabı ihmal edilebilecek kada küçüktü. Eneji kabının büük kısmı () e () kesitlei aasında medana geli. Bu kesitle aasındaki kaıp, akım A c kesitinden A kesitine aniden genişliomuş gibi düşünüleek bulunabili. Ani daalma kabı bölece () e () kesitlei aasındaki ani genişleme kabına eşit olacaktı. Şekil 7.5. Ani daalan kesitin şematik gösteimi Ani daalma kabı, h, ( c g ) denklemi ile ifade edili. Süeklilik (A c. c A. ) denklemi ile elde edilen, c (A /A c ). değeini eine aasak, h k ad, A ( A c ) k g ad. g olacaktı. Denklemdeki, A c /A, daalma katsaısıdı e değei kesitle oanına bağlı olaak Tablo 7. de eilmektedi. Tablo 7.. Kesitle oanına bağlı olaak değelei. A /A.....5.6.7.8.9..6.6.6.659.68.7.755.8.89. Depoa giiş e depodan çıkış kabı Bu ta kaıplaa ilişkin kesitle Şekil 7.6 da eilmişti. Depoa giiş kabı; ani genişlemenin öel bi şekli olup, k, alını. Sonuçta ük kabı için, h, g III/7
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. elde edili. Depodan çıkış kabı ise; ani daalmanın öel bi hali olup, A / A ) e.6 alını. Bu duumda, k ad ( ). olu e ük kabı aşağıdaki bağıntı ile hesaplanı: h. g,. ( Şekil 7.6. Depoa giiş e depodan çıkış kesitlei Disek Kaıplaı Faklı disek tülei için geçeli k katsaılaı Tablo 7. de eilmişti. Tablo 7. Disek ük kaıp katsaılaı Disek tüü k katsaısı Eğisel disekle Köşeli Disekle Çatalla III/8
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. Tesisat elemanlaındaki kaıpla Bu tü kaıplaa ilişkin bilgile aşağıda öetlenmişti. Ancak aka akaa bağlanan elemanla olması duumunda, Şekil 7.7 de eilen konfigüasonlaa ugun olaak k katsaısı iki ile döt kat ata. Şekil 7.7. Aka akaa bağlanan elemanlada k katsaısının atış oanlaı III/9
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. ÇÖZÜMLÜ OBLEMLE (7. BÖLÜM) OBLEM Şekilde gösteilen dü üeli leha üeinden; otalama sıcaklığı e hıı sıasıla 7 C e m/s olan haa haeketi sö konusudu. Leha uunluğu m, genişliği ise.5 m olduğuna göe; üe uunluğu bounca. m aalıklala hidodinamik sını tabaka kalınlıklaını tespit edini? Not (): eilen otalama sıcaklıkaki haanın öelliklei aşağıda eilmişti:,6 kg/m ; cp.7 kj/kg.k; ν 5,89. m / s Not (): Tübülanslı akım duumunda sını tabaka kalınlığı için fomül aşağıda eilmişti: δ ( ) h /5,7..e -6 ÇÖZÜM, m için U., e ν 5,89. 5,6. lamina akış 6 Hidodinamik sını tabaka kalınlığı; 5., δ ( ),8. m e,. m,.6 m, için akış ine lamina olduğundan ukaıdaki işlemle anen takip edili.,8 m için; U.,8 e 6 ν 5,89. 5 5,. tübülanslı akış.8 m den sona akım tübülanslı olduğundan dolaı; δ ( ),7..e h / 5, m m, için ukaıdaki işlemle anen takip edili. Elde edilen değelee ilişkin tablo aşağıda eilmişti:, m, m,6 m,8 m m δ h (),8. - m,98. - m,88. - m, m,56 m III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/ OBLEM Şekilde gösteilen leha üeinde, bodan boa olmak üee W genişliğinde ince e eğimli bi kanal (çatlak) bulunmaktadı. Kılcal çatlak içeisinde kaalı bi akış geçekleştiğine göe; NS denklemleini kullanaak, akışkana ait hı pofilini e akışkan debisini een fomülü tüetini? ÇÖZÜM Basınç kueti ile eçekimi etkisi bilikte tek bi teim olaak aılısa, modifie edilmiş basınç teimi, g şeklinde elde edili. Naie-Stokes (NS) denklemlei (- e - önlei için) ise, şeklindedi. NS denklemlei e süeklilk denkleminden aşağıdaki sonuçla elde edili: ; Bu şatlada NS denkleminin sadece önünde çöümü geeklidi: d d d d d d sabit Bu denklemin genel çöümü,
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. d d d d d d C d d d C d C şeklindedi. Öel çöüm için sını şatlaı, at ; at W ugulanısa, C elde edili. d W C W d d C W d Katsaılaın değelei aıldığında hı dağılımı için aşağıdaki denklem elde edili: d d [ W] Yandaki şekilde hı dağılımının şematik göüntüsü eilmişti. Hacimsel debi ise aşağıdaki şekilde bulunu: Q da Biim uunluk gö önüne alınısa; A L W W W, e da dw. Q da W dw [ W] W d Q dw d W d [ W]dw d III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/ W W W W d d W d d Q Sonuç olaak hacimsel debi için aşağıdaki denklem elde edili: d d W Q Biim alan için hacimsel debi (q Q/A) ise, A W W olduğundan, d d W q elde edili.
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. OBLEM Şekilde gösteilen eğimli silindiik bou içeisinde kaalı bi akış geçekleştiğine göe; NS denklemleini kullanaak, akışkana ait hı pofilini e akışkan debisini een fomülü tüetini? ÇÖZÜM Silindiik koodinatla gö önüne alındığında, şekilde gösteilen önü için Naie-Stokes denklemi, g şeklinde aılabili. Denklemi daha basit foma indimek için, g gsinφ olduğundan haeketle; g ( gsinϕ) aılabili. Şekilde eilen bilgileden, sinϕ, denkleme ugulanısa, d g ( g) d elde edili ( :modifie edilmiş basınç). Denklem bu duumda aşağıdaki basit foma dönüşü: d d d d sabit d d d d Bu duumda integason işlemi, III/5
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/6 d d d d d d C d d d d d d d d d d şeklinde ugulanı. d d olduğundan C. İkinci ke integason ugulandığında, C d d C d d d d d d elde edili. C sabiti, için sını şatı ugulanaak, d d C C d d bulunu. Hı dağılımı bu duumda aşağıdaki denklemle ifade edili: [ ] d d Yandaki şekilde hı dağılımının şematik göüntüsü eilmişti. Hacimsel debi (Q): [ ] d d d d d d d d Q d d Q 8 Biim alan için hacimsel debi (q), A : d d Q q 8
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. OBLEM Şekilde gösteilen düşe bouda bağıl oğunluğu SG.87 e kniematik iskoitesi ν. - m /s olan ağ, Q - m /s debisi ile akmaktadı. a) Bou içeisindeki sütünme kaıplaını hesaplaını? b) Manomete sıısı için SG. olduğuna goe, h üksekliğinin değeini bulunu? SG.87 mm m h Q SG. ÇÖZÜM a) SG.87 olduğundan, 87 kg/m Q - m /s Q Q.7 m/s A D b) D (.7)(.) ed 5.75 Lamina flow ν. fl 6L (6)() (.7) H A 89.6 J/kg D e D (5.75)(.) D p p g g H A p p g( ) H A ( p p (869.)(9.87)( ) (869.)(89.6) 779.8 a p gh mgh g(h h ) p p p g(h h h ) mgh, ( h h ) ( ) m p p g( h ) gh g( ) h g ( m m ( p p ) g h g( ) m (779.8) (869.)(9.87) (9.87)(. 999 869.) h8.5 m III/7
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. OBLEM 5 Ani daalan bi bouda akan suun debisi. m /s olup, ani daalan kesitte bou çapı. m den.6 m e düşmektedi. Bou içi sütünme kaıplaını ihmal edeek, toplam basınç düşüşünü hesaplaını? ÇÖZÜM Q.m / s Q Q..57 m/s A D (.) Q Q..7 m/s A D (.6) p p g g H B p p ( ) k Ani daalma için; k. alınısa, p 999 (.7 p.57 ) p p 979.8 9987.5 p p 77. a (.7) 999(.) III/8
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. AKIŞKANLA MEKANİĞİ II DESİ FİNAL SINAI ÇÖZÜMLEİ Taih: // Süe: 9 dak. SOU (5p). Lamina sını tabaka içeisinde bulunan bi akış için boutsu hı bileşenlei; u ; U δ U δ olaak eilmektedi. Denklemdeki sını tabaka kalınlığı δ c / (c:sabit katsaı) bağıntısı ile ifade edildiğine göe, akışkan patikülünün sını tabaka içeisindeki hehangi bi noktada ime ektöüne ait denklemi tüetini? Çöüm a a a a p p p p Du Dt u u u u t / U U U ( ) ( ) ( / / c c c D u Dt t U ( c ) / U ( c U ) 8c U c U U U U ) ( ) ( ) ( ) / / / / 8 c c c c U c toplam ime; a a p a p denkleminden bulunu SOU (5p). İki boutlu kaalı bi akışa ait hı ektöü; A i B j ; A (ms) -, B (ms) - olaak eilmektedi. Şekilde gösteilen kapalı eği bounca sikülason ( Γ C ds. ) değeini hesaplaını? III/9
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. Çöüm ~ Γ. d ~ s ~ ~ ~ ( Aδ B δ )(. dδ dδ ) ~. ds ~ Ad B d d a c d b c a b Γ Ad B d Ad B A Γ ( d a b c a b e c d Γ a d e c b Akış iotasonel olduğundan; ~ ~ Γ da ( ) A B ) ( d c d a b ) SOU (p)....(a)p, (b)p. otansiel akım alanı içeisinde sabit-daiesel bi silindi etafında haeket etmekte olan bi akışkan patikülüne ait hı ektöünün bileşenlei, a a [( ) U ]cosθ ; θ U[( ) ] sinθ olaak eilmektedi. Denklemde a silindi aıçapını temsil etmekte olup, a) Silindi üeine (a) etkien basınç değişim (gadant) ektöü ( ) için geçeli bağıntıı Eule momentum denklemi adımıla (eçekimi kuetini ihmal edeek) tüetini?, b) θ / e /a:,,, e 5 değelei için hı (dağılımını) ektöünü gösteini? Çöüm a) Eule denklemi; D g e çekimi kueti ihmal edilise Dt θ θ t θ e θ eine eleştiildiğinde denklem; U a a sinθ.cos θ b) θ / e /a olduğunda; U () () sin( / ).cos ( / ) [ ] III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/ / θ e /a olduğunda; ) / ).cos ( / sin( U U 8 9 / θ e /a olduğunda; ) / ).cos ( / sin( U U 8. 8. / θ e /a olduğunda; ) / ).cos ( / sin( U U 8. 5. / θ e /a5 olduğunda; ) / ).cos ( / sin( 5 5 U U 65. 5. SOU (p). otansiel akım alanı içeisinde olan bi akış için kompleks potansiel fonksion, ib A ln ) ( ) ( ζ denklemi ile tanımlanmaktadı. Bu akış için hı bileşenleinin ( e θ ) hesaplanabileceği fomüllei tüetini? Çöüm ( ) ( ) ib A ln ς iθ e. φ ψ θ θ θ θ B ia e ib e A i i ln ln ). ln( ). ln( ( ) A ln θ ψ A θ ψ θ
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. AKIŞKANLA MEKANİĞİ II DESİ FİNAL SINAI ÇÖZÜMLEİ Taih: 7//5 Süe: 9 dak. SOU (p). Hı ektöü; ( - ) i 6 j olaak eilen bi akışı gö önüne alaak aşağıdaki soulaı anıtlaını: a) potansiel akış koşullaının geçeli olup, olmadığını belileini? b) akım fonksionu e hı potansiel eğileine ait denklemlei tüeteek, iki eği aasındaki diklik koşulunun geçeli olup, olmadığını belileini? c) (,)(,) noktasında ime ektöü bileşenleini e şiddetini bulunu? d) (,)(,) noktasındaki basınca ait denklemi (sebest akış hı e basıncının bi fonksionu olaak) tüetini? e) akışa ait duma noktası (a da noktalaını) belileini? f) e bölgesinde akışa ait en a üç faklı akım çigisini (öneğin ψ, ψ e ψ için) aklaşık ölçekte çieek noktası için, maksimum hıın hangi iki akım çigisi aasında olabileceği konusunda göüş belitini? Çöüm ( ) i 6 { j u a) u 6 ( 6) olduğundan süekli e sıkıştıılama. w u w 6 ( 6) olduğundan iotasonel akıştı. Hı denklemi eilen akış sıkıştıılama, süekli e döngüsü olduğundan potansiel akış koşullaı geçelidi. b) Akım fonksionu ( ψ ) e hı potansieli ( φ ) ψ u ψ ( ) d ψ φ u ( ) d φ Diklik şatı ( ψ / ) φ / ψ sbt ψ / u φ / c-) İme bileşenlei u u u u a p u w t çapımlaı (-) olduğundan dikti. ( ) 6 ( 6)( ) a p ( )6 6 u w ( )( 6) ( 6)( ) a p 6 a p 6 t a p 8 8 6 III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. p p a p a a e için;..a p 5,9 m/s d) (,)(,) Basınç denklemi; cp (, ) (, ) için ( - ) i 6 6 bulunu. 6 cp şeklinde bulunu. e) Duma noktalaında hı bileşenlei dı. (u e ) ( ) m e noktalaı duma noktasıdı 6 e Sonuç: duma noktasıdı. f) e bölgesinde akışa ait akım çigilei; ψ ψ iken iken 6 8 6 9 ψ iken olu. 5 iken 6 8 ψ iken iken 6 8 6 5,8,,,5 6,5 ψ ψ ψ,8 En fala hı ψ e ψ eğilei aasında olu. Çünkü kesitin daaldığı ede hı ata. III/
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. SOU (p). isko, sıkıştıılama bi akışa ait hı bileşenlei aşağıda eilmektedi: u ( a bc ),, w...(a, b e c : sabit katsaıla) a) NS momentum denklemini kullanaak önündeki basınç gadantını een fomülü tüetini? b) Kama geilmesi ( τ ) için geçeli denklemi tüeteek, daτ değeine ulaşmak için sabit katsaıla (a,b e c) aasındaki ilişkinin nasıl olması geektiğini bulunu? Çöüm a) u ( a bc ),, w (a,b,c sabit) D g Dt önündeki Du u u g Dt u g u u ( a bc ) b) kama geilmesi için u τ a bc τ a bc a olmalıdı. ( ) bc SOU (p)....(a)p, (b)p. a) Şekilde gösteilen daiesel kesitli bou içeisinden akmakta olan moto ağı (SAE-5W) için lamina-tam gelişmiş akış koşullaı geçelidi. Bounun iki noktası aasında ölçülen basınç fakı adımıla, akış hacimsel debisi, akış otalama hıı e akışa ait enold saısı (e) tespit edilmek istenmektedi. Sö konusu büüklüklei, ağ.9 as, γ cia.6 kn/m değeleini gö önüne alaak hesaplaını? SAE-5W φd8mm H5mm cia b) Şekilde gösteilen kılcal boulu iskoimete adımıla, bi akışkana ( 9 kg/m ) ait iskoite değei tespit edilmek istenmektedi. Üst depoda bulunan cm akışkanın, dmm çaplı kılcal boudan geçeek boşalması ts sümektedi. Kılcal bou bounca geçekleşen basınç kabı, hidostatik ükseklikle (Lmm) diekt ilişkili olduğuna göe (tam gelişmiş-lamina akım koşullaında) akışkan iskoitesini hesaplaını? III/ d L
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. Çöüm a) D D D Q Q A ot e e 8 L L ν b) Q Q 6,cm / sn,. m / sn t D gl Q 8 L L denkleminden çekili. III/5
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. AKIŞKANLA MEKANİĞİ II DESİ FİNAL SINAI ÇÖZÜMLEİ Taih: 7//6 Süe: 75 dak. SOU (p). a) otansiel akım alanı içeisinde olan bi akış için, kompleks potansiel fonksion aşağıdaki denklemle eilmektedi. Q e Γ değei sabit büüklükle olduğuna göe; akım fonksionu, hı potansieli e hı bileşenleine ( e θ ) ait denklemlei tüetini? ln Φ( ) ( Q iγ) b) Kaalı iki boutlu bi akışa ait hı ektöü aşağıdaki denklemle tanımlanmaktadı. Şekilde eilen kapalı eği bounca, sikülason ( Γ ds ) değeini hesaplaını? ( A B) i A j A6 s - ; Bm/s, C d(,) c(,) Çöüm a(,) b(,) a) iθ ln ln e ln iθ Q ln θγ Γ ln Qθ Φ ( ) ( Q iγ) ( Q iγ) ( Q iγ) i ψ φ Q θ ψ φ Γ θ θ b) ~ Γ. d ~ s φ ψ ( A B ) i { A j u d a c d b c a b Γ ud d ud d Γ Bd Ad ( A B) d Γ B A ( A B) III/6
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. Sou...(p). Daiesel kesitli ( aıçapında e L uunluğunda) bi bou içeisindeki akışa ait hı dağılımı aşağıdaki denklemle ifade edilebilmektedi. () ( ) () L a) Bilindiği üee () denklemi, momentum e süeklilik denklemleinin en genel halinden başlaaak tüetilebilmektedi. Tüetim sıasında ugulanan asaım e sını şatlaını (denklemi eniden tüetmeden) maddele halinde aını? b) () denklemini kullanaak akışa ait, otalama hı, maksimum hı e hacimsel debi büüklükleini een denklemlei tüetini? c) () denklemini kullanaak, bou uunluğu bounca basınç kabını een aşağıdaki denklemi tüetini (D)? 6 L () e D d) Anı akış koşullaına e anı (L) uunluğuna sahip, kena üksekliği a olan kae kesitli bi kanal için () e () denklemleini a nın bi fonksionu olaak aını? Çöüm a) Newtonan akışkanla için isko kuetlei ile defomason aasında ilişki linee olup, stesdefomason ilişkisi momentum denklemine ugulanı e geekli işlemle apılısa; ~ D ~ ~ ~ g~ Dt denklemine ulaşılı. Süeklilik Denklemi kullanılaak, θ () elde edili. Silindiik koodinatla için geçeli iki boutlu Naie Stokes denklemlei: () () g sinθ g g sinθ g cosθ gθ g cosθ θ () () e () denklemi kullanılaak: () denklemi kullanılaak: ( ) III/7
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. () c ln c Sını şatlaı: için d ( ) / d için ( ) / / L ugulanaak, () ( ) L denklemine ulaşılı. b) Hacimsel Debi: Q ( d). ( ) 8 8 l Otalama Hı e Maksimum Hı Q 8 l ma l c) 8 LQ 8 LD / L D D D D L L H A 6 D D D D d) kae kesiti olduğundan, 6 e L D A D h (Akışın geçtiği alan) / Islak çee a D h a a D h a aılaak çöüme gidili. H A III/8
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. SOU (p). Şekilde gösteilen bi su deposuna bağlı, daie kesitli püüsü bi bou (L5m, Dcm) asıtasıla dışaıdaki bi hanee su akıtılmaktadı ( su 998 kg/ m su - N.s/ m ). Hanee tansfe edilen suun debisi m /saat olduğuna göe, a) Akış kaakteini belileeek, bou bounca sütünme nedenile oluşan basınç kabını ( ) hesaplaını? b) Mecut bou çapının iki katına çıkaılması halinde (a) şıkkında bulduğunu değede oluşacak üdesel değişimi belileini? c) Mecut bou uunluğunun iki katına çıkaılması halinde (a) şıkkında bulduğunu değede oluşacak üdesel değişimi belileini? d) üülü bou kullanılmış olsadı, basınç kabının hesabı için nasıl bi ol iledini, kısaca belitini? Hatılatma: püüsü bou için basınç kaıp katsaısına ait fomülle; f tü.6 e.5 f 6 e e lam Çöüm a) Q / 6,m / s A (,) / D (998)(.)(.) e 9.8 >..6 f.668.5 e L.668. m D g 6 tübülanslı akış. b) D..6 m ise Q / 6.8m / sn A (,6) / III/9
Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. D (998)(.)(.6) e 67. >..6 f.98.5 e L.98. m D g 98 tübülanslı akış c) L5m olduğunda alnıca L.668 5. m D g 8 d) püülü boulada Modd diagamı kullanılı. değişi e iki katına çıka III/