VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hayri ACAR İstanbul Teknik Üniveristesi 8. Sürtünme Tel: 85 31 46 / 116 E-mail: acarh@itu.edu.tr Web: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Giriş Kuru Sürtünme Kanunları: Sürtünme Katsayıları Sürtünme Açıları Kuru Sürtünme Problemleri Kamalar Kare Dişli Vidalar Mil Yatakları Dingil Sürtünmesi Basınç Yatakları ve Disk Sürüklemesi Tekerlek Sürtünmesi: Yuvarlanma Direnci Kayış Sürtünmesi

Giriş Daha önceki bölümlerde temas yüzeylerinde sürtünme olmadığını kabul etmiştik. Yüzeyler diğerlerine göre serbestçe hareket edebilmekteydi Gerçekte tam sürtünmesiz yüzey yoktur. Birbiriyle temas halindeki yüzeylerde, hareket halinde, yüzeye teğet kuvvetler oluşur ve bu kuvvvete sürtünme kuvveti denir. Bunun yanında, sürtünme kuvvetinin şiddeti sınırlıdır ve yeterince kuvvet uygulanırsa harekete engel olamaz. İki tür sürtünme vardır: kuru veya Coulomb sürtünmesi ve akışkan sürtünmesi. Akışkan sürtünmesi yağlama mekanizmalarında kullanılır. Bu bölümde sadece kuru sürtünme ile ilgileneceğiz.

Kuru Sürtünme Yasaları. Sürtünme Katsayıları. W ağırlığındaki blok yatay yüzey üzerine yerleştirildiğinde, blok üzerine etkiyen kuvvetler: ağırlığı ve yüzeydeki tepki kuvvetidir (N). Denge Hareket Bloğa küçük bir yatay P kuvveti uygulansın. Bloğun hareket etmesini engeleyecek sürtünme kuvveti (F) harekete ters yönde ve temas yüzeyine teğet olacaktır. Bu şekilde blok sabit kalacaktır. Burada F statik-sürtünme katsayısıdır. P kuvveti arttırılırsa, statik sürtünme kuvveti de maksimum değerine kadar artacaktır (F m ) Fm µ s N P kuvveti daha da arttırılırsa blok hareket etmeye başlayacaktır. Bu durumda F kuvveti azalır ve kinetik-sürtünme kuvveti (F k ) adını alır. F k µ k N

Kuru yüzeyler için statik sürtünme katsayısının yaklaşık değerleri. Metal ile metal Ahşap ile metal Taş ile metal Deri ile metal Ahşağ ile ahşap Deri ile ahşap Taş ile taş 0.15 0.60 0.0 0.60 0.30 0.70 0.30 0.60 0.5 0.50 0.5 0.50 0.40 0.70 Maksimum statik-sürtünme kuvveti: Fm µ s N Kinetik-sürtünme kuvveti: F k µ N µ k k 0.75µ Maksimum statik-sürtünme kuvveti ve kinetik-sürtünme kuvveti: s Toprak ile toprak Beton ile kauçuk 0.0 1.00 0.60 0.90 - normal kuvvet ile orantılıdır - temas yüzeylerinin tipine bağlıdır - temas alanından bağımsızdır

Rijit cisim yatay bir yüzeyle temas halindeyken dört durum söz konusudur: Sürtünme yok: Hareket yok: Hareket başlangıcı: Hareket: (P x 0) (P x < F m ) (P x F m ) (P x > F m )

Sürtünme Açıları Bazı durumlarda N normal kuvveti ile F sürtünme kuvveti yerine bileşkesi R kuvveti kullanılır: s s s m s N N N F µ φ µ φ tan tan k k k k k N N N F µ φ µ φ tan tan Sürtünme yok: Hareket yok: Hareket başlangıcı: Hareket:

W ağırlığındaki bir bloğun θ açısına sahip bir yüzeye yerleştirildiği durumda, sürtünme açıları ile çözüm yapmak daha kolaydır. kritik sürtünme açısı Sürtünme yok: Hareket yok: Hareket başlangıcı: Hareket:

Kuru Sürtünme Problemleri Hareket yönü Bütün kuvvetler biliniyor. Statik sürtünme katsayısı biliniyor. Bloğun hareket edip etmeyeceği araştırılır. Bütün kuvvetler biliniyor. Hareket sınırda. Statik sürtünme katsayısı araştırılır. Statik sürtünme katsayısı biliniyor. Hareket yönü biliniyor. Uygulanan kuvvetin şiddeti veya yönü araştırılır

SÜRTÜNME 0.4

SÜRTÜNME

SÜRTÜNME

Örnek 8.1 100 N 300 N ÇÖZÜM: Sürtünme kuvveti hesaplanır ve dengeyi sağlayacak olan normal kuvvet bulunur. Maksimum sürtünme kuvveti ve denge için gerekli sürtünme kuvveti hesaplanır. Eğer büyükse blok hareket eder. 300 N ağırlığındaki blok açılı yüzeye yerleştirilmiştir ve 100 N luk bir kuvvet uygulanmaktadır. Blok ile yüzey arasındaki sürtünme katsayıları: µ s 0.5 ve µ k 0.0. Maksimum sürtünme kuvveti denge için gerekli sürtünme kuvvetinden küçükse blok dengede olacaktır. Kinetiksürtünme kuvveti hesaplanır. Bloğun dengede olup olmadığını ve sürtünme kuvvetini bulunuz.

300 N ÇÖZÜM: Sürtünme kuvveti hesaplanır ve dengeyi sağlayacak olan normal kuvvet bulunur. 100 N x F 0 : 3 100 N - 5 ( 300 N) F 0 y F 80 N F 0 : 4 N - 5 ( 300 N) 0 N 40 N Maksimum sürtünme kuvveti ve denge için gerekli sürtünme kuvveti hesaplanır. Eğer büyükse blok hareket eder. F m µ sn Fm ( 40 N) 48 N 0.5 Blok aşağıya doğru kayacaktır.

300 N Hareket Maksimum sürtünme kuvveti denge için gerekli sürtünme kuvvetinden küçükse blok dengede olacaktır. Kinetiksürtünme kuvveti hesaplanır. 100 N F 48 N N 40 N F F N actual k µ k 0.0 ( 40 N) F actual 48 N

Örnek 8.3 ÇÖZÜM: 6 cm W yüklemesinin desteklenebilmesi için gerekli olan minimum x mesafesi, dirseğin hareket etmek üzere olduğu durumda gerçekleşir. Sürtünme kuvvetleri maksimum değere sahip olacaktır. 3 cm Statik denge denklemleri ile x mesafesi hesaplanır. Hareket ettirilebilen dirsek şekildeki gibi 3 cm çaplı bir boruya geçirilmiştir. Boru ile dirsek arasındaki sürtünme katsayısı 0.5 ise, yüklemenin desteklenebilmesi için gerekli minimum x mesafesini hesaplayınız. Dirseğin ağırlığı ihmal edilecektir.

ÇÖZÜM: W yüklemesinin desteklenebilmesi için gerekli olan minimum x mesafesi, dirseğin hareket etmek üzere olduğu durumda gerçekleşir. Sürtünme kuvvetleri maksimum değere sahip olacaktır. 6 cm F F A B µ N s µ N s A B 0.5N 0.5N A B 3 cm Statik denge denklemleri ile x mesafesi hesaplanır. Fx 0 : N + N 0 N A B A N B 6 cm 6 cm x - 1.5 F y 0 : FA + FB W 0 0.5N A + 0.5N B W 0 0.5N A W N A NB W M 0 : N ( 6 cm) F ( 3 cm) W ( x 1.5 cm) 0 B 6 6 A A N A 3( 0.5N A) W ( x 1.5) 0 ( W ) 0.75( W ) W ( x 1.5) 0 x 1 cm

Kamalar Kamalar ağır yükleri kaldırmak için kullanılan basit makinalardır. Bloğu kaldırmak için gerekli kuvvet blok ağırlığından oldukça küçüktür. Sürtünme kamanın kaymasını engeller. Bloğu kaldıracak minimum P kuvveti araştırılır. Blok için SCD: F N W 1 F x y veya r R 0 : + µ N 0 : µ N r s s 1 + 0 v N 1 + R + W 0 0 Kama için SCD: µ N F s F N x y 0 : + 0 : + veya P N r r P R 3 N 3 0 ( µ cos6 sin 6 ) s ( cos6 µ sin 6 ) 0 r + R3 0 s

SÜRTÜNME - KAMA P P Harekete başlayacak Harekete başlayacak P

Kare Dişli Vidalar başlık dişli Kare dişli vidalar kriko, pres ve buna benzer makinalarda sıkça kullanılırlar. Analiz hesabı eğik bir düzlemde kayan bir bloğun hesabına benzer. Sürtünme kuvvetinin temas alanına bağlı olmadığı daha önce belirtilmişti. taban Dişli W yükünü taşımaktadır ve kriko tabanı ile mesnetlenmektedir. Dişli ile taban arasındaki temas, bunların dişlerinin bir kısmı boyunca olur. Kola bir P kuvveti uygulanarak dişli döndürülür ve W yükü kaldırılır. Tabandaki dişin açınımı şekildeki gibi bir doğru olarak gösterilir. r dişin ortalama yarıçapı ise gerçek eğim yatayda πr, düşeyde L (vida yolu: vidanın birdönüşte ilerlediği mesafe, adım: iki ardışık diş arasındaki uzaklık) ile bulunur. Sürtünme kuvveti alana bağlı olmadığına göre, iki dişin gerçekteki temas alanından küçük bir temas alanı seçilebilir ve dişli şekildeki gibi blok ile gösterilebilir. Q kuvvetinin oluşturduğu moment P kuvvetinin momentine eşittir. Buradan gerekli P kuvveti hesaplanabilir: Q Pa r

Yük kaldırma işlemi küçük ardışık adımlarla yapılıyorsa: θ φ s Yük kaldırma işlemi sürekli olarak yapılıyorsa: İlk hareket için Daha sonra θ φ s θ φ k φ > θ s ise dişli kendi kendini kilitleyen türdedir. Dişli yük altında yerinde kalacaktır. Yükü alçaltmak için Q kuvveti uygulanmalıdır. φ < θ s ise dişli yük altında ters döner. Yükü dengelemek için Q kuvveti uygulanmalıdır.

Örnek 8.5 ÇÖZÜM Vida yolu ve adım hesaplanır. Harekete başlayan blok SCD ı ile tahtalar uygulanan kuvvet bulunur. Bir mengene iki tahtayı birlikte tutmak için kullanılmaktadır. Çift kare dişli mengenenin ortalama çapı cm ve adımı 0.40 cm dir. Dişler arasındaki sürtünme katsayısı µ s 0.30 dur. Mengeneyi sıkıştırmak için gerekli maksimum tork (moment) 40 N*m ise (a) tahta parçalarına etkiyen kuvveti, (b) mengeneyi gevşetecek kuvveti hesaplayınız. Hareket başlamak üzere olan blok SCD ı ile mengeneyi gevşetecek kuvvet bulunur.

ÇÖZÜM Vida yolu ve adım hesaplanır. L 0.8 cm Vida çift dişli olduğundan L ilerlemesi adımın katıdır. πr π cm x(0.40cm) 0. 80cm 0.8 tan θ L cm 0.173 π r π mm θ 7. 3 tanφ µ 0.30 s s Harekete başlayan blok SCD ı ile tahtalar uygulanan kuvvet bulunur. φ 16. 7 s 40 N m Q r 40 N m Q 5mm tan ( θ + ) φ s Q W W 8kN tan 4 8kN W 17.97 kn

Hareket başlamak üzere olan blok SCD ı ile mengeneyi gevşetecek kuvvet bulunur. tan Q W ( φ s θ ) Q ( 17.97 kn) tan 9. 4 Q.975kN Tork Q r (.975 kn)( 5mm) 3 3 (.975 10 N )( 5 10 m) Tork 14.87 N m

Mil Yatakları Dingil Sürtünmesi Mil yatakları dönel millerin yatay olarak desteklenmesi için kullanılır. Mil yatağı tamamen yağlanmışsa, sürtünme direnci dönme hızına, dingille yatak arasındaki boşluğa ve yağın viskozitesine bağlıdır. Yatağın tam olarak yağlandığı durumda, dingil ve yatak bir çizgi boyunca birbirine değdiği kabul edilir. Her biri W ağırlığında iki tekerlek bağlanmış milden yataklara gelen kuvvetler: tekerleklerin ağırlığı, hareketi sağlayan kuvvet çifi (M) ve yataktaki tepki kuvvetidir. Tepki bileşkesi -W olan yatay ve düşey kuvvetlerdir. Tepki tesir çizgisi mil merkezinden geçmez. R kuvveti merkezin sağında ve merkeze göre momenti kuvvet çiftinin M momentini dengeleyecek şekilde belirli bir uzaklıkta bulunur. Bu nedenle mil ile yatak arasındaki değme, en alçak A noktasında olmaz B noktasında olur.

Bu konum, R tepkisi ile yatak düzleminin normali arasındaki açıya, ϕ k, eşit olacak şekildedir. M O 0 M Rrµ Rr sinφ k k Tepki tesir çizgisi mil merkezinden geçiyorsa, M kuvvet çifti ile aynı şiddete sahip kuvvet çifti, -M, ilave edilmelidir. Grafik çözüm istenirse, R nin tesir çizgisi, merkezi mil merkezinde olan r f r sinφ rµ yarıçaplı çembere teğet olması gerekir. Bu çembere sürtünme çemberi denir. k k

İçi boş dönel bir mil olsun: ( ) 1 R R A P r A A P r N r F r M k k k π µ µ µ R yarıçaplı dolu bir mil için: M k PR µ 3 ( ) 1 3 1 3 3 0 1 1 R R R R P drd r R R P M k R R k µ θ π µ π Basınç Yatakları ve Disk Sürüklemesi Basınç yatakları dönel millere eksenel mesnet sağlamak için kullanılır. (a) uç yatağı (b) bilezik yatağı

Tekerlek Sürtünmesi: Yuvarlanma Direnci Ağır yüklerin bağıl olarak küçük kuvvetlerle hareket ettirmek için kullanılır. Herhangi bir anda, tekerleğin yere değmekte olan noktasının yere göre bağıl hareketi olmadığı için, dolaysız değme sırasında olacak büyük sürtünme kuvvetlerini engellemektedir. Kuvvetler: W, N W O dan geçtiği için sürtünme direnci bulunur. Sürtünme kuvveti nedeniyle oluşan momenti, M, nedeniyle eş şiddetli fakat ters yönlü P ve F kuvvetlerinin oluşturduğu kuvvet çifti gerektirir. Kenarda sürtünme olmaksızın kayacaktır. tekerleğin veya yerin deformasyona uğraması, yer tepkisinin B noktasından uygulanmasına neden olur. P kuvveti W ağırlığının B noktasına göre momentini dengelemelidir: Pr Wb b yuvarlanma direnci katsayısı.

TEKERLEK SÜRTÜNMESİ, BİR YÜZEYİN BİR BAŞKA YÜZEY ÜZERİNDE YUVARLANMASI İLE OLUŞUR BAŞLANGIÇTA SADECE DÖNME HAREKETİ DÜŞÜNÜLÜRSE: W HAREKETE BAŞLAMADAN ÖNCE, HAREKETİ ENGELLEMEYE ÇALIŞAN SÜRTÜNME KUVVETİ OLUŞUR.

SABİT HIZ İLE İLERİ DOĞRU SERBEST YUVARLANMA HAREKETİ : W TEMAS NOKTASININ YERE GÖRE BAĞIL HAREKETİ OLMADIĞI İÇİN SÜRTÜNME KUVVETİ YOKTUR.

GERÇEK DURUM W YÜKÜ ALTINDA TEKERLEK VE ZEMİN BİRAZ ŞEKİL DEĞİŞTİRİR. TEKERLEK İLE ZEMİN ARASINDAKİ DEĞMENİN BELİRLİ BİR ALANDA OLUR. W NORMAL SÜRTÜNME KUVVETİ OLUŞUR NORMAL KUVVET

r W TEKERLEĞİN YUVARLANMASINI SAĞLAMAK İÇİN P KUVVETİNİN UYGULANMASI GEREKİR: NORMAL KUVVET NORMAL KUVVET P Pr Wb R b YUVARLANMA DİRENCİ KATSAYISI

Kayış Sürtünmesi T 1 ve T, kayış sağa doğru döndüğü duruma karşılık gelsin. Kayış elemanı için SCD: θ θ Fx 0 : T + T cos T cos µ s N θ θ Fy 0 : N ( T + T ) sin T sin 0 ( ) 0 N yi elemek için her iki taraf θ ya bölünür. T θ cos µ s T θ T + ( θ ) sin θ θ a sıfıra doğru yaklaşırsa fark oranları türev olarak yazılabilir, dt µ s T 0 dθ Değişkenler ayrılıp integral alınırsa: θ 0 to& θ β T T µ ln µ β e s s or & T T 1 1 β

Örnek 8.8 8 cm r 1 cm Şekildeki kayış A ve B kasnaklarını bağlamaktadır. Kasnaklar ile kayış arasındaki sürtünme katsayıları µ s 0.5 ve µ k 0.0 dir. Kayışlardaki maksimum izin verilen gerilme 600 N ise, kayış tarafından kasnağaaktarılacak en büyük torku hesaplayınız.

Temas açısı küçük olduğu için, kayma başlangıçta B kasnağında olur. B kasanğındaki kayış gerilmeleri hesaplanır: T 600 N T µ s β 0.5 π T 1 T 1 e 600 N 1.688 600 N T 1 e 355.4 N ( 3) 1.688 Akasnağı için SCD çizilirse, torkun hesaplanması için kasnak merkezinegöremoment hesaplanır: 8 cm M A ( 8cm)( 355.4 N 600lb) N 0 0 : M + A T 600 N M A 163. 1Ncm T 1 355.4 N