HEDEFLER İÇİNDEKİLER TABLOLAR VE GRAFİKLER Giriş Tanımlayıcı İstatistikler Frekans Tabloları Grafikler BİYOİSTATİSTİK Prof. Dr. Ömer AKBULUT Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Verileri frekans tablolarında özetleyebilecek, Grafiklerle gösterebilecek, Doğru tablo yapabilecek ve grafik çizebilecek, Tabloları ve grafikleri yorumlayabilecek, Sonuç çıkarabileceksiniz. ÜNİTE 2
GİRİŞ Sayımlar, kayıtlar, anket çalışmaları ve deneysel araştırmalardan elde edilen sağlık, eğitim, üretim, tüketim, nüfus, tarım, trafik vb. alanlara ait ham verileri ilk aşamada değerlendirmek ve bu verilerden sonuç çıkarmak veya bazı karakteristik ölçüler hesaplamak tanımlayıcı istatistiğin (deskriptif) konusudur. Görsel özellik taşıyan tanımlayıcı istatistik metotları; Frekans tabloları ve Şekiller veya Grafikler olarak iki ana grup altında toplanır. Tanımlayıcı istatistiğin amacı; tek tek incelendiklerinde ferler (üniteler) için bilgi veren, ancak populasyon hakkında bilgi vermeyen veya çok sınırlı bilgi veren verileri uygun metotlar kullanarak değerlendirmek, özetlemek, kolay anlaşılır hâle getirmek ve yorumlayarak sonuç çıkarabilmektir. Bu amaçla farklı istatistik metotlar kullanılmaktadır. Birinci grup tanımlayıcı istatistik metotlar görsel özellik taşıyan istatistik araçlardan oluşmaktadır. Bu ünitede görsel özellik taşıyan istatistik araçlar anlatılacaktır. Veriler, bu verilerin bir sonucu olarak hesaplanan bazı karakteristik ölçüler ile de tanımlanmaktadır. Genellikle yer ve değişim ölçüleri olarak adlandırılan bu karakteristik tanımlama ölçüleri Ünite 3 te anlatılmıştır. Görsel özellik taşıyan tanımlayıcı istatistik metotlar genelde iki ana grupta toplanabilir. Bunlar; Frekans tabloları, Şekiller veya Grafikler olarak adlandırılır. FREKANS TABLOLARI Frekans tabloları, verilerin özetlenerek kolay anlaşılır hâle getirilmesi fonksiyonuna sahiptir. Tanımlayıcı istatistikte ve verilerin özetlenmesinde sonuçların sunumunda tablolardan yaygın olarak yararlanılmaktadır. Frekans tabloları; Tek boyutlu tablolar, İki boyutlu tablolar (Çapraz tablolar) olarak iki farklı şekilde oluşturulmaktadır. Tek Boyutlu Frekans Tabloları Frekans tabloları satır ve sütunlardan oluşan matris şeklindeki düzenlenmiş yapılardır. Bu tablolarda incelenen değişkene ait sınıflar (alt gruplar, kategoriler) ile bu sınıflara ait frekans, nispi (oransal) frekans ve gerektiğinde eklemeli frekans ve eklemeli nispi frekans ölçüleri yer alır. Bu ölçüler aşağıda kısaca açıklanmıştır. Frekanslar: İncelenen değişkenin ilgili sınıfına veya alt grubuna ait veri sayısı o sınıfın frekans değeridir. Nispi Frekans, NF: Bir sınıfın frekansının yani veri sayısının (n), toplam veri sayısına (N) bölünüp 100 ile çarpılmasıyla elde edilir. Eklemeli Frekans, EF: Herhangi bir sınıfın frekansının ile o sınıftan önceki sınıfların frekanslarının toplanmasıyla elde edilir. Eklemeli Nispi Frekans, ENF: Bir sınıfın eklemeli frekansının, toplam veri sayısına (N) bölünüp 100 ile çarpılmasıyla elde edilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2
Örnek 2.2 Örnek 2.1 Tablolar ve Grafikler Aşağıda kesikli değişkenler için tek boyutlu frekans tablosu örnekleri verilmiştir. Bu tablolarda (Örnek, 2.1, 2.2, 2.3) sınıflar kalitatif (nitel) sınıflardan oluşturulmuştur. Aşağıdaki örnek tabloda fertler cinsiyete göre (Bay, Bayan) tasnif edilmiştir. Bay ve bayanların sayıları ve toplam içindeki oranları tabloda sunulmuştur. Tek boyutlu frekans tablolarında sınıflar nitel (kalitatif) olabilir. Örnek Tablo 2.2. Cinsiyete Göre Dağılım Tablosu Cinsiyet Frekans (n) Nispi Frekans (%) Bay 17 56.7 56.7 Bayan 13 43.3 100.0 Toplam 30 100.0 Eklemeli Nispi Frekans (%) Bu tabloda bay ve bayanların sayıları ve toplam içindeki % payları görülmektedir. Bayların % değeri 56,7 olup bay sayısının (17) toplam sayıya (30) bölünmesi ve bölümün 100 ile çarpımı ile elde edilmiştir (17/30*100=56.7). Bayanların oranı % 43.3 değeri de benzer şekilde hesaplanmıştır. Örnek 2.1'deki fertler aşağıdaki tabloda kan gruplarına göre sınıflandırılmıştır. Her kan grubundaki fertlerin sayı, % ve eklemeli % değerleri Örnek Tablo 2.2'de sunulmuştur. Örnek Tablo 2.2. Kan Gruplarına Göre Dağılım Tablosu Kan Grubu Frekans (n) Nispi Frekans (%) A 10 33.3 33.3 B 8 26.7 60.0 AB 7 23.3 83.3 0 5 16.7 100.0 Toplam 30 100.0 Eklemeli Nispi Frekans (%) Bu tabloda 30 kişinin A, B kan grubu sisteminde kan gruplarına dağılımı sunulmuştur. Tabloda her bir grubun sayısı ve toplam içindeki % payları görülmektedir. A kan grubundaki fertlerin oranı ( % değeri) 33.3; bu gruptakilerin frekans (sayı) değerinin (10) toplam sayıya (30) bölünmesi ve bölümün 100 ile Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3
Örnek 2.3 Tablolar ve Grafikler Tek boyutlu frekans tablolarında sınıflar nicel (kantitatif) olabilir. çarpımı ile elde edilmiştir (10/30*100=33.3). Diğer kan gruplarına ait oranlar da benzer şekilde hesaplanmıştır. B kan grubunun eklemeli nispi frekansı 60,0 hesaplanırken bu grubun % değeri 27,7 üzerine üstteki A kan grubunun eklemeli nispi frekans değeri eklenerek bulunmuştur. AB kan grubunun eklemeli nispi frekansı benzer olarak 23.3+26.7+33.3= 83.3 şeklinde hesaplanmıştır. Tek boyutlu frekans tabloları yukarıdaki örneklerde olduğu gibi kalitatif sınıflardan oluşturulabilir. Bazen sınıflar kesikli, ancak nicel (kantitatif) sınıflardan da oluşturulabilir. Örneğin bir yerleşkedeki evler oda sayısına göre (1, 2, 3, 4+ odalı evler) veya aileler çocuk sayısına göre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6+ çocuklu aileler) ayrı ayrı sınıflandırılabilir. Bu tabloların sınıfları sayısal (nicel) ve tablolar tek boyutludur. Eğer yerleşkedeki aileler çocuk sayısına ve ikamet ettikleri evlerdeki oda sayısına göre birlikte tek bir tabloda sınıflandırılarak veriler özetlenirse bu tablo iki boyutlu (çapraz tablo) olarak nitelendirilir. İki boyutlu tablalar bir sonraki bölümde incelenecektir. Ailelerin ikamet ettikleri evlerin oda sayısıngöre dağılımı nitel sınıflı tablolara örnektir. 800 ailenin ikamet etiği evlerin oda sayısına dağılımı sayı, %ve eklemeli sayı ve eklemeli yüzde olarak Örnek Tablo 2.3' te verilmiştir. Örnek Tablo 2.3. Oda Sayısına Göre Evlerin Dağılım Tablosu Oda sayısı Frekans (n) Nispi Frekans (%) Eklemeli Frekans (n) 1 300 37.5 300 37.5 2 200 25.0 500 62.5 3 240 30.0 740 92.5 4+ 60 7.5 800 100.0 Toplam 800 100.0 Eklemeli Nispi Frekans (%) Bu tabloda 800 ailenin ikamet ettikleri evlerin oda sayısı bakımından dağılımı, sayı ve % olarak ayrıca eklemeli (yığılımlı) sayılar ve % değerler verilmiştir. Tabloda her bir grubun sayısı ve toplam içindeki % payları görülmektedir. Burada %, eklemeli n, ve eklemeli % değerlerinin hesaplama şeklinin bir önceki tablodaki aynı sistemde yapıldığına dikkat ediniz. Yukarıdaki 2.3 numaralı Örnek Tabloyu yorumlamak gerekirse, 800 ailenin %37.5 lik en büyük dilimi tek odalı evlerde yaşamaktadır. İki ve daha az sayıdaki odalı evlerde yaşayan ailelerin 800 kişilik bu toplumdaki oranı %62.5 tir. Diğer bir ifade ile toplumun %62.5 i iki ve tek odalı evlerde yaşamaktadır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4
Örnek 2.4. Tablolar ve Grafikler Sürekli değişkenler, kategorik değişkenlere dönüştürülerek veriler tek boyutlu frekans tablolarında özetlenebilmektedir. Sürekli Değişkenlerden Frekans Tablosu Oluşturma Frekans tablolarında verilerin özetlendiği sınıf değişkeni; kesikli değişken (kan grupları, eğitim düzeyleri vb.) olabildiği gibi sürekli bir değişkenin (kronolojik yaş, kan şeker değeri, sistolik kan basıncı gibi) belli kurallara bağlı olarak kesikli (kategorik) değişkene dönüştürülmüş formları olabilmektedir. Sürekli değişkenlerin kategorik forma dönüştürülmesi ve frekans tablosu oluşturması işlemi tanımlayıcı istatistikte çok sık uygulama alanı bulmaktadır. Ancak sürekli değişkenin kesikli forma dönüştürüldüğü durumlarda (sınıfların oluşturulması), bazen bilgi kaybına neden olabilmektedir. Sürekli bir değişken, kategorik bir değişkene dönüştürülerek tek boyutlu frekans tablosu oluşturulurken aşağıdaki işlem sırası takip edilir. Sınıf sayısı (SS) belirlenir. SS genellikle 5-20 arasında alınır. Değişim genişliği (DG) hesaplanır. Maksimum değerden, minimum değer çıkartılır. DG= Maksimum Değer Minimum Değer Sınıf aralığı (SA) hesaplanır. DG, SS bölünür. SA = DG / SS. Sınıf alt limitleri (AL) ve sınıf üst limitleri (ÜL) belirlenir. Ölçüm hassasiyet birim değerinin yarısı ilgili sınıfın AL değerinden çıkartılarak ve aynı değer aynı sınıfın ÜL değerine eklenerek alt ve üst sınırlar (AS ve ÜS) hesaplanır. Sınıf orta değerleri (SOD) hesaplanır. Bir sınıfın SOD AS+ÜS/2 veya AL+ÜL/2 formülleri ile hesaplanır. İlgili sınıfın AL, ÜL değerleri dâhil, bu aralıktaki veriler sayılarak o sınıfın frekansı belirlenir. Ölçüm Hassasiyet Birimi (ÖHB): Bir değişkenin verilerinin ölçümünde kullanılan ondalık derecesidir. Örneğin tam sayı ölçümlerde ÖHB 1 dir. ÖHB tek ondalıkla ölçümlerde genlikle 0.1, iki ondalıkla ölçümlerde 0.01 dir. Ölçümler tek ondalıkla yapılmış ancak ölçümler 10.5, 11.0. 11.5 12.0 gibi 0.5 birim hassasiyetle ölçülmüş ise ÖHB 0.5 tir. Sürekli bir değişkeni sınıflara ayırarak verilerin frekans tablosunda özetlenmesi ile ilgili aşağıdaki örneği (Örnek 2.4) inceleyiniz? Kırk öğrencinin A dersinden aldıkları notlar aşağıdaki gibidir. Bu notları 5 sınıfta frekans tablosunda özetleyiniz? {5, 9, 15, 18, 25, 27, 29, 32, 34, 35, 36, 39, 41, 42, 45, 45, 46, 46, 46, 48, 49, 50, 50, 50, 50, 54, 55, 56, 58, 58, 63, 63, 65, 65, 66, 70, 84, 85, 85, 86} Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5
Önce sınıf sayısı belirlenmelidir. Bu örnekte sınıf sayısının 5 olması istenmiştir. Dolaysıyla SS=5 alınacaktır. İkinci aşamada değişim genişliği hesaplanacaktır. 100 lük not ölçeğinde en yüksek not 100, en düşük not 0 olacaktır. Dolayısıyla Değişim genişliği, 100-0 = 100 dür. Burada sınıf aralığı 100/5=20 olacaktır. Sınıf limitlerinin belirlenmesinde en düşük değer ilk sınıfın alt limiti olarak alınır ve sınıf aralığı değeri bu değerin üzerine eklenerek diğer sınıfların alt limitleri belirlenir. Yukarıdaki örnekte ilk sınıfın alt limiti 0 dır. İkinci sınıfın alt limiti 0+20=20, üçüncü sınıfın alt limiti 20+22=40, aynı yaklaşımla 4. ve 5. Sınıfların alt limitleri sırasıyla 60 ve 80 olarak belirlenir. Notlar tam sayı ile ifade edildiği için bu örnekte ölçüm hassasiyet birimi, ÖHB= 1 dir. Üst limitler için ikinci sınıfın alt limitinden ölçüm hassasiyet birimi çıkartılarak ilk sınıfın alt limiti belirlenir. Örneğimizde ikinci sınıfın alt limiti 20 dir. Bu değerden ÖHB çıkartıldığında yani 20-1=19 ilk sınıfın üst limiti olarak belirlenir. Bu değerin üzerine sınıf aralığı 20 değeri eklenerek diğer sınıfların üst limitleri sırasıyla 39, 59, 79 olarak hesaplanır. Son sınıfın üst limiti olarak ise maksimum değer 100 alınır. Bir sonraki aşamada bu limitler arasındaki değerler sayılarak (limitler dâhil) her bir sınıfın frekansları belirlenir. Örneğimizde 0-19 arası 4, 20-39 arası 8, not bulunmaktadır. Aynı şekilde 3, 4 ve 5. sınıfların frekansları sırasıyla 12, 6 ve 4 olarak belirlenmiştir. Belirlenen limitler ve sayılan frekanslar aşağıdaki Tabloda (Tablo 2.4) sunulmuştur. İlk sınıfın nispi frekansı (4/40)*100= %10, ikinci sınıfın nispi frekansı (8/40)*100= %20 olarak hesaplanır. Diğer sınıfların nispi (oransal) frekansları sırasıyla % 45, %15 ve %10 dur. Eklemeli frekanslar her sınıfın frekansı üzerine kendinden önceki sınıfların frekansları eklenerek hesaplanır. İlk sınıfın eklemeli frekansı 4 dür. İkinci sınıfın eklemeli frekansı 8+4=12, 3. sınıfın eklemeli frekansı, 4+8+12=30 şeklinde hesaplanır. Eklemeli nispi frekanslarda eklemeli frekanslarda olduğu gibi her sınıfın nispi frekansı üzerine, önceki sınıfların nispi frekansı eklenerek (10+20=30, 10+20+45=75 vb.) hesaplanır. Son sınıfın eklemeli frekansı toplam fert sayısını (örneğimizde 40) ve son sınıfın eklemeli nispi frekansı her zaman 100 olmalıdır. Sınıf aralığı eşit alınan ve yukarıda bir örneği verilen (SA=20) tabloların oluşturulması daha kolaydır ve yaygın olarak kullanılırlar. Ancak her zaman öngörülen veri sınıflandırması bu tip tablolarla sağlanamaz. Bu nedenle sınıf aralığı eşit olmayan frekans tabloları oluşturulur. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6
Örnek 2.5. Tablolar ve Grafikler Örnek Tablo 2.4. Sınıf Aralıkları Eşit Tablo (Öğrencilerin Puanlara Göre Dağılımı) Sınıflar (Notlar) AL ÜL (Not Aralığı) Frekans (n) Nispi Frekans (%) Eklemeli Frekans (n) Eklemeli Nispi Frekans (%) 1 0-19 4 10 4 10 2 20-39 8 20 12 30 3 40-59 18 45 30 75 4 60-79 6 15 36 90 5 80-100 4 10 40 100 Toplam 40 100 Sürekli değişkenler, kategorik değişkenlere dönüştürülürken sınıf aralıkları eşit olabildiği gibi farklı da olabilmektedir. Çoğu durumlarda sürekli bir değişken kategorik bir forma dönüştürülürken kategorilerin (sınıfların) alt ve üst limitleri önceki çalışmalarla belirlenmiştir ve sınıflar eşit aralıklı olmayabilir. Bu durumda araştırıcılar bu sınıf limitlerine uygun olarak verileri sınıflandırmak durumundadırlar. Beden kitle indeksi değerlerinin Zayıf Normal- Kilolu-Şişman ve Obez sınıflarına dönüştürmesi ve Türkiye de ilköğretimde 100 lük not sisteminin 5 li not sistemine dönüştürülmesinde kullanılan sınıflandırmalar sınıf aralıkları eşit olmayan sınıflandırmanın tipik örnekleridir. Aşağıda sürekli değişkenler kesikli (sınıfsal) ve sınıf aralığı eşit olmayan forma dönüştürülerek oluşturulmuş frekans tablosu örnekleri (Örnek Tablo 2.5 ve Örnek Tablo 2.6) verilmiştir. İlköğretimde okuyan 200 öğrencinin, 100'lük sistem notlarının 5'lik sistem notlara dönüştürülmesinde kullanılan sınıf limitleri ile sınıflandırılmış notlar ile oluşturulan frekans tablosu Örnek Tablo 2.5' te sunulmuştur. Örnek Tablo 2.5. Sınıf Aralığı Eşit Olmayan Tablo (Öğrencilerin Puanlara Göre Dağılımı) Sınıflar (Notlar) AL ÜL (Not Aralığı) Frekans (n) Nispi Frekans (%) Eklemeli Frekans (n) 0 0-24 26 13 26 13 1 25-44 34 17 60 30 2 45-54 40 20 100 50 3 55-69 50 25 150 75 4 70-84 30 15 180 90 5 85-100 20 10 200 100 Toplam 200 100 Eklemeli Nispi Frekans (%) Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7
Örnek 2.6. Tablolar ve Grafikler Bu tabloda da sınıflar 0 ile 5 arasındaki 5 lik sistem notları olup 100 lük sistemdeki notlardan oluşturulmuştur. Bu nedenle sınıfların alt ve üst limitleri (AL ve ÜL) Milli Eğitim Bakanlığı uzmanları tarafından belirlenmiştir. Sınıf aralıkları eşit değildir. Herhangi bir sınıfta belirlenen limitler arasındaki fertlerin sayısı ilgili sınıfın frekansını oluşturmuştur. Yukarıdaki örnek tabloda 200 kişi arasında 2 notuna sahip yani puanı 45 ile 54 arasında olan (45 ve 54 dâhil) 40 kişi mevcut olup bunların oranı %20 dir. Ayrıca bu tablodan notu 70 ten düşük oranların oranının Eklemeli Nispi Frekans sütunundan %75 olduğu görülebilir. Diğer rakamlar da benzer şekilde yorumlanabilir. İnsanlarda Beden kitle indeksi, vücut ağırlığının (kg cinsinden) boy uzunluğunun karesine (m olarak) bölünmesi ile hesaplanır ve sürekli değişken özelliği gösterir. Örneğin, 70 kg ağırlığında ve 175 cm boyundaki bir kişinin beden kitle indeksi, BKİ=70/1.75 2 =22.84 olarak hesaplanır. Bu özellik kullanılarak oluşturulan tek boyutlu, sınıf aralığı eşit olmayan tablo örneği aşağıda sunulmuştur. Beden kitle indeksi değerlerinin (sürekli değişken) kesikli değişkene dönüştürülmesi nde kullanılan sınıf limitleri ile sınıflandırılmış budeğişken ile oluşturulan tek boyutlu frekans tablosu Örnek Tablo 2.6 da sunulmuştur. Örnek Tablo 2.6. İki Ucu Açık Sınıflı Frekans Tablosu ( Beden Kitle İndeksi Sınıfları, BKİ) Sınıf AL - ÜL Frekans (n) Nispi Frekans (%) Eklemeli Nispi F. (%) Zayıf < 18.5 8 10.0 10.0 Normal 18.5-24.9 47 58.8 68.8 Biraz Kilolu 25.0-29.9 15 18.8 87.6 Şişman 30.0-39.9 8 10.0 97.6 Obez 40.0 > 2 2.5 100.1* =80 100.1* *NF toplamı ve ENF toplamı 100 olmalıdır. Ancak sınıflardaki yüzde değerlerde yapılan yuvarlaklaştırmaya bağlı olarak 100.1 veya 99.9 olabilir. Bu tabloda da sınıflar (kategoriler) sürekli bir değişkenden (Beden kitle indeksi, BKİ) oluşturulmuştur. Sınıfların alt ve üst limitleri sağlık uzmanları tarafından belirlenmiştir ve sınıf aralıkları eşit değildir. Bu tablonun bir diğer özelliği iki ucu açık frekans tablosuna örnek oluşturmasıdır. Yukarıdaki örnek tabloda 80 kişi arasında BKİ 30.0 ile 39.9 arasında 8 kişi tespit edilmiştir. Bu 8 kişinin toplam 80 kişi içindeki oranı %10 dur. Ayrıca BKI değeri 24.9 ve daha az olanların oranı bu tablonun Eklemeli Nispi Frekans sütunundan %68.8 olduğu görülebilir. Yukarıda anlatılan ve örnekler verilen tek boyutlu frekans tabloları, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8
Örnek 2.7. Tablolar ve Grafikler a) Sınıfları kalitatif olan tablolar, b) Sınıfları kesikli ancak nicel değerlerden oluşan tablolar, c) Sınıf aralıkları eşit olan tablolar, d) Sınıf aralıkları eşit olmayan, ancak özel bir anlam ifade eden tablolar ve, e) Birinci sınıfın alt limiti ve/ya son sınıfın üst limiti olamayan, bir ucu veya iki ucu açık frekans tabloları olarak özetlenebilir. İki Boyutlu Frekans Tabloları (Çapraz Tablolar) Veriler frekans olarak iki boyutlu tablolar (çapraz tablolar) kullanılarak özetlenebilir. İki boyutlu bu tablolara kontenjans tablosu da denilmektedir. Verilerin özetlenmesinde çok yaygın olarak iki boyutlu tablolardan (çapraz tablolar) yararlanılır. İki boyutlu bu tablolara kontenjans tablosu da denilmektedir. Verilerin iki farklı değişkene ait olması durumunda frekanslar iki boyutlu tablolar kullanılarak özetlenebilir. Çapraz tablolar görünüm olarak çok farklı şekillerde düzenlenebilir. Çapraz tablolarda değişkenlerden birinin sınıfları yatay (satır), diğerinin sınıfları düşey (sütun) eksene yerleştirilerek matris oluşturulur. Birinci satıra ve birinci sütuna ele alına bu iki değişkenin sınıfları yerleştirilir. Çok kesin bir kural olmamakla birlikte anlatım kolaylığı sağlamak için eğer değişkenlerden biri bağımlı değişken ise, bağımsız değişken yatay eksene (x ekseni) bağımlı değişken düşey eksene (y ekseni) yerleştirilir. Oluşan hücrelerin her birine değişkenlerin ilgili sınıflarının frekanslar yazılır. Gerekli görülürse satır toplamları için en sağ tarafa ve sütun toplamları için en alta sütun ve satır toplamları ilave edilebilir. Ayrıca yine gerekli görülürse her bir hücredeki frekansın altına satır yüzdesi ve sütun yüzdesi ve toplama göre yüzdeler yazılabilir. Yüzde değerlerin hesaplanması tek boyutlu tablolardaki gibidir. Üç faklı lise grubundan 300 öğrencinin ÖSS sınavında taban puan bakımından başarı durumları aşağıdaki tablolarda özetlenmiştir. Tablolara frekans ve yüzde değerlerin yazılmasını ve yorumlanmasını inceleyiniz. Örnek Tablo 2.7. Öğrencilerin Başarı Durumlarına ve Liselere Göre Frekans Dağılımı Fen L. Anadolu L. Meslek L. Toplam Başarılı 75 90 80 245 Başarısız 5 10 40 55 Toplam 80 100 120 300 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9
İki boyutlu tablolarda frekansların yanında satır, sütun ve genel yüzde değerler de verilebilir. Çapraz tablolarda yüzde değerler İki boyutlu frekans tablosunda özetlenen frekans dağılımları gerekli görülürse yüzdelik olarak da ifade edilebilir. Çoğu kez yüzde değerler frekanslardan daha açıklayıcı olabilmektedir. Bu nedenle tablolar genellikle yüzde değerler ile birlikte sunulur. İki boyutlu tablolarda yüzdelikler satır yüzde değerleri, sütun yüzde değerleri ve genel yüzde değerleri olarak da verilebilir. Yukarıda frekans olarak özetlenen verilerin satır sütun ve genel yüzde değerleri için aşağıda ayrı ayrı satır, sütun ve genel yüzde değerleri verilmiş ve kısa yorumlamalar yapılmıştır. Satır Yüzdeleri: Aşağıdaki tabloda (Tablo 2.8.) yukarıdaki 300 öğrenci örneğinin liselere dağılımı verilmiştir. Bu örneğe göre öğrencilerin % 26.7 si Fen Lisesi, %36.7 si Anadolu Lisesi ve %32.7 si Meslek Lisesi mezunudur. Başarılı 245 öğrencinin %30.6 sı Fen, %36.7 si Anadolu ve %32.7 si Meslek Lisesi mezunudur. Aynı şekilde başarısız 55 öğrencinin %9.1 i Fen, %18.2 si Anadolu ve %72.7 si Meslek Lisesi mezunudur. Örnek Tablo 2.8. Başarılı, Başarısız ve Toplam Öğrencilerin Liselere Göre % Dağılımı (Satır Yüzdeleri) Başarı Durumu Başarılı Başarısız Toplam n % n % N % Mezun Olunan Lise Fen L. Anadolu L. Meslek L. Toplam 75 90 80 245 30.6 36.7 32.7 100.0 5 10 40 55 9.1 18.2 72.7 100.0 80 100 120 300 26.7 33.3 40.0 100.0 Sütun Yüzdeleri: Sütunlardaki frekanslara göre de yüzde değerler hesaplanabilir ve bu yüzde değerler yorumlanabilir. Yukarıdaki örneğe ait sütun yüzdeleri de hesaplanmış (Tablo 2.9.) ve elde edilen değerler sütunlar için yorumlanmıştır. Örnek Tablo 2.9. Toplam Öğrenci ve Lise Gruplarına ait Başarılı ve Başarısız ve Öğrencilerin % Dağılımı (Sütun Yüzdeleri) Başarı Durumu Başarılı Başarısız Toplam n % n % N % Mezun Olunan Lise Toplam Fen L. Anadolu L. Meslek L. 75 90 80 245 93.8 90.0 66.7 81.7 5 10 40 55 6.2 10.0 33.3 18.3 80 100 120 300 100.0 100.0 100.0 100.0 Bu örnekte 300 öğrencinin % 87.1 i başarılı (245 kişi) % 18.3 ü (55 kişi) başarısız olmuştur. Başarı ve başarısızlık yüzdeleri (oranları) sırasıyla Fen Lisesinde %93.8 ve %6.2, Anadolu Lisesinde %90.0 ve %10.0, Meslek Lisesi grubunda %66.7 ve %33.3 tür. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10
Genel Toplama Göre Yüzdeler: Satır ve sütun yüzdelerinin yanında genel toplama göre yüzde değerleri de hesaplanabilir ve yorumlanabilir. Örnek Tablo 2.10. Herhangi Bir Lise Grubunda Genel Toplama Göre Başarı veya Başarısızlık % Dağılımı (Genel Yüzdeler) Başarı Durumu Başarılı Başarısız Toplam n % n % N % Mezun Olunan Lise Fen L. Anadolu L. Meslek L. Toplam 75 90 80 245 25.0 30.0 26.7 81.7 5 10 40 55 1.7 3.3 13.3 18.3 80 100 120 300 26.7 33.3 40.0 100.0 Yukarıdaki örnekte 300 öğrencinin %87.1'i başarılı (245 kişi) % 18.3 ü (55 kişi) başarısız olmuştur. Fen Lisesinde başarılı olan 75 öğrenci genel toplamın (300)kişi % 25.0 lık dilimini oluşturmaktadır. Fen Lisesi mezunu ve başarısız olan öğrencilerin oranı genel toplamın sadece % 1.7 sine tekabül etmektedir. Anadolu Lisesi mezunu ve başarılı olanların sayısı 90 kişi olup toplam öğrenci içindeki oranı %30 olarak belirlenmiştir. Diğer liselere ait oranlar benzer şekilde ifade edilir. Bu tablolarda tanımlayıcı istatistik olarak sunulan verilerin analitik değerlendirilmesi Ünite 10 da Ki- Kare testleri başlığı altında anlatılacaktır. Tablo yapımında dikkat edilecek hususlar Tablo başlığı kısa, öz, anlaşılır ve basit olmalıdır. Tablo başlığına tablonun üstüne yazılmalıdır. Satır ve sütun değişkenleri ve ölçüleri belirtilmelidir. Oranlar (% ler) tek başına verilmemeli, gerektiğinde verilmelidir. N sayısı (fert sayısı) sınırlı ise oran verilmemelidir. Tabloda uygun yerlerde toplamlar (N) verilmelidir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11
Verilerin görsel takdiminde kullanılan en önemli grafik türleri; Histogramlar, Sütun grafikler, Çizgi grafikler, Bölünmüş daire grafikleri, Kutu grafikler ve Nüfus piramitleridir. Frekans olarak iki boyutlu tablolar (çapraz tablolar) kullanılarak özetlenebilir. İki boyutlu bu tablolara kontenjans tablosu da denilmektedir. GRAFİKLER Verilerin takdim ve özetlenmesinde oldukça yaygın olarak kullanılan bir diğer ana grup araç grafiklerdir. En önemli grafikler şunlardır: Histogramlar Sütun Grafikleri Çizgi veya Trend Grafikleri Bölünmüş Daire Grafikleri Kutu Grafikler Nüfus Piramitleri (Özel Grafikler) Histogramlar Sürekli bir değişkene ait veri setinden oluşturulan sınıflardaki frekans dağılımını göstermek için çizilen grafik türüdür. Dik koordinat sisteminde yatay eksene (x) sınıf sınırları, dikey eksene (y) frekanslar yerleştirilerek çizilen dikdörtgenler vasıtasıyla frekans dağılışının gösteren histogram grafiği oluşturulur. Aşağıda çocuklarda doğum ağırlığı dağılımı için bir histogram örneği verilmiştir. 10 Cocuklarda Dogum Agirligi 8 6 Histogram sürekli değişkenlerin dağılımını göstermek için dik koordinat sistemine çizilen bir grafiktir. Frekanslar (ni) 4 2 0 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 N=30 =3.02 Std. Dev =,78 Mean = 3,02 N = 30,00 D_AG Doğum Ağırlığı Dağılımı Şekil 2.1. Histogram örneği Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12
Sütun Grafikler Kategori veya sınıflara ait miktarlar arasındaki ilgiyi göstermek için x eksenine sınıf veya alt sınıflar y eksenine mutlak veya nispi miktarları yerleştirilerek oluşturulan grafiklerdir. Aşağıda farklı sütun grafik örnekleri verilmiştir: 35 35 30 27 Adet (n) 25 20 15 10 5 18 10 A B AB 0 0 Kan Grubu 100 80 60 Toplam Adet (n) 40 20 Kız Erkek 0 1970 1980 1990 2000 2010 Yıllar Şekil 2.2. Sütun Grafik Örnekleri Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13
Nüfus (milyon) Tablolar ve Grafikler Sütun grafikler kategorilere ait miktarlar arasındaki ilgiyi göstermek için çizilir. Sütun grafiklerin bir diğer formu çizgi (trend) grafikleridir. Çizgi veya Trend Grafikleri Sütun grafiklerin bir başka şekli çizgi grefiklerdir. Bu grafik X eksenindeki değişkenin sınıflarına veya alt sınıflara göre yönelimi göstermek için çizilen grafik türüdür. Aşağıda iki farklı çizgi grafik örneği verilmiştir. 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Köy Şehir 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Yıllar Adet (n) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 90 60 50 25 15 1970 1980 1990 2000 2010 Toplam Kız Erkek Şekil 2.3. Çizgi Grafik Örnekleri Bir bütünün kısımlarını göstermek için bölünmüş daire grafiği çizilir. Bölünmüş Daire Grafikleri Bir bütünü meydana getiren parçaların ifade edilmesinde daireden faydalanılarak çizilen grafiklerdir. Çizim, % 1 lik değerin 3,6 derecelik açıya karşılık getirilmesi esasına dayanır. Aşağıda kan gruplarına dağılım için bölünmüş daire grafiği örneği verilmiştir. 10; 11% A B AB 0 27; 30% 35; 39% 18; 20% Kan Gruplarına dağılım (n=90) Şekil 2.4. Bölünmüş Daire Grafiği Örneği Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14
Kutu Grafik Diğer grafiklere göre daha özgün bir grafik türüdür. Bu grafik türü Boksör Torbası Grafiği olarak da adlandırılmaktadır. Verilerin dağılımı yanında birçok istatistik ölçüyü göstermek için kullanılır. Örnekte görüldüğü gibi maksimum, minimum, medyan, çeyrek ölçüler, sapmalı değerler gibi birçok ölçü bu grafik ile sunulabilmektedir. Aşağıda erkek ve kız bebeklerin doğum ağırlığı ile ilgili boksör torbası grafiği örneği verilmiştir. 5,5 Maksimum 5,0 24 Sapmalı değer 4,5 4,0 3,5 Çeyrek 3 Medyan 3,0 Minimum D_AG Özel Grafikler 2,5 2,0 1,5 N = CýNSIYET 17 Erkek Erkek Şekil 2.5. Kutu Grafik Örneği Grafik ve şekil çiziminin esaslarına göre özel amaç için çizilen grafiklerdir. Nüfus piramitleri buna örnek olarak verilebilir. Aşağıda Türkiye nin 1998 yılı Nüfus Piramidi örnek olarak verilmiştir. 13 Kiz Kız Çeyrek 1 Kutu grafikler ve nüfus grafikleri diğer grafiklere göre daha özgün bilgiler sunarlar. Yüzde Şekil 2.6. Türkiye nin 1998 Yılı Nüfus Piramidi Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 15
Tartışma Tablolar ve Grafikler Nüfus piramitleri, bir ülkenin geri kalmışlık, gelişmişlik yada gelişmekte olduğunun bir göstergesidir. Nüfus piramidi o ülke veya bölgenin nüfus sayısı ve yapısı hakkında bilgi verir. Nüfus piramitleri ile ilgili daha ileri açıklamalar nüfus istatistikleri ünitesinde verilmiştir. Grafik çiziminde sıkça bazı hatalar yapılmaktadır. Yapılan en önemli hatalar aşağıda sıralanmıştır. Bunlar; Eksenlerin orantısızlığı, Eksenlerde yer alan değerlerin ve birimlerinin belirtilmemesi, Şekil veya grafik içindeki detayların açıklanmaması, Şekil ve grafiğin içeriğini belirten başlığın, şeklin altına yazılmaması, Eksenin başlangıç veya sıfır noktasının belirlenmemesi, Kısaltılan eksenlere kesme // işaretinin konmamasıdır. Bir bölge hastenesine tedavi amacıyla başvuran hastaların polikliniklere dağılımında hangi grafik türünün kullanılacağını tartışınız ve nedenini açıklayınız. Yıllara göre kanser hastası değilşiminde niçin çizgi grafik kullanacağınızı tartışınız. Bu amaç için sütun grafik kullanılabilir mi? Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 16
Özet Tablolar ve Grafikler Verilerin özetlenmesi ve bu verilerden sonuç çıkartılması sürecinde tablolar ve grafiklerden yararlanılmaktadır. Frekans tabloları; tek boyutlu ve iki boyutlu (çapraz tablo) olarak oluşturulmaktadır. Tek boyutlu frekans tablarında yüzde değerler (nispi frekanslar) ve eklemeli nispi frekanslar (yığılımlı nispi ferkanslar) da hesaplanabilir. Ayrıca iki boyutlu tablolarda frekansların yanında satır, sütun ve genel yüzde değerleride verilebilir. Verilerin özetlenmesinde sık kullanılan araçlardan biride grafiklerdir. Grafik çizim kurallarına uyulmadığında grafik anlaşılamaz veya okuyucuyu yanıltabilir. Tanımlayıcı istatistikte kullanılan en yaygın grafik çeşitleri; Histogramlar, Sütun grafikler, Çizgi grafikler, Bölünmüş daire grafikleri, Kutu grafiklerdir. Amaca ve verilerin yapısına uygun grafiğin seçimi tanımlayıcı istatistikte önemlidir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 17
Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz. DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Tek boyutlu bir frekans tablosunda son sınıfın (en alt sınıfın)eklemeli nispi frekans değeri nedir? a) Toplam frekansa bağlıdır. b) 50 dir. c) 100 dür. d) Toplam frekans değerine eşittir. e) Bilinemez. 2. Toplam veri sayısı 400 0lan bir tabloda ikinci sınıfta 50 fert var ise, bu sınıfın nispi frekansı % olarak nedir? a) % 10 b) % 12.5 c) % 20 d) % 5 e) Bilinemez. 3. Tam sayı olarak belirlenen (ondalıksız) verilerle hazırlanan bir frekans tablosunda ilk üç sınıfa ait sınıf değerleri 18, 21 ve 24 olarak verildiğine göre, birinci sınıfın sınıf limitleri ( (AL ve ÜL) nedir? a) 16-20 b) 15-20 c) 17-18 d) 17-19 e) 16-19 4. Bir frekans tablosunda toplam frekans 200 dür. Dördüncü sınıfın frekansı 12, eklemeli frekansı 40 ve beşinci sınıfın eklemeli frekansı 64 ise, dördüncü sınıfın nispi ve eklemeli nispi frekansları (NF ve ENF) nedir? a) NF = % 6 ENF = % 20 b) NF = % 12 ENF = % 25 c) NF = % 8 ENF = % 40 d) NF = % 5 ENF = % 10 e) NF = % 6 ENF = % 40 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 18
5. Tek boyutlu bir frekans tablosunda sınıflar (kategoriler) için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? a) Sınıflar rakamla gösterilebilir. b) Sınıf aralığı farklı olabilir. c) Sınıflar kalitatif (nitel) olabilir. d) Sınıf sayısı 5 ile 20 arasında olabilir. e) Sınıf aralığı her zaman eşit olmalıdır. 6. Polikliniklere göre ayakta tedavi edilen ve yatış yapılan hasta sayılarının değerlendirildiği bir çalışmada bir hastaneye gelen 5000 hastanın 500 ü dâhiliye polikliniğine gelmiş, bunların 200 adedi Dâhiliye servisine yatış yapmıştır. Tüm servislere yatış yapan hasta sayısı ise 1500 dür. Tüm hastalara göre dâhiliye servisine yatış yapan hasta oranı nedir? a) % 4 b) % 5 c) % 40 d) % 10 e) Hesaplanamaz. 7. Miktarları karşılaştırmak için en yaygın hangi grafik kullanılır? a) Histogram b) Sütun grafik c) Çizgi grafik d) Bölünmüş daire grafiği e) Nüfus piramidi 8. Kadın ve erkek nüfusun, 5 veya 10 yaş gruplarında, dağılımını özel olarak göstermek için çizilen en uygun grafiğin adı nedir? a) Histogram b) Sütun grafik c) Çizgi grafik d) Bölünmüş daire grafiği e) Nüfus piramidi 9. Bir bütünün %10 luk kısmı bölünmüş daire grafiğinde kaç derecelik açı ile temsil edilir? a) 36 b) 360 c) 3.6 d) 90 e) 45 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 19
10. Grafik başlığı grafiğin hangi tarafına yazılır? a) Üstüne b) Altına c) Sağına d) Soluna e) Uygun yere Cevap Anahtarı 1.C, 2.B, 3.D, 4.D, 5.E, 6.A, 7.B, 8.E, 9.A, 10.B Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 20
YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Akbulut, Ö. (2009). Biyoistatistik Ders Notları. Atatürk Üniversitesi HELİTAM Programı. Erzurum Başar, A. Oktay, E. (1997). Uygulamalı İstatistik. Şafak Yayınları, Erzurum. Çelik, M.Yusuf. (1999). Biyoistatistik Araştırma İlkeleri Yeni bir yaklaşım. Dicle Üniv. Tıp Fakültesi, Diyarbakır. Düzgüneş, O. Kesici, T. Gürbüz, F. (1983). İstatistik Metotları I. Ziraat Fakültesi Yayınları, Ankara. Hayran, M, Özdemir, O. (1996). Bilgisayar İstatistik ve Tıp.(2. Baskı) Hekimler Yayın Birliği MEDAR. Ankara. Karataş, Ş. (1973). İstatistiğe Giriş. Atatürk Üniversitesi Basımevi, Erzurum. Yıldız, N. Akbulut, Ö. Bircan, H. ( 2006). İstatistiğe Giriş, Uygulamalı Temel Bilgiler, Çözümlü ve Cevaplı Sorular. Aktif Yayınevi, İstanbul. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 21