kili ve Çoklu Kar³la³trmalar Birdal eno lu ükrü Acta³
çindekiler 1 Giri³ 2 3 4 5 6 7
Bu bölümde, (2.1) modelinde, H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ a = µ (1) ³eklinde ifade edilen sfr hipotezinin reddedilmesi durumunda, deneme ortalamalar arasndaki farkll n hangi deneme veya denemelerden kaynakland n belirlemek amacyla literatürde yaygn olarak kullanlan baz ikili ve çoklu kar³la³trma metotlar tantlm³tr.
Fisher (1935) tarafndan önerilen en küçük anlaml fark (least signicant dierence-lsd) metodunda hipotezini snamak için LSD Test statisti i H 0 : µ i = µ j, i j (2) 2MS t Hata α/2,dfhata, n n 1 = n 2 = = n a = n ise LSD = ( 1 t α/2,dfhata MS Hata n i + 1 n j ), en az biri farkl ise de eri hesaplanr. (3)
E er, ȳ i ȳ j > LSD (4) ise H 0 hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le, "i inci ve j inci deneme ortalamalar arasnda anlaml bir farkllk vardr ", denir, bkz Montgomery (2001).
Tukey metodu q = Maksimum(ȳ i ) Minimum(ȳ i ) MSHata n, i = 1, 2,, a (5) olarak tanmlanan Studentla³trlm³ aralk istatisti ine (Studentized range statistics) dayanr, bkz Kuehl (2000).
Tukey metodunda, denemelerdeki gözlem saylarnn e³it olmas halinde (n 1 = n 2 = = n a = n) H 0 : µ i = µ j, i j (6) hipotezini snamak için HSD Test statisti i HSD = q α (a, df Hata ) MS Hata n (7) de eri hesaplanr.
Burada, q α (a, df Hata ), studentla³trlm³ aralk istatisti inin tablo de eridir, bkz. May (1952). E er, ȳ i ȳ j > HSD, i j (8) ise H 0 hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le, "i inci ve j inci deneme ortalamalar arasnda anlaml bir farkllk vardr ", denir.
Denemelerdeki gözlem saylar e³it olmad nda ise Tukey (1953) ve Kramer (1956) HSD de eri hesaplanrken kullanlan q de erinin q = Maksimum(ȳ i ) Minimum(ȳ i ) ( ), i = 1, 2,, a (9) 1 MS Hata 2 n i + 1 n j olarak de i³tirilmesini önermi³lerdir, bkz Kuehl (2000). Bu metot Tukey-Kramer metodu olarak da bilinir.
Spjøtvoll & Stoline (1973) ise farkl bir yakla³mla denemelerdeki gözlem saylar birbirinden çok fazla farkl olmad nda kritik de er olarak MSHata HSD = q α (a, df Hata ) min( n i, n j ) (10) de erinin kullanlmasn önermi³tir.
Her bir denemedeki gözlem says birbirinden çok farkl oldu unda ise ilerleyen bölümlerde anlatlacak olan Schee metodunun kullanlmas önerilmi³tir, bkz. Milliken & Johnson (1992).
Duncan çoklu aralk testinde, H 0 : µ i = µ j, i j (11) hipotezini snamak için R g Test statisti i R g = MSHata r α (g, df Hata ), n 1 = n 2 = = n a = n ise n MS Hata r α (g, df Hata ) /, en az biri farkl ise a a (1/n i ) (12) R g (g = 2, 3,, a) de erleri hesaplanr.
Burada a (1/n i ) harmonik ortalamay ifade eder ve r α (g, df Hata ) da nin tablo de erini gösterir, bkz. Duncan (1955). Duncan çoklu aralk testinde deneme ortalamalarnn ikili kar³la³trmalar a³a daki admlar izlenerek yaplr;
1. Adm ȳ 1, ȳ 2,, ȳ a deneme ortalamalar ȳ (1) ȳ (2) ȳ (a) olacak ³ekilde küçükten büyü e do ru sralanr.
2. Adm g = 2, 3,, a için R g de erleri hesaplanr.
3. Adm ȳ (a) ȳ (1) > R a ȳ (a) ȳ (2) > R a 1 ȳ (3) ȳ (1) > R 3. ȳ (3) ȳ (2) > R 2 y (2) ȳ (1) > R 2 ȳ (a) ȳ (a 1) > R 2 kar³la³trmalar yaplr.
E er, deneme ortalamalar arasndaki fark R g de erinden daha büyük ise H 0 hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le, "i inci ve j inci deneme ortalamalar arasnda anlaml bir farkllk vardr " denir, bkz Montgomery (2001). Burada dikkat edilmelidir ki, ȳ (a) ȳ (1) > R a ise a nc deneme ile 1 inci deneme arasnda de il, en büyük ortalamaya sahip deneme ile en küçük ortalamaya sahip deneme arasnda anlaml bir fark vardr.
Lineer ba ntlar (linear contrasts) µ i lerin lineer bile³imleri olarak tanmlanr ve a C = c i µ i (13) olarak gösterilir. a C nin lineer ba nt olmas için c i = 0 olmas gerekir.
Lineer ba ntlarn sahip olmas gereken bir di er özellik ise dikliktir (orthogonality): C 1 = a c 1i µ 1i ve C 2 = iki lineer ba nt olmak üzere a c 2i µ 2i a c 1i c 2i = 0 (14) e³itli i sa lanyorsa bu ba ntlar dik lineer ba nt (orthogonal linear contrast) olarak adlandrlr.
Dikkat edilirse, lineer ba ntlar metodunda ikili kar³la³trmalar da dahil olmak üzere deneme ortalamalar arasndaki olas tüm kar³la³trmalar yaplabilir. a tane deneme ortalamasnn kar³la³trld bir deneyde en fazla a 1 tane dik lineer ba nt kurulabilir. Dolaysyla, her bir lineer ba ntnn serbestlik derecesi "1" dir. Lineer ba ntlar yönteminde, hangi deneme ortalamalarnn kar³la³trlaca na deney yaplmadan önce karar verilir.
Örne in, H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 hipotezinin reddedilmesi halinde C 1 : µ 1 µ 2 = 0 C 2 : µ 1 + µ 2 2µ 3 = 0 ³eklinde iki tane lineer ba nt tanmlanabilir. Burada, c 11 = 1, c 12 = 1, c 13 = 0; c 21 = 1, c 22 = 1, c 23 = 2 oldu undan ve 3 c 1i = 0, 3 c 2i = 0, 3 c 1i c 2i = 0 ko³ullar sa land ndan C 1 ve C 2 lineer ba ntlar diktir. Dikkat edilirse, dik lineer ba nt says denemelerin serbestlik derecesine yani a 1 = 2 ye e³ittir.
Lineer ba ntlar yönteminde temel amaç, H 0 : a c i µ i = 0 (15) hipotezini snamaktr. Bu hipotezi snamak için Test statisti i test istatisti i kullanlr. SS C /1 F C = = MS C MS Hata MS Hata (16)
Burada, ( a 2 / a SS C = n c i ȳ i ) ci 2 (17) dr. E er, F C > F α;a 1;df Hata ise H 0 hipotezi reddedilir.
H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ a hipotezi reddedilmi³se ve snrl sayda planlanm³ ba nt kar³la³trlmak isteniyorsa Bonferroni metodunun kullanlmas önerilir.
Bonferroni metodu kullanlarak k tane kar³la³trma yaplmak isteniyorsa, a H 0 : c ib µ i = 0, b = 1, 2,, k (18) ³eklinde tanmlanan k tane sfr hipotezinin her biri için ayr ayr Test statisti i B b = t α/2k,dfhata MSHata de eri hesaplanr. E er, a a c ib ȳ i > B b ise H 0 hipotezi reddedilir, Milliken & Johnson (1992). c 2 ib n i, b = 1, 2,, k (19)
Schee (1953) tarafndan önerilen ve kendi adyla anlan metot, Bonferroni metodundan farkl olarak sadece önceden planlanm³ az saydaki lineer ba nty de il, bütün olas ba ntlar test etmek için önerilmi³tir, bkz Kuehl (2000).
Schee metodunda H 0 : hipotezini snamak için Test statisti i S Cb a c ib µ i = 0, b = 1, 2,, k (20) = (a 1)F α;a 1;df Hata MSHata a c 2 ib n i (21) de eri hesaplanr. E er, a c ib ȳ i > S Cb ise H 0 hipotezi reddedilir.