ÖABT 2015 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT LİSE MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR Konu Anlatımı Özgün Sorular Ayrıntılı Çözümler Test Stratejileri Çıkmış Sorular
Komisyon ÖABT LİSE Matematik Öğretmenliği Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı ISBN 978-605-364-002-9 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 1. Baskı: Şubat 2015, Ankara Proje-Yayın Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Türkçe Redaksiyon: Elif Külah Dizgi-Grafik Tasarım: Gülnur Öcalan Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti. İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A Yenimahalle/ANKARA (0312-394 55 90) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No:13987 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılayorha / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Soyut Cebir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Alan Eğitimi bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında emeği geçen Sayın Kerem Köker, Fikret Hemek, Ayşegül Eroğlu ve Dizgicimiz Gülnur Öcalan'a teşekkürü bir borç biliriz. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % 80 1-40 a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matematik % 24 % 16 % 16 % 24 Alan Eğitimi Testi % 20 41-50 Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2013-2014 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM SOYUT CEBİR 1. Sayılar ve Özellikleri...3 1.1. Rakam...3 1.2. Sayma Sayıları...3 1.3. Doğal Sayılar...3 1.4. Tam Sayılar......3 1.5. Aralarında Asallık...3 1.6. Rasyonel Sayılar...3 1.7. İrrasyonel Sayılar...3 1.8. Reel Sayılar...3 1.9. Tek ve Çift Sayılar...3 1.10. Ardışık Sayılar...4 1.11. Negatif ve Pozitif Sayılar ile İlgili Özellikler...4 1.12. Tam Sayılarda Bölünebilme...4 1.13. En Büyük Ortak Bölen...6 1.14. En Küçük Ortak Kat...7 2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler...8 3. Euler {-Fonksiyonu... 11 {-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri... 11 4. Kongrüanslar...13 Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik...13 5. Asal Sayıların Bazı Özellikleri...15 6. Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophant Denklemleri...18 İki veya Daha Fazla Değişkenli Lineer Kongrüanslar...18 7. İkinci Dereceden Kalanlar...19 8. Gruplar...29 8.1. Tek İşlemli Cebirsel Yapı Türleri...29 8.2. Mertebe...31 9. Alt Gruplar...32 9.1. Normal Alt Gruplar...34 10. Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar...35 11. Gruplarda Homomorfizm ve İzomorfizm...36 11.1. Homomorfizma...36 11.2. İzomorfizma...36 12. Bölüm Grupları...39 13. Devirli Gruplar...40 13.1. Devirli Grupların Alt Grupları...41 13.2. Üreteç Sayısı...42 14. Çarpım Grupları...42 İzomorf olmayan Abelyan Gruplar...43
vi 15. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi...43 15.1. Alt Halka...45 15.2. Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi...45 15.3. Bölüm Halkası...45 15.4. İdeal...45 15.5. Nilpotent Eleman...45 16. Polinom Halkası...45 17. Cisim...47 17.1. Cebirsel Sayı...47 17.2. Transandant Sayı...47 17.3. Sayılabilir Küme...47 Çözümlü Test 1...48 Çözümler...50 Çözümlü Test 2...52 Çözümler...54 Çözümlü Test 3...56 Çözümler...58 Çözümlü Test 4...60 Çözümler...62 LİNEER CEBİR 1. Vektör Uzayları...68 1.1. Tanım ve Aksiyomlar...68 1.2. Vektör Uzayı ve Aksiyomları...70 1.3. Önemli Vektör Uzayı Örnekleri...70 2. Alt Vektör Uzayı...74 2.1. Alt Uzayın Özellikleri...74 2.2. Boyut...76 3. İç Çarpım Uzayları...78 3.1. İç Çarpım...78 3.2. Norm...79 4. Otonormal Baz...84 4.1. Schmidt Metodu...84 4.2. Gram-Schmidt Metodu...84 5. Alt Uzayın Bazları...89 6. Direkt Toplam Uzayı...89 7. İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları...89 8. Lineer Dönüşümler...93 8.1. Temel Özellikler...94 8.2. Germe Aksiyomu...94 8.3. Lineer Bağımsızlık...94 8.4. Ortogonal İzdüşüm...95
vii 9. Matrisler ve Matris Uzayları...98 9.1. Matris Toplamı...98 9.2. Skaler ve Matris Çarpımı...98 9.3. Matris Çarpımı...99 9.4. Bir Matrisin Transpozu...100 9.5. Kare Matrisler...100 9.6. Bir Matrisin Tersi...101 9.7. Matrisler ile Lineer Dönüşüm Arasındaki İlişkiler...101 9.8. Bir Lineer Dönüşüme Karşılık Gelen Matris...102 9.9. Herhangi İki Vektör Uzay Arasındaki Lineer Dönüşümlerinin Matris Gösterimi...107 10. Bir Lineer Dönüşümün Rankı...108 10.1. Elemanter Operasyonlar (Basit İşlemler)...108 11. Permütasyonlar... 114 12. Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar... 118 n-lineer Fonksiyonlar... 118 13. Determinantlar...120 13.1. Determinant Fonksiyonun Özellikleri...120 13.2 Sarrus Kuralı...122 13.3 Determinant Açılımları...123 14. Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi...130 Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı...131 15. Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümleri...131 15.1. Lineer Denklem Sistemlerinin Determinantlarla Çözümleri...134 15.2. Cramer Olmayan Sistemlerin Determinantlarla Çözümleri...134 16. Matrisler ve Lineer Dönüşümlerin Polinomları...136 16.1. Karakteristik Değerler ve Karakteristik Denklemler...136 16.2. Karakteristik Değerler ve Karakteristik Vektörler...137 16.3. Karakteristik Uzay...138 16.4. Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem...138 Çözümlü Test 1...140 Çözümler...143 Çözümlü Test 2...145 Çözümler...147 Çözümlü Test 3...149 Çözümler...152 Çözümlü Test 4...154 Çözümler...156 Çözümlü Test 5...158 Çözümler...160