KISITLI OPTĠMĠZASYON

Transkript

1 KISITLI OPTĠMĠZASYON

2 DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA

3 Doğrusal Olmayan Programlama Gerçek haytatta karşılaşılan birçok problem sadece doğrusal olmayan fonksiyonlarla modellenebilir. Doğrusal olmayan programlama (DOP) problemleri genelde doğrusal programlama formatına uyan ancak doğrusal olmayan fonksiyonları içeren problemler olarak adlandırılır. Çözüm yöntemleri doğrusal programlama yöntemlerinden daha karmaşıktır. Öyle ki; en uygun çözümü belirlemek genellikle imkansız olmasa bile zordur.

4 Doğrusal Olmayan Programlama Doğrusal olmayan optimizasyon problemlerinin kısıtlarla ele alınması için bir dizi yaklaşım mevcuttur. Bunlar genellikle dolaylı ve doğrudan yaklaşımlar olarak ayrılabilir. Tipik bir dolaylı yaklaşım ceza fonksiyonu denen fonksiyonlar kullanılır. Bu fonksiyonlar muhtemel çözüm bir kısıta yaklaştığında amaç fonksiyonunun değerini azaltan veya arttıran ek ifadeler kullanırlar. Bu şekilde muhtemel çözümün mevcut kısıtları ihlal etmesinin önüne geçilir. Ancak bu tür yöntemler bazı problemlerde faydalı olurken, birçok kısıt içeren problemlerin çözümünü zorlaştırır.

5 Doğrusal Olmayan Programlama Genelleştirilmiş indirgemeli gradyan (GRG) arama yöntemi, doğrudan yöntemlerin daha popüler olanlarından biridir (detaylar için bakınız, Fylstra ve diğerleri, 1998; Lasdon ve arkadaşları, 1978; Lasdon ve Smith, 1992). Aslında bu yöntem Excel Çözücü de kullanılan doğrusal olmayan bir yöntemdir. Bu yöntem ilk önce kısıtlı problemi kısıtsız bir optimizasyon problemine çevirir. Bunu non-lineer denklem setini temel olmayan değişkenler cinsinden ifade edilen temel değişkenlere göre çözerek gerçekleştirir. Daha sonra kısıtsız optimizasyon problemi daha önceki bölümde verilen uygun yaklaşımlara göre çözülür.

6 Doğrusal Olmayan Programlama İlk olarak amaç fonksiyondaki iyileşmenin arandığı yön boyunca bir arama yönü seçilir. Varsayılan seçim daha önce tarif edildiği gibi Hesiyan matrisinin yaklaşık değerlerini tutmayı gerektiren Newton benzeri yaklaşımıdır. Bu yaklaşım çoğu durumda iyi bir performans gösterir. Eşlenik gradyan yaklaşımı Excel'de büyük problemlerin çözümü için bir alternatif olarak bulunmaktadır. Excel Çözücü nün mevcut saklama alanına bağlı olarak otomatik olarak eşlenik gradyan yöntemine geçen iyi bir özelliği vardır. Arama yönü belirlendikten sonra değişken adım miktarı yaklaşımı kullanılarak belirlenen doğrultuda tek boyutlu bir arama gerçekleştirilir.

7 Yazılım Paketleri İle Optimizasyon Yazılım paketleri, optimizasyon için büyük yeteneklere sahiptir. Bu derste kullanım kolaylığı ve daha yararlı olanlardan bazılarından bahsedeceğiz. Doğrusal olmayan programlamadan ziyade doğrusal programlamayı uygulamak için kolay ifade edilebilir biçimde tasarlanmış çeşitli yazılım paketleri vardır. Çok geniş kullanımı olduğundan Excel paket programında kullanılan tablolara odaklanılacaktır. Bu kök yerlerinin belirlenmesi gibi bir çok problemin çözümü için kullanılan Excel Çözücü yü kullanmayı gerektirir.

8 Yazılım Paketleri İle Optimizasyon Excel Çözücü nün doğrusal programlama için kullanıldığı biçim verileri tablo hücrelerine giren önceki uygulamalara benzerlik göstermektedir. Burada temel strateji tablodaki diğer hücrelerin varyasyonlarının bir fonksiyonu olarak optimize edilecek tek bir hücreye ulaşmaktır. Aşağıdaki örnek, bunun gaz işleme problemi için nasıl yapılabileceğini göstermektedir.

9 Yazılım Paketleri İle Optimizasyon Örnek: Daha önce verilen gaz işleme problemini Excel Çözücüyü kullanarak çözünüz. Çözüm: Gaz işleme problemindeki istenilen değerleri hesaplamak için bir Excel çalışma sayfası Şekil 1 de gösterilmiştir. Gölgeli olmayan hücreler sayısal ve etiket verilerini içermektedir. Gölgeli hücreler, diğer hücrelere bağlı olarak hesaplanan miktarları içerir. Maksimize edilecek hücre toplam kârı içeren D12 hücresidir. Değiştirilecek hücreler üretilen normal ve süper gaz miktarlarını içeren B4:C4'tür.

10 Yazılım Paketleri İle Optimizasyon Örnek: Daha önce verilen gaz işleme problemini Excel Çözücüyü kullanarak çözünüz. Çözüm: Gaz işleme problemindeki istenilen değerleri hesaplamak için bir Excel çalışma sayfası Şekil 1 de gösterilmiştir. Gölgeli olmayan hücreler sayısal ve etiket verilerini içermektedir. Gölgeli hücreler, diğer hücrelere bağlı olarak hesaplanan miktarları içerir. Maksimize edilecek hücre toplam kârı içeren D12 hücresidir. Değiştirilecek hücreler üretilen normal ve süper gaz miktarlarını içeren B4:C4'tür.

11 Yazılım Paketleri İle Optimizasyon Excelde tablo oluşturulduktan sonra Çözücü Araçlar menüsünden seçilir. Bu noktada, ilgili bilgilerin girişi için bir diyalog kutusu görüntülenecektir. Buradan Çözücü diyalog kutusunun ilgili hücreleri aşağı Şekil 2 deki gibi doldurulur. Şekil 3 te verilen diyalog kutusu kullanılarak kısıtlar Ekle butonu ile tek tek eklenir. Gösterildiği gibi, toplam ham gazın (hücre D6) mevcut arzdan (E6) daha az veya buna eşit olması gerektiği gösterilen biçimde eklenebilir. Her bir kısıtlama eklendikten sonra, Ekle butonu seçilebilir. Dört kısıtlamanın tamamı girildiğinde, Çözücü diyalog kutusuna dönmek için Tamam düğmesi seçilir.

12 Yazılım Paketleri İle Optimizasyon Şimdi çalıştırmadan önce Çözücü seçenekleri düğmesi seçilmeli ve Lineer model varsay etiketli kutu işaretlenmelidir. Bu uygulamanın hızını artırmak için Excel in simpleks algoritması bir sürümünü (genellikle kullandığı daha genel Bu seçeneği belirledikten sonra Çözücü menüsüne dönün. Tamam düğmesi seçildiğinde, işlemin başarısı hakkında bir rapor ile bir diyalog kutusu açılır. Mevcut durum için Çözücü Şekil 4 te gösterilen doğru çözümü elde eder. Çözümü elde etmenin ötesinde, Çözücü ayrıca bazı yararlı özet raporlar temin eder. Bunları daha önce tarif edilen mühendislik uygulamalarında inceleyeceğiz.

13 Yazılım Paketleri İle Optimizasyon ġekil 1. Doğrusal programlama için Çözücü yü kullanan Excel tablosu

14 Yazılım Paketleri İle Optimizasyon ġekil 2. Excel Çözücü ye problemle ilgili parametrelerin girilmesi.

15 Yazılım Paketleri İle Optimizasyon ġekil 3. Verilen problemle ilgili kısıtların diyalog kutusu ile girilmesi.

16 Yazılım Paketleri İle Optimizasyon ġekil 4. Doğrusal programlama problemine çözümünü gösteren Excel tablosu.

17 Çözücünün doğrusal olmayan optimizasyon için kullanıldığı yöntem, önceki uygulamalarımıza benzemektedir. Bu veriler tablo hücrelerine girilir. Bir kez daha, temel strateji, elektronik tablodaki diğer hücrelerin varyasyonlarının bir fonksiyonu olarak optimize edilecek tek bir hücreye ulaşmaktır. Aşağıdaki örnek doğrusal olmayan optimizasyon problemi için oluşturulmuş paraşütçü problemi ile ilgili olup Excel Çözücü ile bunun nasıl yapılabileceğini göstermektedir.

18 Örnek: Paraşüt Maliyetinin Optimizasyonu Burada sayısal yöntemlerin temel problem alanlarını göstermek için düşen paraşütçü örneğini kullanılmıştır. Bu örneklerin hiçbiri paraşüt açıldıktan sonra ne olduğuna odaklanmamıştır. Ancak bu örnekte paraşütün açıldıktan sonraki durumu incelenecek ve paraşütün yere çarpma hızı tahmin edilmeye çalışılacaktır.

19 Bir savaş bölgesinde mültecilere hava yolu ile malzeme tedarik etmeyi planlayan bir yardım kuruluşu için çalışan bir mühendis olduğunuzu düşünün. Malzemeler düşük irtifada yani 500 m den düşecek bu şekilde düşüş tespit edilmeyecektir. Bunun yanı sıra malzemeler mülteci kampına olabildiğince yakın düşecektir. Paraşütler uçağı terk ettikten hemn sonra açılacaktır. Hasarını azaltmak için çarpma üzerindeki dikey hız v c = 20 m/s kritik değerinin altında olacaktır.

20 Düşüş için kullanılan paraşüt, Şekil 1'de gösterilmiştir. Paraşütün kesit alanı yarı kürenin yüzey alanı şeklindedir. Paraşütü kütleye bağlayan 16 kordonun her birinin uzunluğu, paraşüt yarıçapı ile ilişkilidir. Paraşüt için sürükleme kuvvetinin aşağıdaki formül tarafından tanımlanan kesit alanının doğrusal bir fonksiyondur. Burada c, sürükleme katsayısı (kg/s) ve k c alanın sürükleme [kg/(sm 2 ) üzerindeki etkisini parametrelendiren bir orantı sabitidir. Ayrıca, yükü istenildiği kadar pakete bölünebilinir. Yani, her bir paketin kütlesi şu şekilde hesaplanabilir.

21 Burada m = bir paketin kütlesi (kg), M t = düşürülecek toplam yük (kg), ve n = toplam paket sayısı. Son olarak, her bir paraşütün maliyeti doğrusal olmayan bir şekilde paraşütün büyüklüğü ile ilişkilidir. Buna göre paraşüt başına maliyet aşağıdaki gibi olur. c 0, c 1 ve c 2 maliyet katsayılarıdır. Sabit terim c 0 paraşütlerin taban fiyatıdır. Daha büyük paraşütler imal etmek küçük paraşütlere göre çok daha zor olduğundan paraşütlerde maliyet ve alan arasında doğrusal olmayan bir bağıntı vardır. Yeterince küçük bir çarpma hızına sahip olan ve aynı zamanda minimum maliyetli olacak (r) büyüklüğü ile paraşüt sayısı (n) belirleyiniz.

22 ġekil 4. Konuşlandırılmış bir paraşüt.

23 Çözüm: Buradaki amaç, havanın kaldırma maliyetini en aza indirmek için paraşütlerin sayısını ve boyutunu belirlemektir. Problem kısıt içerir çünkü paketler kritik bir değerden daha az bir darbe hızına sahip olmalıdır. Maliyet bireysel paraşüt maliyetinin paraşüt sayısı (n) ile çarpılmasıyla hesaplanabilir. Bu nedenle, minimize edilmek istenen fonksiyon objektif fonksiyon olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi ifade edilir.

24 Burada C = maliyet ($) olup A ve l daha önce verilen denklemler ile hesaplanır. Daha sonra kısıtları belirlemek gerekir. Bu problem için iki kısıt vardır. İlk olarak, darbe hızı kritik hıza eşit veya ondan küçük olmalıdır, İkincisi, paketlerin sayısı tamsayı olmalı ve 1'den büyük veya ona eşit olmalıdır.

25 Bu noktada optimizasyon problemi formüle edilmiştir. Görülebileceği gibi, doğrusal olmayan bir problemdir. Problem kabaca formüle edilmiş olsa da, bir husus daha ele alınmalıdır: Çarpma hızını v nin nasıl belirleneceğidir? Temel fizik bilgisinden hatırlanacağı üzere bu hız düşen bir nesnenin hızı olarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir. Burada v hız (m/s), g yerçekimi ivmesi (m/s 2 ), m kütle (kg) ve t zaman (s).

26 Verilen denklem v ile t arasında bir ilişki kurmasına rağmen kütlenin ne kadar sürede yere düşeceğinin bilinmesi gerekir. Bu nedenle, düşme mesafesi z ile düşme süresi t arasında bir bağıntıya gerek vardır. Buna göre düşme mesafesi verilen denklemin zamana göre integrali alınarak bulunabilir. Bu integralin sonucu olarak aşağıdaki ifade elde edilir.

27 ġekil 4. Yerleştirilen bir paraşütün yeryüzüne düştüğü z yüksekliği ve v hızı (z = 0).

28 Burada z 0 = başlangıç yüksekliği (m). Bu fonksiyon, Şekil 3'te çizildiği gibi, verilen t bilgisi ile z yi tahmin etmenin bir yolunu sağlar. Ancak, bu problemi çözmek için t'nin bir fonksiyonu olarak z'ye ihtiyacımız yoktur. Aksine, paketin z 0 mesafesine düşmesi için gereken süreyi hesaplamamız gerekmektedir. Böylece denklemi yeniden hesaplamamız gerekir. Bu bir kök bulma problemi olup z yi sıfıra götüren zaman için çözülmesi gerekir.

29 Çarpma süresi hesaplandıktan sonra çarpma hızını bulmak için ilgili denklemde yerine yazılır. Bu nedenle problemin son hali aşağıdaki gibi olur.

30 Örnek: Bir paraşütün istenilmeyen bir noktaya düşme maliyeti en aza indirilmek istenmektedir. Buna göre maliyeti en aza indiren optimal parametre değerlerini doğrusal olmayan optimizasyon yöntemi ile elde ediniz. Verilen paraşüt problemi için parametreler aşağıda Çizelge 1 de verilmiştir. Excel kullanarak C maliyetini en aza indiren tasarım değişkenleri r ve n için bu problemi çözünüz.

31 Çizelge 1. Örnek 2 için verilen parametre değerleri. Parametre Sembol Değer Birim Toplam kütle M t 2000 kg Yerçekimi ivmesi g 9.8 m/s 2 Maliyet katsayısı (sabit) c $ Maliyet (uzunluk) katsayısı c 1 56 $/m Maliyet katsayısı (alan) c $/m 2 Kritik darbe hızı v c 20 m/s Sürüklenme alan etkisi k c 3 kg/(s/m 2 ) İlk damla yüksekliği z m

32 Bu değerleri aşağıdaki gibi denklemlere dönüştürdüğümüzde aşağıdaki denklemleri elde ederiz.

33 Böylece yukarıda verilen denklem sağlanana kadar t değeri ayarlanır. Mevcut problemde kullanılan parametre aralığı için bu formülün her zaman yakınsadığı görülür. Bu denklemin Excel tablosundaki çözümü oldukça kolaydır. Aşağıda gösterildiği gibi, t değeri ile denklemin sağ tarafı için iki hücre ayarlanabilir. Denklemi B21 hücresine yazın ve B20 hücresinden gelen zaman değeri ile diğer parametreleri sayfadaki diğer hücrelerden almasını sağlayın (tüm sayfayı nasıl ayarlayacağımıza bakın). Daha sonra B20 hücresine gidin ve değerini B21 hücresine yönlendirin.

34 Bu formülasyonları girdikten sonra hemen aşağıdaki gibi hata mesajını alacaksınız: B20'ye B21 e bağlı olduğundan ve tam tersi için dairesel referanslar çözülemez. Şimdi menüden Araçlar / Seçenekler seçimine gidin ve hesaplamayı seçin. Hesaplamadan diyalog kutusu, iterasyon u kontrol edin ve Tamam a basın. Hemen Excel tablo bu hücreleri yineleyecek ve aşağıdaki sonuç ortaya çıkacaktır.

35 Böylece hücreler kök değerine yakınsayacaktır. Daha hassas bir hale getirmek istiyorsanız, F9 tuşunu birkaç kez daha yinelemek için basın (varsayılan 100 adet iterasyondan ibarettir). İlgili değerleri hesaplamak için bir Excel çalışma sayfası daha sonra Şekil 15.6 da gösterildiği gibi ayarlanabilir. Gölgelenmemiş hücreler sayısal ve etiket verilerini içeren hücrelerdir.

36 Gölgeli hücreler, diğer hücreler esas alınarak hesaplanan miktarlardır. Örneğin, B17 deki kütle, M t (B4) ve n (E5) değerlerine dayanmaktadır. Ayrıca bazı hücreler gereksizdir. Örneğin, E11 hücresi E5 hücresine işaret eder. Bilgi E11 hücresinde tekrarlanır, böylece kısıtların yapısı sayfadan bariz görülür. Son olarak, minimize edilecek hücre toplam maliyeti içeren E15 olduğu bilinmelidir. Değiştirilecek hücreler yarıçapı ve paraşütlerin sayısını içeren E4: E5'tir. Elektronik tablo oluşturulduktan sonra, Çözücü seçimi Araçlar menüsünden seçilir. Bu noktada, ilgili bilgi girişi için bir diyalog kutusu görüntülenecektir.

37 ġekil 4. Doğrusal olmayan paraşüt optimizasyonu problemi için Excel tablo oluşumu.

38 ġekil 4. Kısıtların girildiği diyalog kutusu.

39 Kısıtlar Ekle butonu ile tek tek eklenmelidir. Bunun için aşağıdaki gibi görünen bir diyalog kutusu açılacaktır. Gösterildiği gibi, gerçek darbe hızının (hücre E10) gereken hıza eşit veya daha az olması gerektiği (G10) kısıtlaması gösterildiği gibi eklenebilir. Her bir kısıtlama eklendikten sonra, Ekle butonu seçilebilir. Aşağı okun çeşitli kısıtlama türleri arasından seçim yapabildiğini unutmayın (<=,> =, = ve tamsayı). Böylece paraşütlerin sayısını (E5) bir tamsayı olarak zorlayabiliriz.

40 Tüm üç kısıt girildiğinde, Çözücü diyalog kutusuna dönmek için Tamam düğmesi seçilir. Bu seçeneği belirledikten sonra Çözücü menüsüne dönülür. Tamam düğmesi seçildiğinde, işlemin başarısı hakkında bir rapor ile bir diyalog kutusu açılır. Mevcut durum için Çözücü, Şekil 7'deki gibi doğru çözüm elde eder. Bu nedenle, yükü m'lik bir paraşüt yarıçapına sahip altı pakete ayırırsak, $'lık minimum maliyetin ortaya çıkacağı belirlenmiştir. Çözümü elde etmenin ötesinde, Çözücü ayrıca bazı yararlı özet raporlar sunmaktadır. Bunlar ayrıca başka bir kısımda ele alınacaktır.

41 ġekil 4. Doğrusal olmayan paraşüt optimizasyon probleminin çözüm tablosu.