MAK585 Dinamik Sistemlerin Modellenmesi ve Simülasyonu

Transkript

1 MAK585 Dinamik Sistemlerin Modellenmesi ve Simülasyonu 08-Güz Dönemi Gebze Teknik Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof.Dr. Selim Sivrioğlu 0..08

2 Elektrohidrolik servoaktüatör sistem modellemesi Elektrohidrolik servoaktüatörler büyük ve tahmin edilemeyen dış yüklerin olması durumunda hızlı ve doğru cevap vermenin gerekli olduğu havacılıkta ve robotik sistemlerde kullanılmaktadır. Servoaktüatör elektrohidrolik servovalf ile bağlantılı bir hidrolik silindirden meydana gelmektedir. Şekilde şematik olarak gösterilmiştir. Bu sistemde anahtar eleman servovalfdir. Servovalfler debiyi sıfırdan nominal bir değer arasında değiştirme kapasitesinde olan özellikle debi kontrol valfleri olarak tasarlanmaktadır. Bu sadece akış yönünü kontrol etmek için iki veya üç belirlenmiş konum arasında içteki valf makarası gibi hareketli bir elemanı hareket ettirerek tasarlanan bir çok hidrolik valfden farklıdır. S kapısı(besleme) Servovalf R kapısı(dönüş) Servovalf Ampf. e command Q debisi C kapısı C kapısı Q debisi F ext k act m act PV, P, V b act Hidrolik Aktüatör x act

3 Elektrohidrolik servoaktüatör sistem modellemesi Elektrohidrolik Servoaktüatör Modellemesi. Servovalf modeli. Mekanik model(piston, piston kolu ve yük hareketinin modeli) 3. Hidrolik akışkan kapasitansı modeli(hidrolik silindir içi basınç değişimi modeli) 4. Akışkan debisi değişimi modeli(silindir içi basıncın valf makara konumuna bağlı switchlenmesi) adımları ile oluşturulur.

4 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi Şekilde tipik bir dört yollu hidrolik valfin valf makarası ve kapılarının kesit hali gösterilmektedir. Valfin iç elemanları yani valf makarası birbirinden ayrılabilen kapıları olan silindirik bir delik içinde hareket etmekte serbesttir. Makara sağa hareket ettiğinde kontrol kapılarını(c ve C) sırasıyla besleme basıncı ve dönüş kapılarına açar. Makara sola hareket ettiğinde bağlantı tersine döner ve akışkan besleme kapısından C ye ve C den dönüş kapısına doğru akabilir. Bir servovalf, makaranın hızlı ve doğru şekilde tamamen açık ve tamamen kapalı arasında herhangi bir noktada konumlanmasını müsaade eden karmaşık bir mekanizmaya sahiptir

5 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi. Servovalf modeli Servovalfler için üreticinin verdiği özellikler içinde valf makarasının cevap zamanı vardır yani valf sargısında akımdaki değişimlere cevap olarak valf makarasının pozisyonunu değiştirmek ne kadar hızlı olabilir anlamındadır. Bir çok uygulama için ikinci dereceden lineer bir model bu cevabı doğru şekilde tanımlar ve bu modelin parametreleri üretici kataloglarından çıkartılabilir. Bu denklemin formu x valve = v valve v = a v + a x + b e valve valve 0 valve 0 command () () burada a, a, b model parametreleridir. Bu iki denklem 0 0 servoaktüatörün durum denklemini oluşturur.

6 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi. Mekanik model Hidrolik aktüator sisteminin mekanik kısmında enerji depolayan iki eleman vardır. İlki piston, piston kolu ve dış yükün biraraya getirdiği kütle mact ve diğeri yay katsayısı kact dır. Hidrolik aktüatörün hareket denklemi aşağıdaki şekilde yazılabilir. Servovalf Servovalf Ampf. e command Q akışı Q akışı F ext k act m x + b x + k x = ( P P ) A F act act act act act act pist ext PV, P, V m act b act Hidrolik Aktüatör x act Durum denklemi: x act = v act v = ( P P ) A b v k xact F ext act pist act act act mac t (3) (4)

7 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi 3. Hidrolik akışkan kapasitansı modeli Sistemin hidrolik kısmında aktüatörü harekete geçiren kuvvet, valf yolu ile aktüatöre giren ve çıkan akışkandan kaynaklanan silindir içindeki basınçtan meydana gelir. Aktüatör pistonu ve valf arasındaki tuzaklanmış hacim akışkan kapasitansı olarak modellenebilir ve P ve P basınçları iki hidrolik kapasitansında depolanan potansiyel enerjiyi temsil eden durum değişkenleridir: P = ( Q A v ) C f pist act P = ( A v Q ) pist act C f (5) (6) Q debisi Servovalf A pist Q debisi Servovalf Ampf. e command F ext k act C C f f V ( xact ) = V = ( xact ) (7) (8) P V, Hidrolik Aktüatör P V, m act x act b act burada akışkanın bulk modülüdür ve hacim değişimi ve basınç değişimi arasındaki ilişkiyi belirleyen fiziksel bir özelliktir.

8 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi Akışkan kapasitansının ifade ettiği anlam, tuzaklanmış hacimlerin(v ve V) aktüatör içindeki pistonun anlık pozisyonuna bağlı olduğunu belirtmesidir. Keza Q ve Q nin işaretleri dikkate alınır. Q debisi C kapısından çıkan akışkanın silindirin sol tarafına giren akış olarak tanımlanır. Q debisi C kapısında silindirin sağ tarafından gelen akışkanın valf içine giren akışkan olarak tanımlanır. S kapısı(besleme) Servovalf R kapısı(dönüş) Servovalf Ampf. e command Q debisi C kapısı C kapısı Q debisi F ext k act m act PV, P, V b act Hidrolik Aktüatör x act

9 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi ()-(6) denklemleri servo aktüatörü tanımlayan durum değişkeni denklemleridir. Bununla birlikte valf içine olan debiler(q ve Q) durum değişkenlerinin fonksiyonu olarak tanımlanmadığı için model eksiktir. Genel olarak burada ele alınan sistemdeki makara valfler türbülanslı akışlı keskin kenarlı orifisler olarak modellenir. Debi valf boyunca basınç farkının kare kökü ile orantılıdır. Örneğin valf makarasının konumu pozitif ise(şekilde sağ taraf) o zaman Q aşağıdaki şekilde modellenir: Q = Cd Av ( Ps P ) (9) burada C d valf uygulamaları için orifis katsayısıdır ve genellikle 0.6 olarak alınır. A valf makarası tarafından kapatılan kapı alanı olan valf orifisinin kesit alanıdır. v P s P

10 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi Valf kesit şeklinden orifis alanının doğrudan valf pozisyonu xvalve ile orantılı olduğu anlaşılır. Genel olarak gerçek kapı dikdörtgen şeklindedir ve alan valf makarasının konumu ile valf kapısının genişliği wvalve in çarpımına eşittir. Av = wvalvexvalve (9) denklemi xvalve bağlı olarak aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir. Q = Cd wvalvexvalve ( Ps P ) (0)

11 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi 4. Akışkan debisi değişimi modeli Modelin tamamlanması için iki durum daha vardır. Birincisi (0) denklemi eğer silindir içindeki basınç (P) besleme basıncı Ps den daha büyük ise gerçekleştirilemez. P P S Böyle bir durum çok kısa bir süre için oluşabilir ve denklemlerin bu ihtimali dikkate alacak şekilde düzeltilmesi gerekmektedir. P s Q debisi Q debisi F ext k act P V, P V, m act b act Hidrolik Aktüatör x act

12 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi 4. Akışkan debisi değişimi modeli Diğeri eğer valf makara pozisyonu negatif ise, Q ve Q farklı valf kapılarından gelen veya giden akışları gösterir. Bu durumlar aşağıda şartlı denklemlerle belirli kabullerle ifade edilmiştir. xvalve 0 Q debisi P s xvalve Q debisi 0 if x valve 0 Q = C w x sgn( P P ) P P d valve valve s s Q = Cd wvalvexvalve ( P ) () () P V, P V, m act F ext b act k act if x valve 0 Hidrolik Aktüatör x act Q = Cd wvalvexvalve ( P ) (3) Q = C w x sgn( P P ) P P d valve valve s s (4)

13 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi >> help sign sign Signum function. For each element of X, sign(x) returns if the element is greater than zero, 0 if it equals zero and - if it is less than zero. For the nonzero elements of complex X, sign(x) = X./ ABS(X). sgn( ) : signum fonksiyonu signm u fonksiyonunun özelliği: sgn( y) = y 0 sgn( y) = y 0 sgn( y) = 0 y = 0 3

14 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi-sayısal örnek

15 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi-sayısal örnek

16 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi

17 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi

18 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi %servopara.m b0=90; a0=360000; a=000; Apist = ; % mˆ S = 0.7; % m B = 6.89e8; % beta_fluid [Pa] rho = 900.0; % rho_fluid kg/mˆ3 Cd = 0.6; wv = 0.005; % m Ps =.07e7; % Pa mact=40; bact=6000; kact=800; %servosim.m plot(tm,vo(:,),'b-.',tm,vo(:,),'r-') xlabel('zaman [s]'); ylabel('x_{act} [m], v_{act} [m/s]'); legend('x_{act}','v_{act}') figure() plot(tm,vo(:,3)) figure(4) plot(tm,vo(:,4)) figure(5) plot(tm,vo(:,5)) xlabel('zaman [s]'); ylabel('x_{valve} [m]'); figure(6) plot(tm,vo(:,6),tm,vo(:,7),'r-.') xlabel('zaman [s]'); ylabel('debiler Q_, Q_ [m^3/s]'); legend('q_','q_') function [pdots,pdots, pdots3,pdots4] = vflow(u,u,u3,u4,u5) % % function to compute valve flows and pressure derivatives % u = valve position % u = P % u3 = P % u4 = actuator position % u5 = actuator velocity % parameters Apist = ; % mˆ S = 0.7; % m B = 6.89e8; % Pa rho = 900.0; % kg/mˆ3 Cd = 0.6; wv = 0.005; % m Ps =.07e7; % Pa % if u>= 0 Q = Cd*wv*u*sign(Ps-u)*(/rho*abs(Ps-u))^0.5; Q = Cd*wv*u*(/rho*u3)^0.5; else Q = Cd*wv*u*sign(Ps-u3)*(/rho*abs(Ps-u3))^0.5; Q = Cd*wv*u*(/rho*u)^0.5; end % Cf = /B*.*Apist*(S/+u4); Cf = /B*.*Apist*(S/-u4); % pdots= /Cf*(Q-Apist*u5); pdots=/cf*(apist*u5-q); pdots3= Q; pdots4= Q;

19 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi

20 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi Simulasyon bloğuna giriş başlangıç zamanında 0 V, 0.5 s de 0 V a yükselen ve s de 0 V a dönen zamanla değişen bir voltajdır(şekil (a)). Sistem hakkındaki bilgimize göre servovalf tam açık pozisyonda(0 V kumanda voltajında) 0.5 inci saniyede açıldığı durumu ve inci saniyede kapalı pozisyona döndüğünü yansıtmaktadır. Şekil(b) simülasyondan elde edilen valf makara cevabını göstermektedir. a b

21 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi Şekil valf içinden sisteme olan debi değişimini göstermektedir. Valf açıldığında sol taraftaki odaya anlık olarak debi cevabıdır(q) fakat dönüş tarafının debisi(q) cevap vermekte yavaştır çünkü bu akış yük pistonu genişlerken düşük basınç akışkanı aktüatörün dışına akar.

22 Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi Son olarak aktüatörün hareketi şekilde gösterilmiştir. Valf açılması ve kapanması noktasında sönüm katsayısının yüksek olmasına karşın hız oldukça büyük salınımlar yapmaktadır. Bu aktüatör basınçları ve debilerini içeren dinamik genellikle çok yüksek oranda az sönümlü olduğundan elektrohidrolik servo sistemlerin tipik özelliğidir.

23 Ödev Hidrolik servovalf sisteminin Simulink modelinin aynısını oluşturunuz. a. Aynı parametre değerleri için simülasyon sonuçlarını elde ediniz. b. mact=80 kg için simülasyon sonuçlarını elde ediniz.

24 Hareket denklemi: Enerji Metodu Konservatif bir sistemin hareket denklemi enerji ilişkisinden oluşturulabilir. Hareket eden bir konservatif sistemde toplam mekanik enerji, kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamıdır. T + U = (toplam mekanik enerji)=sabit d ( T + U ) = 0 dt 4

25 Hareket denklemi: Enerji Metodu Şekildeki sistemde kütlenin hızından dolayı kinetik enerji T ve yayın deformasyonundan dolayı potansiyel enerji U söz konusudur. Sistem konservatif olduğundan toplam mekanik enerji sabittir ve zamana bağlı türevi sıfır olmak zorundadır. Yayın serbest uzunluğu Statik çökme st m k x 0 Statik denge 0 mg Yay kuvveti 0 0 x st Yaydaki potansiyel enerji Yay deformasyonu 5

26 Enerji Metodu Hareket denklemini çıkarmak için kütlenin hareketi x(t) nin statik denge konumundan ölçüldüğünü düşünelim. Yayın kütlesi ihmal edilirse sistemin kinetik enerjisi: T = mx Tüm sistemin potansiyel enerjisi () yaydaki gerilme enerjisi, () kütlenin yükseltisinin değişmesinden dolayı enerjinin toplamıdır. Statik denge konumunda sistemin net potansiyel enerjisi: U = (toplam yay kuvveti) dx mgx 0 x = ( mg + kx) dx mgx = 0 x kx 6

27 Enerji Metodu d ( T + U ) = 0 dt d dt mx + kx = ( mx + kx) x = 0 x 0 mx + kx = 0 x+ x= 0 n n = k m : sistemin doğal frekansı Doğal frekans sistemin bir özelliğidir. m ve k nin bir fonksiyonudur ve titreşimin genliğinden veya sistemin hangi yolla hareket ettirildiğinden bağımsızdır. 7

28 Enerji Metodu Problem: Kütlesi m olan üniform bir silindir denge konumundan küçük bir q 0 açısı kadar döndürülüp bırakılıyor. Hareket denklemini enerji metodu ile bulunuz. Silindirin kaymadan döndüğü kabul edilmektedir. k q + a r k Çözüm: x Eğer silindirin ekseni x mesafesi kadar hareket ederse ve q açısı kadar dönerse: x = rq + + yazılabilir. Görüldüğü gibi silindir hem dönme hareketi hem de öteleme hareketi yapmaktadır. Dolayısı ile kinetik enerji denkleminde bu durum dikkate alınacaktır. 8

29 Enerji Metodu Silindirin kinetik enerjisi öteleme ve dönme hareketinin kinetik enerjisi : T = mx + Jq Burada J = J mr silindirin kütlesel atalet momenti Enerji denklemini q bağlı yazmak istersek x= rq T 3 mr q = mr q + mr q = mr q 4 4 = m( rq ) + 9

30 Enerji Metodu Potansiyel enerjide yayların maruz kaldığı toplam deplasman: x x a + a + q Potansiyel enerji sadece yayların genleşmesi veya sıkışmasından dolayıdır. U = k( x + xa ) = k( rq + aq ) = k( r + a) q Ötelemeden dolayı yerdeğiştirme dönmeden dolayı yerdeğiştirme 30

31 Enerji Metodu d ( T + U ) = 0 dt d dt 3 mr q 4 + k( r+ a) q = 0 3 mr qq + k( r + a) qq = mr q + k( r+ a) q q = 0 4 q 0 3 mr 4 k( r + a) q + k( r+ a) q = 0 q + q = 0 3 mr 4 3

32 Enerji Metodu Şekilde gösterilen disk kütle merkezi O etrafında dönmektedir. Diskin O noktası etrafında atalet momenti Io dur. Ayrıca k yayı a yarıçapına ve m kütlesi b yarıçapına bağlanmıştır. Hareket denklemini enerji metodunu kullanarak bulunuz. 3

33 Enerji Metodu Kinetik enerji T = IOq + my y = bq Potansiyel enerji U = kx = ka q x= aq ( ) T = IO + mb q T + U = sabit d ( T + U ) = 0 dt d dt ( IO + mb ) q + ka q = 0 ( IO + mb ) qq + ka qq = 0 ( IO + mb ) q + ka q q = 0 ( IO + mb ) q + ka q = 0 33

34 Enerji Metodu R 0 a silindir R m J 0 mg R 0 q a a R q m 0 mg silindir ( R R ) q b Sekil m kütlesine ve R yarıçapına sahip R yarıçaplı eğri bir yüzey üzerinde kaymadan dönen bir silindiri göstermektedir. Sistemin hareket denklemini enerji metodu ile çıkartınız. Doğal frekansını bulunuz. 34

35 Enerji metodu Silindirin kinetik enerjisi öteleme ve dönme hareketlerinden dolayıdır. Silindirin kütle merkezinin öteleme hızı v = ( R R ) q t Silindirin açısal hızı = q q a q açısının q cinsinden ifadesi gereklidir. Silindir kaymadan döndüğünden ab yayı ab yayına eşittir. Rq = Rq R R q = q q = q R R R R Açısal hız ifadesi: a = q q a = q q a = q R R 35

36 Enerji Metodu Silindirin toplam kinetik enerjisi: T = mv + J = m[( R R ) q] + J [( R / R ) q] t o a o burada J silindirin 0 noktasindan eksene göre atalet momentidir. 0 J o = mr ( R R ) cosq q Statik denge konumuna göre silindirin kütle merkezinin yükselmesindeki değişimden dolayı U potansiyel enerjisi U = mg[( R R ) ( R R U = mg( R R )( cosq ) ) co sq ] R 0 { a m 0 mg b 36

37 Enerji Metodu d ( T + U ) = 0 dt d dt m[( R R) q] + Jo[( R / R ) q] + mg( R R )( cos q ) = 0 m( R R ) qq + J ( R / R ) qq + mg( R R )sinqq = 0 J o = mr o yazılır ve düzenlenirse: 3 ( ) q ( m R R + mg R R )sinq q = 0 q + g sinq = 0 (Nolineer model) 3( R R ) sin q q alınırsa g q + q = 0 3( R R ) = n g 3( R R ) 37

38 g q + sinq = 0 (Nolineer model) 3( R R ) g q + q = 0 (Lineer model) 3( R R ) R 0 q a R q m 0 silindir ( R R ) q b a mg R = 0.8m R = 0.m m = 0kg q = 0 o o 5,30 38

39 39

40 q [ degree ] 6 Silindirin q 0 =5 o için sonuçlar 4 q 0 = 5 o lineer nonlineer t [ s ] Silindirin q 0 =30 o için sonuçlar 30 0 q 0 = 30 o q [ degree ] lineer -30 nonlineer t [ s ] 40

41 Ödev k r O R R yarıçapında üniform bir tekerlek eğimli bir düzlem üzerinde kaymadan yuvarlanmaktadır. Tekerleğe sabitlenmiş tekerlekle eş merkezli r yarıçaplı bir tambur etrafında bir telin ucu bağlanmıştır. Telin diğer ucu k yay katsayılı bir yaya bağlanmıştır. Hem yay hem de tel düzleme paraleldir. Tekerlek/tambur toplam kütlesi m ve tekerleğin O merkezi içinden geçen eksene göre atalet momenti J dir. Eğer tekerlek denge konumundan küçük bir miktar yerdeğiştirilir bırakılırsa hareket denklemini enerji metodu ile bulunuz. 4