BÖLÜM 4 TEK SERBESTLİK DERECELİ SİSTEMLERİN HARMONİK OLARAK ZORLANMIŞ TİTREŞİMİ

Transkript

1 BÖLÜM 4 TEK SERBESTLİK DERECELİ SİSTEMLERİN HARMONİK OLARAK ZORLANMIŞ TİTREŞİMİ Kaynaklar: S.S. Rao, Mechanical Vibrations, Pearson, Zeki Kıral Ders notları

2 Mekanik veya yapısal sistemlere dışarıdan bir enerji girişi verilerek titreşime maruz bırakılırsa buna zorlanmış titreşim adı verilir. Dışarıdan enerji girişi iki yolla uygulanır. Bunlar kuvvet uygulanması veya yer değişimi uygulanmasıdır. Uygulanan kuvvet veya yerdeğişimi harmonik, periyodik veya periyodik olmayan ve gelişigüzel olabilir. Sistemin harmonik bir girişe karşı gösterdiği davranışa sistemin harmonik cevabı adı verilir. Unutmamak gerekir ki harmonik bir giriş karşısında sistemin cevabı da harmonik olur. Zorlama girdisinin frekansı sistemin doğal frekansı ile çakışırsa bu durumda REZONANS adı verilen olay gerçekleşir. Sistemlerin rezonanstan kaçınması gereklidir. Sistemin başlangıç koşulları veya aniden uygulanan periyodik olmayan girişlere verdiği cevaba ise sistemin geçici cevabı adı verilir.

3 Elimizdeki hareket denklemi homojen olmayan bir diferansiyel denklemdir. Bu durumda çözüm iki kısımdan oluşmaktadır. A) Sıfırdan farklı başlangıç koşullarından kaynaklanan hareket (Serbest titreşim hareketi), Yani Homojen denklemin çözümü xh(t)

4 B) Sıfır başlangıç koşulları kabul edilip sadece zorlayıcı kuvvetten kaynaklanan hareket (zorlanmış titreşim hareketi), Yani denklemin özel çözümü xp(t) Toplam hareket bu iki çözümün birleştirilmesi ile elde edilir. Belli bir süre sonra xh(t) sıfıra gider. Buna geçici hal davranışı denir. Sonrasında sistem sadece zorlayıcı kuvvet etkisi ile hareket eder. Buna da Kalıcı hal davranışı denir.

5 Sönümsüz Bir Sistemin Harmonik Olarak Zorlanmış Titreşimi Sistemin homojen çözümü (Yani zorlama kuvveti olmadan sadece başlangıç koşullarından kaynaklanan hareket) Sistemin özel çözümü (Yani sadece zorlama kuvvetinden kaynaklanan hareket): Burada zorlama kuvveti harmonik olduğu için çözüm de harmonik olacaktır. Burada X hareketin maksimum genliğidir.

6 Xp nin türevi ve kendisi hareket denkleminde yerine konursa Yayın statik uzaması/kısalmasını ifade etmektedir. Çünkü F0 statik bir kuvvettir. Buradan toplam hareket:

7 Zorlanmış harekette Genlik oranı, yani dinamik genliğin statik genliğe oranını vermektedir. Bu ifadenin diğer bir adı da Büyütme Faktörüdür. Olduğu durumda xp(t) Kuvvet ile aynı fazdadır Olduğu durumda xp(t) Kuvvet ile zıt fazdadır Olduğu durumda xp(t) sonsuza gider. Bu duruma REZONANS denir.

8 Örnek: Pistonlu pompanın ağırlığı 150 lb dir ve Çelik levha şeklindeki bir tabanın ortasına monte edilmiştir. Pompanın titreşim genliğini bulunuz. x in negatif işareti F ile zıt fazda olduğunu göstermektedir.

9 Sönümlü Bir Sistemin Harmonik Olarak Zorlanmış Titreşimi Sönümlü bir t.s.d. sisteme harmonik bir zorlama uygulansın: Başlangıç koşulları sıfır, yani sistemin özel çözümü için harmonik zorlamaya sistemin vereceği konum değişimi de harmonik olacağından Yukarıdaki özel çözüm adayı ve türevleri hareket denkleminde yerine konursa Aşağıda verilen trigonometrik bağıntılardan faydalanılırsa

10 Dinamik genlik X ve faz farkı Phi aşağıdaki gibi elde edilir Doğal frekans: Sönüm oranı: Statik genlik: Frekans oranı: İfadeleri yerine konursa,

11 M= oranına büyütme faktörü adı verilir. Büyütme faktörünün frekans oranı r ve sönüm oranı ile ilişkisi:

12 Rezonans durumu incelenir ise, resonans frekansı sıfır sönüm için w_n dir. Fakat sönüm arttıkça en büyük genliğin elde edildiği frekans değerine REZONANS FREKANSI adı verilir. Bu frekans değerinde cevap genliği eğrisinin türevi sıfıra eşittir. Rezonans frekansı doğal frekanstan daha düşüktür. Deneysel sistemde eğer sönümlü titreşimin max. Genliğini ölçersek buradan sönüm oranı bulunur.

13

14

15 Harmonik Zemin Hareketi Durumu: Sistemin hareket denklemi gibi bir harmonik hareket durumunda sistem denklemi Burada

16 Şeklinde bir çözüm elde edileceği için gerekli işlemler yapılırsa; Burada Td = X/Y oranına Konum iletim oranı adı verilir.

17 Bu durumda kütleye iletilen kuvvet

18 Örnek: Şekilde verilen taşıt yol profilinden dolayı titreşmektedir. Taşıt kütlesi 1200 kg, aracın yay sabiti k= 400 kn/m ve sönüm oranı 0.5 dir. Araç 20 km/h hızla ilerlediğinde aracın titreşim genliğini bulunuz. Yol profili için Y=0.05m ve dalga boyu 6 m dir. Bu 5 cm lik bir tümseğin arabanın şasesine doğal olarak yolcuya 5.5 cm olarak iletildiğini gösterir.

19 Kütle Dengesizliği Sonucu Oluşan Titreşimler: Dönel makinalarda dönme ekseni ile kütle merkezinin çakışmaması sonucu ortaya çıkan eksantriklikten kaynaklan titreşimlerdir. Mx cx kx me 2 sin t M: Makinanın toplam kütlesi m: Dengesizlik kütlesi e: eksantriklik yarı çapı X 2 2 me me r ( k M ) ( c ) M (1 r ) (2 r) / /2 tan c 2r tan k M 1r

20

21

22 Örnek: M kütleli bir elektrik motoru elastik zemine sabitlenmiştir. Rezonans frekansında motorun 0.15 m genlikle titreştiği görülmüştür. Motorun üretim esnasında kullanılan toleranslardan dolayı dengesizliği motor kütlesinin %8 i kadardır. Zeminin sönüm oranı olduğuna göre a) Dengesizlik yarı çapı (e) yi bulunuz, b) Elektrik motorunun rezonans frekansından geçişteki maksimum yer değişimi c) Motorun rezonanstaki yer değişiminin 0.1 m. ye düşürülmesi için eklenmesi gereken kütleyi bulunuz. a) Rezonans durumundaki yer değişimi (r=1) Buradan eksantiriklik

23 b) Motorun tepe yer değişimi Buradan tepe yerdeğişimi c) Motora ek kütle yerleştirilirse bu durumda oluşan yer değişimi Buradan Ma= 0.5M elde edilir. Motorun kütlesi %50 artırılırsa rezonanstaki yer değişimi 0.15m den 0.10m ye düşmektedir.

24 Örnek: Bir uçak motoru dönme ekseninden r kadar uzakta bir m dengesizliğine sahiptir. Eğer kanat uniform kesit alanına sahip bir ucu ankastre kiriş olarak ele alınırsa (modellenirse), kirişin maksimum yer değişimini veren motorun dönme hızını d/dk olarak bulunuz. Sönümü ve motor ile serbest uç arasındaki kanat etkisini ihmal ediniz. Kanadın motorun olduğu yerdeki eş değer yay katsayısı Dengesizlik kuvveti Motorun bulunduğu yerdekieş değer kütle Hareket denklemi Titreşim genliği

25 Örnek: Helikopter koltuğu Titreşiminin Azaltılması Helikopter koltuğu pilot ile birlikte 1000N ağırlığında olup kendi ağırlığından dolayı 10 mm statik çökme yapmaktatır. Helikopter pervanesinin rotorundan kaynaklanan titreşim koltuğun tabanında 4 Hz frekansında ve 0.2 mm genliğinde harmonik titreşim meydana getirmektedir. a) Pilot tarafından hissedilen titreşimin seviyesini belirleyiniz? b) Titreşimin etkisini azaltmak için koltuk tasarımında nasıl değişiklikler yapılmalıdır?

26 Kütle = m = 1000/9.81 = kg Yay sabiti = k = W/δ st = 1000/0.01 = 10 5 N/m Doğal frekans= ω n = k m rad/s Hz Frekans oranı= r = Pilot tarafından hissedilen titreşim genliği: n X Y 1 r 2 Burada Y zemin titreşimidir. Yani helikopterin rotorundan kaynaklı koltuğun alt kısmındaki titreşim.

27 X v a max max fX mm mm/s f X mm/s m/s 4 Hz de, mm yer değişim genliği çok fazla rahatsızlık vermeyebilir. Fakat hız ve ivme değerleri bu frekans için rahatsızlık verici seviyededir. Bunu nomografta verilen aralık ve standartlardan bulabiliriz. a max ı 0.01 m/s 2 ye düşürmeye çalışırsak;

28 a max X 10 mm/s mm 2 2f X 8 2 X Y r 2 or r n rad/s m kg k N/m k m Ya daha yumuşak bir koltuk malzemesi kullanılmalı veya koltuğun kütlesi artırılmalıdır.