Sandviç Uzun Dikdörtgen Plakların Statik Çökmelerinin Analizi *

Transkript

1 Gazi Mühendislik Bilimleri Dergisi 218, 4(1): gmbd.gazipublishing.om Sandviç Uzun Dikdörtgen Plakların Statik Çökmelerinin Analizi * Erkin ALTUNSARAY **, a a Dokuz Eylül Üniversitesi, Deniz Bilimleri ve Teknolojisi Enstitüsü, Gemi İnşaatı Programı, İZMİR 3534, TÜRKİYE MAKALE BİLGİSİ ÖZET Alınma: Kabul: Anahtar Kelimeler: Maksimum çökme, Parametrik çalışma, Sandviç plaklar ** Sorumlu Yazar: e-posta: erkin.altunsaray@ deu.edu.tr * IAREC 217 sempozyumunda sunulmuş ve genişletilmiş bildiridir Bu çalışmada düzgün yayılı yanal yük etkisindeki sandviç uzun dikdörtgen plakların statik çökmeleri inelenmiştir. Yüzey malzemesi olarak farklı sıralanmış simetrik katmanlı kuaziizotropik (yarı izotropik) karbon/epoksi malzeme ve öz (çekirdek) malzemesi için ise balsa ağaı seçilmiştir. Plak kenarlarının ankastre ve basit mesnetlenmiş halleri inelenmiştir. Öz malzemesinin ve dış idarların kalınlığına, dış idarların farklı katman dizilimine ve sınır koşullarına sahip sandviç plakların maksimum çökmeleri, uzun plak yaklaşımıyla inelenmiştir. Sonuçlar, Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY) temelli nümerik çalışmayla karşılaştırılmış ve birbirini sağlamıştır. Aynı ağırlığa sahip sandviç plakların maksimum çökmeleri araştırılmış, öz malzemesinin ine dış idarların kalın olduğu durumda maksimum çökmeler daha fazla bulunmuştur. DOI: Stati Defletions Analysis of Long Retangular Sandwih Plates ARTICLE INFO ABSTRACT Reeived: Aepted: Keywords: Maximum defletion, Parametri study, Sandwih plates. ** Corresponding Authors erkin.altunsaray@ deu.edu.tr In this study, stati defletions of laterally loaded long retangular sandwih plates were investigated. Symmetrially laminated quasi-isotropi arbon/epoxy plates were used for the fae sheets (skins) and balsa wood for the ore. Boundary onditions were onsidered as simply supported and lamped. Maximum defletions were obtained for the parameters suh as thiknesses of ore material and fae sheets, lamination sequenes of fae sheets and boundary onditions in long plate approximation. Results were ompared withose of numerial study based on Finite Element Method and found in good agreement. Maximum defletions of sandwih plates in same weight were investigated too and found larger at the thin ore and thik fae sheets ondition. DOI:

2 2 1. Giriş Sandviç plaklar, havaılık ve denizilik sektörlerinde; ağırlıklarına oranla yüksek eğme ve kayma dayanımına sahip olmaları ve yakıt tasarrufu sağlamaları nedeniyle yapı elemanı olarak on yıllardır terih edilmektedir. İne dış idarlar (yüzey malzemeleri) ve düşük yoğunluktaki kalın öz malzemesinden oluşan sandviç plaklarda; dış idarlar eğilme gerilmelerini karşılarken, öz malzeme ise kayma yüklerini taşır ve yapının rijitliğini arttırır [1]. Ayrıa sandviç yapıların avantajları arasında darbe, hasar ve yorulma direniyle, dayanıklılık, sayılabilir. Balsa ağaı; rüzgar türbini kanatlarından, tekne ve uçaklara kadar sandviç yapılarda terih edilen öz malzemeleri arasında yeralır [2]. Balsa ağaı, balpeteği ve köpük gibi diğer öz malzemeleri ile karşılaştırıldığında; dayanım ve rijtlik bakımından bal peteği ile aynı, köpükten daha iyidir. Darbe ve yorulma direni bakımından köpükten daha iyidir. Teknelerin baş tarafındaki dövünme kısmında yüksek yoğunluklu Balsa terih edilir [3]. Sandviç yapıyı oluşturan farklı malzemeden dış idarlarla öz malzemesinin ve kalınlıklarının seçilerek en uygun tasarımın elde edilebilmesi yapının en önemli avantajları arasındadır. Anak en uygun yapının elde edilmesinde neredeyse sonsuz seçenek vardır. Bu nedenle uygun yapı tasarımına yardımı olabileek bilgisayar destekli parametrik çalışmalardan ön tasarım aşamasında yararlanılması; üretimde zaman, maliyet ve iş güünden tasarruf sağlar. or vd. [4] derleme çalışmalarında; sandviç panel ve kabukların mekanik analizlerinin analitik, nümerik ve deneysel hesaplamalarının yeraldığı literatürdeki 8 un üzerindeki kaynağı karşılaştırmalı olarak göstermişlerdir. Kreja [5] daha günel derleme eserinde 25 kadar tabakalı kompozit ve sandviç panellerin mekanik analizlerinin analitik ve nümerik analizlerinin yer aldığı çalışmasını sunmuştur. Kant ve Swaminathan [6], tabakalı kompozit ve sandviç plakların statik analizini yüksek merteben kayma deformasyon teorisiyle ve nümerik olarak inelemişlerdir. Çalışmalarında basit mesnetlenmiş sandviç plakların dış idarları ve 9 açılarından oluşan özel orthotropik (ross-ply) yapısındandır. Kumar makalesinde tabakalı kompozit ve sandviç plakların nihai dayanım analizlerini geçekleştirmiştir. Çalışmasında inelediği sandviç plakların dış idarları /9 veya -45/45 açılarından oluşmuştur [7]. Lin vd. çalışmalarında tabakalı kompozit ve sandviç plakların analizlerini ineledikleri çalışmalarında sandviç plakların dış idarları ve 9 dereeden oluşan özel ortotropik (ross-py) yapısındadır [8]. Literatürdeki sandviç plakların mekanik analizileri üzerine yapılan çalışmalarda, dış idarların genellikle ve 9 açılarının farklı kombinasyonlarından oluşan özel ortotropik (rossply) laminasyon tiplerinde olduğu görülmektedir. Dış idarların, 9, -45 ve +45 açılarının farklı kombinasyonlarından oluşan yarı-izotropik (quasiisotropi) yapıda bir çalışmaya rastlanmamıştır. Bu çalışmada, literatürde uzun sandviç plakların statik çökmeleri için önerilen Uzun plak yaklaşımı [9] inelenmiştir. Dış idarların, 9, -45 ve +45 açılarının farklı kombinasyonlarından oluşan yarıizotropik (quasi-isotropi) yapıda, farklı kalınlıkta öz ve idar malzemesinden oluşan yapının statik çökmeleri MATLAB [1] programlama dilinde yazılan kod ile hesaplanmıştır. Ayrıa Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY) temelli hesaplama yapan yazılım [11] kullanılarak sonuçlar karşılaştırılmıştır. İnelenen iki yöntemle yakın sonuçlara ulaşılmıştır. 2. Materyal ve Yöntem 2.1. Sandviç Plakın Geometrisi, Dış Cidarlardaki Katmanların İstiflenmesi ve Malzemelerin Özellikleri Bu çalışmada inelenen sandviç plakların dış idarları simetrik katmanlı karbon/epoksiden, öz malzemesi ise Balsa ağaından oluşmuştur (Şekil 1.)

3 59 Şekil 1. Sandviç plak (Sandwih plate) Sandviç plağın kısa kenarı a=.2 m, uzun kenarı b=.62 m. seçilmiştir. Üzerinden düzgün yayılı yanal (p) yükü etkimektedir. Dış idarlar, orta simetri eksenine göre simetrik sıralanmış, aynı açıdan, kalınlıktan ve malzemeden oluşmuş kuazi-izotropik (yarı-izotropik) yapıdadır. Çalışmada inelenen dış idarların katman sıralamaları Tablo 1. de gösterilmiştir. Alt indis n o tabakadan kaç adet kullanıldığını ifade etmektedir. Bu çalışmada n=1, 2 ve 3 için hesaplamalar yapılmıştır, her bir katmanın kalınlığı.2 m. seçilmiştir (Tablo 2.). Tablo 1. Dış Cidarların Laminasyon Tipleri Dış idarların Laminasyon Tipi Gösterim LT1 [9n/-45n/45n/n]2 LT2 [-45n/45n/9n/n]2 LT3 [45n/n/-45n/9n]2 LT4 [n/-45n/45n/9n] Sandviç plakların yönetii denklemleri Küçük deformasyonlara uğrayan ine plakların inelenmesinde Kirhhoff hipotezi geçerlidir. Buna göre deformasyondan sonra normaller düz ve referans düzlemine dik kalır. Sandviç plaklarda ise deformasyondan sonra normaller düz kalır, ikini varsayım burada geçerli değildir (Şekil 2.) Bu durumda x ve y deplasmanları aşağıdaki (1) ve (2) ifadelerinde gösterilmiştir. u = u zχ xz, v = v zχ yz (1) u ve v, referans düzleminde (z=) x ve y deplasmanlarıdır. χ xz ve χ yz ise x-z ve y-z düzlemlerindeki normallerin dönmeleridir. Dış idarların malzemesi Tablo.2 de mekanik özellikleri verilmiş T3-934 kodlu karbon/epoksi malzemeden oluşmuştur. Tablo 2. Dış Cidarlardaki T3-934 Kodlu Karbon/epoksi Malzemenin Mekanik Özellikleri [12] Elastisite Modülü (Exx) 148 x 1 9 (N/m 2 ) Elastisite Modülü (Eyy) 9.65 x 1 9 (N/m 2 ) Kayma Modülü (Gxy) 4.55 x 1 9 (N/m 2 ) Poisson oranı ( xy).3 Katman kalınlığı (t).185 x x 1-3 (m) Yoğunluk (ρ ) 1.5 x1 3 (kg/m 3 ) Sandviç yapıda öz malzemesi olarak kullanılan Balsa ağaının mekanik özellikleri Tablo 3. te verilmiştir. Şekil 2. Sandviç plakta deformasyonlar Şekil 2. den referans düzleminin x e karşılık gelen çökmesi w w = χ xz + γ xz (2) ve benzer biçimde y e karşılık gelen çökmesi w ise w = χ yz + γ yz (3) şeklindedir. Referans düzlemdeki gerinimler Tablo 3. Öz Malzemesi Balsa Ağaının Mekanik Özellikleri [13] Elastisite Modülü (Exx) x 1 6 (N/m 2 ) Elastisite Modülü (Eyy), (Ezz) 32.6 x 1 6 (N/m 2 ) = u, ε y = v, γ xy = u + v Enine kayma gerinimleri (2) ve (3) ten; (4) Kayma Modülü (Gxy), (Gzx) x 1 6 (N/m 2 ) Kayma Modülü (Gyz) 12.5 x 1 6 (N/m 2 ) Poisson oranı ( xy), ( zx).7 Poisson oranı ( zy).4797 Yoğunluk (ρ ) (kg/m 3 ) 2.2. Temel Denklemler γ xz = w χ xz, γ yz = w χ yz (5) Referans düzlemin eğrilikleri (kayma deformasyonu yokken) κ x = χ xz, κ y = χ yz,

4 6 κ xy = χ xz χ yz (6) Yukarıdaki (4), (5) ve (6) nolu eşitlikler sandviç plakların gerinim-deplasman ilişkileridir. ϵ x = u = u z χ xz ϵ y = v = v z χ yz γ xy = u + v = u + v z ( χ xz + χ yz ) (1) Şekil 3. Sandviç plak kesiti (Setion of a sandwih plate) Sandviç plağın kesit resmi Şekil 3. te gösterilmiştir. Burada t t ve t b ifadeleri sırasıyla, üst idarın ve alt idarın kalınlıklarıdır. Bu çalışmada, üst ve alt idarlar aynı kalınlıkta simetrik katmanlı olduğu için t t ve t b birbirine eşittir. Aynı şekilde referans düzlemi sandviç plağın ortasından geçmektedir ve d t ile d b birbirine eşittir. Bu durumda d=+t olarak Şekil 3. te gösterilmiştir. Kuvvet-gerinim ilişkisini tanımlamak için önelikle kuvvetler ve momentler aşağıda (7) ve (8) de verilmiştir., h b N x = σ x dz, N h y = σ y dz b N xy = τ xy dz, M h x = zσ x dz, (7) b h b M y = zσ y dz, M h xy = zτ xy dz b h b V x = τ xz dz, h b h V y = t τ yz dz (8) h b N i, M i ve V i sırasıyla düzlem içi kuvvetler, momentler ve enine kayma kuvvetleridir. ve h b referans düzlemden plak yüzeyine olan mesafedir. Düzlem-gerilme durumdaki gerilmeler ise σ x { σ y } = [ ] { ε y } (9) τ xy γ xy Referans düzlemden z kadar mesafedeki gerinimler Yukarıdaki (4), (7), (9) ve (1) nolu eşitliklerden ve [A], [B] ve [D] rijitlik matrislerinin tanımlarından faydalanarak aşağıdaki (11) ve (12) nolu ifadeler elde edilir, N x N y { } = [A] { N xy M x { M y } = [B] { M xy γ xy γ xy } + [B] } + [D] { χ xz χ yz χ xz { χ yz } χ xz χ yz χ xz χ yz } (11) (12) Eşitlik (6) dan, yukarıdaki (11) ve (12) nolu ifadeler aşağıdaki biçimde yazılır. N x { N y } = [A] { N xy M x { M y } = [B] { M xy γ xy γ xy κ x } + [B] { κ y } (13) κ xy κ x } + [D] { κ y } (14) κ xy Enine kayma kuvvetleri ile enine kayma gerinimleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibi yazılır { V x Vy } = [ S 11 S 12 S 12 ] { γ xz γ } (15) yz S 22 Yukarıdaki ifadede [S ] sandviç plağın kayma rijitlik matrisidir Sınır koşulları Plak kenarlarındaki ankastre mesnet sınır koşulunda, çökme w, düzlem-içi deplasmanlar u ve v, ve normallerin dönmeleri χ xz ve χ yz sıfırdır: w =, u = v =, χ xz = χ yz = (16) Basit mesnet sınır koşulunda, çökme w, eğilme momenti M x, burulma momenti M xy, düzlem-içi kuvvetler N x ve N xy sıfırdır.

5 61 w = M x = M xy = N x = N xy = (17) yukarıdaki (21) eşitliğinde, t ve b sırayla öz, üst ve alt idarı ifade etmektedir. d uzunluğu Şekil 4 te görülmektedir. V y de benzer biçimde aşağıda (22) gösterilmiştir V y = τ yz d (22) Sandviç plakların rijitlik matrisleri Özün kalınlığının yükleme durumunda sabit kaldığı ve özün düzlem-içi rijitliklerinin ihmal edildiği varsayılır. Bu varsayımlarla [A], [B] ve [D] sandviç plağın rijitlik matrisleri, idarların rijitlikleri ve paralel eksenler teoremiyle elde edilir. Alt ve üst idar aynı, her bir idarın orta düzlemine göre katmanları simetrik olduğunda, [B] uzama-eğilme birleşme rijitlik matrisi sıfırdır. [A] uzama rijitlik matrisi ise alt ve üst idarların [A] uzama matrislerinin toplamına eşittir. [A] = 2 [A] t (18) Öz malzemenin gerilme-gerinim ilişkisi aşağıda verilmiştir: { τ xz } = [ C 55 C 45 τ yz C ] {γ xz } (23) 44 γ yz C 45 Yukarıdaki ifadede C ij özün rijitlik matrisinin elemanlarıdır. İne dış idarların kayma deformasyonları ihmal edilir. Bu yaklaşımla γ xz kayma deformasyonun enine kesiti Şekil 5.a da görülmektedir. Ortalama kayma deformasyonu γ xz Şekil 5.b de görülmektedir. Ortalama kayma deformasyonu ile öz deformasyonu arasındaki ilişki Şekil 5. de gösterilmiştir. [D] eğilme rijitlik matrisi ise, [D] = 1 2 d2 [A] t + 2 [D] t (19) (a) (b) () Şekil 5. Sandviç plaktaki kayma deformasyonları Şekil 5. ten; γ xz = d γ xz, Şekil 4. Sandviç plaktaki kayma gerilmesi τ xz dağılımı (a), yaklaşık dağılım Kayma rijitlik matrisi [S ] şöyle belirlenir; özde düzlem-içi rijitliklerinin ihmal edildiği varsayımının sonuu olarak, enine kayma gerilmeleri τ xz düzgün olarak dağılmıştır. Genel olarak dış idarların kayma gerilmeleri dağılımı Şekil 4. a daki gibi dağılmaktadır. Burada bu dağılımın lineer kayma gerilmesi dağılması olduğu (Şekil 4. b) kabul edilmektedir. Buna göre enine kayma kuvveti V x ise V x = h b h b τ xz dz = τ xz + τ tt + τ xz 2 xz tb =τ 2 xz d (2) γ yz = d γ yz (24) elde edilir. Eşitlik (2)-(24) ten enine kayma kuvvetleri ile ortalama kayma deformasyonu ilişkisi: { V x V y } = d2 C 45 C ] {γ xz } (25) yz 44 [C 55 C 45 Eşitlik (15) ile karşılaştırarak; [ S 11 S 12 ] = d2 S 12 S 22 C 45 C ] (26) 44 [C 55 C 45 d = + tt 2 + tb 2 (21) elde edilir Uzun dikdörtgen ine plaklar

6 62 M x =D 11 κ x (34) Burada [D] eğilme rijitlik matrisi (Ek B.1) ve (Ek B.2) ifadelerinden hesaplanmaktadır. Şekil 6. Uzun plaktaki silindirik deformasyon İzotropik plaklarda uzunluğun (b) genişliğe (a) oranı; b/a > 3 (27) ise uzun plak yaklaşımı kabul edilir [2]. Ortotropik plaklarda ise uzun plak yaklaşımı benzer olarak (28) ifadesinde verilmiştir [2]. b 4 a > 3 D 11 D 22 (28) Uzun plakların silindirik eğilmesinin inelenmesinde, silindirik yüzey plağın y eksenine paraleldir. Plağın κ y ve κ xy eğrilikleri sıfırdır. κ y = κ xy = (29) κ x eğriliği ise κ x = 2 w 2 dir (3) Plağın uzunluğu (b) boyuna kuvvetler ve momentler değişmez. dv x dx + p z= (31) dm x dx V x = (32) Yük yüzeye diktir ve basitleştirmek için p z, p ile değiştirilir. V x (32), (31) de yerine yazılırsa aşağıdaki denklem elde edilir d 2 M x dx2 + p = (33) Simetrik katmanlı plak durumunda [B]= dır ve eşitlik (29) ve (Ek A.1) den sadee M x momenti kalır; Eşitlik (34) ü (33) te yerine yazarak ve (3) dan faydalanarak simetrik katmanlı anizotropik uzun plaklar için aşağıdaki eşitlik elde edilir: d 4 w dx 4 p D 11 = (35) Enine yüklü izotropik kirişteki çökme eşitliği aşağıda verilmiştir; d 4 w dx 4 p EI = (36) Yukarıda E elastisite modulü ve I ise atalet momentidir. Eşitlik (35) ve (36) karşılaştırıldığında, simetrik katmanlı uzun plaktaki ve izotropik kirişteki çökmeler benzerdir. Yüklerin nümerik değerleri eşit olduğunda (p = p ), simetrik katmanlı uzun plakların eğilme rijitlikleri D 11 izotropik kirişlerin eğilme rijitiliği EI ile aynıdır (p birim alana, p ise birim uzunluğa etkiyen yüktür). Simetrik katmanlı uzun plağın çökmesi, izotropik kirişin çökmesindeki verilen eşitlikteki EI /p, D 11 /p ile değiştirilerek elde edilmektedir [7] Uzun dikdörtgen sandviç plaklar Uzunluğu (b), genişliğinden (a) çok büyük olan uzun dikdörtgen sandviç plak göz önüne alınmaktadır. b a (Şekil 6.). Sandviç plağın uzun kenarı (b) den ankastre veya basit mesnet olarak mesnetlenmiştir. Plak enine p (birim alana etkiyen) yüküne maruzdur ve bu yük plağın uzunluğu (b) boyuna değişmemektedir. Çökmüş yüzey plağın kısa kenarından (a) önemli dereede mesafede, silindirik kabul edilir (Şekil 6.) ve plağın y eksenine paraleldir. Dolayısıyla plağın çökmesi w ve dönmesi χ xz y ekseni boyuna değişmez. w =, χ xz = (37) y-z düzleminde kayma deformasyonu ihmal edilir (γ yz = ). Dolayısıyla eşitlik (3) ten normalin dönmesi sıfırdır:

7 63 χ yz = (38) (31) ve (32) deki denge denklemleri ise dv x + p= (39) dx dm x dx V x = (4) Orta düzleme göre simetrik sandviç plakta ([B] = ), eşitlik (12), (15), (37) ve (38) den M x = D 11 χ xz, V x = S 11 γ xz (41) Eşitlik (39), (4), (41) ve (2) bir araya getirilirse d D 3 χ xz 11 dx3 + p= (42) D 11 d 2 χ xz dx 2 elde edilir. + S 11 ( dw dx χ xz)= (43) Enine yüklü izotropik sandviç kirişlerin eşitlikleri aşağıda verilmiştir [2]: EI d3 χ + dx 3 p = (44) EI d2 χ + S ( dw dx 2 dx χ) = (45) EI ve S izotropik kirişlerin eğilme ve kayma rijitlikleri ve p birim boya gelen yüktür. Eşitlik (42), (43) deki D 11, S 11 ve p sırasıyla EI, S ve p nin yerine yazılırsa, uzun sandviç plakların çökmesi elde edilir. Kayma rijitlik matrisi yukarıda verilmiştir: [ S 11 S 12 ] = d2 S 12 S 22 Burada C 45 C ] (26) 44 [C 55 C 45 C 55 = G12, C E 44 = 2, C 2(1+ν 23 ) 45 = (46) olarak verilmiştir [2]. Uzun sandviç plak yaklaşımında; kirişlerin maksimum çökmeleri; w = 5 p a 4 + p a E I 8 S w = 1 p a 4 + p a E I 8 S (basit mesnet) (47) (ankastre mesnet) (48) plakların kirişlere karşılık gelen maksimum çökmeleri; w = 5 p a p a2 + D 11 8 S 11 (basit mesnet) (49) w = 1 p a 4 p a2 + (ankastre mesnet) (5) 384 D 11 8 S 11 biçiminde verilmiştir [2]. 2. Analizler ve Tartışma Sandviç plağın kenar uzunlukları; Uzun plak yaklaşımındaki (28) ifadesinde verilen eşitlikle, bu çalışmada analizleri yapılan plakların rijitlik sabitleriyle hesaplanarak.2 m. ve.62 m. seçilmiştir. Dış idarların kalınlıkları hesaplanırken, Tablo 2. den her bir katmanın kalınlığı.2 m. alınmıştır. Çalışmada inelenen 12 ayrı plağın Tablo 4. te Uzun sandviç plak yaklaşımını sağladığı görülmektedir. b 4 a > 3 D 11 D 22 (28) Tablo 4. Uzun Sandviç Plak Yaklaşımı Kontrolü (a=.2 m., b=.62 m.) Plak Dış idarların Öz b Laminasyon Kalınlık (m) Tipi a > 3 4 D 11 D 22 1 [9/-45/45/] > [92/-452/452/2] > [93/-453/453/3] > [9/-45/45/] > [9/-45/45/] >2, [-452/452/92/2] > [452/2/-452/92] >3.3 8 [2/-452/452/92] > [9/-45/45/] > [-45/45/9/] >3. 11 [45//-45/9] > [/-45/45/9] >3.1 Bu çalışmada iki durum inelenmiştir. İlkinde öz malzemesinin kalınlığı sabit tutulup (=.2 m), dış idarların toplam kalınlığı 1, 2 ve 3 kat alınmıştır (t=.32,.64 ve.96 m.). Aynı biçimde dış idarların kalınlığı sabit tutulup (t=.32 m.), öz malzemesinin kalınlığı 1, 2 ve 3 kat alınmıştır (=.2,.3 ve.4 m). Boyutsuz maksimum çökmelerin değişimi inelenmiştir. İkini durumda ise, öz malzemesinin ve dış

8 64 idarların kalınlıkları değiştirilip, aynı toplam ağırlığa sahip sandviç plakların boyutsuz maksimum çökmeleri inelenmiştir Durum 1 Bu kısımda ilk olarak öz malzemesinin kalınlığı =.2 m. olarak sabit seçilip, dış idarların kalınlıkları ise.32,.64 ve.96 m. alınarak, basit mesnet ve ankastre sınır koşullarında maksimum boyutsuz çökme (w*) değerleri, Uzun plak yaklaşımı (Upy) ve Sonlu Elemanlar Yöntemi yle (SEY) hesaplanmıştır (Tablo 5). Tablo 5. Maksimum boyutsuz çökme (w*=w maks.1 9 /p ), (öz kalınlık =.2 m) Plak Dış Basit Mesnet Ankastre Mesnet idarlar Kalınlık Upy SEY Upy SEY İkini olarak ise; sandviç plağın dış idarları.32 m. olarak sabit seçilip, öz malzemesinin kalınlığı.1,.2 ve.3 m. alınarak, basit mesnet ve ankastre sınır koşullarında maksimum boyutsuz çökme (w*) değerleri, Uzun plak yaklaşımı (Upy) ve Sonlu Elemanlar Yöntemi yle (SEY) hesaplanmıştır (Tablo 6.). Tablo 6. Maksimum boyutsuz çökme (w*=w maks.1 9 /p ), (dış idarlar toplam kalınlık =.32 m) Plak Öz Basit Mesnet Ankastre Mesnet Kalınlık Upy SEY Upy SEY Durum 1. de; Tablo 4. ten, özün kalınlığı sabit tutulup, dış idarların kalınlığı arttırılına maksimum boyutsuz çökme azalmaktadır. Tablo 5. ten dış idarların kalınlığı sabit tutulup, özün kalınlığı arttırılına maksimum boyutsuz çökme azalmaktadır. Tablo 5. ve Tablo 6. dan Uzun plak yaklaşımı ile SEY sonuçları birbirine yakın bulunmuştur Durum 2 Bu kısımda sandviç plakların toplam ağırlığı eşit olaak şekilde, öz malzemesinin ve dış idarların kalınlıkları değiştirilerek basit mesnet ve ankastre mesnet sınır koşullarında, maksimum boyutsuz çökme (w*) değerleri, Uzun plak yaklaşımı (Upy) ve Sonlu Elemanlar Yöntemi yle (SEY) hesaplanmıştır (Tablo 7, 8, 9 ve 1). Ayrıa dış idarların laminasyonları 8 farklı tipte seçilip, maksimum boyutsuz çökmeye etkisi inelenmiştir. İlk olarak öz malzemesinin kalınlığı =.2 m. seçilmiştir. Yoğunluğu ise (kg/m 3 ) olarak Tablo 3. ten alınmıştır. Plak alanı.2 x.62=.124 m 2 dir. Öz malzemesinin ağırlığı.225 kg olarak hesaplanmıştır. Dış idarlardaki laminasyonda n=2 seçilmiştir. Tek bir katmanın kalınlığı t=.2 m dir (Tablo 2.). Alt ve üst idarın toplam kalınlığı 16 x.2 m x 2 =.64 m.dir. Tek bir katmanın alanı.2 m x.62 m =.124 m 2 dir. Cidarların toplam ağırlığı ise.64 x.124 x 1.5 x 1 3 = 1.19 kg dır. Öz malzemesi, alt ve üst idarlardan oluşan sandviç plağın toplam ağırlığı kg olarak hesaplanmıştır (Tablo7 ve 8). Tablo 7. Maksimum boyutsuz çökme (w*=w maks.1 9 /p), (dörtkenar basit mesnetli, dış idarlar n=2, öz kalınlık=.2 m) Plak Dış idarların Upy SEY Laminasyon Tipi 2 [92/-452/452/2] [-452/452/92/2] [452/2/-452/92] [2/-452/452/92] Tablo 8. Maksimum boyutsuz çökme (w*=w maks.1 9 /p), (dörtkenar ankastre mesnetli, dış idarlar n=2, öz kalınlık=.2 m.) Plak Dış idarların Upy SEY Laminasyon Tipi 2 [92/-452/452/2] [-452/452/92/2] [452/2/-452/92] [2/-452/452/92] İkini olarak dış idarlardaki laminasyonda n=1 seçilmiştir. Tek bir katmanın kalınlığı t=.2 m dir. Alt ve üst idarın toplam kalınlığı 16 x.2 m x 2 =.32m.dir. Tek bir katmanın alanı.2 m x.62 m =.124 m 2 dir. Cidarların toplam ağırlığı ise.32 x.124 x 1.5 x 1 3 =.595 kg dır. İlk kısımda bulunan toplam ağırlıkla eşit olaak şekilde öz malzemesinin kalınlığı,7275 m. hesaplanmıştır. Yoğunluğu (kg/m 3 ) dir. Plak alanı.2 x.62=.124 m 2 dir. Öz malzemesinin ağırlığı.82 kg olarak hesaplanmıştır. Alt ve üst idarlarla öz malzemesinden oluşan sandviç plağın toplam ağırlığı kg olarak ilk kısımla eşit olaak biçimde düzenlenmiştir (Tablo 9 ve 1).

9 65 Tablo 9. Maksimum boyutsuz çökme (w*=w maks.1 9 /p), (dörtkenar basit mesnetli, idarlar n=1, öz kalınlık=.7275 m.) Plak Dış idarların Upy SEY Laminasyon Tipi 9 [9/-45/45/] [-45/45/9/] [45//-45/9] [/-45/45/9] dış Özün kalınlığının fazla, dış idarların ise ine olduğu koşulda maksimum boyutsuz çökmeler daha az bulunmuş, daha rijit yapı elde edilmiştir (Tablo ). Bu çalışmadaki gibi yapılaak bilgisayar destekli parametrik analizlerle, sandviç yapıların ön tasarımında en uygun parametreler belirlenip, ağırlık, zaman, işgüü ve maliyetten tasarruf edilebileeği öngörülmüştür. Tablo 1. Maksimum boyutsuz çökme (w*=w maks.1 9 /p), (dörtkenar ankastre mesnetli, dış idarlar n=1, öz kalınlık=.7275 m.) Plak Dış idarların Upy SEY Laminasyon Tipi 9 [9/-45/45/] [-45/45/9/] [45//-45/9] [/-45/45/9] Durum 2. de; Tablo 6-9 dan dış idarların değişen laminasyon dizilimi ve kalınlık değişimi, maksimum boyutsuz çökmeyi, özün kalınlık değişiminden daha az etkilediği görülmektedir. Ayrıa aynı ağırlığa sahip 8 ayrı plak karşılaştırılmış, özün kalınlığı fazla ve dış idarların kalınlığının az olduğu seçenekte maksimum boyutsuz çökmenin daha az olduğu bulunmuştur. Basit mesnet ve ankastre mesnet sınır koşullarında, Uzun plak yaklaşımı ile SEY sonuçları birbirine yakın bulunmuştur. 4. Sonuçlar Bu çalışmada, farklı kalınlıklarla, laminasyon tiplerindeki dış idar ve öz malzemelerinden oluşan düzgün yayılı yanal yüklü 12 farklı sandviç plak, kenarlarından basit ve ankastre mesnetli sınır koşullarında Uzun plak yaklaşımı [2] ve Sonlu Elemanlar Yöntemi yle inelenmiştir. Öneki bölümde Durum 1 de, öz malzemesinin veya dış idarların kalınlıkları arttırıldığında, maksimum boyutsuz çökmeler öz malzemesinin kalınlığının arttırılmasından daha çok etkilenmektedir (Tablo 5.-6.). Durum 2 de ise, 8 farklı sandviç plağın ağırlıklarını sabit tutaak biçimde; öz malzemesi ve dış idarların kalınlıkları değiştirilmiştir. İnelenen 8 farklı plağın boyutsuz maksimum çökmeleri laminasyon dizilimlerinden fazla etkilenmemektedir. Kaynaklar [1] Sezgin FA. 28. Mehanial behavior and modelling of honeyomb ored laminated fiber/polymer sandwih strutures. MS thesis, İzmir Institute of Tehnology, İzmir. [2] Borrega M. and Gibson L.J Mehanis of balsa (Ohroma pyramidale) wood. Mehanis of Material. 84, [3] ASM Handbook Volume 21 Composites, 21, ASM International Handbook Committee. [4] or A.K., Burton W.S. and Bert C.W Computational models for sandwih panels and shells. Appl Meh Rev vol 49, no 3, Marh [5] Kreja I A literature review on omputational models for laminated omposite and sandwih panels, Cent. Eur. J. Eng. 1(1) [6] Kant T and Swaminathan K. 22. Analytial solutions for the stati analysis of laminated omposite and sandwih plates based on a higher order refined theory, - Composite Strutures, Volume 56, Issue 4, June 22, Pages [7] Kumar A.A Ultimate Strength Analysis of Laminated Composite Sandwih Plates, Strutures, Volume 14, June 218, Pages [8] Lin G., Zhang P., Liu J. and Li J Analysis of laminated omposite and sandwih plates based on the saled boundary finite element method, Composite Strutures, Volume 187, 1 Marh, Pages [9] Kollar LP and Springer GS. 27. Mehanis of omposite strutures. Cambridge University Press, USA.

10 66 [1] Matlab. [11] Abaqus /CAE Student Edition. ( s( 11 s 22 ( s )( )) 16 s( s ( s )( )) 26 os s sin ) [12] Tsai SW Composites design, 4th Edition, Think Composites, Dayton, OH. [13] Newaz G., Mayeed M. and Rasul A Charaterization of balsa wood mehanial properties required for ontinuum damage mehanis analysis. J. of Materials: Design and Appliations, 23(1), [14] Pilkey WD. 25. Formulas for stress, strain and strutural matries, John Wiley & Sons, In., USA. Ekler Ek.A. İne plakların yönetii denklemleri Kuvvet-gerinim ilişkisi; N x N y N xy M x M y { M xy} A 11 A 12 A 16 B 11 B 12 B 16 A 12 A 22 A 26 B 12 B 22 B 26 = A 16 A 26 A 66 B 16 B 26 B 66 B 11 B 12 B 16 D 11 D 12 D 16 B 12 B 22 B 26 D 12 D 22 D 26 [ B 16 B 26 B 66 D 16 D 26 D 66 ] { ε 1x ε y γ xy κ x κ y κ xy} (Ek.A1) Erkin ALTUNSARAY * Erkin ALTUNSARAY 2 yılında Yıldız Teknik Üniversitesi, Gemi İnşaatı ve Gemi Makineleri Mühendisliği Bölümü den mezun oldu. Dokuz Eylül Üniversitesi, Deniz Bilimleri ve Teknolojisi Enstitüsü, Gemi İnşaatı Programı nda 25 yılında yüksek lisansını tamamladı. 211 yılında Yıldız Teknik Üniversitesi Gemi İnşaatı ve Gemi Makineleri Bölümü nde doktora öğrenimini tamamladı. Halen Dokuz Eylül Üniversitesi, Deniz Bilimleri ve Teknolojisi Enstitüsü, Gemi İnşaatı Programı nda araştırma görevlisi olarak çalışmaktadır. Çalışma konuları arasında küçük teknelerin yapısal tasarımı ve kompozit yapıların mekanik analizleri yeralmaktadır Ek.B. İne plakların rijitlik matrisleri A ij B ij D ij, ve ise sırasıyla uzama, eğilmeuzama birleşme ve eğilme rijitlik matrisleri olarak tanımlanır. Dönüşüme uğramış indirgenmiş katılık matrisi insinden yazımları aşağıda gösterilmiştir. K A ij = ( ij ) k (z k z k 1 ) k=1 K B ij = 1 2 ( ij ) k (z k=1 k z k 1 ) (Ek B.1) K D ij = 1 3 ( ij ) k (z 3 3 k z k 1 ) k=1 Yukarıdaki [ ] dönüşüme uğramış indirgenmiş rijitlik matrisinin elemanlarının bulunuşu aşağıda gösterilmiştir. s 2 s ( ) s s ( ) s ) ( s ) ( 2 66 s ) ( s ) ( (Ek B.2) 66 12