İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR"

Transkript

1 ÖABT 205 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR Konu Anlatımı Özgün Sorular Ayrıntılı Çözümler Test Stratejileri Çıkmış Sorular

2 Komisyon ÖABT lkö retim Matematik Ö retmenli i Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumlulu u yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satı hakları Pegem Akademi Yay. E t. Dan. Hizm. Tic. Ltd. ti.ne aittir. Anılan kurulu un izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da ba ka yöntemlerle ço altılamaz, basılamaz, da ıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlı ı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.. Baskı: ubat 205, Ankara Proje-Yayın Yönetmeni: Ay egül Ero lu Türkçe Redaksiyon: Elif Külah Dizgi-Grafik Tasarım: Gülnur Öcalan Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. ti. vedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 05/A Yenimahalle/ANKARA ( ) Yayıncı Sertifika No: 4749 Matbaa Sertifika No:3987 leti im Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılayorha / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Da ıtım: Da ıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: nternet: E-ileti:

3 ÖN SÖZ Sevgili Ö retmen Adayları, ÖABT LKÖ RET M MATEMAT K Ö RETMENL konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmi tir. " lkö retim Matematik Ö retmenli i Soyut Cebir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) lkö retim Matematik Ö retmenli i Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geli tirme sürecinde siz de erli ö retmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmı tır. Kitabın hazırlanı sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmı, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede kar ılayacak bir ba ucu kitabı niteli inde olması hedeflenmi tir. Detaylı, güncel ve anla ılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmı sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmi, her ünite içeri i ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla peki tirilmi tir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmi tir. Yo un bir ara tırma ve çalı ma sürecinde hazırlanmı olan bu kitapla ilgili görü ve önerilerinizi adresini kullanarak bizimle payla abilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında eme i geçen Sayın Kerem Köker, Fikret Hemek, Ay egül Ero lu ve Dizgicimiz Gülnur Öcalan'a te ekkürü bir borç biliriz. Gelece imizi güvenle emanet etti imiz siz de erli ö retmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi e itimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Ba arılar...

4 MATEMAT K ÖABT LE LG L ÖNEML B LG LER MATEMAT K ÖABT, 50 sorudan olu makta ve Matematik Ö retmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan E itimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemekte Ö retmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Ö retmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru da ılımı a a ıdaki tabloda belirtilmi tir. Genel Yüzde Yakla ık Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matematik % 28 % 8 % 8 % 6 Alan E itimi Testi % Genel Kültür, Genel Yetenek ve E itim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak girece iniz Ö retmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler MATEMAT K ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmı tır. Sınav içeri inde yapılabilecek olası de i iklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

5 Ç NDEK LER. BÖLÜM SOYUT CEB R. Sayılar ve Özellikleri Rakam Sayma Sayıları Do al Sayılar Tam Sayılar Aralarında Asallık Rasyonel Sayılar rrasyonel Sayılar Reel Sayılar Tek ve Çift Sayılar Ardı ık Sayılar Negatif ve Pozitif Sayılar ile lgili Özellikler Tam Sayılarda Bölünebilme En Büyük Ortak Bölen En Küçük Ortak Kat Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler Euler {-Fonksiyonu... {-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri Kongrüanslar...3 Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik Asal Sayıların Bazı Özellikleri Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophant Denklemleri...8 ki veya Daha Fazla De i kenli Lineer Kongrüanslar kinci Dereceden Kalanlar Gruplar Tek lemli Cebirsel Yapı Türleri Mertebe Alt Gruplar Normal Alt Gruplar Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar Gruplarda Homomorfizm ve zomorfizm Homomorfizma zomorfizma Bölüm Grupları Devirli Gruplar Devirli Grupların Alt Grupları Üreteç Sayısı Çarpım Grupları...42 zomorf olmayan Abelyan Gruplar...43

6 vi 5. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi Alt Halka Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi Bölüm Halkası deal Nilpotent Eleman Polinom Halkası Cisim Cebirsel Sayı Transandant Sayı Sayılabilir Küme...47 Çözümlü Test...48 Çözümler...50 Çözümlü Test Çözümler...54 Çözümlü Test Çözümler...58 Çözümlü Test Çözümler...62 L NEER CEB R. Vektör Uzayları Tanım ve Aksiyomlar Vektör Uzayı ile Aksiyomları Önemli Vektör Uzayı Örnekleri Alt Vektör Uzayı Alt Uzayın Özellikleri Boyut ç Çarpım Uzayları ç Çarpım Norm Ortonormal Baz Schmidt Metodu Gram-Schmidt Metodu Alt Uzayın Bazları Direkt Toplam Uzayı ç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları Lineer Dönü ümler Temel Özellikler Germe Aksiyomu Lineer Ba ımsızlık Ortogonal zdü üm...95

7 vii 9. Matrisler ve Matris Uzayları Matris Toplamı Skaler ile Matris Çarpımı Matris Çarpımı Bir Matrisin Transpozu Kare Matrisler Bir Matrisin Tersi Matrisler ile Lineer Dönü üm Arasındaki li kiler Bir Lineer Dönü üme Kar ılık Gelen Matris Herhangi ki Vektör Uzay Arasındaki Lineer Dönü ümlerinin Matris Gösterimi Bir Lineer Dönü ümün Rankı Elemanter Operasyonlar (Basit lemler) Permütasyonlar Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar... 8 n-lineer Fonksiyonlar Determinantlar Determinant Fonksiyonun Özellikleri Sarrus Kuralı Determinant Açılımları Bir Lineer Dönü ümün Determinantı ve zi...30 Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümleri Lineer Denklem Sistemlerinin Determinantlarla Çözümleri Cramer Olmayan Sistemlerin Determinantlarla Çözümleri Matrisler ve Lineer Dönü ümlerin Polinomları Karakteristik De erler ve Karakteristik Denklemler Karakteristik De erler ve Karakteristik Vektörler Karakteristik Uzay Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem...38 Çözümlü Test...40 Çözümler...43 Çözümlü Test Çözümler...47 Çözümlü Test Çözümler...52 Çözümlü Test Çözümler...56 Çözümlü Test Çözümler...60

8

9 SOYUT CEB R

10

11 3 SOYUT CEB R. Sayılar ve Özellikleri. Rakam Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Kullandı ımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Rakamlarla olu turulan ifadelere sayı denir..2 Sayma Sayıları {, 2, 3, 4,...} kümesi sayma sayıları kümesi.3 Do al Sayılar N = {0,, 2, 3,...} kümesi N + pozitif do al sayılar kümesini ifade eder..4 Tam Sayılar Z = {..., 2,, 0,, 2, 3,...} kümesi Tam sayılar kümesi üç ana bölümden olu ur. Negatif tam sayılar (Z ), pozitif tam sayılar (Z + ) ve {0} kümesi Ayrıca Z = Z {0} Z +.5 Aralarında Asallık p ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayılarını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı ise p ve q aralarında asaldır denir..6 Rasyonel Sayılar Q = {p/q: p ve q aralarında asal, q 0} kümesi.7 rrasyonel Sayılar II = Q sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan p/q tipinde yazılamayan sayılardan olu ur. Yani rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayı denir..8 Reel Sayılar Rasyonel ve irrasyonel sayıların birle im kümesi R ile gösterilir. R = Q Q dur. a, b, c N olmak üzere 3a + 6b c = 24 e itli ini sa layan a, b ve c de erleri için en küçük a + b + c toplamının en küçük de eri kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 Katsayısı büyük olana büyük de er verilir. Sayılar aynı olabilece inden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur. a + b + c = 4 olur. a ve b do al sayılardır. 56. a = b 3 e itli ini sa layan en küçük b de eri kaçtır? Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır. 56 = a = a = b 3 dır. Buradan a = 7 2 seçilirse b = 2.7 = 4 bulunur. x, y, z Z olmak üzere, x. y = 2, y. z = 4 ve x. z = 3 e itliklerini sa layan x, y, z sayılarının en büyük toplamı en küçük toplamından kaç fazladır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 20 xy. 2 x = & = 3 & x = 3. z bulunur. yz. 4 z Bu ifade x. z = 3 e itli inde yerine yazılırsa 3z 2 = 3 z = " bulunur. z = için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8 z = için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8 bulunur. 8 ( 8) = 6'dır. Do ru seçenek C olarak elde edilir..9 Tek ve Çift Sayılar 2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar 2n, tek tam sayılar 2n ile gösterilir (n Z)..9. Tek ve Çift Tam Sayılar le lgili Özellikler ) T " T = Ç 5) Ç. Ç = Ç 2) Ç " Ç = Ç 6) T. T = T 3) T " Ç = T 7) n N olmak üzere T n = T 4) T. Ç = Ç 8) n N + olmak üzere Ç n = Ç' Tek ve çift sayılarda bölme i lemine ait kural tanımlanamaz. Örne in 40 çift sayıdır = Ç, = T, sayısı ne tek ne de çifttir

12 4.0 Ardı ık Sayılar n Z olmak üzere n, n +, n + 2,... sayılarına ardı ık tam sayılar denir. n R + için n. `n+ j n = 2 n Z olmak üzere 2n, 2n +, 2n + 3,... sayılarına ardı ık tek sayılar denir. n Z + için n = n 2 n Z olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4,... sayılarına ardı ık çift sayılar denir. n Z + için n = n(n + ) Ardı ık terimleri arasındaki artı miktarı e it olan dizide Son Terim lk Terim Terim Sayısı = Artı miktarı + ve Terim Toplamı = Terim Sayısı. (Son terim + lk terim). Negatif ve Pozitif Sayılar le lgili Özellikler ) ( ). ( ) = (+) 5) ( ) / ( ) = (+) 2) ( ). (+) = ( ) 6) ( ) / (+) = ( ) 3) (+). (+) = (+) 7) (+) / (+) = (+) 4) (+). ( ) = ( ) 8) (+) / ( ) = ( ) 9) n N olmak üzere ( ) 2n = (+) 0) n N olmak üzere ( ) 2n = ( ) ) n N olmak üzere (+) n = (+).2 Tam Sayılarda Bölünebilme m, n, r Z olmak üzere m. n = r olsun. Bu durumda m ve n'ye r'nin bölenleri (çarpanları) r'ye de m ve n'nin bir katı denir. m, r'nin bir böleni ise bu durum m r ile, aksi takdirde m ) r ile gösterilir ile bölünebilme: Çift tam sayılar 2 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı ise sayı 3 ile tam bölünebilir ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basama ı (birler ve onlar basama ı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının birler basama- ı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları altına sa dan sola do ru sırasıyla 3, 2, sayıları yazılır. Bu rakamlar altlarına yazdı ımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sa dan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basama ı (birler, onlar ve yüzler basama ı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünebilir ile bölünebilme: Verilen sayının birler basama ı 0 ise verilen sayı 0 ile tam bölünür..2.9 ile bölünebilme: Verilen sayı sa dan sola do ru sırası ile (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç veya 'in katı ise verilen sayı ile tam bölünür. Verilen ba ıntılarda sayı istenilen sayıya tam bölünmüyorsa kalan kolaylıkla bulunur. Örne in 256 sayısının 5 ile bölümünden kalan 6'nın 5 ile bölümünden kalana e it ve ' Hangi n do al sayıları için (n + ) (n 2 + ) n 2 = (n )(n + ) oldu undan n N için (n + ) (n 2 ) (n + ) (n 2 + ) ve (n + ) (n 2 ) oldu undan n + [(n 2 + ) (n 2 )] n + 2 olur. NOT n N oldu undan ve n + 2 olması gerekti inden n = 0, elde edilir. [, x] aralı ında n ile bölünebilen do al sayıların sayısı x & 0 n a Z ve m, n N olsun. n < m için a n 2 + m 2 a n 2 olmak üzere n ve k iki do al sayı olsun. n n k

13 5 n bir do al sayı ve k bir tek sayı olsun. ( n) ( k + 2 k n k ) dır. a, b Z olsun. a sayısı b ile bölündü ünde kalan r ise 2 a sayısı 2 b ile bölündü ünde kalan 2 r ' N = n(n + ) sayısının 4 ile bölünebilmesi için n en az kaç olmalıdır? {n 2 + 8n 22 : n Z} kümesinin 03 ile bölünen, 000'den küçük olan en büyük elemanını bulunuz. n 2 + 8n 22 = 03. k ise n 2 + 8n (03k 22) = 0 denkleminin köklerini tam sayı yapan k tam sayılarını bulalım. Köklerin tam sayı olması için = 8 + (03k 22) = 03(k + ), ifadesi bir tam sayının karesi olmalıdır. Bunun için de a Z olmak üzere k + = 03. a 2 seçilmeli Bu durumda, n 2 + 8n (03k + 22) = 0 denkleminin kökleri n = 9 " 03 a biçiminde olacaktır. a = 9 seçilirse n = 98 olur. N = n(n + ) = ( 2 + ) + ( ) (n 2 + n) = ( n 2 ) + ( n) n`n+ j`2n+ j n. `n+ j = n`n+ j`n+ 2j = 3 sayısının 4 ile bölünebilmesi için n(n + ) (n + 2) çarpanlarından en az biri 4'e bölünmeli n + 2 = 4 n = 39 olmalıdır. m, n ve r tam sayı olmak üzere, i) m Z iken a l 0 dır. ii) m Z için ± l m ve ±m l m iii) iv) m l ± m = " m l n ise ±m l ±n {, 2,..., 600} dizisinde 3 ile bölünebilen kaç tane do al sayı vardır. v) m l n ve n l r ise m l r vi) m l n ve n l m ise m = ±n vii) c 0 olmak üzere cm l cn ise m l n m m. viii) n ve 2 m m n ise 2 2 n. n ' = 46 adettir. 3 ix) m l n ve m l r ise m l n+r 000'den küçük kaç do al sayı 7 ile bölünür? [, 000] kümesinde 000 ) 3 = 58 ve 0 N için olup toplam 58 + = 59 adet sayı 7 ile bölünebilir. Tanım: (Asal Sayı) : n > tam sayısının kendisinden ve birden ba ka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir. Tanım: (Bile ik Sayı): Asal olmayan sayılara bile ik (= combined) sayı denir. Tanım: Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir. Her bile ik sayının en az bir asal çarpanı vardır. Teorem (Euclid): Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

14 6 Uyarı: Bir sayının tüm bölenlerinin sayısı pozitif bölenlerinin sayısının iki katıdır. Kural (Bir sayının asallık testi): Verilen sayının karekökü yakla- ık olarak hesaplanır. Bu sayıya kadar olan asallar tespit edilir. Verilen sayı bulunan asallara tam bölünmüyorsa verilen sayı asaldır. Aksi hâlde bile ik sayıdır. Örne in; 42 sayısının asal olup olmadı ına bakalım. 42, 20, 58 olup 20'ye kadar olan asal sayılar 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9 olup bu sayılar 42 sayısını tam olarak bölmez. Dolayısıyla 42 sayısı asal sayıdır. Burada 42 den küçük olan asal sayıları incelemek yeterlidir, çünkü ılık bir de olur. 42 den büyük bir asal çarpan varsa buna kar- 42 den küçük olan bir asal çarpan mevcut r 0 ise r, r 2 ye bölünür ve kalanının sıfırdan farklı olması hâlinde bu bölmelere devam edilir. Bu ekilde pozitif tam sayıların azalan bir r, r 2,..., r k, r k dizisi elde edilir. n'den küçük pozitif tam sayıların sayısı sonlu oldu undan dizi sonlu olmalıdır. Yani belli bir k için r k+ = 0 olmalıdır. Yani yukarıdaki bölmeler yardımıyla sonlu adımdan sonra sıfır kalanı elde edilecektir. Kısaca algoritmada kalanı sıfır yapana kadar bölme yapılır. Euclid algoritmasında yapılan kalanlı bölmelerde sıfırdan farklı en son r k kalanı m ve n sayılarının obeb'i Yani (m, n) = r k dır. 972 ve 429 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır? Teorem (Bölme Algoritması): m, n Z, m, n 0 ise m = q. n + r; 0 < r < n olacak ekilde bir tek q ve r tam sayı ikilisi vardır..3 En Büyük Ortak Bölen: m ve n tam sayılar olmak üzere k m ve k n ise k'ya m ve n'nin bir ortak böleni denir. m ve n'yi bölen en büyük pozitif d tam sayısına m ve n'nin en büyük ortak böleni (=obeb = ebob) denir. d = (m, n) ile gösterilir. 972 = = = = = (ebob) 6 = oldu undan obeb 3 bulunur. Uyarı ) Tanıma göre d'nin m ve n'nin obeb'i olması için gerek ve yeter art i) d m ve d n olması, ii) k, k m ve k n özelli indeki bir ba ka ortak bölen iken k d olmasıdır. 2) kiden fazla sayının obeb'i de benzer ekilde tanımlanır. Uyarı Obeb verilen tam sayıların pozitif lineer toplamlarının en küçü üdür. Sıfırdan farklı iki tam sayının obeb'i tektir. Tanım (Euclid Algoritması): m, n sıfırdan farklı tam sayılar olsun. (m, n) = ( m, n) = (m, n) = ( m, n) oldu undan genelli i bozmaksızın; m, n N alabiliriz. m n olsun. Bölme algoritmasından, m = q. n + r, 0 r < n olacak ekilde q, r Z yazabiliriz. r = 0 ise n m, bu durumda m ile n'nin obeb'i n olur. r 0 ise n = q 2. r + r 2 ; 0 r 2 < r olacak ekilde q 2, r 2 Z bulunabilir. (n'yi r 'e böldük.) 570, 80, 495 ve 25 sayıların en büyük ortak böleni kaçtır? Bu tip sorularda iki erli hesaplama yapılır. (570,80) de erini bulalım. 80 = = = = (ebob) 60 = hesaplanır. imdi buldu umuz ebob ile sonraki sayının ebob'unu bulalım. Burada (570, 80) yerine 30 yazılabilir. (30, 495, 25) ebob'unu bulalım. Bunun için (30, 495) ebob'unu bulmalıyız. 495 = = Benzer metotla devam ederek (5, 25) = 5 olur. Buradan istenilen sonuç yani ( ) = 5'

15 7 Tanım: n 2 olmak üzere hepsi birden sıfır olmayan a,..., a n tam sayıları için ayet (a,..., a n ) = ise bu tam sayılara aralarında asal denir. Ayrıca i j için (i, j =, 2,..., n); (a i, a j ) = ise a,..., a n sayılarına aralarında iki er iki er asal sayılar denir. x N olmak üzere p = x 3 eklindeki tüm p asallarını bulunuz. m ve n sıfırdan farklı tam sayılar olsun m ve n'nin aralarında asal olmaları için gerek ve yeter art = mx + ny olacak ekilde x, y Z nin bulunmasıdır. m n ^mn, h = d+ b, l = ' d d (a, b) = ve (a, c) = ise (a, b, c) = ' a b. c ve (a, b) = ise a c.4 En Küçük Ortak Kat: a, b sıfırdan farklı tam sayılar olsun. a) k N olmak üzere a k ve b k ise k'ya a ve b'nin bir ortak katı denir. b) k, a ve b'nin bir ortak katı olsun. E er t; a ile b'nin bir ba ka ortak katı iken k t ise k'ya a ile b'nin en küçük ortak katı (ekok) denir ve [a, b] = k ile gösterilir. a, b 0 iki tam sayı ise (a, b). [a, b] = a. b P = (x ) (x 2 + x + ) sayısının çarpanları p.. p ( ). ( p) ( p). ( ) tipinde x = x = 2, p = = 7 asaldır. x = x = 0, p = asal de il x 2 + x + = x (x + ) = 0 x = 0 veya x = p = asal de il p = 2 asal de il x 2 + x + = x 2 + x + 2 = 0 " x,2 = g N 2 Çözüm kümesi x = {7} x N olmak üzere p = x 2 olacak ekildeki tüm p asal sayılarını bulunuz. 26x + 4y = (26,4) ba ıntısını sa layan öyle x ve y tam sayıları bulunuz ki, x pozitif ve mümkün oldu u kadar küçük olsun. P = (x ) (x + ) sayısının çarpanları. p P asal oldu undan çarpanı ve kendisi p. ( ). ( p) ( p). ( ) tipinde x = x = 2, p = 3 asaldır. x + = x = 0, p = asal de il. x = x = 0, p = asal de il x + = x = 2 + x = 2 N Çözüm kümesi p = {3} (26,4) = 2 oldu undan 26x + 4y = 2 3x + 7y = e itli ini sa layan en küçük pozitif x tam sayısı bulunacaktır. 3x + 7y = y = 3x + x 4x = x = 2x 7 ifadesinin tam sayı olması için + x = 7 x = 6 olmalıdır.

16 8 (a, 4) = 2 ve (b, 4) = 2 iken (a + b, 4) nedir? Tanımda verilen a ve b sayılarının obeb'i ise her zaman Z'de çözüm vardır. NOT Çözüm (a, 4) = 2 oldu undan a = 2m olacak biçimde bir m tek sayısı ve (b, 4) = 2 oldu undan b = 2n olacak ekilde bir n tek sayısı vardır. E er m ve n sayısı tek olmasaydı, (a, 4) = (b, 4) = 4 olurdu. a + b = 2m + 2n = 2(m + n) olur. m ve n tek oldu undan, m + n çifttir. m + n = 2k denirse a + b = 4k bulunur. Bu durumda (a + b, 4) = (4k, 4) = 4(k, ) = 4 bulunur. 2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler Tanım: a, b, c Z, a. b 0 olmak üzere x, y çözümleri tam sayı olan ax + by = c eklindeki denklemlere lineer diophant denklemi denir. ax + by = c Lineer Diophant Denkleminin bir çözümü olması için gerek ve yeter art d = (a, b) olmak üzere d c olmasıdır. (a, b) = d olmak üzere d c olsun. Bu takdirde ax + by = c Lineer Diophant Denkleminin bir çözümü (x 0, y 0 ) ise denklemin genel çözümü t Z için, Z b ] x = x0 + t d [ a ] y = y0 t \ d eklinde 4x + 22y = 50 denkleminin genel çözümünü bulunuz. x + 27y = 4 denkleminin çözümünü inceleyelim. ve 27'nin lineer toplamı olarak verilmi Euclid algoritmasından 27 = = obeb 5 = = (27,) = 2. 5 = 2. (27 2. ) = ( 2) e itli ini 4 ile çarparsak 4 =. (20) ( 8) bulunur. Burada x 0 = 20, y 0 = 8 bir özel çözümdür. Bu denklemin ( 34,4) ve ( 7,3) gibi ba ka çözümleri de bulunabilir. Her diophant denklemin çözümü olmak zorunda de il Örne in; 2x + 4y = 7 :;;;; < + çift tek denkleminin Z'de çözümü yoktur veya 3x + 9y = denkleminin çözümü olması için e itli in sa tarafı 3'ün katı olmalıdır. 3x + 9y = 4 Ç.K. = Ø NOT 22 = = = obeb (4,22) 6 = = 8 6 = (22 4) (4 8) = (22 4) (4 (22 4)) = 4. ( 3) (2) 2 = 4. ( 3) (2) e itli inin her iki tarafını 25 ile çarparsak 50 = 4. ( 75) (50) olup (x 0,y 0 ) = ( 75, 50) verilen denklemin bir çözümüdür. Buradan genel çözüm; a = 4, b = 22, d = 2, c = 50 için Z ] x = x b 0 +. t d [ : t g Z a ] y = y0. t \ d olup x = 75 + t * y = 50 7t olarak bulunur. Bu tür denklemlerin özel çözümleri deneme yoluyla da bulunabilir. p, asal sayısı için p a. b ise p a veya p b

17 9 p asal sayı de il ise bu teorem do ru olmaz. Örne in; fakat 8A4 ve 8A2 NOT 504 sayısının pozitif bölenlerini ve pozitif bölenlerinin toplamını bulunuz. Sonuç: p asal ve p a. a a n ise en az bir i n için p a i Sonuç: p, p, p 2,..., p n asal sayılar ve p p p 2... p n ise en az bir i n için p = p i n > tam sayısı çarpanların sırası hariç bir tek ekilde asal çarpanlarına ayrılabilir. Uyarı: n = p. p 2... p k yazılımında asal p i çarpımlarının bazıları e it olabilir. p i çarpanı bu yazılımda i kez yer alıyorsa n sayısı kısaca; t a n p a. p 2 a 2... p t a = t = p i % i ( t # k) i = eklinde yazılabilir. Bu son yazılıma n sayısının standart formu denir. Örne in; 60 sayısının standart formu 60 = n > tam sayısının pozitif bölenlerinin sayısını s(n) ile gösterelim.. k k a n P i = % i & s( n) = %`ai+ j i = i = NOT 504 = olup s(504) = = 24 olur t^504h =.. = = 560 ' dır Uyarı: Örnekten de görüldü ü gibi t(n) de eri (P 0 + P + P 2 a i P ). (P2 0 a P 2 )... (Pk a k P k ) çarpımı ile de hesaplanabilir. Uyarı: Özel olarak t() = s() = tanımlanır. Tanım: t(n) = 2n ise n tam sayısına mükemmel sayı denir. n t(n) _ b b b ` b b b a p asal ise p mükemmel sayı olamaz. lk dört mükemmel sayı 6, 28, 496 ve 828' n > tam sayısının pozitif bölenlerinin toplamını t(n) ile gösterelim. NOT Bir do al sayının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır. NOT % % k k a P i+ a i n = P i i & t( n) = Pi i = i = n > tam sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı sn ( ) n 2 n > tam sayısının tüm bölenlerinin çarpımı ( ) s(n). n s(n)

ÖABT LİSE MATEMATİK SORU BANKASI ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ. Tamamı Çözümlü. Kerem Köker

ÖABT LİSE MATEMATİK SORU BANKASI ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ. Tamamı Çözümlü. Kerem Köker ÖABT Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT LİSE MATEMATİK SORU BANKASI Kerem Köker Tamamı Çözümlü Kerem Köker ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ SORU

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde 30. yıl Komisyon ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-684-7 Kitapta yer alan

Detaylı

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme çöz kazan matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme kpss 2015 ÖSYM sorularına en yakın tek kitap tamamı çözümlü geometri 2014 kpss de 94 soru yakaladık soru bankası Kenan Osmanoğlu, Kerem Köker KPSS

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda soru ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ, İSTATİSTİK, OLASILIK Eğitimde 30.

önce biz sorduk KPSS Soruda soru ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ, İSTATİSTİK, OLASILIK Eğitimde 30. KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 30 soru ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ, İSTATİSTİK, OLASILIK Eğitimde 30. yıl Komisyon ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 120 Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde 30. yıl Editör Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Yazar Komisyon KPSS Matematik-Geometri

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 82 soru ezberbozan MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 82 soru ezberbozan MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 120 Soruda 82 soru ezberbozan MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde 30. yıl KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-360-0 Kitapta yer alan

Detaylı

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 30 soru ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ - DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde 30. yıl Fikret Hemek ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Analiz-Diferansiyel Denklemler

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK KPSS Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2014 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların,

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 32 soru ÖABT FİZİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 32 soru ÖABT FİZİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 32 soru ÖABT FİZİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde 30. yıl KOMİSYON ÖABT Fizik Öğretmenliği Soru Bankası ISBN- 978-605-318-658-8 Kitapta yer alan bölümlerin tüm

Detaylı

ALES SÖZEL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker. Eğitimde

ALES SÖZEL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker. Eğitimde ALES 2017 SÖZEL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Eğitimde 30. yıl Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker ALES Sözel Soru Bankası ISBN-978-605-364-423-1 Kitapta

Detaylı

kpss MATEMATİK SORU Önce biz sorduk Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür 120 Soruda 83

kpss MATEMATİK SORU Önce biz sorduk Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür 120 Soruda 83 Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 120 Soruda 83 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Konu Anlatımı Pratik Bilgiler Sınavlara En Yakın Özgün Sorular ve Açıklamaları Çıkmış Sorular

Detaylı

Komisyon DİKEY GEÇİŞ SINAVI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Komisyon DİKEY GEÇİŞ SINAVI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Komisyon DİKEY GEÇİŞ SINAVI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN 978-605-318-702-8 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-318-010-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Komisyon LYS1 MATEMATİK 10 DENEME TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon LYS1 MATEMATİK 10 DENEME TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon LYS1 MATEMATİK 10 DENEME TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ISBN 978-605-18-84-7 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR 00 00 005 006 007 008 009 00 0 Temmuz Dahil Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN 978-975-879-06- Kitapta yer alan bölümlerin tüm

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

KPSS GENEL YETENEK MATEMATİK GEOMETRİ YENİ. Özgün 900 Soru

KPSS GENEL YETENEK MATEMATİK GEOMETRİ YENİ. Özgün 900 Soru KPSS GENEL YETENEK MATEMATİK GEOMETRİ ÖSYM % Özgün 900 Soru YENİ Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker MATEMATİK 0 DENEME ISBN 978-605-6-11- Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR EFSANE SORU BANKASI Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR EFSANE SORU BANKASI Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 120 Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR EFSANE 5000 SORU BANKASI Eğitimde 30. yıl Komisyon KPSS GYGK EFSANE 5000 SORU BANKASI ISBN 978-605-364-492-8 Kitapta yer alan bölümlerin

Detaylı

Komisyon DİKEY GEÇİŞ SINAVI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Komisyon DİKEY GEÇİŞ SINAVI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Komisyon DİKEY GEÇİŞ SINAVI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN 78-60-8-- Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

kpss Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme geometri 30 deneme

kpss Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme geometri 30 deneme kpss 2014 Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme geometri 0 deneme Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker MATEMATİK 0 DENEME ISBN 978-605-64-141-4

Detaylı

kpss Önce biz sorduk 120 Soruda 83 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK GEOMETRİ DENEME

kpss Önce biz sorduk 120 Soruda 83 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK GEOMETRİ DENEME Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 120 Soruda 83 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür 30 MATEMATİK GEOMETRİ DENEME Komisyon KPSS MATEMATİK-GEOMETRİ 30 DENEME ISBN-978-605-318-968-8 Kitapta

Detaylı

İNJEKTİF MODÜLLERE. Ali Pancar Burcu Nişancı Türkmen

İNJEKTİF MODÜLLERE. Ali Pancar Burcu Nişancı Türkmen İNJEKTİF MODÜLLERE GİRİŞ Ali Pancar Burcu Nişancı Türkmen Ali PANCAR Burcu NİŞANCI TÜRKMEN İNJEKTİF MODÜLLERE GİRİŞ ISBN 978-605-364-896-3 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. 2014, Pegem

Detaylı

KPSS EĞİTİM BİLİMLERİ. gelişim psikolojisi öğrenme psikolojisi rehberlik ve özel eğitim program geliştirme

KPSS EĞİTİM BİLİMLERİ. gelişim psikolojisi öğrenme psikolojisi rehberlik ve özel eğitim program geliştirme kpss 2015 Yeni sorularla son sınav sistemine göre hazırlanmıştır. ezberbozan ezberletmezöğretir! KPSS EĞİTİM BİLİMLERİ SORU BANKASI gelişim psikolojisi öğrenme psikolojisi rehberlik ve özel eğitim program

Detaylı

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 000000000 Komison ÖABT LİSE MATEMATİK PİYASA 9 DENEME ISBN 978-605-38-86-6 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu azarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım,

Detaylı

MATEMATİK 29. KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. yıl. Eğitimde. konu anlatımlı

MATEMATİK 29. KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. yıl. Eğitimde. konu anlatımlı KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla çözebildiğini açıkladı. konu

Detaylı

kpss Önce biz sorduk 120 Soruda 83 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK GEOMETRİ Tamamı Çözümlü SORU BANKASI

kpss Önce biz sorduk 120 Soruda 83 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK GEOMETRİ Tamamı Çözümlü SORU BANKASI Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 120 Soruda 83 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK GEOMETRİ Tamamı Çözümlü SORU BANKASI Editör Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Yazar Komisyon KPSS

Detaylı

kpss ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde

kpss ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde kpss ezberbozan serisi 2016 MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde 29. yıl KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-360-0 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

Hasan Yavaş Kerem Köker İsa Uludağ

Hasan Yavaş Kerem Köker İsa Uludağ Hasan Yavaş Kerem Köker İsa Uludağ YKS-TYT MATEMATİK SORU BANKASI ISBN 978-605-241-120-9 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları

Detaylı

ÖABT SORU BANKASI. FEN BİLİMLERİ FEN ve TEKNOLOJİ FİZİK ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ. Tamamı Çözümlü

ÖABT SORU BANKASI. FEN BİLİMLERİ FEN ve TEKNOLOJİ FİZİK ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ. Tamamı Çözümlü ÖABT 2015 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT FEN BİLİMLERİ FEN ve TEKNOLOJİ FİZİK SORU BANKASI Tamamı Çözümlü KOMİSYON ÖABT Fen Bilimleri/ Fen ve

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME BÖLME ve BÖLÜNEBİLME A. BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B 0 olmak üzere, bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. A = B. C + K dır. Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

ÖABT. Soruları yakalayan 2015 komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI.

ÖABT. Soruları yakalayan 2015 komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI. ÖABT Soruları yakalayan 2015 komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI Tamamı Çözümlü Komisyon ÖABT SINIF ÖĞRETMENLIĞI SORU BANKASI ISBN 978-605-318-124-8

Detaylı

PROGRAM GELİŞTİRME SORU BANKASI KPSS KPSS. Eğitim Bilimleri. Eğitimde. Sınıf Yönetimi Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı

PROGRAM GELİŞTİRME SORU BANKASI KPSS KPSS. Eğitim Bilimleri. Eğitimde. Sınıf Yönetimi Öğretim Teknolojileri ve Materyal Tasarımı KPSS Eğitim Bilimleri PROGRAM KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 70'in üzerinde soruyu kolaylıkla çözebildiğini açıkladı. GELİŞTİRME Sınıf Yönetimi

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME Komisyon ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-18-867-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayım ve

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

ÖABT. Soruları yakalayan 2015 komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI.

ÖABT. Soruları yakalayan 2015 komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI. ÖABT Soruları yakalayan 2015 komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI Tamamı Çözümlü Komisyon ÖABT SINIF ÖĞRETMENLIĞI SORU BANKASI ISBN 978-605-318-124-8

Detaylı

Komisyon DGS 10 DENEME ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Komisyon DGS 10 DENEME ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. 0000000000 Komisyon DGS 0 DENEME ISBN 978-60-38-00-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan.

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

ALES. ÇIKMIŞ SORULAR Tamamı Çözümlü. ales AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI.

ALES. ÇIKMIŞ SORULAR Tamamı Çözümlü. ales AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI. ales 2013 ÖSYM'nin Sorduğu Tüm Sorular AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI ALES ÇIKMIŞ SORULAR Tamamı Çözümlü 2007. 2008. 2009. 2010. 2011. 2012 Kasım Dahil Komisyon ALES Tamamı Çözümlü

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

Komisyon ALES ÇIKMIŞ SINAV SORULARI 10 FASİKÜL ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Komisyon ALES ÇIKMIŞ SINAV SORULARI 10 FASİKÜL ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Komisyon ALES ÇIKMIŞ SINAV SORULARI 10 FASİKÜL ISBN 978-605-318-525-3 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

ales dörtbinsoru formatında EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dörtbinsoru formatında EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 203 formatında dörtbinsoru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL AAYLARA ALES SORU ANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş oğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş oğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

KPSS KONU GÜNLÜĞÜ 30 GÜNDE MATEMATİK

KPSS KONU GÜNLÜĞÜ 30 GÜNDE MATEMATİK KPSS KONU LÜĞÜ 30 DE MATEMATİK ISBN: 978-605-2329-07-8 Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Kısayol Yayıncılık a aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan yayınların tümü ya da herhangi bir bölümü mekanik,

Detaylı

önce biz sorduk 50 Soruda 32 KPSS 2017 soru ÖABT FEN BİLİMLERİ FEN ve TEKNOLOJİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR Eğitimde

önce biz sorduk 50 Soruda 32 KPSS 2017 soru ÖABT FEN BİLİMLERİ FEN ve TEKNOLOJİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 32 soru ÖABT FEN BİLİMLERİ FEN ve TEKNOLOJİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR 2013-2014-2015-2016 Eğitimde 30. yıl Komisyon ÖABT FEN BİLİMLERİ - FEN VE TEKNOLOJİ TAMAMI

Detaylı

Uygulamalı Meta-Analiz

Uygulamalı Meta-Analiz Eğitim Bilimlerinde Uygulamalı Meta-Analiz Serkan DİNÇER Serkan Dinçer EĞİTİM BİLİMLERİNDE UYGULAMALI META-ANALİZ ISBN 978-605-364-844-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

MEB YURT DIŞINDA GÖREVLENDİRİLECEK ÖĞRETMENLERİN MESLEKİ YETERLİLİK SINAVLARINA HAZIRLIK EL KİTABI. Millî Eğitim Bakanlığı

MEB YURT DIŞINDA GÖREVLENDİRİLECEK ÖĞRETMENLERİN MESLEKİ YETERLİLİK SINAVLARINA HAZIRLIK EL KİTABI. Millî Eğitim Bakanlığı Millî Eğitim Bakanlığı MEB 2013 YURT DIŞINDA GÖREVLENDİRİLECEK ÖĞRETMENLERİN MESLEKİ YETERLİLİK SINAVLARINA HAZIRLIK EL KİTABI Türkçe Sosyal Bilimler Mesleki Bilgi Genel Kültür EN SON YAPILAN DEĞİŞİKLİKLERLE

Detaylı

ISBN Sertifika No: 11748

ISBN Sertifika No: 11748 ISN - 978-0--- Sertifika No: 78 GENEL KOORDİNTÖR: REMZİ ŞHİN KSNKUR REDKTE: REMZİ ŞHİN KSNKUR SERDR DEMİRCİ - SRİ ŞENTÜRK SERVET SVŞ ÇETİN as m Yeri: UMUT MTCILIK - MERTER / STNUL u kitab n tüm bas m ve

Detaylı

kpss Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. öğretim ilke ve yöntemleri 20 deneme tamamı çözümlü

kpss Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. öğretim ilke ve yöntemleri 20 deneme tamamı çözümlü kpss 2014 Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. öğretim ilke ve yöntemleri 20 deneme tamamı çözümlü Komisyon KPSS ÖĞRETİM İLKE VE YÖNTEMLERİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 20 DENEME ISBN- 978-605-364-663-1

Detaylı

Komisyon ALES ÇIKMIŞ SINAV SORULARI 9 FASİKÜL ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Komisyon ALES ÇIKMIŞ SINAV SORULARI 9 FASİKÜL ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Komisyon ALES ÇIKMIŞ SINAV SORULARI 9 FASİKÜL ISBN 978-605-64-508-5 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49

Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49 Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l

Detaylı

kpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT FİZİK Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR

kpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT FİZİK Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 50 Soruda 32 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT FİZİK 2013 2014 2015 2016 2017 Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORUAR Komisyon ÖABT FİZİK ÇIKMIŞ SORUAR ISBN 978-605-318-913-8 Kitapta

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Eşit Ağırlık ve Sayısal Adaylar İçin ALES KONU ANLATIMLI ALES. eğitimde. Kenan Osmanoğlu Kerem Köker. Özgün Sorular. Çıkmış.

Eşit Ağırlık ve Sayısal Adaylar İçin ALES KONU ANLATIMLI ALES. eğitimde. Kenan Osmanoğlu Kerem Köker. Özgün Sorular. Çıkmış. Eşit Ağırlık ve Sayısal Adaylar İçin 2018 KONU ANLATIMLI Özgün Sorular eğitimde Çıkmış 30.yıl Sorular Kenan Osmanoğlu Kerem Köker Pratik Bilgiler Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Eşit Ağırlık ve Sayısal Konu

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir OLASILIK VE İSTATİSTİĞE GİRİŞ ISBN 978-605-318-470-6 DOI 10.14527/9786053184706 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

İç Denet m Başarısı Üzer ndek Önem. Dr. Ramazan YANIK

İç Denet m Başarısı Üzer ndek Önem. Dr. Ramazan YANIK B l şsel Yetenekler n İç Denet m Başarısı Üzer ndek Önem Dr. Ramazan YANIK Dr. Ramazan YANIK Bilişsel Yeteneklerin İç Denetim Başarısı Üzerindeki Önemi ISBN 978-605-364-507-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR.

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR. 2 SAYILAR TEORİSİ - MUSTAFA ÖZDEMİR SAYILAR TEORİSİ Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik Eğitimi bölümlerinde okutulmakta olan Sayılar Teorisi derslerine de yardımcı olacaktır. Bunun yanında,

Detaylı

8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI

8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI 8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI Tudem Eğitim Hiz. San. ve Tic. A.Ş 1476/1 Sokak No: 10/51 Alsancak/Konak/ÝZMÝR Yazarlar: Tudem Yazý Kurulu Dizgi ve Grafik: Tudem Grafik Ekibi Baský ve Cilt:

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

Komisyon FEN BİLİMLERİ/FEN VE TEKNOLOJİ ÖĞRETMENLİĞİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN

Komisyon FEN BİLİMLERİ/FEN VE TEKNOLOJİ ÖĞRETMENLİĞİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN Komisyon FEN BİLİMLERİ/FEN VE TEKNOLOJİ ÖĞRETMENLİĞİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME ISBN 978-605-38-44-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. 05, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın

Detaylı

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z. MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden

Detaylı

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

matematik kpss soru yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme

matematik kpss soru yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme kpss 04 akıcı ayrıntılı güncel konu anlatımları örnekler yorumlar uyarılar pratik bilgiler ösym tarzında özgün sorular ve açıklamaları matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme 0 kpss de 85

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÖABT 2015 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Konu Anlatımı Özgün Sorular Ayrıntılı Çözümler Test Stratejileri

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz. Asal Sayılar Sadece kendisine ve sayısına bölünebilen 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ÇARPANLAR ve KATLAR Uygulama- Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) 36=

Detaylı

PEGEM DENEME den DENEME ALES ALES i DENEME ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI YENİ

PEGEM DENEME den DENEME ALES ALES i DENEME ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI YENİ PEGEM DENEME den i DENEME ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI YENİ KOMİSYON TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI SAYISAL VE EŞİT AĞIRLIK ISBN 978-605-364-14-5 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı