İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR"

Transkript

1 ÖABT 205 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR Konu Anlatımı Özgün Sorular Ayrıntılı Çözümler Test Stratejileri Çıkmış Sorular

2 Komisyon ÖABT lkö retim Matematik Ö retmenli i Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumlulu u yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satı hakları Pegem Akademi Yay. E t. Dan. Hizm. Tic. Ltd. ti.ne aittir. Anılan kurulu un izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da ba ka yöntemlerle ço altılamaz, basılamaz, da ıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlı ı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.. Baskı: ubat 205, Ankara Proje-Yayın Yönetmeni: Ay egül Ero lu Türkçe Redaksiyon: Elif Külah Dizgi-Grafik Tasarım: Gülnur Öcalan Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. ti. vedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 05/A Yenimahalle/ANKARA ( ) Yayıncı Sertifika No: 4749 Matbaa Sertifika No:3987 leti im Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılayorha / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Da ıtım: Da ıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: nternet: E-ileti:

3 ÖN SÖZ Sevgili Ö retmen Adayları, ÖABT LKÖ RET M MATEMAT K Ö RETMENL konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmi tir. " lkö retim Matematik Ö retmenli i Soyut Cebir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) lkö retim Matematik Ö retmenli i Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geli tirme sürecinde siz de erli ö retmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmı tır. Kitabın hazırlanı sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmı, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede kar ılayacak bir ba ucu kitabı niteli inde olması hedeflenmi tir. Detaylı, güncel ve anla ılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmı sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmi, her ünite içeri i ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla peki tirilmi tir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmi tir. Yo un bir ara tırma ve çalı ma sürecinde hazırlanmı olan bu kitapla ilgili görü ve önerilerinizi adresini kullanarak bizimle payla abilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında eme i geçen Sayın Kerem Köker, Fikret Hemek, Ay egül Ero lu ve Dizgicimiz Gülnur Öcalan'a te ekkürü bir borç biliriz. Gelece imizi güvenle emanet etti imiz siz de erli ö retmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi e itimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Ba arılar...

4 MATEMAT K ÖABT LE LG L ÖNEML B LG LER MATEMAT K ÖABT, 50 sorudan olu makta ve Matematik Ö retmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan E itimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemekte Ö retmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Ö retmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru da ılımı a a ıdaki tabloda belirtilmi tir. Genel Yüzde Yakla ık Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matematik % 28 % 8 % 8 % 6 Alan E itimi Testi % Genel Kültür, Genel Yetenek ve E itim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak girece iniz Ö retmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler MATEMAT K ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmı tır. Sınav içeri inde yapılabilecek olası de i iklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

5 Ç NDEK LER. BÖLÜM SOYUT CEB R. Sayılar ve Özellikleri Rakam Sayma Sayıları Do al Sayılar Tam Sayılar Aralarında Asallık Rasyonel Sayılar rrasyonel Sayılar Reel Sayılar Tek ve Çift Sayılar Ardı ık Sayılar Negatif ve Pozitif Sayılar ile lgili Özellikler Tam Sayılarda Bölünebilme En Büyük Ortak Bölen En Küçük Ortak Kat Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler Euler {-Fonksiyonu... {-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri Kongrüanslar...3 Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik Asal Sayıların Bazı Özellikleri Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophant Denklemleri...8 ki veya Daha Fazla De i kenli Lineer Kongrüanslar kinci Dereceden Kalanlar Gruplar Tek lemli Cebirsel Yapı Türleri Mertebe Alt Gruplar Normal Alt Gruplar Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar Gruplarda Homomorfizm ve zomorfizm Homomorfizma zomorfizma Bölüm Grupları Devirli Gruplar Devirli Grupların Alt Grupları Üreteç Sayısı Çarpım Grupları...42 zomorf olmayan Abelyan Gruplar...43

6 vi 5. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi Alt Halka Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi Bölüm Halkası deal Nilpotent Eleman Polinom Halkası Cisim Cebirsel Sayı Transandant Sayı Sayılabilir Küme...47 Çözümlü Test...48 Çözümler...50 Çözümlü Test Çözümler...54 Çözümlü Test Çözümler...58 Çözümlü Test Çözümler...62 L NEER CEB R. Vektör Uzayları Tanım ve Aksiyomlar Vektör Uzayı ile Aksiyomları Önemli Vektör Uzayı Örnekleri Alt Vektör Uzayı Alt Uzayın Özellikleri Boyut ç Çarpım Uzayları ç Çarpım Norm Ortonormal Baz Schmidt Metodu Gram-Schmidt Metodu Alt Uzayın Bazları Direkt Toplam Uzayı ç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları Lineer Dönü ümler Temel Özellikler Germe Aksiyomu Lineer Ba ımsızlık Ortogonal zdü üm...95

7 vii 9. Matrisler ve Matris Uzayları Matris Toplamı Skaler ile Matris Çarpımı Matris Çarpımı Bir Matrisin Transpozu Kare Matrisler Bir Matrisin Tersi Matrisler ile Lineer Dönü üm Arasındaki li kiler Bir Lineer Dönü üme Kar ılık Gelen Matris Herhangi ki Vektör Uzay Arasındaki Lineer Dönü ümlerinin Matris Gösterimi Bir Lineer Dönü ümün Rankı Elemanter Operasyonlar (Basit lemler) Permütasyonlar Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar... 8 n-lineer Fonksiyonlar Determinantlar Determinant Fonksiyonun Özellikleri Sarrus Kuralı Determinant Açılımları Bir Lineer Dönü ümün Determinantı ve zi...30 Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümleri Lineer Denklem Sistemlerinin Determinantlarla Çözümleri Cramer Olmayan Sistemlerin Determinantlarla Çözümleri Matrisler ve Lineer Dönü ümlerin Polinomları Karakteristik De erler ve Karakteristik Denklemler Karakteristik De erler ve Karakteristik Vektörler Karakteristik Uzay Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem...38 Çözümlü Test...40 Çözümler...43 Çözümlü Test Çözümler...47 Çözümlü Test Çözümler...52 Çözümlü Test Çözümler...56 Çözümlü Test Çözümler...60

8

9 SOYUT CEB R

10

11 3 SOYUT CEB R. Sayılar ve Özellikleri. Rakam Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Kullandı ımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Rakamlarla olu turulan ifadelere sayı denir..2 Sayma Sayıları {, 2, 3, 4,...} kümesi sayma sayıları kümesi.3 Do al Sayılar N = {0,, 2, 3,...} kümesi N + pozitif do al sayılar kümesini ifade eder..4 Tam Sayılar Z = {..., 2,, 0,, 2, 3,...} kümesi Tam sayılar kümesi üç ana bölümden olu ur. Negatif tam sayılar (Z ), pozitif tam sayılar (Z + ) ve {0} kümesi Ayrıca Z = Z {0} Z +.5 Aralarında Asallık p ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayılarını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı ise p ve q aralarında asaldır denir..6 Rasyonel Sayılar Q = {p/q: p ve q aralarında asal, q 0} kümesi.7 rrasyonel Sayılar II = Q sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan p/q tipinde yazılamayan sayılardan olu ur. Yani rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayı denir..8 Reel Sayılar Rasyonel ve irrasyonel sayıların birle im kümesi R ile gösterilir. R = Q Q dur. a, b, c N olmak üzere 3a + 6b c = 24 e itli ini sa layan a, b ve c de erleri için en küçük a + b + c toplamının en küçük de eri kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 Katsayısı büyük olana büyük de er verilir. Sayılar aynı olabilece inden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur. a + b + c = 4 olur. a ve b do al sayılardır. 56. a = b 3 e itli ini sa layan en küçük b de eri kaçtır? Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır. 56 = a = a = b 3 dır. Buradan a = 7 2 seçilirse b = 2.7 = 4 bulunur. x, y, z Z olmak üzere, x. y = 2, y. z = 4 ve x. z = 3 e itliklerini sa layan x, y, z sayılarının en büyük toplamı en küçük toplamından kaç fazladır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 20 xy. 2 x = & = 3 & x = 3. z bulunur. yz. 4 z Bu ifade x. z = 3 e itli inde yerine yazılırsa 3z 2 = 3 z = " bulunur. z = için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8 z = için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8 bulunur. 8 ( 8) = 6'dır. Do ru seçenek C olarak elde edilir..9 Tek ve Çift Sayılar 2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar 2n, tek tam sayılar 2n ile gösterilir (n Z)..9. Tek ve Çift Tam Sayılar le lgili Özellikler ) T " T = Ç 5) Ç. Ç = Ç 2) Ç " Ç = Ç 6) T. T = T 3) T " Ç = T 7) n N olmak üzere T n = T 4) T. Ç = Ç 8) n N + olmak üzere Ç n = Ç' Tek ve çift sayılarda bölme i lemine ait kural tanımlanamaz. Örne in 40 çift sayıdır = Ç, = T, sayısı ne tek ne de çifttir

12 4.0 Ardı ık Sayılar n Z olmak üzere n, n +, n + 2,... sayılarına ardı ık tam sayılar denir. n R + için n. `n+ j n = 2 n Z olmak üzere 2n, 2n +, 2n + 3,... sayılarına ardı ık tek sayılar denir. n Z + için n = n 2 n Z olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4,... sayılarına ardı ık çift sayılar denir. n Z + için n = n(n + ) Ardı ık terimleri arasındaki artı miktarı e it olan dizide Son Terim lk Terim Terim Sayısı = Artı miktarı + ve Terim Toplamı = Terim Sayısı. (Son terim + lk terim). Negatif ve Pozitif Sayılar le lgili Özellikler ) ( ). ( ) = (+) 5) ( ) / ( ) = (+) 2) ( ). (+) = ( ) 6) ( ) / (+) = ( ) 3) (+). (+) = (+) 7) (+) / (+) = (+) 4) (+). ( ) = ( ) 8) (+) / ( ) = ( ) 9) n N olmak üzere ( ) 2n = (+) 0) n N olmak üzere ( ) 2n = ( ) ) n N olmak üzere (+) n = (+).2 Tam Sayılarda Bölünebilme m, n, r Z olmak üzere m. n = r olsun. Bu durumda m ve n'ye r'nin bölenleri (çarpanları) r'ye de m ve n'nin bir katı denir. m, r'nin bir böleni ise bu durum m r ile, aksi takdirde m ) r ile gösterilir ile bölünebilme: Çift tam sayılar 2 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı ise sayı 3 ile tam bölünebilir ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basama ı (birler ve onlar basama ı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının birler basama- ı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları altına sa dan sola do ru sırasıyla 3, 2, sayıları yazılır. Bu rakamlar altlarına yazdı ımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sa dan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basama ı (birler, onlar ve yüzler basama ı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünebilir ile bölünebilme: Verilen sayının birler basama ı 0 ise verilen sayı 0 ile tam bölünür..2.9 ile bölünebilme: Verilen sayı sa dan sola do ru sırası ile (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç veya 'in katı ise verilen sayı ile tam bölünür. Verilen ba ıntılarda sayı istenilen sayıya tam bölünmüyorsa kalan kolaylıkla bulunur. Örne in 256 sayısının 5 ile bölümünden kalan 6'nın 5 ile bölümünden kalana e it ve ' Hangi n do al sayıları için (n + ) (n 2 + ) n 2 = (n )(n + ) oldu undan n N için (n + ) (n 2 ) (n + ) (n 2 + ) ve (n + ) (n 2 ) oldu undan n + [(n 2 + ) (n 2 )] n + 2 olur. NOT n N oldu undan ve n + 2 olması gerekti inden n = 0, elde edilir. [, x] aralı ında n ile bölünebilen do al sayıların sayısı x & 0 n a Z ve m, n N olsun. n < m için a n 2 + m 2 a n 2 olmak üzere n ve k iki do al sayı olsun. n n k

13 5 n bir do al sayı ve k bir tek sayı olsun. ( n) ( k + 2 k n k ) dır. a, b Z olsun. a sayısı b ile bölündü ünde kalan r ise 2 a sayısı 2 b ile bölündü ünde kalan 2 r ' N = n(n + ) sayısının 4 ile bölünebilmesi için n en az kaç olmalıdır? {n 2 + 8n 22 : n Z} kümesinin 03 ile bölünen, 000'den küçük olan en büyük elemanını bulunuz. n 2 + 8n 22 = 03. k ise n 2 + 8n (03k 22) = 0 denkleminin köklerini tam sayı yapan k tam sayılarını bulalım. Köklerin tam sayı olması için = 8 + (03k 22) = 03(k + ), ifadesi bir tam sayının karesi olmalıdır. Bunun için de a Z olmak üzere k + = 03. a 2 seçilmeli Bu durumda, n 2 + 8n (03k + 22) = 0 denkleminin kökleri n = 9 " 03 a biçiminde olacaktır. a = 9 seçilirse n = 98 olur. N = n(n + ) = ( 2 + ) + ( ) (n 2 + n) = ( n 2 ) + ( n) n`n+ j`2n+ j n. `n+ j = n`n+ j`n+ 2j = 3 sayısının 4 ile bölünebilmesi için n(n + ) (n + 2) çarpanlarından en az biri 4'e bölünmeli n + 2 = 4 n = 39 olmalıdır. m, n ve r tam sayı olmak üzere, i) m Z iken a l 0 dır. ii) m Z için ± l m ve ±m l m iii) iv) m l ± m = " m l n ise ±m l ±n {, 2,..., 600} dizisinde 3 ile bölünebilen kaç tane do al sayı vardır. v) m l n ve n l r ise m l r vi) m l n ve n l m ise m = ±n vii) c 0 olmak üzere cm l cn ise m l n m m. viii) n ve 2 m m n ise 2 2 n. n ' = 46 adettir. 3 ix) m l n ve m l r ise m l n+r 000'den küçük kaç do al sayı 7 ile bölünür? [, 000] kümesinde 000 ) 3 = 58 ve 0 N için olup toplam 58 + = 59 adet sayı 7 ile bölünebilir. Tanım: (Asal Sayı) : n > tam sayısının kendisinden ve birden ba ka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir. Tanım: (Bile ik Sayı): Asal olmayan sayılara bile ik (= combined) sayı denir. Tanım: Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir. Her bile ik sayının en az bir asal çarpanı vardır. Teorem (Euclid): Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

14 6 Uyarı: Bir sayının tüm bölenlerinin sayısı pozitif bölenlerinin sayısının iki katıdır. Kural (Bir sayının asallık testi): Verilen sayının karekökü yakla- ık olarak hesaplanır. Bu sayıya kadar olan asallar tespit edilir. Verilen sayı bulunan asallara tam bölünmüyorsa verilen sayı asaldır. Aksi hâlde bile ik sayıdır. Örne in; 42 sayısının asal olup olmadı ına bakalım. 42, 20, 58 olup 20'ye kadar olan asal sayılar 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9 olup bu sayılar 42 sayısını tam olarak bölmez. Dolayısıyla 42 sayısı asal sayıdır. Burada 42 den küçük olan asal sayıları incelemek yeterlidir, çünkü ılık bir de olur. 42 den büyük bir asal çarpan varsa buna kar- 42 den küçük olan bir asal çarpan mevcut r 0 ise r, r 2 ye bölünür ve kalanının sıfırdan farklı olması hâlinde bu bölmelere devam edilir. Bu ekilde pozitif tam sayıların azalan bir r, r 2,..., r k, r k dizisi elde edilir. n'den küçük pozitif tam sayıların sayısı sonlu oldu undan dizi sonlu olmalıdır. Yani belli bir k için r k+ = 0 olmalıdır. Yani yukarıdaki bölmeler yardımıyla sonlu adımdan sonra sıfır kalanı elde edilecektir. Kısaca algoritmada kalanı sıfır yapana kadar bölme yapılır. Euclid algoritmasında yapılan kalanlı bölmelerde sıfırdan farklı en son r k kalanı m ve n sayılarının obeb'i Yani (m, n) = r k dır. 972 ve 429 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır? Teorem (Bölme Algoritması): m, n Z, m, n 0 ise m = q. n + r; 0 < r < n olacak ekilde bir tek q ve r tam sayı ikilisi vardır..3 En Büyük Ortak Bölen: m ve n tam sayılar olmak üzere k m ve k n ise k'ya m ve n'nin bir ortak böleni denir. m ve n'yi bölen en büyük pozitif d tam sayısına m ve n'nin en büyük ortak böleni (=obeb = ebob) denir. d = (m, n) ile gösterilir. 972 = = = = = (ebob) 6 = oldu undan obeb 3 bulunur. Uyarı ) Tanıma göre d'nin m ve n'nin obeb'i olması için gerek ve yeter art i) d m ve d n olması, ii) k, k m ve k n özelli indeki bir ba ka ortak bölen iken k d olmasıdır. 2) kiden fazla sayının obeb'i de benzer ekilde tanımlanır. Uyarı Obeb verilen tam sayıların pozitif lineer toplamlarının en küçü üdür. Sıfırdan farklı iki tam sayının obeb'i tektir. Tanım (Euclid Algoritması): m, n sıfırdan farklı tam sayılar olsun. (m, n) = ( m, n) = (m, n) = ( m, n) oldu undan genelli i bozmaksızın; m, n N alabiliriz. m n olsun. Bölme algoritmasından, m = q. n + r, 0 r < n olacak ekilde q, r Z yazabiliriz. r = 0 ise n m, bu durumda m ile n'nin obeb'i n olur. r 0 ise n = q 2. r + r 2 ; 0 r 2 < r olacak ekilde q 2, r 2 Z bulunabilir. (n'yi r 'e böldük.) 570, 80, 495 ve 25 sayıların en büyük ortak böleni kaçtır? Bu tip sorularda iki erli hesaplama yapılır. (570,80) de erini bulalım. 80 = = = = (ebob) 60 = hesaplanır. imdi buldu umuz ebob ile sonraki sayının ebob'unu bulalım. Burada (570, 80) yerine 30 yazılabilir. (30, 495, 25) ebob'unu bulalım. Bunun için (30, 495) ebob'unu bulmalıyız. 495 = = Benzer metotla devam ederek (5, 25) = 5 olur. Buradan istenilen sonuç yani ( ) = 5'

15 7 Tanım: n 2 olmak üzere hepsi birden sıfır olmayan a,..., a n tam sayıları için ayet (a,..., a n ) = ise bu tam sayılara aralarında asal denir. Ayrıca i j için (i, j =, 2,..., n); (a i, a j ) = ise a,..., a n sayılarına aralarında iki er iki er asal sayılar denir. x N olmak üzere p = x 3 eklindeki tüm p asallarını bulunuz. m ve n sıfırdan farklı tam sayılar olsun m ve n'nin aralarında asal olmaları için gerek ve yeter art = mx + ny olacak ekilde x, y Z nin bulunmasıdır. m n ^mn, h = d+ b, l = ' d d (a, b) = ve (a, c) = ise (a, b, c) = ' a b. c ve (a, b) = ise a c.4 En Küçük Ortak Kat: a, b sıfırdan farklı tam sayılar olsun. a) k N olmak üzere a k ve b k ise k'ya a ve b'nin bir ortak katı denir. b) k, a ve b'nin bir ortak katı olsun. E er t; a ile b'nin bir ba ka ortak katı iken k t ise k'ya a ile b'nin en küçük ortak katı (ekok) denir ve [a, b] = k ile gösterilir. a, b 0 iki tam sayı ise (a, b). [a, b] = a. b P = (x ) (x 2 + x + ) sayısının çarpanları p.. p ( ). ( p) ( p). ( ) tipinde x = x = 2, p = = 7 asaldır. x = x = 0, p = asal de il x 2 + x + = x (x + ) = 0 x = 0 veya x = p = asal de il p = 2 asal de il x 2 + x + = x 2 + x + 2 = 0 " x,2 = g N 2 Çözüm kümesi x = {7} x N olmak üzere p = x 2 olacak ekildeki tüm p asal sayılarını bulunuz. 26x + 4y = (26,4) ba ıntısını sa layan öyle x ve y tam sayıları bulunuz ki, x pozitif ve mümkün oldu u kadar küçük olsun. P = (x ) (x + ) sayısının çarpanları. p P asal oldu undan çarpanı ve kendisi p. ( ). ( p) ( p). ( ) tipinde x = x = 2, p = 3 asaldır. x + = x = 0, p = asal de il. x = x = 0, p = asal de il x + = x = 2 + x = 2 N Çözüm kümesi p = {3} (26,4) = 2 oldu undan 26x + 4y = 2 3x + 7y = e itli ini sa layan en küçük pozitif x tam sayısı bulunacaktır. 3x + 7y = y = 3x + x 4x = x = 2x 7 ifadesinin tam sayı olması için + x = 7 x = 6 olmalıdır.

16 8 (a, 4) = 2 ve (b, 4) = 2 iken (a + b, 4) nedir? Tanımda verilen a ve b sayılarının obeb'i ise her zaman Z'de çözüm vardır. NOT Çözüm (a, 4) = 2 oldu undan a = 2m olacak biçimde bir m tek sayısı ve (b, 4) = 2 oldu undan b = 2n olacak ekilde bir n tek sayısı vardır. E er m ve n sayısı tek olmasaydı, (a, 4) = (b, 4) = 4 olurdu. a + b = 2m + 2n = 2(m + n) olur. m ve n tek oldu undan, m + n çifttir. m + n = 2k denirse a + b = 4k bulunur. Bu durumda (a + b, 4) = (4k, 4) = 4(k, ) = 4 bulunur. 2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler Tanım: a, b, c Z, a. b 0 olmak üzere x, y çözümleri tam sayı olan ax + by = c eklindeki denklemlere lineer diophant denklemi denir. ax + by = c Lineer Diophant Denkleminin bir çözümü olması için gerek ve yeter art d = (a, b) olmak üzere d c olmasıdır. (a, b) = d olmak üzere d c olsun. Bu takdirde ax + by = c Lineer Diophant Denkleminin bir çözümü (x 0, y 0 ) ise denklemin genel çözümü t Z için, Z b ] x = x0 + t d [ a ] y = y0 t \ d eklinde 4x + 22y = 50 denkleminin genel çözümünü bulunuz. x + 27y = 4 denkleminin çözümünü inceleyelim. ve 27'nin lineer toplamı olarak verilmi Euclid algoritmasından 27 = = obeb 5 = = (27,) = 2. 5 = 2. (27 2. ) = ( 2) e itli ini 4 ile çarparsak 4 =. (20) ( 8) bulunur. Burada x 0 = 20, y 0 = 8 bir özel çözümdür. Bu denklemin ( 34,4) ve ( 7,3) gibi ba ka çözümleri de bulunabilir. Her diophant denklemin çözümü olmak zorunda de il Örne in; 2x + 4y = 7 :;;;; < + çift tek denkleminin Z'de çözümü yoktur veya 3x + 9y = denkleminin çözümü olması için e itli in sa tarafı 3'ün katı olmalıdır. 3x + 9y = 4 Ç.K. = Ø NOT 22 = = = obeb (4,22) 6 = = 8 6 = (22 4) (4 8) = (22 4) (4 (22 4)) = 4. ( 3) (2) 2 = 4. ( 3) (2) e itli inin her iki tarafını 25 ile çarparsak 50 = 4. ( 75) (50) olup (x 0,y 0 ) = ( 75, 50) verilen denklemin bir çözümüdür. Buradan genel çözüm; a = 4, b = 22, d = 2, c = 50 için Z ] x = x b 0 +. t d [ : t g Z a ] y = y0. t \ d olup x = 75 + t * y = 50 7t olarak bulunur. Bu tür denklemlerin özel çözümleri deneme yoluyla da bulunabilir. p, asal sayısı için p a. b ise p a veya p b

17 9 p asal sayı de il ise bu teorem do ru olmaz. Örne in; fakat 8A4 ve 8A2 NOT 504 sayısının pozitif bölenlerini ve pozitif bölenlerinin toplamını bulunuz. Sonuç: p asal ve p a. a a n ise en az bir i n için p a i Sonuç: p, p, p 2,..., p n asal sayılar ve p p p 2... p n ise en az bir i n için p = p i n > tam sayısı çarpanların sırası hariç bir tek ekilde asal çarpanlarına ayrılabilir. Uyarı: n = p. p 2... p k yazılımında asal p i çarpımlarının bazıları e it olabilir. p i çarpanı bu yazılımda i kez yer alıyorsa n sayısı kısaca; t a n p a. p 2 a 2... p t a = t = p i % i ( t # k) i = eklinde yazılabilir. Bu son yazılıma n sayısının standart formu denir. Örne in; 60 sayısının standart formu 60 = n > tam sayısının pozitif bölenlerinin sayısını s(n) ile gösterelim.. k k a n P i = % i & s( n) = %`ai+ j i = i = NOT 504 = olup s(504) = = 24 olur t^504h =.. = = 560 ' dır Uyarı: Örnekten de görüldü ü gibi t(n) de eri (P 0 + P + P 2 a i P ). (P2 0 a P 2 )... (Pk a k P k ) çarpımı ile de hesaplanabilir. Uyarı: Özel olarak t() = s() = tanımlanır. Tanım: t(n) = 2n ise n tam sayısına mükemmel sayı denir. n t(n) _ b b b ` b b b a p asal ise p mükemmel sayı olamaz. lk dört mükemmel sayı 6, 28, 496 ve 828' n > tam sayısının pozitif bölenlerinin toplamını t(n) ile gösterelim. NOT Bir do al sayının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır. NOT % % k k a P i+ a i n = P i i & t( n) = Pi i = i = n > tam sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı sn ( ) n 2 n > tam sayısının tüm bölenlerinin çarpımı ( ) s(n). n s(n)

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 30 soru ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ - DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde 30. yıl Fikret Hemek ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Analiz-Diferansiyel Denklemler

Detaylı

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK KPSS Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2014 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların,

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-318-010-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR 00 00 005 006 007 008 009 00 0 Temmuz Dahil Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN 978-975-879-06- Kitapta yer alan bölümlerin tüm

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Komisyon DİKEY GEÇİŞ SINAVI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Komisyon DİKEY GEÇİŞ SINAVI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Komisyon DİKEY GEÇİŞ SINAVI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN 78-60-8-- Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

KPSS EĞİTİM BİLİMLERİ. gelişim psikolojisi öğrenme psikolojisi rehberlik ve özel eğitim program geliştirme

KPSS EĞİTİM BİLİMLERİ. gelişim psikolojisi öğrenme psikolojisi rehberlik ve özel eğitim program geliştirme kpss 2015 Yeni sorularla son sınav sistemine göre hazırlanmıştır. ezberbozan ezberletmezöğretir! KPSS EĞİTİM BİLİMLERİ SORU BANKASI gelişim psikolojisi öğrenme psikolojisi rehberlik ve özel eğitim program

Detaylı

MATEMATİK 29. KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. yıl. Eğitimde. konu anlatımlı

MATEMATİK 29. KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. yıl. Eğitimde. konu anlatımlı KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla çözebildiğini açıkladı. konu

Detaylı

kpss ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde

kpss ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde kpss ezberbozan serisi 2016 MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI Eğitimde 29. yıl KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-360-0 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

ÖABT SORU BANKASI. FEN BİLİMLERİ FEN ve TEKNOLOJİ FİZİK ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ. Tamamı Çözümlü

ÖABT SORU BANKASI. FEN BİLİMLERİ FEN ve TEKNOLOJİ FİZİK ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ. Tamamı Çözümlü ÖABT 2015 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT FEN BİLİMLERİ FEN ve TEKNOLOJİ FİZİK SORU BANKASI Tamamı Çözümlü KOMİSYON ÖABT Fen Bilimleri/ Fen ve

Detaylı

ÖABT. Soruları yakalayan 2015 komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI.

ÖABT. Soruları yakalayan 2015 komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI. ÖABT Soruları yakalayan 2015 komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI Tamamı Çözümlü Komisyon ÖABT SINIF ÖĞRETMENLIĞI SORU BANKASI ISBN 978-605-318-124-8

Detaylı

ALES. ÇIKMIŞ SORULAR Tamamı Çözümlü. ales AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI.

ALES. ÇIKMIŞ SORULAR Tamamı Çözümlü. ales AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI. ales 2013 ÖSYM'nin Sorduğu Tüm Sorular AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI ALES ÇIKMIŞ SORULAR Tamamı Çözümlü 2007. 2008. 2009. 2010. 2011. 2012 Kasım Dahil Komisyon ALES Tamamı Çözümlü

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

MEB YURT DIŞINDA GÖREVLENDİRİLECEK ÖĞRETMENLERİN MESLEKİ YETERLİLİK SINAVLARINA HAZIRLIK EL KİTABI. Millî Eğitim Bakanlığı

MEB YURT DIŞINDA GÖREVLENDİRİLECEK ÖĞRETMENLERİN MESLEKİ YETERLİLİK SINAVLARINA HAZIRLIK EL KİTABI. Millî Eğitim Bakanlığı Millî Eğitim Bakanlığı MEB 2013 YURT DIŞINDA GÖREVLENDİRİLECEK ÖĞRETMENLERİN MESLEKİ YETERLİLİK SINAVLARINA HAZIRLIK EL KİTABI Türkçe Sosyal Bilimler Mesleki Bilgi Genel Kültür EN SON YAPILAN DEĞİŞİKLİKLERLE

Detaylı

ISBN Sertifika No: 11748

ISBN Sertifika No: 11748 ISN - 978-0--- Sertifika No: 78 GENEL KOORDİNTÖR: REMZİ ŞHİN KSNKUR REDKTE: REMZİ ŞHİN KSNKUR SERDR DEMİRCİ - SRİ ŞENTÜRK SERVET SVŞ ÇETİN as m Yeri: UMUT MTCILIK - MERTER / STNUL u kitab n tüm bas m ve

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

kpss Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. öğretim ilke ve yöntemleri 20 deneme tamamı çözümlü

kpss Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. öğretim ilke ve yöntemleri 20 deneme tamamı çözümlü kpss 2014 Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. öğretim ilke ve yöntemleri 20 deneme tamamı çözümlü Komisyon KPSS ÖĞRETİM İLKE VE YÖNTEMLERİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 20 DENEME ISBN- 978-605-364-663-1

Detaylı

LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÖABT 2015 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Konu Anlatımı Özgün Sorular Ayrıntılı Çözümler Test Stratejileri

Detaylı

matematik kpss soru yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme

matematik kpss soru yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme kpss 04 akıcı ayrıntılı güncel konu anlatımları örnekler yorumlar uyarılar pratik bilgiler ösym tarzında özgün sorular ve açıklamaları matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme 0 kpss de 85

Detaylı

İç Denet m Başarısı Üzer ndek Önem. Dr. Ramazan YANIK

İç Denet m Başarısı Üzer ndek Önem. Dr. Ramazan YANIK B l şsel Yetenekler n İç Denet m Başarısı Üzer ndek Önem Dr. Ramazan YANIK Dr. Ramazan YANIK Bilişsel Yeteneklerin İç Denetim Başarısı Üzerindeki Önemi ISBN 978-605-364-507-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu

Detaylı

PEGEM DENEME den DENEME ALES ALES i DENEME ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI YENİ

PEGEM DENEME den DENEME ALES ALES i DENEME ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI YENİ PEGEM DENEME den i DENEME ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI YENİ KOMİSYON TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI SAYISAL VE EŞİT AĞIRLIK ISBN 978-605-364-14-5 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem

Detaylı

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÇÖZÜMLER. a b ve b a a b, a, b a b a b ve b c a c olduğundan a b ve c d ise a c b d olmayabilir. ve 5., ve olduğundan sonsuz çözüm vardır...9.9

Detaylı

Komisyon ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Komisyon ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Komisyon ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-203-0 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. 2016, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z. MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

ÖSYM. kpss. yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. GENEL KÜLTÜR VATANDAŞLIK DENEME. Gerçek Sınav Tadında...

ÖSYM. kpss. yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. GENEL KÜLTÜR VATANDAŞLIK DENEME. Gerçek Sınav Tadında... kpss 2014 ÖSYM yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. GENEL KÜLTÜR VATANDAŞLIK 30 DENEME Gerçek Sınav Tadında... Komisyon VATANDAŞLIK 30 DENEME ISBN 978-605-364-707-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm

Detaylı

matematik kpss soru yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme

matematik kpss soru yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme kpss 04 akıcı ayrıntılı güncel konu anlatımları örnekler yorumlar uyarılar pratik bilgiler ösym tarzında özgün sorular ve açıklamaları matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme 0 kpss de 85

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

Şener Büyüköztürk Ömay Çokluk Nilgün Köklü

Şener Büyüköztürk Ömay Çokluk Nilgün Köklü Şener Büyüköztürk Ömay Çokluk Nilgün Köklü Gözden Geçirilmiş 15. Prof. Dr. Şener BÜYÜKÖZTÜRK Doç. Dr. Ömay Çokluk Prof. Dr. Nilgün Köklü Sosyal Bilimler İçin İSTATİSTİK ISBN 978-975-6802-33-5 Kitap içeriğinin

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ-İSTATİSTİK VE OLASILIK

İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ-İSTATİSTİK VE OLASILIK ÖAT 015 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ-İSTATİSTİK VE OLASILIK Geometri: Doç. Dr. Hakan Efe İstatistik ve Olasılık:

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR ÖZEL EGE LĠSESĠ ġeklġndekġ ĠFADELERĠN SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠ: Ersin ĠSTANBULLU DANIġMAN ÖĞRETMEN: Defne TABU ĠZMĠR 2013 ĠÇĠNDEKĠLER 1.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin. konu anlatımlı

GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin. konu anlatımlı KPSS Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans Adayları İçin GEOMETRİ KPSS 206 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 204 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 00'ün üzerinde soruyu kolaylıkla çözebildiğini

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

YGS MATEMATİK SORU BANKASI

YGS MATEMATİK SORU BANKASI YGS MATEMATİK SORU BANKASI Sebahattin ÖLMEZ www.limityayinlari.com Sınavlara Hazırlık Serisi YGS Matematik Soru Bankası ISBN: 978-60-48--9 Copyright Lmt Limit Yayınları Bu kitabın tüm hakları Lmt Limit

Detaylı

EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ

EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ 0 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. SAYILAR Z{,-,-,-,0,,,, } Z - {,-,-,-} negatif tam sayılar kümesi {0} (elemanı 0 olan bir küme) Z + {,,,,n,n+, } pozitif

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

KPSS 2015 EĞİTİM BİLİMLERİ ÖĞRETİM İLKE YÖNTEMLERİ. Tamamı Çözümlü DENEME. Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır.

KPSS 2015 EĞİTİM BİLİMLERİ ÖĞRETİM İLKE YÖNTEMLERİ. Tamamı Çözümlü DENEME. Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. EĞİTİM BİLİMLERİ KPSS 2015 Birincilerin Tercihi ÖĞRETİM İLKE ve YÖNTEMLERİ Tamamı Çözümlü 20 DENEME Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. Komisyon KPSS ÖĞRETİM İLKE VE YÖNTEMLERİ TAMAMI

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim.

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim. SINIF ÇARPANLAR ve KATLAR www.tayfunolcum.com 8.1.1.1: Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade ya da üslü ifadelerin çarpımı seklinde yazar. Çarpan ( bölen ) Her

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme

matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme kpss 2014 Yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır. matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme geometri soru bankası tamamı çözümlü Kenan Osmanoğlu, Kerem Köker KPSS Matematik-Geometri

Detaylı

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I Üniversite Hazırlık / YGS Kolay Temel Matematik 0 KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I. 8 ( 3 + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) A) B) 0 C) D) E) 3. 7 3. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 0

Detaylı

İş Birlikli Öğrenme Teknikleri ve Türkçe Öğretimi

İş Birlikli Öğrenme Teknikleri ve Türkçe Öğretimi İş Birlikli Öğrenme Teknikleri ve Türkçe Öğretimi İlköğretim II. Kademe İçin Örnek Etkinlikler DR. ABDULLAH ŞAHİN Dr. Abdullah Şahin İş Birlikli Öğrenme Teknikleri ve Türkçe Öğretimi (İlköğretim II. Kademe

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Komisyon İKTİSAT ÇEK KOPAR YAPRAK TESTİ ISBN 978-605-364-577-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Komisyon İKTİSAT ÇEK KOPAR YAPRAK TESTİ ISBN 978-605-364-577-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Komisyon İKTİSAT ÇEK KOPAR YAPRAK TESTİ ISBN 978-605-364-577-1 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. 2014 Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

ALES. sýnavlarına en yakın. tek kitap SÖZEL ADAYLAR İÇİN ALES KONU ANLATIMI. Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker

ALES. sýnavlarına en yakın. tek kitap SÖZEL ADAYLAR İÇİN ALES KONU ANLATIMI. Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker ALES 2016 sýnavlarına en yakın tek kitap SÖZEL ADAYLAR İÇİN ALES KONU ANLATIMI Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu Kerem Köker ALES KONU ANLATIMLI SÖZEL ADAYLARA 978-605-364-571-9

Detaylı

OLİMPİK MATEMATİK MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK İÇİN İLK ADIM ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ

OLİMPİK MATEMATİK MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK İÇİN İLK ADIM ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ OLİMPİK MATEMATİK MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK İÇİN İLK ADIM ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR 2016 İÇİNDEKİLER Bölüm 1: SAYILAR.... 7 Bölüm 2: ÇARPANLARA AYIRMA 73 Bölüm 3:ORAN ORANTI VE PROBLEM

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

İKTİSAT SORU BANKASI ECONOMICUS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ DİLEK ERDOĞAN KURUMLU TEK KİTAP

İKTİSAT SORU BANKASI ECONOMICUS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ DİLEK ERDOĞAN KURUMLU TEK KİTAP ECONOMICUS İKTİSAT SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Mikro İktisat Makro İktisat Para-Banka Kredi Uluslararası İktisat Büyüme ve Kalkınma Türkiye Ekonomisi İktisadi Doktrinler Tarihi KPSS ve kurum sınavları

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Mutlak Değerin Sayıya Eşitliği % % Sayılar Akıl Yürütme % % Okek Dikdörtgen Birleştirme % % Kesirlerin Okeki % % Obeb Problemleri % % Obeb Denklemi

Detaylı

kpss ezberbozan serisi VATANDAŞLIK SORU BANKASI Eğitimde

kpss ezberbozan serisi VATANDAŞLIK SORU BANKASI Eğitimde ezberbozan kpss serisi 2016 VATANDAŞLIK SORU BANKASI Eğitimde 29. yıl KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN VATANDAŞLIK SORU BANKASI ISBN 978-605-318-362-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Okek Bölünebilme % % Obeb Problemleri % % % Obeb - Okek % % Basit ve Bileşik Kesirler % % Okek Denklemi % % Paydaları Eşitlenemeyen Kesirler % % Okek

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

Meslek Yüksek Okulları İçin UYGULAMALI MATEMATİK. İstanbul, 2009

Meslek Yüksek Okulları İçin UYGULAMALI MATEMATİK. İstanbul, 2009 i Meslek Yüksek Okulları İçin UYGULAMALI MATEMATİK Yrd.Doç.Dr. Kamil TEMİZYÜREK Beykent Üniversitesi Öğretim Üyesi Yrd.Doç.Dr. Nurdan ÇOLAKOĞLU Beykent Üniversitesi Öğretim Üyesi İstanbul, 2009 ii Yay

Detaylı

kpss türkiye'nin en çok satan ders notları COĞRAFYAdan

kpss türkiye'nin en çok satan ders notları COĞRAFYAdan kpss 2013 ders notları türkiye'nin en çok satan kim korkar CĞRAFYAdan ' Özgün onu Anlatımı Haritalı ve Tablolu Tekrarlar Görsel Sunumlar Güncel Veriler ve Projeler statistiki Bilgiler Önder CENGZ & Mesut

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar,

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar, ÖN SÖZ eğerli daylar, Okul ve meslek yaşamının en önemli sınavlarından birine, Kamu Personeli Seçme Sınavı(KPSS) na hazırlanmaktasınız ve buradaki başarınız gelecekteki iş yaşamınızı ciddi şekilde etkileyecek.

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

kpss 2013 muhasebe ÖSYM sınav formatına %100 uygun

kpss 2013 muhasebe ÖSYM sınav formatına %100 uygun kpss 2013 muhasebe ÖSYM sınav formatına %100 uygun 10 tamamı çözümlü Komisyon KPSS MUHASEBE TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-223-7 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

MUHASEBE SORU BANKASI R E D I T U S TAMAMI ÇÖZÜMLÜ PERİL ÖZERGÜN - SAADET ERDEM

MUHASEBE SORU BANKASI R E D I T U S TAMAMI ÇÖZÜMLÜ PERİL ÖZERGÜN - SAADET ERDEM R E D I T U S MUHASEBE SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Temel Kavramlar Muhasebe Standartları Genel Muhasebe Maliyet Muhasebesi Şirketler Muhasebesi Mali Analiz KPSS ve kurum sınavları için özgün sorulardan

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı