Atatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar

Save this PDF as:

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Atatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar"

Transkript

1 Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 07

2 Bölme, Bölünebilme, Obeb-Okek MATEMATİK. BÖLME, BÖLÜNEBİLME, OBEB- OKEK Bölme aşağıdaki gibi.. BÖLME Bölme, çarpma işleminin tersidir. x, y,z,k olmak üzere, Bölüm 00 dir. gösterilir. Bu ifade x z y k biçiminde de gösterilir. Burada, x : bölünen sayıyı, y : bölen sayıyı, z : bölüm sayısını, k : kalan sayıyı ifade eder. Buna göre, 0 k y dir. k 0 ise bölme kalansız bölme olarak tanımlanır. Bölme işleminde y ve z yer değiştirebilir. A sayısı B sayısına bölününce bölüm 6 kalan 7 dir. B sayısı C sayısına bölününce bölüm 7 kalan 8 dir. A sayısı C sayısına bölündüğünde kalan kaç olabilir? Bölme işlemlerinin her biri için eşitlikler yazılırsa: A B6 7 ve B C7 8. B A (C7 8) 6 7 A C A C 8 7 A C sayısının bölümünde bölüm ve kalan nedir? ün e bölümü aşağıdaki biçimde yazılabilir: A sayısı B sayısına bölününce bölüm 7 kalan 8 dir. B sayısı C sayısına bölününce bölüm kalan 9 dir. A sayısı sayısına bölündüğünde kalan kaç olur? Kalan olabilir. kalan:, bölüm: olur. 7 sayısının e bölümünde elde edilen kalan ve bölüm toplamı kaçtır? 7 in e bölümü hem kalan hem de bölüm 7 dir. Toplam 7 dir. ababab sayısının ab ye bölümünde bölüm nedir? Bölme işlemlerinin her biri için eşitlikler yazılırsa: A B7 8 ve B C 9. B A (C 9) 7 8 Kalan dir. A C A C8 6 8 A C8 7 A C8 70 A (C ) A (C ) A D D Matematik Eğitimi /

3 MATEMATİK A sayısı B sayısına bölününce bölüm 8 kalan 9 dir. B sayısı C sayısına bölününce bölüm 9 kalan 9 dir. A sayısı C sayısına bölündüğünde kalan ile bölüm toplamı kaç olur? Bölme işlemlerinin her biri için eşitlikler yazılırsa: A B8 9 ve B C9 9. B A (C9 9) 8 9 A C A C7 9 A C7 6 Kalan ile bölüm toplamı: 7 6 dür. A,B,C olmak üzere Bölme, Bölünebilme, Obeb-Okek Bölme işlemine göre eşitlik yazılırsa: dır. Buna göre A B C A BC A (B C) A A A dir. Yandaki bölme işleminde pozitif x tamsayısının değeri nedir? Bölme işlemi için eşitlik yazılırsa: 8 (x ) 6 (x ) 8 x 8 x 8 x 9 x 9 x Pozitif x tamsayısı dür. Verilen bölme işlemine göre, C nin alabileceği kaç değer vardır? Yandaki bölme işleminde pozitif x tamsayısının değeri nedir? Bölme koşullarına göre kalan her zaman bölen den küçük olma durumundadır. Yani; c olmalıdır. Bu durumda c,,,, olmak üzere tanedir. Bölme işlemi için eşitlik yazılırsa: 77 (x )(x ) (x ) 77 6x 8x x x 77 6x x a sayısının 7 ile bölümünde bölüm 9 ve kalan ise a kaçtır? 6x x 80 0 (x 0)(x ) 0 6x x 77 0 Bölme işleminin eşitliği yazılırsa: a 79 a 6 a 6 x 0 0 x 0 x 0 : x Pozitif x tamsayısının değeri tür... BÖLÜNEBİLME Yandaki bölme işlemine göre A B C çarpımı kaçtır? Bölünebilme, bir p sayısının bir q sayısına kalansız olarak bölünmesi olarak ifade edilir. Matematik Eğitimi /

4 Bölme, Bölünebilme, Obeb-Okek... BÖLÜNEBİLME KURALLARI Bölünebilme kuralları kalansız bölme için ifade edilir. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Sıfır (0), kendisi hariç tüm sayılara bölünür. Sıfır (0) hariç tüm sayılar kendisine bölünür. Tüm sayılar bir () e bölünür.... İKİ () İLE BÖLÜNEBİLME Birler basamağı 0,,, 6, 8 olan doğal sayılar ile tam bölünür. İki ile bölünebilen sayılara çift sayılar denir.,, 08, 69876, gibi sayılar ile tam bölünür. Rakamları farklı basamaklı 9a sayısının ile bölünebilmesi için a rakamının alabileceği değerler toplamı kaçtır? Sayının ile bölünebilmesi için a 0,,,6,8 olmalıdır. Sayının rakamları farklı olacağından a ve a olamaz. Buna göre a 0,6,8 olmak zorundadır. MATEMATİK Rakamları farklı basamaklı a7a sayısının ile bölünebilmesi a nın alabileceği rakamların toplamı kaçtır? Sayının ile bölünebilmesi içi rakamlarının toplamı ün katı olmalıdır. Buna göre a 7 a a olmalıdır. a a a nın aldığı, veya 7 değerleri için sayı ile tam bölünür. Toplam: = dir.... DÖRT () İLE BÖLÜNEBİLME Sayının son iki basamağı 00 veya ün katı olan her sayı ile tam bölünür. Bir sayının ile bölümündeki kalan, sayının son iki basamağının ile bölümündeki kalandır. Toplam: ÜÇ () İLE BÖLÜNEBİLME Sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı ün katları ise sayı ile tam bölünür. Bir sayının ile bölümündeki kalan, sayının rakamlarının sayı değerleri toplamının ile bölümündeki kalandır. 7, 896,, 78, gibi sayılar ile tam bölünür. 6, 00, 6, 688, gibi sayılar ile tam bölünür. Dört basamaklı 87a sayısının ile bölünebilmesi için a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? ile tam bölüm için bir sayının son iki basamağını oluşturan sayının ile tam bölünmesi gereklidir. Buna göre; a sayısının alabileceği durumlar 0, ve 8 dir. Bu durumda a 0, a veya a 8 olmalıdır. Toplam: 0 8 dir. Matematik Eğitimi /

5 MATEMATİK Dört basamaklı 86a sayısının ile bölümünden kalan ise a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? Son iki basamak: a. a sayısının ile bölümünden kalan ise a,,9 olmalıdır. a sayısı, veya 9 olmak zorundadır. a nın alabileceği değerler toplamı: 9 Bölme, Bölünebilme, Obeb-Okek Rakamlar çarpımı: 7 80 Rakamları farklı basamaklı 8a sayısının hem ile hem de ile tam bölünebilmesi için a nın alacağı değer nedir? Sayının ile bölünebilmesi için a 0, olmalıdır. Sayının ile bölünebilmesi için a sayısının ile tam bölünmesi gerekir. Bunun için de a 0,,8 olması gerekmektedir. Bu iki kümenin ortak elemanı sıfır (0) dır. Bu durumda a nın alabileceği değer sıfır (0) dır.... BEŞ () İLE BÖLÜNEBİLME Sayının birler basamağındaki rakam 0 veya ise sayı ile tam bölünür. Bir sayının ile bölümündeki kalan, sayının birler basamağındaki rakamın ile bölümündeki kalandır. Birler basamağı veya 6 ise kalan dir. Birler basamağı veya 7 ise kalan dir. Birler basamağı veya 8 ise kalan dür. Birler basamağı veya 9 ise kalan dür., 70, 878, gibi sayılar ile tam bölünür. Rakamları farklı basamaklı 8a6b sayısı ve ile tam bölünebildiğine göre a nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır? için birler basamağı yani b, 0 veya olabilir burumda. b 0 için sayı 8a60 olur. Rakamlar toplamı 8 a 6 0 a 7 k için a nın alabileceği değerler a,,7 olur. b için sayı 8a6 olur. Rakamlar toplamı 8 a 6 a k için a nın alabileceği değerler a,,8 olur. Rakamlar farklı olacağından a, olacaktır.... ALTI (6) İLE BÖLÜNEBİLME 6 sayısının aralarında asal olan çarpanları ve dür. Sayı, hem hem de ile bölünüyorsa sayı 6 ile de tam bölünür. Bir sayı aralarında asal iki sayı ile ayrı ayrı bölünürse, bunların çarpımları ile de tam bölünür., 88, 78,, gibi sayılar 6 ile tam bölünür. Rakamları farklı, 6 altı basamaklı 6a7b sayısının 6 ile bölünebilmesi için a nın alabileceği değerler sayısı kaçtır? 6 ile bölünebilmesi için sayının hem hem de ile bölünebilmesi gerekmektedir. Buna göre için b 0,,,6,8 olmalı, fakat rakamları farklı olacağından b 0,8 olmak zorundadır. için b 0 ve b 8 için değerlendirme yapılmalıdır.. b 0 için 6a70 olur. Rakamlar toplamı 6 a 7 0 a 9 k için a nın alabileceği değerler a,,8 olur. Rakamlar farklı olacağından a,8 olacaktır.. b 8 için 6a78 olur. Rakamlar toplamı 6 a 7 8 a 7 k için Matematik Eğitimi /

6 Bölme, Bölünebilme, Obeb-Okek a nın alabileceği değerler a 0,,6,9 olur. Rakamlar farklı olacağından a 0,,9 olacaktır. a nın alabileceği değerler: a 0,,,8,9 ve sayısı olur YEDİ (7) İLE BÖLÜNEBİLME Sayı xyzrstpqn olsun. MATEMATİK Rakamları farklı, basamaklı 7a sayısı, 8 ve e bölünebildiğine göre a nın alabileceği değer nedir? Sayı bölünebildiğine göre 7 a a 8 k için a nın alabileceği değerler a 0,,6,9 olur. Sayı 8 e bölünebildiğine göre a için olur. İki kümenin ortak elemanı a 6 dır. a DOKUZ (9) İLE BÖLÜNEBİLME Birler basamağından başlayarak sağdan sola doğru... olarak numaralandırılır. Buna göre; n q p ( t s r) z y x toplamı 0 veya 7 nin katı ise 7 ile tam bölünür. Sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 un katları ise sayı 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümündeki kalan, sayının rakamlarının sayı değerleri toplamının 9 ile bölümündeki kalandır. 6, 09, 876, 780, gibi sayılar 7 ile tam bölünür. 8, 70, 70, 80, gibi sayılar 9 ile tam bölünür. Rakamları farklı, basamaklı a97 sayısı 7 ile bölünebiliyor a kaçtır? Rakamları aynı, 0 basamaklı XXXXXXXXXX sayısının 9 ile bölümünde kalan ise X kaçtır? Kural uygulanırsa: 7 9 a ( ) a 7k a 7k eşitliği a nın 6 olması durumunda sağlanıyor. Buna göre a 6 dır. 9 ile bölümünden kalan olduğundan XXXXXXXXXX9K 0X 9k Bu eşitlik sadece k için gerçekleşir. Buna göre X dür SEKİZ (8) İLE BÖLÜNEBİLME Sayının son üç basamağı 000 veya 8 in katı ise sayı 8 ile tam bölünür. Bir sayının 8 ile bölümündeki kalan, sayının son üç basamağındaki sayının 8 ile bölümündeki kalandır ON (0) İLE BÖLÜNEBİLME Sayının birler basamağındaki rakam 0 ise sayı 0 ile tam bölünür. Bir sayının 0 ile bölümündeki kalan, sayının birler basamağındaki rakamdır. 000, 096, 6, 786, gibi sayılar 8 ile tam bölünür. 00, 0, 80, 96870, gibi sayılar 0 ile tam bölünür. Matematik Eğitimi / 6

7 MATEMATİK Beş basamaklı, 6a7b sayısının 0 ile bölümünden kalan 9 ise bu sayının ile bölünebilmesi için a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? 0 ile bölünebildiğinden b 9 dir. ile bölüm kuralına göre 6 a 7 9 a k Bu eşitliği sadece a,,8 olur. a nın değerleri toplamı: 8 dir ONBİR () İLE BÖLÜNEBİLME Sayının rakamları sağdan sola doğru,,,,,,, olarak işaretlenir. olarak işaretlenen rakamlar toplanır ve olarak işaretlenen rakamlar toplanır. Bu toplamların farkı 0 veya in katı ise sayı ile tam bölünür. Bir sayının ile bölümündeki kalan, ve olarak grupların toplamlarının farkının ile bölümündeki kalandır. Bölme, Bölünebilme, Obeb-Okek, 90, 8890, 60, 680, gibi sayılar ile tam bölünür. Dört basamaklı, ab sayısı ile bölünebildiğine göre a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? ile bölünebildiğine göre bu sayı ve ile de bölünür. ile bölüm için b 0 veya b olur. Buna göre. b 0 için a 0 a 7 k için a nın alabileceği değerler a,,8 dir.. b için a a k için a nın alabileceği değerler a 0,,6,9. a nın alabileceği değerler toplamı: , 87, 6, 767, gibi sayılar ile tam bölünür. Dört basamaklı, 9a sayısı ile bölünebildiğine göre a kaçtır? ile bölünebilme kuralına göre a 9 k a 6 k a 6 k Bu eşitliği k 0 sağladığından a 6 dır.... YİRMİBEŞ () İLE BÖLÜNEBİLME Sayının son iki basamağı 00,, 0, 7 olan sayı ile tam bölünür. Bir sayının ile bölümündeki kalan, sayının son iki basamağındaki sayının ile bölümündeki kalandır. 00, 0, 0, 7, gibi sayılar sayısına tam olarak bölünür. Beş basamaklı, a67b sayısının 7 ile bölünebilmesi için a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?... ONBEŞ () İLE BÖLÜNEBİLME sayısının aralarında asal olan çarpanları ve dir. Sayı, hem hem de ile bölünüyorsa sayı ile de tam bölünür. Bir sayı aralarında asal iki sayı ile ayrı ayrı bölünürse, bunların çarpımları ile de tam bölünür. 7 olduğundan ve e tam bölünmeli. Buna göre; e bölünebildiğine göre b olmalıdır. e bölme kuralına göre a 6 7 a k Bu eşitlik için a,,8 dir. a nın alabileceği değerler toplamı 8 Matematik Eğitimi / 7

8 Bölme, Bölünebilme, Obeb-Okek.. ASAL ÇARPANLARA AYIRMA Sayıların asal çarpanlara ayrılması, sayının en küçük asal sayıdan başlanarak sayının asal çarpana bölünmesi ve bölümün tekrar bölünmesi ve bu işlemin devam ettirilmesi ile bulunur. 78 sayısının asal çarpanlarına ayırınız. Yandaki şekilde verilen bölme şekli ile asal çarpanlara sayılar ayrılır. Bu çarpanlara göre; 78 Yandaki şekilde verilen bölme şekli ile asal çarpanlara sayılar ayrılır. Bu çarpanlara göre; 78 MATEMATİK Üslere baktığımızda pozitif tam bölenlerin sayısı: ( )( )( ) 8 Pozitif tam bölenlerin sayısı: 8 dir. 76 sayısının pozitif tam bölenlerin sayısını bulunuz. 76 sayısının asal çarpanlarına ayırınız. Yandaki şekilde verilen bölme şekli ile asal çarpanlara sayılar ayrılır. Yandaki şekilde verilen bölme şekli ile asal çarpanlara sayılar ayrılır. Bu çarpanlara göre; Bu çarpanlara göre; Üslere baktığımızda pozitif tam bölenlerin sayısı: ( )( )( ).. BİR SAYIYI TAM BÖLEBİLEN TAMSAYILARIN SAYISI Pozitif tam bölenlerin sayısı: dir. A ve a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m,n,p olmak üzere A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi m n p A a b c dir. Buna göre bölenlerin sayıları hesaplanır.... POZİTİF TAM BÖLENLERİN SAYISI m n p A a b c ise pozitif tam bölenlerin sayısı (m ) (n ) (p ). Pozitif tam bölenlerin sayısı ile negatif tam bölenlerin sayısı birbirine eşittir. 78 sayısının pozitif tam bölenlerin sayısını bulunuz.... TÜM BÖLENLERİN SAYISI m n p A a b c ise tüm bölenlerin sayısı: xpozitif bölenlerinin sayısı = (m ) (n ) (p ). Bu bölenlere ve sayının kendisi dahildir. 78 sayısının tüm bölenlerin sayını bulunuz. Yandaki şekilde verilen bölme şekli ile asal çarpanlara sayılar ayrılır. Bu çarpanlara göre; 78 Üslere baktığımızda tüm bölenlerin sayısı: ( )( )( ) () 8 6 Tüm bölenlerin sayısı: 6 dir. Matematik Eğitimi / 8

9 MATEMATİK 76 sayısının tüm bölenlerinin sayısını bulunuz. Bölme, Bölünebilme, Obeb-Okek Yandaki şekilde verilen bölme şekli ile asal çarpanlara sayılar ayrılır. Bu çarpanlara göre; Üslere baktığımızda tüm bölenlerin sayısı: ( )( )( ) ().... BİR SAYIYI BÖLEBİLEN DOĞAL SAYILARIN TOPLAMI m n p A a b c ise bu sayıyı bölebilen doğal sayıların toplamı m n p a b c. a b c 78 sayısını bölebilen doğal sayıların toplamını bulunuz. Üslere baktığımızda sayıyı bölebilen doğal sayıların toplam: Sayıyı bölebilen doğal sayıların toplamı: 0 dür.... BİR SAYIYI BÖLEBİLEN DOĞAL SAYILARIN ÇARPIMI m n p A a b c ise bu sayıyı bölebilen doğal sayıların çarpımı A (m) (n) (p). Yandaki şekilde verilen bölme şekli ile asal çarpanlara sayılar ayrılır. Bu çarpanlara göre; 78 Üslere baktığımızda sayıyı bölebilen doğal sayıların toplam: Sayıyı bölebilen doğal sayıların toplamı: 68 dir. Negatif bölenlerin çarpımı ise dır. A Tüm bölenlerin çarpımı ise A dır. (m) (n) (p) (m) (n) (p) 78 sayısını bölebilen doğal sayıların çarpımını bulunuz. Yandaki şekilde verilen bölme şekli ile asal çarpanlara sayılar ayrılır. Bu çarpanlara göre; sayısını bölebilen doğal sayıların toplamını bulunuz. Yandaki şekilde verilen bölme şekli ile asal çarpanlara sayılar ayrılır. Üslere baktığımızda sayıyı bölebilen doğal sayıların çarpımı: ()( )( ) Bu çarpanlara göre; Sayıyı bölebilen doğal sayıların çarpımı: 78. Matematik Eğitimi / 9

10 Bölme, Bölünebilme, Obeb-Okek 76 sayısını bölebilen doğal sayıların çarpımını bulunuz. Yandaki şekilde verilen bölme şekli ile asal çarpanlara sayılar ayrılır... OBEB - OKEK MATEMATİK Bazı problemlerin çözümü için gerekli en az ve en çok değerlerinin bulunmasında Obeb-Okek kullanılır. Literatürde EBOB ve EKOK sembolleri de kullanılır... OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyüğü) Bu çarpanlara göre; İki veya ikiden fazla doğal sayının her birini tam olarak bölen sayılardan en büyüğüne, bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü denir. x ve y doğal sayılar ise bu sayıların Obeb i, Obeb(x,y) biçiminde gösterilir. Üslere baktığımızda sayıyı bölebilen doğal sayıların çarpımı: Asal çarpanlardan ortak olanların en küçük üslülerin çarpımı OBEB dir. ()( )( ) Sayıyı bölebilen doğal sayıların çarpımı: dır ve sayılarının OBEB ini bulunuz. ve sayılarının OBEB i yandaki şekildeki gibidir:... BİR SAYININ ASAL OLMAYAN BÖLENLERİNİN SAYISI Obeb(,) m n p A a b c sayısı için a, b ve c asal sayılardır ve tanedir. Buna göre, asal olmayan bölenlerin sayısı (m ) (n ) (p ). Üzerinde * işareti olan sayılar her iki sayıyı da bölen sayılardır. 90 ve 6 sayılarının OBEB ini bulunuz. 76 sayısının asal olmayan bölenlerinin sayısını bulunuz. Yandaki şekilde verilen bölme şekli ile asal çarpanlara sayılar ayrılır. Bu çarpanlara göre; ve 6 sayılarının OBEB i yandaki şekildeki gibidir: Obeb(6,90) Obeb(6,90) 8 Üzerinde * işareti olan sayılar her iki sayıyı da bölen sayılardır , 8, 60 sayılarının OBEB ini bulunuz. Asal bölenlerinin sayısı dür ve Üslere baktığımızda asal olmayan bölenlerinin sayısı: ( )( )( ) ( ) Asal olmayan bölenlerinin sayısı: dir. 6, 8 ve 60 sayılarının OBEBi yandaki şekildeki gibidir: Obeb(6,8,60) Obeb(6,8,60) Matematik Eğitimi / 0

11 MATEMATİK... OKEK (Ortak Katların En Küçüğü) İki veya ikiden fazla doğal sayının her birinin katı olan sayılardan en küçüğüne, bu sayıların ortak katlarının en küçüğü denir. x ve y doğal sayılar ise bu sayıların Okek i Okek(x,y) biçiminde gösterilir. Asal çarpanlardan ortak olanların en büyük üslüler ile ortak olmayanların tümünün çarpımı OKEK dir. Bölme, Bölünebilme, Obeb-Okek Obeb(a,b) a b Okek(a,b). Obeb(a,b) ise a ile b sayıları aralarında asal sayılardır. Obeb(a,b) Okek(a,b) a b. c, Obeb(a,b,c) Okek(a,b,c) ab c. b,d, a b ve c d kesirleri için İki sayının OKEK ve OBEB lerinin çarpımı sayıların çarpımına eşittir. ve sayılarının OKEK ini bulunuz. a c Okek(a,c) Okek, b d. Obeb(b,d) a c Obeb(a d,b c) Obeb, b d. Okek(b,d) ve sayılarının OKEK i yandaki şekildeki gibidir: Okek(,) Okek(,) 7 n! sayısının sonunda asal çarpanlarının sayısı kadar sıfır (0) vardır. a ile b asal sayı ve a b ise n! içerisinde ab çarpımının sayısı büyük olan asal çarpan a sayısı kadardır. 90 ve 6 sayılarının OKEK ini bulunuz. 90 ve 6 sayılarının OKEK i yandaki şekildeki gibidir: Okek(6,90) Okek(6,90) 80 6, 8, 60 sayılarının OKEK ini bulunuz. 6, 8 ve 60 sayılarının OKEKi yandaki şekildeki gibidir: Okek(6,8,60) Okek(6,8,60) 60 Obeb(x,y) ve Okek(x,y) 7 ise x ve y sayıları hangi aralıkta yer alır kaçtır? Obeb(x,y) ve Okek(x,y) 7 olduğundan x y 7 dır. Obeb(x,) olduğuna göre x ile aralarında asaldır. Obeb(x,y) ve Okek(x,y) 7 ise x y kaçtır? Kurala göre Obeb(x,y) Okek(x,y) x y ve Obeb(x, y) Okek(x, y) x y 7 7 Bir evde yer alan lamba, ve dakikalık aralılarla yanıp sönmektedir. Birlikte yandıktan kaç dakika sonra tekrar birlikte yanarlar?... OBEB-OKEK ÖZELİKLERİ Obeb ve Okek için a,b ve a b olmak üzere aşağıdaki özelikler vardır: Kurala göre; Okek(,,) Okek,, Obeb(,,) 6 6 Matematik Eğitimi /

12 Bölme, Bölünebilme, Obeb-Okek! sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır? (Çözüm I)! ın içinde kaç tan sayısı varsa sayının sonunda o kadar sıfır (0) vardır. Buna göre! * * ifadesinden de görüleceği gibi adet sıfır (0) vardır. (Çözüm II) ü, e böldüğümüzde bulunacak kadar sıfır (0) vardır. Bir A sayısı e bölündüğünde kalanını, e bölündüğünde kalanını, 8 e bölündüğünde 7 kalanını vermektedir. A 00 koşuluna uyan en büyük A sayısı kaçtır? A x y 8x 7 A x y 8x 8 A (x ) (y ) 8(x ) Okek(,,8) 0 A 0 k A 00 olduğundan k A 0 A 9 MATEMATİK Boyutları cm, 8 cm ve 0 cm olan kutular yan yana ve üst üste konularak en küçük hacimli bir küp oluşturulmak isteniyor. Kaç adet kutu gereklidir? Oluşturulacak küpün boyutları, kutunun boyutları olan, 8, ve 0 un Okek i olmak zorundadır. Küpün hacmi: 60 Küp Hacmi Kutu sayısı Kutu Hacmi Kutu sayısı adet kutu yerleştirilebilir. A 0 00 ve B olduğuna göre A ve B sayılarının kaç tane pozitif ortak böleni vardır? A ve B sayılarının Obeb i ve Obeb i bölen her sayı da A ve B sayılarını böler. Buna göre Obeb(A,B) Pozitif bölenlerin sayısı ( )( )( ) Boyutları 8 m, m ve 0 m olan bir depoya, depo boş kalmayacak şekilde televizyon kutuları yerleştirilecektir. En büyük boyutlu ve eşit boyutlu kutulardan kaç tane yerleştirilebilir? Kutuların boyutları eşit ve en büyük olacağından bu kutunun boyutu 8, ve 0 un Obeb i dir. Kutunun bir boyutu: 6 Depo Hacmi Kutu sayısı Kutu Hacmi 8 0 Kutu sayısı adet kutu yerleştirilebilir. 60 Matematik Eğitimi /

13 MATEMATİK.6. ÇÖZÜMLÜ TEST. M sayısı ile bölünüyor. Kalan ile bölen toplamı en fazla kaç olabilir? A) 7 B) 9 C) D) E) Bölme eşitliği yazılırsa; M B K dır. K olacağından en büyük kalan değeri K 0 olur. Buna göre Bölen Kalan 0 Yanıt: C. abcabcabc sayısının abc ye bölümünde bölüm nedir? A) 0000 B) 000 C) 000 D) 00 E) 00 Çözümlü Test. A sayısı 7 ile bölündüğünde bölüm x, kalan x dir. A sayısı 8 ile bölündüğünde bölüm x, kalan x ise A sayısı kaçtır? A) B) C) 7 D) 9 E) 6 Bölme eşitlikleri; A 7 x x ve A 8 ( x) x Bu durumda, 7 x x 8 ( x) x 7x x 8 8 x x 8x 0 7x 8x 7x 0 x 0 x 7 x 7 ise A 7 x x 8x A 87 7 Bölme işlemi basamak basamak yapılırsa Basamak Basamak Yanıt: B Basamak Basamak. 6 basamaklı 968a sayısı hem hem de ile tam bölünüyor. a kaçtır? A) 0 B) C) D) 6 E) 8 ile bölünme için Basamak Basamak a işaretlemelere göre (a 8 9) ( 6 ) (a 7) () a Basamak 7 Basamak 8 ile bölüne bilme için a 8 ve ile bölünebilme içinde a sayısının çift olması gerektiğinden a 8 olması gerekir. Yanıt: E Sonuç 0000 dir.. basamaklı 9ab sayısı, hem 9 hem de ile tam bölünebiliyor. a ve b sayılarının alabileceği değerler toplamı kaçtır? Yanıt: A A) 7 B) 0 C) D) E) 7 Matematik Eğitimi /

14 Çözümlü Test ile bölünebilme için b 0 veya b olmalıdır. b 0 ise 9 a 0 k Bu durumda a k a 0, a, a 6 veya a 9 b ise 9 a k Bu durumda Değerler toplamı: a 7 k a, a veya a Yanıt: D Üç basamaklı A8 sayısı 6 ya bölünebilmektedir. Buna göre, A nın alabileceği en büyük değer kaçtır? (999/ÖL) A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 6 olduğundan A8 sayısı hem hem de ile bölünmelidir. Birler 8 olduğundan, A8 sayısı ile bölünür. ile bölünebilmesi için k olmak üzere A 8 k A k A k için A, A veya A 7 MATEMATİK 6 ile bölünüyor. Bu durumda ve ile bölünür. Hem hem de ile bölüneceğinden b 0 olmak zorundadır. Buna göre a 0 k a k a k ise a 0, a, a 6 veya a 9 dur. a b nin en büyük olabilmesi için a b Yanıt: D 7. Altı basamaklı b89a sayısı hem hem de 7 ile bölünüyor. a b nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) B) C) 7 D) 9 E) 7 ile bölünme kuralına göre a 9 8 (b ) a 7 6 (b 8) a b 0 a b ile bölüm için a 0 veya a olmalıdır. a 0 ise a b 0 b b b in 7 ile bölümü için b 9 a b a ise a b b b 8 b 8 in 7 ile bölümü için b 0 veya b 7. En büyük değer için A 7 olmalıdır. Yanıt: C b 0 ise a b 0 b 7 ise a b 7 En büyük a b dir. Yanıt: B 6. Beş basamaklı ab sayısı hem hem de 6 ile bölünüyor. a b nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) B) C) D) 9 E) 7 8. Altı basamaklı 6a sayısı hem 8 ile hem de 9 ile bölünüyor. a sayısı kaçtır? A) 0 B) C) D) 6 E) 8 Matematik Eğitimi /

15 MATEMATİK 9 ile bölüm için 6 a 9k a 8 9k a 0 veya a 9 dur. 8 ile bölüm için son üç basamak a 0 0 sayısı 8 ile bölünür. a 9 9 sayısı 8 ile bölünmez. Bu durumda a 0 dır. 98 sayısının asal çarpanları: Çözümlü Test 98 7 dir. Asal bölenlerinin sayısı ve 7 den dolayı dir. Asal olmayan bölenlerinin sayısı: ( )( ) 6 Yanıt: A Yanıt: A 9. 6 sayısının tüm bölenlerin sayısının, pozitif tüm bölenlerin sayısına oranı kaçtır? A) B) C) D) E) 6 Tüm bölenlerin sayısı, pozitif bölenlerin sayısının katı olduğundan oranları da dir. Yanıt: A. ve 80 sayılarının okek inin obeb ine oranı kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) 0 E) Okek(,80) 80 ve Obeb(,80) Okek(,80) 80 Obeb(,80) Yanıt: A 0. sayısını bölebilen doğal sayıların toplamının çarpımına oranının 8 () katı kaçtır? A) 8 B) 87 C) 80 D) 87 E) 89 asal çarpanlardır. Toplam: 8 68 ()( )( ) 68 Çarpım: () () Oran: () () 8 Yanıt: C x.! 9 sayısının asal olmayan pozitif tam bölenlerinin sayısı 6 ise x kaçtır? A) B) 9 C) 7 D) E) ün içinde: ; 0 tanedir. ; tanedir. ; tanedir. 7; tanedir. ; tanedir. ; tanedir. 0! 7 x 0 x! x 0 x! 9 7 ( ) x 0 x! 9 7 x 0 x! 9 7 Bölenler: (0 )(x 6)( )( )( )( ) 6 6 ()(x 6)()()()() 6 6 ()()()()()(x 6) 68 x sayısının asal olmayan bölenlerinin sayısı kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) 0 E) x 6 x Yanıt: E Matematik Eğitimi /

16 Çözümlü Test.! 0! ifadesinin sondan kaç basamağı sıfırdır? A) B) C) D) E) 0 nin içinde: ; 8 tanedir. ; 8 tanedir. ; tanedir. 7; tanedir.,, 7 ve 9 birer tanedir.! 8 8! (0!) ( )! (0!) ( )! (0!) asal sayısından tane olduğundan son basamak sıfırdır. Yanıt: B. Boyutları m ve 9 m olan dikdörtgen şeklindeki mutfak, kare şeklindeki fayanslar ile kaplanacaktır. En az kaç tane fayans gereklidir? A) 6 B) C) 8 D) E) 0 Obeb(,9) dür. 7. a,b,c,x olmak üzere x a 7b 6 9c 8 MATEMATİK eşitliğini sağlayan üç basamaklı en küçük x sayısının rakamları toplamı kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) E) 6 Verilen eşitliklerin her tarafına eklenirse ortak paranteze alma işlemi yapılabilir ve okek hesaplanır. x a 7b 6 9c 8 x a 7b 6 9c 8 x a 7b 7 9c 9 x (a ) 7(b ) 9(c ) Okek(,7,9) 6 Buna göre; x Okek(,7,9) k 6 k k için x 6 k 6 k için x 6k 6 Mutfak Alan Fayans Sayısı Fayan Alan 9 Fayans Sayısı 6 8 Sonuç olarak x 6 ise x Buradan 8 Yanıt: A Yanıt: C 6. Boyutları 8 m, m ve 6 m olan tuğlalardan yapılacak küp için en az kaç tane tuğla gereklidir? A) 9 B) 88 C) 80 D) 7 E) 6 Okek(8,,6) 8 Küp Hacmi Küp Sayısı Tuğla Hacmi Küp Sayısı Yanıt: D Matematik Eğitimi / 6

17 MATEMATİK.7. TEST. Yandaki bölme işleminde A ve B sıfırdan farklı birer rakamı gösterdiğine göre A kaçtır? Test 7. a 7 koşulu ile a kesrinin 0 katının a tamsayı olabilmesi için a nın alabileceği değerler toplamı nedir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) B) C) D) E) 6. Yandaki bölme işleminde a nın b türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? 8. a 0 olmak üzere bir sayının beş katı alınır ve sayı başlangıçtaki sayıya bölünürse bölüm ile kalanın toplamı kaç olur? A) B) C) 6 D) 7 E) 8 A) b b B) D) b b C) (b ) E) (b ) b b 9. 8 basamaklı sayının her bir basamağının sayı değeri ise bu sayının ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) E) 0. Yandaki bölme işleminde a bir rakam olmak üzere a aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) C) D) E) 6 0. a,b olmak üzere toplamı en az kaçtır? b 90 a ise a b A) B) 0 C) 8 D) 6 E) 6. Yandaki bölme işleminde ab iki basamaklı bir sayı ise a b kaçtır? n. a,b olmak üzere 7! m eşitliğini sağlayan kaç farklı m değeri vardır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 A) 6 B) C) D) E). A 9B ve B C ise A nın 6 ile bölümünde kalan kaçtır? A) 9 B) 7 C) D) E). x 7! sayısının asal olmayan pozitif tam bölenlerinin sayısı 090 ise x nedir? A) B) C) D) 7 E) 6. Birler basamağı olan ve ile bölünebilen üç basamaklı sayılar abc biçimindedir. a b c koşuluna uyan kaç tane sayı vardır? A) B) C) D) E) a. a olmak üzere 7 sayısının asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısı 0 ise a kaçtır? A) 7 B) 6 C) D) E) Matematik Eğitimi / 7

18 Test. Boyutları cm, 8 cm ve 0 cm olan tuğlalardan yapılacak bir küp için en az kaç tane tuğla gereklidir? A) 90 B) 00 C) 0 D) 0 E) 0. Yandaki toplama işleminde her harf farklı bir rakamı gösterdiğine göre, bu işlemin sonucu en fazla kaçtır? (999/L) MATEMATİK A) 8.9 B) 8.00 C) 8. D) 9.0 E) A B C D M N P R. a,b,c,x olmak üzere x a b 6c ise üç basamaklı en büyük x sayısının rakamları çarpımı kaçtır? A) 98 B) 98 C) 968 D) 978 E) 988. Yandaki toplama işlemine göre, iki basamaklı KL sayısının en küçük değeri kaçtır? (000) A) 8 B) 9 C) 8 D) 67 E) 78 K L + L K ve 8 sayılarına bölünebilen en küçük pozitif tam sayı nedir? A) 8 B) 0 C) D) E) 8. ile 0 arasında, üç ile kalansız bölünebilen kaç tane tamsayı vardır? (000) A) 6 B) 6 C) 6 D) 66 E) Boyutları 8 m ve 6 m olan dikdörtgen şeklindeki bir salon, kare şeklindeki fayanslarla döşenecektir. En az kaç tane fayans gereklidir? A) B) 6 C) 0 D) E) 8. Beş basaklı KLKLM sayısı iki basamaklı KL sayısına bölündüğünde, bölüm ile kalanın toplamı 07 dir. Buna göre, M kaçtır? (000) A) B) C) D) 6 E) ve 0890 sayılarının pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır? A) 8 B) 8 C) 8 D) 68 E) 88. Rakamları birbirinden farklı BC sayısı ile bölünebilen dört basamaklı bir tek tamsayıdır. Buna göre, B kaç farklı değer alabilir? (00) A) B) C) D) E) 9. 8, ve e bölündüğünde hep kalanını veren en küçük pozitif tamsayının rakamları toplamı kaçtır? (999/ÖL) A) B) C) 6 D) 7 E) 8.8. YANITLAR 0. ile 0 arasında, üç ile kalansız bölünebilen kaç tane tamsayı vardır? (000) A) 6 B) 6 C) 6 D) 66 E) 67. B. C. A. D. E 6. A 7. C 8. B 9. D 0. B. E. C. D. B. E 6. D 7. A A 0. E. A. B. E. E. C Matematik Eğitimi / 8

19 MATEMATİK. RASYONEL SAYILAR.. KESİR x,y ve y 0 olmak üzere x y biçimindeki ifadelere kesir denir. Kesirlerdeki x sayısına pay, y sayısına payda denir.,,, 7, kesirlerdir. Rasyonel Sayılar.. KESİR ÇEŞİTLERİ Kesirler üç farklı biçimde incelenir: basit, bileşik ve tamsayılı kesirlerdir.... BASİT KESİR x y y 0 olmak üzere her kesrine basit kesir denir. x y kesri için x y ise Pay Payda ise kesir basit kesirdir... DENK KESİRLER a,b,x,y ve b 0, y 0 olmak üzere a y b x ise denir. a b ve x y kesirlerine denk kesirler 8 9 basit kesir midir? Pay ve payda için 8 9 yani 8 9 dur. Pay, paydadan küçük olduğundan kesirdir. 8 9 basit kesrine denk kesirler bulunuz kesirlerdir. kesirler denk... BİLEŞİK KESİR x y y 0 olmak üzere her x y kesrine bileşik kesir denir. kesri için x y ise.. RASYONEL SAYI Pay Payda ise kesir bileşik kesirdir. Rasyonel biçiminde ve x sayılar x,y y 0 y sembolü ile gösterilir. 9 8 bileşik kesir midir? x Her x tamsayısı biçiminde yazılabileceğinden tüm tamsayılar aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.. Pay ve payda için 9 8 yani 9 8 dir. Pay, paydadan büyük olduğundan kesirdir. 9 8 bileşik... TAMSAYILI KESİR,,, 9,, rasyonel sayılardır. Bir tamsayı ile birlikte yazılan kesirlere tamsayılı kesir denir. Matematik Eğitimi / 9

20 Rasyonel Sayılar Bileşik kesirler tamsayılı kesirler biçiminde yazılabilir. tamsayılı kesir midir? kesrinin hem tam hem de kesir kısmı olduğundan kesir tamsayılı kesirdir... DÖRT İŞLEM Rasyonel sayılarda dört işlem toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir.... TOPLAMA a,b,c,d ve b 0, d 0 olmak üzere toplama işlemi biçiminde tanımlanır. a c a d b c b d b d Paydaları eşit olan rasyonel sayıların toplamı: a b a b a,b,c ve c 0 ise c c c biçiminde gösterilir. Toplama işleminin etkisiz (birim) elemanı sıfır (0) dır. a,b ve b 0 için işlemine göre tersi a b a dir. b işleminin sonucu nedir? kesrinin toplama Kesrin paydaları eşit olduğundan ortak payda altında toplama yapılır. işleminin sonucu nedir? MATEMATİK Kesrin paydaları eşit olmadığından, paydalar eşitlendikten sonra ortak payda altında toplama işlemi yapılır. () () işleminin sonucu nedir? Kesirlerden ilk ikisinin paydası de eşitlenebilir ve üncü kesirle paydaları eşit olacağında eşit payda da toplama işlemi yapılır ÇIKARMA a,b,c,d ve b 0, d 0 olmak üzere çıkarma işlemi biçiminde tanımlanır. a c a d b c b d b d Paydaları eşit olan rasyonel sayıların farkı: a b a b a,b,c ve c 0 ise c c c biçiminde gösterilir. Matematik Eğitimi / 0

21 MATEMATİK işleminin sonucu nedir? Kesrin paydaları eşit olduğundan ortak payda altında çıkarma yapılır. Rasyonel Sayılar Çarpma işleminde kesirlerin payları ve paydaları ayrı ayrı çarpılır ve yeni kesrin payına ve paydasına yazılır. Çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı bir () dir. a,b ve a 0, b 0 için çarpma işlemine göre tersi b a dır. a b kesrinin işleminin sonucu nedir? Çarpma işleminde aynı işaretli sayıların çarpımı pozitif, farklı işaretli sayıların çarpımı negatiftir. Kesrin paydaları eşit olmadığından, paydalar eşitlendikten sonra ortak payda altında çıkarma işlemi yapılır. () () 9 8 işleminin sonucu nedir? Kesrin paydalarının eşit olup olmamasının önemi yoktur. Çünkü pay pay ile, payda payda ile çarpılır ve sırasıyla pay ile paydaya yazılır işleminin sonucu nedir? Kesirlerden ilk ikisinin paydası de eşitlenebilir ve üncü kesirle paydaları eşit olacağında eşit payda da çıkarma işlemi yapılır işleminin sonucu nedir? Kesrin paydalarının eşit olup olmamasının önemi yoktur. Çünkü pay pay ile, payda payda ile çarpılır ve sırasıyla pay ile paydaya yazılır işleminin sonucu nedir?... ÇARPMA a,b,c,d ve b 0, d 0 olmak üzere çarpma işlemi a c a c b d b d biçiminde tanımlanır. Kesirlerin paydalarının eşit olup olmamasının önemi yoktur. Çünkü pay pay ile, payda payda ile çarpılır ve sırasıyla pay ile paydaya yazılır Matematik Eğitimi /

22 Rasyonel Sayılar... BÖLME a,b,c,d ve b 0, d 0 olmak üzere bölme işlemi a c : b d biçiminde tanımlanır. a d b c a d b c Bölme işleminde aynı işaretli sayıların bölümü pozitif, farklı işaretli sayıların bölümü negatiftir..6. ÖRNEKLER 7 : 9 nedir? 7 : 9 7 : 9 MATEMATİK işleminin sonucu işleminin sonucu için : işleminin sonucu nedir? Kesirlerin paydalarının eşit olup olmamasının önemi yoktur. Bölünen kesir aynen bırakılır, bölen kesir çarpma işlemine göre ters çevrilip çarpılır. : : işleminin sonucu nedir? Kesirlerin paydalarının eşit olup olmamasının önemi yoktur. Bölünen kesir aynen bırakılır, bölen kesir çarpma işlemine göre ters çevrilip çarpılır : 9 8 : 7 : işleminin sonucu nedir? 7 işleminin sonucu kaçtır? Kesirlerin paydalarının eşit olup olmamasının önemi yoktur. Bölünen kesir aynen bırakılır, bölen kesir çarpma işlemine göre ters çevrilip çarpılır : : : 7 9 : 9 7 : Matematik Eğitimi /

23 MATEMATİK : : 9 işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? Rasyonel Sayılar : : : 9 işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? : işleminin sonucu kaçtır?.7. ONDALIK SAYILAR Bir kesrin paydası 0, 00, 000 gibi 0 un kuvveti biçiminde ise bu kesirlere ondalık kesir denir. 7 0,7 0, 7,7 0, 7,7 000 sayılarının her biri birer ondalık sayıdır..8. DEVİRLİ ONDALIKLI SAYILAR Bir ondalık kesirde belirli bir basamaktan sonra aynı rakam veya rakam grupları sürekli devam ediyorsa bu tür kesirlere devirli ondalıklı kesir denir. Devirli ondalıklı kesirlerde tekrarlayan rakam veya grubun üzerine bir çizgi çekilerek gösterilir. ab,xyz gibi. Matematik Eğitimi /

24 Rasyonel Sayılar 0,,,,,,,6,,7, 7,8 sayılarının her biri birer devirli ondalıklı sayılardır..8.. DEVİRLİ ONDALIKLI SAYILARIN KESİR BİÇİMİNDE İFADESİ,9 0,,9 0,,9 0,,9 0, işleminin sonucu kaçtır? MATEMATİK Devirli ondalıklı sayıların bir kesre dönüştürülmesi için aşağıdaki gibi bir işlem tesis edilir. Örneğin sayı 0,7 olsun. Virgülden sonra basamak ve devreden guruptan önce basamak var. Buna göre sayı önce 000 ( basamak) ile sonra bu sayı 0 ( basamak) ile çarpılır ve taraf tarafa çıkarılır. Sonuç elde edilir x 0,7 için yapalım: 000 x 000 0,7 7,7 0 x 0 0,7,7 000 x 7,7 0 x,7 990x Sayı: 7 x 9 x 990 Devirli sayıların kesirli biçimde yazılması için kural: Sayının tamamı Devretmeyen kısım Devreden basamak sayısı kadar 9, Virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı kadar 0, devirli ondalıklı sayısının kesir biçiminde nasıl yazılır? Sayı x, olsun. 0 x 0, 0x,...() x, x,...() () ve () taraf tarafa çıkarılırsa: 9x x 9 7 x, sayısının kesir olarak yazılışı 7 dür. : 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? : 0, 0, : : Matematik Eğitimi /

25 MATEMATİK Rasyonel Sayılar,, x,, x işleminin sonucu kaçtır? 9 x 9 9 x 9 x 9 9 x 8 x 8 8 x 8 0 x 8,,7, işleminin sonucu kaçtır? Devirli ondalıklı sayıların her biri kesir biçimine çevrilirse;,,7,,, 9 7,7,7,, Matematik Eğitimi /

26 Rasyonel Sayılar 6. SIRALAMA Rasyonel sayılar sıralanırken bu rasyonel sayıların pozitif veya negatif olduklarına bakmak gerekir. Pozitif rasyonel sayılar kendi içinde, negatif rasyonel sayılarda kendi içerisinde sıralanmak zorundadır. 6.. POZİTİF KESİRLERDE SIRALAMA Payları eşit olan pozitif kesirlerden paydası küçük olan daha büyüktür. Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan daha büyüktür. Payları veya paydaları farklı olan kesirleri sıralamak için paylar veya paydalar eşitlenerek sıralama yapılır. Pay ile paydası arasındaki fark eşit olan pozitif basit kesirlerde, pay ve paydadaki sayılar büyüdükçe kesrin değeri artar. Sayı bir () e daha yakındır. Pay ile paydası arasındaki fark eşit olan pozitif bileşik kesirlerde, pay ve paydadaki sayılar büyüdükçe kesrin değeri azalır. Sayı bir () e daha yakındır. 7,,, 8 kesirlerini sıralayınız. Payları eşit olan pozitif kesirlerden paydası küçük olan daha büyüktür. Buna göre sıralama dür. 8 7 MATEMATİK Payları veya paydaları farklı olan kesirleri sıralamak için paylar veya paydalar eşitlenerek sıralama yapılır. Buna göre sıralama 7 6 7, 6 0 7, 0 Sıralama 0 0, dür. 6.. NEGATİF KESİRLERDE SIRALAMA Negatif sıralama yapmak için sayılar pozitif düşünülerek sıralama yapılır ve daha sonra yapılan sıralamanın tersi alınır., 7,, kesirlerini sıralayınız. 8 Pozitif sayı olarak değerlendirilir. Bu kurala göre sıralama yapılır. Payları eşit olan pozitif kesirlerden paydası küçük olan daha büyüktür. Bu sıralama ters çevrilir. Buna göre sıralama dür ,, sıralayınız., 8 kesirlerini 7,,, 8 kesirlerini sıralayınız. Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan daha büyüktür. Buna göre sıralama 7 8 dür. Pozitif sayı olarak değerlendirilir. Bu kurala göre sıralama yapılır. Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan daha büyüktür. Bu sıralama ters çevrilir. Buna göre sıralama 8 7 dir. 7,,, 8 kesirlerini sıralayınız. 7,,, 8 kesirlerini sıralayınız. Matematik Eğitimi / 6

27 MATEMATİK Rasyonel Sayılar Bütün kesirler pozitif sayı olarak değerlendirilir. Bu kurala göre sıralama yapılır. Payları veya paydaları farklı olan kesirleri sıralamak için paylar veya paydalar eşitlenerek sıralama yapılır. Bu sıralama ters çevrilir. Buna göre sıralama 7 6 7, , 0 0 7, Sıralama 7 8 dir. Matematik Eğitimi / 7

28 Rasyonel Sayılar 7. BASİT EŞİTSİZLİKLER,,, simgeleri ile yazılan ifadeler basit eşitsizliklerdir. a,b olmak üzere a b, a b, a b, a b biçiminde yazılabilirler. 7.. EŞİTSİZLİK ÖZELİKLERİ. a,b,c olmak üzere a b a c b c. a b a c b c. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitsizliğin yönü değişmez.. a,b,c ve c 0 olmak üzere a b ac b c a b ac b c a b a : c b : c a b a : c b : c Bir eşitsizliğin her iki tarafı bir pozitif sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirmez.. a,b,c ve c 0 olmak üzere a b ac b c a b ac b c a b a : c b : c a b a : c b : c Bir eşitsizliğin her iki tarafı bir negatif sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.. a ve b sayıları aynı işarete sahip reel sayılar olmak üzere a a a a a a 0 a b 6. n olmak üzere a b 0 a n a a n n MATEMATİK n b. 7. n ve n olmak üzere 0 a a n b, m tek ise, n b, m çift ise. n n a. (0,) açık aralığındaki bir sayı pozitif tamsayı kuvveti alındıkça sayı küçülür. 8. a b ve c d olmak üzere a c b d. Eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir. 9. a,b,c,d olmak üzere a b x x a b ve c d ac b d. Eşitsizlikler daima taraf tarafa çarpılamaz. 0. Eşitsizliğin her iki tarafı sıfır (0) ile çarpılırsa eşitsizlik eşitliğe dönüşür. a 0 a. a 0 a veya a. a veya a 0. a veya a 0. a b. 0 a b a b a b a b 0 7 Eşitsizliğin her iki yanı ters çevrilirse eşitsizlik yön değiştirir.. n olmak üzere ( ) ( ) 0 7 Yön değişti. Matematik Eğitimi / 8

29 MATEMATİK Rasyonel Sayılar ( ) ( 9) 8 Yön değişti. 9 ( ) ( 9) 7 6 ve ve 7 7 Matematik Eğitimi / 9

30 Mutlak Değer 8. MUTLAK DEĞER Sayı ekseninde x sayısına karşılık gelen noktanın orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir. x sayının mutlak değeri, x biçiminde gösterilir. Başka bir ifade ile, sayının işareti gözetilmeksizin kendi değerine mutlak (salt) değer denir., ( ), MATEMATİK x x 7 7 ifadesinin sonucu nedir? x x 7 7 x x 0 x y ve x z ise x 0 x x nedir? x (x )(x ) (x ) (x ) 8.. MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ. x için x, x 0, x x, x 0.. x x ise x 0 (7 ) (7 ) () (x ) (x ) y y z z (). x x ise x = 0 veya x > 0. x x. y x x y 6. x y x y 7. n x x n a b 0 ise a 0 ve b 0 x y 6 0 ise x y kaçtır? x y 6 0 x 0 ve y 6 0 Buna göre x ve y 6 x y ( 6) 6 8 ( ) ifadesinin sonucu nedir? 8 ( ) () MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER b ve a olmak üzere x a b x a b veya x a b dir. x a b x b a 7 7 ifadesinin sonucu nedir? ( ) 0 6 x a b x b a Çözüm kümesi Ç b a, b a a için x a ise x a. x x veya x dir. Matematik Eğitimi / 0

31 MATEMATİK Rasyonel Sayılar x 7 9 ise çözüm kümesini bulunuz. x 7 9 x 7 9 veya x 7 9 x 9 7 veya x 9 7 x 6 veya x Çözüm kümesi: Ç,6 Kural itibariyle x 9 9 x 9 Çözüm kümesi : 9 x 9 x Ç x x x 8 0 ise çözüm kümesini bulunuz. x 8 0 x 8 0 x 8 x eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Kural itibariyle 8.. MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER a ve b olmak üzere. x a b ise b x a b. Çözüm kümesi: Ç x b a x b a. x a b ise x a b veya x a b. Çözüm kümesi : Ç x x b a veya x b a x x veya x Çözüm kümesi : x veya x x 7 veya x Ç x x veya x 7 x 9 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Kural itibariyle x eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 9 x 9 x x 9 9 x 9 Kural itibariyle x x x Çözüm kümesi : Ç x x x 7 Çözüm kümesi: Ç x x ÖRNEKLER x 9 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. x ise çözüm kümesini bulunuz. Matematik Eğitimi /

32 Mutlak Değer x x x veya MATEMATİK Çözüm kümesi : x veya x x veya x x veya x Ç, x 8 ise çözüm kümesini bulunuz. x 8 x 8 veya x 8 (x ) veya (x ) x veya x veya x x veya x x veya x Çözüm kümesi: Ç, x bulunuz. eşitsizliğinin çözüm aralığını x x x x x 7 x Matematik Eğitimi /

33 MATEMATİK 8.. ÇÖZÜMLÜ TEST. x olmak üzere 7x ifadesinin basit kesir 6x olabilmesi için x in alabileceği değerlerin toplamı nedir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Basit kesir için Pay Payda olmalıdır. 7x 6x 7x 6x x için 6 x Yanıt: B İşlem yapılırsa: Çözümlü Test Yanıt: C x 9. x olmak üzere ifadesinin bileşik x 9 kesir olabilmesi için x in alabileceği en küçük tamsayı nedir?. sonucu kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 A) B) C) D) E) Bileşik kesir için Pay Payda olmalıdır. x 9 x 9 x x 9 9 x 8 En küçük x 9 Yanıt: D Yanıt: A. 6 sonucu kaçtır?. n kaçtır? sonucu A) 8 B) C) D) E) A) n B) n C) n D) n E) n Matematik Eğitimi /

34 Çözümlü Test Parantez içerisindeki işlemler yapılırsa; n n n n n n n n n n n n 7. A) 7 8 B) 7 7 sonucu kaçtır? C) 7 6 D) 7 MATEMATİK E) 6. sonucu kaçtır? Yanıt: E A) 9 B) C) D) E) Yanıt: A 6 8. : sonucu kaçtır? Yanıt: D A) B) C) D) E) Matematik Eğitimi /

35 MATEMATİK Çözümlü Test : :., 0, sonucu kaçtır? : 9 Yanıt: C A), B), C), D), E),, 0, , 0,0 0,0 sonucu kaçtır? 0, 0,00 0,0 A) B) 0 C) 8 D) 6 E) 0, 0,0 0,0 0, 0,00 0, , Yanıt: A (0,98 ) 0,6 0, 0,0 sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) D) E) (0,98 ) 0,6 0, 0,0 0,66 (,98) 0, Yanıt: B.,,, sonucu kaçtır? A) 9,6 B) 9,8 C) 0, D) 0, E) 0,6,,, Yanıt: E Yanıt: E. a, ise a kaçtır? A) 0 B) C) D) E) Matematik Eğitimi /

36 Çözümlü Test a a, ise 9 a a 7 9 a 7 7 a 9 a Her zaman a 0 olduğundan c 0 dır. c 0 olduğundan MATEMATİK a c 0 için c 0 olur, bc 0 için b 0 olur. Yine c 0 olduğundan durumda a c 0 için a 0 dır. Bu a, b ve c, için sıralama,, dir. Yanıt: D a Yanıt: B 6. x 7 için x in değerler toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E).,,, aşağıdakilerden hangisidir? sayılarının A) B) C) D) E) sırası x 7 ise x 7 veya x 7 x 7 veya x 7 x veya x Değerler toplamı: 0 Yanıt: D Sıralama kuralına göre: Pay ile paydası arasındaki fark eşit olan pozitif basit kesirlerde, pay ve paydadaki sayılar büyüdükçe kesrin değeri artar. Sayı bir () e daha yakındır. dir. Bu kurala göre sıralama:. Yanıt: C 7. x 7 ise çözüm kümesi nedir? A) x x B) x x C) x 0 x D) x x 0 E) x x x 7 ise 7 x 7. a,b,c olmak üzere a c 0, bc 0, a c 0 olduğuna göre a, b, c nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A),, B),, C),, D),, E),, 7 x 7 x Çözüm kümesi: Ç x x Yanıt: B Matematik Eğitimi / 6

37 MATEMATİK 8. x 7 ise çözüm kümesi nedir? A) x x x B) x x 0 x C) x x x D) x x x 0 E) x x x x 7 ise x 7 veya x 7 x 7 veya x 7 x veya x Çözüm kümesi: x x x Çözümlü Test 0. x 0 y olmak üzere x x x y ifadesinin eşiti nedir? A) 0 B) x C) y D) x E) y x 0 y için x y ise x y 0. x y 0 olduğundan x y (x y). x x x y x x (x y) x y (x y) x x (x y) x x y Yanıt: A x x x y x (x y) y y Yanıt: E 9. x ise x in alabileceği değerler x 7 çarpımı kaçtır?. x olmak üzere (x ) (x ) (x ) ifadesinin eşiti nedir? A) 7 B) C) 0 D) x ise x veya x 7 x 7 8 E) x x 7 x x 7 veya x x 7 x x 7 veya x x 7 x veya x 0 x veya 0 0 Değerler çarpımı: 0 x A) x B) C) 0 D) E) x (x ) x, (x ) x (x ) x, (x ) (x ) (x ) x x (x ) (x ) (x ) (x ) x x x x Yanıt: C Yanıt: E Matematik Eğitimi / 7

38 Çözümlü Test. x olmak üzere ifadesinin eşiti nedir? 7 7 (x ) (x ). 0,8 0, MATEMATİK 6 6 işleminin sonucu kaçtır? (999/L) A) B) 0 C) D) E) (x ) x ve (x ) x x 7 7 (x ) (x ) x (x ) x x Yanıt: C. x 0 ise x in değerleri çarpımı kaçtır? A) 0 B) C) D) E) x 0 ise x 0 buna göre; x 0 x x x veya x x veya x x veya x Değerler çarpımı:. x 6 y 0 ise x y kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) Yanıt: D x 6 y 0 toplamının sıfır olabilmesi için iki mutlak değerinde iç değerinin sıfır (0) olması gerekmektedir. Buna göre; (Mutlak değer özeliklerinde ne bakınız.) x 0 x 6 y 0 y 6 Toplam değer: x y 6 Yanıt: E A) B) C) D) E) 0,8 0, ( ) ( ) Yanıt: D 6. x ifadesini en büyük yapan x gerçel sayısı kaçtır? A) B) C) D) E) 6 Mutlak değer ifadesinin en küçük değeri için ifade en büyük değerini alır. x 0 x 0 x En büyük yapan değer tür. Yanıt: B 7. x olduğuna göre x y 0 koşulunu sağlayan kaç tane tamsayı vardır? A) B) C) D) E) x x x y 0 x y x y tane y değeri vardır. y Yanıt: C Matematik Eğitimi / 8

39 GEOMETRİ 8.6. TEST. 7 8 kesrine aşağıdakilerden hangisi denktir? 7. 0,a 0,b 0,a 0,b Test sonucu kaçtır? A) 0,7 B) 0,8 C) 0,9 D),0 E), A) 9 B) 6 C) D) 7 E) 0 9. x kesri bileşik kesir ise x in alabileceği en x büyük doğal sayı kaçtır? 8. 0,: 0, 0, : 0, 0, : 0, işleminin sonucu 7 kaçtır? A) B), C), D) E) 0 A) 0 B) 8 C) 6 D) E). x kesri basit kesir ise x in alabileceği en x küçük doğal sayı nedir?. A) B) C) 6 D) 7 E) 8 A) 7 B) 7 sonucu kaçtır? C) 7 D) E) 7 9., ve sayılarını küçükten büyüğe 7 sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 7 7 C) D) 7 7 E) 7 0. ( x) x ise x in alabileceği en büyük tamsayı nedir? A) B) C) D) E). ( ( )) sonucu kaçtır? x x x eşitsizliğini sağlayan en küçük x tamsayısı kaçtır?. A) B) 9 C) D) 7 9 E) 7 9 A) B) C) D) E) işleminin sonucu kaçtır? A) 7,7 B) 7,7 C) 7,7 D) 7,7 E) 7,7. x (x 6) 6 eşitsizliğini sağlayan en küçük x sayısı kaçtır? A) 8 B) 6 C) D) E) 0 Matematik Eğitimi / 9

40 Çözümlü Test. x olmak üzere x 8 ise çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 0 D) 8 E) 8 MATEMATİK 9. x ifadesini en büyük yapan x tamsayı değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E). x eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) x x x B) x x C) x x D) x x E) x x 0. x x denkleminin kökleri toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) E). x x 0 denkleminin kökler çarpımı kaçtır?. x 6 9 denkleminin kökleri çarpımı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) A) 7 B) C) 0 D) E) 7. x x denkleminin kökler toplamı kaçtır? 6. x 7 9 sağlayan en büyük tamsayı nedir? A) 0 B) C) D) E) A) 8 B) 0 C) D) E) 6. x x denkleminin kökleri çarpımı kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 7. x 7 9 eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tamsayı nedir? A) B) C) 7 D) 9 E) 8. ifadesini en büyük yapan x tamsayı x değeri kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 8.7. YANITLAR. B. E. A. C. D 6. E 7. C 8. D 9. D 0. B. A. B. B. E. D 6. E 7. C 8. A 9. B 0. D. E. C. A Matematik Eğitimi / 0

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

ÇÖZÜMLER İSABET YAYINLARI. Ders 07. Ondalık Gösterim. Örnek. Çözüm. Alıştırma. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi

ÇÖZÜMLER İSABET YAYINLARI. Ders 07. Ondalık Gösterim. Örnek. Çözüm. Alıştırma. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi Ders 0 Ondalık Gösterim Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi Bir rasyonel sayıyı ondalık olarak yazmak için paydası, 0, 00,... gibi un kuvveti olacak şekilde sayı genişletilir veya sadeleştirilir. Elde

Detaylı

SAYILAR VE TEMEL KAVRAMLAR

SAYILAR VE TEMEL KAVRAMLAR Sayıları göstermeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,,5,6,7,8 ve 9 dur. N = {0,1,2,3,, n, n + 1, } kümesinin elemanlarına doğal sayı denir. En küçük doğal sayı 0 dır. N + = {1,2,3,, n,

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden

8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden Çarpanlar ve Katlar Konu Testi MATEMATİK 8.Sınıf Test-01 1. I. 1, her sayının bölenidir. II. 2, asal bir çarpandır. III. Her sayı kendisinin bir çarpanıdır. IV. Bir sayının çarpanları, aynı zamanda o sayının

Detaylı

SAYILAR. 1) Rakamları farklı, dört basamaklı iki farklı doğal sayının toplamı en az kaç olabilir? A) 2047 B) 2096 C) 3018 D) 3403 E) 5079

SAYILAR. 1) Rakamları farklı, dört basamaklı iki farklı doğal sayının toplamı en az kaç olabilir? A) 2047 B) 2096 C) 3018 D) 3403 E) 5079 SAYILAR TARAMA TESTİ 1 1) Rakamları farklı, dört basamaklı iki farklı doğal sayının toplamı en az kaç olabilir? A) 2047 B) 209 C) 3018 D) 3403 E) 5079 2) Rakamları farklı üç basamaklı, dört tane doğal

Detaylı

MATEMATİK. Temel Kavramlar I. Test a ve b doğal sayılardır. 5. Ardışık 5 tek sayının toplamı 115 tir. 6. x ve y tamsayılardır.

MATEMATİK. Temel Kavramlar I. Test a ve b doğal sayılardır. 5. Ardışık 5 tek sayının toplamı 115 tir. 6. x ve y tamsayılardır. MATEMATİK Test 0 Temel Kavramlar I. a ve b doğal sayılardır. a + b = 7 olduğuna göre, a.b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?. Ardışık tek sayının toplamı tir. Buna göre, bu sayıların en büyüğü

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

4BÖLÜM. ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA

4BÖLÜM. ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA 4BÖLÜM ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA TEST 1 1) Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi 80 sayısının çarpanıdır? 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,18,20,25,30,40,45,80

Detaylı

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME BÖLME ve BÖLÜNEBİLME A. BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B 0 olmak üzere, bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. A = B. C + K dır. Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

8. SINIF MATEMATiK KAREKÖKLÜ SAYILAR

8. SINIF MATEMATiK KAREKÖKLÜ SAYILAR 0 8. SINIF MATEMATiK KAREKÖKLÜ SAYILAR KAREKÖKLÜ SAYI KAVRAMI Karekök ile gösterilir. karekökünün içi negatif bir sayıya eşit olamaz. ÖR: Aşağıda verilen eşitliklere göre x lerin alabileceği değerleri

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor.

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor. Bölüm: Doğal Sayılar ve Tamsayılar Test: Temel Kavramlar. abc ve cba üç basamaklı doğal sayılardır. abc cba = 97 olduğuna göre, abc biçiminde yazılabilecek en küçük doğal sayının rakamları toplamı A) B)

Detaylı

Asal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK ORTAK DERSLER MATEMATİK. Prof. Dr. Emin KASAP

Asal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK ORTAK DERSLER MATEMATİK. Prof. Dr. Emin KASAP 3 Asal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK ORTAK DERSLER MATEMATİK Prof Dr Emin KASAP 1 Ünite: 5 ASAL ÇARPANLARA AYIRMA / EBOB - EKOK Prof Dr Emin KASAP İçindekiler 51 ASAL ÇARPANLARA AYIRMa 3 511 Asal Sayılar

Detaylı

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan

Detaylı

Bölünebilme Kuralları. Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür.

Bölünebilme Kuralları. Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür. 2 İLE BÖLÜNEBİLME: Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir Dört basamaklı 729x sayısı 2 ile

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

Çözüm : * ebob = = * ekok = = * ve 36 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır?

Çözüm : * ebob = = * ekok = = * ve 36 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır? 1) 24 ve 36 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır? 24 36 2 * ebob = 2.2.3 =12 12 18 2 * ekok = 2.2.2.3.3 = 72 6 9 2 3 9 3 * 1 3 3 1 Ebob ( 24, 36 ) = 12 ( * lı olanların çarpımı) Ekok ( 24, 36 ) = 72 ( Hepsinin

Detaylı

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: Aşağıda verilen eşitliklerde verilmeyen harflere karşılık gelen tamsayıları bulunuz. RASYONEL SAYILAR A =?

RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: Aşağıda verilen eşitliklerde verilmeyen harflere karşılık gelen tamsayıları bulunuz. RASYONEL SAYILAR A =? Kazanım : Rasyonel sayıları tanır ve sayı doğrusunda gösterir. RASYONEL SAYILAR a bir tamsayı ve b sıfırdan farklı bir tamsayı olmak üzere a b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel

Detaylı

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik 9. Çarpanlar ve Katlar b Dikdörtgenin alanı 4 cm olduğuna göre, kısa ve uzun kenarının çarpımı 4 cm 'dir. a. b = 4 a 6. Asal Çarpanlar A B C D E Yukarıda verilen asal çarpanlara ayırma işleminin son satırında

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D)

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D) 8. Sınıf MATEMATİK ÇARPANLAR VE KATLAR I. Aşağıdakilerden hangisi 6 nın çarpanlarından biridir? A) 3 B) 6 C) 8 D) TEST. 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir? A) 3. 3.

Detaylı

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar Bölüm BÖLÜNEBİLME VE ÇARPANLARA AYIRMA. Bölünebilme Kuralları Bir a doğal sayısı bir b sayma sayısına bölündüğünde bölüm bir doğal sayı ve kalan sıfır ise, a doğal sayısı b sayma sayısına bölünebilir.

Detaylı

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS - 2 2-2 1 1-1 1 kalanı bulmak için sağdan ve + ile başlamak gerekir BÖLÜNEBĐLME KURALLARI 2 Đle Bölünebilme: tüm çift sayılar, yani birler

Detaylı

5. Üç basamaklı ABC doğal sayısı 2 ile, 5 ile ve 9 ile tam. 6. Dört basamaklı AB24 sayısının 36 ile bölümünden kalan iki

5. Üç basamaklı ABC doğal sayısı 2 ile, 5 ile ve 9 ile tam. 6. Dört basamaklı AB24 sayısının 36 ile bölümünden kalan iki Bölme ve Bölünebilme BÖLÜM 03 Test 01 1 Üç basamaklı 5AB sayısı iki basamaklı AB sayısına bölündüğünde, bölüm 13 ve kalan 8 olmaktadır Buna göre, A + B toplamı A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5AB = 13 AB + 8

Detaylı

MATEMATİK DERS PLÂNI. : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K)

MATEMATİK DERS PLÂNI. : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K) MATEMATİK DERS PLÂNI Başlangıç Tarihi :.. Dersin adı Sınıf Öğrenme Alanı Alt Öğrenme Alanı Planlanan Süre : Matematik : 9. Sınıf : Sayılar : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K)

Detaylı

KESİRLER BİRİM KESİRLERİ SIRALAMA. Birim kesirlerde paydası büyük olan kesir daha küçüktür.

KESİRLER BİRİM KESİRLERİ SIRALAMA. Birim kesirlerde paydası büyük olan kesir daha küçüktür. BİRİM KESİRLERİ SIRALAMA Bir bütünün eş parçalarından her birine kesir denir. Payı olan kesirlere birim kesir denir. Birim kesirlerde paydası büyük olan kesir daha küçüktür.,, 8 kesirlerini sıralayınız.

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. b Payda

Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. b Payda Matematik6 Bir Bakışta Matematik Kazanım Defteri Özet bilgi alanları... Kesirlerle İşlemler KESİR ve KESİRLERDE SIRALAMA Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. Bir kesirde

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

ÜNİVERSİTE HAZIRLIK YGS MATEMATİK. Özel Ders Sistematiğine Dayalı. Soru Bankası + Yaprak Testler. Yazar: Harun KAN Fatih BULUT

ÜNİVERSİTE HAZIRLIK YGS MATEMATİK. Özel Ders Sistematiğine Dayalı. Soru Bankası + Yaprak Testler. Yazar: Harun KAN Fatih BULUT ÜNİVERSİTE HAZIRLIK YGS MATEMATİK Özel Ders Sistematiğine Dayalı Soru Bankası + Yaprak Testler Yazar: Harun KAN Fatih BULUT İncirli Cad. Santral Çıkmazı No: 7/ Bakırköy / İstanbul Tel: (0) 57 0 00 Fax:

Detaylı

EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ

EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ 0 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. SAYILAR Z{,-,-,-,0,,,, } Z - {,-,-,-} negatif tam sayılar kümesi {0} (elemanı 0 olan bir küme) Z + {,,,,n,n+, } pozitif

Detaylı

MATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

MATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR ATU MATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ZENGİN İÇERİKLİ ÖZGÜN KONU ANLATIMI ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR BİLGİ KONTROLÜ ODAKLI KARMA SORULAR PEKİŞTİREN BÖLÜMLERİ AKILLI

Detaylı

Ortak Bölenlerin En Büyüğü & Ortak Katların En Küçüğü

Ortak Bölenlerin En Büyüğü & Ortak Katların En Küçüğü Sayfa : 1 60 ve 72 nin OBEB VE toplamları kaçtır? A) 30 B) 360 C) 372 D) 420 E) 448 24, 36, 60 sayılarının i OBEB inin kaç katıdır? A) 12 B) 20 C) 30 D) 45 E) 54 Cevaplar: C C Sayfa : 2 54 ve 78 sayılarını

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

ONDALIK GÖSTERİMLER ONDALIK GÖSTERİM. ÖRNEK: Aşağıda verilen kesirlerin ondalık gösterimlerini yazınız.

ONDALIK GÖSTERİMLER ONDALIK GÖSTERİM. ÖRNEK: Aşağıda verilen kesirlerin ondalık gösterimlerini yazınız. ONDALIK GÖSTERİM Paydası 10, 100, 1000 olan kesirlerin virgül kullanarak yazılışına ondalık gösterim denir. Ondalık gösterimlerde virgül tam kısım ile kesir kısmı ayırmak için kullanılır. ÖRNEK: Aşağıda

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

Konu Anlatımı Açık Uçlu Sorular Çoktan Seçmeli Sorular Doğru Yanlış Soruları Boşluk Doldurmalı Sorular Çıkmış Sorular

Konu Anlatımı Açık Uçlu Sorular Çoktan Seçmeli Sorular Doğru Yanlış Soruları Boşluk Doldurmalı Sorular Çıkmış Sorular Maths@bi 8 3.BÖLÜM Kareköklü Sayılar Konu Anlatımı Açık Uçlu Sorular Çoktan Seçmeli Sorular Doğru Yanlış Soruları Boşluk Doldurmalı Sorular Çıkmış Sorular Kerime ASKER-Abdullah ASKER Matematik Öğretmeni

Detaylı

in en küçük değeri için x + y =? (24) + + =? ( a ) a a a b a

in en küçük değeri için x + y =? (24) + + =? ( a ) a a a b a 73. x, y R ve 5x + 3y = 10 dir. 5y 3x in en küçük değeri için x + y =? (4) 74. a + 1 = denkleminin çözüm kümesi nedir? ({ 1,3 } ) 75. a. b > 0 ve a. b < 0 olmak üzere, a a a b a + + =? ( a ) 76. x <

Detaylı

UYGUN MATEMATİK 5 SORU BANKASI. HAZIRLAYANLAR Fatih KOCAMAN Meryem ER. : Sad k Uygun E itim Yay nlar. : Yaz n Matbaas / stanbul

UYGUN MATEMATİK 5 SORU BANKASI. HAZIRLAYANLAR Fatih KOCAMAN Meryem ER. : Sad k Uygun E itim Yay nlar. : Yaz n Matbaas / stanbul UYGUN MATEMATİK SORU BANKASI HAZIRLAYANLAR Fatih KOCAMAN Meryem ER AR-GE Editör : Ş. Yunus MUSLULAR : Dr. Özgür AYDIN Prg. Gel. Uzm. : Özden TAŞAR Pedagog Dan şman Dizgi Bask : Hilâl GENÇAY : Psikiyatr

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

Ortak Bölenlerin En Büyüğü & Ortak Katların En Küçüğü

Ortak Bölenlerin En Büyüğü & Ortak Katların En Küçüğü Sayfa : 1 60 ve 72 nin OBEB VE toplamları kaçtır? A) 30 B) 360 C) 372 D) 420 E) 448 24, 36, 60 sayılarının i OBEB inin kaç katıdır? A) 12 B) 20 C) 30 D) 45 E) 54 Cevaplar: C C Sayfa : 2 54 ve 78 sayılarını

Detaylı

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I Üniversite Hazırlık / YGS Kolay Temel Matematik 0 KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I. 8 ( 3 + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) A) B) 0 C) D) E) 3. 7 3. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 0

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

örnektir örnektir Temel Matematik TYT Yeni müfredata tam uygun MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (1-10. Testler)

örnektir örnektir Temel Matematik TYT Yeni müfredata tam uygun MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (1-10. Testler) TYT Temel Matematik MİKRO KONU TARAMA TEST AYRINTILARI VE ÖRNEKLERİ (-0. Testler) Yeni müfredata tam uygun Değerli öğretmenimiz, branşınızla ilgili TYT konu tarama testlerimizden bazı örnekleri incelemeniz

Detaylı

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 4, 36 ve 48 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü kaçtır? A) 1 B)16 C) 18 D) 4 E) 7 1) Sayılarınhepsini aynı anda asal çarpanlarına ayıralım; 4 36 48 1 18 4 6 9 1 3 9 6

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI LİDER ŞİŞLİ İLKOKULU/ORTAOKULU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI LİDER ŞİŞLİ İLKOKULU/ORTAOKULU 4. SINIF MATEMATİK KAZANIMLARI 4, 5 ve 6 basamaklı doğal sayıları okur ve yazar. 10 000 e kadar (10 000 dahil) yüzer ve biner sayar. 10 000 e kadar (10 000 dahil) yüzer ve biner sayar. 4, 5 ve 6 basamaklı

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme

Detaylı

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ ÖRNEK: 18 sayısının pozitif çarpanları nelerdir? Çarpımları 18 olan sayılar arayalım. 18 = 1. 18 18 =. 9 18 =. 6 Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı şeklinde

Detaylı

1. ÜNİTE:SAYILAR VE İŞLEMLER

1. ÜNİTE:SAYILAR VE İŞLEMLER 1. ÜNİTE:SAYILAR VE İŞLEMLER 2 DERS SAATİ:Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler. ASAL SAYILAR 1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısı ile bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara

Detaylı

Soru Konu Doğru Yanlış Boş

Soru Konu Doğru Yanlış Boş YGS - MATEMATİK DENEME- A Soru Konu Doğru Yanlış Boş Mutlak Değerin Sayıya Eşitliği % % Sayılar Akıl Yürütme % % Okek Dikdörtgen Birleştirme % % Kesirlerin Okeki % % Obeb Problemleri % % Obeb Denklemi

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR. Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1

ÇARPANLAR VE KATLAR. Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1 ÇARPANLAR VE KATLAR Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1 ÖRNEK 1 48 sayısının çarpanlarını bulalım. 1.Gökkuşağı yöntemi 48 sayısının çarpanlarını küçükten büyüğe sıralayarak eşleştiriniz. 48 çarpanlarını

Detaylı

MATDER HARRAN ÜNİVERSİTESİ 2017 MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

MATDER HARRAN ÜNİVERSİTESİ 2017 MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI Soru 1: Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu üçgenin en kısa kenar uzunluğu 6 cm ve en uzun kenarı 14 cm ise, ortanca kenar uzunluğu kaç cm dir? A) 2 37 B) 39 C) 13 D)

Detaylı

3) x = 10 3 ise x kaçt r? Çözüm: Toplamadaki ard k terimlerin fark 5 oldu undan, A =

3) x = 10 3 ise x kaçt r? Çözüm: Toplamadaki ard k terimlerin fark 5 oldu undan, A = DO AL SAYILAR, TAMSAYILAR ) 8. 0 7 +. 0 + 4. 0 say, a dakilerden hangisidir? 8. 0 7 +. 0 + 4. 0 = 8. 0 7 + 0. 0 6 + 0. 0 + 0. 0 4 + 0. 0 + 0. 0 2 + 4. 0 + 0. 0 0 eklinde yaz labilir. Öyleyse, say 8000040

Detaylı

MATEMATİK Kazanım =Rasyonel sayıları tanır ve sayı doğrusunda gösterir. RASYONEL SAYILAR VE SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME

MATEMATİK Kazanım =Rasyonel sayıları tanır ve sayı doğrusunda gösterir. RASYONEL SAYILAR VE SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME .SINIF MATEMATİK Kazanım Rasyonel sayıları tanır ve sayı doğrusunda gösterir. RASYONEL SAYILAR VE SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME RASYONEL SAYILAR 0,,,,... gibi a şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

10. s(a-b)=4, s(b-a)=3, s(a B)=2 ise s(a B)=? a. 10 b. 9 c. 5 d Şekle göre (A C) B kümesi hangisidir?

10. s(a-b)=4, s(b-a)=3, s(a B)=2 ise s(a B)=? a. 10 b. 9 c. 5 d Şekle göre (A C) B kümesi hangisidir? 6SINIF MATEMATĐK YAZILI ÇALIŞMA SORULARI Aşağıdakilerden hangisi küme belirtir? a Yılın üç ayı b Đstanbuldaki bazı okullar c Haftanın ilk iki günü d Bazı arkadaşlar A= { #,, a,, } ise aşağıdakilerden hangisi

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 0 Mayıs 009 Matematik Soruları ve Çözümleri. ( ) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 Çözüm ( ) 4 ( ) 4 4 6.

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 10 Mayıs 2009 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. ( 2 1). 2+ 1 1 2 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 2 2 E)

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR.

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR. 2 SAYILAR TEORİSİ - MUSTAFA ÖZDEMİR SAYILAR TEORİSİ Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik Eğitimi bölümlerinde okutulmakta olan Sayılar Teorisi derslerine de yardımcı olacaktır. Bunun yanında,

Detaylı

TAM SAYILARLA TOPLAMA ÇIKARMA

TAM SAYILARLA TOPLAMA ÇIKARMA 7. Kazanım Tam sayılarla toplama çıkarma işlemlerini yapar. SINIF MATEMATİK tam SAYILAR TAM SAYILARLA TOPLAMA ÇIKARMA ( + 6) + ( + ) ( + 8) ( ) + ( ) ( 9) 8 Aynı işaretli sayılarda toplama yapılırken,

Detaylı

COPYRIGHT AYMİR YAYINEVİ

COPYRIGHT AYMİR YAYINEVİ Genel Yayın Yönetmeni Savaş DOĞAN Genel Yayın Yönetmen Yardımcısı Arzu ALAN Editör Güven GÖLLÜOĞLU Yazar Abdullah İNAL Ahmet GÜNDOĞDU ISBN 978 605 308 476 1 Redaksiyon Merve YAVUZYILMAZ Dizgi Zeliha DEMİRKAYA

Detaylı

Kamu Personel Seçme Sınavı. KPSS / Genel Yetenek Testi / Lisans / 30 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri = = 10

Kamu Personel Seçme Sınavı. KPSS / Genel Yetenek Testi / Lisans / 30 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri = = 10 Kamu Personel Seçme Sınavı KPSS / Genel Yetenek Testi / Lisans / 0 Haziran 007 Matematik Soruları ve Çözümleri. 5 9 işleminin sonucu kaçtır? 0, 0,5 A) 9 B) 0 C) D) 5 E) 6 Çözüm 5 9 5 0 9 000.( ).( ) 0,

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 0 Mayıs 009 Matematik Soruları ve Çözümleri. ( ) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 Çözüm ( ) 4 ( ) 4 4 6.

Detaylı

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5 1 14 ve 1 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? x = 14.a = 1b x= ekok(14, 1 ).k, (k pozitif tamsayı) x = 4.k x in üç basamaklı değerleri istendiğinden k =, 4, 5, 6, 7,,

Detaylı

COPYRIGHT AYMİR YAYINEVİ

COPYRIGHT AYMİR YAYINEVİ Genel Yayın Yönetmeni Savaş DOĞAN Genel Yayın Yönetmen Yardımcısı Arzu ALAN Yazar Güven GÖLLÜOĞLU ISBN 978-605-308-35-8 Redaksiyon Tuğba ÜNLÜER İrem BAYIN Devrim ÇOBAN Merve YAVUZYILMAZ Dizgi Zeliha DEMİRKAYA

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim.

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim. SINIF ÇARPANLAR ve KATLAR www.tayfunolcum.com 8.1.1.1: Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade ya da üslü ifadelerin çarpımı seklinde yazar. Çarpan ( bölen ) Her

Detaylı

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin Bu ürünün bütün hakları ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın fotokopi ya da elektronik, mekanik herhangi

Detaylı