Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Transkript

1 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41 Direkt Çarpımlar (Toplamlar)...48 Sylow Teoremleri...52 Halkalar...54 Alt Halka ve İdealler...61 Polinom Halkaları...66 Genel Tarama Sınavı...72

2 Alt Halka ve İdealler Tanım: (H, +, ) bir halka ve K, H nin boş kümeden farklı bir alt kümesi olsun. Eğer H deki işlemlere göre K de bir halka ise K ye H nin bir alt halkası denir. Tanım: (H, +, ) bir halka ve I, H nin bir alt halkası olsun. a I ve r H için ( 0 H, +, ) ve (H, +, ) halkaları, (H, +, ) halkasının aşikâr alt halkalarıdır. Örnek: (Z, +, ) halkası (Q, +, ) halkasının bir alt halkasıdır. r. a I ise I ya H nin sol ideali, a. r I ise I ya H nin sağ ideali denir. Eğer I, hem sol ve hem de sağ ideal ise I ya H nin bir ideali denir. Teorem: (H, +, ) bir halka ve K, H nin boş kümeden farklı bir alt kümesi olsun. K nin H nin bir alt halkası olması için gerek ve yeter şart; a, b K için i) a - b K Eğer H halkası değişmeli ise sol ideal ile sağ ideal aynıdır. Her H halkası için 0 H ve H, H nin aşikâr idealleridir. 0 H idealine H nin sıfır ideali, I H koşulunu sağlayan I idealine de H nin öz ideali denir. ii) a. b K olmasıdır. Teorem: (H, +, ) bir halka ve I, H nin boş kümeden farklı alt kümesi olsun. I nın H nin bir ideali olması için gerek ve yeter şart; Örnek: (Z 6,, ) halkasının bir alt kümesi K = 0,2,4 olsun. a, b I ve r H için i) (a - b) I a, b K için a - b K ve a. b K olduğundan (K,, ) halkası (Z 6,, ) halkasının bir alt halkasıdır. ii) ra I ve ar I olmasıdır. Örnek: (2Z, +, ) halkası (Z, +, ) halkasının bir alt halkasıdır. Örnek: I = 0,2,4,6 kümesi (Z 8,, ) halkasının bir idealidir. 61

3 Alt Halka ve İdealler NOT: m, n Z ve mz, nz tam sayılar halkasının iki ideali olmak üzere, i) mz. nz = m. nz dir. ii) mz + nz = (m, n). Z iii) mz nz = [m, n]. Z Tanım: H bir halka ve I, H nin boş kümeden farklı bir alt kümesi olsun. H nin I yı kapsayan tüm ideallerin kesişimine I tarafından üretilen ideal denir ve < I > ile gösterilir. I = a 1, a 2,., a n ise < a 1, a 2,., a n > = < a 1, a 2,., a n > Örnek: 4Z ve 6Z, Z nin iki ideali olmak üzere 4Z. 6Z = 24Z 4Z + 6Z = (4, 6)Z = 2Z ifadesine a 1, a 2,., a n tarafından üretilen ideal, < a 1 > idealine, a 1 tarafından üretilen esas (temel) ideal ve her ideali esas ideal olan bir tamlık bölgesine de esas ideal bölgesi (E.İ.B.) denir. 4Z 6Z = [4, 6]Z = 12Z dir. Teorem: I 1 ve I 2, H halkasının iki ideali olsun. Bu durumda, i) I 1 + I 2 de H nin bir idealidir. Örnek: Z nin her ideali devirli grup olduğundan Z, bir E.İ.B. dir. Teorem: (F, +, ) bir cisim olsun. Bu durumda F nin 0 F ve F den başka ideali yoktur. Örnek: (Q, +, ) bir cisim olduğundan Q nun 0 ve Q dan başka ideali yoktur. ii) I 1 I 2 de H nin bir idealidir Tanım: I, bir H halkasının ideali olsun. UYARI: Her ideal bir alt halkadır. Fakat her alt halka bir ideal değildir. (a + I) + (b + I) = (a + b) + I (a + I). (b + I) = a. b + I Örnek: (Z, +, ) halkası (Q, +, ) halkasının bir alt halkası olmasına rağmen bir ideali değildir. Çünkü Z ve Q için 2 Z dir. 3 3 Teorem: Birimli bir halkanın ideali halkanın birimini kapsarsa bu ideal halkaya eşittir. ile tanımlanan toplama ve çarpma işlemlerine göre, (H/I, +, ) cebirsel yapısı bir halkadır. Bu halkaya H nin I idealine göre bölüm halkası denir. Örnek: 3Z, Z nin bir ideali olmak üzere, Z / 3Z = 0 + 3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z dir. 62

4 Örnek: I = 0,3 kümesi (Z 6,, ) halkasının bir ideali olup Z 6 nın I daki farklı sol ya da sağ yan kümeleri 0 + I, 1+ I ve 2 + I olduğundan Z / I = 0 + I, 1+ I, 2 + I Alt Halka ve İdealler Tanım: H değişmeli bir halka ve I, H nin bir öz ideali olsun. Eğer a, b H için a. b I iken a I veya b I oluyorsa I ya H nin bir asal ideali denir. Örnek: 5Z nin Z nin bir asal ideali olduğunu gösterelim. dır. Teorem: I bir H halkasının ideali olsun. i) H/I da bir halkadır. ii) H değişmeli ise H/I da değişmelidir. iii) H birimli ve I H ise H/I da birimli ve birimi 1 H + I dır. Tanım: H bir halka ve K, H nin bir öz ideali olsun. H nin K yi içeren bir I ideali için K = I ya da I = H oluyorsa diğer bir ifadeyle H nin K yi kapsayan başka ideali yoksa K ye H nin bir maksimal ideali denir. a, b Z için a.b 5Z ise a 5Z veya b 5Z dir. Dolayısıyla 5Z, Z nin bir asal idealidir. Örnek: 4Z, 2Z nin asal ideali değildir. Gerçekten, 6 2Z ve 2 2Z için Z iken 6 4Z ve 2 4Z dir. Teorem: I, birimli ve değişmeli H halkasının bir ideali olsun. i) I, H nin bir asal idealidir H/I bir tamlık bölgesidir. ii) I, H nin bir maksimal idealidir H/I bir cisimdir. Örnek: (Z, +, ) halkasında (3Z, +, ) idealinin bir maksimal ideal olduğunu gösterelim. iii) I, H nin bir maksimal ideali ise aynı zamanda asal idealidir. 3Z I Z olduğundan I = 3Z ya da I = Z dir. O halde 3Z, Z nin bir maksimal idealidir. 63

5 KONU TESTİ Alt Halka ve İdealler 1. Aşağıdakilerden hangisi Z nin bir ideali değildir? A) 3Z B) 2Z. 3Z C) 2Z + 3Z D) 2Z 3Z E) 2Z 3Z 4. I. Her ideal bir alt halkadır. II. Bir cismin aşikâr ideallerinden başka ideali yoktur. III. Birimli bir halkanın ideali, halkanın birimini kapsarsa bu ideal halkaya eşittir. A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 2. (Z, +, ) halkasında n Z için nz, Z nin bir ideali olmak üzere, I. 3Z + 4Z = 7Z II. 3Z - 4Z = Z III. 3Z 4Z = 12Z IV. 3Z 4Z = Z 5. Aşağıdakilerden hangisi 3Z nin bir asal idealidir? A) 9Z B) 15Z C) 24Z D) 42Z E) 60Z eşitliklerinden hangileri doğrudur? A) I ve III B) II ve III C) III ve IV D) I, II ve III E) II, III ve IV 6. H bir halka ve I 1, I 2 H nin iki ideali olsun. Bu durumda, I. I 1 + I 2 de H nin bir idealidir. II. I 1 I 2 de H nin bir idealidir. III. I 1 I 2 de H nin bir idealidir. 3. Aşağıdakilerden hangisi Reel sayılar halkasının bir idealidir? A) Z B) Q C) -1 D) -1, 1 E) 0 Yargılarından hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III CEVAP ANAHTARI 1. E 2. B 3. E 4. E 5. B 6. C 64

6 KONU TARAMA SINAVI - 10 Alt Halka ve İdealler 1. Aşağıdakilerden hangisi Z nin bir ideali değildir? A) 3Z B) 2Z + 4Z C) 3Z 4Z D) 2Z 3Z E) 3Z. 4Z 3. I. Rasyonel sayılar halkası, reel sayılar halkasının bir idealidir. II. Tam sayılar halkası esas ideal bölgesidir. III. 2Z, Z nin bir maksimal idealidir. A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 2. I. Her alt halka bir idealdir. II. Bir cismin sıfır ve kendisinden başka ideali yoktur. 4. Aşağıdakilerden hangisi 2Z nin bir asal idealidir? A) 4Z B) 10Z C) 12Z D) 18Z E) 24Z III. Her tamlık bölgesi bir cisimdir. A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) II ve III CEVAP ANAHTARI 1. C 2. A 3. D 4. B 65

7 GENEL TARAMA SINAVI 1. Aşağıdakilerden hangisi bir gruptur? A) (Z 6, ) B) (Q *, ) C) (Z, ) D) (Z 7, ) E) (N, +) 4. I. (R, +) bir devirli gruptur. II. Z de 2 nin ürettiği alt grup 2Z dir. III. G = < a >, mn mertebeden bir devirli grup ise o(a m ) = n dir. A) Yalnız II B) Yalnız III C) II ve III D) I ve III E) I, II ve III 2. Aşağıdakilerden hangisi bir abelyan gruptur? A) (M 2(R), +) B) (Q 8, ) C) (Z 7, ) D) (Z, ) E) (Z 6, ) 5. (Z 18, ) grubunun mertebesi 6 olan kaç elemanı vardır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. G bir grup ve G nin birim elemanı e olsun. a, b G için I. a 2 = a ise a = e dir. II. a 2 = e ise G değişmelidir. III. (a. b) 2 = a 2. b 2 ise G değişmelidir. 6. S 5 simetrik grubunda I birim permütasyon olmak üzere, 5 = I koşulunu sağlayan kaç tane permütasyonu vardır? A) 24 B) 25 C) 96 D) 120 E) 121 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 72

8 GENEL TARAMA SINAVI 39. (Z, +, ) halkasında n Z için nz, Z nin bir ideali olmak üzere, I. 4Z + 5Z = 9Z II. 4Z - 5Z = Z III. 4Z 5Z = 20 Z IV. 4Z 5Z = Z eşitliklerinden hangileri doğrudur? 41. Aşağıdaki polinomlardan hangisi Q[x] te indirgenmez değildir? A) x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 B) x 4 + 5x C) 3x 5 + 2x 4-6x 2 + 4x + 10 D) 2x 3-6x 2 + 3x - 15 E) 4x 4 + 5x x 2-10 A) I ve III B) II ve III C) III ve IV D) I, II ve III E) II, III ve IV 40. H bir halka ve I 1 ile I 2, H nin iki ideali olmak üzere, I. I 1 + I 2 de H nin bir idealidir. II. I 1 I 2 de H nin bir idealidir. III. I 1 I 2 de H nin bir idealidir. 42. Aşağıdakilerden hangisi Z 7[x] te f(x) = x 2 + 2x + 4 polinomunun bir çarpanıdır? A) x + 1 B) x + 2 C) x + 4 D) x + 5 E) x + 6 Yargılarından hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III CEVAP ANAHTARI 1. B 2. E 3. E 4. C 5. C 6. B 7. B 8. B 9. C 10. C 11. B 12. E 13. B 14. E 15. C 16. B 17. B 18. D 19. C 20. E 21. C 22. B 23. A 24. B 25. C 26. E 27. E 28. E 29. E 30. C 31. E 32. A 33. E 34. B 35. A 36. E 37. E 38. E 39. B 40. C 41. B 42. E 80