ACİL TELEFON MERKEZLERİ MODELLEMESİNİN ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YERLEŞKESİNE UYGULANMASI

Transkript

1 ACİL TELEFON MERKEZLERİ MODELLEMESİNİN ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YERLEŞKESİNE UYGULANMASI Aysel Ulukan 1, Hakan Korul 2 Özet Graf teori, problemleri tanımlamada ve yapısal olarak ilişkileri belirlemekte kullanıldığından modern yaşamın karmaşık ve geniş kapsamlı pek çok probleminin çözümünde kolaylık sağlar. Örtü sayısı problemi, graf teorinin önemli problemlerindendir. Bir grafının bazı düğümleri yardımı ile grafın tüm ayrıtlarını tanımlama graf örtüsü problemi olarak bilinir. Bu çalışmada, acil telefon merkezleri modellemesi, minimal örtü problemi olarak Anadolu Üniversitesi Yerleşkesine uygulanmıştır. Yerleşkenin hangi noktalarına, en az sayıda acil telefon yerleştirilmesi gerektiği hesaplanmıştır. Oluşturulan model, GAMS optimizasyon programı kullanılarak çözülmüştür. Anahtar Kelimeler: Graf teori; örtü kümesi problemi; ağ yapıları MODELLING OF EMERGENCY PHONE CENTERS: APPLICATION ON ANADOLU UNIVERSITY YUNUS EMRE CAMPUS Abstract Graph theory can be used to define daily life problems and to determine structural relationships of them. Thus it provides a wide range of solutions to complex and comprehensive modern life problems. Cover number problem is one the important aspects of graph theory. Defining all of the edges of a graph by the help of that graph s nodes is known as graph cover problem. In this study, the problem of placement of emergency phones carry out as a minimal cover problem and implemented to Yunus Emre Campus of Anadolu University. The obtained linear programming problem is solved by GAMS and the result that at least number of places which a phone is required to be placed, is found. Keywords: Graph theory; set covering problem; network structure 1 Öğr.Gör.Dr., Anadolu Üniversitesi, Porsuk Meslek Yüksekokulu, aulukan@anadolu.edu.tr 2 Yrd. Doç. Dr., Anadolu Üniversitesi, Havacılık ve Uzay Bilimleri Fakültesi, hkorul@anadolu.edu.tr

2 Giriş 1736 yılında Leonard Euler, Könisberg köprüleri problemi için graf kavramını tanımlayarak bir çözüm yöntemi bulmuş ve böylece matematiğin önemli bir dalı olan graf teorinin temellerini atmıştır. Graf teori, problemleri tanımlamakta ve yapısal olarak ilişkileri belirlemekte kullanıldığından, problemlerin çözümlerine mantıksal ve sistematik bir yaklaşım sunar. Graf model sunumları, bilim ve teknolojinin ekonomi, sosyoloji, matematik, mühendislik ve yöneylem araştırması gibi çeşitli alanlarında, problemleri ve sistemleri modellemek ve analiz etmek üzere kullanılır. Graf modellerinin analizinde, amaçları karşılamak üzere, indeks ve sistem fonksiyonu türetmek amacıyla matris yaklaşımından yararlanılır (Rao, 2007). Basitçe bir graf, düğüm denilen noktalar ve her biri bu noktaları veya noktaların sadece kendisini birleştiren, ayrıt olarak adlandırılan çizgiler topluluğudur. Matematiksel olarak graf, olsun. kümesinin elemanlı alt kümelerinin ailesi, - ile gösterilsin. G grafının düğümlerinin kümesi, ayrıtlarının kümesi, üzerinde bulunma bağıntısı ve olmak üzere,, -, - bağıntısı bir fonksiyonsa ( ) üçlüsüne bir graf denir biçiminde tanımlanır (Ulukan, 2012). Bir grafta düğüm sayısı sonsuz olabilir. Düğümlerin konumları, ayrıt uzunlukları, ayrıt ve düğüm şekilleri önemli değildir. Ayrıtların varlıkları veya yoklukları önemlidir ve ayrıtlar sadece iki düğüm arasında ilişki olduğunu gösterir. Bir grafının herhangi iki düğümü ve olsun. Eğer grafında bir yolu varsa, düğümü düğümüne bağlantılıdır denir. Her düğüm çifti bağlantılı olan graf, bağlantılı veya bağlı graf olarak adlandırılır. İletişim ağları bağlantılı graflar yardımı ile modellenebilir ve bu ağlar üzerindeki problemlere çözüm bulanabilir. Bir graftaki bütün ayrıtları tanımlayan minimum sayıda düğümü bulmak, grafta minimal örtü problemi olarak tanımlanır ve minimal örtü problemi bir doğrusal programlama problemidir (Christofides, 1986). Minimal örtü probleminin doğrusal programlama modelinin koşulları grafın çakışım matrisi yardımı ile yapılır. Dündar ve arkadaşları, Ege Üniversitesi Kampüsünde güvenliği sağlamak amacı ile minimum sayıda, hangi noktalara, acil telefonların yerleştirilmesi gerektiğini hesaplamışlardır (Dündar vd., 2011). Bu çalışmada, aynı problem Anadolu Üniversitesi Yunus Emre Kampüsüne uygulanmıştır. Bir örtü problemi olarak modellenip elde edilen doğrusal programlama problemi, GAMS yardımı ile çözülmüştür. Örtü Kümesi Problemi Bir şehirde itfaiye araçlarının bekleme merkezlerinin seçimi, bir bölgede televizyon yansıtıcılarının yerleşimi, bir bölgeyi kontrol altında tutmak için askeri birliklerin yerleşimi, belli bir alanda yaşayan insanlara bilgiler vermek için hoparlörlerin yerleşimi vb. sorularının örtü kümesi problemi olarak ele alınıp çözümleri yapılabilmektedir (Güngör ve Eroğlu, 1997). Örtü kümesi problemi, tüm kısıtların ( ) eşitsizliği, tüm sağ taraf değerlerinin 1 ve katsayı matrisinin 0-1 matrisi olduğu 0-1 tam sayılı programlama modelidir (Williams, 1993). Bu bölümde, gerekli tanımlar verilerek örtü kümesi probleminin genel doğrusal programlama modeli tanımlanmıştır. 72

3 Tanım : Bir ( ) grafında * + ve * + olsun. { olmak üzere [ ] matrisine nin çakışım matrisi denir. Şekil 1: Bağlı bir graf ve çakışım matrisi Örnek bir graf ve çakışım matrisi Şekil 1 ile verilmiştir. Tanım : ( ) grafında olsun. Eğer deki her ayrıt daki en az bir düğümle çakışıyorsa, kümesine nin bir örtüsü denir. örtü kümesi, nin kapsadığı mümkün olan en az elemanlı örtü kümesi ise, kümesi nin minimal örtü kümesi olarak adlandırılır ve eleman saysı ( ) ile gösterilir (Vasudev, 2006). Şekil 2: Bir G grafı Şekil 2 deki G grafının örtü kümesi, * + dır. * +, * + * + * + * + * + kümeleri, G grafının örtü kümeleri olmadıklarından minimal örtü kümesidir. 73

4 Yöntem Örtü Kümesi Probleminin Genel Modeli tane nesne içeren bir ortamda örtü kümesi probleminin genel doğrusal programlama modeli, i. Karar değişkenleri { ii. Kısıtlar ( ) ilişkisi için iii. biçimindedir (Beasley vd., 1992). Anadolu Üniversitesi Yerleşkesine Acil Telefonların Yerleştirilmesi Problemi Anadolu Üniversitesi Yunus Emre Kampüsünün her sokağında en az bir telefon bulunmak koşulu ile minimum sayıda telefon kullanılarak kampüs güvenliğinin sağlanması problemi, bir doğrusal programlama problemi olarak modellenmiş ve model kurulurken kampüsün grafsal gösteriminden yararlanılmıştır. Şekil 3 de krokisi verilen kampüsün Şekil 4 deki graf modeli oluşturulurken, sokaklar birer ayrıt, sokakların kesişme noktaları da birer düğüm olarak düşünülmüştür. Şekil 3: Anadolu Üniversitesi Yunus Emre Kampüsü krokisi 74

5 Şekil 4: Anadolu Üniversitesi Yunus Emre Kampüsü krokisinin graf modeli Uygulamada, örtü kümesi probleminin doğrusal programlama modeli şu şekilde olur: i. Karar değişkenleri { ii. Grafın çakışım matrisi ile düğüm vektörünün çarpımından aşağıdaki kısıtlar ortaya çıkar: iii. biçimindedir. 75

6 Problemin karar verme modelinde çözülmesi gereken 63 tane eşitsizlik ve 43 tane bilinmeyen vardır. Problemin çözümünde matris yapıları kullanılacağından ve karar değişken sayısı fazla olduğundan çözüm uzun zaman alacaktır. Bu nedenle, büyük boyutlu problemlerde kısa sürede çözüm veren, modelleme ve optimizasyon problemlerinin çözümü için kullanılan GAMS programı ile çözüm yapılmıştır. Oluşturulan modelin GAMS optimizasyon programı kullanılarak elde edilen çözümünde, telefon konulacak düğüm noktaları: biçiminde belirlenmiştir. Bu sonuca göre, tüm sokaklara yerleştirilecek optimum acil telefon sayısı 24 olarak bulunmuştur. Bulgular ve Öneriler Anadolu Üniversitesi Yunus Emre Kampüsü krokisi üzerinden, sokaklar birer ayrıt, sokak kesişimleri birer düğüm olarak alınıp, krokinin grafı çizilmiş; bu graf üzerinden problemin matematiksel modeli kurulmuş ve GAMS programı yardımı ile çözüm elde edilmiştir. Toplam 43 noktadan sadece 24 noktaya acil telefon yerleştirmenin uygun olduğu sonucuna varılmıştır. Kampüs güvenliğini sağlamak amacı ile kampüs ağı içerisine yerleştirilmesi gereken acil telefonların minimum sayısı, grafın örtü sayısına karşılık gelmektedir. Örtü sayısının hesaplanması ile optimum sonuca ulaşılmıştır. Özellikle ağ yapıları ile ilgili pek çok problemde, graf teori ve graf modeline karşılık gelen matris yaklaşımları sayesinde, optimum çözüm elde etmek mümkündür. Benzer türde problemler graf teori yardımı ile kolaylıkla çözülebilir. Kaynakça Beasley, J.E., Jörnsten, K. (1992). Enhancing an algorithm for set covering problems, European Journal of Operational Research, vol.58,pp Christofides, N. (1986). Graph Theory: An Algorithmic Approach, Academic Prees, London. Dündar, P., Balcı M.A. ve Kılıç E. (2011). Bir kampüs ağında acil telefon merkezleri yerleştirilmesi probleminin matematiksel modellenmesi, DEÜ Mühendislik Fakültesi Mühendislik Bilimleri Dergisi,13 (1), s.1-8 Güngör, İ., Eroğlu, A. (1997). Küme örtüleme problem ve bir uygulama, SDÜ İİBF Dergisi, 2, s Rao, R. V. (2007). Decision making in the manufacturing environment: using graph theory and fuzzy multiple attribute decision making methods, Springer; London. Ulukan, A. (2012). Sonlu bitişik iki kümeli graflar üzerine, Doktora Tezi, Afyon Kocatepe Üniversitesi, Afyon Willams, H.P. (1993). Model Building in mathematical programming, Ed., John Wiley and Sons Ltd., New York, 212 pp Vasudev, C. (2006). Graph Theory with Applications,New Age International Ltd., New Delhi 76